Tính toán nội lực và chuyển vị của hệ khung bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Tính toán nội lực và chuyển vị của hệ khung bằng phương pháp phần tử hữu hạn Bài toán cơ học kết cấu có tầm quan trọng đặc biệt trong lĩnh vực cơ học công trình, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm. Vấn đề nội lực và chuyển vị của kết cấu được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau. Tựu chung lại, các phương pháp xây dựng bài toán gồm: Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải về cơ bản gồm: Phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, liên hợp; Các phương pháp số gồm: Phương pháp sai phân, Phương pháp biến phân, phương pháp hỗn hợp sai phân biến phân và phương pháp phần tử hữu hạn. Hiện nay, kết cấu chính thường được sử dụng trong các công trình dân dụng và công nghiệp thường là khung cứng thuần túy hoặc khung kết hợp với lõi và vách cứng. Với số lượng phần tử rất lớn dẫn đến số ẩn của bài toán rất lớn, vấn đề đặt ra là với những bài toán như vậy thì dùng phương pháp nào để tìm lời giải của chúng một cách nhanh chóng, thuận tiện và có hiệu quả nhất. Với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện tử, đồng thời các phần mềm lập trình kết cấu ngày càng hiện đại, tác giả nhận thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đáp ứng được các yêu cầu nêu trên. Thực chất của phương pháp phần tử hữu hạn là rời rạc hóa bản thân kết cấu. Các phần tử liền kề liên hệ với nhau bằng các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục. Để giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này bằng đường lối trực tiếp, suy diễn vật lý hoặc đường lối toán học, suy diễn biến phân. Tuy nhiên bằng cách nào đi chăng nữa thì kết quả thu được là một ma trận (độ cứng hoặc độ mềm). Ma trận đó được xây dựng dựa trên cơ sở cực trị hóa phiếm hàm biểu diễn năng lượng. Trong phạm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHỊNG BÙI ĐỨC CƯỜNG TÍNH TỐN NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ CỦA HỆ KHUNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP; MÃ SỐ: 60.58.02.08 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐỖ TRỌNG QUANG HẢI PHÒNG, THÁNG 11 NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Bùi Đức Cường i LỜI CẢM ƠN Qua trình học tập nghiên cứu, giúp đỡ, cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phịng, tơi hồn thành chương trình học tập nghiên cứu luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Đỗ Trọng Quang tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn người thân, bạn bè bên tơi, động viên tơi hồn thành khóa học luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, ngày tháng Tác giả Bùi Đức Cường ii năm 2018 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU 1.1 Phương pháp xây dựng toán học 1.1.1 Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố 1.1.2 Phương pháp lượng 1.1.3 Nguyên lý công ảo 10 1.1.4 Phương trình Lagrange: 12 1.2 Bài toán học kết cấu phương pháp giải 10 1.2.1 Phương pháp lực 15 1.2.2 Phương pháp chuyển vị 16 1.2.3 Phương pháp hỗn hợp phương pháp liên hợp 16 1.2.4 Phương pháp phần tử hữu hạn 16 1.2.5 Phương pháp sai phân hữu hạn 17 1.2.6 Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân 17 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 18 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn 18 2.1.1 Nội dung phương pháp phần tử hữa hạn theo mơ hình chuyển vị 19 2.1.2 Cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử chịu uốn 38 2.1.3 Cách xây dựng ma trận độ cứng tổng thể kết cấu 40 CHƯƠNG TÍNH TỐN KHUNG PHẲNG CHỊU UỐN THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 45 3.1 Phương pháp phần tử hữu hạn tính tốn khung phẳng chịu uốn 45 3.2 Các ví dụ tính tốn khung 48 KẾT LUẬN 75 Danh mục tài liệu tham khảo 76 iii MỞ ĐẦU Bài tốn học kết cấu có tầm quan trọng đặc biệt lĩnh vực học cơng trình, địi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ mặt lý thuyết thực nghiệm Vấn đề nội lực chuyển vị kết cấu nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác Tựu chung lại, phương pháp xây dựng tốn gồm: Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố; Phương pháp lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange Các phương pháp giải gồm: Phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, liên hợp; Các phương pháp số gồm: Phương pháp sai phân, Phương pháp biến phân, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân phương pháp phần tử hữu hạn Hiện nay, kết cấu thường sử dụng cơng trình dân dụng công nghiệp thường khung cứng túy khung kết hợp với lõi vách cứng Với số lượng phần tử lớn dẫn đến số ẩn toán lớn, vấn đề đặt với tốn dùng phương pháp để tìm lời giải chúng cách nhanh chóng, thuận tiện có hiệu Với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, đồng thời phần mềm lập trình kết cấu ngày đại, tác giả nhận thấy phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đáp ứng yêu cầu nêu Thực chất phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc hóa thân kết cấu Các phần tử liền kề liên hệ với phương trình cân phương trình liên tục Để giải tốn học kết cấu, tiếp cận phương pháp đường lối trực tiếp, suy diễn vật lý đường lối toán học, suy diễn biến phân Tuy nhiên cách kết thu ma trận (độ cứng độ mềm) Ma trận xây dựng dựa sở cực trị hóa phiếm hàm biểu diễn lượng Trong phạm vi phần tử riêng biệt, hàm chuyển vị xấp xỉ gần theo dạng đó, thơng thường đa thức Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn nói để xây dựng giải toán khung phẳng chịu uốn chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu đề tài “Tính toán nội lực chuyển vị hệ khung phương pháp phần tử hữu hạn” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp xây dựng phương pháp giải tốn học kết cấu Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán khung phẳng, chịu tác dụng tải trọng phân bố Lập chương trình máy tính điện tử cho toán nêu CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU Trong chương trình bày phương pháp truyền thống để xây dựng tốn học nói chung; giới thiệu toán học kết cấu (bài toán tĩnh) phương pháp giải thường dùng 1.1 Phương pháp xây dựng toán học Bốn phương pháp chung để xây dựng toán học kết cấu trình bày Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa 1.1.1 Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố Phương trình vi phân cân xây dựng trực tiếp từ việc xét điều kiện cân lực phân tố tách khỏi kết cấu Trong sức bền vật liệu nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng giả thiết sau: - Trục dầm không bị biến dạng nên khơng có ứng suất - Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau biến dạng phẳng thẳng góc với trục dầm (giả thiết Euler–Bernoulli) - Không xét lực nén thớ theo chiều cao dầm Với giả thiết thứ ba có ứng suất pháp σ x ứng suất tiếp σxz, σzx tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp σ z khơng Hai giả thiết thứ ba thứ dẫn đến trục dầm có chuyển vị thẳng đứng y(x) gọi đường độ võng hay đường đàn hồi dầm Giả thiết thứ xem chiều dài trục dầm khơng thay đổi bị võng địi hỏi độ võng dầm nhỏ so với chiều cao dầm, ymax / h 1/5 Với giả thiết thứ hai biến dạng trượt ứng suất tiếp gây không xét tính độ võng dầm trình bày Gỉả thiết tỉ lệ h/l ngang u điểm nằm độ cao z so với trục dầm 1/5 Chuyển vị Z -h/2 TTH h/2 u Biến dạng ứng suất xác định Hình 1.2 Phân tố dầm sau d2y d2y  x   z ;  xx   Ez dx dx Momen tác dụng lên trục dầm: d2y Ebh3 d y M    Ebz dz   dx 12 dx h / h/2 M  EJ hay đó: (1.7) Ebh3 d2y EJ  ,   dx 12 EJ gọi độ cứng uốn dầm;  độ cong đường đàn hồi gọi biến dạng uốn; b chiều rộng dầm Để đơn giản trình bày, dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật Cách tính nội lực momen khơng xét đến biến dạng trượt ứng suất tiếp gây Tổng ứng suất tiếp σ zx mặt cắt cho ta lực cắt Q Q tác dụng lên trục dầm: h/2  zx dz h / Biểu thức ứng suất tiếp σzx tích phân trình bày sau Nhờ giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất dầm, ta cần nghiên cứu phương trình cân nội lực M Q tác dụng lên trục dầm Xét phân tố dx trục dầm chịu tác dụng lực M,Q ngoại lực phân bố q, hình 1.3 Chiều dương M, Q q hình vẽ tương ứng với chiều dương độ võng hướng xuống Q q(x) M + dM M o2 Q + dQ dx Hình 1.3 Xét cân phân tố Lấy tổng momen điểm O2, bỏ qua vơ bé bậc cao ta có dM Q  dx (1.8) Lấy tổng hình chiếu lực lên trục thẳng đứng: dQ q 0 dx (1.9) Phương trình (1.8) phương trình liên hệ momen uốn lực cắt, phương trình (1.9) phương trình cân lực cắt Q ngoại lực phân bố q Đó hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) phương pháp cân phân tố Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d 2M q0 dx (1.10) Thay M xác định theo (1.7) vào (1.10) nhận phương trình vi phân xác định đường đàn hồi d4y EJ  q dx (1.11) Phương trình (1.11) giải với điều kiện biên y đạo hàm đến bậc ba y (4 điều kiện), hai điều kiện biên đầu cuối Các điều kiện biên thường dùng sau a) Liên kết khớp x=0: Chuyển vị không, y x 0  , d2y dx momen uốn M  , suy 0 x 0 b) Liên kết ngàm x=0: Chuyển vị không, y x 0  , góc xoay khơng, dy 0 dx x 0 c) khơng có gối tựa x=0: Momen uốn M  , suy d2y dx  ; lực cắt Q=0, suy x 0 d3y dx 0 x 0 Các điều kiện x=l lấy tương tự Bây tìm hiểu phân bố ứng suất tiếp σ zx chiều dày h dầm Trước tiên viết phương trình cân ứng suất trục x sau  xx  xz   hay x z  xz  xx d3y    Ez z x dx Tích phân phương trình theo z: Ez d y   C x  dx   xz Hàm C x  xác định từ điều kiện ứng suất tiếp không mặt mặt Eh d y C x   dx h dầm, z   Ta có: Ứng suất tiếp phân bố mặt cắt dầm có dạng  xz E d3y 4 z  h   dx Đó hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn trục dầm (z=0) có giá trị  xz z 0  Eh d y dx3 Tích phân hàm ứng suất chiều cao dầm nhân với chiều rộng b ta có Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:  K  \ F  Kết chuyển vị, góc xoay nút: W12  W   13  W14    W15  W22    W   W23  x Pl ; W   24  W32  W   33  W34    W35  11     12  13    14  15     21   22        23  x Pl    24   25     35   34     33   32     31  Mômen uốn dầm: 63 M11  M   12  M13    M14  M15    M 21  M 22    M   M 23  x Pl M   24  M 25  M   35  M 34    M 33  M 32    M 31  Dưới lần đường độ võng biểu đồ moomen uốn cột dầm 0 -0.005 x 10 -3 -1 -2 -0.01 -3 X: Y: -0.01564 -0.015 -4 -0.02 -5 X: 16 Y: -0.02088 -0.025 10 12 14 X: Y: -0.005178 16 Hình 3.8a Đường độ võng cột trái 64 -6 10 12 14 Hình 3.8b Đường độ võng dầm 16 0.15 0.3 X: X: 16 Y: 0.1248 Y: 0.2501 0.25 0.1 0.2 0.15 0.05 0.1 0.05 0 -0.05 -0.05 X: Y: -0.1249 -0.1 -0.15 X: Y: -0.06258 -0.1 10 12 14 16 10 12 14 16 Hình 3.9b Biểu đồ mơmen dầm Hình 3.9a Biểu đồ mômen cột trái 0.15 X: 0.1 Y: 0.125 -0.005 0.05 X: Y: -0.01042 -0.01 -0.05 -0.015 -0.1 -0.02 X: 16 Y: -0.02088 -0.025 10 12 14 X: 16 Y: -0.1248 -0.15 -0.2 16 Hình 3.6c Đường độ võng cột phải Nhận xét kết trên: 10 12 14 16 Hình 3.9c Biểu đồ mômen cột phải Khi chia cột dầm thành 16 phần ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau: BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện Lời giải số theo Lời giải cột 1,3 dầm phương pháp xác Sai số % PTHH Chân cột -0,2501 -0,2500 0,04 Giữa cột 0,1249 0,1250 0,08 Giữa dầm 0,0625 0,0625 Đầu phải dầm -0,1248 -0,1250 0,16 65 Đầu cột -0,1248 -0,1250 0,16 Chân cột 0,1250 0,1250 Ta thấy kết nhận gần trùng khớp với lời giải xác Ví dụ 3.3: Khung siêu tĩnh bậc 6, hình 3.10 Xác định nội lực chuyển vị khung chịu lực hình 3.10, độ cứng uốn EJ=const Hình 3.10 Khung siêu tĩnh bậc Rời rạc hóa kết cấu dầm thành npt phần tử Các nút phần tử phải trùng với vị trí đặt lực tập trung, hay vị trí thay đổi tiết diện, chiều dài phần tử khác 66 67 Hình 3.11 Sơ đồ rời rạc kết cấu SO DO COT TRAI 2 3 SO DO AN CHUYEN VI 10 11 12 SO DO AN GOC XOAY nút1 nw1 nwx1 SO DO NUT COT TRAI CHIEU DAI PHAN TU CHIEU DAI PHAN TU SO DO AN GOC XOAY SO DO AN CHUYEN VI w2 n n nút2 16 17 18 19 20 21 22 23 wx2 SO DO NUT DAM SO DO DAM NGANG 13 13 14 14 15 15 SO DO COT PHAI 24 24 29 30 25 25 31 32 26 26 33 34 nút3 nw3 nwx3 SO DO NUT COT PHAI 27 SO DO AN CHUYEN VI 28 35 SO DO AN GOC XOAY CHIEU DAI PHAN TU CHIEU DAI PHAN TU SO DO AN GOC XOAY SO DO AN CHUYEN VI w4 n n nút4 39 40 41 42 43 44 45 46 wx4 SO DO NUT DAM SO DO DAM NGANG 36 36 37 37 38 38 SO DO COT TRAI 47 47 52 53 48 48 54 55 49 49 56 57 nút5 nw5 nwx5 SO DO NUT COT TRAI 50 SO DO AN CHUYEN VI 51 58 SO DO AN GOC XOAY CHIEU DAI PHAN TU Mỗi phần tử có ẩn npt phần tử rời rạc tổng cộng có 4xnpt ẩn Khi chia khung thành phần tử thì: ta có ẩn chuyển vị nwi, góc xoay nmxi sau: nw1 = [0 1 2 3 nwx1 =[5 10 11 13 13 14 14 nw2 =[0 nwx2 =[16 nw3 =[0 17 24 nwx3 =[28 nw4 =[0 24 29 36 nwx4 =[39 nw5 =[0 18 nwx5 =[51 25 30 36 40 47 19 52 25 37 47 20 31 41 26 37 48 54 26 38 48 34 44 35] 0] 45 49 56 23] 27] 38 49 55 0] 22 33 43 12] 15 21 32 42 53 15 4] 46] 50] 57 58] Sau biết ẩn số thực dầm cột ta xây dựng độ cứng tổng thể khung có kích thước K(nxn), ví dụ K(58X58) Bây xét điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện liên tục góc xoay phần tử viết sau:  dy i   dx nut phan tu truoc   dy   i  5( npt  1) dx nut1 phan tu sau  (a) Trong toán ta chia thành phần tử nên i=5(4-1)=15 điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện biên viết sau: - Tại đầu ngàm chân cột trái, cột cột phải phải có góc xoay không:  dy1  0  dx nut1 phan tu   16  68 (b)  dy3  0  dx nut1 phan tu   17  (c)  dy5  0  dx nut1 phan tu   18  (d) Điều kiện hai góc xoay nút cứng giao cột dầm viết sau: Góc xoay nút cuối phần tử đầu cột phải góc xoay nút đầu phần tử dầm  dy1  dx 19   nut dy2 dx    nut1  (e) Góc xoay nút cuối phần tử đầu cột phải góc xoay nút cuối phần tử cuối dầm  dy4  dx 20   nut dy5 dx    nut  (f) Góc xoay nút phần tử cuối dầm phải góc xoay nút phần tử đầu cột Góc xoay nút phần tử cuối cột phải góc xoay nút phần dầm  dy2  dx 21   dy3  dx  dy3 dx    nut   dy4 dx    nut1  nut 22  nut (g) (h) Điều kiện chuyển vị ngang đầu cột trái 1, cột cột phải nhau: 23 y1 nut2  y3 nut2   24 y3 nut2  y5 nut2   (i) (k) Trong k(k=124) ẩn số tốn (có k ẩn số ), tổng số ẩn số tốn lúc (n+k), ma trận độ cứng phần tử lúc phải thêm k dòng k cột kích thước ma trận độ cứng tổng thể K  n  k,n  k  Chẳng hạn ví dụ này, ta có n=58, k=24 69 tổng số ẩn toán n+k=58+24=82 ẩn Trong trường hợp ta xác định kích thước ma trận độ cứng tổng thể là: K[82x82] Như cuối ta thiết lập phương trình: K   F   F1      so  hang  n     Fn   đó: F   ;      so  hang  k         (l) 1     1         n  ẩn số toán 1  2      k  Trong ví dụ 3.3 chia thành phần tử, ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke], sau: - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể tồn kết cấu [K(82x82)], khơng trình bày kích thước ma trận q lớn - Véc tơ lực nút : Trong ví dụ véc tơ cột 82 dòng, sau: Sau có [K] : ta thành lập hệ phương trình phương pháp phần tử hữu hạn, sau: Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:  K  \ F  70 Kết chuyển vị, góc xoay nút Mômen uốn dầm: Dưới lần đường độ võng biểu đồ moomen uốn cột dầm 10 x 10 -4 -0.002 X: 11 Y: 0.0009139 X: Y: 0.0007257 -0.004 -0.006 -0.008 X: Y: -0.01098 -0.01 -0.012 -0.014 -0.018 X: 16 Y: -0.01694 -0.016 10 12 14 16 Hình 3.12a Đường độ võng cột trái -2 10 12 14 16 Hình 3.12b Đường độ võng dầm 0.03 0.25 0.025 X: X: 16 Y: 0.02742 0.2 Y: 0.1832 0.02 0.15 0.015 X: Y: 0.005806 0.01 0.1 0.005 0.05 -0.005 -0.05 -0.1 -0.01 X: 16 Y: -0.01581 X: Y: -0.04129 X: Y: -0.01581 -0.015 10 12 14 16 -0.02 10 12 Hình 3.13b Biểu đồ mơmen dầm Hình 3.13a Biểu đồ mômen cột trái 71 14 16 14 -0.002 12 x 10 -4 X: 12 Y: 0.001253 10 -0.004 -0.006 -0.008 -0.01 -0.012 -0.014 -2 X: 16 Y: -0.01694 -0.016 -0.018 -6 10 12 14 X: Y: -0.0004889 -4 16 10 12 14 16 Hình 3.12d Đường độ võng dầm Hình 3.12c Đường độ võng cột 0.1 0.06 X: 16 Y: 0.05731 0.08 X: Y: 0.0886 0.04 0.06 0.04 0.02 X: Y: 0.00457 X: Y: 0.006505 0.02 0 -0.02 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.04 X: Y: -0.04817 X: 16 Y: -0.07559 10 12 14 16 Hình 3.13c Biểu đồ mơmen cột -0.06 10 12 Hình 3.13d Biểu đồ mômen dầm 72 14 16 0.08 -0.002 0.06 X: Y: 0.07946 -0.004 0.04 X: Y: -0.007083 -0.006 X: Y: 0.01108 0.02 -0.008 -0.01 -0.012 -0.02 -0.014 -0.04 X: 16 Y: -0.05731 X: 16 Y: -0.01694 -0.016 -0.06 -0.018 10 12 14 10 12 14 16 16 Hình 3.13e Biểu đồ mơmen cột phải Hình 3.12e Đường độ võng cột phải Nhận xét kết trên: Khi chia cột dầm thành 16 phần tử ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau: BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện Lời giải số theo Lời giải cột 1,3 dầm phương pháp xác Sai số % PTHH Chân cột -0,1832 -0,1835 0,16 Đầu cột 0,0158 0,0156 1,28 Đầu phải dầm -0,0274 -0,0274 Đầu cột 0,0756 0,0756 Chân cột -0,0886 -0,0885 0,11 Đầu dầm 0,0482 0,0482 Đầu phải dầm -0,0573 -0,0573 Chân cột 0,0795 0,0794 0,12 Ta thấy kết nhận gần trùng khớp với lời giải xác 73 Hình 3.14 Biểu đồ M theo giải tích 74 KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương, chương đến chương toán khung chịu uốn Tác giả rút kết luận sau: Tác giả áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn toán khung phẳng chịu uốn chịu tải trọng tĩnh Nhận kết hồn tồn xác rời rạc hóa kết cấu đến số lượng phần tử định Độ xác lời giải phụ thuộc vào tốn, loại tải trọng, vị trí cách đặt tải có đối xứng hay Chẳng hạn ví dụ 3.1, bảng 3.1, ta thấy sai số tăng lên so với kết xác tất tiết diện, sai số nhỏ tiết diện đầu ngàm bên phải dầm (0,07%), sai số lớn chân cột (22,7%) cột (17,5%) Muốn tăng độ xác ta cần rời rạc hóa dầm cột thành nhiều phần tử Chẳng hạn ví dụ 3.1 ta phải rời rạc hóa kết cấu dầm cột lên tới 32 phần tử ta nhận kết trùng khớp với lời giải xác Nhưng ví dụ 3.2 3.3 kết bảng 3.2 3.3 cho thấy chia khung thành 16 phần tử nhận kết hồn tồn xác đa số tiết diện, tiết diện cịn lại có sai số khơng đáng kể Qua kết nghiên cứu thấy rằng, với việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn xây dựng toán học kết cấu cách dễ dàng KIẾN NGHỊ VỀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Dùng phương pháp phần tử hữu hạn làm sở để xây dựng giải toán kết cấu chịu uốn khác kết cấu tấm, vỏ Dùng kết tính tốn nội lực chuyển vị, để đưa vào thiết kế cơng trình 75 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [2] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [3] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2010), Giáo trình học cơng trình, Nhà xuất xây dựng [4] Lều Thọ Trình, Nguyễn Mạnh Yên (1998), Cơ học kết cấu, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [5] Đoàn Văn Duẩn (2015), Bài toán học kết cấu dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [6] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [7] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [8] T Karamanxki, người dịch Nguyễn Tiến Cường (1985), Phương pháp số học kết cấu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [9] Nguyễn Trâm, Phương pháp phần tử hữu hạn (2007), Nhà xuất xây dựng II Tiếng Anh [10] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang 76 [11] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [12] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [13] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [14] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [15] C.A.Brebbia, Techniques Theory J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [16] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London 77 ... phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán học thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị Sau luận văn trình nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị 2.1.1 Nội. .. theo phương pháp lực theo phương pháp chuyển vị 1.2.4 Phương pháp phần tử hữu hạn Thực chất phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc hóa thân kết cấu (chia kết cấu thành số phần tử có kích thước hữu hạn) ... pháp phần tử hữu hạn tính tốn khung phẳng chịu uốn Phương pháp phần tử hữu hạn chia cơng trình thành phần nhỏ gọi phần tử, tính tốn cơng trình dẫn tính tốn phần tử nhỏ sau kết nối phần tử lại