phương trình đường thẳng và mặt phẳng

Chương 1 CHƯƠNG Chương Tọa độ Ứng dụng Mục đích chương thiết lập biểu thức tọa độ phương trình đối tượng hình học túy như: điểm, véctơ, đường thẳng, mặt phẳng, đại lượng liên quan khoảng cách, góc, , quan hệ song song, quan hệ vng góc, Do chúng tơi xem bạn đọc nắm tính chất hình học mối quan hệ đối tượng 2.1 Hệ trục tọa độ Để xác định vị trí đại lượng (điểm, véctơ, ) mặt phẳng hay không gian, người ta thường dùng hệ trục tọa độ Tuy nhiên, với hệ trục tọa độ tùy ý, ta nghiên cứu đầy đủ tính chất đối tượng hình học Trong giáo trình hình quan tâm đến hệ tọa độ Descartes vng góc Hệ trục tọa độ giúp ta nghiên cứu đầy đủ tính chất nói mà cịn làm cho việc tính tốn dễ dàng 2.1.1 Hệ trục tọa độ Descartes vng góc Hệ trục tọa độ mặt phẳng Hệ trục tọa độ vuông góc Oxy mặt phẳng gồm hai đường thẳng có hướng x Ox y Oy vng góc Điểm O gọi gốc tọa độ Các đường thẳng x Ox, y Oy gọi trục tọa độ, x Ox −−→ − gọi trục hồng y Oy gọi trục tung Trên trục chọn véctơ đơn vị OE1 = → e1 x Ox −−→ → − − − OE2 = e2 y Oy Hệ trục tọa độ Oxy gọi thuận (t ư., nghịch) hướng quay từ → e1 đến → e2 theo góc quay nhỏ ngược (t ư., cùng) kim đồng hồ Hệ trục tọa độ khơng gian Hệ trục tọa độ vng góc Oxyz khơng gian gồm ba đường thẳng có hướng x Ox, y Oy z Oz đôi vuông góc Điểm O gọi gốc tọa độ Các đường thẳng x Ox, y Oy, z Oz gọi trục tọa độ, x Ox gọi trục hoành y Oy gọi trục tung z Oz gọi trục cao XXXX Trên −−→ − −−→ − trục chọn véctơ đơn vị OE1 = → e1 x Ox OE2 = → e2 y Oy Hệ trục tọa độ Oxy → − → − gọi thuận (t ư., nghịch) hướng quay từ e1 đến e2 theo góc quay nhỏ ngược (t ư., cùng) kim đồng hồ CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG 2.1.2 Tọa độ điểm Tọa độ điểm mặt phẳng Tọa độ điểm không gian 2.1.3 Tọa độ véctơ Tọa độ véctơ mặt phẳng Tọa độ véctơ khơng gian 2.1.4 Biểu thức tọa độ tích vô hướng Trong mặt phẳng → − − Xét hệ trục tọa độ Oxy Cho → a = (a1 , a2 ), b = (b, 1, b2 ) Gọi ϕ góc giữ hai véctơ Khi • Biểu thức tọa độ tíc vơ hướng: • Cơng thức tính độ dài véctơ: • Cơng thức tính góc hai véctơ: Trong không gian → − − Xét hệ trục tọa độ Oxyz Cho → a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b, 1, b2 , b3 ) Gọi ϕ góc giữ hai véctơ Khi • Biểu thức tọa độ tíc vơ hướng: • Cơng thức tính độ dài véctơ: • Cơng thức tính góc hai véctơ: Một số tốn đơn giản - Tính khoảng cách hai điểm A, B mặt phẳng không gian −−→ - Bài tốn tìm điểm chia doạn thẳng theo tỉ lệ cho trước: M chia đoạn AB theo tỉ số k M A = −−→ k M B 2.1.5 Biểu thức tọa độ tích có hướng → − − − − − Xét hệ trục tọa độ Oxyz với ba véctơ đơn vị Ox, Oy, Oz → e1 , → e2 , → e3 Cho → a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b, 1, b2 , b3 ) Khi → − → − − − − a ∧ b = (a1 → e1 + a2 → e + a3 → e3 ) ∧ ( .) = 2.1.6 Biểu thức tọa độ tích hỗn tạp → − − − − − Xét hệ trục tọa độ Oxyz với ba véctơ đơn vị Ox, Oy, Oz → e1 , → e2 , → e3 Cho → a = (a1 , a2 , a3 ), b = −c = (c , c , c ) Khi (b, 1, b2 , b3 ), → → − − → − − − − − − − (→ a , b ,→ c ) = (→ a ∧ b )→ c = (a1 → e + a2 → e + a3 → e3 ) ∧ ( .) = 2.2 ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG TRONG MẶT PHẲNG 2.2 Đường phương trình đường mặt phẳng Trong mặt phẳng, đường xem quỹ tích điểm thỏa mãn điều kiện Nếu mặt phẳng xét ta có hệ trục tọa độ quỹ tích vừa nói thỏa mãn phương trình F (x) = đó, đó, F hàm số xác định R2 Chẳng hạn ví dụ sau Đường trịn tâm I bán kính R tập C(I, R) = {M | IM = R} Giả sử mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy Giả sử M (x, y), I(a, b) Khi (x − a)2 + (y − b)2 − R2 = M ∈ C(I, R) ⇔ OM = R ⇔ FC(I,R) (x, y) Phương trình FC(I,R) (x, y) = gọi phương trình đường trịn tâm I bán kính R y L M(x, y) O x Hình 2.1: Đường mặt phẳng Định nghĩa Phương trình F (x, y) = gọi phương trình đường L mặt phẳng điểm L có tọa độ thỏa mãn đó, ngược lại, điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình thuộc L Chú ý i) Trong hình học giải tích, việc nghiên cứu tính chất hình học đường đưa việc nghiên cứu tính chất đại số phương trình tương ứng chúng ii) Đơi ta biểu diễn phương trình đường L cách biểu diễn hai biến x, y qua biến thứ ba  x = f (t) y = g(t) Ta gọi biểu diễn phương trình tham số đường L Ví dụ i) Phương trình đường trịn tâm I(a, b) bán kính R có dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2 √ ii) Tìm đường xác định phương trình − x2 − y = Giải Phương trình phương trình nửa đường trịn tâm O(0, 0) bán kính nằm bên trục hoành, tức y ≥ Ta viết phương trình tham số đường  x y = cos t = sin t, ≤ t ≤ π iii) Một đường trịn (C) bán kính a lăn khơng trượt đường thẳng (d) Tìm quỹ đạo điểm M cho trước đường trịn CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy có O trùng với điểm mà M nằm trện đường thẳng (d), trục Ox trùng với (d) có hướng trúng với hướng di chuyển đường trịn, trục Oy có phần dương nằm nửa mặt phẳng chứa đường tròn Giả sử M (x, y) ∈ (C) Khi OA = độ dài AM Hơn nữa, at = OA = OK + KA = x + M B = x + a sin t Mặt khác, y I t B M O K a A x Hình 2.2: Đường Cycloid y = KM = AB = AI − BI = a − a cos t Do đường cho tập hợp tất điểm M (x, y) có tọa độ thỏa mãn phương trình  x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t) 2.3 2.3.1 Mặt đường khơng gian Phương trình mặt Mọi mặt khơng gian xem quỹ tích điểm thỏa mãn điều kiện Nếu khơng gian cho trước hệ trục tọa độ Descartes vuông góc mặt khơng gian tập hợp điểm M (x, y, z) có tọa độ thỏa mãn phương trình F (x, y, z) = Định nghĩa Phương trình F (x, y, z) = gọi phương trình mặt (S) khơng gian với hệ tọa độ Descartes vng góc Oxyz điểm (S) có tọa độ thỏa mãn phương trình đó, ngược lại, điểm M (x, y, z) thỏa mãn phương trình thuộc (S) Ví dụ Viết phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c) bán kính R Giải Ta có M (x, y, z) ∈ (S) ⇔ IM = R ⇔ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Chú ý Nói chung tọa độ (x, y, z) điểm nằm mặt biểu diễn qua hai biến phụ dạng   x = f (u, v)   y = g(u, v)    z = h(u, v) ta gọi phương trình tham số mặt S 2.3 MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN z M I E3 O x y E2 E1 Hình 2.3: Ví dụ Lập phương trình tham số mặt cầu đơn vị không gian Oxyz, tức mặt cầu tâm O bán kính Hướng dẫn Lấy điểm M (x, y, z) tùy ý mặt cầu Đặt z M u v E2 y E1 x Hình 2.4:   x   = sin u cos v y = sin u sin v    z = cos u 2.3.2 Phương trình đường Ta biết đường không gian giao hai mặt Do phương trình đường khơng gian Oxyz có dạng  F (x, y, z) =0 (x, y, z) = F Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường trịn tâm O bán kính R nằm mặt phẳng Oxy Hướng dẫn Đường tròn cần viết phương trình giao mặt phẳng Oxy có phương trình z = mặt cầu tâm O bán kính R Do phương trình đường trịn   x2 + y + z = R2 z = 2.4 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG Đường thẳng mặt phẳng 2.4.1 Phương trình tham số đường thẳng Định nghĩa Người ta gọi véctơ khác không véctơ phương đường thẳng giá song song trùng với đường thẳng Bây giờ, mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ qua M0 (x0 , y0 ) cho trước nhận véctơ → − a = (a1 , a2 ) làm véctơ phương Khi −−−→ − a ,t ∈ R M (x, y) ∈ ∆ ⇔ M M0 = t→  x = x0 + a1 t, ⇔ y = y0 + a2 t, t ∈ R (2.1) Biểu thức (2.1) gọi phương trình tham số đường thẳng ∆ mặt phẳng, t ∈ R Hình 2.5: tham số Chú ý i) Nếu a1 = (a2 = 0) phương trình ∆ có dạng  x = x0 , y = y + a t, t ∈ R Khi ∆ song song với trục Oy cắt trục Ox điểm (x0 , 0) Tương tự, a2 = (a1 = 0) ∆ song song với Ox cắt Oy điểm (0, y.) Nếu a1 , a2 = ta có phương trình x − x0 y − y0 = , a1 a2 (2.2) phương trình gọi phương trình tắc đường thẳng ∆ 2.4.2 Phương trình tổng quát đường thẳng Xét lại đường thẳng ∆ − Định nghĩa Véctơ → n gọi pháp véctơ, hay véctơ pháp tuyến, đường thẳng ∆ vng − − − góc với giá đường thẳng ∆ Nói cách khác, → n pháp véctơ ∆ → n ⊥→ a 2.4 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Từ phương trình tắc (2.2) đường thẳng ∆ ta có a2 x − a1 y − a1 x0 + a2 y0 = Ngược lại, phương trình có dạng Ax + By + C = (2.3) phương trình đường thẳng Thật vậy, giả sử cho trước M0 (x0 , y0 ) có tọa độ thỏa mãn phương trình (2.3) Nếu M (x, y) có tọa độ thỏa mãn (2.3) A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = Từ M nằm đường thẳng qua M0 có phương trình tham số có dạng (2.1) với A = a2 , B = −a1 Phương trình (2.3) gọi phương trình tổng quát đường thẳng ∆ qua M0 (x0 , y0 ) nhận → − − a = (a1 , a2 ) làm véctơ phương Rõ ràng trường hợp này, → n = (a2 , −a1 ) = (A, B) pháp véctơ ∆ Nếu phương trình tổng quát (2.3)thỏa mãn A2 + B = gọi phương trình pháp dạng Chú ý Một số trường hợp đặc biệt: i) A = = B, C = Đường thẳng ∆ qua gốc tọa độ ii) A = = C, B = B = = C, A = Đường thẳng ∆ không qua gốc tọa độ iii) A = 0, B = C = Đường thẳng ∆ trùng với trục tung iv) B = 0, A = C = Đường thẳng ∆ trùng với trục hồnh 2.4.3 Phương trình đường thẳng qua điểm với hệ số góc cho trước − Định nghĩa Giả sử đường thẳng ∆ có véctơ phương → a = (a1 , a2 ) với a1 = Ta gọi số thực a2 k = a1 hệ số góc ∆ Chú ý i) Ta không định nghĩa hệ số góc đường thẳng song song với trục tung − − ii) Gọi α góc véctơ phương → a ∆ véctơ đơn vị → e1 Ox Khi hệ số góc ∆ xác định k = tan α Bây giờ, cho đường thẳng ∆ qua M (x0 , y0 ) có hệ số góc k hệ tọa độ Oxy Theo định nghĩa hệ số góc, đặt k = aa21 Khi đó, từ phương trình tham số (2.1) ∆ ta có y = k(x − x0 ) + y0 2.4.4 (2.4) Phương trình đường thẳng có hệ số góc tung độ gốc cho trước Nếu phương trình (2.4), điểm M (x0 , y0 ) giao điểm ∆ trục tung x0 = 0, y0 = b Khi phương trình (2.4) trở thành y = kx + b Ta gọi b tung độ gốc 10 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG 2.4.5 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước Trong hệ tọa độ Descartes Oxy, cho đường thẳng ∆ qua hai điểm phân biệt cho trước M (x1 , y1 ) N (x2 , y2 ) Khi −−→ −−−−→ P (x, y) ∈ ∆ ⇔ M1 P = tM1 M2 y − y1 x − x1 = ⇔ x2 − x1 y2 − y1 (2.5) Chú ý Phương trình (2.5) tương đương với x − x1 y − y =0 x2 − x1 y − y hay x y x1 y 1 = x2 y Hệ Điều kiện cần đủ để ba điểm M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ), M3 (x3 , y3 ) thẳng hàng x1 y 1 x2 y2 = x3 y 2.4.6 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Cho đường thẳng ∆ cắt hai trục tọa độ Ox Oy hai điểm A(a, 0) B(0, b) không trùng với gốc tọa độ Khi theo (2.5) ta có y−0 x−a = 0−a b−0 Rút gọn phương trình ta phương trình sau đây, gọi phương trình theo đoạn chắn ∆: x y + = (2.6) a b Ví dụ Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(5, 0), B(0, −3) Hướng dẫn Áp dụng công thức (2.6) ta 3x − 5y − 15 = 2.4.7 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Định nghĩa Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ký hiệu d(M, ∆), giá trị nhỏ từ M đến điểm N ∈ ∆ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình Ax + By + C = điểm M (x0 , y0 ) Từ M, dựng đường thẳng vuông góc với ∆ cắt ∆ H(x1 , y1 ) Khi d(M, ∆) = −−→ − M H Khi véctơ phương M H đường thẳng M H phương với pháp véctơ → n = (A, B) −−→ → − ∆ Do M H = t n Ta có −−→ − − − − t(A2 + B ) = t(→ n ) = (t→ n )→ n = M H.→ n = A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 ) 12 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG 2.4.8 Vị trí tương đối hai đường thẳng 2.4.9 Góc hai đường thẳng 2.5 MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN 2.5 Mặt phẳng khơng gian 2.5.1 Phương trình tham số mặt phẳng 2.5.2 Phương trình tổng quát mặt phẳng 2.5.3 Phương trình mặt phẳng qua ba điểm cho trước 2.5.4 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn 2.5.5 Phương trình pháp dạng mặt phẳng 2.5.6 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.5.7 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 2.5.8 Góc hai mặt phẳng 13 14 2.6 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG Đường thẳng không gian 2.6.1 Phương trình tham số 2.6.2 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước 2.6.3 Phương trình tổng quát đường thẳng 2.6.4 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 2.6.5 Vị trí tương đối hai đường thẳng 2.6.6 Góc hai đường thẳng 2.6.7 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆:   x   = x + a1 t y = y0 + a2 t,    z = z0 + a3 t t ∈ R, điểm M (x1 , y1 , z1 ) − − Gọi M0 (x0 , y0 , z0 ), → a = (a1 , a2 , a3 ) S diện tích hình bình hành có kích thước → a −−−→ M0 M Khi −−−→ − S |M0 M ∧ → a| d(M, ∆) = → = − → − |a| |a| Hay à d(M, ∆) = 2 a1 a2 a2 a3 a3 a1 + + x1 − x0 y1 − y0 y1 − y0 z1 − z0 z1 − z0 x1 − x0 » a21 + a22 + a23 Ví dụ Tìm khoảng cách điểm A(1, −2, 3) đường thẳng ∆ qua hai điểm B(2, 0, 1) C(3, −1, 2.) √ Đáp số Phương trình ∆ : x − = −y = z − Khi d(A, ∆) = 2.6.8 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo không gian: ∆1 :   x   = x + a1 t y = y1 + a2 t,    z = z1 + a3 t t ∈ R, ∆2 :   x   = x2 + b t y = y2 + b2 t,    z = z2 + b3 t t ∈ R − Đường thẳng ∆1 qua M1 (x1 , y1 , z1 ) nhận → a = (a1 , a2 , a3 ) véctơ phương ∆2 qua → − M2 (x2 , y2 , z2 ) có véctơ phương b = (b1 , b2 , b3 ) Gọi V S thể tích hình hộp 2.7 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG 15 − → − −−−−→ − → − có ba kích thước M1 M2 , → a , b diện tích hình bình hành dựng → a , b Khi d(∆1 , ∆2 ) = a1 a2 a3 b1 b2 b3 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 V = à 2 S a1 a2 a a a a + + b1 b2 b2 b3 b3 b1 Ví dụ Chứng minh hai đường thẳng sau chéo tìm khoảng cách giữ hai đường thẳng ∆1 :  x + y −z−1=0 −3=0 ∆2 : x = y = z − 2x + z Giải Véctơ phương ∆1 tích có hướng hai pháp véctơ hai mặt phẳng x + y − z − = → − − 0, 2x + z − = → a = (1, −3, −2) Véctơ phương ∆2 b = (1, 1, 1) Chọn M1 (−1, −1, 0) ∈ ∆1 M2 (0, 4, 3) ∈ ∆2 Từ d = √426 2.6.9 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng ∆ mặt phẳng α có phương trình ∆:   x   = x + a1 t y = y0 + a2 t, t ∈ R,    z = z0 + a3 t α: Ax + By + Cz + D = khơng vng góc Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu lên mặt phẳng → − − → − − ◊ ◊ (∆, α) = π2 ± (⁄ a ,→ n α ) Từ sin (∆, α) = ± cos (⁄ a ,→ n α ) Từ ◊ sin (∆, α) = » 2.7 |Aa1 + Ba2 + Ca3 + | (a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ) Đường bậc hai mặt phẳng Trong mục ta nghiên cứu đường bậc hai, quan trọng ba đường conic (elip, hypebol, parabol) 2.7.1 Định nghĩa phân loại đường bậc hai Định nghĩa Một đường bậc hai (C) mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxy tập tất điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình ax21 + 2bx1 x2 + cx22 + 2dx1 + 2ex2 + f = 0, a, b, c, d, e, f số thực với a2 + b2 + c2 = (2.8) 16 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG Phương trình gọi phương trình tổng quát đường bậc hai (C) hệ tọa độ Oxy Các số thực a, b, c, d, e, f gọi hệ số phương trình đường bậc hai Hai đường bậc hai gọi trùng hệ số phương trình tổng quát chúng hệ trục toạ độ tỷ lệ với Chú ý i) Phương trình tổng quát đường bậc hai viết dạng ma trận sau Giả sử ta xét phương trình tổng quát đường bậc hai hệ tọa độ Oxy Với điểm M (x1 , x2 ), đặt đ đ đ x1 a b d [M ] = , A= , B= , x2 b c e Khi đó, phương trình tổng quát C viết dạng ma trận [M ]T A[M ] + 2BT [M ] + f = ii) Tồn phương trình bậc hai hai biến thực cho tập nghiệm ∅, chẳng hạn + x22 + = Tuy nhiên phương trình có nghiệm phức Do ta gọi đường bậc hai đường bậc hai ảo x21 Trong chương trình tốn phổ thơng ta biết số đường bậc hai quan trọng elip, đường tròn, hypebol parabol Mục ta thấy mối liên hệ đường bậc hai tổng quát đường bậc hai Định lý sau cho ta phân loại đường bậc hai R2 Định lý Đối với đường bậc hai (C) mặt phẳng ta ln tìm hệ tọa độ vng góc cho phương trình có dạng sau đây: x21 a21 x21 a21 x21 x21 a21 x21 + + + x22 a22 x22 a22 x22 x2 =1 đường elip = −1 =0 đường elip ảo cặp đường thẳng ảo cắt điểm − a22 = − x22 = đường hypebol cặp đường thẳng cắt điểm x22 = 2px1 , p > đường parabol x21 = a, a > cặp đường thẳng song song x21 = −a, a > cặp đường thẳng ảo song song x21 = cặp đường thẳng trùng Các phương trình gọi phương trình tắc đường bậc hai R2 Chứng minh XXXX Giả sử (C) có phương trình tổng qt dạng (2.8) sở trực chuẩn (u) Do A ma trận đối xứng nên có hai giá trị riêng thực λ1 , λ2 thỏa mãn λ1 + λ2 = a + c, λ1 λ2 = ac − b2 Chú ý phương trình đặc trưng A λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 2.7 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG MẶT PHẲNG 17 Dễ kiểm tra A có hai véctơ riêng trực chuẩn (v) = {v1 , v2 } tương ứng với λ1 , λ2 Dùng phép đổi sở [x]u = P [x]v , đường bậc hai (C) có phương trình sở v1 , v2 [ξ1 ξ2 ](P T AP )[ξ1 ξ2 ]T + 2(B T P )[ξ1 ξ2 ]T + f = P T AP ma trận đường chéo với hai phần tử đường chéo λ1 , λ2 Nói cách khác, phương trình (C) sở (v) có dạng λ1 ξ12 + λ2 ξ22 + 2d ξ1 + 2e ξ2 + f = Biện luận phương trình cuối theo hệ số ta trường hợp mệnh đề Tóm lại, đường bậc hai (C) có phương trình tổng qt (2.8), có trường hợp sau: • Nếu ac − b2 > (C) elip (thực ảo); • Nếu ac − b2 < (C) hypebol cặp đường thẳng cắt Do cặp đường thẳng cắt gọi hypebol suy biến; • Nếu ac − b2 = 0, a + c = (C) parabol, cặp đường thẳng thực cắt trùng nhau, cặp đường thẳng ảo song song; • Nếu ac − b2 = 0, a + c = 0, cách tương đương, a = b = c = 0, (C) suy biến thành đường thẳng Như vậy, để nhận dạng đường bậc hai R2 , ta phải đưa phương trình đường bậc hai dạng tắc Từ ta kết luận dạng Ví dụ Nhận dạng đường bậc hai sau đây: i)(C1 ) : 5x21 − 4x1 x2 + 8x22 = 36; ii) (C2 ) : x21 − 4x1 x2 + 4x22 + 4x1 − 3x2 − = Giải i) Đối chiếu với (2.8) ta có đ đ −2 A= , −2 a = 5, b = −2, c = 8, d = e = 0, f = −36, B= Hơn nữa, ∆ = 36 > Theo nhận xét (C1 ) đường elip (thực hay ảo) Để kiểm tra thực hay ảo, ta tiếp tục bước sau Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = λ2 = với hai véctơ riêng trực chuẩn tương ứng 1 2 v1 = [ √ √ ]T , v2 = [− √ √ ]T 5 5 Ma trận chuyển từ sở ban đầu sang sở gồm véctơ riêng A P = √2 √1 − √15 √2 Dùng phép đổi sở này, ta phương trình (C1 ) sở bậc cho elip ii) Tương tự ta có đ a = 5, b = −2, c = 8, d = e = 0, f = −36, ô −2 A= , −2 ξ12 + ξ22 đ = Vậy đường B= −3/2 18 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG Hơn nữa, ∆ = Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = λ2 = với hai véctơ riêng trực chuẩn tương ứng 1 v1 = [ √ √ ]T , v2 = [− √ √ ]T 5 5 Ma trận chuyển từ sở ban đầu sang sở gồm véctơ riêng A P = √2 √1 − √15 √2 Dùng phép đổi sở này, ta phương trình (C1 ) sở 10ξ2 ξ1 5ξ22 + √ − √ + = 5 Dùng phép đổi sở ta thấy đường bậc cho parabol 2.7.2 Tâm đường bậc hai Cho đường bậc hai C có phương trình (2.8) Điểm I gọi tâm C chọn I làm gốc tọa độ d = e = Tức phương trình C khơng có hệ số x1 x2 Nếu tâm I đường bậc hai nằm đường bậc hai gọi điểm kỳ dị đường bậc hai Chú ý Tâm đường bậc hai tâm đối xứng đường bậc hai Thật vậy, I tâm đường bậc hai C phương trình C XXXX 2.7.3 Phương đường tiệm cận đường bậc hai 2.7.4 Đường kính đường bậc hai 2.7.5 Tiếp tuyến đường bậc hai 2.7.6 Đường chuẩn đường bậc hai 2.8 MẶT BẬC HAI TRONG KHƠNG GIAN 2.8 19 Mặt bậc hai khơng gian Định nghĩa Một mặt bậc hai tập (C) không gian véctơ Euclide E = R3 gồm véctơ có tọa độ sở trực chuẩn E thỏa mãn phương trình [x]T A[x] + 2B T [x] + f = 0, A, B ma trận đối xứng thực cấp ma trận thực cột dịng f ∈ R Phương trình gọi phương trình tổng quát mặt bậc hai Tương tự trường hợp đường bậc hai, ma trận A có ba giá trị riêng thực với véctơ riêng tương ứng trực chuẩn Do ta có phân loại mặt bậc hai sau Dựa vào dạng chuẩn tắc mặt bậc hai ta phân loại mặt bậc hai gồm 17 loại sau đây, gọi phương trình tắc mặt bậc hai R3 Định lý Đối với mặt bậc hai (C) ta tìm sở trực chuẩn R3 cho phương trình có dạng sau đây: 20 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG x21 a21 + x21 a21 x21 + a22 + a23 = −1 + x22 + x23 = x21 a21 + x22 a22 − x23 a23 =1 mặt hyperboloid tầng x21 a21 + x22 a22 − x23 a23 = −1 mặt hyperboloid tầng x21 a21 + x22 a22 − x23 a23 =0 mặt nón x21 a21 + x22 a22 = 2x3 x21 a21 − x22 a22 = 2x3 x21 a21 + x22 a22 =1 10 11 x21 a21 x21 a21 x22 a22 + x2 + + x22 a22 x22 a22 x23 a23 =1 x2 mặt ellipsoid mặt ellipsoid ảo tập điểm mặt elliptic paraboloid mặt hyperbolic paraboloid (mặt yên ngựa) = −1 mặt trụ elliptic (mặt elliptic cylinder) mặt trụ elliptic ảo =0 (suy biến thành) đường thẳng 12 x21 a21 − x22 a22 =1 13 x21 a21 − x22 a22 =0 mặt trụ hyperbolic (mặt hyperbolic cylinder) cặp mặt phẳng giao mặt trụ parabolic (mặt parabolic cylinder) 15 x22 = a2 , a = cặp mặt phẳng song song 16 x22 = cặp mặt phẳng trùng 2 17 x2 + a = 0, a = cặp mặt phẳng ảo song song 14 x22 = 2px1 Trong mặt 1.-3 gọi mặt elliptic; mặt 4.-6 gọi mặt hyperbolic; mặt 7.-8 gọi mặt parabolic; mặt lại thuộc loại mặt trụ 2.8 MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN 21 Bài tập Đường thẳng mặt phẳng Bài tập 2.1 a) Lập phương trình tham số đường thẳng qua điểm M (3, −5) nhận véctơ a = (−4, 2) làm véctơ phương b) Lập phương trình tham số đường thẳng qua điểm M (6, −4) có hệ số góc k = −2 c) Lập phương trình tham số đường thẳng cắt trục Ox Oy điểm A(3, 0) B(0, −5) d) Lập phương trình đường phân giác góc C tam giác ABC với A(4, 4), B(−6, −1) C(−2, −4) e) Qua điểm M (−4, 10), người ta dựng đường thẳng (∆) cắt trục tọa độ theo đoạn thẳng Lập phương trình đường thẳng (∆) f) Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(7, 4) vng góc với đường thẳng 3x − 2y + = g) Cho ba đỉnh tam giác A(4, 6), B(−4, 0), C(−1, −1) Lập phương trình đường cao vẽ từ đỉnh A h) Lập phương trình cạnh tam giác biết đỉnh A(3, −4) phương trình hai đường cao 7x − 2y − = 2x − y − = Bài tập 2.2 Tìm điểm N đối xứng với điểm M (−2, 9) qua đường thẳng 2x − 3y + 18 = Bài tập 2.3 Trong tam giác ABC biết cạnh AB : 4x+y −12 = 0, đường cao BH : 5x−4y −15 = 0, đường cao AH : 2x + 2y − = Viết phương trình hai cạnh cịn lại đường cao thứ ba Bài tập 2.4 a) Người ta gọi chùm đường thẳng tập hợp tất đường thẳng mặt phẳng qua điểm, gọi điểmñcủa chùm Cho hai đường thẳng cắt (δ1 ) : A1 x + B1 y + C1 = ô A1 B1 (δ2 ) : A2 x + B2 y + C2 = với = Chứng minh phương trình chùm đường thẳng A2 B2 xác định (∆1 ), (∆2 ) p(A1 x + B1 y + C1 ) + q(A2 x + B2 y + C2 ) = 0, p, q khơng đồng thời b) Áp dụng: • Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng 3x − 5y + = 5x − 2y + = song song với đường thẳng 2x − y + = • Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng 3x−y = 0, x+4y −2 = 0, vuông góc với đường thẳng x + 7y − = • Lập phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng x+y−6 = 2x+y−43 = chắn hai trục tọa độ đoạn Bài tập 2.5 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau đây: a) 2x − 5y − = 0, x = + t, y = −9 − t; b) 6x − 3y + = x = + t, y = −3 + 2t; c) 4x + 5y − = x = −6 + 5t, y = − 4t Bài tập 2.6 Tìm giao điểm đường thẳng (∆1 ) : x = + t, y = − t (∆2 ) : x = 3t, y = −2t 22 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG Bài tập 2.7 a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng sau đây: x = t, y = − 3t; x = − 5t, y = − 7t b) Viết phương trình tham số đường thẳng 3x + 6y + = Bài tập 2.8 Cho hai điểm A(3, 3), B(0, 2) Tìm đường thẳng x + y − = điểm nhìn đoạn AB góc π4 Bài tập 2.9 Lập phương trình đường phân giác góc tù góc nhọn tạo cặp đường thẳng a) 3x + y + = 0, 3x + y − = 0; b) x + 2y = 0, 3x + 4y = Bài tập 2.10 Lập phương trình hai đường thẳng theo thứ tự qua A(0, 4), B(5, 0) biết đường phân giác góc tạo nên hai đường thẳng xác định phương trình 2x − 2y + = Bài tập 2.11 a) Lập phương trình tổng quát mặt phẳng sau đây:   x  = + 3u − 4v a1 )  y = − v   z = + 3u   x  =u+v a2 )  y = u − v   z = + 6u − 4v b) Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M (2, 6, −3) vng góc với mặt phẳng tọa độ c) Lập phương trình mặt phẳng qua (3, 5, −7) chắn ba trục tọa độ ba đoạn d) Lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm A(3, 5, −7), B(7, 7, 8) chắn hai trục Ox, Oy đoạn e) Cho bốn điểm A(5, 1, 3), B(1, 6, 2), C(5, 0, 4) D(4, 0, 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD f) Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ, vng góc với mặt phẳng 5x − 2y + 5z − 16 = tạo với mặt phẳng x − 4y − 8z + 12 = góc π4 g) Lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 2x − y + 2z − = cách điểm (1, 2, 3) khoảng Bài tập 2.12 a) Người ta gọi chùm mặt phẳng tập hợp tất mặt phẳng chứa đường thẳng cho trước Cho hai mặt phẳng giao nhau: α1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ñ α2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, ô A B1 C1 rank = = Chứng minh phương trình chùm mặt phẳng xác định A2 B2 C2 α1 , α2 có dạng αp,q : p(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + q(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0, với p, q không đồng thời b) Áp dụng: • Lập phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng x+2y −z = 0, x+y −z +5 = vng góc với mặt phẳng 7x − y + 4z − = • Lập phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng x+2y+3z−4 = 0, 3x+z−5 = chắn hai trục Oy, Oz đoạn 2.8 MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN 23 • Lập phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo hai mặt phẳng 7x + y − = 0, 3x + 5y − 4z + = Bài tập 2.13 Xác định góc hai mặt phẳng 2x + 3y − 4z + = 0, 2x + 2y + 2z − = Bài tập 2.14 Tìm trục Oz điểm cách diểm (2, 3, 4) mặt phẳng 2x + 3y + z − 17 = Bài tập 2.15 Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: a) d A(3, 5, 1) song song với đường thẳng + 4t, y = −3t, z = −3 b) d A(0, −5, 4) song song với đường thẳng x + 2y + = 0, z = Bài tập 2.16 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau Nếu chúng cắt nhau, viết phương trình mặt phẳng chứa chúng tính góc chúng; viết phương trình đường phân giác góc tù tạo nên chúng Nếu chúng chéo nhau, tính khoảng cách góc chúng   x    x    x     x   = + 2t a) y = + t   z = + 4t, = + 2t b) y = − 2t   z = −t,   x   = + 4t c) y = −6t   z = −1 − 8t,   x   = + 2t d) y = 2t   z = t,   x   = 9t e) y = 5t   z = −3 + t, = + 3t y = −1 − 2t    z = −2 + t = −2t y = −5 + 3t    z =   x   = − 6t y = + 9t    z = 12t   x   = 11 + 8t y = + 4t    z = + t  2x − 3y − 3z − = x − 2y + z + =  3x − 4y  4x + y − 2z = f)  2x + y − 2z = 0,   x   =3+t g) y = − t   z = + 2t, y − 6z − = − 3z + =   x   = −t y = + 3t    z = −3t Bài tập 2.17 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d mặt phẳng α cho sau: a)   x  = −1 + 2t y = + 4t    z = 3t, 3x − 3y + 2z − = 24 CHƯƠNG TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG b) c) d)   x   = −1 + 2t y = + 4t    z = 3t, 3x − 3y + 2z − =  2x + 3y + 6z − 10 = 0, x + y + z + = y−1 z−4 x − 13 = = 3 y + 4z + 17 = x + 2y − 4z + = Bài tập 2.18 a) Lập phương trình đường thẳng sóng song với đường thẳng x−3y+z = 0, x+y−z+4 = cắt hai đường thẳng x = + t, y = −1 + 2t, z = 4t; x = −2 + 3t, y = −1, z = − t b) Lập phương trình mặt phẳng chứa trục Oy song song với đường thẳng x + 4y − 2z + = 0, 3x + 7y − 2z = Bài tập 2.19 Gọi A, B, C ba giao điểm mặt phẳng 3x − y + 4z − 12 = với ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz Viết phương trình đường cao CH tam giác ABC tính độ dài Bài tập 2.20 Tính khoảng cách từ điểm (1, 2, 5) đến đường thẳng sau đây:  2x + y + z − = 0, a)  3x + y + 2z − =   x   =t b) 1 − 2t   z = +t  x + y − zz + = 0, c)  4x − 3z + = Đường bậc hai Bài tập 2.21 Cho đường bậc hai S: ax2 + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f = Chứng minh a) S có tâm ac − b2 = b) Nếu ac − b2 = S có vơ số tâm khơng có tâm Bài tập 2.22 Hãy đưa đường bậc hai sau dạng tắc Tìm tâm, phương tiệm cận đường tiệm cận (nếu có), đường chuẩn chúng Hãy chọn điểm thuộc đường bậc hai viết phương trình tiếp tuyến chúng điểm Viết đường kính liên hợp với phương (1, 2) S1 : x2 + 4y + 2x − 4y + = 0; S2 : 3x2 − 2xy − y + 6x + 2y − = 0; S3 : x2 + 2xy + 2y − 4x − 2y + = 0; S4 : 9x2 + 6xy + 2y − 6x + 2y + = 0; S5 : 3x2 − 6xy + 4x − 2y + = 0; S6 : x2 + 4xy + 4y − 2y − = 0; S7 : x2 − 4xy + 4y + 2x − 4y = 0; S8 : 4x2 − 4xy + y + 4x − 2y + = 0; 2.8 MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN 25 S9 : 9x2 + 12xy + 4y − 6x − 4y + = 0; Bài tập 2.23 Chứng minh cạnh hình chữ nhật nội tiếp elip song song với trục đối xứng elip Bài tập 2.24 Chứng minh tích khoảng cách từ điểm tùy ý hypebol đến hai đường tiệm cận số không đổi Bài tập 2.25 Qua tiêu điểm parabol y = 2px, dựng dây cung vng góc với trục parabol Tìm độ dai dây cung Bài tập 2.26 Người ta gọi M nhìn đường conic góc ϕ góc hai tiếp tuyến đường conic qua điểm M ϕ Tìm quỹ tích điểm M nhìn x2 y a) elip + = góc vng; a b x2 y b) hypebol − = góc vuông; a b c) parabol y = 2px góc vng Mặt bậc hai Bài tập 2.27 Chỉ mục điểm chùm, 18 chùm mặt phẳng, 19 pháp véctơ, phương trình đường, phương trình mặt, phương trình tắc đường thẳng mặt phẳng, phương trình pháp dạng đường thẳng phặt phẳng, phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng, phương trình theo đoạn chắn đường thẳng mặt phẳng, 10 véctơ phương đường thẳng, 26