Giai tich ham nhieu bien

bé s¸ch to¸n häc cao cÊp - viƯn to¸n häc Đinh Thế Lục Phạm Huy Điển Tạ Duy Phợng Giải tích hàm nhiều biến Những nguyên lý tính toán thực hành nhà xuất đại học quốc gia hà nội Hội Đồng biên tập Hà Huy Khoái (Chủ tịch) Ngô Việt Trung Phạm Huy Điển (Th ký) Giải tích hàm nhiều biến Những nguyên lý tính toán thực hành Đinh Thế Lục Phạm Huy Điển Tạ Duy Phợng Bộ sách Toán học cao cÊp - ViƯn To¸n häc Lời nói đầu C uốn sách xem tập giáo trình giải tích hàm số biến, Nhà xuất Giáo dục ấn hành năm 1998, với tựa đề "Giải tích Tốn học: Những ngun lý tính tốn thực hành" Trong giáo trình khảo sát dãy số, chuỗi số, hàm số phép tính vi tích phân không gian chiều (trục số thực) Trong tập đối tượng khảo sát khơng gian nhiều chiều, khác biệt hai giáo trình Để xây dựng phép tính vi tích phân khơng gian nhiều chiều, trước hết phải hiểu rõ cấu trúc không gian Chương đề cập tới hai cấu trúc quan trọng không gian nhiều chiều, cấu trúc tuyến tính cấu trúc khoảng cách, thơng qua ví dụ điển hình khơng gian \ n Để giáo trình mang tính độc lập định, không gian xây dựng trực tiếp, mà khơng dựa vào khái niệm khơng gian tuyến tính tổng qt giáo trình Đại số tuyến tính Để tránh cồng kềnh, khái niệm kết chương chọn lọc tới mức tối thiểu từ mơn Đại số tuyến tính, Tơpơ Giải tích hàm, vừa đủ sử dụng cho chương sau, đồng thời dẫn dắt người học làm quen với mơn quan trọng Các chương từ đến không thiết lập không gian nhiều chiều biết Giải tích biến mà cịn đưa khái niệm xuất khơng gian nhiều chiều Chương trình bày kiến thức chuỗi Fourier phép biến đổi tích phân Fourier Chương cuối giới thiệu sơ lược hệ phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Hai chương sau nhằm mục đích củng cố kiến thức vi tích phân học chương trước, rèn luyện kỹ tính tốn thực hành trang bị kiến thức để học viên tìm hiểu mơn học khác Vật lý, Cơ học, Sinh học, Nếu khái niệm, kết chứng minh Giải tích biến có tính trực quan cao, dễ hiển thị, sang khơng gian nhiều chiều tính trừu tượng tăng lên rõ rệt Tuy nhiên, đẹp Toán học nằm trừu tượng ích Tốn học nằm cụ thể Để hiểu rõ hai mặt Toán học đồng thời nhằm rèn luyện phương pháp suy luận tốn học cho sinh viên, giáo trình hai cách tiếp cận thường sử dụng đan xen nhau: cách từ cụ thể tới trừu tượng ngược lại, từ trừu tượng tới cụ thể tuỳ theo khái niệm, định lý Mỗi kết phát biểu chứng minh khơng gian tổng qt n chiều, người đọc hạn chế trường hợp n=2 n=3 để hiểu dễ dàng thấu đáo Trong tài liệu này, cố gắng đưa vào chứng minh đầy đủ định lý lớn “hóc búa” thường bị né tránh giáo trình hành Những chứng minh khó chứa đựng phương pháp suy luận điển hình cần cho việc rèn luyện tư (nhất học sinh cao học muốn sâu vào lĩnh vực Giải tích Tốn học) Người đọc i khơng cần nhớ chi tiết, mà cần hiểu chứng minh xem đạt yêu cầu Việc minh hoạ tính tốn khơng gian nhiều chiều vốn vấn đề khó khơng thực thủ cơng, chủ đề: Vẽ đồ thị không gian, tính tích phân bội, tính vi phân hàm ẩn vectơ nhiều biến, tính tốn biến đổi tích phân Fourier, giải phương trình đạo hàm riêng, Cái khó bắt đầu từ việc tìm cho ví dụ xử lý Chính vậy, lĩnh vực ln ln mơ hồ hầu hết học viên (từ đại học đến cao học) Nhằm xố bỏ tình trạng này, chúng tơi mạnh dạn đưa vào giáo trình phần hướng dẫn tính tốn thực hành máy, sau chương lý thuyết Qua người đọc thấy ngày nay, với máy tính phần mềm tốn học thơng dụng (có sẵn thị trường Internet), dịng lệnh đơn giản tương tự ngơn ngữ tốn học thơng thường, người ta "sờ thấy được" mà trước khơng thể hình dung Nếu chưa có sẵn chương trình tính tốn máy cá nhân, người đọc truy cập tới số trung tâm cung cấp dịch vụ tính tốn qua mạng (thường miễn phí) để thực hành tính tốn (bạn đọc có nhu cầu xin liên hệ với tác giả để biết thêm thông tin chi tiết) Đối với người học chưa có điều kiện tiếp xúc với máy tính, việc đọc phần có tác dụng, biết chế giao tiếp người với máy biết máy tính thay người q trình tính tốn Quan trọng hơn, qua ví dụ minh hoạ tính tốn máy trình bày sách, người học nắm kiến thức toán học cách sâu sắc hơn, tiếp cận tới điều mà trước tưởng khơng thể Khi khơng cịn bị mặc cảm tốn hóc búa, người ta thấy tốn học khơng cịn huyền bí tự tin việc đón nhận tốn khó nảy sinh từ thực tiễn sản xuất Chúng tơi hy vọng sách cẩm nang tốt cho muốn hiểu sâu sắc Giải tích tốn học nói chung, giải tích hàm số nhiều biến nói riêng Do đó, hữu ích học sinh cao học, thầy trò trường Tổng hợp, Sư phạm, Kỹ thuật, Tập thể tác giả xin chân thành cảm ơn giáo sư Nguyễn Duy Tiến (ĐHQG Hà Nội) giáo sư Đoàn Quỳnh (ĐHSP Hà Nội) đọc kỹ thảo cho nhận xét quý báu Việc trình bầy chủ đề phức tạp khơng thể tránh khỏi sai sót, mong tiếp tục nhận phê bình, góp ý đồng nghiệp học viên gửi theo địa chỉ: Viện Toán học, Trung tâm Khoa học Tự nhiên Công nghệ Quốc gia, 18-Đường Hoàng Quốc Việt, Quận Cầu Giấy, Hà Nội CÁC TÁC GIẢ ii Chương Không gian Rn & Không gian metric 1.1 Không gian Rn 1.1.1 Điểm không gian n-chiều 1.1.2 Vectơ không gian n-chiều 1.1.3 Tích vơ hướng 1.1.4 Chuẩn vectơ 1.1.5 Ánh xạ tuyến tính 1.2 Không gian metric 10 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 10 1.2.2 Tập đóng tập mở không gian metric 12 1.2.3 Hội tụ không gian metric 15 1.2.4 Tính đầy đủ khơng gian metric 17 1.2.5 Tính compact khơng gian metric 19 1.2.6 Ánh xạ không gian metric 24 1.2.7 Không gian siêu metric 27 1.1 Không gian Rn Trong giáo trình làm việc khơng gian Rn - ví dụ đặc biệt khơng gian n-chiều Để giáo trình có tính độc lập định, chúng tơi trình bày lại cách ngắn gọn việc xây dựng không gian Rn Độc giả quan tâm đến lý thuyết không gian n-chiều nói chung xin xem giáo trình Đại số tuyến tính Độc giả học qua giáo trình Đại số tuyến tính bỏ qua phần Giải tích hàm nhiều biến 1.1.1 Điểm không gian n-chiều Ta quen thuộc với cách dùng số để biểu diễn điểm đường thẳng (khi đường thẳng cho sẵn đơn vị dài) Ta biết việc dùng cặp số (x,y) để biểu diễn điểm mặt phẳng có hệ tọa độ Descartes Tương tự vậy, người ta sử dụng số (x,y,z) để biểu diễn điểm khơng gian Đường thẳng cịn gọi khơng gian 1-chiều, mặt phẳng cịn gọi không gian 2-chiều, không gian vật lý xung quanh ta cịn gọi khơng gian 3-chiều Như vậy, số biểu diễn điểm không gian 1-chiều, cặp số biểu diễn điểm không gian 2-chiều, số biểu diễn điểm không gian 3-chiều Tuy rằng, ta cho minh họa hình học cách biểu diễn điểm khơng gian có số chiều lớn 3, cách khái quát hóa, người ta dùng n số để biểu diễn điểm không gian n-chiều Không gian n-chiều với n ≥ tưởng tượng khái qt hóa nhà tốn học, mà chúng thật tồn vật lý, kinh tế, xã hội Thí dụ để biểu diễn nhiệt độ điểm khơng gian xung quanh ta ngồi 3-chiều thông thường ta phải thêm chiều thời gian Hoặc để biểu diễn tình trạng sức khỏe người ta phải dùng nhiều số: chiều cao, trọng lượng, vịng ngực, huyết áp, độ thính, tầm nhìn Chính xác hơn, với số tự nhiên n cho trước, ta có: Định nghĩa Một điểm khơng gian n-chiều n số có thứ tự ( x1 , x2 , , xn ) Người ta thường ký hiệu điểm không gian n-chiều chữ đậm, thí dụ x, viết x = ( x1 , x2 , , xn ) Số xi số gọi tọa độ thứ i điểm x Giả sử có điểm không gian n-chiều a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) , ta định nghĩa tổng chúng (a+b) điểm không gian n-chiều với tọa độ (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) , ta định nghĩa tích điểm a với số λ điểm với tọa độ (λa1 , λa2 , , λan ) Thí dụ Trong khơng gian 3-chiều, với a = (1,3,5), b = (2,0,1), λ = 7, ta có a+b = (3,3,6) λa = (7,21,35) Người ta ký hiệu điểm (trong khơng gian n-chiều) có tất tọa độ (tức = (0,0, ,0)) gọi điểm gốc, cịn -a điểm (-1)a (tức điểm có tọa độ ngược dấu với tọa độ điểm a) Khi dễ dàng kiểm tra phép tính thỏa mãn luật sau: Chương Không gian Rn không gian metric (1) (a + b) + c = a + (b + c) ; (2) a + b = b + a ; (3) λ(a + b) = λa + λb ; (4) (λ + µ)a = λa + µa (λµ)a = λ(µa) , với số λ, µ; (5) + a = a + = a với a ; (6) 1.a = a a + (-a) = Từ người ta quy ước viết a - b thay cho a +(- b) Chứng minh đẳng thức dễ dàng, người đọc tự làm tập Để làm thí dụ, chứng minh đẳng thức (3) Theo định nghĩa a + b = (a1 + b1 , , an + bn ) , nên λ (a + b) = (λ (a1 + b1 ), , λ (an + bn )) = (λa1 + λb1 , , λan + λbn ) = λa + λb 1.1.2 Vectơ không gian n-chiều Người ta gọi cặp điểm a, b không gian n-chiều vectơ buộc (hay vectơ định vị) không gian n-chiều b Vectơ xác định cặp điểm a, b ký hiệu ab Người ta gọi a điểm đầu, b điểm cuối, gọi ab vectơ định vị a Hai vectơ ab cd gọi tương đẳng chúng thỏa mãn điều kiện b−a = d −c a b-a Hình 1.1 Theo định nghĩa đó, vectơ ab tương đẳng với vectơ định vị gốc có điểm cuối b-a Rõ ràng, có vectơ định vị gốc tương đẳng với vectơ cho trước (vì dễ thấy vectơ tương đẳng mà định vị gốc điểm cuối chúng trùng nhau) Điều minh họa trường hợp 2-chiều hình vẽ bên Vectơ định vị gốc xác định hoàn tồn điểm cuối nó, khơng gian n-chiều ta có mối tương quan 1-1 điểm vectơ định vị gốc Như n số xem tọa độ điểm a hay vectơ định vị gốc 0a , thuận tiện người ta viết vectơ cách đơn giản a hay chí a, trường hợp khơng sợ xảy nhầm lẫn Hai vectơ ab cd gọi song song tồn số λ ≠ cho b − a = λ (d − c ) Khi số λ dương ta nói chúng hướng (hay chiều), trường hợp ngược lại ta nói chúng ngược hướng (hay ngược chiều) Giải tích hàm nhiều biến Như vậy, hai vectơ song song với vectơ định vị gốc tương đẳng với chúng sai khác hệ số (khác 0) Nghĩa là, khái niệm song song hồn tồn phù hợp với biết trường hợp khơng gian 2-chiều 3-chiều (trong giáo trình Hình học giải tích) 1.1.3 Tích vơ hướng Định nghĩa Tích vô hướng vectơ a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) số (ký hiệu a.b ) xác định sau: a.b := a1b1 + a2b2 + + an bn (Trong số giáo trình, để phân biệt tích vơ hướng vectơ với tích thơng thường số, người ta cịn ký hiệu tích vơ hướng vectơ a b (a,b) hay a , b Tuy nhiên, giáo trình này, cần phân định rõ khác biệt vectơ với số thông thường, dùng phông chữ đậm để biểu diễn vectơ, không xảy lẫn lộn khái niệm nói Vì vậy, sử dụng cách ký hiệu đơn giản trình bày trên, nhiều tài liệu nước nay, sử dụng ký hiệu thấy cần thiết) Tính chất Từ định nghĩa ta thấy tích vơ hướng vectơ có tính chất sau: 1) a.b = b.a ; 2) a.(b + c ) = a.b + a.c = (b + c ).a ; 3) (α.a ).b = α.(a.b) , với số α ; 4) a.a ≥ , a.a = a = Chứng minh Việc kiểm tra Tính chất dễ dàng dành lại cho người đọc Ta kiểm tra tính chất cịn lại Đẳng thức đầu Tính chất suy từ nhận xét sau a.( b + c) = a1 (b1 + c1 ) + a2 (b2 + c2 ) + + an (bn + cn ) = = (a1b1 + a2b2 + + an bn ) + (a1c1 + a2 c2 + + an cn ) = a.b + a c đẳng thức sau suy từ Tính chất Phần xi Tính chất có từ định nghĩa, cịn phần ngược lại rút từ nhận xét số (a1 , a2 , , an ) có phần tử khác 0, thí dụ , a.a = a12 + a22 + + an2 ≥ ai2 > Các tính chất kiểm tra xong Chương Không gian Rn không gian metric Để cho thuận tiện người ta hay viết a thay cho a.a Lưu ý quy ước mang tính hình thức khơng có liên quan đến phép lũy thừa (hồn tồn vơ nghĩa viết a ) Tuy nhiên người đọc dễ dàng kiểm tra “hằng đẳng thức” tương tự sau đây: (a + b) = a + 2a.b + b , (a − b) = a − 2a.b + b Hai vectơ a b gọi vng góc với a.b = Trong trường hợp không gian 2-chiều 3-chiều khái niệm vng góc hồn tồn trùng hợp với khái niệm vng góc thơng thường 1.1.4 Chuẩn vectơ Bổ đề sau có tên bất đẳng thức Schwarz đóng vai trị quan trọng lý thuyết vectơ Bổ đề (Schwarz) Với vectơ a, b ta ln có (a.b) ≤ (a.a ).(b.b) Chứng minh Với a = bất đẳng thức hiển nhiên Khi a ≠ từ Tính chất ta có (t a + b, t a + b) ≥ , với số t Suy a 2t + 2abt + b ≥ , với t Theo định lý dấu tam thức bậc (biến t) ta có: (ab) − a b ≤ Đây điều cần chứng minh Định nghĩa Chuẩn (hay độ dài) vectơ a, ký hiệu ||a||, số xác định sau: ||a|| = a.a Dưới dạng tọa độ cơng thức có nghĩa ||a|| = a12 + a22 + + an2 , trường hợp khơng gian 2-chiều 3-chiều hồn tồn trùng hợp với cơng thức tính độ dài theo định lý Pythagoras Rõ ràng vectơ có chuẩn tất tọa độ Từ bổ đề Schwarz, sau lấy vế, ta thu công thức hay sử dụng sau |(a.b)| ≤ ||a||.||b||