Giải tích hàm nhiều biến

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 1: Giới hạn liên tục • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (2/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Mục tiêu mơn học Tốn Mơn học cung cấp kiến thức giải tích hàm nhiều biến Sinh viên sau kết thúc môn học nắm vững kiến thức tảng: hàm nhiều biến, giới hạn kép liên tục, đạo hàm riêng vi phân, đạo hàm theo hướng, khai triển Taylor, Maclaurint hàm nhiều biến, ứng dụng đạo hàm riêng: phương trình mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ, ứng dụng tìm cực trị; cách tính tích phân bội: bội 2, bội 3; tích phân đường: loại 1, loại 2; tích phân mặt: loại 1, loại ứng dụng hình học, học loại tích phân này; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; trường véctơ Giới hạn liên tục Đạo hàm theo hướng Ứng dụng đạo hàm riêng Tích phân kép Tích phân bội ba Tích phân đường loại loại Tích phân mặt loại loại Trường véctơ Tích phân phụ thuộc tham số Nhiệm vụ sinh viên Đi học đầy đủ (vắng 20% tổng số buổi học bị cấm thi!) Làm tất tập cho nhà Đọc trước đến lớp Đánh giá, kiểm tra Thi học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: hình thức tự luận + điền kết (80%) Tài liệu tham khảo Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Giải tích nhiều biến NXB Đại học quốc gia Ngơ Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Bài tập toán cao cấp 3 Đỗ Cơng Khanh Giải tích nhiều biến NXB Đại học quốc gia James Stewart Calculus, second edition, 2000 www.tanbachkhoa.edu.vn Nội dung 0.1 – Hàm hai biến 0.2 – Các khái niệm tôpô Rn 0.3 – Các mặt bậc hai 0.4 – Giới hạn 0.5 – liên tục I Hàm hai biến - Ví dụ Nhiệt độ T điểm bề mặt trái đất thời điểm t cho trước phụ thuộc vào kinh độ x vĩ độ y điểm Chúng ta coi T hàm theo hai biến x y, ký hiệu T = T(x,y) Ví dụ Thể tích V bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r chiều cao h Thực tế ta biết V = π r h Khi V hàm hai biến theo r h: V (r , h) = π r h I Hàm hai biến - Định nghĩa hàm hai biến Cho D ⊆ R Hàm hai biến ánh xạ f :D →R (x , y ) a f (x , y ) Ký hiệu: f = f (x , y ) D gọi miền xác định f Miền giá trị f: E = {a ∈ R | ∃( x, y ) ∈ D : a = f ( x, y )} Nếu f cho biểu thức đại số: Miền xác định tập hợp tất giá trị x y, cho biểu thức có nghĩa Miền giá trị tập hợp tất số thực mà hàm nhận I Hàm hai biến - Ví dụ Hàm hai biến f ( x, y ) = x + y +1 x− y Miền xác định: D = {(x , y ) ∈ R | x + y + ≥ 0, x ≠ y } 3+ +1 f (3,2) = = 3−2 Ví dụ Hàm hai biến f (x , y ) = x + y 2 Miền xác định: D = R Miền giá trị: E f = R + = [0, +∞) f (x + y , x − y ) = (x + y )2 + (x − y )2 = 2(x + y ) f (x , x ) = x + x = 2x I Hàm hai biến - Ví dụ Hàm hai biến x f ( x, y ) = y +1 Miền xác định: D = {(x , y ) ∈ R | y ≠ −1} Miền giá trị: E f = R Ví dụ Hàm hai biến f (x , y ) = y +1 Miền xác định: D = {(x , y ) ∈ R | y ≠ −1} Miền giá trị: E f = R \ {0}  2−1 e x + y , neáu (x , y ) ≠ (0,0) Ví dụ Hàm hai biến f (x , y ) =   0, neáu (x , y ) = (0,0) Miền xác định: D = R Miền giá trị: E f = [0,1) V Liên tục - Định nghĩa Hàm số f(x,y) gọi liên tục ( x0 , y0 ) , lim ( x , y )→( x0 , y0 ) f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) Hàm gọi liên tục liên tục điểm mà xác định Tổng, hiệu, tích hai hàm liên tục liên tục Thương hai hàm liên tục liên tục hàm mẫu khác Hợp hai hàm liên tục liên tục (tại điểm thích hợp) V Liên tục - Định nghĩa Các hàm sau gọi hàm sơ cấp bản: 1) Hàm hằng; 2) hàm mũ; 3) hàm lũy thừa; 4) hàm lượng giác; 5) hàm lượng giác ngược; 6) hàm logarit Định nghĩa Hàm thu từ hàm sơ cấp hữu hạn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai gọi hàm sơ cấp Định lý Hàm sơ cấp liên tục điểm mà xác định V Liên tục Ví dụ Tìm điểm gián đoạn hàm sau xy f ( x, y ) = x+ y Đây hàm sơ cấp nên liên tục điểm mà xác định Suy điểm gián đoạn hàm số đường thẳng x + y = V Liên tục Ví dụ Khảo sát tính liên tục hàm sau:  sin( x3 + y ) ,  f ( x, y ) =  x + y  0,  0≤ ≤| x | + | y | x +y ( x, y ) = (0, 0) sin( x3 + y ) sin( x3 + y ) sin t t →0 =  →1 3 t x +y x3 + y ( x, y ) ≠ (0, 0) x2 + y ⇒ lim ( x , y )→(0,0) sin( x3 + y ) x3 + y = ×2 3 x +y x + y2 f ( x, y ) = 1.0 = = f (0,0) Suy f liên tục (0,0) Vậy hàm cho liên tục điểm mặt phẳng V Liên tục Ví dụ Tìm tất giá trị a để hàm số liên tục điểm (0,0)  x2 − y ,  f ( x, y ) =  x + y  a,  Ta có lim ( x , y )→(0,0) ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0) f ( x, y ) không tồn Vậy hàm không liên tục (0,0) Không tồn a VI Bài tập Tìm miền xác định miền giá trị hàm 1) f ( x, y ) = − x − y 2) f ( x, y ) = e x2 − y 3) f ( x, y ) = e −1 x2 + y 4) f ( x, y ) = ln( y − x + 8) y 5) f ( x, y ) = arcsin x 6) f ( x, y ) = x −y VI Bài tập Vẽ mặt bậc hai sau: 8) z = − x − y 1) z = 2) z = x + y 9) z = + x + y 3) z = − x − y 10) x + y + z = 4) z = x 11) z = x 5) z = − y 12) x + y = x + y x2 y 6) + =1 13) x + y + z = 7) y = + x 14) 2x + y + z = VI Bài tập Vẽ khối sau: 1) x + y = z; z = 2) x + y = z; x + z = 3) x + y = 1; z = 1; z = 4) x + y = 1; x + y = z; x + y = − z 5) y = − x ; y = 0; z = 0; z = x2 y 6) + ≤ 1; x + y + z = 4; z ≥ 7) z = − y ; z = y + 2; x = 0; x = VI Bài tập Vẽ khối sau (tiếp theo) 8) x + y = x; x + z = 2; x − z = 9) y = x; y = x; x = 1; z = x + y ;2 z = x + y 10) y = + x ; z = x; y = 5; z ≥ 11) z = x + y ; z − = − x − y 12) z = x + y ; y = x ; y = 1; z = 13) y = x ; y = x ; z = 0; x + z = 14) x = 1; x = 2; y + z = 4; y + z = VI Bài tập Tìm giới hạn kép x2 y 1) lim ( x , y )→(0,0) y + x 2) lim y ×cos ( x , y )→(0,0) y−x x3 − y 3) lim ( x , y )→(0,0) x + y 1 4) lim x sin + y sin ( x , y )→(0,0) y x x y + xy 5) lim ( x , y )→(0,0) x − xy + y xy ( x + y ) 6) lim ( x , y )→(0,0) − cos( x + y ) VI Bài tập Tìm giới hạn kép (tiếp theo) 7) 8) lim ( + xy ) lim ( ( x , y )→(0,0) ( x , y )→(0,0) 1/ x + y cos x + y ) −1/( x + y ) π 9) lim xy sin ( x , y )→( ∞ ,∞ ) xy 10) lim x2 + y + + x2 + y x + y + 2(1 + x y ) − x + y 2 11) lim ( x + y )sin ( x , y )→(0,0) xy ( x , y )→( ∞ ,∞ ) x 12) lim ( x , y )→(0,0) x + y VI Bài tập Tìm giới hạn kép (tiếp theo) x2 − y2 13) lim ( x , y )→(2,1) x + x − xy − y y x 14) lim (1 + ) ( x , y ) →( ∞ , k ) x x+ y 15) lim ( x , y )→( ∞ ,∞ ) x + y sin( xy ) 16) lim ( x , y )→(0,2) x x+ y 17) lim ( x , y )→(0,0) x − xy + y 18) lim ( x , y )→(0,0) x ln( x + y ) VI Bài tập Tìm điểm gián đoạn 1) z = ln x + y 2) z = 1 − x2 − y 3) z = ( x − y )2 4) z = cos xy x3 5) z = x + y2 x2 6) z = x + y2 VI Bài tập Tìm điểm gián đoạn (tiếp theo) x  2 , x + y ≠0  7) z =  x + y  2 0, x + y =0   x3 + y ,  8) z =  x + y  3,   sin( xyz ) ,  9) u =  z  x , x+ y ≠0 x+ y=0 z≠0 z=0 VI Bài tập Tìm tất giá trị m để hàm số liên tục (0,0)  x3 − xy ,  2 1) z =  x + y   m, x2 + y ≠ x2 + y =  x2 y 2 , x + y ≠0  2) z =  x + y  2 m , x + y =0   xy ,  x2 + y 3) z =   m,  x2 + y ≠ x2 + y = ... theo hai biến x y, ký hiệu T = T(x,y) Ví dụ Thể tích V bình h? ?nh trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r chi? ??u cao h Thực tế ta biết V = π r h Khi V h? ?m hai biến theo r h: V (r , h) = π r h I H? ?m hai... bản: 1) H? ?m h? ??ng; 2) h? ?m mũ; 3) h? ?m lũy thừa; 4) h? ?m lượng giác; 5) h? ?m lượng giác ngược; 6) h? ?m logarit Định nghĩa H? ?m thu từ h? ?m sơ cấp h? ??u h? ??n phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai gọi h? ?m sơ... tích phân mặt: loại 1, loại ứng dụng h? ?nh h? ??c, h? ??c loại tích phân này; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; trường véctơ Giới h? ??n liên tục Đạo h? ?m theo h? ?ớng Ứng dụng đạo h? ?m riêng Tích phân