Giải tích hàm lũy đẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Lê Đại Dương GIẢI TÍCH HÀM LŨY ĐẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Lê Đại Dương GIẢI TÍCH HÀM LŨY ĐẲNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN uận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn L Bích Huy Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy - người cung cấp tài liệu, bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học kinh nghiệm thực đề tài truyền đạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Xin chân thành cảm ơn q thầy tổ Giải tích, khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu suốt khóa học cao học Chân thành cảm ơn q thầy phịng sau đại học trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương NỬA VÀNH VÀ NỬA TRƯỜNG LŨY ĐẲNG 1.1 Nửa nhóm lũy đẳng 1.1.1 Nửa nhóm 1.1.2 Nửa nhóm lũy đẳng 1.1.3 Nửa nhóm dàn 1.1.4 Nửa nhóm lũy đẳng a - đầy đủ ( b - đầy đủ) a - đồng cấu b - đồng cấu 1.1.5 1.1.6 Ánh xạ a - quy b - quy 1.1.7 Tính nửa liên tục 10 1.1.8 Các ví dụ 13 1.2 Nửa vành nửa trường lũy đẳng Ví dụ 17 1.2.1 Nửa vành lũy đẳng 17 1.2.2 Nửa trường lũy đẳng 18 1.2.3 Các ví dụ 18 1.3 Nửa vành đầy đủ 19 1.3.1 Nửa vành a - đầy đủ b - đầy đủ 19 1.3.2 Dàn b - đầy đủ 19 1.3.3 Dàn có thứ tự 20 1.4 Làm đầy nửa vành 21 1.4.1 Tựa trường 21 1.4.2 Nửa vành a - quy b - quy 21 Chương NỬA MÔĐUN LŨY ĐẲNG, KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG 25 2.1 Các khái niệm Không gian lũy đẳng 25 2.1.1 Các khái niệm 25 2.1.2 Nửa môđun đầy đủ nửa môđun chuẩn tắc 26 2.1.3 Không gian lũy đẳng 27 2.2 Ánh xạ phiếm hàm tuyến tính 28 2.3 Nửa môđun không gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ 30 Chương CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 34 3.1 Định lí phiếm hàm 34 3.2 Định lí Hahn – Banach 38 3.3 Định lí Banach – Steinhaus định lí đồ thị đóng 39 3.4 Tích vơ hướng, định lí Riesz - Fischer 40 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Giải tích hàm thơng thường nghiên cứu khơng gian vectơ tôpô trường số thực số phức với phép toán tự nhiên ánh xạ tuyến tính liên tục chúng Từ năm 1980, xuất phát từ việc nghiên cứu phương trình Vật lí – Tốn, nhà tốn học Xơ viết V.Maslov học trị ơng xây dựng Lí thuyết Giải tích lũy đẳng Trong Giải tích lũy đẳng hàm số, độ đo, metric nhận giá trị nửa vành lũy đẳng, tức nửa vành với phép cộng Å có tính chất a Å a = a Ví dụ đơn giản thường dùng nửa vành lũy đẳng tập { È { +¥ } với phép cộng Å phép nhân  định nghĩa sau a Å b = {a, b } , a  b = a + b (1) Tương tự không gian vectơ với phép cộng hai phần tử phép nhân phần tử với số thuộc   xây dựng nửa môđun với phép cộng lũy đẳng phận tử nhân phần tử với số thuộc nửa vành lũy đẳng, từ xây dựng Giải tích hàm lũy đẳng với hướng nghiên cứu tương tự Giải tích hàm thơng thường Một số ánh xạ khơng gian hàm với phép tốn thông thường cộng hàm nhân hàm với số khơng ánh xạ tuyến tính, xét phép tốn ( ) khơng gian hàm nửa mơđun với phép cộng lũy đẳng ánh xạ tuyến tính Nhờ ta nghiên cứu chúng nhờ Giải tích lũy đẳng Đây lí mà Giải tích hàm lũy đẳng nhà Toán học từ nhiều nước quan tâm, nghiên cứu tìm ứng dụng rộng rãi lĩnh vực Tính tốn khoa học, Vật lí – Tốn, Tốn kinh tế, Xác suất – Thống kê Giải tích hàm lũy đẳng lĩnh vực tương đối Toán học chưa phổ biến rộng rãi cộng đồng Toán học nước ta, tài liệu tham khảo tiếng Việt chưa có Việc thực luận văn Thạc sĩ với đề tài “Giải tích hàm lũy đẳng” giúp hình thành tài liệu tham khảo Giải tích hàm lũy đẳng Mục tiêu luận văn trình bày chi tiết hệ thống khái niệm kết Giải tích hàm lũy đẳng nửa nhóm, nửa vành, nửa trường lũy đẳng, nửa môđun lũy đẳng; không gian lũy đẳng; ánh xạ phiếm hàm tuyến tính; định lí dạng định lí Hahn – Banach, Banach – Steinhaus, đồ thị đóng Luận văn viết dựa việc tìm hiểu sách chuyên khảo báo khoa học có liên quan đến đề tài Phân tích tổng hợp kiến thức thu trình bày chúng theo thể thống nhất, khoa học chi tiế Luận văn gồm chương với nội dung chương sau: Chương Nửa vành nửa trường lũy đẳng Trong chương trình bày khái niệm Giải tích lũy đẳng nửa nhóm lũy đẳng, nửa vành lũy đẳng, tựa trường nửa trường lũy đẳng ví dụ điền hình Khái niệm nửa vành đầy đủ trình làm đầy nửa vành trình bày cuối chương Chương 2: Nửa môđun lũy đẳng, không gian lũy đẳng Chương tiếp tục trình bày khái niệm nửa môđun lũy đẳng không gian lũy đẳng Các kết ánh xạ tuyến tính phiếm hàm tuyến tính khơng gian lũy đẳng a - quy b - quy nội dung quan trọng chương Ngoài ra, nửa môđun không gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ giới thiệu nghiên cứu Chương 3: Các định lí Chương chương cuối luận văn Chương phát biểu chứng minh định lí Giải tích hàm lũy đẳng định lí phiếm hàm, định lí dạng Hahn – Banach, định lí Banach – Steinhaus định lí đồ thị đóng, tích vơ hướng, định lí Riesz – Fischer Chương NỬA VÀNH VÀ NỬA TRƯỜNG LŨY ĐẲNG 1.1 Nửa nhóm lũy đẳng 1.1.1 Nửa nhóm Nhắc lại rằng, nửa nhóm tập hợp khác rỗng trang bị phép tốn có tính chất kết hợp gọi phép cộng (với nửa nhóm cộng) hay phép nhân (với nửa nhóm nhân) Một nửa nhóm có phần tử trung hịa hay đơn vị (ta gọi phần tử với nửa nhóm cộng phần tử với nửa nhóm nhân) vị nhóm 1.1.2 Nửa nhóm lũy đẳng Định nghĩa 1.1 Nửa nhóm lũy đẳng nửa nhóm cộng S với phép cộng có tính chất kết hợp kí hiệu Å cho x Å x = x với x Ỵ S Nếu nửa nhóm vị nhóm phần tử trung hịa kí hiệu hay 0S Một nửa nhóm lũy đẳng tập thứ tự phận với quan hệ thứ tự định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2 Trên nửa nhóm lũy đẳng S ta xét quan hệ thứ tự £ sau x £ y x Å y = y với x , y Ỵ S Quan hệ thứ tự £ quan hệ thứ tự phận Trong mục mục tiếp theo, ta giả thiết nửa nhóm lũy đẳng nửa vành lũy đẳng thứ tự với thứ tự xét Các quan hệ thứ tự ³, định nghĩa tương tự Chẳng hạn, quan hệ x < y hiểu x £ y x ¹ y Có thể kiểm tra Định nghĩa 1.2 hợp lí xác định quan hệ thứ tự Từ định nghĩa suy £ x với x Ỵ S S vị nhóm Gọi I hay IS phần tử S thỏa mãn x £ I với x Ỵ S (nếu phần tử tồn tại) Khi phần tử Rõ ràng = inf S = sup Ỉ I = sup S = inf Ỉ Ỉ tập rỗng S 1.1.3 Nửa nhóm dàn Một nửa nhóm lũy đẳng Ú - nửa dàn hay nửa dàn theo nghĩa với x , y Ỵ S tập { x , y } tồn sup { x , y } = x Ú y Dễ thấy, sup { x , y } = x Å y Do lớp tất nửa nhóm lũy đẳng trùng với lớp tất Ú - nửa dàn Cho nửa nhóm lũy đẳng S dàn có thứ tự Với x , y Ỵ S , kí hiệu inf { x , y } = x Ù y sup { x , y } = x Å y Ta gọi S nửa nhóm dàn hay đơn giản dàn Định nghĩa 1.3 Nửa nhóm lũy đẳng S o gọi đối ngẫu với nửa nhóm lũy đẳng S S o có tập gồm tất phần tử S trang bị với phép cộng lũy đẳng x , y  x Ù y Chú ý phép toán Ú = Å Ù có tính chất kết hợp giao hốn với tập tốn hạng 1.1.4 Nửa nhóm lũy đẳng a - đầy đủ ( b - đầy đủ) Cho S tập thứ tự phận S gọi đầy đủ tập X S (kể Ỉ ) có inf X sup X Tập S gọi đầy đủ bị chặn tập khác rỗng S bị chặn (tương ứng bị chặn dưới) có cận nhỏ (tương ứng có cận lớn nhất) Bổ đề 1.1 Nếu tập S1 bị chặn S có sup S1 tập S2 bị chặn S có inf S Nếu tập X1 bị chặn S có inf X1 Î S tập X bị chặn S có sup X Ỵ S Trong inf S2 = sup { x x £ s, "s Ỵ S2 } sup S1 = inf { x s £ x , "s Ỵ S1 } Lưu ý lát cắt S tập dạng I ( X ) = {s Ỵ S x £ s, "x Ỵ X Ì S } X Ì S Kí hiệu S tập hợp tất lát cắt trang bị quan hệ thứ tự I £ I Û I É I , S gọi mở rộng (completion) tập thứ tự S Ánh xạ i : x  I ( { x } ) phép nhúng S vào S có tính chất sau: Phép nhúng i : S  S bảo toàn cận cận tồn S Nhờ ta đồng S với tập S Lát cắt I ( X ) trùng với sup ( i ( X ) ) với X Ì S , nghĩa phần tử S cận tập X S  Nếu S đầy đủ S = S S = S Nếu { X a }A ( họ tập S sup I ( X a ) = I  X a a ( a ) S ) với ý I È X a = ÇI ( X a ) a S có cấu trúc nửa nhóm lũy đẳng ( x Å y = sup { x , y } ) Nếu S nửa nhóm lũy đẳng phép nhúng S  S đồng cấu nửa nhóm Trong trường hợp này, ta nói S a - mở rộng S Tập hợp Sb gồm tất lát cắt dạng I ( X ) , X chạy tập tất tập bị chặn S , tập đầy đủ bị chặn Sb nửa nhóm S Nếu S nửa nhóm lũy đẳng Sb gọi b - mở rộng S Dễ thấy Sb gồm tất phần tử S làm trội từ phần tử S Lỏt ct I ( ặ ) ẻ Sb l phần tử Sb Định nghĩa 1.4 Nửa nhóm lũy đẳng S gọi a - đầy đủ S thứ tự S đầy đủ S gọi b - đầy đủ S thứ tự, S đầy đủ bị chặn có đơn vị   Có thể thấy S = Sb È { IS } với IS = sup S thuộc S Nếu S nửa nhóm lũy đẳng b - đầy đủ Sb º S Cho nửa nhóm lũy đẳng S Kí hiệu ÅX ÙX sup ( X ) inf ( X ) với X Ì S cận tồn tại, nghĩa nằm S Khi đó, nửa nhóm lũy đẳng a - đầy đủ, tổng định nghĩa cho tập bất kì; nửa nhóm lũy đẳng b - đầy đủ, tổng định nghĩa cho tập bị chặn trên, kể Ỉ Cho X tập nửa nhóm lũy đẳng S Ta kí hiệu Up ( X ) = I ( X ) = { y Ỵ S x £ y, "x Ỵ X } , Low ( X ) = { y Ỵ S y £ x , "x Î X } 1.1.5 a - đồng cấu b - đồng cấu Với hai nửa nhóm lũy đẳng S T , ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.5-a Giả sử nửa nhóm S T a - đầy đủ Ta nói đồng cấu g : S ® T liên tục đại số hay a - đồng cấu 32 x £ æ1 1 b ú x ỗỗ b ÷÷÷ = b Do tính liên tục tích thụng thng v tng ly ỗố n ứ n n đẳng nên ỉ1 ỉ ỉ ưư ÷÷ x Å = x Å = x Å lim çç b ÷÷÷ = lim çç x Å çç b ữữ ữữ = = , ỗ n ứ n đƠ ỗố ỗố n ứứ n đƠ ố suy x Å = hay x £ Từ K đóng nguyên Chứng minh tương tự ta V đóng nguyên Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 2.12 Ta gọi b - không gian lũy đẳng M mệnh đề 2.4 không gian dạng (V , K ) Các ví dụ Ví dụ 2.1 Giả sử K nửa trường b - đầy đủ có phần tử khơng K ¹ { 0,1} ( )  Nửa nhóm Map X , K nửa môđun lũy đẳng K (với phép nhân hàm với phần tử K ) không môđun chuẩn tắc X ³ (  Các nửa môđun lũy đẳng USC X ,  max ) LSC ( X,  ) không chuẩn tắc max X ³ nửa mơđun a - đầy đủ Ví dụ 2.2 Các nửa nhóm USC ( X ) , LSC ( X ) , L p ( X ) Conv ( X ,  ) a không gian lũy đẳng nửa trường (và tựa trường) K =  ( max, , ) với phép nhân hàm với phần tử K Mở rộng chuẩn tắc nửa nhóm lũy đẳng a - không gian lũy đẳng a - đầy đủ nửa trường b - đầy đủ  max nửa  môđun a - đầy đủ nửa vành  max 33  Ví dụ 2.3 Nửa vành  max a - không gian lũy đẳng nửa trường  max Tương  tự, Map ( X ,  ) a - không gian lũy đẳng  max Một cách tự nhiên, ta nói  Map ( X ,  ) khơng gian n chiều X có n phần tử Ví dụ 2.4 Các khơng gian dạng (V , K ) 2.4.1 C ( X ) không gian dạng (V , K ) với K nhóm  M = V = C (X ) 2.4.2 Với V = C ( X ) , K nhóm  M nhóm hàm có giá trị ngun M khơng gian dạng (V , K ) 2.4.3 M không gian dạng (V , K ) với V = 2 , K = {( x , x ) x Ỵ { } , M = {( x , y ) Î V x - y £ 1} 34 Chương CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 3.1 Định lí phiếm hàm Giả sử V b - không gian lũy đẳng tựa trường K Định nghĩa 3.1 Cho x Ỵ V Kí hiệu x * phiếm hàm định  x* :V  K y V x * ( y ) = Ù { k Ỵ K y £ k  x } = inf ( 3.1 ) y £k x Ta gọi x * x - phiếm hàm V Nếu V tồn phần tử lớn ta kí hiệu phần tử IV Nhắc lại IV = supV = inf Ỉ Tương tự, IK = sup K Lưu ý IV* ( y ) º 0K với y Ỵ V (ngoại trừ trường hợp y = IV ); 0V* ( y ) = IK với y ¹ 0V 0V* ( 0V ) = 0K Định lí 3.1 Cho V b - không gian lũy đẳng tựa trường K Với x Ỵ V ta có x - phiếm hàm x * : y  x * ( y ) phiếm hàm a - tuyến tính V Chứng minh Thay K V b - mở rộng tương ứng sử dụng Định nghĩa 2.8 Mệnh đề 2.1 ta giả sử V b - đầy đủ K nửa trường b - đầy đủ Thế  = K È I Với x = I ta kiểm tra phát biểu V = V È { IV } K { K} V định lí cách trực tiếp Ta cần xét trường hợp x < IV Theo Định nghĩa 2.4 Định nghĩa 2.8 V chuẩn tắc nên y £ x * ( y ) * x K ( y ) = {k Ỵ K y £ k  x } ặ 35 Gi Y l nửa mơđun V Từ định nghĩa ánh xạ y  x * ( y ) dễ thấy x * bảo tồn thứ tự Do Åx * (Y ) = sup { x * ( y ) y Ỵ Y } £ x * ( ÅY ) Nếu K ( y ) = { k Ỵ K y £ k  x } = Æ { x * ( ÅY ) = IK , Åx * (Y ) = sup x * ( y ) y Ỵ Y } = IK  Vậy nên trường hợp * với IK = sup K = sup K x ( ÅY ) = Åx * (Y ) Mặt khác ( Åx * (Y ) )  x ³ x * ( y )  x ³ y với y Ỵ Y nên ( Åx * (Y ) )  x ³ ÅY dẫn đến Åx * (Y ) ³ x * ( ÅY ) Ta chứng minh Åx * (Y ) £ x * ( ÅY ) nên x * ( ÅY ) = Åx * (Y ) ( 3.2 ) hay phiếm hàm y  x * ( y ) a - đồng cấu Bây ta chứng minh phiếm hàm nhất, nghĩa k  x * (y ) = x * (k  y ) ( 3.3 ) với k Î K y Î V Giả sử p phần tử khả nghịch K y phần tử V Vì phép nhân với p hay phép vị tự tự đồng cấu K nên p  K ( y ) = p  {k Ỵ K y £ k  x } = {k Ỵ K p  y £ k  x } = K ( p  y ) Do K ( p  y ) = Æ K ( y ) = Æ dẫn tới x * ( y ) = x * ( p  y ) = IK p  x * ( y ) = x * ( p  y ) k  IK = IK Nếu K ( y ) ặ thỡ K ( p y ) ặ v 36 p x * ( y ) = p  ÙK ( y ) = Ù ( p  K ( y ) ) = ÙK ( p  y ) = x * ( p  y ) ( 3.3 ) Từ tính chứng minh với phần tử khả nghịch p = k Ỵ K Trường hợp k =  x * ( y ) = = x * ( ) = x * (  y ) Vậy phiếm hàm x * Định lí chứng minh Mệnh đề 3.1 Cho V nửa môđun chuẩn tắc nửa vành b - đầy đủ K (chẳng hạn V b - không gian b - đầy đủ) Gọi f phiếm hàm a - tuyến tính V cho f có giá trị f ( IV ) > với IV = supV Khi tồn x - phiếm hàm y  x * ( y ) cho x * ( y ) ³ f ( y ) với y Ỵ V x * ( y ) = f ( y ) f ( y ) khả nghịch K x = Å { y Ỵ V f ( y ) £ } Chứng minh Đặt x = Å { y Ỵ V f ( y ) £ } rõ ràng f ( x ) = Do f ( IV ) < ta có x ¹ IV Nếu y Ỵ V f ( y ) khả nghịch -1 = ( f ( y )) -1 D0 x ³ ( f ( y ) )  f (y ) = f (( f ( y )) -1 ) y  y nên f ( y )  x ³ y dẫn đến x * ( y ) £ f ( y ) Mặt khác, x * ( y )  x ³ y nên x * ( y ) = x * ( y )  f ( x ) ³ f ( y ) Từ x * ( y ) = f ( y ) f ( y ) khả nghịch Mệnh đề chứng minh Bổ đề 3.1 Cho K nửa trường b - đầy đủ khác đại số Bool { 0, } = Ù ( K \ { } ) = inf ( K \ { } ) 37 Chứng minh Đặt m = Ù ( K \ { } ) Từ giả thiết suy tồn phần tử khả nghịch k ¹ -1 Ta giả sử k < (trong trường hợp ngược lại ta thay k ( Å k ) ) Theo cách đặt m ta có m £ k < Nếu m ¹ phần tử m m  m khả nghịch m  m < m  < m trái với định nghĩa m Điều chứng tỏ m = Bổ đề chứng minh Định lí 3.2 Cho V b - khơng gian lũy đẳng tựa trường K Với phiếm hàm a - tuyến tính f ¹ q (phiếm hàm không) xác định V , tồn x Ỵ V b cho f có dạng f = x * Nếu K ¹ { 0, } x = Å { y Ỵ V f ( y ) £ } Trong trường hợp ngược lại x = Å { y Ỵ V f ( y ) = } Chứng minh Thay K V b - mở rộng tương ứng sử dụng Định nghĩa 2.8 Mệnh đề 2.1 ta giả sử V b - đầy đủ K nửa trường b - đầy đủ Giả sử  mở rộng f phiếm hàm a - tuyến tính khác q xác định V  f : V  K f lên V Trước tiên, giả sử K = { 0, } Đặt x = Å { y Ỵ V f ( y ) = } Thế f ( y ) = y £ x f ( y ) = ngược lại Do f = x * Khi x = IV ta có  f ( IV ) = f ¹ q Vậy x Ỵ V = V b Xét trường hợp K ¹ { 0, } Áp dụng Bổ đề 3.1 ta có = Ù ( K \ { } ) Đặt  x = Å { y Ỵ V f ( y ) £ } Nếu x = IV f ( IV ) £ với f ¹ q (do tính nên miền giá trị f chứa tất phần tử khả nghịch K , kể phần tử k > ) Chứng tỏ x Î V = V b f ( x ) = 38 Trong chứng minh Mệnh đề 3.1, ta x * ³ f x * ( y ) = f ( y ) f ( y ) Ỵ K \ { } Do để chứng minh x * = f ta cần x * ( y ) = f ( y ) = Thật vậy, f ( y ) = f ( k  y ) = < với k ¹ Nhưng điều dẫn tới k  y £ x k ¹ Do k  x ³ y k ¹ Suy x * ( y ) £ Ù ( K \ { } ) = £ x * ( y ) Ta có điều phải chứng minh Định lí chứng minh 3.2 Định lí Hahn – Banach Cho V nửa mơđun nửa vành lũy đẳng K Nửa môđun W nửa mơđun V nửa nhóm W V đóng với phép nhân với hệ tử K Lưu ý thân W nửa môđun K Định nghĩa 3.2 Cho V a - không gian lũy đẳng (tương ứng b - không gian lũy đẳng) tựa trường K Nửa môđun W V gọi a - không gian (tương ứng b - không gian con) V phép nhúng i : W ® V có mở rộng a -   V ) tới   V (tương ứng W tuyến tính (tương ứng b - tuyến tính) W b b  mở rộng nửa môđun xác định K b Mệnh đề sau suy trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 3.2 Cho V a - không gian lũy đẳng (tương ứng b - không gian lũy đẳng) tựa trường K W a - không gian (tương ứng b - không gian  ) a - không gian lũy đẳng (tương  (tương ứng W con) V Khi W W b ứng b - khơng gian lũy đẳng) Định lí 3.3 Cho V b - không gian lũy đẳng tựa trường K W b - không gian V Mọi phiếm hàm a - tuyến tính W có mở rộng a - tuyến tính lên V Định lí hệ trực tiếp Định lí 3.2 Mệnh đề 3.2 39 Định lí 3.4 Cho V b - khơng gian lũy đẳng Nếu x , y Ỵ V x ¹ y tồn phiếm hàm a - tuyến tính f V cho f ( x ) ¹ f ( y ) Chứng minh Nếu x > y y * ( x ) > y * ( y ) £ f = y * phiếm hàm cần tìm Trong trường hợp trái lại ta có x < IV Khi ta khơng có x * ( y ) £ x * ( x ) £ suy f = x * phiếm hàm thỏa mãn định lí Định lí chứng minh Nhận xét 3.1 Từ định nghĩa không gian dạng (V , K ) ta có b - khơng gian không gian dạng (V , K ) Nhận xét 3.2 Nửa mơđun C ( X ) USC ( X ) b - khơng gian phép nhúng tương ứng b - đồng cấu Tuy nhiên C ( X ) b - không gian lũy đẳng (cũng a - không gian lũy đẳng)  ( max, , ) phiếm hàm a - tuyến tính C ( X ) có mở rộng a - tuyến tính tới USC ( X ) Ta mở rộng định lí 3.3 cho trường hợp 3.3 Định lí Banach – Steinhaus định lí đồ thị đóng Các phát biểu suy từ định nghĩa Các kết tương tự định lí Banach – Steinhaus định lí đồ thị đóng Giải tích hàm thơng thường Trong mục này, ta ln giả thiết a - không gian a - đầy đủ Các kết mở rộng cho trường hợp không gian không đầy đủ nhờ trình làm đầy Mệnh đề 3.3 Giả sử P = { pa } họ ánh xạ a - tuyến tính từ a - khơng gian V vào a - không gian W ánh xạ p : V ® W tổng pa , nghĩa p ( x ) = sup { pa ( x ) pa Ỵ P } Khi p ánh xạ a - tuyến tính 40 Chứng minh Ta có p ( k  x ) = sup { pa ( k  x ) pa Î P } = sup { k  pa ( x ) pa Ỵ P } = k  sup { pa ( x ) pa Ỵ P } = k  p ( x ) với x Ỵ V nên p Nếu X Ì V p ( ÅX ) = sup { pa ( ÅX ) pa Ỵ P } = sup { Åpa ( X ) pa Ỵ P } = sup { pa ( x ) x Ỵ X , pa Ỵ P } = sup { sup { pa ( x ) x Ỵ X } pa Ỵ P } = sup { p ( x ) x Ỵ X } = Åp ( X ) Từ p ánh xạ a - tuyến tính Mệnh đề chứng minh Hệ Tổng họ phiếm hàm a - tuyến tính phiếm hàm a - tuyến tính Mệnh đề 3.4 Cho V W a - khơng gian Ánh xạ tuyến tính p : V ® W a - tuyến tính đồ thị T p đóng V ´W với tổng tập Chứng minh Từ giả thiết suy phép nhúng i : T ® V ´W a - tuyến tính Chú ý p hợp ba ánh xạ a - tuyến tính: phép đẳng cấu x  ( x , p ( x ) ) Ỵ T , phép nhúng i phép chiếu V ´W ® W nên có điều phải chứng minh Mệnh đề chứng minh 3.4 Tích vơ hướng, định lí Riesz - Fischer Bây giờ, ta xét lớp khơng gian lũy đẳng mà xác định cấu trúc tự nhiên tích vô hướng Định nghĩa 3.3 Một b - không gian lũy đẳng A tựa trường K gọi b nửa đại số lũy đẳng K A nửa vành lũy đẳng với tích K ´ A ® A (có 41 tính chất kết hợp) Nếu tích A ´ A ® A a - đồng cấu tách (tương ứng b - đồng cấu tách) b - nửa đại số A gọi a - quy (tương ứng b - quy) Lí thuyết dàn vectơ nguồn ví dụ quan trọng b - nửa đại số lũy đẳng Mệnh đề 3.5 Cho A b - nửa đại số, với phần tử khả nghịch x Ỵ A với y Ỵ A ta ln có * x * ( y ) = 1A ( y  x -1 ) ( 3.4 ) Chứng minh Nhờ trình làm đầy nên ta giả sử K nửa trường b - đầy đủ Khi ta có x * ( y ) = inf { k k  x ³ y } = inf { k ( k  x )  x -1 ³ y  x -1 } = inf { k k  1A ³ y  x -1 } * Để ý inf { k k  1A ³ y  x -1 } = 1A ( y  x -1 ) ta có điều phải chứng minh Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 3.4 Giả sử A b - nửa đại số giao hoán tựa trường K Ánh xạ A´A ® A ( x, y )  x , y = 1* ( x  y ) gọi tích vơ hướng A Mệnh đề 3.6 Tích vơ hướng x , y b - nửa đại số a - quy (tương ứng b quy) giao hốn tựa trường K có tính chất sau Ánh xạ ( x , y )  x , y a - đồng cấu tách (tương ứng b - đồng cấu tách) Với k Ỵ K , x , y Ỵ A tập X Ì A (tương ứng tập bị chặn X Ì A ) ta có 42 x , y = y, x k  x, y = x, k  y = k  x, y ÅX , y = Å x , y x ỴX ( 3.5 ) ( 3.6 ) ( 3.7 ) Mệnh đề 3.6 suy từ định nghĩa đẳng thức ( 3.7 ) suy từ tính chất Dưới kết tương tự định lí Riesz – Fischer Định lí 3.5 Cho tựa trường A b - nửa đại số giao hoán tựa trường K Khi phiếm hàm a - tuyến tính f ¹ q A có dạng f ( y ) = x, y ( 3.8 )  ,  vi x ẻ A b x v ì, × tích vơ hướng Ab Định lí suy từ Nhận xét 2.1, Định lí 3.2 Mệnh đề 5.5 Nhận xét 3.3 Ta định nghĩa tích vơ hướng trường hợp b - nửa đại số A khơng giao hốn Định lí 3.5 mở rộng cho trường hợp Định nghĩa 3.5 Cho V b - không gian lũy đẳng nửa trường b - đầy đủ K  Ánh xạ V ´V  K gọi tích vơ hướng lệch V ( x, y ) V éë x, y ùû = x * ( y ) Các mệnh đề sau suy từ định nghĩa: Mệnh đề 3.7 Tích vơ hướng lệch có tính chất sau é x, y ù £ ë û é x , k1  y1 Å k2  y2 ù = k1  é x , y1 ù Å k2  é x , y2 ù ë û ë û ë û ( 3.9 ) ( 3.10 ) é k  x , y ù = k -1  é x , y ù ë û ë û ( 3.11 ) é x Ù x 2, y ù = é x 1, y ù Å é x 2, y ù ë û ë û ë û ( 3.12 ) 43 với x , x1, x Ỵ V , y, y1, y2 Ỵ V , k, k1, k2 ẻ K , k Mệnh đề 3.8 Nếu tích vơ hướng ( x , y )  x , y xác định b - nửa đại số V đẳng thức sau x , y = éê y -1, x ùú , ë û é x , y ù = x -1, y ë û ( 3.13 ) é x , y ù = é y -1, x -1 ù êë ë û ûú ( 3.14 ) với phần tử khả nghịch x , y Ỵ V Giả sử V W a - không gian a - đầy đủ nửa trường b - đầy đủ K ¹ { 0, } W a - khơng gian V Kí hiệu V * tập gồm tất phiếm hàm a - tuyến tính V V * có cấu trúc nửa mơđun với phép tốn theo điểm Theo Định lí 3.2 tập gồm phần tử V V * tương ứng - cấu trúc nửa môđun tương ứng K khác Các kết suy từ Định nghĩa 2.3, 2.4, 2.8 2.11, Mệnh đề 1.7 3.7, Định lí 3.1 3.2 Định lí 3.6 Phiếm hàm y  f ( y ) a - không gian a - đầy đủ V a - tuyến tính f có dạng f ( y ) = ëé x , y ûù = x * ( y ) với x Ỵ V Nửa mơđun lũy đẳng V * K a - không gian a - đầy đủ Ngoài ra, * * x1* Å x 2* = ( x1 Ù x ) , k  x * = ( k -1  x ) , 0V* = IV * = supV * , IV* = supV = 0V * thứ tự V * ngược với thứ tự V 44 Định nghĩa ánh xạ p : V ® W từ khơng gian V vào không gian W V p ( x ) = inf { w Ỵ W w ³ x } ( 3.15 ) Mệnh đề 3.9 Ánh xạ p phép chiếu a - tuyến tính Mệnh đề chứng minh tương tự Định lí 3.1 Mệnh đề 3.10 Không gian W tập gồm tất nghiệm hệ phương trình é ù é ù ë y, x û = ë y, p ( x ) û với y chạy V Mệnh đề hệ Định lí 3.4 * Định lí 3.7 Ánh xạ V ® V ** = (V * ) đẳng cấu a - không gian * x V x ** = ( x * ) Định lí suy từ Định lí 3.6 với lưu ý x ** ( y * ) = y * ( x ) Ví dụ Nửa trường B ( X ) hàm thực bị chặn tập X b - nửa đại số nửa vành K =  ( max, , ) Ta có Å ( j ) = sup j ( x ) = * x ỴX ị j ( x )dx ( 3.16 ) X tích vơ hướng xác định sau Å j1, j2 = sup ( j1 ( x )  j2 ( x ) ) = x ÎX với j1, j2 Î B ( X ) ò ( j1 ( x ) , j2 ( x ))dx ( 3.17 ) X 45 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu Giải tích hàm lũy đẳng thơng qua việc trình bày cách chi tiết hệ thống khái niệm kết chương: Chương Nửa vành nửa trường lũy đẳng Trong chương trình bày khái niệm Giải tích lũy đẳng: • Nửa nhóm lũy đẳng a - đầy đủ b - đầy đủ tảng nghiên cứu a đồng cấu b - đồng cấu ánh xạ a - quy b - quy Mệnh đề 1.6-a 1.6-b liên hệ a - đồng cấu b - đồng cấu nửa nhóm lũy đẳng tơpơ b - đầy đủ với tính nửa liên tục • Các khái niệm nửa vành nửa trường lũy đẳng nghiên với q trình làm đầy nửa vành Chương 2: Nửa mơđun lũy đẳng, không gian lũy đẳng Chương tiếp tục trình bày khái niệm nửa mơđun lũy đẳng không gian lũy đẳng Các kết ánh xạ tuyến tính phiếm hàm tuyến tính khơng gian lũy đẳng a - quy b - quy nội dung quan trọng chương Ngồi ra, nửa mơđun khơng gian lũy đẳng liên kết với dàn vectơ giới thiệu nghiên cứu Chương 3: Các định lí Chương chương cuối luận văn Chương phát biểu chứng minh định lí Giải tích hàm lũy đẳng định lí phiếm hàm, định lí dạng Hahn – Banach, định lí Banach – Steinhaus định lí đồ thị đóng, tích vơ hướng, định lí Riesz – Fischer Luận văn cho thấy tương tự khác biệt Giải tích hàm lũy đẳng Giải tích hàm thông thường Việc thực đề tài giúp học viên hiểu sâu kiến thức học Giải tích hàm, Giải tích thực, Tơpơ đại cương, Đại số đại cương, thấy mối liên hệ chặt chẽ chúng, biết vận dụng kiến thức học để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Luận văn tài liệu tham khảo tương đối đầy đủ Giải tích hàm lũy đẳng cho sinh viên Đại học học viên Cao học chuyên ngành Giải tích 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hồng Tụy (2005), Lí thuyết hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh I.Litvinov, V.P.Maslov, G.B.Shpiz (2001), “Idempotent functional analysis: an algebraic approach”, Math Zametki, V69 No 5, pp 758-797 V.N.Kolokoltsov, V.P.Maslov (1997), Idempotent Analysis and Applications, Kluwer Acad Publ., Dordrecht ... sĩ với đề tài ? ?Giải tích hàm lũy đẳng? ?? giúp hình thành tài liệu tham khảo Giải tích hàm lũy đẳng Mục tiêu luận văn trình bày chi tiết hệ thống khái niệm kết Giải tích hàm lũy đẳng nửa nhóm, nửa... phép cộng lũy đẳng phận tử nhân phần tử với số thuộc nửa vành lũy đẳng, từ xây dựng Giải tích hàm lũy đẳng với hướng nghiên cứu tương tự Giải tích hàm thơng thường Một số ánh xạ không gian hàm với... Luận văn cho thấy tương tự khác biệt Giải tích hàm lũy đẳng Giải tích hàm thơng thường Việc thực đề tài giúp học viên hiểu sâu kiến thức học Giải tích hàm, Giải tích thực, Tôpô đại cương, Đại số