Phân tích hàm giải tích thành nhân tử

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Trí PHÂN TÍCH HÀM GIẢI TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích phức ngành có nhiều ứng dụng quan tâm nhiều nhà khoa học Các cơng cụ giúp giải vấn đề nội toán học như: toán phân bố số nguyên tố, chứng minh định lí số học… để giải vấn đề thực tiễn: tốn lí thuyết đàn hồi, tốn nổ mìn có định hướng… Sự phân tích thành nhân tử hàm giải tích đến cịn nhiều nhà tốn học nghiên cứu Vì chọn đề tài làm nội dung để học tập, nghiên cứu Mục đích Đề tài nghiên cứu phân tích thành nhân tử hàm giải tích, sau ứng dụng để nghiên cứu tính chất số học vành hàm giải tích Đối tượng nghiên cứu Hàm giải tích, phân tích hàm giải tích thành nhân tử, tính chất số học 4.Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài cho kết phân tích thành nhân tử hàm giải tích, từ cho tính chất số học vành hàm nguyên, tương tự với vành đa thức quen biết Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm giải tích Xét số phức z  x  iy Đặt r  z  x  y gọi mô đun z Nếu z  ta 2 x  y có       Vì tồn số thực 0 ,  0  2 , cho r r  x  cos 0  x  r cos 0  r   y y r  sin     sin   r Từ ta có z  z  cos 0  i sin 0  ,0  0  2 (1.1.1) Định nghĩa 1.1.1 Số thực 0 thỏa mãn (1.1.1) đuợc gọi argument z , ký hiệu arg z Mọi số thực  mà z  z  cos   i sin   đuợc gọi agrument z Rõ ràng argument  z tồn số nguyên k cho   arg z  2k Với    0, 2  , ký hiệu C   \ rei : r  0 arg  z   arg z   Ta có Định lí 1.1.1 arg hàm liên tục C Trong luận văn ta ký hiệu  miền (tức tập mở liên thông   ) Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số f  z  xác định miền    , f  z  gọi có đạo hàm hay khả vi điểm z0   tồn giới hạn lim z  f  z0  z   f  z0  z Trong trường hợp ta kí hiệu f '  z0   lim z  f  z0  z   f  z0  z gọi f '  z0  đạo hàm hàm f điểm z0 Hàm f gọi khả vi miền  khả vi điểm z   Định nghĩa 1.1.3 Hàm f xác định miền    với giá trị  gọi giải tích z0   tồn r  cho f khả vi z  D  z0 , r    z   : z  z0  r   Nếu f giải tích z   , ta nói f giải tích  Nhận xét 1.1.1 i) Hàm f giải tích điểm z0 khả vi điểm ii) Trên miền  , hàm f giải tích f khả vi miền Định lí 1.1.2 Giả sử    miền A  tập hàm giải tích  Khi với phép tốn hàm   thông thường i) A    không gian vecto    ii) A  vành   iii) Nếu f  A  f  z   0, z  A    f   iv) Nếu f  A  f nhận giá trị thực f hàm Định lí 1.1.3 (Cơng thức tích phân Cauchy) Giả sử f hàm giải tích miền  z0   Khi với chu tuyến  cho z0     ta có cơng thức f  z0   f   d 2 i    z0 Nếu thêm f liên tục   chu tuyến, với z   ta có f  z  f   d 2 i    z Định lí 1.1.4 (Định lí Liouville) Nếu hàm f  z  giải tích bị chặn  f  const Định lí 1.1.5 (Sự tồn hàm logarit) Cho  miền đơn liên f hàm giải tích, f  z   với z   Khi tồn hàm g giải tích  cho e g z   f  z  với z   Định nghĩa 1.1.4 Hàm g Định lí 1.1.5 logarit f , kí hiệu g  log f Nhận xét 1.1.2 Áp dụng Định lí 1.1.5 cho hàm f  z   z , với miền đơn liên  không chứa 0, tồn log giải tích  Đặc biệt, ta có hàm log miền C0 (xem Định lí 1.1.1) log z  ln z  i arg z Với    0, 2  , ta kí hiệu log z  log z  i  arg z    Ta có log hàm giải tích C 1.2 Lí thuyết chuỗi Cho dãy hàm biến số phức f1 , f , , f n , (1.2.1) xác định tập tùy ý A   Định nghĩa 1.2.1 Dãy hàm (1.2.1) đuợc gọi hội tụ z  A dãy số  f  z  hội tụ Nếu dãy (1.2.1) hội tụ n z  A , ta nói hội tụ A Trong truờng hợp giới hạn dãy hữu hạn A, cách đặt f  z   lim f n  z  , z  A n ta nhận đuợc hàm f : A   Hàm f gọi hàm giới hạn dãy (1.2.1) viết f  lim f n Nói cách cụ thể n  hàm f giới hạn dãy hàm  f n  A   0, z  A, N   , z  , n  N   , z  : f n  z   f  z    Định nghĩa 1.2.2 Dãy hàm (1.2.1) gọi hội tụ đến hàm f tập A   0, N    cho f n  z   f  z    , n  N   z  A Nhận xét 1.2.1 Mọi dãy hội tụ A hội tụ A Định nghĩa 1.2.3 Giả sử  fn  dãy hàm A   Khi tổng hình thức  f1  f   f n    f n (1.2.2) n 1 gọi chuỗi hàm A n Với n  1, đặt S n  z    f k  z , z  A , S n gọi tổng riêng thứ n chuỗi hàm Chuỗi k 1 hàm (1.2.2) gọi hội tụ hay khả tổng dãy Sn  hội tụ Nếu dãy Sn  hội tụ chuỗi (1.2.2)  gọi hội tụ Hàm f  z   lim Sn  z  , z  A gọi tổng (1.2.2) viết f   f n hay n n 1  f  z    f n  z , z  A n 1 Giả sử chuỗi (1.2.2) hội tụ f tổng Với n  , đặt  Rn  z   f  z   S n  z    f  z , z  A k k  n 1 Khi  Rn  dãy hàm A, gọi dãy phần dư chuỗi (1.2.2), Rn gọi phần dư thứ n Rõ ràng chuỗi (1.2.2) hội tụ dãy  Rn  hội tụ tới không chuỗi (1.2.2) hội tụ dãy  Rn  hội tụ tới khơng Vì i) Chuỗi (1.2.2) hội tụ z  A,   0, N  N   , z  , n  N : Rn  z    ii) Chuỗi (1.3.2) hội tụ   0, N  N    , n  N , z  A : Rn  z     Đặt f n  z   f n  z  Khi từ chuỗi (1.2.2) có chuỗi mơ đun  f n Chuỗi (1.2.2) hội tụ n 1  tuyệt đối chuỗi  f n hội tụ Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ n 1 Định lí 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Để chuỗi (1.2.2) hội tụ A điều kiện cần đủ   0, N  N   , n  N , p  1, z  A : f n 1  z    f n p  z    Định lí 1.2.2 (Tiêu chuẩn Weierstrass)  Nếu chuỗi số dương a n n 1 (1.2.2) hội tụ Định lí 1.2.3 hội tụ tồn N cho f n  z   an , z  A, n  N chuỗi Nếu chuỗi (1.2.2) hội tụ hàm f n liên tục A tổng f liên tục A Định lí 1.2.4 Cho chuỗi (1.2.2) hội tụ A z0  A Giả sử tồn giới hạn hữu hạn:  lim f  z   ck , k  1,2, Khi chuỗi số z  z0 zA c hội tụ f tổng chuỗi (1.2.2) k k 1   lim f  z    cn   lim f n  z  z  z0 zA n 1 z z n 1 zA Định lí 1.2.5 Nếu  fn  dãy hàm giải tích miền  , hội tụ đến hàm f xác định  f hàm giải tích  Định nghĩa 1.2.4 (Chuỗi Taylor) Chuỗi hàm có dạng  c z  z  n n (1.2.3) n 1 gọi chuỗi Taylor z0 hay chuỗi lũy thừa z  z0 Giả sử chuỗi (1.2.3) hội tụ hình trịn z  z0  R Ký hiệu f  z  tổng Ta có f  z  khả vi vô hạn lần f k   z    n  n  1  n  k  1 cn  z  z0  nk , k  0,1, (1.2.4) n k thay z  z0 vào đẳng thức (1.2.4) ta nhận f n  z0   n!cn (1.2.5) Các đẳng thức chứng tỏ giá trị tất đạo hàm f z0 xác định cách hệ số chuỗi (1.2.3) Một cách cụ thể, hệ số chuỗi (1.2.3) đuợc tính theo cơng thức f  n   z0  cn  , n  0,1, n! Định lí 1.2.6 (Định lí Taylor) Nếu hàm f  z  giải tích hình trịn z  z0  R hình tròn f  z  tổng chuỗi Taylor z0 Cụ thể  n f  z    cn  z  z0  , z  z0  R (1.2.6) n 0 hệ số cn xác định cách theo công thức cn  f n  z0   n! f   d  2 i   z0  r   z0 n1 0  r  R  (1.2.7) Định lí 1.2.7 (Định lí nhất) Giả sử f g hàm giải tích miền  Nếu f  zn   g  zn  dãy điểm khác  zn    mà hội tụ tới điểm a   f  g Định nghĩa 1.2.5 (Chuỗi Laurent) Chuỗi hàm dạng   c z  z  k k (1.2.8) k  gọi chuỗi Laurent theo lũy thừa  z  z0  hay chuỗi Laurent z0 Định lí 1.2.8 Nếu hệ số cn chuỗi (1.2.8) thỏa mãn  lim sup n c n  r  R  n    (1.2.9) lim sup n cn n  miền hội tụ chuỗi (1.2.8) hình vành khăn r  z  z0  R (1.2.10) tổng f  z  chuỗi(1.2.8) hàm giải tích vành khăn (1.2.10) Các hệ số cn chuỗi (1.2.8) cho cn  f   d , n  0,  1,  2 i  s   z0 n 1 (1.2.11)  s đường tròn tùy ý   z0  s với r  s  R Định lí 1.2.9 (Định lí Laurent) Nếu hàm f  z  giải tích vành khăn  r  z  z0  R   f  z  biểu diễn  dạng tổng chuỗi Laurent f  z    c z  z  n n Các hệ số chuỗi xác n  định công thức cn  f   d , n  0,  1, 2 i  p   z0 n1  p đường tròn z  z0  p, r  p  R Định nghĩa 1.2.6 Trong khai triển Laurent  f z  n  c z  z  , r  z  z n 0 R n  ta gọi  f   z    cn  z  z0  n n 0 phần đều, 1 f   z  n   cn  z  z0    n  n 1 c n  z  z0  n phần Định nghĩa 1.2.7 Giả sử f hàm xác định miền  Điểm z0   gọi điểm bất thường f tồn r  cho vành khăn  z  z0  r bao hàm  f giải tích vành khăn khơng thể mở rộng giải tích tới z0 , tức khơng tồn hàm giải tích g hình trịn z  z0  r cho g  z   f  z  với  z  z0  r Cũng theo Định lí 2.1.3 ta có   z   z  f  z    Emn     n, Emn     z  zn n 1  zn   zn  Định lí 2.3.3 cho phép biểu diễn hàm nguyên dạng tích nhân tử Em Định lí 2.2.2 (Định lí phân tích Weierstrass) Cho f hàm nguyên, f  0, k  cấp không điểm f 0, không điểm khác f z1 , z2 , (không điểm cấp m xuất m lần) Khi tồn hàm nguyên g dãy số nguyên không âm mn  cho f  z  e g z   z  z  Emn   n 1  zn  k Chứng minh  Vì f  zn   nên theo Định lí 2.2.1, tồn dãy mn  cho E mn n 1  z    xác định  zn  hàm nguyên Đặt h  z   f  z Vì f có khơng điểm cấp k nên lim h  z   , h  z 0   z z k  Emn   n 1  zn  thác triển thành hàm nguyên có logarit giải tích g  , tức h  z   e f  z  e g z g z Vậy ta có   z  z  Emn   n 1  zn  k Định lí 2.2.3 Cho  miền thực  A  an : n  1,2  tập điểm phân biệt  , khơng có điểm giới hạn  , mn  dãy số nguyên dương Khi tồn f  A    , cho Z  f   A, m  f , an   mn Chứng minh Trước tiên, ta xét trường hợp đặc biệt:  lân cận  ,   A Trường hợp A hữu hạn, giả sử A  a1 , a2 , , an  hàm f cần tìm có dạng m1  z  a1   z  an  f  z  m   m  z  b mn n b   \  Khi 1) f giải tích  2) f     nên  không điểm f  3) Z  f   A  a1 , a2 , , an  m  f , an   mn Trường hợp A vô hạn, giả sử A  a1 , a2 ,  Chọn  zn  dãy A cho zn  a j mj  n Vì  \  tập compact, khác rỗng , nên: n  1, wn   \  : d  zn ,  \    wn  zn , d  zn ,  \   khoảng cách từ zn đến  \   z  wn  Xây dựng dãy hàm  f n  xác định  sau: f n  z   En  n  z  w n   Ta nhận xét 1) f n     En    , nên  không điểm f n 2) f n có khơng điểm zn khơng có khơng điểm khác 3) f n làm hàm nguyên  Ta chứng minh: f  z    f n  z  hàm f cần tìm n 1  Ta cần chứng minh  f n  hội tụ tập compact  n 1 Thật vậy, giả sử K   , K compact thì: zn  wn bị chặn K z  wn Thật wn  zn không hội tụ đến   cho wn  zn   znk  z0   (do  zn  khơng có điểm giới hạn  ) d  z0 ,  \    d  z0 ,    \     d  z0 ,    Khi   wn  zn  d  zn , \   k k k suy Ta gặp mâu thuẫn Vậy wn  zn  Từ với n đủ lớn zn  wn  với z  K Theo Bổ đề z  wn 2.2.1 ta có  z  wn  zn  wn f n  z     En  n  z  w z  wn n   n 1 1    2 n 1  nên  f n  hội tụ tập compact  Vì nên theo Định lí 2.1.3 ta có n 1  f  z    f n  z  xác định hàm giải tích  , Z  f   A, m  f , an   mn n 1 Bây giở xét trường hợp tổng quát: Xét 1 , A1 tùy ý giả thiết định lí, tức 1   , A1  1 , khơng có điểm giới hạn 1 Chúng ta cần hàm f1  A  1  , Z  f1   A1 , m  f1 , an   mn Lấy a  1 \ A1 , a   Định nghĩa hàm: T  z   , z   Ta có T phép biến đổi phân za tuyến tính từ  vào  Đặt   T  1  , A  T  A1   T  an  : n  1, 2,  T ánh xạ liên tục 1-1 từ 1 vào  Ta kiểm tra  A thỏa điều kiện trường hợp đặc biệt xét, tức là:  lân cận    A Vì a  1 , T  z   nên   T  1  lân cận  ,   A a  A1 za Vậy nên theo trường hợp đặc biệt thiết lập, tồn f  A    cho Z  f   A m  f , T  an    mn Đặt f1  f 0T Ta kiểm tra f1 làm hàm thỏa f1  A  1  (1) Z  f1   A1 (2) m  f1 , an   mn (3) (1): Vì T giải tích 1 \ a , nên f1 giải tích 1 \ a Ta chứng minh f1 có điểm bất thường bỏ z  a , tức lim f1  z   Thực vậy, z a z  a  T  z     f1  z   f T  z    f     ,   A  Z  f  Vậy f1  A  1  (2): Kiểm tra: Z  f1   A1 Lấy a0  Z  f1   f1  a0    f T  a0     T  a0   Z  f   A , T  A1   A Nên a0  A1 Vậy Z  f1   A1 Lấy a0  A1 , ta chứng minh a0  Z  f1  Vì a0  A1  T  a0   T  A1   A  Z  f  Suy f T  a0     f1  a0    a0  Z  f1  Hay A1  Z  f1  Vậy Z  f1   A1 (3): Kiểm tra m  f1 , an   mn m  f1 , an   m  f 0T , an   m  f , T  an    mn Định lí chứng minh Định lí 2.2.4 Cho h hàm phân hình tập mở ,    Khi h  f , f, g giải tích  g Chứng minh Gọi A tập cực điểm h  Theo Định lí 2.3.3 tồn hàm g , giải tích  , có khơng điểm điểm thuộc A, a  A , cấp không điểm g a cấp cực điểm h a Khi gh có điểm bất thường bỏ  , nên mở rộng đến hàm giải tích f  Vậy h  f g Chương ỨNG DỤNG Trong chương trình bày số ứng dụng lí thuyết Chương để nghiên cứu tính chất số học đại số vành A    Trước hết sử dụng kết chương trước để chứng minh Định lí Mittag-Leffler 3.1 Định lí Mittag-Leffler Cho  tập mở  , A  an : n  1,2  tập điểm phân biệt  , khơng có điểm giới hạn  , mn  dãy số nguyên dương Theo Định lí 2.2.3 có hàm phân hình f  , f có cực điểm cấp mn an Định lí Mittag-Leffler tồn hàm phân hình có hệ số phần cho trước cực điểm an Định lí 3.3.1 (Định lí Mittag-Leffler) Cho  tập mở  B tập  , khơng có điểm giới hạn  , B  b j : j  J  , J hữu hạn vô hạn đếm Giả sử, j  J , có tương ứng hàm hữu tỷ dạng S j  z  a j1 z  bj  a j2 z  b  j   a jn j z b  nj j Khi có hàm phân hình f  , f có cực điểm b j , phần khai triển Laurent f b j S j Chứng minh Gọi  K n  dãy tập compact, xác định sau   K n  D  0, n    z : z  w  , w   \    n  1, 2,3  , n   đây: D  0, n    z : z  n Đặt K   Khi  K n  có tính chất 1) K n  K n01 2)  K n   3) K n compact (do K n đóng, bị chặn) Đặt J n   j  J :b j  K n \ K n1 ta có 1) J n đôi rời 2) J n hữu hạn (do B khơng có điểm giới hạn  ) 3)  J n  J Với n, định nghĩa Qn  z    S  z , Q n j  J n   jJ n Khi Qn hàm hữu tỷ có cực điểm nằm K n \ K n1 , Qn giải tích lân cận K n1 (do b j  K n1 ) Theo Định lí Runge, có hàm hữu tỷ Rn có n 1 Qn  z   Rn  z     , z  K n1 nên với m  cố định, chuỗi  2 cực điểm  \  thỏa:   Q n n  m 1 đến hàm giải tích K m0  K m1 Vì định nghĩa hàm f :    , sau  f  z   Q1  z     Qn  z   Rn  z   , z   n 2  Rn  hội tụ K m Với m cố định ta viết lại f sau     f  z    Q1  z     Qn  z   Rn  z       Qn  z   Rn  z     n m 1 n    Q  z   R  z   giải tích K n n m n  m 1 Ta có f hàm phân hình  , giải tích  \ B Bây f có phần thỏa định lí Thật vậy, b j  B : ta có f  z  S j  z  cộng hàm giải tích lân cận b j Nên f có cực điểm b j với phần S j Nhận xét 3.1.1 Giả sử g giải tích b (là số phức) g có khơng điểm cấp m  b cho c1 , c2 , , cm số phức cho trước, R hàm hữu tỷ xác định R z  cm c1   m z b z  b   Khi gR có điểm bất thường bỏ b, nên tồn số phức a0 , a1 , a2 cho với z lân cận b thì: g  z  R  z   a0  a1  z  b    am1  z  b  m 1  (3.1.1) Mặt khác g có khai triển Taylor m g  z   b0  z  b   b1  z  b  m 1   bm1  z  b  m 1   b0   (g có khơng điểm cấp m b) nên m g  z  R  z   b0  z  b   b1  z  b   m 1   bm 1  z  b  m 1  c cm        m  z  b  z  b     (3.1.2) Đồng (3.1.1) (3.1.2) ta a0  b0cm a  b c  b c  m 1 m   am1  b0c1  b1c2   bm1cm (3.1.3) Từ đó, biết c1 , c2 , , cm a0 , a1 , , am 1 xác định theo hệ Ngược lại, giả sử g cho trước a0 , a1 , , am 1 số phức cho trước Vì b0  nên từ hệ (3.1.3) ta tìm theo thứ tự cm , cm1 , , c1 Nhận xét đóng vai trị quan trọng Như biết xây dựng hàm giải tích nhận điểm cho trước làm khơng điểm, có cấp không điểm mô tả trước Định lí 2.2.1 2.2.3 cịn giá trị f đạo hàm hữu hạn Sau mở rộng Định lí 2.2.3 Định lí 3.1.2 Cho  tập mở  , B  b j : j  J  tập  , khơng có điểm giới hạn  Giả sử tương ứng j  J , có số nguyên không âm n j số phức a0 j , a1 j , , anj Khi tồn hàm f  A    cho j  J f k b   a j k! kj ,0  k  n j Chứng minh Áp dụng Định lí 2.2.3, tồn hàm g  A    , cho Z  g   B với j, m  g , b j   n j   m j Áp dụng Nhận xét 3.1.1 ta có với b j  B ta có mj g  z k 1 ckj nj z b  k  a0 j  a1 j  z  b j    an j , j  z  b j   ( c1 j , c2 j , , cm j , j số phức, z gần b j ) Áp j mj dụng Định lí Mittag-Leffler tìm h phân hình  cho với j: h   k 1 ckj z b  k có điểm j bất thường bỏ b j Vì mj  ckj  gh  g h   k  k 1  z  b  j  mj  ckj   g m  g , b j   n j , k  k 1  z  b  j  nên gh mở rộng thành hàm f giải tích  Vậy có hàm f cần tìm 3.2 Tính chất số học đại số A    Cho  mở, liên thông Khi A    với phép cộng nhân theo điểm miền nguyên (tức A    vành giao hốn, có đơn vị, khơng có ước khơng) Định nghĩa 3.2.1 Cho f , g  A    Ta nói g chia hết f f  gq, q  A    Nếu g chia hết f ta nói g ước f , ký hiệu g f Ta nói g ước chung lớn tập F  A    g ước f  F h chia hết f  F h chia hết g Định lí 3.2.1 Mỗi họ tập khác rỗng F  A    có ước chung lớn Chứng minh Đặt B  Z  f  : f  F  Áp dụng Định lí 2.2.3 ta có hàm g  A  cho Z g  B với b  B, m  g , b   m  f , b  : f  F  Nếu f  F g | f Hơn h  A    , h | f với f  F Z  h   B với b  B : m  h, b   m  f , b  : f  F   m  g , b  Suy h | g Vậy g ước chung lớn F Định nghĩa 3.2.2 Phần tử khả nghịch A    hàm f  A    cho  A    Như f khả nghịch f f khơng có khơng điểm  Cho f , g  A    Ta nói f g nguyên tố ước chung lớn f g phần tử khả nghịch Như f g nguyên tố Z  f   Z  g    Thực vậy, giả sử h ước chung lớn f g  Z  h   Z  f  h  f   Z  f   Z  g  = Z h =   h  g  Z  h   Z  g  h khả nghịch nên Z h   Mà Định lí 3.2.2 Nếu f1 , f  A    nguyên tố nhau, tồn g1 , g  A    cho f1 g1  f g  Chứng minh Do f1 , f nguyên tố nên Z  f1   Z  f    Ta cần có g  A    cho 1  f g  / f1 có điểm bất thường bỏ được, hay cần có g  A    cho Z  f1   Z 1  f g  a  Z  f1  : m  f1 , a   m 1  f g , a  Thực vậy, với a  Z  f1  , theo Định lí 3.1.2 có g  A    cho:   f  a  g  a   1  f g  a  '  f  a  g 2'  a   f 2'  a  g  a   1  f g   a  ''  f  a  g 2''  a   f 2'  a  g 2'  a   f 2''  a   1  f g   a  …………………………………………………………  f  a  g 2 m 1  a    f 2 m1  a  g  a   1  f g  m 1 a m  m  f1 , a  Định lí chứng minh Định lí 3.2.3 Nếu  f1 , f , f n   A    d ước chung lớn tập này, tồn g1 , g , , g n  A    , cho: f1 g1  f g   f n g n  d Chứng minh Theo Định lí 3.2.2, định lí n=2 Thật vậy, d ước chung lớn f1 f fg  f g  nguyên tố Nếu  1    2   f1 g1  f g  d d d  d   d   f1 , f  Bây giả sử định lí với n  giả sử d ước chung lớn ước chung lớn  f1 , f , , fn 1 Khi  f1 , f , , f n  , d1 d ước chung lớn d1 , f n 1 Theo giả thiết quy nạp, ta có: g1 , , g n1  A    cho f1 g1   f n1 g n 1  d1 (3.2.1) Theo Định lí 3.2.2 tồn h, g n  A    cho d1h  f n g n  d (3.2.2) Từ (3.2.1) (3.2.2) suy f1 g1h   f n 1 g n1h  f n g n  d Định nghĩa 3.2.3 Ideal I  A    tập khác rỗng A    , đóng phép trừ có tính chất f  A    , g  I fg  I Ideal I gọi hữu hạn sinh I   f1 g1   f n g n : g1 , , g n  A    ,  f1 , f , , f n  tập hữu hạn cố định A    ,  f1 , , f n  gọi tập sinh I Ideal I gọi Ideal I có tập sinh chứa phần tử Một miền nguyên gọi miền Bezout Ideal hữu hạn sinh Ideal Một miền nguyên gọi miền Ideal Ideal miền Ideal chính, gọi miền Noether Ideal miền hữu hạn sinh Định lí 3.2.4 A    miền Bezout, tức I   f1 g1   f n g n : g1 g n  A    , Ideal sinh f1 , , f n  A    , n   , tồn f  A    cho I   fg : g  A    Chứng minh Nếu f  I f  f1h1   f n hn với hn , , hn  A    Nếu d ước chung lớn  f1 , , f n  d chia hết f j nên d chia hết f Từ f bội d Mặt khác, theo Định lí 3.2.3, tồn g1 , , g n  A    cho d  f1 g1   f n g n Suy d bội d thuộc I Vậy I Ideal sinh phần tử d Định lí 3.2.5 A    khơng miền Ideal chính, tức A    tồn Idean I khơng Ideal Chứng minh Cho an  dãy điểm  , khơng có điểm giới hạn  Theo Định lí 2.2.1 2.2.3 tồn f n  A    , cho Z  f n   an , an1  m  f n , a j   , j  n Gọi I Ideal sinh f1 , f tức I tập tất tổ hợp tuyến tính có dạng g i1 f i1   gik f ik , k  1,2, ; gi j  A    Nếu I ideal chính, tức sinh phần tử f  A    Khi đó: Z  f   Z  h  , h  I nên đặc biệt ta có Z  f   Z  f n  , n 1 Từ f khơng có khơng điểm Vì  f    I Theo định nghĩa I ta có f   g1 f1   g n f n với n nguyên dương, g1 , , g n  A    Vì f1  an   f  an    f n  an   Chúng ta gặp mâu thuẫn  g1 f1   g n f n  an   Nhận xét 3.2.1 Từ Định lí 3.2.4 Định lí 3.2.5 suy với miền    , A    miền Noether KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày phân tích thành nhân tử hàm nguyên ứng dụng để nghiên cứu số tính chất đại số số học vành A    Trong trình thực luận văn, tơi nhận thấy hiểu kiến thức học kỹ hơn, đặc biệt môn giải tích phức Tơi hy vọng tìm hiểu sâu đề tài môn TÀI LIỆU THAM KHẢO Andersson M (1997), Topics in Complex Analysis, Springer-Verlag New York, Inc Ash R B and Novinger W P., Complex variables, ebook.moet.gov.vn Bini D A., Gemignani L., Meini B (1998), Factorization of Analytic Functions by means of Koenig’s Theorem and Toeplitz Computations, Pisa Italy Levin B.Ya., Lyubarskii Yu., Sodin M., Tkachenko V (1996), Lectures on entire functions, American Mathematical Society Rudin W (1970), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Sakurai T., Sugiura H (1999), On factorization of Aanalytic Functions and its Verification, Japan NguyễnVăn Khuê Lê Mậu Hải (2009), Hàm Biến Phức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội ... tích thành nhân tử hàm giải tích, sau ứng dụng để nghiên cứu tính chất số học vành hàm giải tích Đối tượng nghiên cứu Hàm giải tích, phân tích hàm giải tích thành nhân tử, tính chất số học 4.Ý... Khi hàm f giải tích lân cận K thuộc B(S) Tức có dãy {Rn} hàm hữu tỉ có cực điểm nằm S cho Rn  f K Chương PHÂN TÍCH HÀM GIẢI TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Trong chương xét tập khơng điểm hàm giải tích. .. Sự phân tích thành nhân tử hàm giải tích đến cịn nhiều nhà tốn học nghiên cứu Vì chúng tơi chọn đề tài làm nội dung để học tập, nghiên cứu Mục đích Đề tài nghiên cứu phân tích thành nhân tử hàm