sách điện tử môn giải tích hàm số một biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - Vũ Thanh Hiếu SÁCH ĐIỆN TỬ MÔN GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mục lục Mở đầu 6 1 Dãy số và chuỗi số 9 1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Một số phép toán trên giới hạn . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng . . . . . . . . 11 1.2.1 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Một số giới hạn quan trọng . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Sự tồn tại điểm tụ trong dãy bị chặn . . . . . . . . . 12 1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.4 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương . . . . . . . . . 14 1.3.5 Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz . . . . . . . . . . 14 1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet và Abel . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 1 . . . . 15 1.4.1 Giới thiệu về phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm . . . . . . . 19 1.4.3 Tìm quy luật của một dãy số . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.4 Tính tổng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.5 Tính tổng vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.6 Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số . . . . . 22 1.4.7 Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 2 Hàm số 24 2.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Một số hàm có cấu trúc đặc biệt . . . . . . . . . . . 25 2.1.4 Các phép toán trên hàm số . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Các hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 2 . . . . 27 2.3.1 Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Vẽ đồ thị của hàm số trong không gian hai chiều . . 29 2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 31 3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Giới hạn tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Một số tính chất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.1 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.2 Định lý về tính duy nhất của giới hạn . . . . . . . . 33 3.2.3 Định lý về tính bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . 33 3.3 Các phép toán trên giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.1 Các phép toán số học . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.2 Giới hạn của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng . . . . . . . . 34 3.4.1 Nguyên lý về giới hạn của hàm đơn điệu bị chặn . . 34 3.4.2 Nguyên lý về giới hạn của hàm bị kẹp . . . . . . . . 34 3.4.3 Áp dụng trong việc tính giới hạn của các hàm cơ bản 34 3.5 Tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5.1 Khái niệm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5.2 Khái niệm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.6 Các định lý cơ bản về hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . 35 3.6.1 Các định lý về giá trị trung gian . . . . . . . . . . . 35 3.6.2 Các phép toán trên các hàm liên tục . . . . . . . . . 36 3.6.3 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6.4 Hàm liên tục trên tập compact . . . . . . . . . . . . 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 3.7 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 3 . . . . 37 3.7.1 Tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7.2 Tìm điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . . . . . 38 3.7.3 Tính giới hạn của hàm số khi đối số dần đến một điểm nào đó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.7.4 Tính giới hạn của hàm số theo từng bước . . . . . . 40 3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Đạo hàm 43 4.1 Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Các phép toán trên đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2.1 Các phép toán số học trên đạo hàm . . . . . . . . . 44 4.2.2 Đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược . . . . . . . . 45 4.2.3 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . 45 4.3 Các định lý quan trọng về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . 46 4.3.1 Định lý Fermat về điều kiện cực trị . . . . . . . . . 46 4.3.2 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . 47 4.4 Một số ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4.1 Tính giới hạn dạng không xác định . . . . . . . . . . 47 4.4.2 Tìm cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4.3 Khảo sát các tính chất của hàm số . . . . . . . . . . 48 4.5 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 4 . . . . 49 4.5.1 Tính đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.2 Tính đạo hàm của hàm số theo từng bước . . . . . . 50 4.5.3 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 Phép tính tích phân 54 5.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định . . . . 54 5.1.2 Các tính chất và quy tắc cơ bản . . . . . . . . . . . 55 5.1.3 Bảng các tích phân bất định cơ bản . . . . . . . . . 55 5.2 Tích phân xác định Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.2.1 Khái niệm tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 56 5.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.3 Một số phương pháp tính tích phân xác định . . . . 58 5.2.4 Một số ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . 59 5.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 5 . . . . 61 5.3.1 Minh họa và tính tổng Riemann . . . . . . . . . . . 61 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 5.3.2 Tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3.3 Tính tích phân từng bước . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3.4 Tính diện tích và thể tích . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3.5 Tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Mở đầu Phần mềm Maple được xây dựng bởi một nhóm các nhà khoa học thuộc trường Đại học Waterloo – Canada, và được tiếp tục phát triển tại những phòng thí nghiệm ở các trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính toán hình thức tại Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toán hình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario; và những phòng thí nghiệm khắp nơi trên thế giới. Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy được trên nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để tận dụng tối ưu cấu hình máy và có trình trợ giúp rất dễ sử dụng. Maple có môi trường tính toán rất phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học với khả năng tính toán trên các kí hiệu (symbolic). Từ version 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán học phổ thông và đại học. Về lập trình tính toán, Maple vượt xa các ngôn ngữ thông thường khác trên cả hai phương diện: mạnh và đơn giản. Ngoài ra, sử dụng Maple, ta có thể dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa điện tử với chức năng Hyperlink tạo các siêu văn bản rất đơn giản mà không cần đến sự hỗ trợ của bất kỳ một phần mềm nào khác. Với những ưu điểm đó, Maple đã được nhiều người trên thế giới lựa chọn và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay. Maple có thể trợ giúp hữu hiệu cho việc dạy và học toán. Rất nhiều công việc như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tính đạo hàm, tích phân, vẽ đồ thị . . . được thực hiện bằng những câu lệnh rất đơn giản chứ không phải lập trình tính toán phức tạp như trước kia. Nếu biết khai thác một cách hiệu quả, Maple sẽ là công cụ minh họa hoàn hảo, hỗ trợ cho giáo viên trong việc dạy những kiến thức khó và trừu tượng (chẳng hạn như khái niệm tích phân), giúp giáo viên nâng cao chất lượng giảng dạy và giảm thiểu thời gian đứng lớp; giúp học sinh hiểu sâu hơn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 bài giảng, nâng cao kỹ năng tính toán và phát triển khả năng sáng tạo Luận văn ”Sách điện tử môn giải tích Hàm số một biến” có mục đích hệ thống một số lệnh thông dụng bổ trợ cho phần giải tích Hàm số một biến. Chúng tôi sử dụng Maple version 13 và đã cố gắng tận dụng những tính năng ưu việt của Maple như chức năng đóng gói, bookmark, hyperlink . . . để giúp người sử dụng dễ dàng tra cứu; và viết các câu lệnh thông dụng thành nhóm lệnh, để những người chưa từng làm quen với Maple vẫn có thể thực hiện những lệnh đó chỉ bằng thao tác ấn phím Enter, đồng thời cung cấp mẫu cho người sử dụng có thể tự thực hiện với bài toán của mình và phát triển thêm. Hy vọng điều này sẽ tạo được hứng thú và giúp người sử dụng làm quen, khai thác Maple để làm toán một cách dễ dàng, nhanh chóng hơn. Luận văn gồm 5 chương: Chương 1. Dãy số và chuỗi số Chương 2. Hàm số Chương 3. Giới hạn và tính liên tục của hàm số Chương 4. Đạo hàm Chương 5. Phép tính tích phân Cấu trúc của mỗi chương gồm ba phần - Kiến thức lý thuyết: Các kiến thức cơ bản (các định nghĩa, định lý. . .) được đưa vào, với khả năng đóng gói và hyperlink của Maple giúp người sử dụng có thể dễ dàng tra cứu, tham khảo để ôn lại kiến thức khi cần thiết. - Ứng dụng Maple: Tương ứng với các kiến thức được nêu trong chương, chúng tôi giới thiệu các lệnh thông dụng của Maple dùng để hỗ trợ thực hành tính toán. Ngoài các câu lệnh riêng lẻ, còn có một số chương trình (gồm nhiều câu lệnh được viết thành nhóm) thực hiện những công việc phổ biến như khảo sát hàm số, tính tích phân theo từng bước . . . giúp người sử dụng có thể dùng Maple giải quyết bài toán của mình mà không phải trực tiếp gõ các lệnh, đồng thời có mẫu để tham khảo tự viết chương trình khi đã quen với Maple. - Bài tập: Chúng tôi đưa vào một số bài tập nhằm giúp người sử dụng nắm được cách gõ các biểu thức toán học theo quy định của Maple, minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 họa cho khả năng tính toán của Maple. Một số bài tập được nêu cả cách giải ”truyền thống” và cách giải bằng Maple để người sử dụng có thể tham khảo và so sánh. Kèm theo luận văn này là một đĩa CD chứa nội dung sách điện tử được biên soạn trên Maple. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học - Viện Khoa học Việt Nam). Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy về sự tận tình hướng dẫn trong quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, các thầy cô tổ Toán - Tin trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ tôi hoàn thành bản luận văn này. Thái Nguyên 2011 Vũ Thanh Hiếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Chương 1 Dãy số và chuỗi số 1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 (Dãy số). Dãy số là một tập đếm được các số thực, được đánh số và sắp xếp theo thứ tự chỉ số tăng dần. Dãy số thường được ký hiệu là (a n ). Ta gọi a n là số hạng tổng quát của dãy số, dãy số được hoàn toàn xác định khi biết công thức biểu diễn số hạng tổng quát a n . Chú ý 1.1. Có nhiều phương pháp cho dãy số: cho công thức biểu diễn số hạng tổng quát, liệt kê, mô tả tính chất, truy hồi, . . . Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn - giới nội). Dãy số (a n ) được gọi là bị chặn trên (bị chặn dưới) nếu tồn tại số c sao cho a n  c (c  a n ) với mọi n. Khi dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ta nói nó là bị chặn (hay còn gọi là giới nội). Định nghĩa 1.3 (Giới hạn của dãy số). Số a được gọi là giới hạn của dãy số (a n ) nếu với mỗi số dương ε bất kỳ ta có thể tìm được một số tự nhiên N (phụ thuộc vào ε) sao cho a n ∈ (a −ε; a + ε), (tức là |a n − a| < ε) với mọi n ≥ N. Khi đó ta viết lim n→∞ a n = a hay a n → a, khi n → ∞ và nói rằng dãy số (a n ) là hội tụ (tới a). Dãy không hội tụ thì được gọi là dãy phân kỳ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... được gọi là đối số hay biến độc lập Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm Đại lượng biến thiên y gọi là hàm số hay đại lượng phụ thuộc Tập hợp D∗ = {y ∈ R| ∃x ∈ D : y = f (x)} gọi là miền giá trị của hàm số 2.1.2 Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số f trong mặt phẳng tọa độ Descartes là tập Gf := {(x; y) ∈ R × R| x ∈ Df , y = f (x)}, trong đó Df là ký hiệu miền xác định của hàm số f Số hóa bởi Trung... y, thì hàm số f −1 được gọi là hàm ngược của f Rõ ràng, miền xác định của f −1 cũng chính là miền giá trị của f 2.2 2.2.1 Các hàm số cơ bản Các hàm sơ cấp cơ bản Bao gồm các hàm luỹ thừa, mũ, logarithm, lượng giác, lượng giác ngược, hyperbolic 2.2.2 Các hàm sơ cấp Bao gồm các hàm sơ cấp cơ bản, hàm hằng; các hàm được lập từ các hàm sơ cấp cơ bản, hàm hằng bằng các phép toán số học (tổng, hiệu, tích thương),... Giới hạn và tính liên tục của hàm số 3.1 3.1.1 Một số khái niệm Giới hạn tại một điểm Giả sử f là một hàm số xác định trên tập X ⊂ R và a là một điểm tụ của tập X Ta nói hàm số f có giới hạn là số L khi x dần tới a nếu với mỗi ε > 0 bất kỳ, có thể tìm được số δ > 0 sao cho với x ∈ X thỏa mãn 0 < |x − a| < δ thì ta có |f (x) − L| < ε Khi ấy ta cũng nói L là giới hạn của hàm f tại a và ký hiệu lim f... lấy hàm hợp 2.3 2.3.1 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 2 Định nghĩa hàm số Hàm số thông thường Để định nghĩa (xác định) một hàm số (cho bằng biểu thức giải tích) , ta sử dụng dòng lệnh: [> f := x →< Biểu thức >; Sau khi đã định nghĩa, ta có thể tính giá trị của hàm f tại các điểm tùy ý Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Ví dụ 2.1 Định nghĩa hàm. .. Định nghĩa 2.4 (Hàm chẵn, lẻ) Cho hàm số f xác định trên tập X Hàm f (x) được gọi là hàm số chẵn (tương ứng hàm số lẻ) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 1) Với mọi x ∈ X thì −x ∈ X 2) f (−x) = f (x) (tương ứng f (−x) = −f (x)), với mọi x ∈ X Định nghĩa 2.5 (Hàm lồi, lõm) Hàm f xác định trên tập X được gọi là hàm lồi nếu, với... sqrt(x) • Hàm ex : kí hiệu exp(x) • Số π có thể dùng kí hiệu P i, số e được xem là một giá trị của hàm mũ exp(x) tại x = 1, tức là ta có thể viết exp(1) để biểu diễn hằng số e Chú ý 1.4 Các lệnh của Maple rất phong phú, tuy nhiên ở đây chúng tôi chỉ giới thiệu một số lệnh cơ bản trong phạm vi ứng dụng khi làm việc với hàm số một biến Nếu muốn tìm hiểu sâu hơn về một lệnh nào đó, trên màn hình làm việc... đề 1.3 Dãy số (an ) hội tụ khi và chỉ khi lim sup an = lim inf an n→∞ n→∞ Ta nhớ lại, với tập con A ⊂ R, một điểm x ∈ R được gọi là điểm tụ của A nếu tồn tại một dãy các phần tử của A hội tụ về x Như vậy, một giới hạn riêng của một dãy chính là một điểm tụ của dãy đó Ta có mệnh đề Mệnh đề 1.4 Điểm a là một điểm tụ của dãy số (an ) khi và chỉ khi có dãy con (ank ) hội tụ tới a 1.1.2 Một số tính chất... chặt được gọi chung là đơn điệu chặt Hàm đơn điệu tăng (giảm) còn được gọi là hàm đồng biến (nghịch biến) Định nghĩa 2.2 (Hàm tuần hoàn) Hàm f được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số T > 0 sao cho f (x + T ) = f (x) với mọi x sao cho x, x + T cùng thuộc miền xác định của hàm số Dễ thấy, nếu f là hàm tuần hoàn thì tồn tại nhiều giá trị T > 0 sao cho f (x + T ) = f (x) Số T > 0 bé nhất (nếu có) thỏa mãn tính... Lệnh xác định hàm từng khúc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 2.3.2 Tìm tập xác định của hàm số Việc tìm tập xác định của hàm số thực chất là việc giải phương trình, bất phương trình hoặc hệ phương trình, hệ bất phương trình Ta dùng lệnh: [> solve({danh sách }, {biến} ); trong đó {danh sách} chứa các phương trình hoặc bất phương trình cần giải √ Ví dụ 2.3... file của Maple Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Chương 2 Hàm số 2.1 2.1.1 Các khái niệm Khái niệm hàm số Giả sử D ⊂ R là tập hợp các số và giả sử theo một quy luật hoàn toàn xác định nào đó, mỗi số x ∈ D đều tương ứng với số duy nhất y ∈ R thì ta nói rằng trên D đã cho hàm (đơn trị) và ký hiệu là y = f (x), x ∈ D hay x → f (x), x ∈ D Đại lượng biến thiên . triển khả năng sáng tạo Luận văn Sách điện tử môn giải tích Hàm số một biến có mục đích hệ thống một số lệnh thông dụng bổ trợ cho phần giải tích Hàm số một biến. Chúng tôi sử dụng Maple version. - - - - - - - - - - - - - Vũ Thanh Hiếu SÁCH ĐIỆN TỬ MÔN GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học PGS toán một cách dễ dàng, nhanh chóng hơn. Luận văn gồm 5 chương: Chương 1. Dãy số và chuỗi số Chương 2. Hàm số Chương 3. Giới hạn và tính liên tục của hàm số Chương 4. Đạo hàm Chương 5. Phép tính tích