5 Phép tính tích phân
5.3.2 Tính tích phân xác định
Câu lệnh tính tích phân xác định
Để tính tích phân xác định của hàm f(x) trên đoạn [a;b], sử dụng các câu lệnh
[> Int(f(x), x = a..b); [> int(f(x), x = a..b);
(hoặc kích chuột vào nút
b
R
a
f dx rồi nhập các giá trị của a, b và f(x) vào
các vị trí tương ứng, cách này có tác dụng tương đương với câu lệnh
Ví dụ 5.2. (Đề thi ĐH khối D, 2011). Tính tích phân I = 4 Z 0 4x−1 √ 2x+ 1 + 2dx. [> Int 4·x−1 √ 2·x+ 1 + 2, x = 0..4 = 4 Z 0 4·x−1 √ 2·x+ 1 + 2dx; Hình 5.6: Ví dụ lệnh tính tích phân xác định.
Chương trình tính tích phân xác định
Đây là chương trình sử dụng các lệnh của Maple để đưa ra giao diện tính tích phân xác định đồng thời vẽ đồ thị của hàm được tính tích phân (xem [4]). Kích chuột vào liên kết để mở chương trình và gõ Enter để chạy chương trình, xuất hiện hộp thoại
Hình 5.7: Hộp thoại chương trình tính tích phân xác định
Nhập các thông tin được yêu cầu, chọn nút TÍCH PHÂN để xem kết quả tính, nút ĐỒ THỊ để xem đồ thị.
5.3.3 Tính tích phân từng bước
Thủ tục Tính tích phân từng bước là một công cụ tốt để luyện tập tính tích phân. Để gọi thủ tục này, ta sử dụng một trong hai cách sau:
• Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Integration Methods. . .
• Gõ nhóm lệnh
[> with(Student[Calculus1]);
Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn một hàm ví dụ để tính tích phân, người sử dụng chỉ cần kích chuột vào liên kết rồi gõ Enter để thực hiện nhóm lệnh này. Hộp thoại Tính tích phân từng bước sẽ xuất hiện như hình dưới đây:
Hình 5.8: Hộp thoại chương trình tính tích phân từng bước
Hộp thoại này có nhiều điểm tương đồng với giao diện Tính giới hạn theo từng bước hay Tính đạo hàm theo từng bước đã được giới thiệu trước đó (xem mục 3.7.4, 4.5.2). Ta sẽ tìm hiểu thêm những chỗ khác biệt. - Nhập giá trị cận dưới vào ô from., nhập giá trị cận trên vào ô to.
- Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính tích phân mà ta muốn áp dụng, chẳng hạn Constant (tích phân của hằng số),
Sum (tích phân của tổng), Product (tích phân của tích), Change (quy tắc đổi biến), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác). . .
5.3.4 Tính diện tích và thể tích
Vận dụng các kiến thức lý thuyết về ứng dụng tích phân vào tính diện tích, thể tích, xét một số ví dụ áp dụng sau
Ví dụ 5.3. (Đề thi ĐH - CĐ khối A, 2002). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = |x2 −4x+ 3|, y = x+ 3.
Hình 5.9: Ví dụ về tính diện tích hình phẳng.
Giải thích các lệnh đã được sử dụng:
- Lệnh solve() để giải phương trình |x2 −4x+ 3| = x+ 3, tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
- Lệnh plot() vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ. Ta thấy
x+ 3 ≥ |x2 −4x+ 3| với mọi x ∈ [0; 5]. Vậy theo công thức (5.2), diện tích cần tính là 5 Z 0 (x+ 3− |x2 −4x+ 3|)dx. - Lệnh int() để tính tích phân.
Ví dụ 5.4. (Đề thi ĐH khối A, 2007). Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 0, x = e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox .
Sử dụng lệnh solve() giải phương trình xlnx = 0, ta tìm được hoành độ giao điểm của các đường y = xlnx và y = 0 là x = 1. Áp dụng công thức (5.6), ta có thể tích cần tính là π e R 1 (xlnx)2dx. Dùng lệnh int() để tính tích phân này. Hình 5.10: Ví dụ về tính thể tích.
Maple cũng cung cấp cho chúng ta các thủ tục tính diện tích mặt tròn xoay và thể tích khối tròn xoay.
Diện tích mặt tròn xoay.
Thủ tục Tính diện tích mặt tròn xoay cho phép tính diện tích đồng thời minh họa bằng hình ảnh động. Để gọi thủ tục này, sử dụng một trong hai cách sau
• Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Surface of Revolution. . .
• Gõ lệnh
[> Student[Calculus1][Surf aceOf RevolutionT utor]();
Hộp thoại sẽ xuất hiện (xem Hình 5.11). Sau khi nhập các giá trị theo yêu cầu, kích chuột vào nút Display ta sẽ xem được kết quả.
Hình 5.11: Hộp thoại Tính diện tích mặt tròn xoay.
Thể tích khối tròn xoay.
Chọn một trong hai cách
• Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Volume of Revolution. . .
• Gõ lệnh
[> Student[Calculus1][V olumeOf RevolutionT utor](); hộp thoại Tính Thể tích khối tròn xoay sẽ xuất hiện.
Người sử dụng cần nhập các hàm f(x), g(x), giá trị của a, b và kích chuột vào nút Display để xem kết quả.
5.3.5 Tính nguyên hàm Lệnh tính nguyên hàm
Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) theo biến x, gõ câu lệnh
[> Int(f(x), x); [> int(f(x), x);
Chú ý 5.1. Maple chỉ đưa ra một nguyên hàm trong lớp các nguyên hàm, người sử dụng cần tự thêm hằng số c vào để kết quả hiển thị chính xác hơn. Ví dụ 5.5. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 +x 1 +√ x. Hình 5.13: Ví dụ về lệnh tính nguyên hàm. Chương trình tính nguyên hàm
Chương trình bao gồm các lệnh Maple tạo giao diện cho phép tính nguyên hàm và vẽ đồ thị của hàm số cùng nguyên hàm của nó trên cùng một hệ trục tọa độ (xem [5]).
Kích chuột vào liên kết để mở chương trình và gõ Enter để chạy chương trình, xuất hiện hộp thoại (xem Hình 5.14)
Nhập hàm cần tính nguyên hàm và biến xác định trong nguyên hàm rồi chọn nút NGUYÊN HÀM để tính nguyên hàm, chọn nút ĐỒ THỊ ta sẽ xem được đồ thị của hàm và nguyên hàm của nó.
Hình 5.14: Hộp thoại chương trình tính nguyên hàm
Kết luận
Maple là một công cụ rất mạnh trong thực hành tính toán, nhưng không phải ai cũng có sẵn một số yếu tố cần thiết: tài liệu, một ít vốn từ tiếng Anh chuyên ngành hay hứng thú, sự kiên nhẫn khi làm quen với một phần mềm mới . . . để tiếp cận với Maple, nếu chưa thấy được rõ ràng những ưu điểm nổi bật của nó. Trong luận văn này, ngoài việc tổng hợp những kiến thức giải tích phần Hàm số một biến, chúng tôi còn cung cấp những thao tác ban đầu giúp người sử dụng dễ dàng tiếp cận hơn với Maple, để khai thác Maple trong công việc giảng dạy, học tập và nghiên cứu toán học.
Những nội dung giải tích chúng tôi đã tổng hợp thành 5 chương. Sau mỗi chương, chúng tôi đưa vào các hướng dẫn sử dụng Maple để thực hành tính toán, giải các bài tập trong phần kiến thức đó. Ngoài ra chúng tôi cũng đưa thêm một số bài tập khó mà việc tính toán thủ công mất nhiều thời gian nhưng nếu sử dụng Maple sẽ rất đơn giản, nhanh chóng và chính xác, với mục đích minh họa thêm cho những tính năng mạnh mẽ của Maple.
Tuy đã nỗ lực làm việc nghiêm túc nhưng do sự hạn chế về khả năng và thời gian nên chắc hẳn luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong đợi những ý kiến chỉ dẫn quý báu của các thầy cô và sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Trần Bình, Bài tập giải sẵn Giải tích I, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2005.
[2] Phạm Huy Điển, Nguyễn Cảnh Dương, Tạ Duy Phượng, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2002.
[3] Phạm Huy Điển, Phan Huy Khải, Tạ Duy Phượng, Cơ sở giải tích phổ thông, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2002.
[4] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng, Hướng dẫn thực hành tính toán trên chương trình Maple V, NXB Giáo dục, 1998.
[5] Trịnh Thanh Hải, Giáo trình sử dụng phần mềm hỗ trợ dạy học toán, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2010.
[6] Vũ Thanh Hiếu, Phạm Thị Nhàn, Tạ Duy Phượng, (2010), ”Sử dụng phần mềm tính toán Maple trong việc hình thành khái niệm tích phân xác định ở lớp 12”, Kỷ yếu hội thảo Các chuyên đề chuyên toán bồi dưỡng HSG THPT.
[7] Vũ Thanh Hiếu, Tạ Duy Phượng, Học và thực hành theo chuẩn kiến thức, kĩ năng Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011.
[8] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích toán học Hàm số một biến, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2005.
[9] Các website http://www.maplesoft.com, http://maplevn2008.wordpress.com.