3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số
3.7.4 Tính giới hạn của hàm số theo từng bước
Thủ tục này là một sự hỗ trợ thú vị cho học sinh trong việc luyện tập tính giới hạn của hàm số, với những gợi ý tường tận từng bước tính giới hạn, vận dụng các quy tắc tính. Để gọi thủ tục, chọn một trong hai cách:
• Chọn Tools→Tutors→Calculus - Single Variable→Limit Methods. . .
• Gõ câu lệnh
[> Student[Calculus1][LimitTutor]();
Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn một hàm ví dụ để tính giới hạn, người sử dụng chỉ
cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình rồi gõ Enter để thực hiện nhóm lệnh này. Hộp thoại sẽ xuất hiện (xem Hình 3.3).
Hình 3.3: Hộp thoại chương trình tính giới hạn của hàm số theo từng bước.
- Nhập hàm cần tính giới hạn vào ô Function.
- Nhập tên biến vào ô Variable (ngầm định là x.) - Nhập giá trị điểm giới hạn vào ô at.
- Chọn tính giới hạn theo hướng (trái -left, phải -right) tại ôDirection. - Chọn ô check box Show Hints để hiển thị các gợi ý. Kích chuột vào nút Get Hint khi cần xin gợi ý.
- Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính giới hạn mà ta muốn áp dụng, chẳng hạn Constant (giới hạn của hằng số:
lim(c) = c), Identity (tính giới hạn theo định nghĩa), Constant Multi- ple (lim(c· f(x)) = c·lim(f(x)), Sum (giới hạn của tổng), Difference
(giới hạn của hiệu), Product (giới hạn của tích), Quotient (giới hạn của thương), Power (giới hạn của hàm mũ), Change (quy tắc đổi biến),
l’Hopital’s Rule (quy tắc l’Hopital), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác, ví dụ tan(x) = sin(x)/cos(x)), Exponential (giới hạn của
hàm mũ cơ số e), Natural Logarithm (giới hạn của hàm ln), hay giới hạn của các hàm lượng giác. . .
Khi ta kích chuột vào một nút để lựa chọn quy tắc nào đó, Maple sẽ thực hiện quy tắc đó nếu áp dụng được, còn nếu không sẽ đưa ra thông báo: không thể áp dụng quy tắc đó, đồng thời đưa ra gợi ý áp dụng một quy tắc khác.
- Chọn nút Next Step để thực hiện lần lượt các bước, hoặc All Steps
để xem toàn bộ các bước tính.
- Nút Undo dùng để loại bỏ thao tác vừa thực hiện. - Kết quả sẽ được hiển thị ở ô trống bên trái hộp thoại.
Chương 4
Đạo hàm
4.1 Khái niệm đạo hàm
4.1.1 Định nghĩa đạo hàmĐạo hàm bậc nhất Đạo hàm bậc nhất
Định nghĩa 4.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trong miền X và điểm
x0 ∈ X. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số f(x)−f(x0)
x−x0 khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f0(x0)
hoặc y0(x0), nghĩa là f0(x0) = lim x→x0 f(x)−f(x0) x−x0 .
Khi đó ta nói hàm f có đạo hàm hay khả vi tại x0. Trong định nghĩa trên, nếu đặt ∆x = x−x0 và ∆y = f(x0 + ∆x)−f(x0) thì ta có f0(x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x)−f(x0) ∆x = lim∆x→0 ∆y ∆x.
Số ∆x = x−x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0 ; số ∆y =
f(x0 + ∆x)−f(x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x0.
Nếu hàm số khả vi tại x0 thì biểu thức df = f0(x0)∆x = f0(x0)dx được gọi là vi phân của hàm số tại x0.
Đạo hàm bậc cao
Định nghĩa 4.2. Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x. Khi ấy phép ứng mỗi điểmx với giá trị đạo hàm củaf tại x (tức làf0(x)) cũng là một hàm số. Hàm này được ký hiệu là f0. Nếu hàm số f0 có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x), ký hiệu là f00.
Đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số và được ký hiệu là f000.
Tổng quát, ta định nghĩa: đạo hàm của đạo hàm cấp n−1 của hàm số
y = f(x) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y, và được ký hiệu bằng một trong các biểu thức f(n), y(n).
Mệnh đề 4.1 (Tính liên tục của hàm số có đạo hàm). Nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại x0.
4.2 Các phép toán trên đạo hàm
4.2.1 Các phép toán số học trên đạo hàm
Mệnh đề 4.2. Nếu f và g có đạo hàm tại x0, thì f ±g, f ·g cũng có đạo hàm tại đó và i) (f ±g)0(x0) =f0(x0)±g0(x0); ii) (f ·g)0(x0) = f0(x0)·g(x0) +f(x0)·g0(x0); iii) Nếu g(x0) 6= 0 thì f g cũng có đạo hàm tại x0 và f g 0 (x0) = g(x0)·f0(x0)−f(x0)·g0(x0) g2(x0) .
Hệ quả 4.1. Nếu f có đạo hàm tại x0 và c là hằng số, thì cf có đạo hàm tại x0 và
Nếu g có đạo hàm tại x0 và g(x0) 6= 0, thì 1 g cũng có đạo hàm tại x0 và 1 g 0 (x0) = g 0(x0) g2(x0).
4.2.2 Đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược
Mệnh đề 4.3 (Đạo hàm của hàm hợp). Nếu u = f(x) có đạo hàm tại x0
và y = g(u) có đạo hàm tại u0 = f(x0), thì g ◦f cũng có đạo hàm tại x0
và
(g◦f)0(x0) = (g(f(x0)))0 = g0(u0)·f0(x0).
Mệnh đề 4.4 (Đạo hàm của hàm ngược). Giả sử x = f(y) có đạo hàmtại y0 ∈ (a;b) và f0(y0) 6= 0. Nếu tồn tại hàm ngược y = g(x) liên tục tại