3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số
3.6.2 Các phép toán trên các hàm liên tục
Các phép toán số học
Mệnh đề 3.2. Cho f, g là hai hàm liên tục tại x0. Khi đó i) f ±g, f ·g cũng là những hàm liên tục tại x0.
ii) f
g với g(x0) 6= 0 là hàm liên tục tại x0.
Tính liên tục của hàm hợp
Mệnh đề 3.3. Nếu f liên tục tại điểm x0 vàg liên tục tại điểm y0 = f(x0)
thì g◦f cũng liên tục tại điểm x0. Tính liên tục của hàm ngược
Mệnh đề 3.4. Giả sử hàm y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng
X, đơn điệu tăng (giảm) chặt trên X. Khi đó tồn tại hàm ngược đơn trị
x = f−1(y) liên tục và đơn điệu tăng (giảm) trên Y = f(X). 3.6.3 Hàm số liên tục đều
Định nghĩa 3.4. Hàm số f được gọi là liên tục đều trên tập X ⊂ R nếu như với mỗi số dương ε, ta tìm được số dương δ sao cho
∀x, y ∈ X,|x−y| ≤δ, ta có |f(x)−f(y)| ≤ ε.
Nhận xét 3.1. Nếu hàm là liên tục đều trên tập X thì liên tục tại mọi điểm trên tập đó. Điều ngược lại nói chung là không đúng.
3.6.4 Hàm liên tục trên tập compact
Một tập con đóng và bị chặn trên R được gọi là tậpcompact. Ta có các kết quả sau đây về tính chất của hàm số liên tục trên tập compact.
Định lý 3.10 (Cantor). Hàm liên tục trên tập compact K thì cũng liên tục đều trên tập đó.
Hệ quả 3.2. Hàm liên tục trên một đoạn thì cũng liên tục đều trên đoạn đó.
Định nghĩa 3.5. Ký hiệu dao động của f trên tập X là
ω = sup x,x0∈X
{f(x)−f(x0)}.
Hệ quả 3.3. Nếu f là liên tục trên [a;b] thì với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0
sao cho trên mỗi đoạn con của [a;b] có độ dài δ, dao động của f không vượt quá ε.
Định lý 3.11 (Weierstrass). Hàm liên tục trên tập compact K thì bị chặn trên tập đó.
Định lý 3.12 (Weierstrass). Hàm liên tục trên tập compact K thì đạt được các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên tập đó.
3.7 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán
chương 3
3.7.1 Tính giới hạn của hàm số
Để tính giới hạn của hàm f(x) tại điểm a, (a cũng có thể là +∞ hoặc
−∞), gõ câu lệnh
[> Limit(f(x), x = a,{dir});
nếu cần hiển thị biểu thức biểu thị giới hạn; gõ câu lệnh
[> limit(f(x), x = a,{dir});
(hoặc chọn nút lim
x→af rồi nhập giá trị của a và f) để hiển thị giá trị giới hạn.
- dir (direction): hướng lấy giới hạn (left, right). Tùy chọn này được bao bởi hai dấu ”{” và ”}” để biểu thị rằng nó có thể có hoặc không.
Ví dụ 3.1. (ĐH Quốc gia Hà nội, 1998). Tính giới hạn lim x→1 x3 −√3·x−2 x−1 . [> Limitx 3 −√3·x−2 x−1 , x = 1 = lim x→1 x3 −√3·x−2 x−1 ; Ví dụ 3.2. Tính giới hạn lim x→0+
1−cosx·cos3x·cos4x x2
[> Limit1−cos(x)·cos(3·x)·cos(4·x)
x2 , x = 0, right
= limit1−cos(x)·cos(3·x)·cos(4·x)
x2 , x = 0, right;
Hình 3.1: Ví dụ về lệnh tính giới hạn.
3.7.2 Tìm điểm gián đoạn của hàm số
Việc khảo sát tính liên tục của một hàm số tương đương với việc tìm các điểm gián đoạn của hàm số đó. Để tìm điểm gián đoạn của hàm số
f(x), ta sử dụng nhóm lệnh
Ví dụ 3.3. Tìm điểm gián đoạn của hàm số y = e
1+ 1
√
x2 −1 [> readlib(discont); disconte
1+ 1
√
x2 −1, x;
Kết quả hiển thị: {−1; 1}.
3.7.3 Tính giới hạn của hàm số khi đối số dần đến một điểmnào đó nào đó
Maple 13 xây dựng sẵn một số giao diện cho phép ta minh họa các thao tác tính giới hạn, đạo hàm hay tích phân. . . Giao diện này cho thấy hình ảnh trực quan hàm số dần tới giới hạn khi đối số dần tới một điểm nào đó. Có hai cách để gọi thủ tục mở giao diện này:
• Chọn Tools → Tutors → Precalculus → Limits. . .
• Gõ hai câu lệnh: lệnh mở gói công cụ và lệnh gọi thủ tục
[> Student[Precalculus][LimitTutor]();
LimitTutor(f, a, dir); (Hoặc LimitTutor(f, x=a, dir);)
trong đó:
- f là một hàm số một biến; x: tên biến của f;a: một điểm tùy chọn. - dir (direction): hướng lấy giới hạn (left, right.)
Để thuận tiện cho người sử dụng, nhất là với những người mới làm quen với Maple, chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn một hàm ví dụ để tính giới hạn, ta chỉ cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình rồi gõ Enter để thực hiện nhóm lệnh này. Hộp thoại sẽ xuất hiện (xem Hình 3.2).
- Nhập hàm cần tính giới hạn vào ô f(x) =.
- Nhập giá trị điểm giới hạn vào ô x =.
- Trong mục Direction of Limit, chọn nút left, 2-sided hay right
nếu muốn tính giới hạn trái, giới hạn hai phía hay giới hạn phải.
- Kích chuột vào nút Display để xem kết quả: đồ thị hàm số cùng hình ảnh dần tới giới hạn sẽ hiển thị ở khung bên trái, bảng một số giá trị của đối số và một số giá trị tương ứng của hàm số dần tới giới hạn hiển thị ở
khung bên phải của hộp thoại.
- Kích chuột vào nút Plot Options nếu muốn thay đổi các tùy chọn về đồ thị, chẳng hạn miền vẽ đồ thị (kích chuột vào nút check box Enable user-defined ranges rồi nhập các giá trị min, max trên dòng X axis, Y
axis để thay đổi miền vẽ đồ thị), kiểu trục tọa độ , nhãn của trục tọa độ hay màu sắc. . .
- Hai ô dưới cùng của cửa sổ thông báo giá trị giới hạn hàm số khi x
tiến tới a, và câu lệnh Maple tương ứng.
Hình 3.2: Hộp thoại chương trình tính giới hạn của hàm số khi đối số dần đến một điểm nào đó.
3.7.4 Tính giới hạn của hàm số theo từng bước
Thủ tục này là một sự hỗ trợ thú vị cho học sinh trong việc luyện tập tính giới hạn của hàm số, với những gợi ý tường tận từng bước tính giới hạn, vận dụng các quy tắc tính. Để gọi thủ tục, chọn một trong hai cách:
• Chọn Tools→Tutors→Calculus - Single Variable→Limit Methods. . .
• Gõ câu lệnh
[> Student[Calculus1][LimitTutor]();
Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn một hàm ví dụ để tính giới hạn, người sử dụng chỉ
cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình rồi gõ Enter để thực hiện nhóm lệnh này. Hộp thoại sẽ xuất hiện (xem Hình 3.3).
Hình 3.3: Hộp thoại chương trình tính giới hạn của hàm số theo từng bước.
- Nhập hàm cần tính giới hạn vào ô Function.
- Nhập tên biến vào ô Variable (ngầm định là x.) - Nhập giá trị điểm giới hạn vào ô at.
- Chọn tính giới hạn theo hướng (trái -left, phải -right) tại ôDirection. - Chọn ô check box Show Hints để hiển thị các gợi ý. Kích chuột vào nút Get Hint khi cần xin gợi ý.
- Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính giới hạn mà ta muốn áp dụng, chẳng hạn Constant (giới hạn của hằng số:
lim(c) = c), Identity (tính giới hạn theo định nghĩa), Constant Multi- ple (lim(c· f(x)) = c·lim(f(x)), Sum (giới hạn của tổng), Difference
(giới hạn của hiệu), Product (giới hạn của tích), Quotient (giới hạn của thương), Power (giới hạn của hàm mũ), Change (quy tắc đổi biến),
l’Hopital’s Rule (quy tắc l’Hopital), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác, ví dụ tan(x) = sin(x)/cos(x)), Exponential (giới hạn của
hàm mũ cơ số e), Natural Logarithm (giới hạn của hàm ln), hay giới hạn của các hàm lượng giác. . .
Khi ta kích chuột vào một nút để lựa chọn quy tắc nào đó, Maple sẽ thực hiện quy tắc đó nếu áp dụng được, còn nếu không sẽ đưa ra thông báo: không thể áp dụng quy tắc đó, đồng thời đưa ra gợi ý áp dụng một quy tắc khác.
- Chọn nút Next Step để thực hiện lần lượt các bước, hoặc All Steps
để xem toàn bộ các bước tính.
- Nút Undo dùng để loại bỏ thao tác vừa thực hiện. - Kết quả sẽ được hiển thị ở ô trống bên trái hộp thoại.
Chương 4
Đạo hàm
4.1 Khái niệm đạo hàm
4.1.1 Định nghĩa đạo hàmĐạo hàm bậc nhất Đạo hàm bậc nhất
Định nghĩa 4.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trong miền X và điểm
x0 ∈ X. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số f(x)−f(x0)
x−x0 khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f0(x0)
hoặc y0(x0), nghĩa là f0(x0) = lim x→x0 f(x)−f(x0) x−x0 .
Khi đó ta nói hàm f có đạo hàm hay khả vi tại x0. Trong định nghĩa trên, nếu đặt ∆x = x−x0 và ∆y = f(x0 + ∆x)−f(x0) thì ta có f0(x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x)−f(x0) ∆x = lim∆x→0 ∆y ∆x.
Số ∆x = x−x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0 ; số ∆y =
f(x0 + ∆x)−f(x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x0.
Nếu hàm số khả vi tại x0 thì biểu thức df = f0(x0)∆x = f0(x0)dx được gọi là vi phân của hàm số tại x0.
Đạo hàm bậc cao
Định nghĩa 4.2. Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x. Khi ấy phép ứng mỗi điểmx với giá trị đạo hàm củaf tại x (tức làf0(x)) cũng là một hàm số. Hàm này được ký hiệu là f0. Nếu hàm số f0 có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x), ký hiệu là f00.
Đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số và được ký hiệu là f000.
Tổng quát, ta định nghĩa: đạo hàm của đạo hàm cấp n−1 của hàm số
y = f(x) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y, và được ký hiệu bằng một trong các biểu thức f(n), y(n).
Mệnh đề 4.1 (Tính liên tục của hàm số có đạo hàm). Nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại x0.
4.2 Các phép toán trên đạo hàm
4.2.1 Các phép toán số học trên đạo hàm
Mệnh đề 4.2. Nếu f và g có đạo hàm tại x0, thì f ±g, f ·g cũng có đạo hàm tại đó và i) (f ±g)0(x0) =f0(x0)±g0(x0); ii) (f ·g)0(x0) = f0(x0)·g(x0) +f(x0)·g0(x0); iii) Nếu g(x0) 6= 0 thì f g cũng có đạo hàm tại x0 và f g 0 (x0) = g(x0)·f0(x0)−f(x0)·g0(x0) g2(x0) .
Hệ quả 4.1. Nếu f có đạo hàm tại x0 và c là hằng số, thì cf có đạo hàm tại x0 và
Nếu g có đạo hàm tại x0 và g(x0) 6= 0, thì 1 g cũng có đạo hàm tại x0 và 1 g 0 (x0) = g 0(x0) g2(x0).
4.2.2 Đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược
Mệnh đề 4.3 (Đạo hàm của hàm hợp). Nếu u = f(x) có đạo hàm tại x0
và y = g(u) có đạo hàm tại u0 = f(x0), thì g ◦f cũng có đạo hàm tại x0
và
(g◦f)0(x0) = (g(f(x0)))0 = g0(u0)·f0(x0).
Mệnh đề 4.4 (Đạo hàm của hàm ngược). Giả sử x = f(y) có đạo hàmtại y0 ∈ (a;b) và f0(y0) 6= 0. Nếu tồn tại hàm ngược y = g(x) liên tục tại tại y0 ∈ (a;b) và f0(y0) 6= 0. Nếu tồn tại hàm ngược y = g(x) liên tục tại
x0 = f(y0) thì tồn tại đạo hàm g0(x0) và
g0(x0) = 1
f0(y0).
4.2.3 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
y = c = const, y0 = 0, ∀x. y = x, y0 = 1, ∀x. y = xn, n ∈ N, y0 = nxn−1. y = 1 x, y 0 = − 1 x2, x 6= 0. y = √ x, y0 = 1 2√ x, x >0. y = ex, y0 = ex, ∀x. y = ax,0< a 6= 1, y0 = axlna, ∀x. y = lnx, y0 = 1 x, x > 0. y = logax, y0 = 1 xlna, x > 0.
y = sinx, y0 = cosx, ∀x. y = cosx, y0 = −sinx, ∀x. y = tanx, y0 = 1 cos2x, x 6= (2k+ 1)π 2, k nguyên. y = cotx, y0 = − 1 sin2x, x 6= kπ, k nguyên. y = arcsinx, y0 = √ 1 1−x2, −1 < x <1. y = arccosx, y0 = −√ 1 1−x2, −1 < x <1. y = arctanx, y0 = 1 1 +x2, ∀x. y = arccotx, y0 = − 1 1 +x2, ∀x. 4.3 Các định lý quan trọng về hàm khả vi
4.3.1 Định lý Fermat về điều kiện cực trị
Định nghĩa 4.3. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D : D ⊂ R và
x0 ∈ D.
a) x0 được gọi là một điểm cực đại (địa phương) của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho f(x) 6 f(x0) với mọi
x ∈ (a;b)∩D. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu (địa phương) của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi
x ∈ (a;b)∩D. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Định lý 4.1 (Định lý Fermat về điều kiện cực trị). Cho f xác định trên khoảng (a;b). Nếu f đạt cực trị tại điểm c ∈ (a;b) và f0(c) tồn tại, thì
4.3.2 Các định lý về giá trị trung bình
Định lý 4.2 (Định lý Rolle). Cho f là hàm liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a;b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) để f0(c) = 0.
Định lý 4.3 (Định lý Lagrange). Cho hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) để
f0(c) = f(b)−f(a)
b−a .
Định lý 4.4 (Định lý Cauchy). Cho các hàm f và g liên tục trên đoạn
[a;b] và có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng (a;b), ngoài ra g0(x) 6= 0 với mọi x ∈ (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) để
f(b)−f(a) g(b)−g(a) = f0(c) g0(c). 4.4 Một số ứng dụng của đạo hàm 4.4.1 Tính giới hạn dạng không xác định Giới hạn dạng không xác định 0 0
Định lý 4.5 (Định lý L’Hospital). Giả sử f, g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a thỏa mãn điều kiện f(a) = g(a) = 0. Nếu tồn tại giới hạn lim
x→a
f0(x)
g0(x) = L thì cũng tồn tại giới hạn xlim→a
f(x)
g(x) = L.
Giới hạn dạng không xác định ∞ ∞
Định lý 4.6 (Định lý L’Hospital). Giả sử f, g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a và thỏa mãn điều kiện lim
x→af(x) = lim
x→ag(x) = ∞.
Khi đó nếu tồn tại giới hạn lim x→a f0(x) g0(x) = L thì cũng tồn tại giới hạn lim x→a f(x) g(x) = L.
4.4.2 Tìm cực trị của hàm số
Định lý 4.7 (Điều kiện đủ bậc nhất). Cho hàm f liên tục và khả vi trong lân cận của điểm x0. Khi đó
i) Nếu đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0
thì hàm số đạt cực đại tại x0.
ii) Nếu đạo hàm của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
iii) Nếu đạo hàm của hàm số không đổi dấu khi đi qua x0 thì điểm này không phải là điểm cực trị.
Định lý 4.8 (Điều kiện cực trị bậc hai). Cho hàm f khả vi liên tục trên
(a;b) và có đạo hàm bậc hai liên tục tại điểm c ∈ (a;b). Khi đó
i) Nếu f đạt cực tiểu địa phương tại c thì f0(c) = 0 và f00(c) ≥ 0.
Ngược lại, nếu f0(c) = 0 và f00(c) > 0 thì f có cực tiểu địa phương tại c.
ii) Nếu f đạt cực đại địa phương tại c thì f0(c) = 0 và f00(c) ≤ 0.
Ngược lại, nếu f0(c) = 0 và f00(c) < 0 thì f có cực đại địa phương tại c.
4.4.3 Khảo sát các tính chất của hàm sốKhảo sát tính đơn điệu của hàm số Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
Định lý 4.9. Hàm khả vi là đơn điệu không giảm khi và chỉ khi đạo hàm của nó không âm.
Khảo sát tính lồi lõm của hàm số
Định lý 4.10. Hàm khả vi là lồi khi và chỉ khi đạo hàm của nó là đơn điệu tăng.
Tìm điểm uốn của đồ thị
Định nghĩa 4.4. Cho f là một hàm số liên tục trên một miền X và
x0 ∈ X. Giả sử tồn tại δ > 0sao cho f(x) lồi trên (x0−δ;x0) và lõm trên
(x0;x0+δ), hoặc lõm trên (x0−δ;x0) và lồi trên (x0;x0+δ), thì x0 được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số f.
Mệnh đề 4.5. Giả sử tồn tại một số δ > 0 sao cho hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc hai trên khoảng (c−δ;c+δ). Khi đó
i) Nếu f00 đổi dấu khi x đi qua c thì M(c;f(c)) là điểm uốn của đồ thị. ii) Nếu f00 không đổi dấu khi x đi qua c thì M(c;f(c)) không phải là điểm uốn của đồ thị hàm số.
4.5 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán
chương 4
4.5.1 Tính đạo hàm của hàm số
Gõ câu lệnh có cú pháp
[> Dif f(f(x), x);
để hiển thị biểu thức biểu thị đạo hàm bậc nhất của hàm f(x).
Gõ câu lệnh
[> dif f(f(x), x);
hoặc chọn nút công thức d
dxf rồi nhập hàm vào vị trí f để hiển thị kết
quả tính đạo hàm bậc nhất của hàm f(x).
Gõ câu lệnh có cú pháp
[> Dif f(f(x), x$ n);
để hiển thị biểu thức biểu thị đạo hàm bậc n của hàm f(x).
Gõ câu lệnh
[> dif f(f(x), x$ n);
hoặc chọn nút công thức d
dxf rồi thay d bởi d