Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 149 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
149
Dung lượng
1,43 MB
Nội dung
Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu em thu n ti n vi c ôn luy n thi i h c Cao ng năm 2009 Chúng g i t ng em vi t nh mang tính t ng quát gi i tích hàm s l p 12 , m t s ng d ng c áo gi i quy t tri t nh ng d ng toán t ng c p l p h c dư i mà em b ngõ Tài li u c c p nhi u ch chuyên phù h p vi c ôn luy n thi c p t c chu n b kỳ thi i h c tháng 7/2009 Trong trình biên so n ch c h n cịn nhi u ch thi u sót khách quan, chúng tơi r t mong óng góp q báu c a b n c gi g n xa , thư góp ý g i v email: phukhanh1009@gmail.com Tài li u c lưu tr t i hai website : http://www.mathsvn.violet.vn http://www.maths.vn Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Bài 1: TÍNH ƠN I U C A HÀM S 1.1 TÓM T T LÝ THUY T nh nghĩa : Gi s K m t kho ng , m t o n ho c m t n a kho ng Hàm s f xác • nh K c g i ( ) ( ) ⇒ f (x ) > f (x ) ng bi n K n u v i m i x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x ; • Ngh ch bi n K n u v i m i x 1, x ∈ K , x < x 2 i u ki n c n hàm s Gi s hàm s f có ơn i u : o hàm kho ng I • N u hàm s f ( ) I f ' ( x ) ≤ v ng bi n kho ng I f ' x ≥ v i m i x ∈ I • N u hàm s f ngh ch bi n kho ng i u ki n hàm s i m i x ∈I ơn i u : nh lý : nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân ( nh lý Lagrange): N u hàm s f liên t c a;b có o hàm kho ng a;b t n t i nh t m t i m c ∈ a;b ( ) () () ( )( ( ) ) cho f b − f a = f ' c b − a nh lý : Gi s I m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t o n , f hàm s liên t c I có i m c a I ( t c i m thu c I không ph i u mút c a I ) Khi ó : • N u f ' x > v i m i x ∈ I hàm s f ng bi n kho ng I ; • • ( ) N u f ' (x ) < v N u f ' (x ) = v o hàm t i m i i m i x ∈ I hàm s f ngh ch bi n kho ng I ; i m i x ∈ I hàm s f khơng Chú ý : • N u hàm s f liên t c a;b có a;b • N u hàm s f liên t c a;b có a;b i kho ng I ( ) ( ) ( ) ( ) o hàm f ' x > kho ng a;b hàm s f ng bi n o hàm f ' x < kho ng a;b hàm s f ngh ch bi n • Ta có th m r ng nh lí sau : Gi s hàm s f có o hàm kho ng I N u f '(x ) ≥ v i ∀x ∈ I ( ho c f '(x ) ≤ v i ∀x ∈ I ) f '(x ) = t i m t s h u h n i m c a I hàm s f ngh ch bi n) I ng bi n (ho c Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P D ng : Xét chi u bi n thiên c a hàm s ( ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s y = f x ta th c hi n bư c sau: • Tìm t p xác nh D c a hàm s • Tính o hàm y ' = f ' x ( ) ( ) • Tìm giá tr c a x thu c D ( ) f ' x = ho c f ' x khơng xác nh ( ta g i ó i m t i h n hàm s ) • Xét d u y ' = f ' x t ng kho ng x thu c D ( ) • D a vào b ng xét d u i u ki n suy kho ng ơn i u c a hàm s Ví d :Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: y = − x − 3x + 24x + 26 y = x − 3x + y = x + 3x + 3x + Gi i: y = − x − 3x + 24x + 26 Hàm s ã cho xác nh » Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔ x = B ng xét d u c a y ' x −∞ −4 y' − + +∞ − ng bi n kho ng ( −4;2 ) , ( ) y ' > 0, x ∈ ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) ⇒ y ngh ch bi n kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) y ' > 0, x ∈ −4;2 ⇒ y Ho c ta có th trình bày : Hàm s ã cho xác nh » Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔ x = B ng bi n thiên x −∞ −4 y' − + +∞ y V y, hàm s ( ) +∞ − −∞ ( ) ( ) ng bi n kho ng −4;2 , ngh ch bi n kho ng −∞; −4 2; +∞ Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y = x − 3x + Hàm s ã cho xác nh » Ta có : y ' = 3x − 6x = 3x (x − 2) x = y ' = ⇔ 3x (x − 2) = ⇔ x = B ng bi n thiên x −∞ + − y' +∞ + y ng bi n m i kho ng (−∞; 0) (2; +∞) , ngh ch bi n (0;2) V y hàm y = x + 3x + 3x + Hàm s ã cho xác nh » ( ) ( ) Ta có: f ' x = 3x = 6x + = x + ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = −1 f ' x > v i m i x ≠ −1 Vì hàm s ( ) ng bi n m i n a kho ng −∞; −1 −1; +∞ nên hàm s ng bi n » Ho c ta có th trình bày : x y' −∞ + +∞ y −∞ Vì hàm s +∞ −1 + ( ) ng bi n m i n a kho ng −∞; −1 −1; +∞ nên hàm s Ví d :Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: 1 y = − x + 2x − 4 y = x + 2x − 3 y = x − 6x + 8x + Gi i: y = − x + 2x − ã cho xác nh » Hàm s Ta có: y ' = − x + 4x = −x x − ( ) ng bi n » Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x = y ' = ⇔ −x x − = ⇔ x = ±2 B ng bi n thiên x −∞ −2 y' + − + ( ) +∞ − y −∞ +∞ ( ) ( ) ng bi n kho ng −∞; −2 , 0;2 ngh ch bi n V y, hàm s ( )( ) kho ng −2; , 2; +∞ y = x + 2x − Hàm s ã cho xác nh » Ta có: y ' = 4x + 4x = 4x x + ( ) Vì x + > 0, ∀x ∈ » nên y ' = ⇔ x = B ng bi n thiên x −∞ y' − +∞ y +∞ + +∞ ( ) ( ) ng bi n kho ng 0; +∞ ngh ch bi n kho ng −∞; V y, hàm s y = x − 6x + 8x + Hàm s ã cho xác nh » Ta có: y ' = 4x − 12x + = 4(x − 1)2 (x + 2) x = −2 y ' = ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = ⇔ x = B ng bi n thiên: x y' −∞ − −2 + +∞ + y V y,hàm ng bi n kho ng (−2; +∞) ngh ch bi n kho ng (−∞; −2) Nh n xét: * Ta th y t i x = y = , qua ó y ' không i d u * i v i hàm b c b n y = ax + bx + cx + dx + e ln có nh t m t kho ng ngh ch bi n Do v y v i hàm b c b n ng bi n m t kho ng Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu khơng th ơn i u » Ví d :Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: 2x − 1 y = x +1 x +2 y = x −1 −x + 2x − y = x +2 x + 4x + y = x +2 Gi i: 2x − x +1 Hàm s ã cho xác y = Ta có: y ' = ( ( x + 1) ) ( ) nh kho ng −∞; −1 ∪ −1; +∞ > 0, ∀x ≠ −1 ( ) ( ) ng bi n m i kho ng −∞; −1 −1; +∞ V y hàm s x +2 x −1 Hàm s ã cho xác y = Ta có: y ' = V y hàm s ( ) ( ) nh kho ng −∞;1 ∪ 1; +∞ < 0, ∀x ≠ ( x − 1) ( ) ( ) ng bi n m i kho ng −∞;1 1; +∞ −x + 2x − y = x +2 Hàm s ã cho xác nh kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ ( Ta có: y ' = −x − 4x + (x + 2) x = −5 y' = ⇔ x = B ng bi n thiên : x −∞ −5 y' − +∞ y ) ( ) , ∀x ≠ −2 −2 + + +∞ −∞ +∞ − −∞ Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu V y, hàm s ( ) ( ) ng bi n kho ng −5; −2 −2;1 , ngh ch bi n ( ) ( ) kho ng −∞; −5 1; +∞ x + 4x + x +2 Hàm s ã cho xác nh kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ y = ( Ta có: y ' = x + 4x + (x + ) B ng bi n thiên : x −∞ y' + y −∞ V y , hàm s ) ( ) > 0, ∀x ≠ −2 +∞ −2 + +∞ +∞ −∞ ng bi n m i kho ng −∞; −2 −2; +∞ ( ) ( ) Nh n xét: ax + b (a.c ≠ 0) cx + d bi n t ng kho ng xác nh c a * i v i hàm s y = ng bi n ho c ngh ch ax + bx + c ln có nh t hai kho ng ơn i u a 'x + b ' * C hai d ng hàm s không th ơn i u » * i v i hàm s y = Ví d :Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: y =| x − 2x − | y = 3x − x Gi i: y =| x − 2x − | Hàm s ã cho xác nh » x − 2x − x ≤ −1 ∪ x ≥ Ta có: y = −x + 2x + − < x < 2x − x < −1 ∪ x > ⇒y'= ⇒y'=0 ⇔x =1 −2x + − < x < Hàm s khơng có o hàm t i x = −1 x = B ng bi n thiên: x −∞ −1 y' − + y − +∞ + Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Hàm ng bi n m i kho ng (−1;1) (3; +∞) , ngh ch bi n (−∞; −1) (1; 3) y = 3x − x Hàm s ã cho xác Ta có: y ' = nh n a kho ng (−∞; 3] 3(2x − x ) , ∀x < 3, x ≠ 3x − x ∀x < 3, x ≠ : y ' = ⇔ x = Hàm s o hàm t i i m x = 0, x = B ng bi n thiên: −∞ x y' − || + − +∞ || y Hàm ng bi n kho ng (0;2) , ngh ch bi n (−∞; 0) (2; 3) Ví d : Tìm kho ng ơn i u c a hàm s f x = sin x kho ng 0;2π ( ) Hàm s ( ( ) ) Gi i: nh kho ng 0;2π ã cho xác ( ) ( ) Ta có : f ' x = cos x , x ∈ 0;2π ( ) ( ) f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = Chi u bi n thiên c a hàm s x ( ) f (x ) + f' x 3π 2 c nêu b ng sau : ,x = 3π − + 2π Hàm s π π −1 π 3π π 3π ng bi n m i kho ng 0; ;2π , ngh ch bi n kho ng ; 2 2 BÀI T P T LUY N Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: 1 y = x − 3x + 8x − y = x − 2x x −1 Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: y = 2x + 3x + y = − x + 6x − 9x − 3 y = x − 2x − y = 2x − x Ch ng minh r ng hàm s : y = − x ngh ch bi n o n 0;2 y = x + x − cos x − ng bi n » y = cos 2x − 2x + ngh ch bi n » Cho hàm s y = sin2 x + cos x π π ng bi n o n 0; ngh ch bi t o n ; π 3 3 a ) Ch ng minh r ng hàm s ( ) b) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m nh t thu c o n 0; π Hư ng d n 1 y = x − 3x + 8x − Hàm s ã cho xác nh » Ta có f ' x = x − 6x + ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = 2, x = Chi u bi n thiên c a hàm s x f' x ( ) f (x ) −∞ − + c nêu b ng sau : +∞ + +∞ −∞ V y hàm s ( ) ( ) ( ) ng bi n m i kho ng −∞;2 4; +∞ , ngh ch bi n kho ng 2; x − 2x x −1 Hàm s ã cho xác y = {} nh t p h p » \ Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + > 0, x ≠ = ( x − 1) ( x − 1) x − 2x + 2 Chi u bi n thiên c a hàm s c nêu b ng sau : x −∞ +∞ + + f' x ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ V y hàm s −∞ ng bi n m i kho ng −∞;1 1; +∞ ( ) ( ) y = 2x + 3x + Hàm s ã cho xác nh » Ta có f ' x = 6x + 6x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n m i kho ng ( −∞; −1) ( 0; +∞ ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n kho ng ( −1; ) f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ( ) Ngoài : H c sinh có th gi i f ' x = , tìm hai nghi m x = −1, x = , k b ng bi n thiên r i k t lu n y = x − 2x − Hàm s ã cho xác nh » ( ) Ta có f ' x = 4x − 4x ( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n m i kho ng ( −1; ) (1; +∞ ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n m i kho ng ( −∞; −1) ( 0;1) f ' x > 0, x ∈ −1; , 1; +∞ ⇒ f x ( ) Ngoài : H c sinh có th gi i f ' x = , tìm hai nghi m x = −1, x = 0, x = , k b ng bi n thiên r i k t lu n y = − x + 6x − 9x − 3 Hàm s ã cho xác nh » ( ) ( Ta có f ' x = −4x + 12x − = − 2x − ) 3 f ' x < v i m i x ≠ 2 3 3 Vì hàm s ngh ch bi n m i n a kho ng −∞; ; +∞ nên hàm s ngh ch bi n » 2 2 ( ) f' x =0⇔x = ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y Giao i m c a th v i tr c Oy A 0; −3 ( f(x)=x^4-2x^2-3 ) Giao i m c a tr c ( th v i ) ( Ox B − 3; ,C 3; ) x -8 -6 -4 -2 th hàm s ch n nên nh n tr c Oy làm tr c i x ng -5 Ví d 2: ( ) 2 Ch ng minh r ng phương trình: x − m + x + m + = ln có nghi m phân bi t x 1, x , x , x v i m i giá tr c a m Tìm giá tr m cho x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 11 ( 2 Gi i: ) x − m + x + m + = ( 1) 2 ( ) ( ) (t ≥ ) t : t = x , ta có : t − m + t + m + = (2 ) ln có hai nghi m : < t Ta ch ng t ( ∆ ' = m2 + ) − (m < t2 ) + = 4m + > v i m i m ( () ) V y ln có hai nghi m phân bi t t1, t2 t1 ⋅ t2 = m + > t1 + t2 = m + > () Do ó phương trình có nghi m : − t1 , t1 , − t2 , t2 2 2 x1 + x + x + x + x1 ⋅ x ⋅ x ⋅ x ( ) + ( t ) + ( − t ) + ( t ) + ( − t ) ⋅ ( t ) ⋅ ( − t ) ⋅ ( t ) = (t + t ) + t ⋅ t x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = (m + ) + m + = m + 4m + 11 = − t1 2 2 2 2 1 2 4 2 x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 11 ⇔ m + 4m + 11 = 11 ⇔ m + 4m = ⇔ m = 2 2 Hàm s h u t ( ) f x = ax + b cx + d Dáng i u y= ax + b cx + d ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) ⇒ f ' (x ) = ( ) th c a hàm s f x = ax + b cx + d ad − bc (cx + d ) ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y y I a c ã cho xác a c d − c ( ) th c a hàm s f x = Ví d : Kh o sát s bi n thiên v • Hàm s O x Gi i : {} nh D = » \ • Gi i h n : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ ⇒ x = ti m c n x →1 2x − x −1 ng x →1 lim y = lim y = ⇒ y = ti m c n ngang x →−∞ x →+∞ ( ) • o hàm : f ' x = −1 < 0, x ≠ (x − 1)2 ( ) ( ) th c a hàm s ngh ch bi n kho ng −∞;1 1; +∞ • B ng bi n thiên : −∞ x f' x ( ) − − +∞ ( ) +∞ f x −∞ • th : Giao i m c a Oy A 0;1 ( ) th v i tr c Giao i m c a th v i tr c 1 Ox B ; 2 th c a hàm s nh n I 1;2 giao i m hai ng ( ) ti m c n làm tâm i x ng − x d c I Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y= Hàm s h u t ax + bx + c aa ' x + 2ab ' x + bb '− ca ' ⇒y' = a 'x + b ' a 'x + b ' ( ax + bx + c a 'x + b ' th c a hàm s y = Dáng i u ) y y 15 10 I x I x -10 -5 10 -5 Dáng i u hàm s ch a giá tr t i x2 x2 f x = C f x = C1 x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) ( ) y y 6 5 4 y=x+1 y=x+1 2 y=-x-1 1 x -4 -4 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -1 x=1 -1 -2 x=1 -2 -3 -3 ( ) f x = x2 C2 x −1 ( ) ( ) f x = x2 C3 x −1 ( ) y y 6 y=-x+1 y=x+1 y=x+1 y=-x+1 -4 -3 -2 -1 x=-1 x x=1 -2 -4 -3 -2 -1 x=-1 -2 x=1 Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) f x = x2 C4 x −1 ( ) ( ) f x = x2 C5 x −1 ( ) y y 6 4 y=x+1 y=-x-1 y=x+1 x -8 y=-x-1 -6 -4 -2 2 -2 -3 -2 -1 x=-1 x=1 -4 x -4 4 -6 x=1 -8 -2 -10 ( ) th c a hàm s f x = Ví d 1: Kh o sát s bi n thiên v • Hàm s Gi i : {} nh D = » \ ã cho xác • Gi i h n : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ x →1 x − 3x + x −1 x →1 lim y = −∞ lim y = +∞ ⇒ x = ti m c n x →−∞ x →+∞ ng 4 lim y − x − = lim = 0, lim y − x − = lim = ⇒ y = x − ti m c n xiên x →−∞ x − x →+∞ x − x →−∞ x →+∞ x − 2x − • o hàm : f ' x = ,x ≠ (x − 1)2 ( ) ( ) ( ) x = −1, f f' x =0⇔ x = 3, f • B ng bi n thiên : x −∞ −1 + − f' x ( ) ( −1) = −5 (3) = ( ) ( ) −5 +∞ +∞ − + +∞ f x −∞ −∞ Hàm s ng bi n kho ng −∞; −1 3; +∞ , ngh ch bi n kho ng −1;1 1; ( Hàm s có i m c c • ) ( ( ) ( ) () i t i x = −1, f −1 = −5 có i m c c ti u t i x = 3, f = th : Dành cho b n Ví d 2: Cho hàm s y = c mx + (2m − 1)x − có x +2 ( ) th C m , m tham ) ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu s 1.Ch ng minh r ng v i m i m > hàm s ln có c c i , c c ti u ( ) th C c a hàm s v i m = 2.Kh o sát s bi n thiên v ( ) th C c a hàm s bi t ti p n i 3.Vi t phương trình ti p n v i ( ) qua A 1; Gi i : y = mx − + y ' = m − Hàm s cho xác x +2 = (x + ) { } nh D = » \ −2 ( ) −1 (x + ) m x +2 V i m > phương trình y ' = có hai nghi m phân bi t khác −2 V y hàm s ln có c c m > 2.V i m = 1, y = x − + x +2 *) Hàm s cho xác nh D = » \ −2 i c c ti u { } *) lim y = −∞ lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ lim − y = −∞ lim + y = +∞ nên ng th ng x = −2 ti m c n ng c a th hàm s x → ( −2 ) ( ) 1 = lim y − x − = lim = nên ng y = x − ti m Vì lim y − x − = lim x →+∞ x + x →−∞ x + x →+∞ x →−∞ c n xiên c a th hàm s Vì x → −2 ( ) ( ) ( x + ) − , x ≠ −2 = *) y ' = − (x + ) ( x + ) x = −1, y ( −1) = −1 y ' = ⇔ (x + 2) − = ⇔ x = −3, y ( −3 ) = −5 2 2 B ng bi n thiên x −∞ y' −3 + −5 −2 - - +∞ −∞ + +∞ y −∞ +∞ −1 −1 Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( )( ) ng bi n kho ng : −∞; −3 , −1; +∞ ngh ch bi n kho ng th c a hàm s ( −3; −2 ) , ( −2; −1) th c a hàm s ( ) i t i x = −3, y −3 = −5 t i mc c th : H c sinh t v 3.Xét d i qua A 1; có h s góc k Nên d : y = k x − () ( ) (d ) ti p xúc v i th (C ) c () ( ) t i m c c ti u t i x = −1, y −1 = −1 ( ) a hàm s h sau có nghi m: = k (x − 1) x − + x +2 5 ⇒ k = V y ti p n là: d : y = (x − 1) 9 =k 1− x +2 () ( ) Ví d 3: Cho hàm s Kh o sát v x2 + x −1 th c a hàm s y= (1 ) ( 1) Tìm ng th ng y = i m mà t n th hàm s c úng ti p n ók Gi i : th c a hàm s y = Kh o sát v {} x2 + x −1 (1 ) •D = » \ ( ) () ( x − 1) Hàm s ngh ch bi n kho ng ( −1;1) , (1; ) th c a hàm s t i m c c i t i ( −1; −2 ) t •y , = x − 2x − x = −1, y −1 = −2 , x ≠ ⇒ y, = ⇔ x = 3, y = • lim y = −∞, lim y = +∞ ⇒ x = ti m c n − + x →1 x →1 ( ) ( ( ( ) i m c c ti u t i 3; ng ) • lim y − x + = 0, lim y − x + = ⇒ y = x + ti m c n xiên x →−∞ x →+∞ • B ng bi n thiên x y' −∞ + −1 − −2 y −∞ th y − +∞ +∞ + +∞ −1 −3 −∞ ) ng bi n kho ng −∞; −1 ,(3; +∞) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) th : Nh n I 1;2 Tìm ng th ng y = i m mà t làm tâm c úng ti p n ók n i x ng th hàm s ( ) () G i M a; ∈ d : y = i m c n tìm ( ) ( ) ( ) Khi ó ti p n v i C k t M có phương trình : ∆ : y = k x − a + x + = k x −a + x2 − ∆ ti p xúc v i C ⇔ x − 2x − =k x −1 ( ( ) ( ) ( T (1 ) , ( ) ⇒ ( − a ) x t M k ( ) (1 ) (2 ) ) ) có nghi m x ≠ () + a − x + 3a + = c úng ti p n n () th hàm s Khi phương trình có nghi m phân bi t x ≠1 3 − a ≠ a ≠ a ≠ ⇔ ∆ = a − − 3a + − a > ⇔ a − 4a + > ⇔ a ≠ 3 − a + a − + 3a + ≠ a ≠ ( ) ( ( ) )( ) () V y t p h p i m c n tìm ng th ng d : y = b ( )( ) i i m 1; , 3; Bài 7: GIAO I M C A HAI TH x −3 có th C Tìm t t c tham s th c x −2 ng th ng d : y = mx + c t th c a hàm s t i i m phân ( ) Ví d : Cho hàm s y = () m bi t Gi i : ( ) () th C c t d t i i m phân bi t ch phương trình : x −3 = mx + có nghi m x −2 phân bi t ó phương trình g(x ) = mx − 2mx + = có nghi m phân bi t x ≠ hay m ≠ m ≠ m < ∆′ = m − m > ⇔ m < ∨ m > ⇔ m > g(1) ≠ m − 2m + ≠ 2x − có th C x +1 Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s V i giá tr c a m ng th ng dm i qua i m A −2;2 có h ( ) ( ) Ví d :Cho hàm s f x = ( ) s góc m c t th ã cho • T i hai i m phân bi t? • T i hai i m thu c hai nhánh c a th ? ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Gi i : (d ) : y = mx + (m + 1) (d ) ∩ (C ) : g (x ) = mx + 3mx + 2m + = 0, x ≠ −1 (*) • (d ) ∩ (C ) t i hai i m phân bi t phương trình (*) có hai nghi m phân bi t khác −1 Khi m m m m ≠ m < có h : ∆ > ⇔ m > 12 g −1 ≠ ( ) • (d ) ∩ (C ) t i hai i m thu ⇔ mg ( −1) < ⇔ m < Cách khác : (d ) ∩ (C ) t i hai m m ó ta () c hai nhánh phương trình * có hai nghi m phân bi t x < −1 < x () i m thu c hai nhánh phương trình * có hai nghi m phân bi t () t x = t − ó phương trình * tr thành mt + mt + = có hai nghi m trái d u x < −1 < x ax + b x −1 th hàm s c t tr c tung t i A 0; −1 ti p n c a Ví d :Cho hàm s y = ( Tìm a, b ) ( ) th t i A có h s góc b ng −3 Kh o sát s bi n thiên v th C c a hàm s v i a, b v a tìm c () ( ) Cho ng th ng d có h s góc m i qua i m B −2;2 Tìm m (d ) c t (C ) t i hai i m phân bi t M 1, M Các ng th ng i qua M 1, M song song v i tr c to t o thành hình ch nh t Tính c nh c a hình ch nh t ó theo m , hình ch nh t tr thành hình vng Gi i : ax + b A 0; −1 ∈ y = x −1 2x + a = ⇔ ⇒y = −a − x −1 = −3 b = y ' = x −1 ( ) ( (d ) ) ( ) ( ) i qua i m B −2;2 có phương trình y = m x + + 2x + có hai nghi m khác x −1 , hay phương trình mx + mx − 2m − = có hai nghi m phân bi t khác , t c m ≠ m ≠ ⇔ m < − ∆ = m + 4m 2m + > ⇔ m < − * m12 + m1 − 2m − ≠ m > m > (d ) c t (C ) t i hai ( ( ) i m phân bi t M 1, M phương trình m x + + = ) () Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) ( ) Gi s M x 1; y1 , M x ; y2 , hai c nh hình ch nh t M 1PM 2Q có 9m + 12m M 1P = x − x = m dài , M 1Q = y2 − y1 = 9m + 12m Hình ch nh t M 1PM 2Q tr thành hình vng ch M 1P = M 1Q ⇔ 9m + 12m m ( ( )) = 9m + 12m ⇔ m = ⇔ m = * ( ) Cho hàm s f x = 2x + 3x + có a) BÀI T P T LUY N th C parabol P : g x = 2x + ( ) ( ) th c a hàm s Tùy theo giá tr c a m , gi i bi n lu n phương trình Kh o sát s bi n thiên v 2x + 3x − m = b) Ch ng t r ng s ti p n c a ( ) ( ) th C thi p n t i i m u n I có h s góc nh nh t Vi t phương trình ti p n ó Ch ng t I tâm c) G i A, B giao i m c a (P ) t i giao ( ) i x ng c a ( ) ( ) th C parabol P Vi t phương trình ti p n c a C parabol i m c a chúng ( ) d ) Xác ( ) th C ( ) nh kho ng ó C n m phía ho c phía dư i P Hư ng d n : 3 3 c) A − ; , B 0;1 Ti p n C t i A, B y = − x + , y = Ti p n P t i A, B 2 ( ) ( ) ( ) y = −2x + , y = 1 d ) Xét h x = f x − g x = 2x + x L p b ng xét d u : h x < 0, x ∈ −∞; − ⇒ C n m phía dư i 2 P h x > 0, x ∈ − ; , 0; +∞ ⇒ C n m phía P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cho hàm s f x = x − 3x + a ) Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s Vi t phương trình ti p n c a th t i i m u n I c a Ch ng minh r ng s ti p n c a th ti p n t i I có h s góc nh nh t b) G i dm ng th ng i qua i m I có h s góc m Tìm giá tr m cho ng th ng dm ( ) ( ) c t th ã cho t i ba i m phân bi t Hư ng d n : a ) y = −3x + ( ) ( ) b) m > −3 Cho hàm s f x = x − m + x + m a ) Kh o sát s bi n thiên v c a th th c a hàm s v i m = Vi t phương trình ti p n t i i m u n Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu b) Tìm giá tr c a m cho th c a hàm s c t tr c hoành t i b n i m , t o thành ba o n th ng có dài b ng Hư ng d n : b) x − m + x + m = ⇔ x − x − m = th c a hàm s c t tr c hoành t i i m phân ( ( ) bi t , t o thành ba o n th ng có ( ) )( ) dài b ng < m ≠ • m > 1, m − = − −1 ⇔ m = ) ( Ngoài cách gi i b n có th dùng c p s c ng ( l p 11) gi i a ) V i giá tr c a m , ng th ng y = m c t ng cong y = x − 2x − t i i m phân bi t? • < m < 1,1 − m = m − − m ⇔ m = ( ) b) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ng th ng dm : y = x − m c t ng cong y = −x + 2x t i x −1 hai i m phân bi t ng th ng y = kx + c t c) Tìm k th hàm s y = x + 4x + t i i m phân bi t A, B Tìm x +2 qu tích trung i m I c a AB x − 2x + Cho hàm s y = ,C x −1 a ) Kh o sát v th ( ) hàm s (C ) phương trình sau có nghi m phân bi t : x − 2x = m x − − b) Tìm m () ( ) ng th ng d : y = −x + m c t c) Tìm m th C t i i m A, B i x ng v i qua ng th ng y = x + ( ) d ) Ch ng minh r ng qua i m E 1; ta khơng th k x +2 có 2x + a ) Kh o sát s bi n thiên v ( ) Cho hàm s f x = c m t ti p n n th hàm s ( ) th G th c a hàm s ( ) ( ) b) Ch ng minh r ng ng th ng dm : y = mx + m − i qua i m c nh c a ng cong G m thay i c) Tìm giá tr c a m cho ng th ng ã cho c t ng cong G t i hai i m thu c m t ( ) ( ) nhánh c a G Hư ng d n: b) M −1; −1 i m c ( ) ( ) nh mà dm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i qua m bi n thiên M −1; −1 ∈ G ( ) c) Cách : dm ∩ G : g x = 2mx + m − x + m − = 0, x ≠ − ∆ > ⇔ −3 ≠ m < thu c m t nhánh n u ch n u g − > * () (d ) ∩ (G ) t i hai m i m Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x +2 ,x ≠ − 2x + ⇔ x + 2mx + m − = 0, x ≠ − x = −1 < − ⇔ k x = 2mx + m − = ( ) ( ) ( )( ) ) Cách : dm ∩ G : m x + − = ( ( ) ng x = − ng th ng dm ∩ G t i hai i m thu c m t nhánh c a th phương trình k x = 2mx + m − = có nghi m x < − x ≠ −1 , ó m ≠ m ≠ −3 < m < 3−m ta có x = 9(x 1x ) + 18x 1x (x + x ) + 36x 1x = −1 Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu a < −3 ∨ a > − vaø a ≠ a < −3 ∨ a > − vaø a ≠ ⇔ 81a − 81a(a − 1) − 108a + = ⇔ -27a + = ( x x = - 3a ; x + x = 3(a -1) ) 2 V y M ( , 0) ∈ Ox th a tốn 27 Ví d : Tìm tr c hồnh nh ng i m mà t ó có th k n th c a x hàm s : y = hai ti p n t o v i góc 450 x −1 ⇔a = 27 Gi i : G i M ∈ Ox ⇒ M x ; , ng th ng i qua M có h s góc k , phương trình có d ng : ( ) (d ) : y = k (x − x ) (d ) ti p n c x2 = k x − x0 x 2− th h sau có nghi m : x − 2x =k x −1 ( a ( ) ) x2 x − 2x = x − x ⇔ x x + x − 2x = x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) x = ⇔ 2x x = , x ≠ −1 x0 + x − 2x • x =0⇒k = = x −1 ( • x = 2x x0 + ) ⇒k = −4x (x ) +1 • Ti p n qua M t o v i tan 450 = ( k1 − k2 + k1k2 ⇒ )( th c a hàm s : y = 4x (x +1 V y M − 2; , + 2; ) ) x2 hai ti p n t o v i góc 450 ch x −1 = ⇒ x0 = ± 2 2x π Tìm α ∈ 0; cho i m x −1 2 M (1 + sin α ; ) n m th (C ) Ch ng minh r ng, ti p n c a (C ) t i i m M c t hai ti m c n c a (C ) t i hai i m A, B i x ng qua Ví d : Cho hàm s y = Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu i mM Gi i : Vì M (1 + sin α ; ) n m th (C ) nên: (1 + sin α )2 sin α = = ⇔ sin α − sin α + = ⇔ sin α = + sin α − π π Vì α ∈ 0; nên sin α = ⇒ α = ⇒ M ; 2 2 Ti p n c a 3 th (C) t i i m M là: y = y ' x − + 2 hay (d ) : y = −6x + 18 Ti p n (d ) c t ti m c n ng x = t i: A (1;12 ) Ti p n (d ) c t ti m c n xiên tai i m B có t a y = −6x + 18 ( x ; y ) h phương trình: y = 2x + xA D th y: y A x = ⇔ ⇒ B ( 2;6 ) y = + xB = = xM 2 + yB = = yM Suy ra, A, B i x ng qua i m M ( pcm) x4 − 3x + có Cho hàm s : y = 2 hồnh nghi m th (C ) Gi s M ∈ (C ) có a V i giá tr c a a ti p n c a (C ) t i M c t (C ) t i i m phân bi t khác M Gi i : a 5 Vì M ∈ (C ) nên M a; yM = − 3a + 2 ' Ti p n t i M có h s góc yM = 2a − 6a a4 Ti p n t i M có d ng : y = y (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + 2 Ti p n d c a (C ) t i M c t (C ) t i i m phân bi t khác M phương trình sau có nghi m ' xM () () phân bi t : x4 a4 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu (x − a )2 (x + 2ax + 3a − 6) = có nghi m phân bi t , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghi m phân bi t khác a ' = a − (3a − 6) > ∆ a − < a < ⇔ g (x ) ⇔ ⇔ g(a ) = 6a − ≠ a ≠ a ≠ ±1 a < V y giá tr a c n tìm a ≠ ±1 BÀI T P T LUY N ax − bx 5 i qua i m A −1; ti p n t i O 0; có x −1 2 h s góc b ng −3 Kh o sát s bi n thiên v th ng v i giá tr a, b v a tìm c ( ) ( ) a ) Tìm a, b bi t r ng th c a hàm s f x = b) Tìm a, b bi t r ng th c a hàm s f x = 2x + ax + b ti p xúc v i hypebol a ) Tìm a, b bi t r ng th c a hàm s y = ( ) 1 t i i m M ;2 x 2 a ) Vi t phương trình c a ng th ng i qua i m A 1; −2 ti p xúc v i parabol y = x − 2x ( b) Ch ng minh hai ng cong y = x + ) x − 2, y = x + x − ti p xúc t i M , vi t phương trình ti p n chung c a hai ng cong ó c) Ch ng minh r g th c a ba hàm s f x = −x + 3x + 6, g x = x − x + 4, ( ) h x = x + 7x + ti p xúc t i ( ) i m A ( −1;2 ) ( ) x2 3x + x, g x = ti p xúc Xác nh ti p 2 x +2 i m vi t phương trình ti p n chung c a hai ng cong t i i m ó e) Ch ng minh r ng th c a hàm s f x = x − x , g x = x − ti p xúc Xác nh ti p d ) Ch ng minh r ng ( ) th c a hàm s f x = ( ) ( ) ( ) i m vi t phương trình ti p n chung c a hai ng cong t i i m ó Hư ng d n : a −1 − −1 = ⇔ a = −2 a) −1 − b = −3 f ' = −3 b) a = −6, b = 2 a ) d : y = m x − − ⇒ m = y = 2x − , m = −2 y = −2x ( ) ( ) () () ( ) 1 5 b) M ; − , y = 2x − 2 4 ( ) ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = , ch ng t t i A −1;2 s có ti p n chung , nói khác ( ) d ) O 0; , y = ( th c a ba hàm ) th c a ba hàm s ti p xúc t i i m A −1;2 x Chúc em thi t k t qu cao nh t Tác gi : Nguy n Phú Khánh – L t Nguy n T t Thu – ng Nai ... 2 i u ki n c n hàm s Gi s hàm s f có ơn i u : o hàm kho ng I • N u hàm s f ( ) I f '' ( x ) ≤ v ng bi n kho ng I f '' x ≥ v i m i x ∈ I • N u hàm s f ngh ch bi n kho ng i u ki n hàm s i m i x ∈I... h n i m c a I hàm s f ngh ch bi n) I ng bi n (ho c Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P D ng : Xét chi u bi n thi? ?n c a hàm s ( ) Xét chi u bi n thi? ?n c a hàm s y = f x... c a * i v i hàm s y = ng bi n ho c ngh ch ax + bx + c ln có nh t hai kho ng ơn i u a ''x + b '' * C hai d ng hàm s không th ơn i u » * i v i hàm s y = Ví d :Xét chi u bi n thi? ?n c a hàm s sau: