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BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG IT Bài giảng PT GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ Biên soạn: PGS TS Phạm Ngọc Anh Hà Nội, 2013 Å Ð Ù Ị ½º½º ½º ậ ậ ễ ỉ ủ ẵẵẵ ẵẵắ ½º¾º Ë Ơ ½º¾º¾º Ị ½º¾º¿º Ì Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ø Ơ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ề ủ ụ ễ ẵắ ẵắ ề ẵắ ề ẵắ ề úí ì ẵắ Ø Ø º Ị Ị Ø º º ÅĨ Ú Ị Ø º × º º º Ị º º Ơ Ø Ơ ØĨơỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÐ Ư º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º º º º º º 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{0, 1, 2, , 9}º Ë Ø Ơ Ơ Ị ỊđÝ Ĩ Ø Ðđ Ø Ị Øõ × k × Ó Ó xn = ∀n > k Ý x = x0, x1x2 xk , Ĩ Ú õỊ ØÙ Ị ĨđỊ Ú Ù p¸ Ø Ðđ x = x0, x1x2 xk xk1 xk2 xkp xk1 xk2 xkp xk1 xk2 xkp p p p Ù õỊ¸ À ỊỊ Ị x = x0 + Ĩ x = x0 + Ỉ x1 xy + + k , 10 10 xy x1 + + k + xk1 xk2 xkp k 10 10 10 (1 − 10−p) Ðõ ¸ Đ × Ø Ơ Ơ Ị Ù õỊ Ý Ú õỊ ØÙ Ị ĨđỊ Ù Ù Ị õỊ Đ ỉ ì ỉ ặ íá ỉ ỉ Ị Ị Ø Ø Ơ × ÙØ QÚ Ø Ơ × Ø Ơ Ơ Ị Ù õỊ Ý Ú õỊ ØÙ Ị ĨđỊº Å Ø Ø Ị ếụỉá ỉ ể ẹ ì ỉ ễ ễ ề õỊ Ị ØÙ Ị ĨđỊ Ðđ Đ Ø × Đ Úđ Ðđ × Ú Ø º Ì Ơ × Ù Ø Úđ Ú Ø Ðđ Ø Ơ × ỉ éủ ẹ ỉ ì ỉ éủ Rº Å Ơ Ị Ø R Ĩ× Ø x0 ∈ Z, x1, x2, ∈ {0, 1, 2, , 9} IT x = x0, x1x2 Ú Ã Ðđ Ơ Ị Ị ÙÝ Ị x¸ xn Ðđ Ơ Ị Ø Ơ Ơ Ị Ø n Ỉ Ù Ø Ị Øõ × Ị ÙÝ Ị m × Ĩ Ĩ Ù Ðđ [x]á x PT x0 mx bk+1 ak+1 < bk+1 Ỉ Ú Ý a < b Ĩ a > bº · Ì Ị ØƯ Đ Ø Ù Ø r ∈ Q × Ó Ó a < r < bº Ì Ø Ó ¾ × Ø a, b Úđ a < bº Ì ề ỉừ ì íá ỉ ũ ì a = a0 , a1a2 , b = b0 , b1b2 ¸ Ø a < b ×ÙÝ Ư Ø Ị Øõ k N ì ể ể áỉ ềì ỉ Ðñ IT a0 = b0, , ak = bk , ak+1 < bk+1 PT  a0 , a1 ak bk+1 Ò Ù b ∈ Q r=  (a , a a a + a , a a b 0) Ò Ù b ∈ / Q, k k+1 k k+1 Ø ĐóỊ a < r < bº ·ÌỊ Ý Ĩ A ⊆ Rº Ã m∈R Ðđ Ị A Ị Ù m ≤ a ∀a ∈ Aº Ỉ Ù m Ðđ Ị Ð Ị Ðđ Ị Ị A¸ Ù Ị Ø ØƯĨỊ Ị À m m = inf Aº M ∈R Ðđ Ị ØƯ Ò A Ò Ù a ≤ M ∀a ∈ Aº Ỉ Ù M Ðđ Ị ØƯ Ị Ị Ðđ Ị ØƯ Ị Ị A¸ Ù Ị Ø ØƯĨỊ Ị ØƯ Ị A Ø m M = sup Aº Ì Ĩ Ø Ị ×úƠ Ø Ø Ø Ơ × Ø ¸ Ò Ò Ò Ù Ø Ò Øõ Ø sup A, inf A Ðđ ÙÝ Ị Øº Ì Ị Ø Ò Øõ Ø Ò Ò Ò ÙÝ Ò Ð Ýº Ị ´Ø Ð Ị ½º½º Ị Å Ø Ơ ĨỊ Đ Ø Ị µ Ø Ư Ị Ø ễ ì ỉ ề ỉừ í ề ề ẵẳ Ø Ø Ị ØƯ Ị R Ø Ị Ị ´Ø Ø Đ Ø Ị ØƯ Ị Ị Ị ề ỉ ủẹ ì T g(t) = f ( t) ặ íá ỉ ể ề ẹ Ị a0 + ØÙ Ị ØƯ Ị¸ ØƯ ĨđỊ Ú Ị ĨÙƯ 2π Ù Ư đĐ g(t) õỊ +∞ k=1 (ak cos kt + bk sin kt) ∀t ∈ R, ØƯĨỊ  π   a = g(t)dt  π   −π   π ak = π g(t) cos ktdt  −π   π    bk = π g(t) sin ktdt ∀k ∈ N∗ −π Ị t xá ỉ a0 + S(x) = ì Ị +∞ Ù ĨÙƯ Ư (ak cos k=1 đĐ f (x) õỊ πkx πkx + bk sin ) ∀x ∈ R, T T ĨÙƯ Ư a0 , ak , bk ∀k ∈ N∗ Üơ Ị  T 2T  1  a = f (x)dx = f (x)dx  T T    −T   T 2T kπx ak = T f (x) cos T dx = T f (x) cos kπx T dx  −T    T 2T   kπx 1 ∗  f (x) sin f (x) sin kπx dx = b =  k T T T T dx ∀k ∈ N PT ỉệểề ề IT ữề T ẻ ¾º ÌĐ ØƯ Ị ĨÙƯ Ư f (x) = |x| Ì ØỊ Ø Ị S= ị Ì Ị × ĨÙƯ đĐ × ØÙ Ị ĨđỊ Ú Ù Ú − ≤ x ≤ 1 1 + + + + 12 32 (2n + 1)2 Ư¸ Ø ½ 2T = y x −1 À Ò ¾ Ù Ò Ò 2º Ù f (x)dx = an = T f (x) = |x|, x ∈ [−1, 1]¸ T a0 = T xdx = 1, −T T f (x) cos nπxdx = (−1)n − x cos nπxdx = , n2 π −T T PT T O IT −2 bn = f (x) sin nπxdx = −T Ỵ Ý ØƯ Ị ĨÙƯ f (x) Úđ f ′ (x) Ð Ư÷Ị Ø S¸ Ø Ị f (x) đĐ õỊ cos(2n + 1)πx cos πx cos 3πx + + + + − 2 π 12 32 (2n + 1)2 S(x) = Ø Ị Ư Ý 0= Ị Ø Ø Ị ¸ Ø x = ÚđĨ f (x)á ỉ ể ề é ẳá ỉ f (x) = S(x)º 1 1 + − 2 + + + π (2n + 1)2 Ỵ Ý S= º º º Ã ị × ØƯ Ĩ F (x) Üơ F (x) Úđ Ị đĐ × Ị Ị ØƯ Ị ĨÙƯ Ư đĐ × f (x) Üơ R Úđ ØƯ Ị Ị Ù ĨÙƯ ØƯ Ị π2 Üơ Ị [a, b]¸ Ø 2T º Ư Ã đĐ ½ ØƯ Ị Ø [a, b].[a, b), (a, b], ØƯ Ø f (x) Ú Ị đĐ ØƯ f (x) Ø Ị x ∈ [a, b]º đỊ ĨÙƯ Ì Ý (a, b) đĐ × Ư ØƯ đĐ Ị đĐ f (x) → F (x) º Ì Đ ị Ù ¿º Ù Ì ơ ØƯ T an = T bn = T = Ị ĨÙƯ f (x) Üơ đĐ × Ư đĐ nπx F (x) cos dx = T x ∈ (0, 1] x ∈ (1, 2] Ò R ØƯ Ị Úđ Ù 2T = 2º nπx dx T Ị ĨÙƯ 1 (−1)n − , cos nπxdx = n2 π x cos nπxdx + 1 (−1)n + (−1)n − =− sin nπxdx = nπ nπ Ư đĐ F (x) õỊ y x −3 −2 Ì Ị 1dx = , F (x) sin ØƯ Ị Ù Üơ xdx + x sin nπxdx + Ỵ Ý Ị Ù (0, 2] −T T ØƯ Ị f (x)º f (x) → F (x) đĐ Ư¸ Ø Ị  x f (x) = 1 F (x)dx = −T T F (x) Ðđ 2T = b − aº đĐ × T −T Ĩ ĨÙƯ × a0 = ì IT ẻ ẵ ừề PT ừề ụ À Ị O ¿ Ø F (x) ØƯĨỊ ∞ Ú º ¿º (−1)n − S(x) = + cos nπx − sin nπx n=1 n2 π nπ ½ F (x) Ư÷Ị S(x)º À Úđ F ′ (x) Ð Ị Ø ỉ ề ỉ ể ề é ẳá ỉ Ý ∞ (−1)n − F (x) = + cos nπx − sin nπx 2 n=1 nπ nπ Ì Ù Ị F (x) ØƯ đĐ Ị (0, 2] Ĩ ØƯ Ị ĨÙƯ Ư đĐ f (x) ∞ (−1)n − cos nπx − sin nπx f (x) = + n=1 n2 π nπ ÀóÝ ị º º ØƯ Ĩ Ị Ì ØƯ Úđ ØÙ Ị F (x) ÀđĐ × Ị ĨđỊ Ú ĨÙƯ Ư an = T Ü Ò Ò  x f (x) = 1 đĐ × f (x) Ø ÕÙ ØƯ Ị Ị Ù Ị Ù 2T = 4º Ì Ị Ù đỊ x ∈ (0, 1] x ∈ (1, 2] ô F (x)dx = −T T × xdx + ØƯ Ị ñÑ cosinº 1 nπx F (x) cos dx = T F (x) sin ĨÙƯ Ư nπx dx = T đĐ F (x) ½ cos nπ nπ − 1) − sin , nπ T Ư¸ Ø nπx dx + x cos (cos ĨÙƯ 1dx = , −T Ỵ Ý Oy µº (0, 2] T n2 π T ØƯ f (x) → F (x) Üơ Ò  |x| Ò Ù |x| ≤ F (x) = 1 Ò Ù x ∈ [−2, −1) ∪ (1, 2] đĐ −T bn = Ø f (x) Üơ đĐ × a0 = T = ùỊ ´ IT Ỵ ¾º PT õÒ õÒ nπx dx F (x) = y x −1 −2 O À Ò Ø F (x) ØƯĨỊ Ú º º ∞ nπx an cos S(x) = + n=1 S(x)º Ì Ù Ị Úđ đĐ F ′ (x) F (x) ØƯ Ð Ị Ø Ø Ị Ị ∞ (0, 2] ¸ Ø Ĩ ØƯ Ĩ Ị Ị ĨÙƯ é ẳá ỉ ệ IT F (x) ệữề ủẹ f (x) nπ nπ nπx (cos − 1) − sin cos f (x) = + n=1 n2 π 2 nπ 2 Ỵ ¿º ÀóÝ ị º F (x) Ð ÀđĐ × º ØƯ Ì ØƯ ´ Ø Ü Ị ÕÙ PT õỊ Ĩ Ị Ị đĐ × ĨÙƯ Ư Ø Đ Oµ f (x) Üơ Ị ØƯ Ị (0, 2]  1 − x Ò Ù x ∈ (0, 1] f (x) = 0 Ò Ù x ∈ (1, 2] đĐ × f (x) Ø đỊ f (x) → F (x) Üơ    Ị 1−x    F (x) = −(x + 1) Ò     0 Ị đĐ ½ đĐ sinº Ị Ù Ù Ù ¼ 0 np (1 − cos Ò ), p > np Ù Ù ³ Ð Đ Ù × |S6n − S3n | |S2n − Sn | Ù Ø Ô ề IT 3) : ễ ệỉá ĩỉ ì 4.7.10 (3n + 1) 2.6.10 (4n − 2) n+1 2n ½ ¿ Ị PT +∞ × : Ø × : Ø × : Ø × :p> → Ø × :p> → Ø Ø ơ ,p ≤ → Ơ Ị ,p ≤ → Ơ Ị Ù × Ù × : Ø × : Ø n=1 +∞ 4) n=1 +∞ 5) n=1 +∞ 6) n=1 +∞ 7) n=1 +∞ 8) (n + 4) 6n × : Ø 1.3.5 (2n + 1) 3n+1n! × : Ø × : Ø 4n n! × : Ø n! √ n n × :Ơ Ị × :Ơ Ị × : Ø × : Ø n+1 sin 2n − n ( n=1 +∞ 9) n n+1 ) n+2 n + n2 − 3n + 2n + n=1 +∞ 10) n=1 ñ º n=1 +∞ cos n 2) 3) n=1 +∞ 4) n n=1 +∞ 6) n=1 íá ĩỉ ì ỉ ụ ì Ù 2n+1 × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø × : Ø n+1 n n+3 arctann 5) Ù 2n + 2n 2n − n=1 +∞ Ò n+1 3n − 1) n=1 +∞ (n!)2 (2n)! º +∞ IT 3) PT +∞ n2 +1 n2 −1 n+1 n+5 1 + arcsin 2n + 1 3n+4 ½ +∞ 3(−1) +2n 3(−1) −2n n 7) × :Ơ Ị × : Ø × : Ø × : Ø 2n n2 + × :Ơ Ị n ln5 n × : Ø × :Ơ Ị × : Ø × :Ơ Ị × : Ø × :Ơ Ị × : Ø × : Ø × : Ø n=1 +∞ n=1 +∞ 9) n=1 +∞ 2n + (−1)n 3n − arccos2n−1 10) n=1 º +∞ 1) n=1 +∞ 2) n=2 +∞ 3) n=3 +∞ 4) n=1 +∞ 5) n=0 +∞ º Ò 8) n=2 +∞ 9) Ù Ø √ + n + n2 √ n3 + n2 √ Ơ Ị¸ ÜØ × n ln n (1 + n2)3 n=1 +∞ n=1 +∞ Ù n ln n ln(ln n) 6) 7) n+1 2n + nm e−n , m ∈ N ln n √ n n2 − √ n=1 +∞ 10) n=1 Ø PT đ 2n+5 Ù IT n 8) n e3n − + n2 + n4 ẵ ì º +∞ 1) n=1 +∞ 2) n=2 +∞ 3) n=3 + 4) ề ịá ÜØ × Ø ơ Ù × Ù (−1)n 2n + × : Ø (−1)n+1 n ln5 n × : Ø (−1)n log2 n n × : Ø × :Ơ Ị × : Ø × : Ø × :Ơ Ị × : Ø nn (−1) n e × : Ø cos nπ n sin n1 × :Ơ Ị (−1) n=1 +∞ n+2 + n2 n2 − n + √ n (−1) ( − 1) n n=0 +∞ 6) n=2 +∞ 7) n=2 +∞ 8) n=3 +∞ 9) √ (−1)n n n−1 (−1)n √ n + (−1)n (−1)n(2n + 19) 3n2 + n + n=1 +∞ 10) n=1 º IT 5) đ Ị PT đ º Ã ịĨ ×ôØ × Ø Ù +∞ 1) n=1 +∞ 2) n=1 +∞ 3) n=1 +∞ 4) Ø Ù ØƯ Ị D = [0, 1] : Ø Ù ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù D = [0, +∞) : Ò (−1)nxn √ n (−1)n √ n ØÖ Ò n=1 ẵ ì : ỉệ ề xenx đĐ × 1 D = [− , ] 2 xn−1 √ ô Ø Ù +∞ ln(1 + n=1 6) n=1 +∞ 7) n=1 +∞ 8) n=1 +∞ n=0 +∞ Ø Ù (x + 2n)(x + 2n + 2) ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù (−1)n 2n + cos nx ØƯ Ị D=R : Ø Ù sin nx √ 2x4 + n4 + ØƯ Ị D=R : Ø Ù 1 + 3nx ØƯ Ị D = [0, +∞) : Ø Ù 2n √ º Ì Đ Đ Ị Ø (x3 − 2)n n! Ù Ð Ý Ø : D = R × : D = [− 3) × : D = [−1, 1] n=1 +∞ 4) n!2n (x + 1)2n n n × : D = (− n=1 +∞ 5) n!2n (3x + 4)2n (2n)! × : D = R n=1 +∞ (2x + 1)n nn 6) × : D = R n=1 +∞ 2n x2n−1 (4n − 3)2 7) × 1 : D = [− √ , √ ] 2 n=1 xn √ n × Ù × n (x + 2)n 2) ( ) 11 n n=1 +∞ : n=1 1) Ù D = [0, +∞) 10) +∞ Ø ØƯ Ị n=1 +∞ º : cos nx n 9) đ D = [0, 2] ØƯ Ị IT +∞ x ) n ln2 (n + 1) PT 5) ½ 19 , ) 4 e − 1, e − 1) +∞ 8) n=1 +∞ 9) (−1)n−14nxn n2 × 1 : D = [− , ] 4 (−1)n(x − 1)6n+3 2n + × : D = [0, 2] × : D = [−2, 4] n=1 +∞ 10) n=1 ñ (−1)n(x + 1)2n+1 32n+1(2n + 1) ẵẳ ỉệ ề x ∞ sin nx × : n n=1 2)f (x) = cos x2 Ú 1)f (x) = × : cos x2 = π + ĨÙƯ Ư đĐ × x ∈ (0, 2π) Ø π Ó x ∈ (−π, π), +∞ n=1 × Ù sin 2π Ù (−1)n cos nx −n ¿µ ´Üµ : a0 = 15 2, an = bn = − πn : a0 = 0, an = 0, bn = : − π2 + π2 cos x − π n=1 n2 −1 × : − 12 sin x + 8)f (x) = Ĩ Ị Ù n ∈ 2N, (n ≥ 2), bn = cosin.Ì Ø Ị Ø Ị S= ∞ n=1 4n +1 (4n2 −1)2 7)f (x) = x cos x x ∈ (0, π) Ø ∞ n∈ / 2N 8n π(2n−1)(2n+1) : a0 = −2, a1 = − 21 , an = ∞ Ò Ù 2T = 4π Ù 6)f (x) = x cos x x ∈ (0, π) Ø × < x < 12 π n2 5)f (x) = x sin x x ∈ [−π, π] × Ò Ù 0 4)f (x) = cos x2 x ∈ (0, 2π], × 0 bk+1 ak+1 < bk+1 Ỉ Ú Ý a < b Ĩ a > b? ? ·