một số vấn đề giải tích biến phân và tối ưu hoá

Trong thực tế, nhiều đối tượng của bài toán biến phân,như: hàm khoảng cách, hàm giá trị trong tối ưu và bài toán điều kiển, ánh xạnghiệm..., có thể được biểu diễn dưới dạng hàm đa trị ho

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN LÊ HOÀNG ANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG

GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN

VÀ TỐI ƯU HOÁ

Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu

Mã số: 62 46 20 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp Hồ Chí Minh năm 2014

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên.

Người hướng dẫn khoa học : GS TSKH Phan Quốc Khánh.

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Định

Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Đình Phư

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Tạ Duy Phượng

Phản biện độc lập 2: TS Trần Thanh Tùng

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, số 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận

5, TP HCM

vào lúc giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM

2 Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Gần đây, tính không trơn đã trở thành một trong những đặc trưng củagiải tích biến phân Trong thực tế, nhiều đối tượng của bài toán biến phân,như: hàm khoảng cách, hàm giá trị trong tối ưu và bài toán điều kiển, ánh xạnghiệm , có thể được biểu diễn dưới dạng hàm đa trị hoặc không trơn Điềunày dẫn đến sự phát triển của một hướng nghiên cứu mới liên quan đến cácdạng đạo hàm (tính khả vi) suy rộng.

Từ những phân tích bên trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một

số vấn đề liên quan đến Γ-giới hạn và các dạng đạo hàm suy rộng

+Chương 6 thảo luận về đạo hàm Studniarski cho ánh xạ đa trị Chúngtôi trình bày những phép toán của đạo hàm này và những áp dụng của chúngđược khảo sát

Chương 1 Mục đích nghiên cứu

1.1 Γ-giới hạn

Vài thập kỷ gần đây đã chứng kiến sự phát triển của hội tụ biến phân vàcác áp dụng trong những lĩnh vực khác Trong hội tụ biến phân, Γ-giới hạn cóvai trò quan trọng Hơn nữa, hầu hết các dạng hội tụ khác đều có thể đượcbiểu diễn dưới dạng Γ-giới hạn Năm 1983, Greco giới thiệu khái niệm limitoidtrong Greco (1983) và suy ra rằng các Γ-giới hạn là trường hợp đặc biệt củalimitoid Sau đó, Gerco trình bày định lý biễu diễn, theo đó mỗi quan hệ củacác limitoid sẽ tương ứng với quan hệ trong lý thuyết tập Điều này giúp chúngtôi đạt được các kết quả dạng dãy của Γ-giới hạn một cách dễ dàng

Ngoài ra, dùng Γ-giới hạn, chúng tôi cũng đề xuất một hướng thống nhấtđối với các khái niệm liên quan đến nón tiếp xúc và đạo hàm suy rộng.1.2 Phân tích độ nhạy

Phân tích độ nhạy và sự ổn định có vai trò quan trọng trong tối ưu hoá.Phân tích sự ổn định liên quan đến việc nghiên cứu tính chất liên tục (hoặcnửa liên tục) của ánh xạ nghiệm và ánh xạ giá trị tối ưu Trong khi đó, phântích độ nhạy đề cập đến các dạng đạo hàm của các ánh xạ được đề cập bêntrên Theo chúng tôi biết, hiên nay có nhiều dạng đạo hàm suy rộng được giớithiệu và dùng trong điều kiện tối ưu Tuy nhiên, các kết quả về phân tích độnhạy là không nhiều Vì thế, chúng tôi mong chờ nhiều dạng đạo hàm khác,ngoài đạo hàm tiếp liên (contingent derivative), có thể được áp dụng trong chủ

đề này

Do đó, chúng tôi chọn tập biến phân cấp cao, được giới thiệu bởi Khánh

và Tuấn (2008), cho mục đích này Đây là khái niệm chứa nhiều dạng đạo hàmsuy rộng khác

1.3 Điều kiện tối ưu

Tối ưu hóa là một công cụ cần thiết cho việc xây dựng nhiều vấn đề dướidạng tối thiểu hoặc tối đa hóa một hàm số với các ràng buộc nhất định Đây

là một khoa học về lựa chọn quyết định tốt nhất trong các khả năng có thể.Các lý thuyết ban đầu của tối ưu hoá được trình bày với giả thuyết khả vi củacác hàm liên quan Trong khi đó, những nỗ lực để giảm nhẹ hoặc loại bỏ giảthuyết khả vi đã dẫn đến sự phát triển của tối ưu không trơn Điều kiện tối

ưu không trơn là một chủ đề đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.Nhiều dạng đạo hàm suy rộng được giới thiệu để thay thế cho đạo hàm Fréchet

và đạo hàm Gâteaux trong trường hợp không trơn Hầu hết các dạng đạo hàmnày được xây dựng dựa trên các dạng của nón tiếp xúc

Năm 1998, đạo hàm theo tia (radial) được đưa ra bởi Taa dựa vào kháiniệm bao nón Để đạt được nhiều thông tin trong điều kiện tối ưu, đạo hàm

cấp cao cần được định nghĩa Do đó, trong luận án này, chúng tôi định nghĩađạo hàm theo tia cấp cao và áp dụng vào điều kiện tối ưu cấp cao cho bài toántối ưu đa trị có ràng buộc.

1.4 Các phép toán và áp dụng

Nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không trơn dẫn đếnnhiều dạng đạo hàm suy rộng được giới thiệu Tuy nhiên, có khá ít kết quả vềcác phép toán và áp dụng của những đạo hàm này

Năm 1986, Studniarski giới thiệu một cách khác để định nghĩa đạo hàm cấpcao (không dựa vào những cấp thấp hơn) cho hàm thực suy rộng, gọi là đạohàm Studniarski Gần đây, đạo hàm này được mở rộng cho ánh xạ đa trị và ápdụng trong điều kiện tối ưu Tuy nhiên chưa có nghiên cứu về các phép toáncủa dạng đạo hàm này Do đó, trong luận án này, chúng tôi thiết lập các phéptoán của đạo hàm Studniarski và các áp dụng của chúng

Chương 2 Kiến thức chuẩn bị

2.1 Các định nghĩa trong lý thuyết tập

Định nghĩa 2.1.1 Cho S là tập con của không gian tôpô X

(i) Một họ F các tập con của S được gọi là không suy biến nếu ∅ 6∈ F (ii) Một họ không suy biến F trên S được gọi là nửa lọc nếu G ⊇ F ∈

j∈JAj)J ký hiệu tập của những hàm số từ J vàoS

j∈JAj

2.2 Các định nghĩa trong giải tích đa trị

Giả sử X, Y là hai không gian vector, C la một nón (khác rỗng) trong Y ,

và A ⊆ Y Chúng tôi thường dùng những nón sau đây :

cone A := {λa : λ ≥ 0, a ∈ A}, cone+A := {λa : λ > 0, a ∈ A},

(i) F được gọi là nửa liên tục dưới tại (x0, y0) nếu với mỗi lân cận V của

y0, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho V ∩ F (x) 6= ∅ với mọi x ∈ U

(ii) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn Ánh xạ F được gọi làtĩnh giả H¨older địa phương cấp m (m-th order locally pseudo-H¨older calm)tại x0 với y0 ∈ F (x0) nếu ∃λ > 0, ∃U ∈ N (x0), ∃V ∈ N (y0), ∀x ∈ U ,(F (x) ∩ V ) ⊆ {y0} + λ||x − x0||mBY, trong đó BY là quả cầu đơn vị đóng trong

Y

Khi m = 1, từ “H¨older" được thay bởi “Lipschitz" Nếu V = Y , thì “tĩnh giảH¨older địa phương" trở thành “tĩnh H¨older địa phương" (locally H¨older calm).Giả sử C là nón lồi, đóng, có đỉnh a0∈ A được gọi là điểm hiệu quả Paretocủa A nếu (A − a0) ∩ (−C \ {0}) = ∅

Định nghĩa 2.2.2 (Ha 2009) Cho Q là một nón mở trong Y a0 ∈ A đượcgọi là điểm Q-hiệu quả của A nếu (A − a0) ∩ −Q = ∅

Tập các điểm Q-hiệu quả được ký hiệu bởi MinQA

Mệnh đề 2.2.3 (Ha 2009) (i) Giả sử int C 6= ∅, a0∈ A được gọi là điểm hiệuquả yếu của A nếu và chỉ nếu a0∈ MinQA với Q = int C

(ii) a0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả mạnh của A nếu và chỉ nếu a0 ∈MinQA với Q = Y \ (−C)

(iii) Giả sử C+i6= ∅, a0∈ A được gọi là điểm hiệu quả dương của A nếu vàchỉ nếu a0∈ MinQA với Q = {y ∈ Y : ϕ(y) > 0}, trong đó ϕ ∈ C+i

(iv) a0∈ A được gọi là điểm hiệu quả Geoffrion của A nếu và chỉ nếu a0∈MinQA với Q = C(), trong đó  > 0 và C() := {y ∈ Y : dC(y) < d−C(y)}.(v) a0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả Henig của A nếu và chỉ nếu a0 ∈MinQA với Q là nón lồi, mở, có đỉnh và C \ {0} ⊆ Q.

(vi) Giả sử C có một cơ sở lồi B, a0∈ A được gọi là điểm hiệu quả Henigmạnh của A nếu và chỉ nếu a0∈ MinQA với Q = int C(B), trong đó 0 <  < δ(δ := inf{||b|| : b ∈ B} > 0 ) và C(B) := cone(B + BY)

Chương 3 Lý thuyết của Γ-giới hạn

3.1 Γ-giới hạn

Xét n tập S1, , Snvà một hàm f từ S1× × Sn vào R Cho các họ khôngsuy biến A1, , An trên các tập tương ứng S1, , Sn, và α1, , αn∈ {+, −}.Định nghĩa 3.1.1 (De Giorgi 1977) Đặt

where ext+= sup and ext−= inf

Công thức trên được gọi là Γ-giới hạn Cho các tôpô τ1, , τn trên các tậptương ứng S1, , Sn, khi đó

(Γ(τα1

1 , , ταn

n ) lim f ) (x1, , x2) := Γ(Nτ1(x1)α1, , Nτn(xn)αn) lim f1.Chú ý rằng Γ(τα1

Định nghĩa 3.2.2 (Greco 1983) Tập tựa của một limitoid T trong S, ký hiệubởi st(T ), là họ các tập xác định bởi

st(T ) := {A ⊆ S : T (χLA) = 1L},với χL

A: S → L lấy giá trị 1L trên A và bằng 0L trên S \ A

Định lý 3.2.3 (Greco 1983) (định lý biểu diễn của limitoid) Cho L là mộtdàn phân phối đầy đủ và T là một limitoid trong S Khi đó, với mọi f ∈ LS,

T (f ) = liminfst(T )f,với st(T ) là tập tựa của T

3.3 Dạng dãy của Γ-giới hạn của hàm thực suy rộng

Định nghĩa 3.3.1 (Dolecki 2009) Cho F là một lọc trên X

(i) F được gọi là lọc chủ yếu nếu tồn tại một tập A của X sao cho F ={B ⊆ X : A ⊆ B} Tập các lọc chủ yếu trên X được ký hiệu bởi F0(X).(ii) F được gọi là lọc dãy nếu tồn tại một dãy {xn}n trong X sao cho

họ {{xn : n ≥ m} : m ∈ N} là một cơ sở của F Khi đó, chúng ta ký hiệu

F ≈ {xn}n Tập các lọc dãy trên X được ký hiệu bởi Fseq(X)

(iii) F được gọi là lọc đếm được nếu nó có một cơ sở đếm được Tập cáclọc đếm được trên X được ký hiệu bởi F1(X)

Định nghĩa 3.3.2 (Jordan và Mynard 2004) Cho F là một lọc trên X.(i) F được gọi là lọc Fréchet nếu

Định nghĩa 3.3.3 (Greco 1984) Cho N ≈ {n}n, A1, , Aklà các lọc trên cáctập tương ứng S1, , Sk, và f : N × S1× × Sk→ R Γ-giới hạn dãy được địnhnghĩa bởi

Γ(N−, G−, H−) = Γseq(N−, G−, H−),Γ(N+, G+, H+) = Γseq(N+, G+, H+)

(ii) Giả sử G là lọc đếm được và H là lọc Fréchet mạnh Khi đó

Γ(N−, G+, H−) = Γseq(N−, G+, H−),Γ(N+, G−, H+) = Γseq(N+, G−, H+)

(iii) Giả sử G, H là các lọc đếm được Khi đó

Γ(N+, G−, H−) = Γseq(N+, G−, H−),Γ(N−, G+, H+) = Γseq(N−, G+, H+)

(iv) Giả sử G là lọc Fréchet mạnh và H là lọc đếm được Khi đó

Γ(N+, G+, H−) = Γseq(N+, G+, H−)

Γ(N , G , H ) = Γseq(N , G , H ).

3.3.3 Trường hợp hơn ba biến

Định lý 3.3.6 Cho F là lọc Fréchet mạnh trên X, và G, H là các lọc đếmđược trên Y, Z Khi đó, với mọi f : N × X × Y × Z → R,

Γ(N−, F−, G+, H−)lim f = Γseq(N−, F−, G+, H−)lim f

Tuy nhiên, tồn tại các lọc đếm được F , G, H và một hàm thực suy rộng f saocho

Γ(N+, F−, G+, H−)lim f 6= Γseq(N+, F−, G+, H−)lim f

3.4 Áp dụng

Trong phần này, bằng cách dùng Γ-giới hạn, chúng tôi giới thiệu một cáchthống nhất các ký hiệu của đạo hàm suy rộng và nón tiếp xúc

3.4.1 Đạo hàm suy rộng

Cho N+(0) := N (0) ∩ (0, +∞) là một lọc trên (0, +∞), τ là một tôpô trên

X, và f : X → R Giả sử ϑf là cận trên của τ và tôpô thô nhất trên X sao cho

f liên tục Một ký hiệu thống nhất các dạng đạo hàm của f tại x0 được xácđịnh bởi

(iii) Đạo hàm Hadamard trên của f tại x0 theo phương h ∈ X là

α2= ∗ nghĩa là x cố định và bằng x0

Công thức (3) được viết ngắn gọn như sau

v ∈ T(α1 ,α2,α3)

S (x0) ⇐⇒ Γ (t → 0+)α1, (x → x0)α2, (u → v)α3
lim χ(HS)= 1

Định nghĩa 4.1.1 (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại 1 được định

nghĩa như sau:

Định nghĩa 4.1.2 (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại 2 được định

nghĩa như sau:

Nếu giới hạn trên trong Định nghĩa 4.1.1 và 4.1.2 bằng với giới hạn dưới,khi đó F được gọi là có tập biến phân trùng loại 1 và loại 2 tại (x0, y0).4.2 Tập biến phân của ánh xạ nhiễu

Cho U là không gian định chuẩn của tham số nhiễu, Y là không gian mụctiêu, F : U → 2Y Đặt

G(u) := MinC\{0}F (u), S(u) := Minint CF (u)

G và S được gọi là ánh xạ nhiễu và ánh xạ nhiễu yếu

Định nghĩa 4.2.1 Cho (x0, y0) ∈ grF , v1, · · · , vm−1∈ Y , và m ∈ N Tập biếnphân suy biến cấp m loại 1 (loại 2, tương ứng) của F tại (x0, y0) được xác địnhbởi

(i) A được gọi là có tính trội nếu và chỉ nếu A ⊆ MinC\{0}A + C

(ii) Khi int C 6= ∅, A được gọi là có tính trội yếu tương ứng với nón ˆC nếu

và chỉ nếu A ⊆ Minint CA + ˆC, với ˆC ⊆ int C ∪ {0} là một nón lồi đóng.Ánh xạ F được gọi là có tính chất trội quanh u0nếu và chỉ nếu tồn tại mộtlân cận V của u0sao cho F (u) có tính chất trội với mọi u ∈ V Ánh xạ F đượcgọi là có tính trội yếu quanh u0 tương ứng với ˆC nếu và chỉ nếu tồn tại mộtlân cận V của u0sao cho F (u) có tính trội yếu tương ứng với ˆC với mọi u ∈ V Định lý 4.2.3 Cho (u0, y0) ∈ gr G và v1, · · · , vm−1∈ Y Giả sử F có tính trộiquanh u0và C có cơ sở compact

(i) Giả sử một trong số các điều kiện sau đây thoả:

(i1) Vm(F + C, u0, y0, v1, · · · , vm−1) có tính chất trội,

(i2) V∞(m)(F, u0, y0, v1, · · · , vm−1) ∩ (−C) = {0}

Khi đó

MinC\{0}Vm(F, u0, y0, v1, · · · , vm−1) = MinC\{0}Vm(G, u0, y0, v1, · · · , vm−1).(ii) Giả sử một trong số các điều kiện sau đây thoả:

(ii1) Wm(F + C, u0, y0, v1, · · · , vm−1) có tính chất trội,

(ii2) W∞(m)(F, u0, y0, v1, · · · , vm−1) ∩ (−C) = {0}

Khi đó

MinC\{0}Wm(F, u0, y0, v1, · · · , vm−1) = MinC\{0}Wm(G, u0, y0, v1, · · · , vm−1).Định lý 4.2.4 Cho (u0, y0) ∈ gr S và v1, · · · , vm−1∈ Y Giả sử F có tính trộiyếu quanh u0tương ứng với ˆC, trong đó ˆC ⊆ int C ∪ {0} là nón lồi đóng có cơ

sở compact

(i) Giả sử một trong số các điều kiện sau đây thoả:

(i1) Vm(F + ˆC, u0, y0, v1· · · , vm−1) có tinh chất trội yếu tương ứng vớiˆ

Minint CWm(F, u0, y0, v1, · · · , vm−1) = Minint CWm(S, u0, y0, v1, · · · , vm−1)

Ví dụ 4.3.3 và 4.3.5 (trong luận án) được xây dựng để minh hoạ cho haiđịnh lý trên Bên cạnh đó, Ví dụ 4.3.6 trình bày một trường hợp trong đó haiđịnh lý của chúng tôi có thể áp dụng, nhưng kết quả tương tự khi dùng cácđạo hàm suy rộng khác thì không thể

Định lý 4.2.5 Cho (u0, y0) ∈ gr S, v1, · · · , vm−1 ∈ Y , và ˆC là nón lồi đóngđược chứa trong int C ∪ {0} và có cơ sở compact Giả sử:

(i) một trong số các điều kiện sau đây thoả:

(i1) V (F + ˆC, u0, y0, v1, · · · , vm−1) có tính chất trội yếu tương ứngvới ˆC,

(i2) V∞(m)(F, u0, y0, v1, · · · , vm−1) ∩ (− ˆC) = {0},

(ii) F có tính chất trội yếu quanh u0 tương ứng với ˆC,

(iii) F có tập biến phân trùng cấp m loại 1 tại (u0, y0)

Khi đó

Vm(S, u0, y0, v1, · · · , vm−1) = Minint CVm(F, u0, y0, v1, · · · , vm−1)

Ví dụ 4.3.9 chứng tỏ rằng Định lý 4.2.5 không đúng khi thay “S” và

“MinintC” bằng “G” và “MinC\{0}”

4.3 Phân tích độ nhạy của bài toán tối ưu vector

Chúng tôi xét 2 bài toán sau

MinC\{0}F (x, u), thoả x ∈ X(u), (4)Minint CF (x, u), thoả x ∈ X(u) (5)

Trong đó, U, W, Y là không gian định chuẩn, C là nón lồi, đóng, có đỉnh, F

là ánh xạ mục tiêu từ W × U vào Y , và X là ánh xạ ràng buộc từ U vào W Đặt

H(u) := F (X(u), u) = {y ∈ Y : y ∈ F (x, u), x ∈ X(u)}

H(u) là tập tham số chấp nhận được trong không gian mục tiêu Tập nghiệm(trong Y ) của bài toán (4) và (5) được ký hiệu bởi MinC\{0}H(u) và Minint CH(u).Đặt

G(u) := MinC\{0}H(u), S(u) := Minint CH(u)

Định nghĩa 4.3.1 Cho W, U, Y là các không gian định chuẩn, F : W × U →

2Y, ((x0, u0), y0) ∈ gr F , x ∈ W , và (wi, vi) ∈ W × Y với i = 1, · · · , m − 1.(i) Tập biến phân trên (dưới, tương ứng) của F tại ((x0, u0), y0) tương ứngvới x được định nghĩa bởi

Vqm(F, (x0[x], u0), y0, w1, v1, · · · , wm−1, vm−1) := {v ∈ Y : ∃tn→ 0+, ∃hn → 0+,

∃xn→ x, ∃un→ u0, ∃vn→ v, ∀n, y0+ hnv1+ · · · + hm−1n vm−1+ hmnvn

∈ F (x0+ tnw1+ · · · + tm−1n wm−1+ tmnxn, un)}

(Vmq (F, (x0[x], u0), y0, w1, v1 , wm−1, vm−1) := {v ∈ Y : ∀tn → 0+, ∀xn→ x,

∀un→ u0, ∃vn→ v, ∀n, y0+ tnv1+ + tn vm−1+ tnvn

∈ F (x0+ tnw1+ + tm−1n wm−1+ tmnxn, un)})

(ii) F được gọi là có sự biến phân trùng cấp m của F tại ((x0, u0), y0) nếu

và chỉ nếu, với mọi x,

Vqm(F, (x0[x], u0), y0, w1, v1, · · · , wm−1, vm−1) =

Vmq (F, (x0[x], u0), y0, w1, v1, · · · , wm−1, vm−1)

Định lý 4.3.2 Cho (u0, y0) ∈ gr G, x0∈ X(u0), y0∈ F (x0, u0), W hữu hạnchiều, và C có cơ sở compact Giả sử

(i) H có tính trội quanh u0,

(ii) một trong số các điều kiện sau đây thoả:

(i) Y có tính trội yếu quanh u0 tương ứng với ˆC,

(ii) một trong số các điều kiện sau đây thoả:

(ii1) Vm(H + ˆC, u0, y0, v1, · · · , vm−1) có tính trội yếu tương ứngvới ˆC,

(ii2) V∞(m)(H, x0, y0, v1, · · · , vm−1) ∩ (− ˆC) = {0},