một số vấn đề giải tích biến phân và tối ưu hoá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN LÊ HOÀNG ANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ TỐI ƯU HOÁ Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu Mã số: 62 46 20 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh năm 2014 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Người hướng dẫn khoa học : GS. TSKH. Phan Quốc Khánh. Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Định Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Đình Phư Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Tạ Duy Phượng Phản biện độc lập 2: TS. Trần Thanh Tùng Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, số 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, TP HCM vào lúc giờ ngày tháng năm . Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM 2. Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên GIỚI THIỆU Giải tích biến phân liên quan đến nhiều lý thuyết toán học, đặc biệt là những vấn đề về hội tụ biến phân và tối ưu hoá. Theo sự hiểu biết của chúng tôi, nhiều khái niệm hội tụ của dãy hàm đã được giới thiệu và được dùng trong các bài toán biến phân. Năm 1975, De Giorgi đưa ra định nghĩa của Γ-hội tụ. Định nghĩa này đóng vai trò quan trọng trong số các khái niệm hội tụ của bài toán biến phân. Hơn nữa, những áp dụng của Γ-hội tụ cũng được phát triển trong những lĩnh vực khác của giải tích biến phân, như: phép toán biến phân và phương trình vi phân Gần đây, tính không trơn đã trở thành một trong những đặc trưng của giải tích biến phân. Trong thực tế, nhiều đối tượng của bài toán biến phân, như: hàm khoảng cách, hàm giá trị trong tối ưu và bài toán điều kiển, ánh xạ nghiệm , có thể được biểu diễn dưới dạng hàm đa trị hoặc không trơn. Điều này dẫn đến sự phát triển của một hướng nghiên cứu mới liên quan đến các dạng đạo hàm (tính khả vi) suy rộng. Từ những phân tích bên trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến Γ-giới hạn và các dạng đạo hàm suy rộng. Luận án gồm 6 chương. + Chương 1, chúng tôi trình bày chi tiết mục đích nghiên cứu của từng vấn đề trong luận án. + Chương 2, những kiến thức chuẩn bị của luận án được giới thiệu. + Chương 3, chúng tôi giới thiệu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của Γ-giới hạn. Ngoài ra, các kết quả liên quan đến dạng dãy của Γ-giới hạn cũng được trình bày. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số áp dụng của Γ-giới hạn. + Chương 4, dựa vào khái niệm tập biến phân, một dạng đạo hàm suy rộng được đưa ra bởi Khánh và Tuấn (2008), chúng tôi nghiên cứu tính chất của các ánh xạ nhiễu và các áp dụng trong phân tích độ nhạy của bài toán tối ưu. + Chương 5, khái niệm tập theo tia (radial) cấp cao và đạo hàm theo tia cấp cao được giới thiệu và dùng để thiết lập điều kiện cần và đủ cho nhiều loại nghiệm của bài toán tối đa trị có ràng buộc. +Chương 6 thảo luận về đạo hàm Studniarski cho ánh xạ đa trị. Chúng tôi trình bày những phép toán của đạo hàm này và những áp dụng của chúng được khảo sát. 1 Chương 1. Mục đích nghiên cứu 1.1. Γ-giới hạn Vài thập kỷ gần đây đã chứng kiến sự phát triển của hội tụ biến phân và các áp dụng trong những lĩnh vực khác. Trong hội tụ biến phân, Γ-giới hạn có vai trò quan trọng. Hơn nữa, hầu hết các dạng hội tụ khác đều có thể được biểu diễn dưới dạng Γ-giới hạn. Năm 1983, Greco giới thiệu khái niệm limitoid trong Greco (1983) và suy ra rằng các Γ-giới hạn là trường hợp đặc biệt của limitoid. Sau đó, Gerco trình bày định lý biễu diễn, theo đó mỗi quan hệ của các limitoid sẽ tương ứng với quan hệ trong lý thuyết tập. Điều này giúp chúng tôi đạt được các kết quả dạng dãy của Γ-giới hạn một cách dễ dàng. Ngoài ra, dùng Γ-giới hạn, chúng tôi cũng đề xuất một hướng thống nhất đối với các khái niệm liên quan đến nón tiếp xúc và đạo hàm suy rộng. 1.2. Phân tích độ nhạy Phân tích độ nhạy và sự ổn định có vai trò quan trọng trong tối ưu hoá. Phân tích sự ổn định liên quan đến việc nghiên cứu tính chất liên tục (hoặc nửa liên tục) của ánh xạ nghiệm và ánh xạ giá trị tối ưu. Trong khi đó, phân tích độ nhạy đề cập đến các dạng đạo hàm của các ánh xạ được đề cập bên trên. Theo chúng tôi biết, hiên nay có nhiều dạng đạo hàm suy rộng được giới thiệu và dùng trong điều kiện tối ưu. Tuy nhiên, các kết quả về phân tích độ nhạy là không nhiều. Vì thế, chúng tôi mong chờ nhiều dạng đạo hàm khác, ngoài đạo hàm tiếp liên (contingent derivative), có thể được áp dụng trong chủ đề này. Do đó, chúng tôi chọn tập biến phân cấp cao, được giới thiệu bởi Khánh và Tuấn (2008), cho mục đích này. Đây là khái niệm chứa nhiều dạng đạo hàm suy rộng khác. 1.3. Điều kiện tối ưu Tối ưu hóa là một công cụ cần thiết cho việc xây dựng nhiều vấn đề dưới dạng tối thiểu hoặc tối đa hóa một hàm số với các ràng buộc nhất định. Đây là một khoa học về lựa chọn quyết định tốt nhất trong các khả năng có thể. Các lý thuyết ban đầu của tối ưu hoá được trình bày với giả thuyết khả vi của các hàm liên quan. Trong khi đó, những nỗ lực để giảm nhẹ hoặc loại bỏ giả thuyết khả vi đã dẫn đến sự phát triển của tối ưu không trơn. Điều kiện tối ưu không trơn là một chủ đề đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Nhiều dạng đạo hàm suy rộng được giới thiệu để thay thế cho đạo hàm Fréchet và đạo hàm Gâteaux trong trường hợp không trơn. Hầu hết các dạng đạo hàm này được xây dựng dựa trên các dạng của nón tiếp xúc. Năm 1998, đạo hàm theo tia (radial) được đưa ra bởi Taa dựa vào khái niệm bao nón. Để đạt được nhiều thông tin trong điều kiện tối ưu, đạo hàm 2 cấp cao cần được định nghĩa. Do đó, trong luận án này, chúng tôi định nghĩa đạo hàm theo tia cấp cao và áp dụng vào điều kiện tối ưu cấp cao cho bài toán tối ưu đa trị có ràng buộc. 1.4. Các phép toán và áp dụng Nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không trơn dẫn đến nhiều dạng đạo hàm suy rộng được giới thiệu. Tuy nhiên, có khá ít kết quả về các phép toán và áp dụng của những đạo hàm này. Năm 1986, Studniarski giới thiệu một cách khác để định nghĩa đạo hàm cấp cao (không dựa vào những cấp thấp hơn) cho hàm thực suy rộng, gọi là đạo hàm Studniarski. Gần đây, đạo hàm này được mở rộng cho ánh xạ đa trị và áp dụng trong điều kiện tối ưu. Tuy nhiên chưa có nghiên cứu về các phép toán của dạng đạo hàm này. Do đó, trong luận án này, chúng tôi thiết lập các phép toán của đạo hàm Studniarski và các áp dụng của chúng. Chương 2. Kiến thức chuẩn bị 2.1. Các định nghĩa trong lý thuyết tập Định nghĩa 2.1.1. Cho S là tập con của không gian tôpô X. (i) Một họ F các tập con của S được gọi là không suy biến nếu ∅ ∈ F. (ii) Một họ không suy biến F trên S được gọi là nửa lọc nếu G ⊇ F ∈ F =⇒ G ∈ F. (iii) Một nửa lọc F trên S được gọi là lọc nếu F 0 , F 1 ∈ F =⇒ F 0 ∩ F 1 ∈ F. Định nghĩa 2.1.2. (i) Một tập L được gọi là dàn nếu hai phần tử bất kỳ của L có một chận trên nhỏ nhất và một chận dưới lớn nhất. (ii) Một dàn L được gọi là đầy đủ nếu mỗi tập con S của L có một chận trên nhỏ nhất và một chận dưới lớn nhất trong L. (iii) Một dàn đầy đủ L được gọi là phân phối nếu (a)  j∈J  i∈A j f(j, i) =  ϕ∈  j∈J A j  j∈J f(j, ϕ(j)), (b)  j∈J  i∈A j f(j, i) =  ϕ∈  j∈J A j  j∈J f(j, ϕ(j)), với mỗi họ (khác rỗng) {A j } j∈J và với mỗi hàm f xác định trên {(j, i) ∈ J ×I : i ∈ A j } có giá trị trong L, và  j∈J A j := {ϕ ∈ (  j∈J A j ) J : ∀ j∈J ϕ(j) ∈ A j }, trong đó (  j∈J A j ) J ký hiệu tập của những hàm số từ J vào  j∈J A j . 3 2.2. Các định nghĩa trong giải tích đa trị Giả sử X, Y là hai không gian vector, C la một nón (khác rỗng) trong Y , và A ⊆ Y . Chúng tôi thường dùng những nón sau đây : cone A := {λa : λ ≥ 0, a ∈ A}, cone + A := {λa : λ > 0, a ∈ A}, C ∗ := {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , c ≥ 0, ∀c ∈ C}, C +i := {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , c > 0, ∀c ∈ C\{0}}. Một tập con B của nón C được gọi là cơ sở của C nếu C = cone B và 0 ∈ cl B. Một tập con M ⊆ X × Y được xem như một ánh xạ đa trị (hoặc một quan hệ) M từ X vào Y . Ảnh của điểm {x} được ký hiệu bởi Mx := {y ∈ Y : (x, y) ∈ M}. Ảnh ngược của tập K trong Y là M −1 K := {x ∈ X : Mx ∩ K = ∅}. Định nghĩa 2.2.1. Cho F : X → 2 Y và (x 0 , y 0 ) ∈ gr F . (i) F được gọi là nửa liên tục dưới tại (x 0 , y 0 ) nếu với mỗi lân cận V của y 0 , tồn tại một lân cận U của x 0 sao cho V ∩ F(x) = ∅ với mọi x ∈ U. (ii) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn. Ánh xạ F được gọi là tĩnh giả H¨older địa phương cấp m (m-th order locally pseudo-H¨older calm) tại x 0 với y 0 ∈ F (x 0 ) nếu ∃λ > 0, ∃U ∈ N (x 0 ), ∃V ∈ N (y 0 ), ∀x ∈ U, (F (x) ∩ V ) ⊆ {y 0 }+ λ||x − x 0 || m B Y , trong đó B Y là quả cầu đơn vị đóng trong Y . Khi m = 1, từ “H¨older" được thay bởi “Lipschitz". Nếu V = Y , thì “tĩnh giả H¨older địa phương" trở thành “tĩnh H¨older địa phương" (locally H¨older calm). Giả sử C là nón lồi, đóng, có đỉnh. a 0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả Pareto của A nếu (A − a 0 ) ∩ (−C \ {0}) = ∅. Định nghĩa 2.2.2. (Ha 2009) Cho Q là một nón mở trong Y . a 0 ∈ A được gọi là điểm Q-hiệu quả của A nếu (A − a 0 ) ∩ −Q = ∅. Tập các điểm Q-hiệu quả được ký hiệu bởi Min Q A. Mệnh đề 2.2.3. (Ha 2009) (i) Giả sử int C = ∅, a 0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả yếu của A nếu và chỉ nếu a 0 ∈ Min Q A với Q = int C. (ii) a 0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả mạnh của A nếu và chỉ nếu a 0 ∈ Min Q A với Q = Y \ (−C). (iii) Giả sử C +i = ∅, a 0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả dương của A nếu và chỉ nếu a 0 ∈ Min Q A với Q = {y ∈ Y : ϕ(y) > 0}, trong đó ϕ ∈ C +i . 4 (iv) a 0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả Geoffrion của A nếu và chỉ nếu a 0 ∈ Min Q A với Q = C(), trong đó  > 0 và C() := {y ∈ Y : d C (y) < d −C (y)}. (v) a 0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả Henig của A nếu và chỉ nếu a 0 ∈ Min Q A với Q là nón lồi, mở, có đỉnh và C \ {0} ⊆ Q. (vi) Giả sử C có một cơ sở lồi B, a 0 ∈ A được gọi là điểm hiệu quả Henig mạnh của A nếu và chỉ nếu a 0 ∈ Min Q A với Q = int C  (B), trong đó 0 <  < δ (δ := inf{||b|| : b ∈ B} > 0 ) và C  (B) := cone(B + B Y ). Chương 3. Lý thuyết của Γ-giới hạn 3.1. Γ-giới hạn Xét n tập S 1 , , S n và một hàm f từ S 1 × × S n vào R. Cho các họ không suy biến A 1 , , A n trên các tập tương ứng S 1 , , S n , và α 1 , , α n ∈ {+, −}. Định nghĩa 3.1.1. (De Giorgi 1977) Đặt Γ(A α 1 1 , , A α n n ) lim f := ext −α n A n ∈A n ext −α 1 A 1 ∈A 1 ext α 1 x 1 ∈A 1 ext α n x n ∈A n f(x 1 , , x n ), where ext + = sup and ext − = inf. Công thức trên được gọi là Γ-giới hạn. Cho các tôpô τ 1 , , τ n trên các tập tương ứng S 1 , , S n , khi đó (Γ(τ α 1 1 , , τ α n n ) lim f) (x 1 , , x 2 ) := Γ(N τ 1 (x 1 ) α 1 , , N τ n (x n ) α n ) lim f 1 . Chú ý rằng Γ(τ α 1 1 , , τ α n n )lim f là một hàm số từ S 1 × × S n vào R. Các tính chất của Γ-giới hạn được trình bày trong phần 3.2 của luận án. 3.2. Γ-giới hạn trong dàn phân phối đầy đủ Định nghĩa 3.2.1. (Greco 1983) Một hàm T : L S → L được gọi là L-limitoid trong S (hoặc ngắn gọn, limitoid) nếu với mọi f, g ∈ L S và mọi đồng cấu đầy đủ ϕ của L trong L, (i) g ≤ f =⇒ T (g) ≤ T (f), (ii) T(ϕ ◦ g) = ϕ(T (g)), (iii) T(g) ∈ g(S) L , với g(S) L là dàn con đóng nhỏ nhất của L chứa g(S), và L S là tập những hàm từ S vào L . 1 Nếu (X, τ) là không gian tôpô, khi đó N τ (x) ký hiệu tập các lân cận của x. 5 Định nghĩa 3.2.2. (Greco 1983) Tập tựa của một limitoid T trong S, ký hiệu bởi st(T), là họ các tập xác định bởi st(T ) := {A ⊆ S : T (χ L A ) = 1 L }, với χ L A : S → L lấy giá trị 1 L trên A và bằng 0 L trên S \ A. Định lý 3.2.3. (Greco 1983) (định lý biểu diễn của limitoid) Cho L là một dàn phân phối đầy đủ và T là một limitoid trong S. Khi đó, với mọi f ∈ L S , T (f) = liminf st(T ) f, với st(T ) là tập tựa của T. 3.3. Dạng dãy của Γ-giới hạn của hàm thực suy rộng Định nghĩa 3.3.1. (Dolecki 2009) Cho F là một lọc trên X. (i) F được gọi là lọc chủ yếu nếu tồn tại một tập A của X sao cho F = {B ⊆ X : A ⊆ B}. Tập các lọc chủ yếu trên X được ký hiệu bởi F 0 (X). (ii) F được gọi là lọc dãy nếu tồn tại một dãy {x n } n trong X sao cho họ {{x n : n ≥ m} : m ∈ N} là một cơ sở của F. Khi đó, chúng ta ký hiệu F ≈ {x n } n . Tập các lọc dãy trên X được ký hiệu bởi F seq (X). (iii) F được gọi là lọc đếm được nếu nó có một cơ sở đếm được. Tập các lọc đếm được trên X được ký hiệu bởi F 1 (X). Định nghĩa 3.3.2. (Jordan và Mynard 2004) Cho F là một lọc trên X. (i) F được gọi là lọc Fréchet nếu ∀ G ∈ F 0 (X) : G#F =⇒ ∃H ∈ F seq (X) : H ≥ F ∨ G, với F ∨ G := {F ∩ G : F ∈ F, G ∈ G} là cận trên của F và G; G#F nghĩa là G ∩ F = ∅, ∀G ∈ G, F ∈ F . (ii) F được gọi là lọc Fréchet mạnh nếu ∀ G ∈ F 1 (X) : G#F =⇒ ∃H ∈ F seq (X) : H ≥ F ∨ G. (iii) F được gọi là lọc Fréchet hiệu quả nếu ∀ G ∈ F sF (X) : G#F =⇒ ∃H ∈ F 1 (X) : H ≥ F ∨ G, với F sF (X) là tập các lọc Fréchet mạnh trên X. 6 Định nghĩa 3.3.3. (Greco 1984) Cho N ≈ {n} n , A 1 , , A k là các lọc trên các tập tương ứng S 1 , , S k , và f : N × S 1 × ×S k → R. Γ-giới hạn dãy được định nghĩa bởi Γ seq (N α 0 , A α 1 1 , , A α k k )lim f := ext α 1 {x 1 n } n ∈Seq(A 1 ) ext α k {x k n } n ∈Seq(A k ) ext −α 0 m∈N ext α 0 n≥m f(n, x 1 n , , x k n ), với ext − = inf, ext + = sup, α 0 , α 1 , , α k ∈ {+, −}. 3.3.1. Hai biến Định lý 3.3.4. Cho f : N × X → R. (i) Nếu G là lọc Fréchet mạnh trên X, khi đó Γ(N − , G − ) = Γ seq (N − , G − ), Γ(N + , G + ) = Γ seq (N + , G + ). (ii) Nếu G là lọc đếm được trên X, khi đó Γ(N − , G + ) = Γ seq (N − , G + ), Γ(N + , G − ) = Γ seq (N + , G − ). 3.3.2. Ba biến Định lý 3.3.5. Cho G, H là hai lọc trên X, Y , và f : N × X × Y → R. (i) Giả sử G là lọc Fréchet mạnh và H là lọc Fréchet hiệu quả (hoặc ngược lại). Khi đó Γ(N − , G − , H − ) = Γ seq (N − , G − , H − ), Γ(N + , G + , H + ) = Γ seq (N + , G + , H + ). (ii) Giả sử G là lọc đếm được và H là lọc Fréchet mạnh. Khi đó Γ(N − , G + , H − ) = Γ seq (N − , G + , H − ), Γ(N + , G − , H + ) = Γ seq (N + , G − , H + ). (iii) Giả sử G, H là các lọc đếm được. Khi đó Γ(N + , G − , H − ) = Γ seq (N + , G − , H − ), Γ(N − , G + , H + ) = Γ seq (N − , G + , H + ). (iv) Giả sử G là lọc Fréchet mạnh và H là lọc đếm được. Khi đó Γ(N + , G + , H − ) = Γ seq (N + , G + , H − ). 7 Γ(N − , G − , H + ) = Γ seq (N − , G − , H + ). 3.3.3. Trường hợp hơn ba biến Định lý 3.3.6. Cho F là lọc Fréchet mạnh trên X, và G, H là các lọc đếm được trên Y, Z. Khi đó, với mọi f : N × X × Y × Z → R, Γ(N − , F − , G + , H − )lim f = Γ seq (N − , F − , G + , H − )lim f. Tuy nhiên, tồn tại các lọc đếm được F, G, H và một hàm thực suy rộng f sao cho Γ(N + , F − , G + , H − )lim f = Γ seq (N + , F − , G + , H − )lim f. 3.4. Áp dụng Trong phần này, bằng cách dùng Γ-giới hạn, chúng tôi giới thiệu một cách thống nhất các ký hiệu của đạo hàm suy rộng và nón tiếp xúc. 3.4.1. Đạo hàm suy rộng Cho N + (0) := N (0) ∩ (0, +∞) là một lọc trên (0, +∞), τ là một tôpô trên X, và f : X → R. Giả sử ϑ f là cận trên của τ và tôpô thô nhất trên X sao cho f liên tục. Một ký hiệu thống nhất các dạng đạo hàm của f tại x 0 được xác định bởi D(N + (0) α 1 ; ϑ α 2 f , τ α 3 )f(x 0 )(h) :=  Γ(N + (0) α 1 ; ϑ α 2 f , τ α 3 ) lim f(x + tu) − f (x) t  (x 0 , h), (1) với α 1 ∈ {+, −}, α 2 , α 3 ∈ {+, −, ∗}, trong đó α 2 = ∗ (hoặc α 3 = ∗) nghĩa là x (u, tương ứng) là cố định và bằng x 0 (h, tương ứng). Công thức (1) được viết ngắn gọn như sau D (α 1 ,α 2 ,α 3 ) f(x 0 )(h) = Γ  (t → 0 + ) α 1 , (x → x 0 ) α 2 , (u → h) α 3  lim f(x + tu) − f (x) t . Định nghĩa 3.4.1. Cho f : (X, τ) → R và x 0 ∈ X. (i) Đạo hàm Dini trên của f tại x 0 theo phương h ∈ X là D (+,∗,∗) f(x 0 )(h) = Γ((t → 0 + ) + ) lim f(x 0 + th) − f(x 0 ) t . (ii) Đạo hàm Dini dưới của f tại x 0 theo phương h ∈ X là D (−,∗,∗) f(x 0 )(h) = Γ  (t → 0 + ) −  lim f(x 0 + th) − f(x 0 ) t . 8 [...]... TS (x0 ) ⇐⇒ Γ((t → 0+ )− , (x → x0 )− , (u → v)+ ) lim χ(HS ) = 1 Chương 4 Tập biến phân và áp dụng vào phân tích độ nhạy của bài toán tối ưu vector 4.1 Tập biến phân Cho X, Y là các không gian định chuẩn, C là nón lồi đóng có đỉnh trong Y , F : X → 2Y và (x0 , y0 ) ∈ gr F Định nghĩa 4.1.1 (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại 1 được định nghĩa như sau: V 1 (F, x0 , y0 ) = Limsup F x→x0 , t→0+ V... (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại 2 được định nghĩa như sau: W 1 (F, x0 , y0 ) = Limsup cone+ (F (x) − y0 ), , F x→x0 W m (F, x0 , y0 , v1 , · · · , vm−1 ) = Limsup F x→x0 t→0+ 10 1 (cone+ (F (x)−y0 )−v1 −· · ·−tm−2 vm−1 ) tm−1 Nếu giới hạn trên trong Định nghĩa 4.1.1 và 4.1.2 bằng với giới hạn dưới, khi đó F được gọi là có tập biến phân trùng loại 1 và loại 2 tại (x0 , y0 ) 4.2 Tập biến phân của... thoả, và H có tập biến phân trùng cấp m loại 1 tại (u0 , y0 ) Khi đó V m (S, u0 , y0 , v1 , · · · , vm−1 ) =   Vqm (F, (x0 [x], u0 ), y0 , w1 , v1 , · · · , wm−1 , vm−1 ) Minint C  x∈V m (X,u 0 ,x0 ,w1 ,··· ,wm−1 ) Các Ví dụ 4.4.3-4.4.6 chứng tỏ rằng các giả thuyết trong ba định lý trên là cần thiết Chương 5 Tập theo tia, đạo hàm theo tia và áp dụng vào điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vector... Ví dụ 5.2.13, 5.2.16, và 5.2.18 5.3 Điều kiện tối ưu Cho X, Y và Z là các không gian định chuẩn, C ⊆ Y và D ⊆ Z là các nón lồi, đóng, có đỉnh, S ⊆ X, và F : S → 2Y , G : S → 2Z Bài toán tối ưu được xét có dạng (P) MinQ F (x), s.t x ∈ S, G(x) ∩ −D = ∅ Tập chấp nhận được của (P) được ký hiệu bởi A := {x ∈ S : G(x) ∩ −D = ∅} Định lý 5.3.1 (Điều kiện cần) Cho (x0 , y0 ) ∈ grF là một nghiệm Q-hiệu quả... có tính chất trội yếu quanh u0 tương ứng với C, (iii) F có tập biến phân trùng cấp m loại 1 tại (u0 , y0 ) Khi đó V m (S, u0 , y0 , v1 , · · · , vm−1 ) = Minint C V m (F, u0 , y0 , v1 , · · · , vm−1 ) Ví dụ 4.3.9 chứng tỏ rằng Định lý 4.2.5 không đúng khi thay “S” và “MinintC ” bằng “G” và “MinC\{0} ” 4.3 Phân tích độ nhạy của bài toán tối ưu vector Chúng tôi xét 2 bài toán sau MinC\{0} F (x, u), thoả... 5.4.4 và 5.4.7 trình bày các trường hợp mà Định lý 5.4.1 và 5.4.2 có thể áp dụng, trong khi các kết quả dùng trên đạo hàm tiếp liên (contingent epiderivative) của Jahn và Khan (2002) không thể sử dụng Chương 6 Các phép toán và áp dụng của đạo hàm Studniarski trong phân tích độ nhạy và định lý hàm ẩn 6.1 Đạo hàm Studniarski Cho X, Y là các không gian định chuẩn, F : X → 2Y , (x0 , y0 ) ∈ grF , u ∈ X, và. .. y0 ) 4.2 Tập biến phân của ánh xạ nhiễu Cho U là không gian định chuẩn của tham số nhiễu, Y là không gian mục tiêu, F : U → 2Y Đặt G(u) := MinC\{0} F (u), S(u) := Minint C F (u) G và S được gọi là ánh xạ nhiễu và ánh xạ nhiễu yếu Định nghĩa 4.2.1 Cho (x0 , y0 ) ∈ grF , v1 , · · · , vm−1 ∈ Y , và m ∈ N Tập biến phân suy biến cấp m loại 1 (loại 2, tương ứng) của F tại (x0 , y0 ) được xác định bởi F V... F được gọi là có sự biến phân trùng cấp m của F tại ((x0 , u0 ), y0 ) nếu và chỉ nếu, với mọi x, Vqm (F, (x0 [x], u0 ), y0 , w1 , v1 , · · · , wm−1 , vm−1 ) = V m (F, (x0 [x], u0 ), y0 , w1 , v1 , · · · , wm−1 , vm−1 ) q Định lý 4.3.2 Cho (u0 , y0 ) ∈ gr G, x0 ∈ X(u0 ), y0 ∈ F (x0 , u0 ), W hữu hạn chiều, và C có cơ sở compact Giả sử (i) H có tính trội quanh u0 , (ii) một trong số các điều kiện sau... {0}, và có cơ sở compac Giả sử ˆ (i) Y có tính trội yếu quanh u0 tương ứng với C, (ii) một trong số các điều kiện sau đây thoả: ˆ (ii1 ) V m (H + C, u0 , y0 , v1 , · · · , vm−1 ) có tính trội yếu tương ứng ˆ với C, ˆ (ii2 ) V ∞(m) (H, x0 , y0 , v1 , · · · , vm−1 ) ∩ (−C) = {0}, 14 (iii) F có sự biến phân trùng cấp m tại ((x0 , u0 ), y0 ), (iv) X tĩnh quanh ((u0 , y0 ), x0 ), (v) X(u0 , y0 ) = {x0 } và. .. 4.3.3 và 4.3.5 (trong luận án) được xây dựng để minh hoạ cho hai định lý trên Bên cạnh đó, Ví dụ 4.3.6 trình bày một trường hợp trong đó hai định lý của chúng tôi có thể áp dụng, nhưng kết quả tương tự khi dùng các đạo hàm suy rộng khác thì không thể ˆ Định lý 4.2.5 Cho (u0 , y0 ) ∈ gr S, v1 , · · · , vm−1 ∈ Y , và C là nón lồi đóng được chứa trong int C ∪ {0} và có cơ sở compact Giả sử: (i) một trong số . TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN LÊ HOÀNG ANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ TỐI ƯU HOÁ Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu Mã số: 62 46 20 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp lĩnh vực khác của giải tích biến phân, như: phép toán biến phân và phương trình vi phân Gần đây, tính không trơn đã trở thành một trong những đặc trưng của giải tích biến phân. Trong thực tế,. Trường Đại học Khoa học Tự nhiên GIỚI THIỆU Giải tích biến phân liên quan đến nhiều lý thuyết toán học, đặc biệt là những vấn đề về hội tụ biến phân và tối ưu hoá. Theo sự hiểu biết của chúng tôi,