Hinh hoc giai tich (1)

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 TIỂU LUẬN MƠN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hà Thanh Lớp: TOÁN !B Nhóm thực hiện: + Nguyễn Thị Thắm + Nguyễn Ngọc Đan + Lưu Huỳnh Đức + Vũ Đông Quân + Nguyễn Mi Sa + Lê Ngô Yến Phương + Dương Hồ Kim Trâm + Nguyễn Xuân Quang TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ .5 BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ BÀI 3: VECTƠ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH .9 BÀI 4: CHIẾU VECTƠ 11 BÀI 5: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 13 BÀI 6: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 14 .16 BÀI 7: TÍCH HỖN TẠP CỦA BA VECTƠ 17 BÀI 8: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 19 Chương 2: 25 ĐƯỜNG BẬC HAI 25 BÀI 9: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 26 BÀI 10: PHÉP BIẾN ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ 29 BÀI 11: KHÁI NIỆM ĐƯỜNG BẬC HAI 34 VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN 34 BÀI 12: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG BẬC HAI 40 BÀI 13: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÂM ĐƯỜNG BẬC HAI Nhắc lại lý thuyết: .49 BÀI 14: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG BẬC HAI 55 BÀI 15: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG KÍNH LIÊN HỢP ĐƯỜNG BẬC HAI 59 BÀI 16: PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI ( C ): ax2 + 2bx + cy2 + 2dx + 2ey + f = (1) 62 BÀI 17: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHÂN LOẠI ĐƯỜNG BẬC HAI 67 Chương 3: 75 MẶT BẬC HAI 75 BÀI 18: MẶT BẬC HAI VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN 76 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 19: PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI 80 BÀI 20: MẶT KẺ 82 BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 84 ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI 84 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 LỜI NĨI ĐẦU Cuốn tiểu luận biên soạn theo chương trình Hình học giải tích chương trình giảng dạy trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.Cuốn tiểu luận chia làm ba chương lớn: +Chương 1: Nhắc lại kiến thức vectơ +Chương 2: Đường bậc hai(Xét mặt phẳng) +Chương 3: Mặt bậc hai (Xét không gian) Chương 1: Nhắc lại khái niệm vectơ, phép toán liên quan đến vectơ cách tổng quát cụ thể để làm tảng lý thuyết ứng dung cho chương sau Chương chủ yếu lý thuyết song sau định lý quan trọng đưa ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng khắc sâu kiến thức Chương 2:Mở rộng đường bậc hai mà ta xét mặt phẳng Oxy.Các khái niệm, định nghĩa tưởng chừng quen thuộc từ thời phổ thông tiếp tuyến, tiệm cận, tâm hay đường kính nói đến cách tổng qt có phần mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, tập phân theo dạng có phương pháp cụ thể cho dạng sau phần tập ứng dụng có lời giải Chương 3:Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên phần sâu vào khái niệm mặt kẻ đường sinh.Để mơ rõ tính chất hình học, loại mặt bậc hai có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh giúp đỡ tận tình chúng tơi trình thực tiểu luận Xin cảm ơn tác giả tài liệu tham khảo mà chúng tơi sử dụng Trong q trình thực tiểu luận cịn có vài sai sót, xin bạn đọc thơng cảm Mọi thắc mắc góp ý xin liên hệ email dongquan12toan2@gmail.com Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 Chương 1: NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ ĐẠI SỐ VECTƠ Trong thực tế, đại lượng ta gặp thường có loại : có hướng vô hướng  Những đại lượng : “khối lượng”, “chiều dài”, “thể tích” đại lượng vơ hướng Xác định chúng cần “đổ lớn” (ví dụ: khối lượng tiểu luận 300g …)  Những đại lượng “vận tốc”, “gia tốc”, “lực” đại lượng có hướng, chúng xác định biết PHƯƠNG, CHIỂU, ĐỘ LỚN Để biểu diễn đại lượng vậy, ta đưa khái niệm Vectơ Vậy Vectơ ? Được xây dựng ? Vectơ có tính chất ứng cần nghiên cứu TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 BÀI 1: KHÁI NIỆM VECTƠ I/ Định nghĩa: Một đoạn thẳng có quy định thứ tự đầu (có hướng) gọi Vectơ Đường thẳng qua đầu mút gọi giá vectơ Độ dài đoạn thẳng nối đầu mút gọi Môđun A (Gốc B (ngọn) vectơ ( môđun số không âm) r r Mơđun a kí hiệu a + Vectơ đơn vị : Vectơ có mơđun r + Vectơ “không” ( ): vectơ đầu mút trùng Có mơđun chiều tùy chọn + Vectơ cộng tuyến (cùng phương): vectơ có giá đường thẳng trùng song song vectơ phương chiều gọi vectơ hướng, ngược chiều gọi vectơ ngược hướng + Vectơ nhau: hướng môđun r r r r r Trên hình: a = b , a b ngược hướng với c Ta thấy rằng, vectơ khác vị trí gốc Nếu đem chúng lại chung gốc chúng “trùng nhau” Trong nhiều trường hợp ta đến phương, chiều môđun vectơ mà không quan tâm đến vị trí gốc Từ đưa đến khái niệm vectơ tự : vectơ mà gốc đặt tùy không gian Thường dùng chữ nhỏ thường với mũi tên đầu để gọi tên cho r c r ba vectơ tự r r r r r Trên hình: a = b , a b ngược hướng với c uuur Vectơ có gốc xác định, ví dụ vectơ AB gọi vectơ buộc B a Buộc vectơ tự điểm A A TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 BÀI 2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ I/ Phép cộng trừ Vectơ : 1/ Định nghĩa: B r r r Tổng vectơ a b vectơ c xác định sau: r Buộc vectơ a điểm A, r uuur B, b = BC Khi ta có b a r uuur r a = AB Buộc vectơ b điểm r uuur c = AC C c A Hoặc dùng quy tắc hình bình hành: buộc r r r uuur r uuur vectơ a b vào chung điểm O, a = OA , b = OB , r c xác định vectơ đường chéo hình bình hành r uuur có cạnh OA, OB , với gốc O : c = OC (Quy tắc C A c a phù hợp với quy tắc tổng hợp lực Vật Lí ) O b B d b c a e +++ + Trên hình: Cộng nhiều vectơ 2/ Tính Chất : r r r r + Giao Hoán : a + b = b + a r r r r r r + Kết hợp : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) r r r r r r + Phần tử trung hòa phép cộng ( ) : a + = + a = a TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 + Cộng với phần tử đối Đầu tiên ta định nghĩa “Hai vectơ đối nhau” : vectơ uuur uuur uuur uuur phương, ngược chiều, mơđun Ví dụ: AB BA đối Ta ghi : AB = - BA r uur r Ta có tính chất : a + −a = 3/ Trừ Vectơ: r r r r r r r r Hiệu vectơ a b vectơ c = a + (- b ), ta ghi c = a - b r r r a- b= c uuur uuu r uuur Chú ý : = BA OA - OB A c Dựa vào Bất đẳng thức tam giác, ta suy a r r r r a+b ≤ a + b Or r r r a−b ≥ a - b B b 4/ Nhân vecto với số: + Định nghĩa: uur r r Tích vectơ a với số p vectơ kí hiệu pa , có mơđun p a ,cùng hướng với a p >0, ngược hướng với a p 1) phụ thuộc tuyến tính có vectơ tổ hợp tuyến tính vectơ lại Chứng minh: r r r r + Điều kiện cần: Giả sử vectơ a1 , a2 , a3 , an phụ thuộc tuyến tính; ta có r r r r r k1a1 + k2 a2 + k3a3 + kn an = có hệ số khác 0, chẳng hạn ki ≠ Ta suy ra: k r k r k r k r r = − a1 − a2 − a3 − n an ki ki ki ki k k1 k2 k3 , − , − , , − n hệ số tổ hợp tuyến tính ki ki ki ki r r r r r +Điều kiện đủ: Giả sử an = l1a1 + l2 a2 + l3a3 + ln −1an −1 r r r r r ⇔ l1a1 + l2 a2 + l3a3 + ln −1an −1 − an = r r r r Vậy tồn hệ số thứ n -1 ≠ Vậy vectơ a1 , a2 , a3 , an phụ thuộc tuyến tính Vậy − III/ Định lý phân tích: r r r + Trong mặt phẳng cho trước vectơ e1 , e2 độc lập tuyến tính, vectơ a khác r r mặt phẳng đề phân tích theo e1 , e2 : r r r ∃!( x, y ) : a = xe1 + ye2 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 r r r r + Trong không gian, tồn vectơ e1 , e2 , e3 độc lập tuyến tính, vectơ a khác r r r khơng gian phân tích theo e1 , e2 , e3 sau: r r r r ∃!( x, y, z ) : a = xe1 + ye2 + ze3 IV/ Các ví dụ: Vd1: Hai vectơ khơng phương mặt phẳng vectơ độc lập tuyến tính Hai vectơ phương mặt phẳng vectơ phụ thuộc tuyến tính • Hãy chứng minh ví dụ ? r r ( Hãy áp dụng định lý điều kiện để vectơ phụ thuộc tuyến tính cho vectơ a1 , a2 ) r r Ta cần chứng minh: Hai vectơ a1 , a2 phụ thuộc tuyến tính ⇔ Chúng phương Thật o Ta chứng minh điều kiện cần: r r r r Giả sử a1 , a2 phụ thuộc tuyến tính, theo điều kiện phụ thuộc tuyến tính ta có a1 = ka2 r r r r a2 = la1 Vậy a1 , a2 phương o Ta chứng minh điều kiện đủ: r r r r r r Giả sử a1 , a2 phương ⇒ ∃k ≠ : a1 = ka2 ⇔ a1 − ka2 = r r Vậy ta có a1 , a2 phụ thuộc tuyến tính Vd2: Trong khơng gian, vectơ khơng đồng phẳng độc lập tuyến tính vectơ đồng phẳng phụ thuộc tuyến tính 10 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI I /Dạng 1: Lập phương trình mặt kẻ bậc hai thoả yêu cầu toán Bài 20.1/ Lập phương trình mặt nón đỉnh gốc tọa độ đường chuẩn cho phương trình:  x + y + ( z − 5) =   z = Giải: Gọi mặt nón cần tìm (S) (S) có đỉnh gốc toạ độ ⇒ phương trình đường sinh (S) x y z = = ( với m, n tham số biến m n thiên) Đường sinh dựa đừơng chuẩn x, y , z nghiệm pt sau:   x + y + ( z − 5) =  z = x y z  = = m n  x + y + ( z − 5) =  z = ⇔  x = mz  y = nz   (mz ) + ( nz ) + (4 − 5) =  x  ⇒ m = z  y  n = z 84 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36  2 m + n =  x x2 y  ⇔ m = ⇒ + = ⇔ x2 + y − z = z z z  y  n = z  Vậy phương trình mặt nón phải tìm x + y − z = Bài 20.2/ Lập phương trình mặt nón đỉnh (−3, 0, 0) đường chuẩn cho phương trình: x + y − z = 0, x + y + z = Giải: Gọi mặt nón cần tìm (S) (S) có đỉnh (−3, 0, 0) ⇒ phương trình đường sinh (S) x+3 y z = = ( với m, n tham số biến m n thiên) Đường sinh dựa đừơng chuẩn x, y , z nghiệm pt sau:  3 x + y − z =  x + y + z = x+3 y z  = = n  m 3x + y − z =  x + y + z = ⇔  x = mz −  y = nz  3(mz − 3)2 + 6(nz ) − z =  mz − + nz + z = ⇔  x = mz −  y = nz  3(mz − 3)2 + 6(nz ) − z =  (m + n + 1) z = ⇔  x = mz −  y = nz  85 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 3(mz − 3) + 6( nz ) − z =   z = ⇔ m + n +1  x = mz −   y = nz 4  2 3(m m + n + − 3) + 6(n m + n + 1) − m + n + =  z =  m + n +1 ⇔ m = x +  z  y n =  z Rút gọn phương trình đầu tiên, sau n,m phương trình thứ ba tư Sau ta phương trình mặt nón phải tìm là: x + 123 y + 23z − 18 xy − 22 xz + 50 yz + 18 x − 54 y − 66 z + 27 =  x + y = 25 Bài 20.3/ Lập phương trình mặt trụ có đường chuẩn   z = Và phương đường sinh: (5,3, 2) Giải: Gọi mặt trụ cần tìm (D) Mặt trụ (D) có phương đường sinh: (5,3, 2) x−a y −b z = = ⇒ Phương trình đường sinh (D) : 2 sinh dựa đừơng chuẩn x, y , z nghiệm pt sau:    x + y = 25  z = x −a y −b z  = =   2 86 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36  x + y = 25  z =  ⇔ x = z + a   y = z +b   2 ( z + a ) + ( z + b) = 25   z = ⇔ x = z + a  y = z +b  a + b = 25  z =  ⇔ a = x − z ⇒ ( x − z ) + ( y − z )2 = 25 2   b = y − z  Vậy phương trình mặt trụ phải tìm ( x − z ) + ( y − z ) = 25 2 Bài tập tự giải: 1) Lập phương trình mặt nón đỉnh (4, 0, −3) đường chuẩn cho phương trình: x2 z + = 1, x = 25 ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = 25 2) Lập phương trình mặt trụ có đường chuẩn:   x + y − z + = đường sinh a) Song song với trục Ox; b) Song song với đường thẳng: x = y, z = II /Dạng 2: Giao mặt kẻ bậc hai với đường thẳng, mặt phẳng PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Từ phương trình đường thẳng (mặt phẳng), kết hợp với phương trình mặt ta hệ phương trình giao Giải hệ tìm tọa độ giao điểm trường hợp đuờng thẳng dùng định nghĩa (hoặc lý thuyết tổng quát) mặt bậc hai để xét vị trí tương đối trường hợp mặt phẳng Cụ thể ta xét ví dụ sau đây: 87 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 Bài 20.4/ Xét giao tuyến Hyperbolơit tầng: x2 y + − z = mặt phẳng: 4 x − y − 12 z − = cách dùng hình chiếu mặt phẳng tọa độ Giải: Gọi ( H ) : x2 y + − z = ( P ) : x − y − 12 z − =  x2 y  + − z2 = (1) ( H ) ∩ ( P ) : Thì ; 9  x − y − 12 z − = (2)  (2) ⇔ z = x y − − ; thay vào (1) ta có: x2 y x y + − ( − − ) = ⇔ 9y + xy + 16 x − 12 y − 60 = : Đây phương trình hình chiếu 4 giao tuyến mặt phẳng Oxy (sau khử biến z ), có biệt số ∆ ' là: ∆ ' = (4 x − 6)2 − 9(16 x − 60) = 16 x − 192 x + 576 = 16( x − 6)2 ≥ 0, ∀x Nên phương trình hình chiếu giao tuyến mặt phẳng Oxy viết lại thành:  y+2=0 ( y + 2)(9 y + x − 30) = ⇔  ; Do hình chiếu đường thẳng thực cắt 8x+9y-30=0 nhau, giao điểm chúng là: x = ; y = −2 Nên giao tuyến cần xét đường thẳng thực cắt với tọa độ giao điểm x = Nhưng: ; y = −2 ; z = x y − − =2 62 + − = nên giao điểm Hyperbolôit ( H ) giao tuyến đuờng sinh thẳng mặt Bài 20.5/ Tìm giao điểm mặt x − = y −1 = x2 z2 + y2 − = −1 đường thẳng: z −6 Giải: Gọi ( H ) : z −6 x2 z2 + y2 − = −1 ; (d ) : x − = y − = 88 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36   x2 y = x − 2 z = −1  + y −  ( H ) ∩ ( d ) : ⇒ Thì ta có   z = 3( x − 1) z − x − = y −1 =  2   x + y − z = −1   x + 4( x − 2) − 4( x − 1)2 = −4  x − x + 16 =  x =    ⇒ y = x − ⇒ y = x − ⇒ y =  z = 3( x − 1)  z = 3( x − 1)  z =   Vậy giao điểm cần tìm (4, 2,9) Bài 20.6/:Tìm mặt phẳng tiếp xúc với Parabolơit: x2 y + = z biết song song với 12 mặt phẳng: x − y − z = Giải: Gọi mặt phẳng cần tìm có phương trình là: ( x − x0 ) − ( y − y0 ) − 2( z − z0 ) = ⇒ x − y − z + ( y0 − x0 + z0 ) = Với: ( x0 , y0 , z0 ) tọa độ tiếp điểm Đặt y0 − x0 + z0 = − m Ta có giao mặt phẳng với mặt bậc hai cho là:  x2 y  x2 y + =z x2 y x − y − m  +  12 =z ⇒ ⇒ + =  12 12 x − y − 2z = m z = x − y − m   ⇒ x + y − x + y + 6m =  x − x + y + y + 6m = (∗) ⇒ ; 2 3 y + y + x − x + 6m = ( ∗∗)  ∆'(∗) =  x0 =  ⇒ ⇒ z0 = Muốn mặt phẳng tiếp xúc với mặt điều kiện cần:  '  ∆(∗∗) =  y0 = −1 Nếu mặt phẳng cần tìm tiếp xúc với mặt phải tiếp xúc điểm (3, −1,1) , nên điều kiện cần điều kiện đủ Vậy mặt phẳng cần tìm là: x − y − z − = Bài tập tương tự: 89 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 1/ Tìm mặt phẳng tiếp xúc với hyperbolôit tầng: x2 y z + − = qua đường 36 thẳng: a) x2 y + z = = ; 3 b) x −9 y z = = ; −1 c) x y z+2 = = −3 III /Dạng 3: Viết phương trình đường sinh mặt kẻ bậc hai thỏa điều kiện toán PHƯƠNG PHÁP CHUNG:  Đối với mặt kẻ bậc hai mặt nón mặt trụ, từ phương trình mặt ta xét đường thẳng thoả yêu cầu tốn có q điểm chung với mặt đường sinh thẳng mặt  Đối với mặt kẻ bậc hai mặt Hyperbolôit tầng mặt yên ngựa, từ phương trình mặt ta xét họ đường sinh thẳng, kết hợp với điều kiện tốn ta tìm đường sinh thẳng Cụ thể ta xét ví dụ sau đây: x2 y z Bài 20.7/: Tìm đường thẳng qua điểm (6, 2,8) nằm mặt + − = 16 Giải: Phương trình mặt x2 y z y2 z2 x2 + − =1 ⇔ − = 1− 16 16 y z y z x x ⇔ ( + )( − ) = (1 + )(1 − ) 4 3 Ta có họ đường sinh thẳng: x  y z m( + ) = n(1 + ) d : (I) ; n( y − z ) = m(1 − x )  x  y z p ( − ) = q (1 + )   d' :  (II)  q ( y + z ) = p (1 − x )  Cho d d ' qua (6, 2,8) ta có: 90 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 x y z + = +  3m = 3n 4 x − y − 3z + 12 = (I) ⇒  ⇒ m = n ⇒ d : ; hay d :  −m = − n 4 x + y − z − 12 =  y − z = 1− x  y z x  −3( − ) = +   − p = 3q  '  x − y − z − 12 = (I) ⇒  ⇒ p = −3q ⇒ d ' :  ; hay d :  3q = − p  x + 18 y − z − 12 =  y + z = −3(1 + x )  Bài 20.8/ Lập phương trình đường sinh mặt x2 y z + − = biết song 16 song với mặt phẳng: x + y + z − 17 = Giải: Phương trình mặt Hyperbolôit tầng: x2 y z x2 z y2 + − =1 ⇔ − = 1− 16 16 x z x z y y ⇔ ( − )( + ) = (1 − )(1 + ) Ta có họ đường sinh thẳng: 4 3 y  x z m( − ) = n(1 + ) d : (I) ; n( x + z ) = m(1 − y )  y  x z p ( − ) = q(1 − )   d' :  (II) q ( x + z ) = p (1 + y )  Mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 17 = có vectơ pháp tuyến (6, 4,3) m n m  v1 = ( , − , − ) d có cặp vectơ pháp tuyến  ; v = ( n , m , n )  2  m − n mn m2 + n  ,− , Nên có vectơ phương [v1 , v2 ] =    12  d / /( P) ⇒ m2 − n2 m2 + n2 − mn + = ⇒ m = mn ⇒ m = n 2 y x z  − = + 6 x − y − 3z − 12 = ⇒ d : hay d :  6 x + y + z − 12 =  x + z = 1− y  91 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 p q p  ' v = ( , ,− )  ; d ' có cặp vectơ pháp tuyến  v ' = ( q , − p , q )  2  q2 − p2 pq p + q  ' ' [ v , v ] = , − ,− Nên có vectơ phương   12   q2 − p2 p2 + q2 d / /( P ) ⇒ − pq − = ⇒ p = − pq ⇒ p = −q 2 ' y  x z −( − ) = −   ' 6 x − y − z + 12 = ⇒ d' :  hay d :  6 x + y + z + 12 = −( x + z ) = + y  Bài tập tương tự: 1/ Tìm đường thẳng qua điểm (4, 2/ Trên Parabolôit Hyperbolic −8 x2 y z , ) nằm mặt + − = 27 x2 y − = z , tìm đường sinh thẳng song song với 16 mặt phẳng: 3x + y − z = 3/ Tìm đường thẳng qua điểm (3,1, 4) nằm mặt x − y = z 4/ Tìm đường thẳng qua điểm (1,1,1) nằm mặt x + y − z = 5/ Viết phương trình đường sinh thẳng qua điểm (8,3 2,1) mặt x2 y − = 2z 16 x2 y 6/ Trong hệ tọa độ Oxyz , cho ( S ) : − = z Tìm đường sinh thẳng ( S ) mà 16 song song với mặt phẳng: x + y − z = IV/Dạng 4: Bài tốn quỹ tích PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Dạng đa dạng phương pháp, tùy theo yêu cầu đề mà ta xây dựng quỹ tích điểm, đường thẳng chuyển động thỏa điều kiện ràng buộc Để vậy, cần phải tìm cho biểu thức liên hệ hệ thức tọa độ Sau số ví dụ cụ thể cho dạng tốn này: Bài 20.9/ Tìm quỹ tích tiếp tuyến vẽ từ gốc tọa độ đến mặt cầu: 92 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 ( x − 5)2 + ( y + 1) + z = 16 Giải: Quỹ tích phải tìm mặt nón đỉnh gốc tọa độ ngoại tiếp với mặt cầu cho Phương trình đường sinh có dạng: x y z = = m n (1) ; muốn tiếp tuyến với mặt cầu cho hệ x y z (1)  = = phương trình:  m n ( x − 5) + ( y + 1) + z = 16  có nghiệm (2) Giải hệ cách đặt tỉ số chung (1) t , rút x, y , z theo t thay vào (2) : (mt − 5) + (nt + 1) + t = 16 Hay: (m + n + 1)t + 2(n − 5m)t + 10 = Phương trình phải có nghiệm kép, tức là: ∆ ' = (n − 5m) − 10(m + n + 1) = (3) x y Ta hệ thức liên hệ hệ số phương đường sinh Do (1): m = ; n = z z thay vào (3) ta có phương trình mặt nón phải tìm:  x2 y   y 5x  − − 10  + + 1 = hay: ( y − x) − 10( x + y + z ) =   z z  z z  Bài 20.10/ Xác định mặt đường thẳng chuyển động tạo nên, biết ln ln tựa ba đường thẳng: d1 : x y −1 z x−2 y z x y +1 z = = = = ; d3 : = = mà đôi chúng không ; d2 : −1 1 nằm mặt phẳng Giải: Giả sử phương trình đường thẳng chuyển động d : x −a y −b z = = (1) , có vectơ m n phương là: r a = (m, n,1) Điều kiện để đường thẳng cắt ba đường thẳng cho: r uur uuuur [a, a1 ] A1M = M (a, b, 0) ∈ d  r uur uuuuur A1 (0,1, 0) ∈ d1 [a, a2 ] A2 M = (I) ; Với:  r uur uuuuur A2 (2, 0, 0) ∈ d [a, a3 ] A3 M =  A3 (0, −1, 0) ∈ d3  mn ≠ 93 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 (− n, m + 2, −2n)( a, b − 1, 0) = an − bm − 2b + m + = (n − 1, −m, m)(a − 2, b, 0) = an − a + − 2n − bm =   (I ) ⇒  ⇒ (n, − m, −2n)(a, b + 1, 0) an + 2b + − bm − m =  mn ≠ mn ≠ (2) (3) (4) Khử a, b, m, n (1), (2), (3), (4) ta có phương trình mặt phải tìm Muốn ta lấy (2) − (3) : a − 2b + m + 2n = Và lấy (4) − (2) : 4b − 2m = ; giải hệ a, b : a = −2n ; b = m Thay vào (1) (2) : x = mz − 2n (5) m y = nz + (6) 4n + m = (7) Phương trình (7) thỏa mn ≠ Giải (5) (6) : m = xz + y z +1 ; n= yz − x 2( z + 1) Thay vào (7) : (2 yz − x) + ( xz + y ) = 4( z + 1) Hay: y ( z + 1) + x ( z + 1) = 4( z + 1) Chia cho z + : x + y = z + Cuối đuợc: x2 + y − z = 1: ( H ) _Hyperbolôit tầng Bài 20.11/ Lập phương trình mặt đường thẳng chuyển động luôn tựa hai đường thẳng: d1 : x − y z −1 x y −8 z + = = = ; d2 : = song 3 −2 song với mặt phẳng: x + y − = tạo nên Giải: Giả sử phương trình đường thẳng chuyển động là: x −a y −b z −c = = có vectơ phương m n r a = (m, n,1) Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng cắt đường thẳng cho là: 94 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 r uur uuuur [a, a1 ] A1M =  r uur uuuuur [a, a2 ] A2 M = m n  ≠ 3  2m + 3n = M ( a , b, c ) ∈ d (I) ; Với: A1 (6, 0,1) ∈ d1 A2 (0,8, −4) ∈ d (n − 2,3 − m, 2m − 3n)(a − 6.b.c − 1) = (−2n − 2,3 + 2m, 2m − 3n)(a, b − 8, c + 4) =   Hệ ( I ) ⇒  n ≠ m   n = − m   (b − 2c + 2)m + (3c − a + 3)n + (2a − 3b − 12) = (1)  ⇒ (−2b − 2c + 8)m + (3c + 2a + 12)n + (2a − 3b + 24) = (2)  n = − m (3)  Khử m, n (1), (2), (3) ta phương trình liên hệ a, b, c tọa độ điểm đường thẳng chuyển động, tức phương trình mặt phải tìm Muốn vậy, thay (3) vào (1) (2) giải ra, sau cân giá trị m ta có: 12 + 3b − 2a −24 − 2a + 3b = a + b − 4c − a − 2b − 4c 3 ⇔ 4a − 9b = 144c ⇔ a b2 − =c 36 16 Nếu kí hiệu tọa độ điểm đường sinh x, y , z thay cho a, b, c ta có phương trình mặt cần tìm là: x2 y − = z : ( P ) _Parabolôit Hyperbolic 36 16 Bài tập tương tự: 1/ Một đường thẳng chuyển động qua điểm (0, b, 0) tựa Hyperbol: z2 c2 − x2 a2 = 1, y = Lập phương trình mặt đường thẳng chuyển động tạo nên 2/ Tìm quỹ tích đường thẳng qua điểm (3, 0,5) tạo với mặt phẳng xOy góc π 3/ Tìm quỹ tích chân đường thẳng góc hạ từ điểm M ( x0 , y0 , zo ) đến đường sinh mặt nón x + y − z = 95 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 x2 y 4/ Qua điểm (5,1, 2) tìm quỹ tích đường thẳng cho cắt mặt: + − z = điểm 5/ Tìm quỹ tích tiếp tuyến với mặt x2 y + − z = , biết chúng tạo với trục tọa độ góc 6/ Cho đường thẳng x = + 2t , y = −3 + 3t , z = t quay quanh trục Oz Lập phương trình mặt đường thẳng quay tạo nên 7/ Tìm quỹ tích đường kính mặt x + y − z = liên hợp với mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu x + y + z = dọc theo giao tuyến với mặt phẳng: x + y + z − = 8/ Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba đường thẳng:   y = −1 y =1 x = (d1 ) :  ; (d ) :  ; (d3 ) :  z = 2x  z = −2 x  y = z Tìm mặt ( S ) đường thẳng (d ) lưu động tựa lên đường thẳng 96 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHĨA 36 PHỤ LỤC *Tài liệu tham khảo: + Hình học giải tích - Lê Khắc Bảo- NXB giáo dục- 1982 + www.wikipedia.com (tháng 12 năm 2010) + Bài tập hình học - Văn Như Cương- NXB giáo dục- 2002 + www.google.com (tháng 12 năm 2010) *Bảng tra cứu khái niệm: Các vectơ độc lập tuyến tính Trang 10 Các vectơ phụ thuộc tuyến tính Trang 10 Đường bậc hai Trang 32 Đường kính liên hợp Trang 36 Elip ảo .Trang 64 Elip thực Trang 64 Hai đường thẳng ảo cắt Trang 64 Hai đường thẳng ảo song song Trang 64 Hai đường thẳng thực cắt Trang 64 Hai đường thẳng thực song song Trang 64 Hai đường thẳng thực trùng .Trang 64 Hypebol .Trang 64 Hypebolic Trang 75 Hypeboloic tầng Trang 75 Hypeboloic tầng Trang 75 Mặt bậc hai Trang 74 Mặt kẻ Trang 78 Mặt kính liên hiệp mặt bậc hai Trang 76 Mặt yên ngựa .Trang 75 Parabol .Trang 64 Paraboloid Hypebolic Trang 75 97 TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36 Phép dời .Trang 30 Phép quay Trang 27 Phép tịnh tiến .Trang 27 Phương tiệm cận Trang 35 Tâm đường bậc hai Trang 32 Tâm mặt bậc hai Trang 76 Tích hỗn tạp hai vectơ Trang 16 Tích vơ hướng Trang 13 Tiệm cận đường bậc hai .Trang 35 Tiệm cận mặt bậc hai Trang 76 Tiếp tuyến đường bậc hai Trang 32 Tọa độ vectơ Trang 18 Vectơ Trang 98 ... + 2dx + 2ey + f = (1); (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) Đường thẳng ∆ phương (α , β ) qua điểm (x0, y0) có phương trình:  x = x0 + α t ; ( α , β ) ≠ (0, 0) Thay x y vào phương trình (1) ta có:   y =... Cho (C) có phương trình : ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = (1) Gọi  x = x0 + α t d  y = y0 + β t r (2) (Với v(α , β ) ≠ ) Từ (1) (2) ta có phương trình quen thuộc: Pt2 + Qt + R= (*) Với... TPHCM KHÓA 36 (0,2) ∈ (C) ⇒ 4c + 4e = (1) (-1,0) ∈ (C) ⇒ a – 2d = (2) (-2,1) ∈ (C) ⇒ 4a – 4b + c – 4d + 2e = (3) (-1,3) ∈ (C) ⇒ a – 6b + 9c – 2d + 6e = (4) (1) ⇒ e = - c (2) ⇒ d = a (3),(4) 