THÔNG TIN TÀI LIỆU
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC y Các định lý sử dụng (với f (x) = ax + bx + c ; a ≠ 0) af(x) > với x ⇔ ∆ x = b − 4ac < 2 af(x) ≥ với x ⇔ ∆ x = b − 4ac ≤ Nếu af(x) ≥ với x f(x) = ∆ x = ⇔ b x = − 2a Nếu tồn α cho af(α) < f(x) có nghiệm x1 , x thỏa mãn x1 < α < x Nếu tồn α, β (α < β) cho f (α).f (β) < f(x) có nghiệm thuộc (α ; β) nghiệm ngồi [α ; β] Thí dụ : Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác 2 2 2 với x ta có : b x + (b + c − a )x + c > Phân tích : Vế trái tam thức bậc hai f(x) với hệ số x 2 b > nên có lời giải 2 2 2 Giải : f(x) > với x ⇔ ∆ x < ⇔ (b + c − a ) − 4b c < ⇔ (b + c − a + 2bc)(b + c − a − 2bc) < 2 2 ⇔ [(b + c) − a )][(b − c) − a ] < ⇔ (b + c + a)(b + c − a)(b − c + a)(b − c − a) < ⇔ (a + b + c)(b + c − a)(b + a − c)(c + a − b) > Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên bất đẳng thức cuối hiển nhiên Chú ý : Ngược lại, bạn chứng minh số dương a, b, c thỏa mãn f(x) > với x a, b, c độ dài cạnh tam giác Thí dụ : Cho a > 36 abc = Mơn Tốn Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục www.truongthi.com.vn Chứng minh : Lớp học qua mạng a2 + b + c2 > ab + bc + ca (*) Phân tích : bc = nên bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng với b c a nên viết dạng tam thức bậc hai b + c a2 Giải : (*) ⇔ (b + c) − a(b + c) + − >0 a a2 a2 a a − 36 + − > ⇔ b + c − + >0 ⇔ (b + c) − a(b + c) + 12 a 2 12a Với a > 36 bất đẳng thức Chú ý : Khi không muốn diễn đạt "ngơn ngữ" biệt thức ∆ bạn dùng kỹ thuật "tách bình phương" lời giải Thí dụ : Chứng minh tam giác ABC ta có : cos A + cos B + cos C ≤ (**) Phân tích : Vì cosA + cosB = cos cos A+B A−B C A−B 2C = 2sin cos cosC = − sin nên làm xuất 2 2 tam thức bậc hai sin Giải : (**) ⇔ 2sin ⇔ sin C C A−B C + − 2sin ≤ cos 2 2 C C A−B − sin cos + ≥0 ⇔ 2 C A−B A−B ≥0 sin − cos + sin 2 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Đẳng thức xảy A−B C sin = cos sin A − B = Mơn Tốn Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục www.truongthi.com.vn Lưu ý Lớp học qua mạng A−B π π C π ∈ − ; ∈ 0; hệ tương đương với A = B = 2 2 2 C tức tam giác ABC Chú ý : Bài toán tổng quát cho : Với x, y, z > tam giác ABC ta có : cos A cos B cos C x + y + z + + ≤ x y z 2xyz Các bạn dùng kỹ thuật "tam thức bậc hai" công cụ véc-tơ để giải Khi cho giá trị cụ thể x, y, z (đặc biệt x, y, z độ dài cạnh tam giác) ta có vơ số bất đẳng thức cụ thể Bài tập tương tự Chứng minh với x α ta có : (1 + sin α)x − 2(sin α + cos α)x + + cos α > Chứng minh tam giác ta có : 2 a) sin A + sin B + sin C ≤ b) sin A B C sin sin ≤ 2 2 2 Tìm x, y thỏa mãn : (x + y )(x + 1) = 4x y y Một dạng ứng dụng tam thức bậc hai khác thú vị mà nhiều bạn không để ý : Thí dụ : Cho a, b, c, d, p, q thỏa mãn : p2 + q − a − b2 − c2 − d > 2 2 2 Chứng minh : (p − a − b )(q − c − d ) ≤ (pq − ac − bd) Phân tích : Bất đẳng thức trông "ngược" với bất đẳng thức Bunhiacơpski có dạng ∆' ≥ (!) Vậy cần thiết lập tam thức bậc hai f(x) có nghiệm 2 2 2 xuất biểu thức ∆ ' = (pq − ac − bd) − (p − a − b )(q − c − d ) Như hệ số x 2 2 2 chọn p − a − b q − c − d Giả thiết cho ta điều ? Điều định lựa chọn Mơn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 2 2 2 Giải : Vì (p − a − b ) + (q − c − d ) > nên hai biểu thức p − a − b q − c2 − d có biểu thức dương Do vai trị bình 2 đẳng hai số (p, a, b) (q, c, d) nên giả sử p − a − b > 2 2 2 Xét f (x) = (p − a − b )x − 2(pq − ac − bd)x + q − c − d = 2 = (px − q) − (ax − c) − (bx − d) q 2 Vì p − a − b > nên p ≠ Ta có f ≤ suy p q (p − a − b )f ≤ nên f(x) có nghiệm Do ∆ 'x ≥ p ⇒ đpcm Chú ý : Dạng thứ hai f(x) để chọn α = q q thỏa mãn f ≤ p p Thí dụ : Cho b < c < d chứng minh : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) Phân tích : Có cách nhìn để có cách giải khác Cách thứ nhìn bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ∆ > Cách thứ hai đưa bất đẳng thức dạng f(a) > với a b < c < d Xin giải theo cách nhìn thứ Giải : Xét tam thức bậc hai : f (x) = 2x − (a + b + c + d)x + (ac + bd) Có f (c) = c − (b + d)c + bd = (c − b)(c − d) Vì b < c < d nên f(c) < suy f(x) có nghiệm phân biệt tức ∆ > ⇒ đpcm Các tập khác : Xác định góc tam giác ABC cho biểu thức F = cos B + 3(cos A + cos C) đạt giá trị lớn Tính góc tam giác ABC, biết : sinA + sinB + cos(A + b) = 1,5 2 Biết : 4x + y + 2x + y + 4xy ≤ Chứng minh : −2 ≤ y + 2x ≤ Định dạng tam giác ABC thỏa mãn Mơn Tốn Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 1 cos A + cos B + cos C = 12 5* Xác định góc tam giác ABC cho biểu thức : F = cos A sin Bsin C + sin A + Môn Toán (cos B + cos C) đạt giá trị lớn Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất Giáo dục
Ngày đăng: 10/08/2020, 09:41
Xem thêm: