skkn sử DỤNG đồ THỊ hàm số bậc HAI và dấu TAM THỨC bậc HAI để GIẢI TOÁN

Tờn sỏng kin kinh nghim: S DNG TH HM S BC HAI V DU TAM THC BC HAI GII TON I Lí DO CHN TI: 1/ Sau hc sinh ó hc xong phn Hm s bc hai (hc kỡ I) v xột du ca Tam thc bc hai (hc kỡ II) , cỏc em ó cú th hiu rừ hn v tớnh ng bin nghch bin , hỡnh dỏng th ca hm s bc hai v bit cỏch s dng vic kho sỏt s bin thiờn ca hm s vo gii cỏc bi toỏn n gin nh: xỏc nh s nghim ca phng trỡnh bc hai , tỡm GTLN v GTNN ca hm s bc hai trờn R, xột du cỏc tam thc bc hai, gii bt phng trỡnh bc hai Tuy nhiờn, thc t cú rt nhiu bi toỏn khỏc phi dựng kin thc v Hm s bc hai v xột du ca Tam thc bc hai gii v nhiu trng hp li gii ca bi toỏn cú phn ngn gn v d hiu hn Nhng hn ch v thi gian, nờn sỏch giỏo khoa khụng gii thiu cho cỏc em nhng bi toỏn ngoi nhng dng trờn; vỡ vy gp nhng bi toỏn cú yờu cu khỏc thỡ cỏc em khụng bit dng Hm s bc hai v xột du ca Tam thc bc hai vo gii cỏc bi toỏn ú 2/ Vic dng phng phỏp ny i vi hc sinh khụng quỏ khú, nhiờn cỏc em cha cú thi gian lm quen v luyn nờn vic dng cũn b hn ch Trong quỏ trỡnh ging dy ca mỡnh tụi thy rng cú th s dng cỏc gi ngoi khúa, cỏc gi hc T chn rốn luyn cho cỏc em nhiu kiu bi khỏc ca dng toỏn ny s giỳp cỏc em cú thờm mt phng phỏp mi lm mt s bi toỏn ó hc lp 10.Trong chuyờn ny tụi mun chng minh iu ú thụng qua mt s vớ d c th II NI DUNG: Phn I: Tỡm Giỏ tr ln nht, Giỏ tr nh nht ca hm bc hai 1/ C s lý lun: Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn D Kí hiệu : maxf(x) giá trị lớn f(x) miền D D minf(x) giá trị nhỏ f(x) miền D D nh ngha: f (x) M, x D 1) M = max f (x) xD x0 D : f(x0 ) = M f (x) m, x D 2) m = f (x) xD x0 D : f(x0 ) = m tỡm Giỏ tr ln nht, Giỏ tr nh nht (vit tt l GTLN, GTNN) ca mt hm s trờn R cú th s dng cỏc phng phỏp a hm s v dng b f ( x) a x 2a 4a Nhng hc sinh s lỳng tỳng hoc lm sai nu phi tỡm GTLN,GTNN ca hm s trờn mt D tựy ý Vic nm vng bn cht cng nh ý ngha ca GTLN, GTNN thụng qua th hm bc hai giỳp cho hc sinh hiu sõu thờm cỏc tớnh cht ca hm s v cú li gii ỳng nht, v lờn lp 12 gp bi toỏn tỡm GTLN,GTNN ca hm s cỏc em d dang tip thu hn 2/ Ni dung thc hin: Bi 1: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s y = f(x) = x2 + 2x + trờn: a/ Tp xỏc nh b/ D = [-3; 0] c/ E = [0; 3] Bi gii: Bng cỏch v th hm s ó cho trờn cỏc tng ng cú th d dng ch cho hc sinh thy kt qu ca bi toỏn y y 6 3 2 1 x x -3 -2 -1 O -3 -2 -1 O 1 th hm s y = f(x) = x2 + 2x + trờn Tp xỏc nh y th hm s y = f(x) = x2 + 2x + trờn D = [-3; 0] 18 O x th hm s y = f(x) = x2 + 2x + trờn E = [0; 3] Vy: b a) a > 0, f(x) f f ( 1) 2, không tồn max f(x) R R 2a f (x) f ( 1) b b) a > 0; D D 2a max f (x) max{ f (0); f(3)}= max{3; 6} = f (x) min{ f (0); f(3)} = min{3; 18} = f (0) b c) a > 0; E E f (x) max{ f (0); f(3)} = max{3; 18} = 18 2a max E T vớ d c th trờn ta cú nhn xột tng quỏt: a) Trường hợp : D = R b * a < 0, max f(x) f , không tồn f(x) R R 4a 2a b * a > 0, f(x) f , không tồn max f(x) R R 4a 2a b) Trường hợp : D= x R x D= x R x *a>0: b b MinD f(x)=Min f - 2a , f( ) , Min f - 2a , f() D không tồn max f(x) D *a : b b Max D f(x)=Max f - 2a , f( ) , Max f - 2a , f() D không tồn f(x) D b b Chú ý : Nếu - D không xét f - 2a 2a c) Trường hợp : D= ; b b * max f(x) max f , f( ), f() * f(x) f , f( ), f() D D 2a 2a b b Chú ý : Nếu - D không xét f - 2a 2a Bi 2: Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s: f(x) = cos2x + 3sinx + Bi gii: Ta cú f(x) = - sin x + 3sinx + = - sin2x + 3sinx + nờn cú th a bi toỏn v dng quen thuc bng cỏch t t = sinx , t 1;1 hm s tr thnh f(t) = - t2 + 3t + Ta thy a = - < ; b 1;1 ; f (1) 1; f (1) 2a Suy ra: * Min f(t)=1 f(x) =1, có t sinx = 1;1 R * Max f(t)=7 max f(x) =7, có t sinx = 1;1 R Vy : Giỏ tr ln nht ca hm s l v Giỏ tr nh nht ca hm s Bi 3: Gi s x, y l nghim ca h phng trỡnh x + y = a (I) xy = a 7a 14 Tỡm a U = x y t giỏ tr nh nht Bi gii: Trước hết hệ (I) có nghiệm S 4P (a 1)2 4(a 7a 14) 11 11 a Gọi D= ; Viết lại U = S 2P = (a 1)2 2(a 7a 14) a + 12a 27 3a 26a 55 Xem U = f(a) = a2 + 12a 27 Bài toán dẫn tới tìm f (a) D b 11 32 Ta có f ; f(5) = 8; D a 32 11 11 32 Suy Min f (a) f ; f(5) ; f D 32 11 Vậy MinU = , đạt a = / Bi 4: 3cos x 4sin x Tỡm giỏ tr ln nht , giỏ tr nh nht ca hm s: y = 3sin x 2cos x (HSP H Ni Khi A - Nm 2002) Bi gii: 3(cos x-sin x)+4sin x 2cos x Viết lại y = 3sin x 2cos x 3(cos x-sin x)+4sin x 2cos x y 3sin x 2cos x y 1= 3sin x 2cos x 3t 2t f(t) > 0, t [0; 1], / a = 3>0 Gọi f(t) = 3t 2t Thấy b / [0; 1] a Suy ra: Đặt sin x t, t [0; 1], hàm số trở thành y = * Min f(t)= D / 3 1 = max (y 1) = max y = +1 = , có t sin x = D D a 5 3 1 * Max f(t) = max{f(0); f(1)} = max{2; 3} = f(1) = min(y 1)= y = +1 = , D D D 3 có t = sin x = Tóm lại, giá trị lớn hàm số ; giá trị nhỏ hàm số CC BI TP RẩN LUYN: Bi 1: Gi x1, x2, x3 l cỏc nghim ca phng trỡnh: x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m + 9)x - 2m2 + 3m - = Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc: P = x12 x22 x32 x1 x2 x3 Bi 2: Tỡm a phng trỡnh sau cú nghim thuc 0; 3a cos x ( II2 - B tuyn sinh H) Bi :Tỡm m hm s y = mx + x 4x cú giỏ tr nh nht ln hn (1 a)tan x ( 123 III - B tuyn sinh H) Phn II: Dựng du ca Tam thc bc hai chng minh Bt ng thc 1/ C s lý lun: Hc sinh ó hc nh lớ v du ca Tam thc bc hai v nm vng iu kin tam thc khụng i du nờn bin i bt ng thc cú v mt cỏc dng f(x) = ax bx c > (a 0) f(x) = ax bx c (a 0) f(x) = ax bx c < (a 0) f(x) = ax bx c (a 0) V s dng cỏc kin thc ó hc: * f(x) = ax bx c 0, x R a>0 * f(x) = ax bx c 0, x R a>0 * f(x) = ax bx c 0, x R a 0, vi mi x,y R Bi 2: Chng minh rng: ( x y)2 xy 3( x y) , vi mi x,y R ( thi tuyn sinh H Bỏch Khoa 1988) Bi gii: 2 t f(x) = x xy y xy 3x y = x2 ( y 3) x y y ú l mt tam thc bc hai theo x v cú : ( y 3)2 4( y y 1) = y y õy li l mt tam thc bc hai theo y vi ' 0, y R Do ú f(x) 0, x R Hay ( x y)2 xy 3( x y) , vi mi x,y R Du ng thc xy x = y = 3 Bi 3: Chng minh rng : 5x 5y 5z 6xy 8xz 8yz Vi mi x, y, z khụng ng thi bng Bi gii: 5x 5y 5z 6xy 8xz 8yz 5x 2(3y 4z)x 5y 5z 8yz (1) t f(x) = 5x 2(3y 4z)x 5y 5z 8yz ta cú ' (3y 4z)2 5(5y 5z 8yz)= 16y 16zy 9z Xem ' l mt tam thc bc hai ca y, thỡ : ' y 64z 9.16z 80z2 Nếu z ' y : Do ' với y Từ suy (1) với x Nếu z = ' 16y a/ Nu y thỡ ' thỡ (1) ỳng vi mi x b/ Nu : y = thỡ x y z > nờn x f(x, y, z) = 5x Vy bt ng thc (1) ỳng vi mi x, y, z khụng ng thi bng Bi 4: Cho tam giỏc ABC Chng minh: x2 A x(cos B cos C) 2sin , x R 2 Bi gii: x A x(cos B cos C) 2sin Ta có: 2 BC BC 2 A A (cos B cos C) sin 2cos cos 4sin 2 2 A BC = 4sin cos 2 Do đó: f(x) 0, x R (đpcm) Xét tam thức: f(x)= Bi 5: Chng minh rng nu ba s a, b, c tha cỏc iu kin: a b c ab bc ca 4 4 4 thỡ : - a , - b , - c 3 3 3 Bi gii: T gi thit suy ra: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = + = a + b + c = a + b + c = - H ó cho tng ng vi hai h a + b + c = a + b + c = - (I) ; (II) ab + bc + ca = ab + bc + ca = Xột h (I) T phng trỡnh th nht ca h suy b + c = a Thay vo phng trỡnh th hai, ta c: bc + a(2 - a) = bc = (a - 1)2 b + c = - a H (I) tng ng vi h bc = (a - 1) b, c l cỏc nghim ca phng trỡnh: x (2 a)x (a 1)2 Phng trỡnh ny cú hai nghim nờn = (2 a)2 4(a 1)2 3a2 4a 0a (1) Lp lun tng t i vi h (II) ta c: - a0 (2) Kt hp kt qu (1) v (2) ta c: 4 - a 3 Vỡ vai trũ ca a, b, c nh hai ng thc ó cho nờn ta cng cú 4 4 - b - c 3 3 Bi 6: Chng minh rng : Vi b > c > d ta cú (a b c d )2 8(ac bd ) a R Bi gii: 2 (a b c d ) 8(ac bd ) a 2a(b c d ) (b c d )2 8ac 8bd 2 a 2a(b 3c d ) (b c d ) 8bd t f(a) = a 2a(b 3c d ) (b c d )2 8bd ta cú: ' (b 3c d )2 (b c d )2 8bd = 8(b c)(c d ) (vỡ b > c > d) Vy : f(a) = a 2a(b 3c d ) (b c d )2 8bd > a R Hay: (a b c d )2 8(ac bd ) , a R Bi 7: Chng minh rng : a(b c d e) a b2 c d e2 , a, b, c, d , e R (H Y Dc TPHCM - 1999) Bi gii: Ta cú: a(b c d e) a b2 c d e2 a (b c d e)a b2 c d e2 t f(a) = a (b c d e)a b2 c d e2 ú l mt tam thc bc hai theo a v cú: (b c d e)2 4(b2 c2 d e2 ) p dng Bt ng thc Bunhiacụpxki cho hai b s (1,1,1,1) v (b,c,d,e) ta cú: (1.b 1.c 1.d 1.e)2 (1 1)(b2 c d e2 ) (1.b 1.c 1.d 1.e)2 4(b2 c d e2 ) 0, a, b, c, d , e R Vy f(a) 0, , a, b, c, d , e R Bt ng thc c chng minh Bi toỏn cú th gii bng cỏch bin i tng ng a(b c d e) a b2 c d e2 a2 a2 a2 a2 2 ab b ac c ad d ae e 4 4 2 2 a a a a b c d e hiển nhiên Bi 8: Tỡm cỏc giỏ tr ca a cho bt ng thc : 25 y x axy y 25 x ỳng vi mi cp s (x;y) tha x y 100 Bi gii: y x y x a 50 x x 0, x a 50 100 a 50 a 50 50 a x 0, x 100 o li: a = 50 x y ỳng vi mi x, y 10 Bt ng thc c chng minh Bi 9: Cho n s thc a1, a2 , a3 , an ; b1, b2 , b3 , .bn vi n Z Chng minh: a 1b a b a n b n a12 a22 an2 b12 b22 bn2 Khi no ng thc xy ra? p dng tỡm nghim nguyờn ca h: x y z t )2 27( x y z t ) 3 3 x y z t 93 Bi gii: 2 t A = a1 a2 an ; B = a1b1 a2b2 anbn ; C = b12 b22 bn2 Xột f(x) = Ax2 2Bx C cú ' B2 AC A = a1 a2 an Bt ng thc ỳng A > f ( x) a1x b1 a2 x b2 an x bn 0, x 2 ' B2 AC Suy kt qu Du ng thc xy ' f ( x) vi x = a1 x0 b1 a x b b b b f ( x0 ) 2 n a1 a2 an an x0 bn p dng: Theo kt qu trờn ta cú: x y z t 27 x2 y z t Du ng thc xy v ch B A x y z t k Z ( x, y, z, t Z ) x k y 3k thay vo phng trỡnh th hai ca h ta c k = z k t k Vy : x = 1; y = 3; z = 4; t = Bi 10: Cho a, b, c 1;2 v a + b + c = Chng minh a b2 c2 Bi gii: a 1;2 a a a a b b c c a b2 c2 ( vỡ a + b + c = 0) a2 Bi 11: Chng minh rng: b2 c ab bc ca bit a3 36 v a.b.c = Bi gii: a Ta cú: b2 c ab bc ca 2 a (b c)2 2bc a(b c) bc a2 (b c) a(b c) vỡ a > v bc = a a p dung du ca tam thc bc hai suy kt qu x2 y x y Bi 12: Chng minh rng: 10 x y x y Bi gii: 2 x y x y t t t y x y x Ta c : 3t 8t t t Nu xy < t < 0, bt ng thc ỳng x y Nu xy > t , bt ng thc ỳng y x Bi 13: Chng minh rng: a a a du cn) 4a vi a > ( v trỏi cú n Bi gii: t xn a a a xn a xn1 xn2 a xn1 a xn 4a 1 4a xn 2 Suy iu phi chng minh Ta cú: xn2 xn a CC BI TP RẩN LUYN: Bi 1: Chng minh rng: (x + y)2 2x 5y 4y 6, x,y R Bi 2: Chng minh rng: x2 y 2( x2 2) y xy x2 xy , vi mi x,y R Bi 3: Chng minh rng: x2 8xy x 20 y 12 y , vi mi x,y R Bi 4: Chng minh rng : x 5y 4xy 2x 6y vi mi x,y R Bi 5: Chng minh rng nu a, b, c l cỏc di cnh ca mt tam giỏc thỡ ta luụn cú: a 2b b 2c c 2a (a b c ) Bi 6: Cho a, b, c l cỏc di cnh ca mt tam giỏc, chng minh rng : b2 x (b2 c a ) x c vi mi x R Bi 7: Chng minh rng : Vi mi a, b, c, d ta cú (a b2 )(c2 d ) (ac bd )2 Bi 8: Cho cỏc s a,b,c,d,p,q tha món: p q a b2 c d Chng minh rng: ( p a b2 )(q c d ) ( pq ac bd )2 Bi 9: Chng minh rng vi mi x ta u cú : 4sin3x+5 4cos2x+5sinx III KT LUN: Qua quỏ trỡnh ging dy nhiu nm bn thõn tụi ó c gng gii thiu cho hc sinh cỏch s dng Tam thc bc hai vo gii toỏn v thy rng cỏc em cú kh nng dng tt, c bit vi cỏc bi toỏn nõng cao m cỏc em cú th gp rt nhiu ụn thi vo cỏc trng i hc v Cao ng Tuy nhiờn trờn õy tụi cng ch mi a c mt s vớ d ỏp dng ca phng phỏp ny, rt mong c s gúp ý ca cỏc thy cụ [...]... giảng dạy nhiều năm bản thân tôi đã cố gắng giới thiệu cho học sinh cách sử dụng Tam thức bậc hai vào giải toán và thấy rằng các em có khả năng vận dụng tốt, đặc biệt với các bài toán nâng cao mà các em có thể gặp rất nhiều khi ôn thi vào các trường Đại học và Cao đẳng Tuy nhiên trên đây tôi cũng chỉ mới đưa ra được một số ví dụ áp dụng của phương pháp này, rất mong đươc sự góp ý của các thầy cô ... minh rằng nếu a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác thì ta luôn có: 1 a 2b 2  b 2c 2  c 2a 2  (a 4  b 4  c 4 ) 2 Bài 6: Cho a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác, chứng minh rằng : b2 x 2  (b2  c 2  a 2 ) x  c 2  0 với mọi x  R Bài 7: Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c, d ta có (a 2  b2 )(c2  d 2 )  (ac  bd )2 Bài 8: Cho các số a,b,c,d,p,q thỏa mãn: p 2  q 2  a 2  b2  c