XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU HOẶC CỰC TRỊ HÀM SỐ TỪ BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA ĐẠO HÀM

Trong giải tích, đạo hàm là công cụ rất mạnh để giải quyết nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Hàm số và đạo hàm của nó có mối liên hệ chặt chẽ, đặc biệt là tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Trong các đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây, người ra đề khai thác khá sâu về mối liên hệ này. Trong các đề thi, đạo hàm của hàm số không chỉ được khai thác ở dạng công thức mà còn được cho dưới dạng bảng biến thiên hoặc đồ thị. Trong đề thi cũng xuất hiện nhiều bài toán khó có giả thiết là bảng biến thiên hoặc đồ thị của đạo hàm và yêu cầu xác định tính đơn điệu hoặc cực trị hoặc các yếu tố khác của hàm số ban đầu. Từ kỳ thi THPT quốc gia năm 2017, các dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Tuy nhiên, khả năng vận dụng kiến thức cơ bản vào giải các dạng toán này của học sinh còn hạn chế. Vì vậy, tôi đầu tư viết chuyên đề này trình mày một số cách tiếp cận và giải quyết các dạng toán nêu trên với mục đích giúp học sinh có tài liệu tham khảo để ôn thi tốt hơn, đồng thời cũng là tài liệu để tôi giảng dạy trong nhà trường.

GIỚI THIỆU VỀ CHUYÊN ĐỀ Dự kiến số tiết: tiết Trong giải tích, đạo hàm cơng cụ mạnh để giải nhiều toán từ đơn giản đến phức tạp Hàm số đạo hàm có mối liên hệ chặt chẽ, đặc biệt tính đơn điệu cực trị hàm số Trong đề thi THPT Quốc gia năm gần đây, người đề khai thác sâu mối liên hệ Trong đề thi, đạo hàm hàm số không khai thác dạng công thức mà cho dạng bảng biến thiên đồ thị Trong đề thi xuất nhiều toán khó có giả thiết bảng biến thiên đồ thị đạo hàm yêu cầu xác định tính đơn điệu cực trị yếu tố khác hàm số ban đầu Từ kỳ thi THPT quốc gia năm 2017, dạng toán thường xuyên xuất đề thi Tuy nhiên, khả vận dụng kiến thức vào giải dạng toán học sinh cịn hạn chế Vì vậy, tơi đầu tư viết chuyên đề trình mày số cách tiếp cận giải dạng toán nêu với mục đích giúp học sinh có tài liệu tham khảo để ôn thi tốt hơn, đồng thời tài liệu để giảng dạy nhà trường PHẦN I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ: A TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định D, với D khoảng, đoạn nửa khoảng Hàm số y = f ( x) gọi đồng biến D ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến D ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Đồ thị hàm số đồng biến D có hướng lên tính từ trái qua phải, đồ thị hàm số nghịch biến D có hướng xuống tính từ trái qua phải II Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng D Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến D f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ D Nếu hàm số y = f ( x) nghịch biến D f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ D III Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Định lý Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng D Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ D f '( x ) = số hữu hạn điểm thuộc D hàm số đồng biến D Nếu f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ D f '( x ) = số hữu hạn điểm thuộc D hàm số nghịch biến D Nếu f '( x) = 0, ∀x ∈ D hàm số khơng đổi D B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng (a; b) (có thể a −∞ ; b +∞ ) điểm x0 ∈ (a; b) * Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại x0 * Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu x0 * Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại hàm số; f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số, kí hiệu fCĐ , cịn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số * Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số II Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm điểm x0 , Khi đó, y = f ( x ) đạt cực trị x0 f '( x0 ) = Điều ngược lại không III Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: 1.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số - Sử dụng bảng biến thiên) Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục khoảng (a,b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a, x0 ) ( x0 , b) ( Có thể khơng có đạo hàm x0 ) Khi đó: + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại x0 Hàm số f đạt cực đại x = c Minh họa đồ thị Hàm số f đạt cực tiểu x = c 2.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số - Không sử dụng bảng biến thiên) Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng (a,b) chứa điểm x0 , ( Phải có đạo hàm x0 ) f '( x0 ) = f ''( x0 ) ≠ Khi đó: + Nếu f ''( x0 ) < hàm số đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ''( x0 ) > hàm số đạt cực tiểu điểm x0 PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y = f ′( x) suy tính đơn điệu, cực trị hàm số y = f ( x) Phương pháp giải: Đây dạng toán bản, từ giả thiết ta xét dấu f ′( x) kết luận tính đơn điệu cực trị hàm số y = f ( x) Chú ý rằng: - Nếu đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh với x ∈ D hàm số nhận giá trị dương tập D - Nếu đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh với x ∈ D hàm số nhận giá trị âm tập D Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục xác định ¡ Biết f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ, khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x ) đồng biến ¡ B Hàm số f ( x ) nghịch biến ¡ C Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; +∞) Lời giải Chọn C Trong khoảng ( 0;1) đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trục hoành nên hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ hàm số y = f ¢( x ) có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại điểm x = − B Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu điểm x = C Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu điểm x = − D Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại điểm x = − y f ' x x -2 -1 O -1 -2 Lời giải Chọn C Giá trị hàm số y = f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương qua x = −2 Dạng 2: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y = f ′( x) suy tính đơn điệu, cực trị hàm số y = g ( x ) = f (ax + b) Phương pháp giải: - Từ đồ thị hàm số y = f ′( x) suy dấu đạo hàm khoảng Giả sử f ′( x) > ⇔ x ∈ D f ′( x) < ⇔ x ∈ E - Tính g ′ ( x ) = af ′(ax + b) - Từ đồ thị hàm số ta xét dấu f ′(ax + b) , từ suy dấu g ′ ( x ) kết luận tính đơn điệu cực trị hàm số y = g ( x ) = f (ax + b) * Nếu a > ta có: g ′ ( x ) > ⇔ f ′(ax + b) > ⇔ ax + b ∈ D từ suy tập giá trị x để g ′ ( x ) > g ′ ( x ) < ⇔ f ′(ax + b) < ⇔ ax + b ∈ E từ suy tập giá trị x để g ′ ( x ) < * Nếu a < ta có: g ′ ( x ) > ⇔ f ′(ax + b ) < ⇔ ax + b ∈ E từ suy tập giá trị x để g ′ ( x ) > g ′ ( x ) < ⇔ f ′(ax + b) > ⇔ ax + b ∈ D từ suy tập giá trị x để g ′ ( x ) < Ví dụ 3: (Câu 35 – mã đề 101 – đề thi THPT QG 2019) Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu f ′ ( x ) sau: x f ′( x) −∞ − −3 −1 + +∞ − + Hàm số y = f ( − x ) nghịch biến khoảng đây? A ( 4; + ∞ ) B ( −2;1) C ( 2; ) Lời giải D ( 1; ) Đáp án B  −3 < − x < −1 3 > x > ⇔ 3 − x > x < Ta có y ′ = −2 f ′ ( − x ) < ⇔ f ′ ( − x ) > ⇔  Vì hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) nên nghịch biến ( −2;1) Dạng 3: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y = f ′( x) suy tính đơn điệu, cực trị hàm số y = g ( x ) = f u ( x )  u ( x ) đa thức bậc n Phương pháp giải: - Từ đồ thị hàm số y = f ′( x) suy dấu đạo hàm khoảng Giả sử f ′( x) > ⇔ x ∈ D ; f ′( x) < ⇔ x ∈ E f ′( x) = ⇔ x = xi , i = 1, n (*) - Tính g ′ ( x ) = u ′ ( x ) f ′ u ( x )  u ′ ( x ) = - Giải phương trình g ′ ( x ) = ⇔ u ′ ( x ) f ′ u ( x )  = ⇔   f ′ u ( x )  = f ′ u ( x )  = ⇔ u ( x ) = xi , i = 1, n (do (*)) Giải phương trình để tìm nghiệm phương trình g ′ ( x ) = - Từ kết luận tính đơn điệu cực trị hàm số y = g ( x ) Ví dụ (Câu 46– mã đề 101 – đề thi THPT QG 2019) Cho hàm số f ( x ) , bảng biến thiên hàm số f ′ ( x ) sau Số điểm cực trị hàm số y = f ( x − x ) A B C Lời giải D Đáp án C Cách Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ′ ( x ) = có nghiệm tương ứng  x = a, a ∈ ( −∞; −1)   x = b, b ∈ ( −1;0 )  x = c, c ∈ 0;1 ( )   x = d , d ∈ ( 1; +∞ )  / Xét hàm số y = f ( x − x ) ⇒ y′ = ( x − 1) f ′ ( x − x ) 2 x =   x − 2x = a x − =   ⇔  x2 − 2x = b Giải phương trình y′ = ⇔ ( x − 1) f ′ ( x − x ) = ⇔  ′  f ( x − x ) =  x2 − x = c   x2 − x = d  ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 2 Xét hàm số h ( x ) = x − x ta có h ( x ) = x − x = −1 + ( x − 1) ≥ −1, ∀x ∈ ¡ Phương trình x − x = a, ( a < −1) vô nghiệm Phương trình x − x = b, ( −1 < b < ) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 không trùng với nghiệm phương trình ( 1) Phương trình x − x = c, ( < c < 1) có hai nghiệm phân biệt x3 ; x4 không trùng với nghiệm phương trình ( 1) phương trình ( ) Phương trình x − x = d , ( d > 1) có hai nghiệm phân biệt x5 ; x6 không trùng với nghiệm phương trình ( 1) phương trình ( ) phương trình ( 3) Vậy phương trình y′ = có nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x − x ) có điểm cực trị Cách Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ′ ( x ) = có nghiệm tương ứng  x = a, a ∈ ( −∞; −1)   x = b, b ∈ ( −1;0 )  x = c, c ∈ 0;1 ( )   x = d , d ∈ ( 1; +∞ )  2 Xét hàm số y = f ( x − x ) ⇒ y′ = ( x − 1) f ′ ( x − x ) x =1   x − 2x = a x −1 =   y ′ = ⇔ ( x − 1) f ′ ( x − x ) = ⇔  ⇔  x2 − 2x = b  f ′ ( x − x ) =  x2 − x = c   x2 − x = d  Vẽ đồ thị hàm số h ( x ) = x − x / ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình ( 1) vơ nghiệm Các phương trình ( 2) ;( 3) ;( 4) phương trình có nghiệm Các nghiệm phân biệt Vậy phương trình y′ = có nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x − x ) có điểm cực trị Dạng 4: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y = f ′( x) suy tính đơn điệu, cực trị hàm số y = g ( x ) = mf ( x) + h ( x ) Phương pháp giải: - Tính g ′ ( x ) = mf ′( x) + h′ ( x ) - Xét dấu g ′ ( x ) Tuỳ biểu thức cho ta có cách xét dấu khác Trong trường hợp tổng quát, ta làm sau: Tính g ′ ( x ) = ⇔ mf ′( x) + h′ ( x ) = ⇔ f ′( x) = − h′ ( x ) m h′ ( x ) hệ trục toạ độ với đồ thị hàm số y = f ′( x) để so sánh m giá trị chúng với suy dấu g ′ ( x ) Vẽ đồ thị hàm số y = − - Kết luận tính đơn điệu cực trị Chú ý rằng: Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía đồ thị hàm số y = g ( x ) f ( x) > g ( x) Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía đồ thị hàm số y = g ( x ) f ( x ) < g ( x ) Chú ý: Ngoài cách giải trên, tập trắc nghiệm khách quan ta tính g ′ ( x ) = mf ′( x) + h′ ( x ) thử phương án đề để loại bỏ đáp án nhiễu Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ 2 Đặt g ( x ) = f ( x ) + x + x + 2018 Mệnh đề đúng? A Hàm số g ( x ) đồng biến ( 1; 3) B Hàm số g ( x ) đồng biến ( −3; ) C Hàm số g ( x ) đồng biến ( 0; 3) D Hàm số g ( x ) nghịch biến ( 0; 3) Lời giải Chọn A Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x + Xét: g ′ ( x ) > ⇔ f ′ ( x ) > − x − ( 1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đồ thị y = − x − ta thấy: Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm “phía trên” đồ thị y = − x − x ∈ ( −∞; − 3) ∪ ( 1; 3) Do đó: ( 1) ⇔ x ∈ ( −∞; − 3) ∪ ( 1; 3) Vậy hàm số g ( x ) đồng biến ( −∞; − 3) ( 1;3) Vậy khẳng định A Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f ' ( x ) Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + x có điểm cực trị ? A B C D Lời giải Chọn B Ta có g¢( x) = f ¢( x) + 3; g¢( x) = Û f ¢( x) =- Suy số nghiệm phương trình g¢( x) = số giao điểm đồ thị hàm số f ¢( x) đường thẳng y = - Dựa vào đồ thị ta suy x=2 éx = - ê êx = g¢( x) = Û ê êx = ê êx = ê ë Ta thấy x =- 1, x = 0, x = nghiệm đơn nghiệm kép nên đồ thị hàm số g( x) = f ( x) + 3x có điểm cực trị Chọn B Dạng 5: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y = f ′( x) suy tính đơn điệu, cực trị hàm số y = g ( x ) = mf (ax + b) + h ( x ) ( am ≠ ) Phương pháp giải: - Tính g ′ ( x ) = ma f ′(ax + b) + h′ ( x ) Cách 1: Xét dấu g ′ ( x ) Tuỳ biểu thức cho ta có cách xét dấu khác Cách 2: Thử trực tiếp phương án để loại bỏ phương án sai Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y = f ( x + ) − x + x đồng biến khoảng đây? A ( 1; +∞ ) B ( −∞; −1) C ( −1;0 ) Lời giải Chọn C Cách 1: Xét y = f ( x + ) − x + 3x y′ =  f ′ ( x + ) + ( − x )  1 ≤ x + ≤  −1 ≤ x ≤ ⇔ x + ≥ x ≥ Ta có f ′ ( x + ) ≥ ⇔   f ′ ( x + ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ y ′ > 0, ∀x ∈ ( −1;1) − x > 0, ∀ x ∈ − 1;1 ( )  Ta có  Vậy ta chọn đáp án C Cách 2: Xét y = f ( x + ) − x + 3x suy y′ =  f ′ ( x + ) + ( − x )  3    5 Ta có y′  ÷ =  f ′  ÷−  < nên loại đáp án A, D 2    4 y ′ ( −2 ) =  f ′ ( ) − 3 < nên loại đáp án B D ( 0; ) Vậy ta chọn đáp án C Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y = f ( x + 3) − x + 12 x nghịch biến khoảng sau đây? A ( 2; +∞ ) B ( −1;0 ) C ( 1;5 ) D ( −∞; −1) Lời giải Chọn A Ta có y ′ = f ′ ( x + 3) − 3x + 12 Cách 1: Thử với x = −0,5 ⇒ y′ ( −0,5 ) = f ′ ( 2,5 ) − 0, 75 + 12 > f ′ ( 2,5 ) > (Loại B) Với x = −1,5 ⇒ y′ ( −1,5 ) = f ′ ( 1,5 ) − 6, 75 + 12 > f ′ ( 1,5 ) > (Loại D) Với x = 1,5 ⇒ y′ ( 1,5 ) = f ′ ( 4,5 ) − 6, 75 + 12 > f ′ ( 4,5 ) > (Loại C) Vậy chọn A Cách 2: Đặt t = x + ⇒ y′ =  f ′ ( t ) + ( −t + 6t − )  Xét dấu f ′ ( t ) −t + 6t −  −1 < t <  −4 < x < −2 ⇔ x > Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −4; −2 ) ( 2; +∞ ) Hàm số nghịch biến  t > Dạng 6: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y = f ′( x) y = g ′( x) suy tính đơn điệu hàm số y = h ( x ) = m f ( ax + b ) + n.g ( cx + d ) Phương pháp giải: - Tính y = h′ ( x ) = am f ′ ( ax + b ) + cn.g ′ ( cx + d ) - Dựa vào đồ thị hai hàm số y = f ′( x ) y = g ′( x) suy dấu của h′ ( x ) kết luận Ta thử trực tiếp loại phương án nhiễu 10 Câu Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng y y = f '(x) O -  −1  B ( 0; ) A  ; ÷  2 x  −1  C  ;0 ÷   Lời giải D ( −2; − 1) Chọn C Đặt g ( x ) = f ( u ) , u = x ≥ g ′ ( x ) = x f ′ ( u ) nên x = x = g′( x) = ⇔  ⇔  x = ±1; x = ±2  f ′ ( u ) = ⇔ u = ±1; u = Lập bảng xét dấu hàm số g ′ ( x ) Lưu ý: cách xét dấu g ′ ( x ) B1: Xét dấu f ′ ( u ) : ta có 1 < x < 1 < u < f ′( u ) > ⇔  ⇔ ⇔1 < x < u < −1  x < −1 ( loai )  x 1  −2 < x < ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ ( 1; ) ngược lại tức khoảng lại f ′ ( u ) < ⇔  x < −1 ∪ x > B2 : xét dấu x (trong trái cùng) B3 : lập bảng xét dấu nhân dấu f ′ ( u ) x ta bảng Câu Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên Hỏi hàm số g( x) = f ( x ) đồng biến khoảng khoảng sau? A ( - ¥ ;- 1) B ( - 1;+¥ ) C ( - 1;0) Lời giải D ( 0;1) Chọn C Ta có g¢( x) = 2xf ¢( x ) Hàm số g( x) đồng biến éïì x > éìï x > êï êïí êíï f ¢ x2 > êï - 1< x2 < Ú x2 > êïỵ ( ) éx > ïỵ theo thi f '( x) Û g¢( x) > Û ơắ ắ ắ ắđ êïì x < ê êïïì x < ë- 1< x < êï êí êíï ¢ êïïỵ x 1ắắ ắ ắ(ắ đ f Â( x2 ) > ( 2) g¢( x) = 2xf ( x2 ) > trờn khong ( 1;+Ơ ) nờn gÂ( x) mang dấu + Nhận thấy nghiệm g¢( x) nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu Câu Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = f ( x ) có khoảng nghịch biến A B C Lời giải D Chọn B Ta có y′ =  f ( x ) ′ = x f ( x )     x >  x >   2 ′   f ( x ) <  x < −1 ∨ < x <  theo dt f '( x ) ¬  → ⇔ Hàm số nghịch biến ⇔ y′ < ⇔  x  −1 < x < ∨ x >   ( ) Vậy hàm số y = f ( x ) có khoảng nghịch biến Cách 21 1 < x <  x < −2 ∨ −1 < x <  Ta có éx = ê êx2 = - éx = theo thi f ' x ( ) ê  g ( x) = ơắ ắ ắ ắđ ờ2 f Â( x2 ) = êx = ê ë ê2 ê ëx = éx = ê êx = ±1 ê êx = ±2 ë Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu g¢( x) xác định sau: Ví dụ xét khoảng ( 2;+¥ ) ( 1) x ẻ ( 2;+Ơ ) đ x > x ẻ ( 2;+Ơ ) đ x2 > Với Từ ( 1) ( 2) , suy ) x2 > ¾¾ ¾ ¾(¾ ® f ¢( x2 ) > theo thi f ' x g¢( x) = 2xf ( x2 ) > ( 2) khoảng ( 2;+¥ ) nên g¢( x) mang dấu + Nhận thấy nghiệm g¢( x) nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Câu Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên Hỏi hàm số g( x) = f ( x - 5) có khoảng nghịch biến? A B C Lời giải Chọn C Ta có éx = ê êx2 - = - éx = theo thi f '( x) ê g¢( x) = Û ê ơắ ắ ắ ắđ ờ2 ờf  x2 - = ( ) êx - = - ê ë ê2 ê ëx - = D g¢( x) = 2xf ¢( x2 - 5) ; éx = ê êx = ±1 ê êx = ±2 ê ê ê ëx = ± Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn C Câu Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên Hỏi hàm số g( x) = f ( 1- x2 ) nghịch biến khoảng khoảng sau? 22 A ( 1;2) B ( 0;+¥ ) C ( - 2;- 1) Lời giải D ( - 1;1) Chọn B Ta có g¢( x) = - 2xf ¢( 1- x2 ) Hàm  Trường hợp 1:  Trường hợp 2: số g( x) nghịch biến ïìï - 2x > Û í ïï f Â( 1- x2 ) < ùợ ỡù - 2x < ï Û í ïï f ¢( 1- x2 ) > ïỵ éìï - 2x > êï êíï f ¢1- x2 < ) êï ( gÂ( x) < ờợ ờỡù - 2x < êï êíï ¢ f ( 1- x2 ) > ê ëïỵ ì ïíï x < ïïỵ 1< 1- x2 < 2: vo nghiem ïìï x > Û x > í 2 îïï 1- x < 1Ú1- x > Chọn B Cách Ta có éx = éx = ê theo thi f ' x ( ) ê1- x2 = Û x = g¢( x) = ơắ ắ ắ ắđ ờf Â1- x2 = ê ( ) ê ê ë ê ë1- x = Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu g¢( x) xác định sau: Ví dụ chọn x = 1Ỵ ( 0;+Ơ ) x = 1ắắ đ- 2x < ( 1)  theo thi f ' x) x = 1đ 1- x2 = ắắ đ f ¢( 1- x2 ) = f¢( 0) ¾¾ ¾ ¾(¾ ® ¢( 0) = > ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy g¢( 1) < khoảng ( 0;+¥ ) Nhận thấy nghiệm g¢( x) = nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Câu Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ có đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = g ( x ) = f ( x ) + x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A 23 Cách 1: y ' = g ' ( x ) = f ' ( x ) + có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số f ' ( x ) theo phương Oy lên đơn vị Khi đồ thị hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành điểm, ta chọn đáp án A Cách 2: Số cực trị hàm g ( x ) số nghiệm bội lẻ phương trình g ' ( x ) = f ' ( x ) + = ⇔ f ' ( x ) = −4 Dựa vào đồ thị hàm f ' ( x ) ta thấy phương trình có nghiệm đơn Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ sau Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) + x A C Lời giải B D Chọn B Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + Từ đồ thị hàm số f ′ ( x ) ta thấy:  x = −1  x = α ( α > 0) + g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = −2 ⇔  x < α  x ≠ −1 + g ′ ( x ) > ⇔ f ′ ( x ) > −2 ⇔  + g ′ ( x ) < ⇔ f ′ ( x ) < −2 ⇔ x > α Từ suy hàm số y = f ( x ) + x liên tục có đạo hàm đổi dấu qua giá trị x = α Vậy hàm số cho có cực trị Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ¡ , có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ sau Đặt g ( x ) = f ( x ) + x Tìm số cực trị hàm số g ( x ) ? A B C Lời giải Chọn B 24 D Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) + Đồ thị hàm số g ' ( x ) phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) theo phương Oy lên đơn vị, đồ thị hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành hai điểm phân biệt Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f ' ( x ) Hàm số g ( x ) = f ( x ) + x đạt cực tiểu điểm: A x = B x = C x = Lời giải D Khơng có điểm cực tiểu Chọn B Cách 1: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + Tịnh tiến đồ thị hàm số f ′ ( x ) lên đơn vị ta đồ thị hàm số g ′ ( x ) Bảng biến thiên Cách 2: Ta có g¢( x) = f ¢( x) +1; g¢( x) = Û f ¢( x) =- Suy số nghiệm phương trình g¢( x) = số giao điểm đồ thị hàm số f ¢( x) đường thẳng y = - Dựa vào đồ thị ta suy éx = ê g¢( x) = Û êx = ê êx = ë Lập bảng biến thiên cho hàm g( x) ta thấy g( x) đạt cực tiểu x = Chọn B Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên sau: Ví dụ khoảng ( - ¥ ;0) ta thấy đồ thị hàm f ¢( x) nằm phía đường y = - nên g¢( x) mang dấu - Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f ' ( x ) Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + x có điểm cực trị ? 25 A B C Lời giải D Chọn B Ta có g¢( x) = f ¢( x) + 3; g¢( x) = Û f ¢( x) =- Suy số nghiệm phương trình g¢( x) = số giao điểm đồ thị hàm số f ¢( x) đường thẳng Dựa vào đồ thị ta suy éx = - ê êx = g¢( x) = Û ê êx = ê êx = ê ë y = - Ta thấy x =- 1, x = 0, x = nghiệm đơn nghiệm kép nên đồ thị hàm số g( x) = f ( x) + 3x có điểm cực trị Chọn B Mức ĐƠN ĐIỆU – CỰC TRỊ x=2 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ Biết hàm số y = f ¢( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = f ( x - 5) nghịch biến khoảng sau đây? A ( - 1; 0) B ( - 1;1) C ( 0;1) Lời giải Chọn C Xét hàm số y = f ( x - 5) 26 D ( 1; 2) éx = éx = ê ê êx - =- êx = ±1 ê ê ¢ ¢ ¢ y = x f x y = Þ Þ ( ) Ta có , ê2 êx = ±2 êx - =- ê ê2 ê ê ê ëx = ± ëx - = Bảng xét dấu: Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ thỏa f ( 2) = f ( - 2) = đồ thị hàm số y = f ¢( x) có dạng hình vẽ bên Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến khoảng khoảng sau: ỉ 3ư - 1; ÷ ữ A ỗ ỗ ữ ỗ ố B ( - 2; - 1) 2ø C ( - 1;1) D ( 1; 2) Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) ta lập bảng biến thiên y = f ( x) sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x) £ 0, " x Ỵ ¡ Xét hàm số y = ( f ( x ) ) , ta có y ¢= f ( x ) f ¢( x ) Do Oxyz f Â( x) > 0, " x ẻ ( 1; 2) È ( - ¥ ; - 2) nên hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến khoảng ( - ¥ ; - 2) ( 1; 2) Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ 27 Đặt g ( x ) = f ( x ) + x + x + 2018 Mệnh đề đúng? A Hàm số g ( x ) đồng biến ( 1; 3) B Hàm số g ( x ) đồng biến ( −3; ) C Hàm số g ( x ) đồng biến ( 0; 3) Chọn A Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x + D Hàm số g ( x ) nghịch biến ( 0; 3) Xét: g ′ ( x ) > ⇔ f ′ ( x ) > − x − ( 1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đồ thị y = − x − ta thấy: Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nằm “phía trên” đồ thị y = − x − x ∈ ( −∞; − 3) ∪ ( 1; 3) Do đó: ( 1) ⇔ x ∈ ( −∞; − 3) ∪ ( 1; 3) Vậy hàm số g ( x ) đồng biến ( −∞; − 3) ( 1;3) Vậy khẳng định A Chú ý: Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng ( a; b ) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng ( a; b ) Câu 4: (Sở Hà Nội 2018) Cho hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng 28 A ( 0;1) B ( −1;0 ) C ( 2;3) Lời giải D ( − 2; − 1) Chọn B   x >    f ' ( − x ) < 2 Ta có:  f ( − x )  ' = f ' ( − x ) ( −2 x ) > ⇔    x <  f ' − x2 > )   (  x >  x >   2    − x < −6   x > x >    −1 < − x <   > x > 2 > x >   ⇔ ⇔ ⇔  x <  x < −1 < x < −2       −6 < − x < −    < x <  −1 < x <    2   3 − x >    x < Câu Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên Hàm số g( x) = f ( x) - x đồng biến khoảng khoảng sau đây? A ( - ¥ ;- 2) B ( - 2;2) C ( 2;4) D ( 2;+Ơ ) Li gii Chn B đ gÂ( x) = Û f ¢( x) = x Ta có gÂ( x) = f Â( x) - 2x ắắ Số nghiệm phương trình g¢( x) = số giao điểm đồ thị hàm số y = f ¢( x) đường thẳng Dựa vào đồ thị, suy d: y= x (như hình vẽ bên dưới) éx =- ê g¢( x) = Û ê êx = êx = ë Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x Ỵ ( - 2;2) đồ thị hàm số f ¢( x) nằm phía đường ® hàm số g( x) đồng biến ( - 2;2) thẳng y = x nờn gÂ( x) > ) ắắ Cõu Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên Hỏi hàm số g( x) = f ( x) +( x +1) đồng biến khoảng khoảng sau? 29 A ( - 3;1) B ( 1;3) C ( - ¥ ;3) Lời giải Chọn B Ta g¢( x) = f ¢( x) + 2( x +1) ắắ đ gÂ( x) = f ¢( x) =- x - D ( 3;+¥ ) có Số nghiệm phương trình g¢( x) = số giao điểm đồ thị hàm số y = f ¢( x) đường thẳng d : y =- x - (như hình vẽ bên dưới) Dựa vào Yêu cầu éx =- ê đồ thị, suy g¢( x) = Û êêx = êx = ë éx Û êê1< x < (vì ë phần đồ thị f '( x) nằm phía đường thẳng y = - x - ) Đối chiếu đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f ' ( x ) Hàm số g ( x ) = −2 f ( − x ) + x nghịch biến khoảng A ( −3; −2 ) B ( −2; −1) C ( −1;0 ) Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) Chọn C Ta có : (thêm bớt) Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) ta có : f ' ( x ) < x − ⇔ < x < (vì phần đồ D ( 0; ) g′ x = f ′ − x + 2x ⇒ g ′ x = ⇔ f ′ − x = − x ⇔ f ′ ( − x ) = ( − x ) − thị f ' ( x ) nằm phía đường thẳng y = x − , xét khoảng ( 2;3) cịn khoảng khác khơng xét dựa vào đáp án) g ( x) Hàm số nghịch ⇔ g ′ ( x ) < ⇔ f ′ ( − x ) < ( − x ) − ⇔ < − x < ⇔ −1 < x < 30 biến Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) Lưu ý: Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = x − cắt đồt thị f ′ ( x ) điểm có hồnh độ 1 < x1 < nguyên liên tiếp   x2 = từ đồ thị ta thấy f ′ ( x ) < x − miền < x < nên f ′ ( − x ) < ( − x ) − miền < − x < ⇔ −1 < x < Câu Cho hàm số y = f ( x ) đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f ' ( x ) Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x − 3) A B C Lời giải D Chọn B Ta có g¢( x) = 2xf ¢( x2 - 3) ; éx = éx = ê éx = ê theo thi f ' x ( ) ê g¢( x) = Û ê Û ê ờf  x2 - = 0ơắ ắ ắ ¾® êx - = - êx = ±1 ) ê2 ê ê ë ( ê ê ëx = ±2 ( nghiem kep) ëx - = ( nghiem kep) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu g¢( x) xác định sau: Ví dụ xét khoảng ( 2;+¥ ) ( 1) x ẻ ( 2;+Ơ ) đ x > theo thi f ' x ® x2 - 3> 1ắắ ắ ắ(ắ) đ f Â( x2 - 3) > ( 2) x ẻ ( 2;+Ơ ) ® x2 > ¾¾ Từ ( 1) ( 2) , suy g¢( x) = 2xf ¢( x2 - 3) > khoảng ( 2;+¥ ) nên g¢( x) mang dấu + Nhận thấy nghiệm x = ±1 x = nghiệm bội lẻ nên g¢( x) qua nghiệm đổi dấu; nghiệm x = ±2 nghiệm bội chẵn (lí dựa vào đồ thị ta thấy f ¢( x) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ 1) nên qua nghiệm không đổi dấu Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ có bảng biến thiên đạo hàm f ' ( x ) sau : Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x − x ) có điểm cực tiểu ? 31 A B C Lời giải D Chọn A Ta có g¢( x) = ( 2x - 2) f ¢( x2 - 2x) ; éx = éx = ê ê ê êx = 1± 2( nghiem kep) é2x - = x - 2x = - theo BBT f '( x) ê ê ê g¢( x) = Û ơắ ắ ắ ắ đ ờ2 ê ¢ f x x = x x = nghiem kep ( ) ( ) ê êx = - ê ë ê2 ê ê ê ëx = ëx - 2x = Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn A Chú ý: Dấu g¢( x) xác định sau: Ví dụ xét khoảng ( 3;+¥ ) ( 1)  x ẻ ( 3;+Ơ ) đ 2x - > theo BBT f '( x) ắ ắ ắđ f Â( x2 - 2x) < x ẻ ( 3;+Ơ ) đ x2 - 2x > ắắ T ( 1) ( 2) , suy ( 2) g¢( x) = ( 2x - 2) f ¢( x2 - 2x) < trờn khong ( 3;+Ơ ) nờn gÂ( x) mang dấu - Nhận thấy nghiệm x = ±1 x = nghiệm bội lẻ nên g¢( x) qua nghiệm đổi dấu Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ có bảng biến thiên đạo hàm f ' ( x ) đồ thị hình bên Hỏi hàm số g ( x ) = f ( − x + x ) có điểm cực đại ? A B C Lời giải D Chọn A Ta có g¢( x) = ( - 2x + 3) f ¢( - x2 + 3x) ; é êx = ê é- 2x + = ê theo thi f ( x) ê g¢( x) = ơắ ắ ắ ắđ ờ- x2 + 3x = - Û ê êf ¢( - x + 3x) = ê- x2 + 3x = ë ê ê ë Bảng biến thiên 32 é êx = ê ê ê 3± 17 êx = ê ê êx = ê êx = ë Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn A Chú ý: Dấu g¢( x) xác định sau: Ví dụ chọn  - 2x + = - 5< theo thi f ( x) ắ ắ ắđ f ¢( - 4) > (  - x2 + 3x = - ¾¾ Từ ( 1) ( 2) , suy g¢( x) = ( - 2x + 3) f ¢( - x2 + 3x) < ổ 3+ 17 ỗ x = 4ẻ ỗ ;+Ơ ỗ ỗ ố ữ ữ ữ ữ ø ( 1) f tăng) khoảng ( 2) ổ 3+ 17 ỗ ỗ ;+Ơ ỗ ỗ ố ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø Nhận thấy nghiệm phương trình g¢( x) = nghiệm bội lẻ nên g¢( x) qua nghiệm đổi dấu Câu 11 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x ) ¡ đồ thị hàm số f '( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x − x − 1) Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có sáu cực trị B Hàm số có năm cực trị C Hàm số có bốn cực trị D Hàm số có ba cực trị Lời giải Chọn D x = x =  2 Ta có: g ' ( x ) = (2 x − 2) f '( x − x − 1) Nhận xét: g ' ( x ) = ⇔ x − x − = − ⇔  x = ±1    x2 − x − =  x = 2; x =  Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có ba cực trị Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ f ( 0) < 0, đồng thời đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ bên 33 Số điểm cực trị hàm số g( x) = f ( x) A B C Lời giải Dựa vào đồ thị, ta có D éx = - f ¢( x) = Û ê êx = ( nghiem kep) ë Bảng biến thiên hàm số y = f ( x) Xét éx = - ê éf ¢( x) = theo BBT f x ê êx = ( nghiem kep) ( ) g¢( x) = f ¢( x) f ( x) ; g¢( x) = đờ ờf x = ơắ ắ ¾ ¾ êx = a( a 0) ë Bảng biến thiên hàm số g( x) Vậy hàm số g( x) có điểm cực trị Chọn C Chú ý: Dấu g¢( x) xác định sau: Ví dụ chọn x = Ỵ ( - 1;b)  theo thi f ' x) x = ắắ ắ ắ(ắ đ f Â( 0) > ( 1)  Theo giả thiết f ( 0) < ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy g¢( 0) < khoảng ( - 1;b) Nhận thấy x =- 2; x = a; x = b nghiệm đơn nên g¢( x) đổi dấu qua nghiệm Nghiệm x = nghiệm kép nên g¢( x) khơng đổi dấu qua nghiệm này, bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x = không ảnh hưởng đến trình xét dấu g¢( x) 34 ... nghiệm đơn nghiệm kép nên đồ thị hàm số g( x) = f ( x) + 3x có điểm cực trị Chọn B Dạng 5: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y = f ′( x) suy tính đơn điệu, cực trị hàm số y = g ( x ) = mf (ax... − - Kết luận tính đơn điệu cực trị Chú ý rằng: Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía đồ thị hàm số y = g ( x ) f ( x) > g ( x) Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía đồ thị hàm số y = g ( x... nên hàm số y = f ( x − x ) có điểm cực trị Dạng 4: Từ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y = f ′( x) suy tính đơn điệu, cực trị hàm số y = g ( x ) = mf ( x) + h ( x ) Phương pháp giải: - Tính