Rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài: Trong chương trình Đại số lớp dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng phong phú, thường sử dụng để giải dạng tốn như: Rút gọn biểu thức, tính nhanh giá trị biểu thức, giải phương trình, bất phương trình … Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường THCS theo dõi kết kiểm tra toán học sinh lớp 8, thấy dạng tốn khơng khó kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốn liên quan học sinh cịn nhiều hạn chế, cịn nhiều học sinh khơng làm làm sai Nguyên nhân thường gặp em chưa nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, chưa có kĩ vận dụng linh hoạt phương pháp vào toán cụ thể Từ việc nhận thức vai trò quan trọng dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, băn khoăn trăn trở phải để học sinh học tốt dạng tốn Chính mà từ năm học trước xây dựng đề cương đề tài “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” Trong năm học này, tơi nhà trường phân cơng giảng dạy mơn Tốn lớp bắt tay vào việc nghiên cứu thực đề tài cho học sinh lớp II Mục đích nghiên cứu: - Bằng cách tiếp cận lực người học, tìm phương pháp, cách thức tổ chức dạy học nhằm giúp cho học sinh nắm kiến thức, nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, rèn kĩ làm từ học sinh vận dụng để giải tốn phân tích tốn liên quan tốt Giúp bồi dưỡng cho học sinh lực tự học, tự giải vấn đề, rèn lực tư duy, sáng tạo cho học sinh - Từ việc để đạt mục đích học sinh thúc đẩy giáo viên tìm tòi, nghiên cứu, chủ động việc tự bồi dưỡng chuyên môn, mở rộng kiến thức, thực đổi phương pháp dạy học, đổi hình thức tổ chức dạy học, có phương pháp dạy học phù hợp với yêu cầu đổi phương pháp dạy học III Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu ứng dụng: Thời gian đối tượng nghiên cứu: - Khảo sát học sinh lớp năm học 2018-2019 vào tháng 11 năm 2018 - Bắt đầu viết đề cương đề tài từ tháng 12 năm 2018 - Thực đề tài với học sinh lớp trường năm học 2019 – 2020 Phạm vi nghiên cứu ứng dụng: Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” - Nội dung tài liệu: Phần Đại số sách giáo khoa, sách tập lớp nhà xuất Giáo dục Việt Nam phát hành Một số tài liệu tham khảo mơn Tốn cho giáo viên học sinh lớp - Có thể ứng dụng đề tài để dạy cho tất học sinh lớp 8, củng cố thêm cho học sinh lớp học chương trình mà Bộ giáo dục Đào tạo ban hành Kết khảo sát trước thực đề tài Sau học sinh lớp (năm học 2018- 2019) học xong kiến thức phần phân tích đa thức thành nhân tử, tơi cho em làm khảo sát Kết sau: Năm học 2018- 2019 Điểm 9; 10 Điểm 7; 32 Điểm 5; 28 Điểm 3; 27 Điểm 0;1;2 19 (108 hsinh) = 1,8 % = 29,7 % = 25,9 % = 25 % = 17,6 % B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I Tên đề tài: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” II Cơ sở lí luận: Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, giúp em chủ động lĩnh hội kiến thức, phát huy khả sáng tạo người giáo viên ngồi việc nắm vững kiến thức mơn cịn phải có phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, dạy học đưa tình có vấn đề, tạo hứng thú học tập cho học sinh, tạo điều kiện cho học sinh dễ nhớ dễ hiểu nhất, khuyến khích tính độc lập sáng tạo, giúp học sinh phát triển trí tuệ Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng Vấn đề đặt làm để học sinh thể hiểu vận dụng giải tốn dạng cách xác, nhanh chóng với thái độ tích cực, hứng thú Để thực điều địi hỏi giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp dạng tốn này, xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận dạng đánh giá toán, rèn kĩ giải toán, kĩ vận dụng III Cơ sở thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn trường, tơi thấy rằng: - Tồn nhiều học sinh chưa chăm học, chưa hứng thú với mơn Tốn, chưa chủ động học tập lĩnh hội kiến thức, chưa nỗ lực tự học, tự rèn luyện, trí có em cịn sợ học Tốn Trên lớp khơng ý, học cách thụ động, không hiểu hiểu cách mơ hồ, nhà học làm cách chống đối Dẫn đến em yếu tính tốn, biến đổi thực hành giải tốn Với dạng tốn phân tích Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” đa thức thành nhân tử có em cịn chưa nắm khái niệm, mơ hồ phương pháp phân tích, chưa xác định rõ phân tích đa thức thành nhân tử nào, làm để phân tích đa thức thành nhân tử Nên làm kiểm tra, thi em thường lúng túng, khơng tìm phương pháp giải, khơng giải - Về phía giáo viên đơi chưa thật đổi phương pháp dạy học, chưa có đầu tư gia cơng tiết dạy trước lên lớp, giảng chưa tạo hấp dẫn, hứng thú học sinh - Về phía phụ huynh học sinh: Phụ huynh học sinh địa bàn hầu hết kinh doanh, buôn bán, nên việc quan tâm đôn đốc nhắc nhở em học tập nhà nhiều phụ huynh khơng thường xun Tuy có gần 100% phụ huynh có nhu cầu cho em học thêm trường ba mơn: Tốn, Văn, Anh theo chủ chương, kế hoạch nhà trường Đây điều kiện thuận lợi để giáo viên có thêm thời gian củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ cho học sinh Xuất phát từ tình hình thực tế yêu cầu nội dung kiến thức, thấy với cố gắng nỗ lực thân việc thực đề tài phân tích đa thức thành nhân tử hồn tồn thực IV Các giải pháp thực hiện: Để học sinh biết làm làm dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần giúp em nắm vững khái niệm, nắm vững phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Ngoài ra, với học sinh khá, giỏi giáo viên cần giới thiệu thêm cho em, để em nắm số phương pháp phân tích nâng cao như: Tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ… Với phương pháp phân tích giáo viên cần lựa chọn hệ thống tập thích hợp để vừa củng cố phương pháp, vừa rèn kĩ cho học sinh Từ em làm số tập tổng hợp kiến thức làm tập liên quan Muốn giáo viên cần thực tốt nội dung sau: *Về mặt kiến thức phương pháp dạy học: Trước tiên giáo viên phải nghiên cứu kĩ nội dung chương trình, xác định rõ ràng kiến thức trọng tâm, kiến thức mở rộng nâng cao cho phép Tiếp đến nghiên cứu tập sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo để tìm hiểu lựa chọn tập thích hợp phục vụ cho việc giảng dạy Với tập giáo viên tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phương pháp giải hay hơn, ý đồ tác giả đưa toán để làm gì? Mục đích tác dụng tập học nào? Bài tập phù hợp với đối tượng học sinh nào? Từ phân loại tập Có Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” thể hệ thống tập phân thành ba loại: Bài tập áp dụng, củng cố phương pháp giải; Bài tập rèn kĩ vận dụng, phát triển lực tư duy; Bài tập nâng cao mở rộng, phát triển khả tư duy, sáng tạo Tiếp theo, thực dạy học, giáo viên cần vận dụng linh hoạt phương pháp như: Dạy học thông qua hoạt động học sinh; Dạy học gợi mở, vấn đáp; Dạy học phát giải vấn đề; Dạy học hợp tác nhóm nhỏ; Dạy học trọng rèn luyện phương pháp tự học Từ củng cố, khắc sâu khái niệm, phương pháp phân tích qua tập vận dụng, đồng thời sửa chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán Cho học sinh làm tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ dạng vận dụng trực tiếp công thức bản, rèn kỹ nhận dạng phương pháp đến dạng phải suy luận, biến đổi tìm cách giải, khai thác tốn Trong luyện tập lớp buổi học thêm trường việc rèn kỹ vận dụng giải toán, giáo viên lồng ghép để giới thiệu với học sinh thêm số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác Tách hạng tử, thêm bớt hạng tử thích hợp, đặt biến phụ, * Về phía học sinh: Giáo viên thực phân loại học sinh theo lực học tập em Có thể phân làm ba nhóm học sinh: Nhóm học sinh giỏi, (ở đầu cao); nhóm học sinh trung bình khá; Nhóm học sinh yếu, kém; Từ chia lớp theo lực học học sinh buổi dạy thêm trường đặt mục tiêu cần đạt nhóm học sinh, từ học đưa câu hỏi hay tập phù hợp với em Ví dụ: - Đối với học sinh yếu, kém: em cần nắm vững khái niệm phương pháp phân tích sách giáo, biết vận dụng để làm tập mức độ đơn giản Tránh sai lầm thường gặp giải toán Dần tạo cho em tự tin, tích cực học làm - Đối với học sinh trung bình, khá: yêu cầu cần đạt học sinh yếu kém, em cần biết quan sát, nhận xét để nhận dạng toán Vận dụng kiến thức linh hoạt để làm Giáo viên cần ý không rèn luyện cho học nắm phương pháp bản, luyện cho em khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích học sinh tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh giỏi (Ở đầu cao) mục tiêu cần đạt học sinh khác em cần rèn luyện để nâng cao khả tư duy, tìm tịi cách giải hay, có kỹ thực hành tốt Nắm số phương pháp phân tích nâng cao, mở rộng, làm tập khó, tập có yêu cầu tư sáng tạo Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” Các biện pháp cụ thể: Hình thành khắc sâu khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức Đây nội dung kiến thức nhỏ “Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung” lại cung cấp cho học sinh khái niệm quan trọng, là: Thế phân tích đa thức thành nhân tử? Để khơng nhiều thời gian phân phối thời gian cho hợp lí tiết học mà học sinh lại nắm khái niệm, giáo viên làm sau: Giáo viên đưa ví dụ (SGK-Trang 18) khẳng định việc biến đổi 2x2 – 4x thành tích 2x(x – 2) gọi phân tích đa thức thành nhân tử Từ đặt câu hỏi: Em hiểu phân tích đa thức thành nhân tử? Rồi khẳng định khái niệm xác (như SGK trang 18) Sau để củng cố khái niệm, GV cho học sinh làm nhanh tập sau: Các đa thức biến đổi sau, đa thức phân tích thành nhân tử? a) 2x3 + 14x2 – 6x = 2x(x2 +7x – 3) b) 3x2 – = 3(x2 + 3) c) x2 + 4x + y2 + = (x2 + 4x + ) + y2 =(x+2)2 + y2 Từ nhấn mạnh lại khái niệm Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rèn luyện kỹ phân tích a) Phương pháp đặt nhân tử chung: SGK khơng nêu bước cụ thể để phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đạt nhân tử chung, thơng qua ví dụ, tập cụ thể giáo viên cần cho học sinh hiểu phương pháp ta thường phải tách hạng tử đa thức thành tích nhân tử cho hạng tử xuất nhân tử chung Từ đưa đa thức dạng: A.B + A.C = A.(B + C) Ví dụ 1(SGK-Trang18): Phân tích đa thức 2x2 – 4x thành nhân tử Giáo viên cho hs nêu cách làm gợi ý để tất học sinh làm: - Tìm nhân tử chung hệ số 2; hạng tử trên? - Tìm nhân tử chung biến x2 x ? Vậy nhân tử chung đa thức gì? Tương tự cho HS xét tiếp VD2 Từ GV đặt câu hỏi để chốt kiến thức: - Nêu bước phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp Đặt nhân tử chung Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” - Những đa thức phải có đặc điểm phân tích thành nhân tử phương pháp Sau đó, qua tập rèn cho em kỹ nhận xét, quan sát, vận dụng phương pháp vào làm Ở có bước biến đổi gây nhầm lẫn nên lưu ý cho học sinh Ví dụ : * Phần c ?1 : Phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(y – x) thành nhân tử Giáo viên cho học sinh thảo luận nêu cách làm, tự rút cách biến đổi để tìm nhân tử chung x – y nhân tử chung y – x Đặc biệt lưu ý dấu biến đổi Giải: Cách 1: 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x(x – y) = (x – y).3 + (x – y).5x = (x – y)(3 + 5x) Cách 2: 3(x – y) – 5x(y – x) = – 3(y – x) – 5x(y – x) = (y – x)( –3 – 5x) = – (y – x)( + 5x)= (x – y)(3 + 5x) Ta thấy cách biến đổi đơn giản, dễ dàng cách * Bài tập phần e 39 (SGK - Trang 19) Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Giáo viêncho học sinh nhận xét, nêu cách làm gợi ý để tìm nhân tử chung cách : - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Là ƯCLN(10;8)= 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? (Là x–y y–x) Giải:: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) * Cuối tiết học, để củng cố, khắc sâu thêm kiến thức bài, giáo viên cho học sinh thảo luận nhóm nhỏ làm tập sau : Phân tích đa thức 9x(x –y) – 10(y – x)2 thành nhân tử, bạn An làm sau : x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 = (x – y)[9x + 10(x – y)] = (x – y)(19x – 10y) Hỏi bạn An làm hay sai? sai chỗ sai sửa lại cho Qua tập học sinh thấy sai lầm An thực đổi dấu sai dẫn đến kết sai Cần ý: A2 = (-A)2 nên: – 10(y – x)2 = + 10(x – y)2 sai Lời giải 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Tóm lại: Sau học sinh học xong phương pháp này, học sinh phải hiểu nắm vững kiến thức: Thế phân tích đa thức thành nhân tử, cách thức phân tích đa Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung nhận dạng đa thức phân tích thành nhân tử phương pháp b) Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ vế đa thức sang vế tích nhân tử, lũy thừa đa thức đơn giản Các đẳng thức thường dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Để học sinh sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử yêu cầu học sinh phải nắm vững vận dụng thành thạo đẳng thức học (Ở dạy này, giáo viên nên treo bảng phụ có ghi HĐT đáng nhớ) Từ giáo viên củng cố cho học sinh kĩ nhận dạng đẳng thức toán dựa vào đặc điểm hệ số, số mũ hạng tử từ sử dụng đẳng thức cho thích hợp, hình thành phương pháp phân tích cho học sinh Ví dụ (SGK – Trang 19): Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 4x + b x2 – c – x3 Hướng dẫn: Quan sát đa thức xem có dạng vế đẳng thức khơng từ biến đổi theo vế đẳng thức Nhận xét: + Đa thức x2 – 4x + có dạng A2 – 2AB + B2 vế trái đẳng thức thứ A2 –2AB + B2 = (A – B)2 với A = x, B= + Đa thức x2 – có dạng A2 – B2 vế trái đẳng thức thứ A2 – B2 = (A – B)(A + B) với A = x, B = + Đa thức – x3 có dạng A3 – B3 trái đẳng thức thứ A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) với A=1, B = x Từ nhận xét học sinh dễ dàng đưa lời giải Giải: a) x2 – 4x + = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2 b) x2 – = x2 –   = (x – )(x + ) Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” c) – x = (1 – x)(1 + x + x ) = (1 – x)(1 + x + x2) * Để củng cố kỹ vận dụng đẳng thức phân tích tập giáo viên cần tìm sai lầm mà em thường mắc phải Hướng cho em cách tránh sửa lỗi Ví dụ: Phân tích đa thức (x+y)2 – 9x2 thành nhân tử (Bài ?1b – trang 20–Sgk ) Trong học sinh dễ mắc sai lầm biến đổi: (x + y)2 – 9x2 = (x + y – 9x)(x +y + 9x) (Sai em cho 9x2 biểu thức thứ hai áp dụng đẳng thức thứ vào toán) Lỗi em chưa xác định biểu thức cho có dạng đẳng thức chưa, từ xác định sai biểu thức thứ nhất, biểu thức thứ hai vận dụng đẳng thức Để khắc phục lỗi giáo viên nhắc nhở em sau quan sát kỹ thấy biểu thức có dạng đẳng thức xác định rõ biểu thức thứ nhất, thứ hai đẳng thức áp dụng Lời giải đúng: (x + y)2 – 9x2 = (x + y)2 – (3x)2 = (x + y – 3x)(x + y + 3x) = (-2x+y)(4x+y) * Học sinh dễ sai áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc hay thêm dấu ngoặc Ví dụ 44b (SGK-Trang 20), nhiều em làm sau: (a+b)3 – (a – b)3 = (a+b – a – b)(a+ b)2 + (a+b) (a – b)+(a – b)2 = Để khắc phục lỗi này, học sinh chưa thành thục biến đổi, giáo viên nên yêu cầu em làm bước, biến đổi theo dạng tổng quát đẳng thức áp dụng Ở tập nên trình bày sau: (a+b)3 – (a– b)3 = (a+b) – (a– b) (a+b)2+(a+b)(a – b)+(a – b)2 bỏ ngoặc bên làm tiếp *Từ thực tiễn giải tốn học sinh tìm tịi cách giải hay, tránh sai lầm thường gặp giải Ví dụ : Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (Bài 47a, trang 22,sgk, toán tập 1) - Nếu học sinh chọn cách nhóm hạng tử (x2 – xy) (x – y) kết sai lầm nhóm trước nhóm mang dấu cộng Cụ thể sau: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1) - Nếu học sinh chọn cách nhóm hạng tử (x2 + xy) (– x – y) kết dễ dẫn Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” đến sai lầm nhóm – xy – y đặt dấu trừ đằng trước mà không đổi dấu hạng tử thứ hai ngoặc * Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp Ví dụ học sinh biết tính bình phương hiệu, lập phương hiệu Giáo viên đưa tốn: Phân tích thành nhân tử (Bài 26 -SBT-tr6) a) a6 – b6 ; b) x8 - 28 Hướng dẫn: Dựa vào tính chất lũy thừa, biến đổi biểu thức cho dạng đẳng thức học Giải: a) a6 – b6 = (a )  (b3 )2 = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) b) x8 - 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24) (x2)2 - (22)2  = (x4 + 24)(x2 - 22)(x2 + 22) = (x4 + 16)(x2 + 4)(x - 2)(x + 2) Tóm lại: Để rèn luyện kỹ làm học sinh áp dụng phương pháp này, học sinh phải thấy cần thiết phải học thuộc vận dụng thành thục đẳng thức đáng nhớ, từ hình thành kĩ nhận dạng đẳng thức tốn sử dụng đẳng thức cho thích hợp Khi thực hành lưu ý cho học sinh tránh sai lầm thường gặp c) Phương pháp nhóm hạng tử Trong phương pháp việc vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng để biến đổi đa thức thành nhân tử Thơng thương ta có cách biến đổi sau: - Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung - Nhóm nhằm xuất đẳng thức Ví dụ 1: (Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung ) Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử (SGK –Trang 21) Gợi ý: Các hạng tử có nhân tử chung khơng? Làm để xuất nhân tử chung? (nhóm (x2 – 3x) (xy – 3y) nhóm (x2 +xy) –(3x + 3y) thành nhóm phân tích tiếp) Giải: Cách 1: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) (Nhẩm thấy nhóm có chung nhân tử x–3) Trang Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” = x(x – 3) + y(x – 3) = (x – 3)(x + y) Cách 2: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x +3y) (Nhẩm thấy nhóm có chung nhân tử x+y) = x(x +y) -3(x + y) = (x – 3)(x + y) Ví dụ : (Nhóm nhằm xuất đẳng thức) Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Gợi ý: x2 – 2x + có dạng đẳng thức nào? (Dạng vế trái đẳng thức A2 – 2AB+B2 =(A–B)2) Lại có 4y2 = (2y)2 Vậy đa thức biến đổi dạng đẳng thức ? Giải: x2 – 2x +1– 4y2 = (x2 – 2x +1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1– 2y)(x –1+2y) Bằng ví dụ cụ thể dễ dàng hình thành cho học sinh cách phân tích theo phương pháp *Trong tập ?2 GV nên cho học sinh thảo luận theo nhóm để tìm cách giải ?2 Khi thảo luận nhóm, bạn đề bài: Hãy phân tích đa thức x – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Bạn Thái làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) Bạn Hà làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9) = (x – 9)(x3 + x) Bạn An làm sau: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 + x2)– (9x3 + 9x) = x2 (x2 + 1)– 9x (x2 + 1) = (x2 + 1)(x2– 9x) = x(x– 9) (x2 + 1) Hãy nêu ý kiến em lời giải bạn Qua tập học sinh thấy với phân tích ta làm nhiều cách khác nhau, cuối có chung kết Việc phân tích hồn thành kết phân tích cuối nhân tử khơng phân tích * Để củng cố khắc sâu thêm kiến thức cho học sinh giáo viên cho học sinh tìm lỗi sai lời giải cho trước sửa sai cho làm Ví dụ: Bạn Nam làm phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử sau x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) = (x – 2y)(x + 2y – 2) Theo em bạn Nam làm có khơng? Nếu sai sửa lại cho bạn Trang 10 Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” Từ việc tìm sai lầm Nam nhóm hạng tử –2x –4y đặt dấu “–“ trước ngoặc không đổi dấu –4y dẫn đến kết phân tích sai Học sinh lần khắc sâu lai quy tắc dấu ngoặc Khi thực hành giáo viên nên thường xuyên rút kinh nghiêm, nhắc nhở học sinh tránh mắc số sai lầm thường gặp như: Áp dụng sai tính chất phân phối phép nhân phép cộng, sai dấu hạng tử đưa hạng tử vào ngoặc mà đằng trước có dấu trừ Tóm lại : Trong phương pháp phân tích này, học sinh cần thấy khơng phải ta nhóm hạng tử cách tùy tiện, trước nhóm em phải quan sát, nhận xét, phán đốn xem nhóm thích hợp Thơng thường sau nhóm, nhóm phải xuất nhân tử chung xuất đẳng thức để tiếp tục phân tích d) Phân tích ĐTTNT cách Phối hợp nhiều phương pháp *Phương pháp chung: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức để làm tập dạng đơn giản Với học sinh giỏi em cịn phối hợp với số phương pháp khác để làm toán phức tạp Để có lời giải ngắn gọn học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp, thơng thường ta xét toán theo thứ tự phương pháp: + Đặt nhân tử chung; + Dùng đẳng thức; + Nhóm nhiều hạng tử ; Cũng giống dạng toán khác, thực hành giải tốn giáo viên ln cần trọng dạy học sinh cách quan sát, lỗi mà em thường mắc phải để cao kỹ giải toán đồng thời tránh sai lầm đáng tiếc Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 5x3 + 10x2y + 5xy2 b) x2 – 2xy + y2 – Gợi ý: Với đa thức xét xem cách phân tích đa thức theo thứ tự phương pháp :Đặt nhân tử chung ; Dùng đẳng thức? Nhóm nhiều hạng tử ? Hay phối hợp phương pháp trên? Giải a) 5x3 + 10x2y + 5xy2 = 5x(x2 + 2xy + y2)= 5x(x + y)2 b) x2 – 2xy + y2 – = (x2 – 2xy + y2) – = (x – y)2 – 32 = (x – y – 3)(x – y + 3) Trang 11 Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” Ví dụ Tính nhanh giá trị biểu thức P= x2+2x +1 – y2 x = 94,5 y = 4,5 (Bài ?2a – trang 23 sgk Toán tập 1) Gợi ý: Phân tích đa thức x2 + 2x + – y2 thành nhân tử thay số vào tính Nhìn vào biểu thức P ta thấy bước đầu dùng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Vậy dùng phương pháp nhóm hạng tử Nhóm cho thích hợp ? Giải: P = x2 + 2x + – y2 = (x2+ 2x + 1) – y2 = (x+1)2– y2 = (x+1– y)(x+1+ y) Thay x = 94,5 y = 4,5 vào biểu thức P ta được: P = (94,5 + – 4,5) (94,5 + + 4,5) = 91.100 = 9100 * Để rèn luyện tư duy, linh hoạt, sáng tạo suy nghĩ định hướng cách làm, giáo viên cho học sinh làm số tập phức tạp hơn, nâng cao lớp có học sinh giỏi Ví dụ: Bài tập: Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-trang SBT toán tập 1) Hướng dẫn: Cách chứng minh đẳng thức thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Vậy cần biến đổi vế trái cho giống với vế phải, vào hạng tử, ta thấy áp dụng HĐT thứ hệ HĐT thứ (A+ B)3 = A3+B3 + 3AB(A + B) Giải: Vì x + y + z = � z = – (x + y) suy z3 = -(x+y)3 Do ta có: x3 + y3 + z3 = x3 + y3 - (x+y)3 = x3 + y3 - x3 + y3 + 3xy(x + y) = x3 + y3 - x3 - y3 - 3xy(x + y) =- 3xy(x+y) = -3xy (-z) = 3xyz (vì x+y = -z) Vậy với x + y + z = ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz (ĐPCM) * Trong chương trình SGK lớp hành giới thiệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên phần tập SGK SBT hay số loại sách tham khảo lại có tập áp dụng phương pháp để giải, ví dụ 53, 57 (SGK Trang 24, 25 ; 35, 36 (SBT trang 7) Nên việc mở rộng kiến thức, hình thành cho em số phương pháp phân tích khác điều cần thiết Vì để mở rộng kiến thức cho em học sinh giỏi, thêm vào tiết luyện tập tiết học bồi dưỡng nhu cầu trường ôn luyện phương Trang 12 Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giảng dạy rèn luyện cho học sinh số phương pháp khác : Phương pháp tách hạng tử, Phương pháp thêm bớt hạng tử, Phương pháp đặt biến phụ, Sử dụng định lí Bezout hay sử dụng phương pháp hệ số bất định vào phân tích đa thức thành nhân tử (Chỉ áp dụng với lớp mà em chủ yếu học sinh giỏi) Ngoài ra, giáo viên khuyến khích học sinh tìm đọc thêm tài liệu tham khảo mơn Tốn : Tốn nâng cao chuyên đề Đại số 8, Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 8, Nâng cao phát triển Tốn hướng dẫn để em tự học nhà V Hiệu thực sáng kiến kinh nghiệm: Tôi ứng dụng đề tài vào thực giảng dạy, ôn tập học sinh lớp trường Kết mà thu sau: - Đa số em biết phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Các em học sinh có học lực yếu làm số phân tích đa thức thành nhân tử dạng đơn giản Các em học lực trung bình, làm tương đối thành thục tốn phân tích áp dụng phương pháp bản, gặp phải sai lầm thường gặp em học sinh khóa trước bước đầu em làm số tập nâng cao có áp dụng phương pháp khác Các em có học lực giỏi, ngồi việc làm tốt dạng tốn bản, nhiều em hào hứng học thêm số phương pháp phân tích khác, em biết vận dụng thông minh, sáng tạo để làm tốn hay khó địi hỏi tư cao Tỉ lệ điểm trung bình, khá, giỏi tăng lên, tỉ lệ điểm yếu giảm xuống Cụ thể, với đề kiểm tra khảo sát sau học xong dạng tốn Phân tích đa thức thành nhân tử, kết thu sau: Năm học 2018- 2019 Điểm 9; 10 Điểm 7; 32 Điểm 5; 28 Điểm 3; 27 Điểm 0;1;2 19 (Khảo sát 108 hsinh) 2019- 2020 = 1,8 % = 29,7 % = 25,9 % = 25 % = 17,6 % 28 24 19 bài (Khảo sát 84 = 8,3 % = 33,3 % = 28,6 % = 22,6 % = 7,1 % hsinh) Như số điểm giỏi tăng 6,5%, số điểm tăng 3,4%, số điểm trung bình tăng 2,7%, số điểm yếu giảm 2,4%, số điểm giảm 10,5% C KẾT LUẬN – KHUYẾN NGHỊ : Trang 13 Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” I Kết luận: Qua giảng dạy mơn tốn thực nghiệm đề tài “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh lớp 8, nhận thấy nội dung thiết thực, em tích cực học tập hứng thú giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn liên quan Thơng qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, rút số kinh nghiệm sau: - Để học sinh có kỹ thực hành giải tốn tốt việc rèn luyện thường xun liên tục em cần thiết Giáo viên cần quan tâm đến đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh yếu kém, phải thường xuyên đôn đốc, nhắc nhở, kịp thời sửa sai cho em kịp thời động viên, khen thưởng tiến em Xây dựng học sinh thói quen tự học, tìm tịi sáng tạo Tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập - Toán học đa dạng phong phú, nên phía giáo viên cần rèn cho thói quen đọc sách, tự học, tự mở rộng kiến thức thân, coi việc làm thường xuyên, liên tục Ngoài việc nắm vững kiến thức bản, giáo viên phải có hiểu biết định dạng toán nâng cao, mở rộng - Giáo viên cần nắm bắt kịp thời việc đổi phương pháp dạy học, tích cực học hỏi, trao đổi, dự đồng nghiệp, đặc biệt chuyên đề đổi phương pháp cấp tổ chức, tìm phương pháp giảng dạy tốt để có học hay hút học sinh II Khuyến nghị, đề xuất: - Để nâng cao trình độ chuyên môn cho cán giáo viên, để giáo viên kịp thời áp dụng phương pháp đổi dạy học, mong cấp lãnh đạo thường xuyên tổ chức chuyên đề đổi phương pháp dạy học thông qua tiết học cụ thể giáo viên giỏi, giàu kinh nghiệm giảng dạy thực Tôi thấy chuyên đề thực cần thiết bổ ích, giúp giáo viên tháo gỡ nhiều khó khăn thực đổi phương pháp dạy học Trên tơi trình bày nội dung, trình thực đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh lớp Tuy nhiên kinh nghiệm giảng dạy, lực chuyên môn tơi cịn hạn chế nên q trình nghiên cứu, thực đề tài số chỗ chưa hợp lí, cịn Trang 14 Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” khiếm khuyết Vì thân tơi mong góp ý, xây dựng đồng chí, bạn đồng nghiệp giúp đề tài hoàn thiện Tôi xin cam đoan đề tài sáng kiến kinh nghiệm tự viết, không chép Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Tơi xin trân thành cảm ơn Trang 15 Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” TÀI LIỆU THAM KHẢO S¸ch gi¸o khoa To¸n (nhà xuất bn giỏo dc) Sách giáo viên Toán (nh xut bn giỏo dc) Sách tập Toán (nh xut giáo dục) Nâng cao phát triển Toán (nhà xuất giáo dục) Ôn tập Đại số (nhà xuất giáo dục) Toán nâng cao chuyên đề Đại số (nhà xuất giáo dục) Kiến thức nâng cao Toán (nhà xuất Hà Nội) Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số (nhà xuất ĐH quốc gia Hà Nội) Trang 16 Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tớch a thc thnh nhõn t ý kiến đánh giá, nhận xét Hội đồng khoa học sở Ngày tháng năm 2020 Chủ tịch hội đồng đánh giá xếp loại Hội đồng khoa học ngành giáo dục đào tạo huyện ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………… Trang 17 Đề tài SKKN: “Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhõn t Ngày năm 2020 Chủ tịch hội đồng Trang 18 th¸ng ... vững kiến thức: Thế phân tích đa thức thành nhân tử, cách thức phân tích đa Trang Đề tài SKKN: ? ?Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử? ?? thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung nhận... luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử? ?? Các biện pháp cụ thể: Hình thành khắc sâu khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức. .. tốn phân tích Trang Đề tài SKKN: ? ?Rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử? ?? đa thức thành nhân tử có em chưa nắm khái niệm, mơ hồ phương pháp phân tích, chưa xác định rõ phân tích đa thức thành