Dáng điệu toàn cục của ma trận ngẫu nghiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRỊNH HOÀNG DŨNG DÁNG ĐIỆU TOÀN CỤC CỦA MA TRẬN NGẪU NHIÊN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRỊNH HOÀNG DŨNG DÁNG ĐIỆU TOÀN CỤC CỦA MA TRẬN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết XS&TK Tốn học Mã số: 8460112.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2019 Cơng trình hồn thành tai: Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Phản biện 1: TS Tạ Công Sơn Phản biện 2: PGS.TS Ngơ Hồng Long Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Vào lúc: 14h00 ngày 31 tháng 12 năm 2019 Có thể tìm hiểu luận văn thêm tại: Trung tâm Thư viện đại học Quốc Gia Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Hữu Dư người tận tình hướng dẫn để học viên hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, gửi lời kính chúc sức khỏe đến tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc gia Hà Nội dạy bảo học viên tận tình suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 07 tháng 12 năm 2019 Học viên Trịnh Hoàng Dũng i Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI MỞ ĐẦU iii Giới thiệu mơ hình kết Kiến thức chuẩn bị 2.1 Hội tụ yếu độ đo xác suất 2.2 Hội tụ độ đo xác suất ngẫu nhiên 2.3 Định lý giới hạn trung tâm cho Martingale Ma trận ba đường chéo ngẫu nhiên độ đo phổ 10 3.1 Mơ hình ma trận ba đường chéo 10 3.2 Độ đo phổ ma trận ba đường chéo 11 Sự hội tụ hầu chắn tới phân phối giới hạn 14 4.1 Trường hợp βN → ∞ 14 4.2 Trường hợp βN → 2c ∈ (0, ∞) 16 4.3 Sự hội tụ hầu chắn 18 Định lý giới hạn trung tâm 20 5.1 Trường hợp hàm thử đa thức 20 5.2 Trường hợp hàm thử hàm khả vi liên tục 23 Tài liệu tham khảo 29 ii LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên lĩnh vực nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, tốn tài chính, tốn lý Ma trận ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian ma trận Khi đặc trưng ma trận trở thành đại lượng ngẫu nhiên Mục đích lý thuyết ma trận ngẫu nhiên nghiên cứu phân phối dáng điệu tiệm cận đặc trưng ma trận giá trị riêng, vector riêng, định thức, đa thức đặc trưng Luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận toàn cục lớp ma trận beta ensembles, cụ thể ma trận beta Laguerre ensembles (beta Wishart ensembles) trường hợp tham số β biến thiên Khi β cố định, dáng điệu toàn cục dáng điệu cục beta ensembles nói chung, β -Laguerre ensembles nói riêng nghiên cứu tương đối đầy đủ Tuy nhiên toán cho beta thay đổi tốn địi hỏi nhiều ý tưởng nghiên cứu Nó có ý nghĩa cầu nối lý thuyết cổ điển đại Beta ensembles định nghĩa thông qua hàm mật độ đồng thời giá trị riêng Do chúng nghiên cứu chủ yếu phương pháp giải tích Tuy nhiên, với ba mơ hình cổ điển: beta Hermite, beta Laguerre beta Jacobi, mô hình ma trận ngẫu nhiên ba đường chéo đưa nhóm nghiên cứu trường MIT năm 2000 Kể từ đó, dựa mơ hình ma trận ngẫu nhiên, nhiều tính chất ba dạng beta ensembles phát Tuy nhiên, phải nói tính chất thiết lập cho tham số β cố định Bài toán cho β thay đổi iii nghiên cứu gần Với mơ hình beta Hermite, dáng điệu tồn cục dáng điệu cục nghiên cứu nhóm nghiên cứu Nhật Bản Pháp Trong dạng beta Laguerre có kết ban đầu chưa có kết beta Jacobi Trong luận văn tập trung nghiên cứu dáng điệu toàn cục dạng ma trận beta Laguerre β thay đổi dựa ý tưởng phương pháp sử dụng nghiên cứu beta Hermite Kết phát biểu Định lý 1.1 Định lý 1.2 Luận văn gồm có chương: • Chương Giới thiệu mơ hình kết Chương đưa mơ hình nghiên cứu nêu kết luận văn Các kết đưa Định lý 1.1 Định lý 1.2 • Chương Kiến thức chuẩn bị Chương tổng hợp số kiến thức liên quan đến đề tài: - Hội tụ yếu độ đo xác suất - Hội tụ độ đo xác suất ngẫu nhiên - Định lý giới hạn trung tâm cho Martingale • Chương Ma trận ba đường chéo ngẫu nhiên độ đo phổ Tiếp theo nội dung Chương trình bày mơ hình ma trận ba đường chéo ngẫu nhiên độ đo phổ Đây mơ hình sử dụng để chứng minh kết • Chương Sự hội tụ hầu chắn tới phân phối giới hạn Nội dung Chương trình bày nghiên cứu dáng điệm tiệm cận phân phối thực nghiệm LN thông qua mô men trường hợp β thay đổi Kết chương chứng minh cho Định lý 1.1 iv • Chương Định lý giới hạn trung tâm Trong chương này, thiết lập định lý giới hạn trung tâm trường hợp hàm thử đa thức trường hợp hàm thử hàm khả vi liên tục Từ kết thu được, hoàn thành chứng minh Định lý 1.2 Mục đích học viên tìm hiểu, nghiên cứu dáng điệu toàn cục lớp ma trận beta Laguerre ensembles với tham số β thay đổi, phương pháp nghiên cứu dựa nghiên cứu công bố báo khoa học trích dẫn trang cuối luận văn Học viên thu số kết có ý nghĩa Mặc dù cố gắng song hiểu biết thời gian cịn hạn chế, luận văn tránh thiếu sót Học viên mong nhận dẫn tận tình Thầy, Cơ trường ý kiến đóng góp tồn thể bạn đọc cho luận văn học viên hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2019 Học viên Trịnh Hoàng Dũng v Chương Giới thiệu mơ hình kết Beta Laguerre (β -Laguerre) ensembles cách gọi họ N điểm đường thẳng thực có hàm mật độ đồng thời cho N β |λj − λi | (β) ZN,M i 0), (1.1) i=1 (β) β > M > N − tham số, ZN,M số chuẩn hóa Với hai trường hợp đặc biệt tham số β = 1, 2, phương trình tương ứng hàm mật độ đồng thời giá trị riêng ma trận Wishart ma trận Laguerre Với β > 0, họ biết đến hàm mật độ đồng thời giá trị riêng ma trận ba đường chéo JN = BN (BN )t với BN ma trận hai đường chéo, bao gồm phần tử độc lập có phân phối sau:  BN = √  χβM χ χ  −1)  ,  β(N −1) β(M  βM  χβ χβ(M −N +1) χk kí hiệu phân phối với k bậc tự do, (BN )t ma trận chuyển vị BN Ma trận Wishart (tương ứng, ma trận Laguerre) ma trận ngẫu nhiên có dạng M −1 Gt G (tương ứng, M −1 G∗ G), G ma trận cỡ M × N tạo phần tử độc lập phân phối với phân phối Chuẩn tắc thực (tương ứng, phức) Ở G∗ ký hiệu ma trận chuyển vị liên Chương Giới thiệu mơ hình kết hợp G Các mơ hình ma trận ngẫu nhiên định nghĩa theo cách khác dựa độ đo xác suất bất biến tập hợp ma trận đối xứng (tương ứng, ma trận Hermite) Dáng điệu tiệm cận giá trị riêng nghiên cứu kỹ từ lâu Chúng ta biết N → ∞ với N/M → γ ∈ (0, 1), phân phối thực nghiệm LN = N N δλi , i=1 hội tụ yếu tới phân phối Marchenko–Pastur với tham số γ , hầu chắn Ở δλ kí hiệu độ đo Dirac λ Hình ?? minh hoạ cách trực quan hội tụ Một cách chặt chẽ mặt tốn học, hội tụ hầu chắn biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian độ đo xác suất với tô pô yếu Tuy nhiên, hội tụ tương đương với khẳng định sau (xem Chương 2): với hàm liên tục, bị chặn f f (x)dLN (x) = N N f (λi ) → f (x)mpγ (x)dx N → ∞, h.c.c, i=1 mpγ (x) mật độ phân phối Marchenko–Pastur với tham số γ , mpγ (x) = 2πγx (λ+ − x)(x − λ− ), (λ− < x < λ+ ), λ± = (1 ± √ γ)2 Bài tốn dạng luật số lớn lý thuyết xác suất Và câu hỏi tự nhiên dao động xung quanh điểm giới hạn, toán định lý giới hạn trung tâm Đây hai toán nghiên cứu dáng điệu tồn cục mơ hình ma trận ngẫu nhiên Và mơ hình β -Laguerre ensembles này, hai tốn giải [6] Cũng với mơ hình này, nhiều tính chất khác nghiên cứu Chúng ta có tham khảo báo sau [10, 15] Chú ý nghiên cứu đó, tham số β cố định Trong luận văn này, nghiên cứu luật số lớn định lý giới hạn trung tâm mô hình β -Laguerre ensembles Tuy nhiên, tham số Chương Sự hội tụ hầu chắn tới phân phối giới hạn Khi đó, với r ∈ N, N → ∞ với βN → 2c, E[ LN , xr ] = E tr[(JN )r ] = E[(JN )r (1, 1)] → νγ,c , xr N Định lý 4.3 tương đương với Định lý 4.5 Bây chuyển sang mơ hình ma trận Định lý 4.5 Đặt J˜N := B˜N (B˜N )t ma trận Jacobi, χ˜ ˜N =  B  2α+2+2κ(N −1) χ˜2κ(N −1)  χ˜2α+2+2κ(N −2)  , χ˜2κ χ˜2α+2 (với κ = β/2 α = β2 (M − N + 1) − = κ(M − N + 1) − 1) Khi đó, mật độ đồng thời giá trị riêng J˜N tỷ lệ với N ˜ α e−λ˜ i , λ i ˜ 2κ |∆(λ)| ˜ i > λ i=1 Gọi µ˜N độ đo phổ J˜N mr (N, κ, α) = E[ µ ˜N , xr ] = E[(J˜N )r (1, 1)] Khi mr (N, κ, α) thỏa mãn mối quan hệ đối ngẫu sau Bổ đề 4.4 (cf [6, Theorem 2.11]) Hàm số mr (N, κ, α) đa thức N, κ α thỏa mãn hệ thức sau mr (N, κ, α) = (−1)r κr mr (−κN, κ−1 , −α/κ) Dựa mối quan hệ đối ngẫu trên, ta xác định giới hạn mr (N, κ, α) trường hợp κN → c Với N cố định, ta xét giới hạn ˜N với tham số (N, κ, aκ) κ → ∞, a cố định, κ−1/2 B √  a√+ N − √   N −1 a+N −2 ˜  =: DN (a) √ B → N   κ √ √ a 17 Chương Sự hội tụ hầu chắn tới phân phối giới hạn Ở hội tụ theo Lq xảy với phần tử ma trận Vì thế, lim κ−r mr (N, κ, aκ) = lim E[κ−r (J˜N )r (1, 1)] = (DN (a)DN (a)t )r (1, 1) κ→∞ κ→∞ Tiếp theo, dựa đối ngẫu, ta suy lim N →∞,κN →c mr (N, κ, α) = lim (−1)r κ−r mr (−c, κ, −ακ) κ→∞ Chúng ta xây dựng ma trận vô hạn sau cách thay N ↔ −c, a ↔ −α thay đổi dấu phần tử bên bậc hai,  √ α √+ c + √   c+1 α √+ c + √  Wα,c =    c+2 α+c+3 t l (α, c) = (J )r (1, 1) Khi Đặt Jα,c = Wα,c Wα,c r α,c lim mr (N, κ, α) = lim (−1)r κ−r mr (−c, κ, −ακ) = lr (α, c) κ→∞ κN →c Tổng hợp lập luận phía trên, suy kết sau Định lý 4.5 Với α > −1 c ≥ cố định cho trước, trường hợp βN → 2c, E tr((J˜N )r ) = E[(J˜N )r (1, 1)] → µα,c , xr , N với r ∈ N Ở nhắc lại µα,c độ đo phổ Jα,c với mật độ đưa Bổ đề 3.1 Phân phối giới hạn trường hợp tính [1] phương pháp khác 4.3 Sự hội tụ hầu chắn Trong mục này, hoàn thành chứng minh Định lý 1.1 cách chứng minh hội tụ hầu chắn sau 18 Chương Sự hội tụ hầu chắn tới phân phối giới hạn Bổ đề 4.6 Với r ∈ N, N β → 2c ∈ (0, ∞], SN := 1 tr[(JN )r ] − E tr[(JN )r ] → 0, h.c.c N N Ý tưởng cố định r, ta có pi := (JN )r (i, i) độc lập với pj = (JN )r (j, j), |i − j| ≥ Dr , Dr số Do ta viết SN dạng tổng Dr tổng biến ngẫu nhiên độc lập SN = N (p1+iDr − E[p1+iDr ]) + · · · + i N (pDr +iDr − E[pDr +iDr ]) i Đối với tổng biến ngẫu nhiên độc lập, sử dụng kết sau để chứng minh hội tụ hầu chắn Kết tìm thấy chứng minh Định lý 2.3 [17] N Bổ đề 4.7 Giả sử với N , biến ngẫu nhiên {ξN,i }i=1 độc lập sup sup E[(ξN,i )4 ] < ∞ N 1≤i≤ Giả thiết thêm N /N N (4.2) N → d ∈ (0, ∞) N → ∞ Khi N → ∞, N ξN,i − E[ξN,i ] → 0, h.c.c i=1 Điều kiện mô men (4.2) dễ dàng kiểm tra cho pi trường hợp βN → 2c ∈ (0, ∞] Từ ta thu hội tụ hầu chắn mong muốn 19 Chương Định lý giới hạn trung tâm 5.1 Trường hợp hàm thử đa thức Trong mục này, thiết lập định lý giới hạn trung tâm hàm thử đa thức Vì bước hồn tồn tương tự báo [17] xét trường hợp Gaussian beta ensembles, nên luận văn phác thảo bước Khơng tính tổng qt, giả sử M = N/γ , γ ∈ (0, 1) cố định Gọi BN ma trận với  c1 √ d γ  c2 BN = √  βN   , dN −1 cN ci ∼ χ βN −β(i−1) , γ di ∼ χβN −βi Khi c21 c1 d1 + d2  c d c γ  1 = BN (BN )t = βN   JN   c2 d2   2 cN −1 dN −1 cN + dN −1 Nhắc lại với r ≥ cố định, mô men bậc r µN đa thức {ci , di }1≤i≤ r+1 Nó thực đa thức {c2i , d2i }, nghĩa r µN , x r γr = (JN ) (1, 1) = (βN )r r i 2ζi c2η i di , a(η, ζ) η,ζ i=1 vector nguyên không âm η = (η1 , , ηr ) ζ = (ζ1 , , ζr ) thỏa mãn 20 Chương Định lý giới hạn trung tâm r i=1 (ηi + ζi ) = r Sau đó, từ cơng thức mơ men cho phân phối bình phương, kết luận rằng: Bổ đề 5.1 (i) Với r ∈ N, r r E[ µN , x ] = k=0 Rr;k (β) , (βN )k Rr;k (β) đa thức β có bậc cao khơng q k (ii) Với r, s ∈ N, r+s r E[ µN , x s µN , x ] = k=0 Qr,s;k (β) , (βN )k Qr,s;k (β) đa thức β có bậc cao khơng q k Cho p đa thức bậc m Từ biểu thức trên, rút cơng thức tổng qt cho Var[ µN , p ], sau cơng thức tổng qt cho Var[ LN , p ] cách sử dụng mối liên hệ phương trình (3.4) Tương tự trường hợp Gaussian beta ensembles, công thức cho Var[ LN , p ] đơn giản hóa sau Bổ đề 5.2 Cho p đa thức bậc m Khi phương sai Var[ LN , p ] biểu diễn dạng 2m+1 Var[ LN , p ] = k=2 p;k (β) Hệ 5.3 β p;k (β) , (βN )k đa thức theo β với bậc cao không (k − 2) (i) Khi βN → ∞, βN Var[ LN , p ] → σp2 (ii) Khi βN → 2c, βN Var[ LN , p ] → σp,c 21 Chương Định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.4 [17] đưa điều kiện tổng quát để định lý giới hạn trung tâm cho { LN , p } xảy trường hợp ma trận Jacobi có phần tử độc lập Cơng cụ lập luận định lý giới hạn trung tâm cho martingale (Định lý 2.6) Kết dễ dàng mở rộng cho ma trận Jacobi dạng Wishart {JN } cách chọn họ {Fk = σ{ci , di : i = 1, , k}}k Sự hội tụ phương sai hai điều kiện đủ Điều kiện lại giống với trường hợp Gaussian beta ensembles, khơng đề cập chi tiết Từ thu định lý giới hạn trung tâm sau hàm thử đa thức Định lý 5.4 Cho p đa thức Khi ta có khẳng định sau (i) Khi βN → ∞, d βN ( LN , p − E[ LN , p ]) → N (0, σp2 ) (ii) Khi βN → 2c, d βN ( LN , p − E[ LN , p ]) → N (0, σp,c ) Chú ý 5.5 (i) Với β cố định, kết sau chứng minh [6]: N → ∞, N LN , p − N mpγ , p − −1 β d µ1 , p → N (0, σp2 /β), µ1 cho 1 µ1 = δλ− + δλ+ + 4 2π (λ+ − x)(x − λ− ) 1(λ− ,λ+ ) (dx) (ii) Sử dụng kết trường hợp β = 1, 2, suy phương sai giới hạn trường hợp βN → ∞ có biểu diễn (cf [13, Theorem 7.3.1]) σf2 = 2π γ+ γ− γ+ γ− f (y) − f (x) y−x 4γ − (x − γm )(y − γm ) × dxdy, 4γ − (x − γm )2 4γ − (y − γm )2 γm = (γ− + γ+ )/2 = (1 + γ) 22 Chương Định lý giới hạn trung tâm 5.2 Trường hợp hàm thử hàm khả vi liên tục Để mở rộng định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp hàm thử hàm khả vi liên tục thuộc lớp C , dùng đến dạng bất đẳng thức (BĐT) Poincaré Xét họ β -Laguerre ensembles với hàm mật độ đồng thời tỷ lệ với N λαi e−ηλi , β |∆(λ)| i=1 α = β (M − N + 1) − 1, η > Từ hàm mật độ đồng thời này, suy BĐT Poincaré cách sử dụng kết sau Tuy nhiên, phương pháp yêu cầu α > Bổ đề 5.6 ([4, Proposition 2.1]) Gọi dν = e−V dx độ đo xác suất tập lồi mở Ω ⊂ RN Giả sử V khả vi liên tục hai lần hoàn toàn lồi Ω Khi đó, với hàm Lipschitz F Ω, Varν [F ] = F dν − F dν (∇F )t Hess(V )−1 ∇F dν ≤ Ở Hess(V ) ký hiệu ma trận Hessian V Đặt Ω = {(λ1 , , λN ) : < λ1 < · · · < λN } ⊂ RN Gọi ν phân phối giá trị riêng thứ tự β -Laguerre ensembles, nghĩa độ đo xác suất Ω với hàm mật độ có dạng N λαi e−ηλi dλ1 dλN = e−V dλ1 dλN , β dν = const × |∆(λ)| i=1 N N log λi − λi − α V = const + η i=1 i=1 β log |λj − λi | i=j Ta dễ dàng tính phần tử ma trận Hessian V sau α ∂ 2V = +β ∂λi λi j=i , (λj − λi )2 ∂ 2V = −β ∂λi ∂λj (λj − λi )2 23 Chương Định lý giới hạn trung tâm Quan sát Hess(V ) ≥ D = diag( λα2 ) Ở với hai ma trận đối xứng i thực A B , ký hiệu A ≥ B để A − B ma trận xác định khơng âm Từ ta có Hess(V )−1 ≤ D−1 Và đó, sử dụng Bổ đề 5.6 với F = N N f (λi ), i=1 cho hàm khả vi liên tục f , thu BĐT Varν [F ] ≤ (∇F )t Hess(V )−1 ∇F dν ≤ (∇F )t D−1 ∇F dν BĐT viết lại dạng Var[ LN , f ] ≤ E[ LN , (λf (λ))2 ] αN (5.1) Đây dạng BĐT Poincaré cho β -Laguerre ensembles luận văn Hạn chế bất đẳng thức điều kiện α dương, điều kiện mà khơng có trường hợp βN → 2c c bé Tiếp theo ta sử dụng cách tiếp cận khác dựa mô hình ma trận ngẫu nhiên Jacobi để loại bỏ hạn chế đưa bất đẳng thức khác Hãy bắt đầu với vài khái niệm Một biến ngẫu nhiên thực X thỏa mãn BĐT Poincaré tồn số c > cho với hàm trơn f : R → R, ta có Var[f (X)] ≤ cE[f (X)2 ] Ở đây, cụm từ hàm trơn để hàm số thoả mãn điều kiện ta cần Theo định nghĩa, rõ ràng X thỏa mãn BĐT Poincaré với số c, αX thỏa mãn BĐT Poincaré với số cα2 , với số α khác không Bổ đề 5.7 Phân phối χk với k bậc tự thỏa mãn BĐT Poincaré với c = 1, nghĩa là, Var[f (X)] ≤ E[f (X)2 ], 24 X ∼ χk Chương Định lý giới hạn trung tâm Chứng minh Hàm mật độ phân phối với k bậc tự cho k 2 −1 Γ( k2 ) x2 xk−1 e− , (x > 0) Do đó, k ≥ 1, ta áp dụng Bổ đề 5.6 để suy kết luận Tiếp theo, xét đến trường hợp < k < Đặt Y = X k Khi đó, hàm mật độ xác suất Y cho yk const × exp(− ), (y > 0) Bằng cách sử dụng Bổ đề 5.6 với V = const + yk , thu BĐT sau k2 E[Y 2− k g (Y )2 ] Var[g(Y )] ≤ 2−k Với f (x) cho, đặt g(y) = f (y k ) Khi ta thấy Var[f (X)] = Var[g(Y )] ≤ k2 E[Y 2− k g (Y )2 ] = E[f (X)2 ] ≤ E[f (X)2 ] 2−k 2−k Điều có nghĩa X thỏa mãn BĐT Poicaré với số c = Chúng ta cần kết sau: Bổ đề 5.8 ([11, Corollary 5.7]) Giả sử Xi , (i = 1, , k), thỏa mãn BĐT Poicaré với số ci Giả thiết thêm biến ngẫu nhiên {Xi } độc lập với Khi đó, hàm trơn g : Rk → R, Var[g(X1 , , Xk )] ≤ (max ci )E[|∇g(X1 , , Xk )|2 ] i Gọi Y = (ymn ) ma trận thực cỡ M × N , X = Y t Y = (xij ) Đối với hàm khả vi liên tục f : R → R, đặt g = g((ymn )) = tr(f (X)) Khi đạo hàm riêng g biểu thị sau 25 Chương Định lý giới hạn trung tâm Bổ đề 5.9 (cf Eq (7.2.5) in [13]) Ta có ∂g ∂ymn = 2Y f (X) M ×N Hệ m,n ∂g ∂ymn N t λi f (λi )2 = tr(Y f (X)f (X)Y ) = tr(Xf (X)) = i=1 Ở λ1 , , λN giá trị riêng X Kết hợp ba bổ đề trên, suy dạng khác BĐT Poincaré cho β -Laguerre ensembles Định lý 5.10 Giả thiết f hàm khả vi liên tục Khi với họ β Laguerre ensembles (3.1), ta có BĐT sau Var[ LN , f ] ≤ E[ LN , xf (x)2 ] βM N (5.2) BĐT Poincaré công cụ quan trọng để mở rộng định lý giới hạn trung tâm cho hàm thử thuộc lớp C Bây chứng minh Định lý 1.2 Chứng minh Định lý 1.2 Giả thiết f hàm khả vi liên tục đạo hàm f có tăng trưởng đa thức Điều có nghĩa f ∈ L2 ((1 + x2 )dνγ,c (x)) Để thuận tiện, nhắc lại νγ,∞ biểu thị phân phối Marchenko–Pastur với tham số γ Chúng ta sử dụng tính chất sau độ đo xác định mô men (gọi Định lý M Riesz’s(1923) [2]): độ đo µ xác định mơ men, tập đa thức trù mật L2 ((1 + x2 )dµ(x)) Do đó, ta lấy dãy đa thức {pk } hội tụ đến f L2 ((1 + x2 )dνγ,c (x)) Ta suy x(pk − f )2 dνγ,c (x) ≤ (pk − f )2 (1 + x2 )dνγ,c (x) → 0, 26 k → ∞ Chương Định lý giới hạn trung tâm Đặt Pk nguyên hàm pk Vì Pk đa thức, với k cố định, N → ∞, theo định lý giới hạn trung tâm hàm thử đa thức, ta có XN,k := d βN ( LN , Pk − E[ LN , Pk ]) → N (0, σP2 k ,c ), Var[XN,k ] → σP2 k ,c (5.3) Đặt YN = √ βN ( LN , f − E[ LN , f ]) Theo BĐT Poincaré (5.2), Var[YN − XN,k ] ≤ 4N E[ LN , x(f − pk )2 ], M (5.4) từ ta suy lim lim sup Var[YN − XN,k ] ≤ 4γ lim νγ,c , x(f − pk )2 = k→∞ N →∞ k→∞ Ở sử dụng tính chất với hàm thử liên tục g với tăng trưởng đa thức, E[ LN , g ] → νγ,c , g Cuối cùng, định lý giới hạn trung tâm cho YN hệ phương trình (5.3) (5.4) cách sử dụng kết tổng qt mà tìm thấy [12] [16] Định lý chứng minh ∞ Bổ đề 5.11 Gọi {YN }∞ N =1 {XN,k }N,k=1 biến ngẫu nhiên thực với kỳ vọng không Giả thiết d (i) Với k , N → ∞, XN,k → N (0, σk2 ), Var[XN,k ] → σk2 ; (ii) lim lim sup Var[XN,k − YN ] = k→∞ N →∞ Khi giới hạn σ = lim σk2 tồn tại, N → ∞ ta có k→∞ d YN → N (0, σ ), 27 Var[YN ] → σ Chương Định lý giới hạn trung tâm Cơng trình khoa học [1] Trinh, H.D and Trinh, K.D.: Beta Laguerre ensembles in global regime, arXiv preprint, arXiv:1907.12267 (2019) 28 Tài liệu tham khảo [1] Allez, R., Bouchaud, J.P., Majumdar, S.N., Vivo, P.(2013), "Invariant β -Wishart ensembles, crossover densities and asymptotic corrections to the Marˇcenko-Pastur law" J Phys A 46(1), 015,001, 22 URL https: //doi.org/10.1088/1751-8113/46/1/015001 [2] Bakan, A.G.(2001), "Polynomial density in Lp (R, dµ) and representation of all measures which generate a determinate Hamburger moment problem" In: Approximation, optimization and mathematical economics (Pointe-à-Pitre, 1999), pp 37–46 Physica, Heidelberg [3] Billingsley, P.(1995), Probability and measure, third edn Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics John Wiley & Sons, Inc., New York A Wiley-Interscience Publication [4] Bobkov, S.G., Ledoux, M.(2000)," From Brunn-Minkowski to Brascamp-Lieb and to logarithmic Sobolev inequalities" Geom Funct Anal 10(5), 1028–1052 URL http://dx.doi.org/10.1007/ PL00001645 [5] Dumitriu, I., Edelman, A.(2002), "Matrix models for beta ensembles" J Math Phys 43(11), 5830–5847 URL http://dx.doi.org/10.1063/ 1.1507823 [6] Dumitriu, I., Edelman, A.(2006), "Global spectrum fluctuations for the β -Hermite and β -Laguerre ensembles via matrix models" 29 J TÀI LIỆU THAM KHẢO Math Phys 47(6), 063,302, 36 URL http://dx.doi.org/10.1063/ 1.2200144 [7] Duy, T.K.(2018), "On spectral measures of random Jacobi matrices" Osaka J Math 55(4), 595–617 URL https://projecteuclid.org/ euclid.ojm/1539158661 [8] Duy, T.K., Shirai, T.(2015), "The mean spectral measures of random Jacobi matrices related to Gaussian beta ensembles" Electron Commun Probab 20, no 68, 13 URL http://dx.doi.org/10.1214/ECP v20-4252 [9] Ismail, M.E.H., Letessier, J., Valent, G(1988), "Linear birth and death models and associated Laguerre and Meixner polynomials" J Approx Theory 55(3), 337–348 URL https://doi.org/10.1016/ 0021-9045(88)90100-1 [10] Jacquot, S., Valkó, B.(2011), "Bulk scaling limit of the Laguerre ensemble" Electron J Probab 16, no 11, 314–346 DOI 10.1214/EJP v16-854 URL https://doi.org/10.1214/EJP.v16-854 [11] Ledoux, M.(2001): The concentration of measure phenomenon, Mathematical Surveys and Monographs, vol 89 American Mathematical Society, Providence, RI (2001) [12] Nakano, F., Trinh, K.D.(2018), "Gaussian beta ensembles at high temperature: eigenvalue fluctuations and bulk statistics" J Stat Phys 173(2), 295–321 DOI 10.1007/s10955-018-2131-9 URL https://doi org/10.1007/s10955-018-2131-9 [13] Pastur, L., Shcherbina, M.(2011), Eigenvalue distribution of large random matrices, Mathematical Surveys and Monographs, vol 171 Amer- 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO ican Mathematical Society, Providence, RI (2011) DOI 10.1090/surv/ 171 URL https://doi.org/10.1090/surv/171 [14] Simon, B.(2011), Szego˝’s theorem and its descendants M B Porter Lectures Princeton University Press, Princeton, NJ (2011) Spectral theory for L2 perturbations of orthogonal polynomials [15] Sosoe, P., Wong, P(2014): "Convergence of the eigenvalue density for β -Laguerre ensembles on short scales" Electron J Probab 19, no 34, 18 (2014) DOI 10.1214/EJP.v19-2638 URL https://doi.org/10 1214/EJP.v19-2638 [16] Trinh, K.D.(2018) "On central limit theorems in stochastic geometry" arXiv preprint arXiv:1804.02823 (2018) [17] Trinh, K.D.(2017), "Global Spectrum Fluctuations for Gaussian Beta Ensembles: A Martingale Approach" J Theoret Probab 32(3), 1420– 1437 (2019) DOI 10.1007/s10959-017-0794-9 URL https://doi.org/ 10.1007/s10959-017-0794-9 31 ... Hermite, dáng điệu toàn cục dáng điệu cục nghiên cứu nhóm nghiên cứu Nhật Bản Pháp Trong dạng beta Laguerre có kết ban đầu chưa có kết beta Jacobi Trong luận văn tập trung nghiên cứu dáng điệu toàn cục. .. trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận toàn cục lớp ma trận beta ensembles, cụ thể ma trận beta Laguerre ensembles (beta Wishart ensembles) trường hợp tham số β biến thiên Khi β cố định, dáng điệu toàn. .. thuyết ma trận ngẫu nhiên lĩnh vực nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, tốn tài chính, tốn lý Ma trận ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian ma trận Khi đặc trưng ma trận trở