Về giả phổ của ma trận

Trong quá trình sử dụng hoành độ phổ để nghiên cứu tính ổn định vững của hệ phươngtrình vi phân tuyến tính ˙x = Ax, x ∈ Cn, A ∈ Cn×n đã phát hiện nhiều lập luận khôngcòn chính xác, và có

Lê Đình Năng

Ngày 18 tháng 7 năm 2010

Mục lục

1.1 Định nghĩa 4

1.2 Tính chất của phổ 6

1.3 Bán kính phổ 11

1.4 Hoành độ phổ 12

1.5 Nhận xét 14

2 Giả phổ của ma trận 15 2.1 Định nghĩa về giả phổ 15

2.2 Hoành độ giả phổ 17

2.3 Ví dụ về giả phổ 17

2.4 Tính chất của giả phổ 19

2.5 Biên của giả phổ 27

3 Tính toán hoành độ giả phổ của ma trận 35 3.1 Thuật toán 35

3.2 Thành phần liên thông của giả phổ 39

3.3 Sự hội tụ của thuật toán 40

3.4 Thử nghiệm số 42

1

Trong quá trình sử dụng hoành độ phổ để nghiên cứu tính ổn định vững của hệ phươngtrình vi phân tuyến tính ˙x = Ax, x ∈ Cn, A ∈ Cn×n đã phát hiện nhiều lập luận khôngcòn chính xác, và có thể dẫn tới kết luận sai lầm về dáng điệu tiệm cận của nghiệm dướitác động của nhiễu nhỏ hoặc dưới lực cưỡng bức rất nhỏ Chính vì vậy cần có một công cụ

"tốt hơn" để cho những chỉ dẫn cũng như kết luận "tốt hơn" về dáng điệu tiệm cận củanghiệm của hệ động lực khi bị nhiễu nhỏ Câu trả lời chính là -hoành độ giả phổ của matrận, -hoành độ giả phổ của ma trận A là giá trị lớn nhất của tất cả các phần thực củacác giá trị riêng của những ma trận phức cách A một khoảng không quá  > 0 -hoành độgiả phổ của ma trận đo tính ổn định vững của ma trận Nội dung của luận văn trình bày

về các kiến thức cơ bản và thuật toán tính toán giả phổ của ma trận Trong luận văn nàychúng tôi chỉ xét ma trận vuông cấp n thực hoặc phức, trong đó việc đi tìm -hoành độ giảphổ của ma trận A cho trước là mục đích chính của luận văn Nội dung của luận văn gồm

Chương cuối của luận văn tập trung trình bày phương pháp "criss-cross" để tính hoành độ giả phổ của ma trận Trong chương này chúng tôi cũng trình bày chứng minh sựhội tụ cấp 2 của thuật toán Cuối chương là những thử nghiệm số được thực hiện trong môitrường Matlab 7.0 Nội dung chính của các Chương 2 và 3 được dựa vào các bài báo [1, 2].Luận văn này sẽ không thể thành công nếu không có sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy

-Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

hướng dẫn tôi, thầy Lê Công Lợi người thầy luôn giải đáp những khúc mắc cho tôi Tôichân thành cám thầy Vũ Hoàng Linh, thầy Phạm Kỳ Anh cùng các thầy cô trong khoatoán đã tạo nhiều điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này Qua bài khóa luận này chotôi gửi lời cám ơn tới các anh chị em học viên cao học toán khóa học 2007-2009, đặc biệt làcác anh chị em học viên chuyên ngành toán học tính toán 2007-2009 đã tạo ra môi trườnghọc tập cởi mở và hiệu quả nhằm giúp mọi thành viên trong nhóm toán học tính toán thuđược những kết quả học tập tốt nhất trong khả năng có thể của mỗi người Và cuối cùngtôi rất biết ơn gia đình đã tạo điều kiện để tôi có thể tiếp tục học tập và hoàn thành luậnvăn này

Hà nội, Ngày 18 tháng 7 năm 2010

Lê Đình Năng

Phổ của ma trận

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Ta biết rằng với ma trận A vuông cấp n (thực hoặc phức), số phức λ

và véc tơ 0 6= x ∈ Cn thỏa mãn Ax = λx được gọi là giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứngcủa ma trận A, cặp (λ, x) được gọi là cặp riêng (eigenpair) của ma trận A

Dễ thấy rằng, khi A không suy biến và nếu (λ, x) là cặp riêng của ma trận A thì (λ−1, x)

λ∈ Λ(A) ⇔ A − λI suy biến ⇔ det(A − λI) = 0

Tập {x 6= 0 : x ∈ ker(A − λI)} là tập gồm tất cả các véc tơ riêng liên kết với λ, vàker(A− λI) được gọi là không gian riêng của A ứng với giá trị riêng λ p(λ) = det(A − λI)được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A, và đa thức đặc trưng p(λ) có bậc n đối với

λ, có số hạng với bậc cao nhất là (−1)nλn Do đó, giá trị riêng của ma trận A là nghiệmcủa phương trình đặc trưng p(λ) = 0 Theo định lí cơ bản của đại số một đa thức một biến

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

bậc n có đủ n nghiệm, vì vậy A có n giá trị riêng và một số giá trị riêng có thể là số phức,

có thể có số bội lớn hơn 1 (cho dù A là ma trận thực)

Một véc tơ hàng y∗ 6= 0 sao cho y∗(A− λI) = 0 được gọi là véc tơ riêng trái của matrận A Khi đó cặp (λ, y∗) được gọi là cặp riêng trái của ma trận A Dễ nhận thấy là nếu(λ, x) và (µ, y∗) là các cặp riêng phải và trái của ma trận A ∈ Rn×n, nghĩa là Ax = λx và

1.2 Tính chất của phổ

Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng p(λ) = 0 nên nhữngtính chất của đa thức sẽ phản ánh nhiều tính chất của phổ ma trận Vì vậy ta có nhận xétsau:

1 Λ(AT) = Λ(A)

2 Λ(A) = Λ(A)

3 Λ(A∗) = Λ(A)

4 0 ∈ Λ(A) khi và chỉ khi A suy biến

5 Với k ∈ N hoặc A không suy biến và k ∈ Z thì

Λ(Ak) ={λk: λ∈ Λ(A)}

6 Λ(αI + A) = α + Λ(A), ∀α ∈ C

7 Λ(αA) = αΛ(A), ∀α ∈ C

8 Λ(AB) = Λ(BA), ∀A, B ∈ Cn×n

9 Với ma trận thực A, khi đó nếu A có giá trị riêng phức thì các giá trị riêng phức đóphải xuất hiện theo cặp liên hợp, nghĩa là nếu λ ∈ Λ(A) thì λ ∈ Λ(A)

10 Định lý các đường tròn Gerschgorin: Các giá trị riêng của A = (aij) ∈ Cn×n bịchứa trong hợp Gr của n đường tròn Gerschgorin được xác định bởi:

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

Vì Λ(AT) = Λ(A), nên (1.2.1) có thể được viết lại theo cột, vì vậy các giá trị riêngcủa A bị chứa trong hợp Gc các đường tròn được xác định bởi

trận A là Λ(A) = {5, (1 ± 5√5)/2} Trong khi đó theo Định lý các đường tròn Gerschgorinthì một giá trị riêng của A nằm trong đường tròn có tâm tại điểm (−5, 0) còn hai giá trịriêng còn lại nằm trong hợp của hai đường tròn tâm tại (5, 0) và (6, 0) như Hình 1.1

Hình 1.1: Các đường tròn Gerschgorin của ma trận trong Ví dụ 1.2 theo hàng

Số mũ của giá trị riêng

Với λ ∈ Λ(A) = {λ1, λ2, , λk}, ta có một số định nghĩa sau:

• Số mũ đại số của λ, ký hiệu alg multA(λ), là số lần nó lặp lại trong tập nghiệm của

đa thức đặc trưng p(λ) Nghĩa là, alg multA(λi) = ai khi và chỉ khi

(x− λ1)a1(x− λ2)a2 (x− λk)ak

= 0

Hình 1.2: Các đường tròn Gerschgorin của ma trận trong Ví dụ 1.2 theo cột

Hình 1.3: Giao của các đường tròn Gerschgorin Gr ∩ Gc của ma trận trong Ví dụ 1.2

là phương trình đặc trưng của A

• Khi alg multA(λ) = 1, λ được gọi là giá trị riêng đơn

• Số mũ hình học của λ, ký hiệu geo multA(λ) là dim ker(A−λI), nghĩa là geo multA(λ)

là số lớn nhất các véc tơ riêng liên kết với λ độc lập tuyến tính

• Các giá trị riêng λ thỏa mãn alg multA(λ) = geo multA(λ) được gọi là các giá trịriêng nửa đơn của A

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

P−1AP = diag(λ1, λ2, , λn) khi và chỉ khi các cột của P chứa một tập đầy đủ cácvéc tơ riêng liên kết với các giá trị riêng λi,∀i = 1, 2, , n của ma trận A, nghĩa là(λi, P∗i) là cặp riêng của ma trận A

• Nếu ma trận vuông A cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được

• Định lí chéo hóa Schur’s: Mỗi ma trận vuông đồng dạng unita với ma trận tamgiác trên Nghĩa là, với A ∈ Cn×n tồn tại ma trận unita U (không duy nhất) và matrận tam giác trên T (không duy nhất) sao cho U∗AU = T , và các phần tử trênđường chéo chính của T là các giá trị riêng của ma trận A

• Với mọi ma trận A ∈ Cn×n và với mỗi λ ∈ Λ(A), ta có:

geo multA(λ)≤ alg multA(λ)

• Ma trận A ∈ Cn×n chéo hóa được khi và chỉ khi

alg multA(λ) = geo multA(λ), ∀λ ∈ Λ(A)

• Định lý phổ cho ma trận chéo hóa được: Ma trận A ∈ Cn×n với phổ Λ(A) ={λ1, λ2, , λk} chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại các ma trận {G1, G2, , Gk}sao cho:

A = λ1G1+ λ2G2+· · · + λkGk,trong đó các ma trận Gi, i = 1, 2, , k có các tính chất sau:

– Gi là phép chiếu lên ker(A − λiI) dọc theo Im(A− λiI)

– GiGj = 0 ∀i 6= j

– G1+ G2+· · · + Gk = I

Gi được gọi là các phép chiếu phổ liên kết với λi ∈ Λ(A)

• Nếu x và y∗ là các véc tơ riêng phải và trái tương ứng của ma trận A, liên kết với giá

trị riêng đơn λ ∈ Λ(A) thì khi đó

trị riêng 1 đơn và -3 bội 2, ma trận P =

A chéo hóa được Trong khi đó xét ma trận B =

hai giá trị riêng 1 đơn và -3 bội 2, nhưng B không chéo hóa được vì geo multA(−3) =dim ker(A + 3I) = 1 < alg multA(−3) = 2

Giá trị kì dị

Cho ma trận vuông A ∈ Cn×n với rankA = r, khi đó các khẳng định sau đây là đúng

• Các véc tơ riêng khác không của các ma trận A∗Avà AA∗ bằng nhau và thực dương

• Các giá trị kì dị khác không của A là căn bậc hai số học của các giá trị riêng kháckhông của A∗A(và AA∗)

• Khai triển kỳ dị (SVD): Tồn tại các ma trận unita U, V ∈ Cn×n, và ma trận đườngchéo D = diag(σ1, σ2, , σr)∈ Cr×r sao cho

trong đó σi là các giá trị kì dị của ma trận A Phân tích (1.2.3) được gọi là khai triển

kì dị của ma trận A Các cột trong U và V tương ứng được gọi là các véc tơ kì dị trái

và phải của ma trận A

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

• Nếu A là ma trận chuẩn tắc (tức là AA∗ = A∗A) có các giá trị riêng khác không{λ1, λ2, , λr}, khi đó các giá trị kì dị khác không của A là {|λ1|, |λ2|, , |λr|}

• Các véc tơ kì dị phải và trái của A là các véc tơ riêng của ma trận A∗Avà AA∗ tươngứng

Dễ nhận thấy tính bị chặn trên của bán kính phổ của một ma trận, bán kính phổ của matrận không vượt quá chuẩn của nó, tức là:

ρ(A)≤ ||A||

Thật vậy, nếu (λ, x) là cặp riêng của ma trận A, thì Ax = λx, suy ra |λ|.||x|| = ||Ax|| ≤

||A||.||x||, do đó |λ| ≤ ||A|| với mọi λ ∈ Λ(A), từ đó suy ra ρ(A) ≤ ||A||

Ta có một số tính chất về bán kính phổ như sau:

• ρ(A) = lim

k→∞||Ak||1/k

• Với A ∈ Cn×n, kí hiệu |A| là ma trận có các phần từ là |aij| và ma trận A, B ∈

Rn×n, B ≤ C ⇔ bij ≤ cij ∀i, j Khi đó nếu |A| ≤ B thì ρ(A) ≤ ρ(|A|) ≤ ρ(B)

• Nếu 0 ≤ A ∈ Rn×n, khi đó ρ(A) < r khi và chỉ khi (rI −A)−1tồn tại và (rI −A)−1 ≥ 0.Nếu An×n > 0 thì các khẳng định sau đây đúng:

• ρ(A) ∈ Λ(A)

• Nếu Ax = ρ(A)x, thì A|x| = ρ(A)|x| và |x| > 0 Nói cách khác, A có một cặp riêngdạng (ρ(A), v) với v > 0

Chuỗi Neumann

Với A ∈ Cn×n, các khẳng định sau đây tương đương:

• Chuỗi Neumann I + A + A2+· · · hội tụ

k→∞Ak = 0 khi và chỉ khi ρ(A) < 1

1.4 Hoành độ phổ

Định nghĩa 1.4.1 Hoành độ phổ của ma trận A là giá trị lớn nhất của phần thực của cácgiá trị riêng của A Kí hiệu α(A) là hoành độ phổ, khi đó ta có:

α(A) = max{Reλ : λ ∈ Λ(A)}

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

˙x = Ax, A∈ Cn×n, x(0) = c, (1.4.1)trong đó x = (x1(t), x2(t), , xn(t))t∈ Cn và c = (c1, c2, , cn)t∈ Cn

Nếu A chéo hóa được và có phổ Λ(A) = {λ1, λ2, , λk}, thì khi đó nghiệm duy nhất của

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

hệ (1.4.1) được cho bởi:

x = eAtc = eλ1 tv1+ eλ2 tv2+· · · + eλ k tvk,

trong đó vi = Gic∈ ker(A − λiI), Gi là phép chiếu phổ liên kết với λi

Tính ổn định

Hệ (1.4.1), trong đó A chéo hóa được với các giá trị riêng λi, ta có:

• Nếu Reλi < 0 ∀i thì lim

t→∞eAt = 0 và lim

t→∞u(t) = 0 với mọi véc tơ ban đầu c Trongtrường hợp này, ˙x = Ax được gọi là hệ ổn định và ma trận A được gọi là ma trận ổnđịnh

• Nếu tồn tại một chỉ số i nào đó sao cho Reλi > 0 thì các thành phần của u(t) không

bị chặn khi t → ∞, trong trường hợp này hệ ˙x = Ax và ma trận A không ổn định

• Nếu Reλi ≤ 0 với mỗi i thì thành phần của u(t) hữu hạn với mọi t, nhưng có thể daođộng vô hạn lần, khi đó hệ ˙x = Ax và ma trận A được gọi là bán ổn định

Với ma trận A tùy ý (không nhất thiết phải chéo hóa được) có tập phổ Λ(A) = {λ1, λ2, , λr}

• Nếu tồn tại một chỉ số i nào đó sao cho Reλi > 0 thì các thành phần của u(t) không

bị chặn khi t → ∞, trong trường hợp này hệ ˙x = Ax và ma trận A không ổn định

Vì vậy nếu hoành độ phổ α(A) âm (không âm) thì ta nói rằng A ổn định (không ổn định).Quỹ đạo z(t) ∈ Rn hoặc trong Cn thỏa mãn ˙z = Az hội tụ về gốc tọa độ nhanh hơn eβt

(với β thực âm cho trước ) ⇔ α < β Vì vậy hoành độ phổ đo mức giảm tiệm cận của quỹđạo nghiệm về gốc tọa độ

trong đó J9(−0.1) là ma trận khối Jordan với giá trị riêng −0.1 < 0, khi đó ma trận C cóhai giá trị riêng -0.1 bội 9 và -0,001 đơn và có phổ là Λ(C) = {−0.1, −0.001} do đó hoành

độ phổ của C là α(C) = −0.001 < 0 nên C ổn định Tuy nhiên nếu phần tử (9,1) trong Cđược thay đổi từ 0 thành 10−9 thì ma trận thu được có tập phổ là {−10−3, 0} trong đó giátrị riêng 0 bội 9 nên ma trận mới thu được từ C không còn ổn định nữa Hoặc như trong

Ví dụ 1.1 ma trận B thu được từ ma trận A trong bằng cách thay đổi phần từ (4,1) của A

từ 0 thành -0.001, và α(B) = 0.0292 > 0 nên B không ổn định

1.5 Nhận xét

Từ điều trên, chúng ta có thể kết luận rằng nếu dùng hoành độ phổ để đo mức độ ổn địnhcủa hệ liên kết dưới tác động của nhiễu nhỏ sẽ dẫn đến những kết luận sai lầm Chính vìvậy ta cần một công cụ khác tốt hơn, có thể đưa ra những chỉ dẫn chính xác hơn về tính

ổn định của ma trận dưới tác động của nhiễu nhỏ Và ta đã có câu trả lời tuy chưa hoàntoàn chính xác nhưng đã có nhưng ưu điểm tốt hơn nhiều so với việc dùng hoành độ phổlàm thước đo mức độ ổn định của một động lực liên dưới tác động của nhiễu, đó chính làviệc dùng -hoành độ giả phổ của ma trận để đo tính ổn định của hệ bị nhiễu nhỏ

Chương 2

Giả phổ của ma trận

2.1 Định nghĩa về giả phổ

Với số thực dương  cho trước, khi đó ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1.1 [6] -giả phổ (hay gọi tắt là giả phổ) của ma trận A, được kí hiệu

Λ(A) là tập gồm tất cả các giá trị riêng của các ma trận phức X cách ma trận A mộtkhoảng không vượt quá , nghĩa là:

Λ(A) = {z ∈ C : z ∈ Λ(X) trong đó ||X − A|| ≤ }, (2.1.1)

ở đây ||.|| là chuẩn-2 trên Cn×n

Trong luận văn, chúng tôi thường xét  là số thực dương cố định Tuy nhiên, khi  = 0

ta có ngay Λ0(A) = Λ(A) Một phần tử trong -giả phổ được gọi là giả giá trị riêng Rõràng là Λ(A) ⊆ Λ(A) Tương tự, ta có định nghĩa giả phổ chặt của ma trận A là tập:

Λ0(A) = {z ∈ C : z ∈ Λ(X) trong đó ||X − A|| < }

Một định nghĩa về giả phổ tương đương với (2.1.1) được cho bởi:

Λ(A) ={z ∈ C : ||(A − zI)v|| ≤  với v ∈ Cn,||v|| = 1} (2.1.2)

15

Bây giờ ta xét khai triển kì dị (SVD) của ma trận zI − A được cho bởi:

Từ (2.1.3) và cách tính chuẩn-2, rõ ràng (2.1.4) tương đương với

Λ(A) ={z ∈ C : σmin(zI− A) ≤ } (2.1.5)

Thật vậy, do chuẩn-2 của ma trận được tính như sau: ||A|| =pρ(A∗A), trong đó ρ(A∗A) làgiá trị riêng lớn nhất của ma trận A∗A (do ma trận A∗Ađối xứng nên có giá trị riêng thựckhông âm) Khi σmin(zI− A) = σn= 0 thì (2.1.4) và (2.1.5) đều đúng nên ta có ngay điềucần chứng minh, vì vậy ta xét σmin(zI− A) = σn6= 0, khi đó rõ ràng là ||(zI − A)+|| = 1

σn

nên ||(zI − A)+|| ≥ −1 ⇔ σn ≤  ⇔ σmin(zI− A) ≤  Vì vậy ta có (1.2.4)⇔(1.2.5).Định lý 2.1.1 [6] Các định nghĩa (2.1.1),(2.1.2),(2.1.4) và (2.1.5) về -giả phổ của matrận A là tương đương

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

Chứng minh: Ta chứng minh như sau (2.1.1) ⇒ (2.1.2) ⇒ (2.1.4) ⇒ (2.1.5) ⇒ (2.1.1)Theo lập luận phần trên ta chỉ cần chứng minh (2.1.1) ⇒ (2.1.2), (2.1.2) ⇒ (2.1.4) và(2.1.5)⇒ (2.1.1)

(2.1.1) ⇒ (2.1.2) Giả sử có (2.1.1) tức là có z ∈ C và 0 6= v ∈ Cn sao cho Xv = zvvới X ∈ Cn×n mà ||X − A|| ≤  và ||v|| = 1 (véc tơ riêng v như trên luôn tồn tại vì nếu

||(zI − A)+||. Vậy ta có ||(zI − A)+|| ≥ −1, tức là (2.1.2) ⇒ (2.1.4)

Từ khai triển SVD (2.1.3) suy ra ||(zI − A)vn|| = ||σnunv∗

nvn|| = σn = σmin(zI− A).Tức là ta có (2.1.5) ⇒ (2.1.1) Vậy ta có điều chứng minh 

2.2 Hoành độ giả phổ

Định nghĩa 2.2.1 [6] α−hoành độ giả phổ của ma trận A, ký hiệu α(A), là giá trịphần thực lớn nhất của tất cả các phần tử trong -giả phổ của A, nghĩa là:

α(A) = max{Rez : z ∈ Λ(A)} (2.2.1)

Ta gọi bài toán tối ưu này là bài toán hoành độ giả phổ Chú ý rằng α0(A) = α(A) Mụcđích chính của luận văn này là đi tính α−hoành độ giả phổ của một ma trận tùy ý chotrước bằng cách lập chương trình chạy trong Matlab sẽ được trình bày cụ thể ở Chương 3

2.3 Ví dụ về giả phổ

Trong mục này chúng ta sử dụng gói lệnh Eigtool chạy trong môi trường Matlab (thamkhảo trang web http ://www.cs.nyu.edu/faculty/overton/software) để nhận được giả phổcủa một số ma trận

Ví dụ 2.1: Xét ma trận Demmel, nghĩa là ma trận cho bởi:

Ma trận A chỉ có một giá trị riêng -1 bội 5 Các Hình 2.1, 2.2 và 2.3 cho giả phổ của matrận A tương ứng với  = 0.01,  = 0.1 và  = 0.001

Hình 2.1: Giả phổ của ma trận A với  = 0.01

Ví dụ 2.2: Xét ma trận Demmel nhiễu, là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thayphần tử (5,1) từ 0 thành 0.001i Tức là ta thu được ma trận sau:

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

Hình 2.2: Giả phổ của ma trận A với  = 0.1Khi đó các Hình 2.4, 2.5 và 2.6 chỉ ra giả phổ của ma trận ˜A với  = 0.01,  = 0.1 và

Ta nhận thấy giả phổ Λ(B) gồm hợp của hai hình tròn bán kính , tâm tại hai giá trị riêng

±i Trong trường hợp  = 1, thì giả phổ Λ1(B) là hai hình tròn tiếp xúc nhau tại gốc tọa

độ (xem Hình 2.7) Nếu  =√

2 thì Hình 2.8 cho giả phổ Λ√

2(B) là hợp của hai hình tròncắt nhau

Hình 2.3: Giả phổ của ma trận A với  = 0.001trong đó σmin kí hiệu giá trị kì dị nhỏ nhất và i là đơn vị ảo Khi đó theo Định lý 2.1.1 ta

có -giả phổ của A là tập

Λ(A) ={(x, y) ∈ R2 : h(x, y)≤ 0},

và hoành độ giả phổ của ma trận A được xác định

α(A) = max{x : (x, y) ∈ R2, h(x, y)≤ 0} (2.4.1)Tiếp theo, ta xác định một hàm g : C → R được cho bởi:

g(z) = σmin(A− zI) = ||(A − zI)−1||−1,

trong đó vế phải nhận giá trị 0 khi z ∈ Λ(A) Vì vậy g là nghịch đảo chuẩn của giải thức

Sử dụng kí hiệu này và từ (2.1.5), khi đó giả phổ của ma trận là:

Λ ={z ∈ C : g(z) ≤ }

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

Hình 2.4: Giả phổ của ma trận ˜A với  = 0.01Tương tự, ta có giả phổ chặt

Chứng minh: Theo định nghĩa giá trị kì dị nhỏ nhất của ma trận A, thì ta có:

σmin(A) = min

||x|| 2 =1||Ax||2.Mặt khác chú ý rằng khi ta xóa các cột của A thì giá trị nhỏ nhất nói trên tăng lên, ngượclại khi xóa các hàng của A thì giá trị nhỏ nhất lại giảm Vì vậy ta nhận được các bao hàm

Định lý 2.4.2 [6] Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó:

Hình 2.5: Giả phổ của ma trận ˜A với  = 0.1

1 λ ∈ Λ(A) ⇒ λ ∈ Λ(A), với ∀ ≥ 0

2 Λ|β|(αI + βA) = α + βΛ(A) với mọi α, β ∈ C

Chứng minh:

1 Điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của Λ(A) và Λ(A)

2 Khi β = 0 ta có ngay điều cần chứng minh, nên ta xét β 6= 0, khi đó ta có:

|β|||(zI − (αI + βA))+|| = ||(β−1(z− α)I − A)+|| 

Bổ đề 1 [1,2] Với các số thực x và y, số  > 0 là một giá trị kì dị của ma trận A−(x+iy)Ikhi và chỉ khi iy là một giá trị riêng của ma trận

Điều này đúng nếu h(x, y) = 0

Chứng minh: Theo Mục 1.2, thì ma trận A − (x + iy)I có giá trị kì dị  nếu và chỉ nếu 

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

Hình 2.6: Giả phổ của ma trận ˜A với  = 0.001

là giá trị riêng của ma trận

Vậy ta có điều cần chứng minh của bổ đề 

Hình 2.7: Giả phổ của ma trận B với  = 1

Xét một số thực x cố định, từ Bổ đề 1, suy ra hàm h(x, ·) có tối đa 2n không điểm Đểtìm tất cả các không điểm ấy, ta tính tất cả các giá trị riêng ảo {iyj} của H(x), rồi loại bỏcác giá trị mà σmin(A− (x + iyj)I) < , khi đó{yj} thu được là các không điểm của h(x, ·)cần tìm

Ta phân biệt hai loại không điểm của hàm liên tục y 7→ h(x, y): không điểm xuyên quatại đó hàm đổi dấu, và không điểm không xuyên qua tại đó hàm số không đổi dấu Chú ýrằng h(x, y) > 0 khi |y| đủ lớn Vì vậy nếu ta viết danh sách các không điểm theo thứ tựkhông giảm, viết các không điểm không xuyên qua 2 lần, và do danh sách có độ dài chẵn2m(x), thì ta có thể viết danh sách đó như sau:

Luận văn tốt nghiệp Về giả phổ của ma trận

Hình 2.8: Giả phổ của ma trận B với  =√

Kết quả sau giúp ta phân biệt không điểm xuyên qua và không điểm không xuyên qua

Bổ đề 2 [1] Cho trước các số thực x và y0, giả sử iy0 là một giá trị riêng của ma trậnHamilton H(x), và giả sử giá trị kì dị σmin(A− (x + iy0)I) đơn và bằng  Khi đó y0 là mộtkhông điểm xuyên qua của hàm h(x, ·) khi và chỉ khi giá trị riêng iy0 có bội đại số lẻ.Chứng minh: Nếu iy0 có bội đại số là m, thì hàm p : R → C được xác định bởi:

p(y) = det(H(x)− iyI) = det