Về chuẩn lôgarit của ma trận

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên, tháng 5/2018 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Chuẩn lôgarit ma trận 1.1 Chuẩn ma trận 1.1.1 Chuẩn véc tơ 1.1.2 Chuẩn ma trận Chuẩn lôgarit ma trận 1.2.1 Khái niệm chuẩn lôgarit 1.2.2 Một số tính chất chuẩn lơgarit Một số ứng dụng 16 1.3.1 Cận cho nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 16 1.3.2 Sai số phương pháp Euler ẩn 18 1.3.3 Sai số phương pháp Newton-Raphson 22 1.2 1.3 Chuẩn lôgarit cặp ma trận 25 2.1 Chuẩn lôgarit cho cặp ma trận 25 2.1.1 Khái niệm mở đầu 25 2.1.2 Định nghĩa chuẩn cặp ma trận 26 2.1.3 Chuẩn lôgarit cặp ma trận 35 i 2.2 Chuẩn lơgarit cho tốn tử tuyến tính vơ hạn chiều 40 2.3 Sự tăng nghiệm 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Bảng ký hiệu x p chuẩn p x ∞ chuẩn vô A P chuẩn ma trận A P A, B chuẩn cặp ma trận A, B V tích vơ hướng ·, · · V m chuẩn véc tơ Rm Q ma trận chuyển vị ma trận Q µ(A) chuẩn lơgarit ma trận A µP (A) chuẩn lơgarit P AP −1 Rn×n khơng gian ma trận vng cỡ n × n exp hàm lũy thừa số e B(x∗ ; r) hình cầu mở tâm x∗ , bán kính r σ(A, B) tập phổ cặp ma trận ρ(A, B) bán kính phổ cặp ma trận diag ma trận đường chéo Ir ma trận đơn vị cỡ r × r D+ đạo hàm bên phải AD ma trận nghịch đảo Drazin A Mở đầu Khi nghiên cứu định lượng phương trình vi phân tuyến tính phương trình vi phân đại số, người ta quan tâm đến tính bị chặn nghiệm chúng Rõ ràng, đại lượng liên quan đến độ đo ma trận hệ số Thơng thường, việc làm ta liên tưởng đến chuẩn ma trận Song chuẩn ma trận đại lượng không âm nên không cho ta ước lượng chặt cho tính bị chặn nghiệm Việc giới thiệu sử dụng khái niệm chuẩn lôgarit ma trận giúp ta khắc phục điều Khơng vậy, cịn sử dụng nhiều đánh giá tính phân tích tính hội tụ số phương pháp số giải phương trình vi phân Mặc dù có tầm quan trọng vậy, chuẩn lơgarit khơng giới thiệu chương trình đại học cao học Chính lẽ đó, chúng tơi chọn đề tài “Về chuẩn lôgarit ma trận” để làm luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Chuẩn lôgarit ma trận Trước tiên, nhắc lại khái niệm chuẩn thơng thường ma trận Sau đó, chúng tơi trình bày chi tiết định nghĩa nhiều tính chất phong phú Cuối cùng, Chương I kết thúc số ứng dụng chuẩn lôgarit ma trận Chương Chuẩn lôgarit cặp ma trận Chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chuẩn lơgarit cho cặp ma trận (A, B) tính chất chuẩn lơgarit cặp ma trận Khái niệm cịn mở rộng cho cặp tốn tử tuyến tính vơ hạn chiều Cuối cùng, nghiên cứu tăng nghiệm hệ vi phân đại số có hệ số thay đổi Luận văn kết thúc với phần kết luận tài liệu tham khảo Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hồn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K10A; Nhà trường phịng chức Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lan Anh Chương Chuẩn lôgarit ma trận Chương trình bày khái niệm, phát biểu chứng minh tính chất số ứng dụng chuẩn lơgarit Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2–4, 7, 8] Đáng ý, chúng tơi tự chứng minh nhiều tính chất mà tài liệu liệt kê 1.1 Chuẩn ma trận Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm chuẩn ma trận Trước tiên, nhắc lại khái niệm chuẩn không gian tuyến tính Đây kiến thức học chương trình giải tích hàm Song trình bày đây, chúng tơi chọn nhấn mạnh đến khía cạnh tính tốn nên trình bày khơng gian hữu hạn chiều Khái niệm chuẩn ma trận sau trình bày dựa hai cách: chuẩn tốn tử tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều chuẩn véc tơ Để đảm bảo tính ngắn gọn, chứng minh cho phát biểu lược Người đọc tìm hiểu tài liệu chúng tơi tham khảo [3] 1.1.1 Chuẩn véc tơ Chuẩn sử dụng để tính tốn sai số phép tính ma trận, cần hiểu làm để tính tốn vận dụng chúng Định nghĩa 1.1.1 Chuẩn khơng gian tuyến tính Rn hàm · : Rn −→ R, thỏa mãn tất tính chất sau đây: 1) x ≥ 0, x = x = 0; 2) αx = |α| x với vô hướng α; 3) x + y ≤ x + y Ví dụ 1.1.2 Các chuẩn phổ biến x chuẩn p, chuẩn x ∞ p = p 1/p i |xi | với ≤ p < ∞ mà ta hay gọi = maxi |xi |, mà ta gọi chuẩn ∞ hay chuẩn vô cực Ta chứng minh dễ dàng rằng, x chuẩn C ma trận không suy biến bất kỳ, Cx chuẩn Bây ta định nghĩa tích vơ hướng, khái qt hóa tích vơ hướng tiêu chuẩn i xi yi phát sinh thường xuyên đại số tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Cho Rn khơng gian tuyến tính thực Hàm số ·, · : Rn ×Rn −→ R gọi tích vơ hướng tính chất sau thỏa mãn: 1) x, y = y, x ; 2) x, y + z = x, y + x, z ; 3) αx, y = α x, y với vô hướng α thực; 4) x, x ≥ 0, x, x = x = Ví dụ 1.1.4 Trên R, x, y = y x = i xi y i tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.5 x y trực giao x, y = Một tính chất quan trọng tích vơ hướng thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwartz Điều dẫn đến việc ta chứng minh x, x chuẩn Bổ đề 1.1.6 Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz | x, y | ≤ Bổ đề 1.1.7 x, x y, y x, x chuẩn Có tương ứng − tích vơ hướng ma trận đối xứng xác định dương định nghĩa Những ma trận xuất thường xuyên ứng dụng Định nghĩa 1.1.8 Một ma trận thực đối xứng A xác định dương x Ax > với x = Ta viết tắt đối xứng xác định dương s.p.d Bổ đề 1.1.9 Cho B = Rn ·, · tích vơ hướng Thì có ma trận A s.p.d cỡ n × n mà x, y = y Ax Ngược lại, A s.p.d y Ax tích vơ hướng Hai bổ đề cho phép so sánh chuẩn khác không gian hữu hạn chiều Bổ đề 1.1.10 Cho · mà, với x, C1 x · α α · ≤ x β β hai chuẩn Rn Có số C1 , C2 > ≤ C2 x α Ta nói chuẩn · α tương đương với số C1 , C2 β Bổ đề 1.1.11 ≤ x ≤ √ x x ∞ ≤ x n x 2, √ ≤ n x ∞, x ∞ ≤ x ≤n x 1.1.2 ∞ Chuẩn ma trận Định nghĩa 1.1.12 chuẩn ma trận ma trận cỡ m × n ma trận vectơ khơng gian m.n chiều: 1) A ≥ 0, A = A = 0; 32 Thật vậy, xét ví dụ sau  1  A=   Khi đó, ker(A) = [0, 0, 1] max v∈V1 Av =0 v∈V2 Av =0     ,   1  B=        Xét V1 = [1, 0, 0] , [0, 1, 0] Bv = Av Tiếp tục xét V2 = [1, 0, 0] , [0, 1, 1] max  Bv = Av max v=[v1 ,v2 ,0] [v1 ,v2 ,0] =0 V = B V Khi = Khi max v=[v1 ,v2 ,v2 ] [v1 ,v2 ,v2 ] =0  √       =      1 Chú ý 2.1.12 Nếu A = In , V = Rn In , B dụng In , B [v1 , v2 , 0] [v1 , v2 , 0] Rn ∞ = B Tuy nhiên, ta sử với V khơng gian thực Rn Khi Bx ≤ B V x , ϑ số cho Bx ≤ ϑ x , Đối với chuẩn Euclide, ta biết A ∀x ∈ V ∀x ∈ V B V ≤ ϑ = ρ1/2 (A , A) Kết sau cho ta mối liên hệ tương tự cho nửa chuẩn Mệnh đề 2.1.13 Xét ma trận S cỡ n × s mà cột sở cho V Khi A, B V,2 = Bv Av ρ S A AS, S B BS Chứng minh Ta có A, B V,2 = max v∈V v=0 = max v∈V v=0 v B Bv x S B BSx = max x∈Rs x S A ASx v A Av x=0 33 Chú ý S A AS ma trận đối xứng xác định dương V ∩ ker(A) = {0} Vì thế, cặp ma trận S A AS, S B BS xác định dương Do đó, giá trị riêng dương Áp dụng Định lý Courant - Fisher [5], ta có maxs x∈R x=0 x S B BSx = λmax S A AS, S B BS = ρ S A AS, S B BS x S A ASx Nhắc lại từ Mệnh đề 1.2.7 x biến Ta A T T := T x với T ma trận không suy = T AT −1 chuẩn lôgarit tương ứng thoả mãn µT (A) = µ(T AT −1 ) Chuẩn T gọi tương tự Đối với cặp ma trận, ta có tình tương tự Thật vậy, cho T T hai ma trận khơng suy biến Khi A, B T,V Bx = max x∈V Ax x=0 T T T Bx T B T −1 y = max = max x∈V y∈T V T Ax T AT −1 y x=0 y=0 Điều có nghĩa A, B T,V = T A, T B V = T AT −1 , T B T −1 TV Thêm nữa, V T − bất biến A, B T,V = T AT −1 , T B T −1 V Chúng ta kết thúc mục khẳng định sau Định lí 2.1.14 Với ε > 0, tồn chuẩn không gian V cho ρ(A, B) ≤ A, B V ≤ ρ(A, B) + ε Hơn nữa, ε khơng có giá trị riêng (A, B) với |λ| = ρ(A, B) bị khuyết 34 Chứng minh Xét dạng tắc Weierstrass   P AQ =  Ir ,   J P BQ =  N  In−r Giả sử J = diag(J1 , , Jk ) với khối Jordan Ji cỡ ri tương ứng với giá trị riêng λi Xét tập E = {(x1 , 0) : x1 ∈ Rr , x1 ∞ ≤ 1} ⊂ Rn ma trận chéo khối w(ε) = diag(w1 , wk ) với khối wi = diag(1, ε, , εri −1 )  w(ε) =   w(ε)  In−r Khi w(ε)P AQw(ε)−1 , w(ε)P BQw(ε)−1  =    Ir ,  w(ε)Jw(ε)−1  N = w(ε)Jw(ε)−1 ∞,E In−r ∞,E ∞ Với khối Jordan Ji tương ứng với ma trận λi , ta có   λi 0     ε λi    wi (ε)Ji w(ε)−1 =    ε λ  i     Do w(ε)Ji w(ε)−1 ∞ = ρ(J) + ε = ρ(A, B) + ε Tiếp đến, ta xét không gian V = Qw(ε)−1 E Kí hiệu Q1 ma trận tạo r cột Q Khi V = Qw(ε)−1 E = im(Q1 w(ε)−1 ) 35 Từ dạng tắc Weierstrass  w(ε)−1 x AQ1 w(ε)−1 x = P −1   , nên ker(A) ∩ V = V không gian chấp nhận cho A, chuẩn vectơ ∞,w(ε)P A, B ∞,w(ε)P,V V Nếu ta xét thỏa mãn đòi hỏi bị chặn Do V chứa vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng cặp ma trận, ta thu ρ(A, B) ≤ A, B V Nếu khơng có vectơ riêng λ (A, B) với |λ| = ρ(A, B) bị khuyết, ta chọn ε cho w(ε)Jw(ε)−1 2.1.3 ∞ = ρ(J) Chuẩn lôgarit cặp ma trận Với nửa chuẩn định nghĩa trên, ta sẵn sàng mở rộng khái niệm chuẩn lôgarit cho cặp ma trận Định nghĩa 2.1.15 Cho (A, B) cặp ma trận Rn V không gian chấp nhận cho A, V Ta định nghĩa chuẩn lôgarit cặp ma trận sau µV [A, B] = lim+ h→0 A, A − hB h V −1 (2.4) Mệnh đề 2.1.16 Giới hạn (2.4) tồn cho tất cặp ma trận (A, B) tất nửa chuẩn xác định Chứng minh Giả sử θ ∈ (0, 1) A, A − θhB V = A, θ(A − hB) + (1 − θ)A V 36 ≤ θ A, A − hB V + (1 − θ) A, A Với định nghĩa nửa chuẩn định nghĩa phần trên, A, A A, A − θhB θh V −1 ≤ θ A, A − hB A, A − hB = h V V V = Do + (1 − θ) − θh V −1 hệ f (h) = A, A − hB h V −1 hàm số không giảm h Từ A, A − hB V ≤ A, −hB V + A, A V = h A, B V +1 = A, A V = A, A − hB + hB V ≤ A, A − hB V + h A, B V ta có − A, B V ≤ A, A − hB h V −1 ≤ A, B V (2.5) giới hạn (2.4) tồn Trong trường hợp A = In V = Rn , giới hạn (2.4) trở thành µ[−B] Kết số tính chất chuẩn lôgarit định nghĩa cho cặp ma trận Mệnh đề 2.1.17 Những tính chất sau cho chuẩn lơgarit (i) − A, B V ≤ µV [A, B] ≤ A, B V; (ii) Với số thực α, β , α = µV [αA, βB] = (iii) µV [A, B + C] ≤ µV [A, B] + µV [A, C]; |β| µV [A, sgn(αβ)B]; |α| 37 (iv) Nếu V chứa vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ (A, B) Re(λ) ≤ µV [A, B]; (v) µV [A, B + zA] = µV [A, B] + Re(z), ∀ z ∈ C; (vi) Nếu chuẩn sinh từ tích vơ hướng µV [A, B] = max Ax=0 x∈V Ax, −Bx Ax, Ax Điều có nghĩa chuẩn lôgarit số nhỏ mà Ax, −Bx ≤ v Ax, Ax , ∀x∈V; (vii) Nếu A khả nghịch V = Rn µV [A, B] = µV [In , BA−1 ] = µ[−BA−1 ]; (viii) Bx ≥ max{−µV [A, B], −µV [A, −B]}, ∀x∈V; (ix) Với ma trận thơng thường T T , µV,T (A, B) = µV (T A, T B) = µT V (T AT −1 , T B T −1 ), V T − bất biến µV,T (A, B) = µV (T AT −1 , T B T −1 ) Chứng minh Phần (i) suy từ (2.5) (ii) Ta có αA, αA − hβB V β = αA, α A − h B α β = A, A − h B α V V 38 Do đó, ta tính αA, αA − hβB V − h β −1 A, A − h B α V = lim h h→0+ |β| A, A − h sgn(αβ)B |α| |β| = lim |β| |α| h→0+ h |α| |β| µV [A, sgn(αβ)B] = |α| µV [αA, βB] = lim h→0+ −1 V (iii) Sử dụng tính chất nửa chuẩn định nghĩa trên, ta có A, A − h(B + C) V − h h→0  1 A, A − hC  A, A − hB V − 2 ≤ lim  + h h h→0+ µV [A, B + C] = lim+ = lim h→0+ A, A − 2hB 2h V −1 A, A − 2hC 2h + V  V − 2  −1 = µV [A, B] + µV [A, C] (iv) Ta lấy h > 0, v vectơ riêng (A, B) với giá trị riêng λ, v vectơ riêng (A, A − hB) với giá trị riêng −1 − hλ Vì |λ| ≤ A, B A, A − hB |hλ + 1| − ≤ h h V −1 , h → 0+ , vế phải (2.6) tiến tới µV (A, B) Rút gọn vế trái, ta |hλ + 1| − 2Reλ + h(Reλ)2 + h(Imλ)2 = h (1 + hReλ)2 + (hImλ)2 + đó, h → 0+ , vế trái (2.6) tiến tới Re(λ) V (2.6) 39 (v) Có thể kiểm tra thấy A, A + h(B + zA) h µV [A, B + zA] = lim h→0+ V −1 h B |1 + zh| h −1 |1 + zh| A, A + = lim h→0+ h A, A + B  |1 + zh| = lim  h h→0+  |1 + zh|  V  V −1 1− |1 + zh|   +  h |1 + zh| = µV [A, B] + Rez (vi) Ta viết A, A − hB h V −1 = max x∈V x=0 (A − hB)x − Ax h Ax (A − hB)x − Ax = max x∈V h Ax ( (A − hB)x + Ax ) x=0 −Bx, Ax + = max x∈V x=0 Ax h Bx 2 + Ax ( (A − hB)x − Ax ) µV [A, B] = lim h→0+ A, A − hB h V −1 = max x∈V x=0 −Bx, Ax Ax (viii) Với h > x ∈ V , ta có Bx = hBx Ax − (A − hB)x = h h Ax − (A − hB)x ≥ h Ax − A, A − hB V Ax ≥ h − A, A − hB V = Ax , h , 40 Bx ≥ −µV [A, B] Ax Tương tự trên, Bx = − hBx Ax − (A + hB)x = h h Ax − (A + hB)x ≥ h Ax − A, A + hB V Ax ≥ h − A, A + hB V = Ax , h ta thu Bx ≥ −µV [A, −B] Ax 2.2 Chuẩn lơgarit cho tốn tử tuyến tính vơ hạn chiều Cho khơng gian Banach W , đạo hàm lôgarit chuẩn vectơ xác định dạng µ(u, v) = lim+ h→0 u + hv − u h u với u, v ∈ W, u = Ta có: µ(u, Au) ≤ µ[A] trường hợp hữu hạn chiều sup µ(u, Au) = µ[A] u=0 Với hai toán tử tuyến tính (A, B) W , ta định nghĩa nửa chuẩn chuẩn lơgarit Có thể thấy (A, B) V µV [A, B] vơ hạn dim V = ∞ Ta viết µ(Au, −Bu) với u mà Au = 0, với tính chất nửa chuẩn định nghĩa trên, µ(Au, −Bu) ≤ µV [A, B] 41 với u mà Au = Trong trường hợp hữu hạn chiều, với không gian chấp nhận V , ta có max µ(Au, −Bu) = µV [A, B] u∈V Với ma trận, µ2 [A] = λmax ((A + A )/2) Với cặp ma trận, ta có kết Mệnh đề 2.2.1 Xét ma trận S cỡ n × s mà cột sở V Khi µV,2 [A, B] = λmax S A AS, −S (B A + A B) S Chứng minh Ta có −v µV,2 [A, B] = max v∈V v=0 (B A + A B) v v A Av −x S = max s x∈R x=0 = λmax 2.3 (B A + A B) Sx x S A ASx S A AS, −S (B A + A B) S Sự tăng nghiệm Ta nghiên cứu tăng nghiệm hệ vi phân đại số có hệ số thay đổi A(t)x (t) + B(t)x(t) = 0, (2.7) với A(t) ma trận n × n, vi phân liên tục [t, ∞) B(t) ma trận cấp n × n liên tục [t0 , ∞) Ta cần vi phân bên phải toán tử D+ cho hàm số z(t) định nghĩa D+ z(0) = lim t→0+ z(t) − z(0) t Dưới số giả thiết, ta tính D+ z(t) 42 Bổ đề 2.3.1 Xét vectơ giá trị hàm số z(t) ∈ Rn biến số thực t có đạo hàm bên phải V (t) = D+ z(t) Thì z(t) có đạo hàm bên phải D+ z(t) D+ z(t) = lim ∆→0+ z(t) + ∆v(t) − z(t) ∆ Định lí 2.3.2 Giả sử V không gian xác định cho A(t), mà nghiệm x(t) hệ vi phân đại số (2.7) V Khi A(t)x(t) ≤ e t t0 µV [A(u),B(u)−A (u)]du (2.8) A(t0 )x(t0 ) Chứng minh Bằng định nghĩa D+ A(t)x(t) = lim ∆→0+ A(t)x(t) + ∆[A(t)x(t)] − A(t)x(t) ∆ Ta tính A(t)x(t) + ∆[A(t)x(t)] = [A(t) + ∆A (t) − ∆B(t)]x(t) ≤ A(t), A(t) + ∆A (t) − ∆B(t) V A(t)x(t) , ta sử dụng (2.7) Thật vậy, nghiệm V cho phép ta sử dụng tính chất (i) Mệnh đề 2.1.16 Bv ≤ A, B V Av , ∀ v ∈ V Do vậy, từ D+ A(t)x(t) ≤ lim ∆→0+ A(t), A(t) + ∆A (t) − ∆B(t) ∆ V A(t)x(t) − A(t)x(t) = µV [A(t), B(t) − A (t)] A(t)x(t) ta có bất đẳng thức vi phân D+ A(t)x(t) ≤ µV [A(t), B(t) − A (t)] A(t)x(t) , từ lấy tích phân để có (2.8) 43 Chú ý 2.3.3 Nếu A(t) thơng thường, µR [A(t), B(t) − A (t)] = µR [−(B(t) − A (t)).A(t)−1 ] Ta có chuẩn lơgarit ma trận có thay đổi biến số y(t) = A(t)x(t) thực Hệ 2.3.4 Giả sử V không gian xác định cho A(t), mà nghiệm x(t) hệ vi phân đại số (2.7) V Nếu t t0 µV [A(u), B(u) − A (u)]du < A(t)x(t) giảm theo số mũ Để hệ vi phân đại số ổn định tiệm cận, ta phải Tìm khơng gian xác định V bao gồm nghiệm hệ DAE; Tính chuẩn lơgarit; Có đánh giá x(t) từ dạng A(t)x(t) Ta nghiên cứu bước cho hệ số tuyến tính khơng đổi, hệ số để kiểm soát với hệ số hệ vi phân đại số Phần lại mục này, ta xét trường hợp hệ phương trình vi phân đại số với hệ số Khi đó, (2.8) trở thành Ax(t) ≤ eµV [A,B]t Ax(0) , (2.9) t ≥ Thấy x(0) phải điều kiện ban đầu không mâu thuẫn x(0) ∈ Img AD A Trong trường hợp ta biết nghiệm Img AD A ta lấy V = Img AD A Bổ đề tới không gian xác định cho A, Bổ đề 2.3.5 Với V = Img AD A , ta có V ∩ ker(A) = V 44 Chứng minh Nếu x ∈ Img AD A = Img Ak x ∈ ker(A), x ∈ ker(A) ⊆ ker(Ak ) Do V ∩ ker(A) = Bất đẳng thức (2.9) µV [A, B] < với V = Img AD A lim Ax(t) = 0, t→∞ bất đẳng thức với ổn định tiệm cận nghiệm Mệnh đề 2.3.6 lim Ax(t) = lim x(t) = t→∞ t→∞ Chứng minh Thấy x(t) = AD Ax(t) = AD (cA + B)−1 Ax(t) 45 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày khái niệm chuẩn lôgarit cho ma trận, cặp ma trận Bên cạnh việc nêu định nghĩa, cố gắng sưu tầm trình bày chi tiết tính chất chúng Hơn nữa, ứng dụng đánh giá sai số hay ước lượng tốc độ tăng nghiệm phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đại số trình bày 46 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Tiếng Anh [2] W A Coppel (1965), Stability and Asymptotic Behavior or Differential Equations, Heath Mathematical Monographs [3] J W Demmel (1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia [4] C A Desoer, H Haneda (1972), “The measure of a matrix as a tool to analyze computer algorithms for circuit analysis”, IEEE Transaction on Circuit Theory, 19(5):480-486 [5] G H Golub, C F Van Loan (1996), Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press [6] I Higueras, B Garcia-Celayeta (1999), “Logarithmic norms for matrix pencils”, SIAM J Matrix Anal Appl., 20(3):646-666 [7] G Săoderlind (2006), “The logarithmic norm, History and modern theory”, BIT Numerical Mathematics, 46:631-652 [8] T Strom (1975), “On logarithmic norms”, SIAM J Numer Anal., 12(5):741-753 ... hiệu x p chuẩn p x ∞ chuẩn vô A P chuẩn ma trận A P A, B chuẩn cặp ma trận A, B V tích vơ hướng ·, · · V m chuẩn véc tơ Rm Q ma trận chuyển vị ma trận Q µ(A) chuẩn lôgarit ma trận A µP (A) chuẩn. .. chuẩn max |aij |2 1/2 = A F gọi chuẩn Frobenius Định nghĩa hữu ích cho việc chặn chuẩn tích ma trận Định nghĩa 1.1.14 Cho · m×n chuẩn ma trận ma trận m × n, · n×p chuẩn ma trận ma trận n × p Các chuẩn. .. thúc số ứng dụng chuẩn lôgarit ma trận Chương Chuẩn lôgarit cặp ma trận Chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chuẩn lơgarit cho cặp ma trận (A, B) tính chất chuẩn lôgarit cặp ma trận Khái niệm