Ngày nay, tầm quan trọng của lý thuyết ma trận được biết đến rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong vật lý, bao gồm quang học, điện từ học, cơ học lượng tử, cơ học cổ điển và điện động lực học lượng tử, chúng được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động của vật rắn và nghiên cứu các quỹ đạo tuần hoàn Hamilton. Trong kỹ thuật đồ họa máy tính ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều. Trong lý thuyết xác suất và thống kê, các ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để miêu tả tập hợp. Lý thuyết ma trận giúp tìm nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. Trong giải tích số ma trận được dùng để phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các ma trận đặc biệt, như ma trận sparse và ma trận chéo, giúp giải quyết những bài toán phức tạp và những tính toán khác. Phép tính ma trận tổng quát hóa các khái niệm trong giải tích như đạo hàm và hàm mũ đối với số chiều lớn hơn. Đặc biệt, giải tích ma trận trở thành một chủ đề độc lập trong toán học bởi một số lượng lớn các ứng dụng của nó. Một trong các công cụ chính trong giải tích ma trận là định lý chéo hóa Williamson và một số kết quả về giá trị riêng. Trong toán học, giải tích ma trận nghiên cứu về các cấu trúc tôpô trên ma trận, hàm ma trận và các bất đẳng thức toán tử. Chính vì một số
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– TRIỆU VIỆT THỊNH MA TRẬN ĐỐI XỨNG LỆCH VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– TRIỆU VIỆT THỊNH MA TRẬN ĐỐI XỨNG LỆCH VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HỒ MINH TOÀN THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Hồ Minh Toàn Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực, không chép chưa cơng bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng tài liệu, thơng tin đăng tải tạp trí số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng 06 năm 2020 Tác giả Triệu Việt Thịnh Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Hồ Minh Toàn i Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn tơi nhận giúp sức hướng dẫn bảo nhiệt tình người hướng dẫn khoa học, TS Hồ Minh Toàn Ngồi ra, q trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cô Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, trau dồi thêm nhiều kiến thức, kỹ phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tôi muốn gửi lời cảm ơn môn Giải tích, Khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm Thái Ngun, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tơi cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tơi mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cơ, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 06 năm 2020 Tác giả Triệu Việt Thịnh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Lời mở đầu 1 Giới thiệu không gian véc tơ đối xứng lệch 1.1 Một số khái niệm ví dụ 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Ví dụ 1.2 Cơ sở đối xứng lệnh 1.3 Trực giao Gram-Schmidt đối xứng lệnh Ma trận Đối xứng lệnh giá trị riêng 2.1 2.2 14 Ma trận đối xứng lệnh, số tính chất ví dụ 14 2.1.1 Giới thiệu ma trận đối xứng lệnh 14 2.1.2 Đa thức Pfaffian ma trận phản xứng 15 2.1.3 Một số ví dụ 16 Một số kết giá trị riêng 18 2.2.1 Giá trị riêng ma trận đối xứng lệch 18 2.2.2 Nhóm Unita U(n) 19 iii 2.3 Định lý chéo hóa Williamson ứng dụng 22 2.3.1 Định lý chéo hóa Williamson 22 2.3.2 Ứng dụng 29 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R2n không gian véctơ 2n− chiều E1 ⊕ E2 tổng trực tiếp hai không gian véc tơ dim A số chiều không gian A ∅ tập rỗng det A định thức ma trận A AT ma trận chuyển vị A Sp(n) tập tất ma trận symplectic cấp 2n Pf(A) đa thức Pfaffian ma trận A U(n) tập tất ma trận unita cấp n Specσ (M ) phổ symplectic M || · || chuẩn tốn tử thơng thường ||| · ||| chuẩn bất biến unita ✷ kết thúc chứng minh v Lời mở đầu Ngày nay, tầm quan trọng lý thuyết ma trận biết đến rộng rãi nhiều lĩnh vực khác Có thể thấy ứng dụng lý thuyết ma trận hầu hết lĩnh vực khoa học Trong vật lý, bao gồm quang học, điện từ học, học lượng tử, học cổ điển điện động lực học lượng tử, chúng sử dụng để nghiên cứu tượng vật lý, chuyển động vật rắn nghiên cứu quỹ đạo tuần hoàn Hamilton Trong kỹ thuật đồ họa máy tính ma trận sử dụng để chiếu ảnh chiều lên hình chiều Trong lý thuyết xác suất thống kê, ma trận ngẫu nhiên sử dụng để miêu tả tập hợp Lý thuyết ma trận giúp tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Trong giải tích số ma trận dùng để phát triển thuật tốn hữu hiệu cho tính tốn ma trận, phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa tính tốn mặt lý thuyết lẫn thực hành Những thuật toán dựa cấu trúc ma trận đặc biệt, ma trận sparse ma trận chéo, giúp giải toán phức tạp tính tốn khác Phép tính ma trận tổng qt hóa khái niệm giải tích đạo hàm hàm mũ số chiều lớn Đặc biệt, giải tích ma trận trở thành chủ đề độc lập toán học số lượng lớn ứng dụng Một cơng cụ giải tích ma trận định lý chéo hóa Williamson số kết giá trị riêng Trong tốn học, giải tích ma trận nghiên cứu cấu trúc tô-pô ma trận, hàm ma trận bất đẳng thức toán tử Chính số lượng lớn ứng dụng lý thuyết ma trận mà chủ đề giải tích ma trận ln chọn làm đề tài nghiên cứu khoa học Trong luận văn chúng tơi trình bày số kiến thức không gian véc tơ đối xứng lệch, định lý Gram-Schmidt trực giao hóa đối xứng lệch, định lý chéo hóa Williamson phổ đối xứng lệch Phần trích dẫn tài liệu số [1] [2] Ứng dụng kết nghiên cứu ma trận đối xứng lệch, tơi trình bày số kết chuẩn bất biến unita qua giá trị riêng đối xứng lệch Nội dung phần trích dẫn tài liệu số [3] [4] Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương cụ thể sau: Chương Giới thiệu không gian véc tơ đối xứng lệch Trong chương giới thiệu tổng quan số khái niệm ví dụ trích dẫn sách “Symplectic geometry and quantum mechanics” Và giảng “Introduction to symplectic mechanics: lectures I-II-III, lecture notes (2006)” tác giả Maurice de Gosson Chương Ma trận đối xứng lệch giá trị riêng Đây phần luận văn, chương giới thiệu ma trận đối xứng lệch, số tính chất ví dụ minh họa Tiếp theo tơi trình bày số tính chất ma trận đối xứng lệch, định lý chéo hóa Williamson, phổ đối xứng lệch Phần cuối chương chúng tơi trình bày chuẩn bất biến unita liên quan tới phổ đối xứng lệch Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Triệu Việt Thịnh Chương Giới thiệu khơng gian véc tơ đối xứng lệch Trong tồn luận văn, từ khóa symplectic tạm dịch đối xứng lệch 1.1 Một số khái niệm ví dụ 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho E không gian véc tơ thực Một dạng dạng đối xứng lệnh (a symplectic form hay skew-product) E ánh xạ ω : E × E → R thỏa mãn ba điều kiện sau • Tuyến tính biến: ω (α1 z1 + α2 z2 , z ) = α1 ω (z1 , z ) + α2 ω (z2 , z ) ω (z, α1 z1 + α2 z2 ) = α1 ω (z, z1 ) + α2 ω (z, z2 ) với z, z , z1 , z1 , z2 , z2 ∈ E α1 , α2 , α1 , α2 ∈ R • Đối xứng lệch (nói cách khác phản xứng): ω (z, z ) = −ω (z , z) với z, z ∈ E Do U ∈ O(2n, R), điều chứng minh U(n) ⊂ Sp(n) ∩ O(2n, R) Chứng minh chiều ngược lại: giả sử U ∈ Sp(n) ∩ O(2n, R) JU = U T −1 J = U J Điều có nghĩa U ∈ U(n) Vì Sp(n) ∩ O(2n, R) ⊂ U(n) Tương tự ta chéo hoá ma trận đối xứng lệnh sau: Mệnh đề 2.2.3 Cho S ma trận đối xứng ma trận đối xứng lệnh cấp 2n Đặt λ1 ··· λn n giá trị riêng nhỏ S tập hợp Λ = diag λ1 , , λn ; 1 , , λ1 λn Khi tồn U ∈ U(n) cho S = U T ΛU Chứng minh Do S > nên theo Mệnh đề 2.1.7 suy giá trị riêng S xuất theo cặp λ, số dương λ 1 Nếu λ1 · · · λn n giá trị riêng , , n giá trị λ1 λn riêng khác Đặt U ma trận trực giao cho S = U T ΛU với Λ xác định 1 công thức Λ = diag λ1 , , λn ; , , λ1 λn Chọn U ∈ U(n) nên U viết dạng A −B U= B A với AB T = B T A, AAT + BB T = I Đặt e1 , , en n véc tơ riêng trực giao U tương ứng với giá trị riêng λ1 , · · · , λn Do SJ = JS −1 (vì S vừa đối xứng lệnh vừa đối 20 xứng) với k n, ta có SJek = JS −1 ek = Jek λj ±Je1 , , ±Jen véc tơ riêng trực giao U tương ứng với n 1 giá trị riêng , , Ta viết ma trận cấp 2n × n tương ứng với λ1 λn véc tơ riêng trực giao (e1 , , en ) A [e1 , , en ] = B A, B ma trận cấp n × n; ta có A −B [−Je1 , , −Jen ] = −J = B A U viết dạng U = [e1 , , en ; −Je1 , , −Jen ] = A −B B A Khi AB T = B T A, AAT + BB T = I U T U = I Từ Mệnh đề 2.1.9 ta suy số hệ sau đây: Hệ 2.2.4 (i) Với α ∈ Z tồn R ∈ Sp(n), R > 0, R = RT cho S = Rα (ii) Ngược lại, R ∈ Sp(n) xác định dương Rα ∈ Sp(n) với α ∈ Z Chứng minh 21 (i) Kí hiệu 1 1 α α α Λ := diag λ1 , , λn ; , , 1 λα λnα 1 Đặt R := U T Λ α U Rα = U T ΛU = S (ii) Ta có Rα = U T ΛU 2.3 2.3.1 α = U T Λα U ∈ Sp(n) Định lý chéo hóa Williamson ứng dụng Định lý chéo hóa Williamson Nội dung định lý Williamson ta chéo hóa ma trận đối xứng xác định dương M cách sử dụng ma trận đối xứng lệnh ma trận chéo có dạng đơn giản D= Λσ 0 Λσ , phần tử đường chéo Λσ moduli giá trị riêng JM Đây kết quan trọng máy tính lượng tử, tơ-pơ đối xứng lệnh Williamson chứng minh kết vào năm 1963 chứng minh lại nhiều lần với phương pháp khác Cho M ma trận thực đối xứng cấp m × m cho M = M T Từ Đại số tuyến tính cho biết tất giá trị riêng λ1 , λ2 , , λm M thực chéo hóa cách phép biến đổi trực giao M = RT DR với R ∈ O(m) D = diag [λ1 , λ2 , , λnm ] Định lí Williamson cung cấp cho dạng đối xứng lệnh kết Nội dung định lý cho ta biết ma trận đối xứng M xác định dương chéo hóa ma trận đối xứng lệnh theo cách 22 riêng Do tầm quan trọng thứ kéo theo, ta mơ tả chi tiết quy trình chéo hóa Williamson sau Định lý 2.3.1 (Định lý Williamson) Cho M ma trận thực, đối xứng có kích cỡ 2n × 2n Khi (i) Tồn S ∈ Sp(n) cho ST M S = Λ 0 Λ , Λ ma trận đường chéo, phần tử λj Λ xác định điều kiện sau: ±iλj giá trị riêng JM (ii) Dãy λ1 , , λn (không kể thứ tự) không phụ thuộc vào lựa chọn ma trận chéo hóa S Chứng minh Ta tiến hành chứng minh sau: (i) Kiểm tra nhanh trường hợp M = I thấy giá trị riêng ±i Kí hiệu ·, · M tích vơ hướng liên kết với M định nghĩa sau: z, z M = M z, z Do ta tìm thấy ma trận khả nghịch K cấp 2n cho z, Kz M = σ (z, z ) với z, z , ma trận thỏa mãn K T M = J = −M K 23 Do dạng đối xứng lệnh (skew-product) có tính phản xứng nên ta có K = −K M K M = −M −1 K T M chuyển vị K ·, · M Kéo theo giá trị riêng K = −M −1 có dạng ±iλj , λj > giá trị JM −1 ±iλ−1 j Gọi véc tơ riêng tương ứng ej ± ifj Do ei , fj sở chuẩn tắc R2n với tích vơ hướng ·, · M i,j n cho Kei = λi fi Kfj = −λj ej Điều kéo theo K ei = −λ2i ei , Khi véc tơ sở ei , fj σ ei , ej = ei , Kej K fj = −λ2j fj i,j n thỏa mãn = λj ei , fj M M =0 σ fi , fj = fi , Kfj M = −λj fi , ej M σ fi , ej = fi , Kej M = λi ei , fj = −λi δij −1/2 Đặt ei = λi −1/2 ei fj = λj M =0 fj , sở ei , fj i,j n đối xứng lệnh Gọi S ∈ Sp(n) cho ảnh sở tắc qua ánh xạ tuyến tính S thành sở {ei , fj }1 i,j n Khi ta có ST M S = Λ 0 Λ với Λ = diag [λ1 , , λn ] (ii) Để chứng minh tính (ii) ta cần tồn S ∈ Sp(n) cho S T LS = L với L = diag[Λ, Λ], L = diag [Λ , Λ ] Λ = Λ Vì S đối xứng lệnh ta có S T JS = J S T LS = L tương đương với S −1 JLS = JL điều kéo theo JL JL có giá trị riêng Các giá trị riêng số phức ±i/λj 24 Mệnh đề 2.3.2 Giả sử S S phần tử Sp(n) cho T M = (S ) DS = S T DS, D dạng đường chéo Định lý Williamson Khi S(S )−1 thuộc U(n) Chứng minh Đặt U = S(S )−1 ta có U −T DU = D Để chứng minh U thuộc U(n) ta cần chứng minh U J = JU Đặt R = D1/2 U D−1/2 ta có RT R = D−1/2 U T DU D−1/2 = D−1/2 DD−1/2 = I Do R ∈ O(2n) Vì J giao hốn với lũy thừa D JU = U T −1 J nên ta có JR = D1/2 JU D−1/2 = D1/2 U T −1 JD−1/2 = D1/2 U T −1 D−1/2 J = RT −1 J Do R ∈ Sp(n) ∩ O(2n) nên JR = RJ Bây đặt U = D−1/2 RD1/2 suy JU = JD−1/2 RD1/2 = D−1/2 JRD1/2 = D−1/2 RJD1/2 = D−1/2 RD1/2 J = UJ Vậy mệnh đề chứng minh 25 Từ mệnh đề ta suy nhận xét sau đây: Nhận xét 2.3.3 Đặt M ma trận thực xác định dương: M > Theo Định lý Williamson, giá trị riêng JM thỏa ±iλσ,j với λσ,j > Ta ln xếp số dương λσ,j theo thứ giảm λσ,1 λσ,2 λσ,n > Định nghĩa 2.3.4 Với quy ước đặt bên (λσ,1 , λσ,n ) gọi “phổ đối xứng lệnh” M kí hiệu Specσ (M ) Specσ (M ) = (λσ,1 , , λσ,n ) Mệnh đề 2.3.5 Cho Specσ (M ) = (λσ,1 , , λσ,n ) phổ đối xứng lệnh M Khi ta có: (i) Specσ (M ) bất biến đối xứng lệnh Specσ S T M S = Specσ (M ), với S ∈ Sp(n) −1 −1 (ii) Dãy (có thứ tự) λ−1 : σ,n , , λσ,1 phổ đối xứng lệnh M Specσ M −1 = (Specσ (M ))−1 Chứng minh Ta chứng minh cụ thể sau (i) Là hệ tức thời định nghĩa Specσ (M ) (ii) Các giá trị riêng JM giống M 1/2 JM 1/2 ; giá trị riêng JM −1 giá trị riêng M −1/2 JM −1/2 Đặt M −1/2 JM −1/2 = − M 1/2 JM 1/2 26 −1 t nên phổ đối xứng lệnh thu cách lấy modun giá trị Do giá trị riêng JM JM −1 lấy từ phép biến đổi t → − riêng Dưới kết cho phép so sánh phổ đối xứng lệnh hai ma trận đối xứng Định lý 2.3.6 Cho M M hai ma trận đối xứng xác định dương có kích cỡ Khi ta có M ⇒ Specσ (M ) M Specσ (M ) Chứng minh Khi hai ma trận A B có giá trị riêng ta viết A B Khi ma trận A nhỏ B (đối với thứ tự định) ta viết A đảo ta có AB B Lưu ý ma trận A B nghịch BA, với kí hiệu phát biểu tương đương với: M M ⇒ (JM )2 (JM )2 giá trị riêng JM JM xuất theo cặp ±iλ, ±iλ với λ λ số thực Mối quan hệ M M tương đương với z T M z với z ∈ R2n Thay z liên tiếp JM 1/2 z JM zT M z 1/2 zT M z z z T M z ta có kể tới trường hợp J T = −J, J T = −J ta có: M 1/2 JM JM 1/2 M 1/2 JM JM 1/2 M 1/2 JM JM 1/2 M 1/2 JM JM 1/2 Chú ý ta có M 1/2 JM JM 1/2 M JM J M 1/2 JM JM 1/2 M JM J 27 M JM J ta viết lại quan hệ JM 1/2 JM JM 1/2 M JM M 1/2 JM JM 1/2 M JM J vậy, tính bắc cầu ta có M 1/2 JM JM 1/2 M 1/2 JM JM 1/2 Do ta có M 1/2 JM JM 1/2 M 1/2 JM JM 1/2 (M J)2 (M J)2 M 1/2 JM JM 1/2 tương đương với (M J)2 Mối quan hệ M 1/2 JM JM 1/2 (M J)2 Định lý chứng minh Hệ 2.3.7 Đặt M ma trận thực đối xứng xác định dương cỡ 2n × 2n biểu thị M ellipsoid R2n xác định M z, z M : M z, z 1: Theo Định lý Williamson tồn S ∈ Sp(n) cho S T M S = D với D = diag[Λ, Λ] Λ = diag [λ1,σ , , λn,σ ] (λ1,σ , , λn,σ ) phổ đối xứng lệnh M Nó kéo theo −1 n S (M) : j=1 λj,σ x2j + p2j 1 gọi bán kính đối xứng λ1,σ π lệnh ellipsoid M, cσ (M) = πRσ2 = diện tích đối xứng lệnh λ1,σ ellipsoid Các tính chất diện tích đối xứng lệnh tóm tắt hệ Định nghĩa 2.3.8 Số Rσ (M) = sau rút từ Định lý 2.2.6 28 Hệ 2.3.9 Cho M M hai ellipsoid R2n , σ (i) Nếu M ⊂ M cσ (M) cσ (M ) (ii) Với S ∈ Sp(n) ta có cσ (S(M)) = cσ (M) (iii) Với λ > ta có cσ (λM) = λ2 cσ (M) Chứng minh (i) Giả sử M : M z, z Specσ (M ) Specσ (M ) Nếu M ⊂ M M M : M z, z Specσ (M ) theo Định lý 2.2.6 ta có M Specσ (M ) λ1,σ (ii) Ta có S(M) : M z, z M M ⇒ λ1,σ với S = S −1 T M S −1 ta có M phổ đối xứng lệnh tương tự M theo Mệnh đề 2.2.5 (iii) Hiển nhiên với λ > ta có cσ (λM) = λ2 cσ (M) Mệnh đề hoàn toàn chứng minh 2.3.2 Ứng dụng Trong mục này, số ứng dụng phổ đối xứng lệnh việc nghiên cứu chuẩn bất biến unita trình bày Các kết trích tài liệu [4] Trước hết ta nhắc lại số kiến thức sở Một chuẩn ||| · ||| không gian ma trận vng cấp n (kí hiệu M (n)) gọi bất biến unita thỏa |||V AU ||| = |||A|||, với ma trận A ∈ M (n) ma trận unita U, V ∈ M (n) Ta kí hiệu || · || chuẩn tốn tử thơng thường, tức ||A|| = sup ||Ax|| = ||x||=1 29 λm (A∗ A), A∗ ma trận liên hợp A (tức A∗ thu từ A phép lấy liên hợp phần tử phép chuyển vị) λm (A∗ A) giá trị riêng lớn A∗ A Khi || · || chuẩn bất biến unita Ngồi ra, ta kí hiệu chuẩn || · ||2 chuẩn Frobenius sau: tr(A∗ A), ||A||2 = tr(X ) phép tốn lấy vết X Khi || · ||2 ma trận bất biến unita Thật ||U AV ||22 = tr((U AV )∗ U AV ) = tr(V ∗ A∗ U ∗ U AV ) = tr(A∗ A) = ||A||2 Kí hiệu P(2n) tập hợp ma trận xác định dương cấp 2n Với A ∈ P(2n), gọi dãy d1 (A), , dn (A) phổ đối xứng lệnh A Như d1 (A) ≤ d2 (A) ≤ · · · ≤ dn (A) Ta kí hiệu d(A) := (d1 (A), d2 (A), , d2n−1 (A), d2n (A)) d1 (A) = d2 (A) = dn (A, , d2n−1 (A) = d2n (A) = d1 (A) Định lý 2.3.10 Cho A, B hai phần tử P(2n) Đặt D (A) , D (B) ma trận chéo sau: D (A) = diag(d1 (A), d2 (A), , d2n−1 (A), d2n (A)) D (B) = diag(d1 (B), d2 (B), , d2n−1 (B), d2n (B)) Khi đó, với chuẩn bất biến unita ||| · ||| ta có: D (A) − D (B) ||A||1/2 + ||B||1/2 |A − B|1/2 Trường hợp đặc biệt với chuẩn toán tử chuẩn Frobenius, ta có √ n 2 max |dj (A) − dj (B)| j n 1/2 ||A||1/2 + ||B||1/2 ||A − B||1/2 , |dj (A) − dj (B)|2 ||A||1/2 + ||B||1/2 (tr |A − B|)1/2 j=1 30 Chứng minh Đặt A ma trận Hermitian Eig↓ (A) ma trận chéo mà phần từ nằm đường chéo giá trị riêng theo thứ tự giảm dần A, Theo Định lý “Lidskii-Wielandt” ta có Eig↓ (A) − Eig↓ (B) |||A − B||| Nếu A ∈ P(2n) giá trị riêng dj (A) với số đối giá trị riêng ma trận Hermitian iA1/2 JA1/2 Vì vậy, theo Định lý “Lidskii-Wielandt”, với A, B ∈ P(2n), ta có: A1/2 JA1/2 − B 1/2 JB 1/2 D(A) − D(B) A1/2 JA1/2 − A1/2 JB 1/2 = A1/2 J A1/2 − B 1/2 A1/2 J = A1/2 − B 1/2 A1/2 + B 1/2 A1/2 JB 1/2 − B 1/2 JB 1/2 + + + A1/2 − B 1/2 JB 1/2 A1/2 − B 1/2 A1/2 − B 1/2 JB 1/2 Theo [5, Định lý X.1.3], ta có 1/2 A1/2 − B 1/2 |A − B| Kết hợp với bất đẳng thức ta thu D (A) − D (B) ||A||1/2 + ||B||1/2 |A − B|1/2 Áp dụng trường hợp đặc biệt chuẩn ||| · ||| chuẩn toán tử || · || hay chuẩn Frobenius || · ||2 , ta suy √ n 2 max |dj (A) − dj (B)| j n 1/2 ||A||1/2 + ||B||1/2 |dj (A) − dj (B)|2 ||A||1/2 + ||B||1/2 (tr |A − B|)1/2 j=1 Vậy định lý chứng minh hồn tồn 31 |A − B|1/2 , Ví dụ 2.3.11 Cho γ số dương, đặt I O γI O , B = A= O I O I Khi ta có: D(A) = γ 1/2 O I O γ 1/2 I , D(B) = I O O I cho nên, γ ≥ 1, D(A) − D(B) = γ 1/2 − 1, A − B = γ − điều với số γ đủ lớn, D(A) − D(B) A − B γ 1/2 Vậy điều kiện Định lý 2.3.10 thảo mãn 32 1/2 gần Kết luận Trong luận văn thu kết cụ thể sau: Trình bày kiến thức sở giới thiệu tổng quan không gian véc tơ đối xứng lệch bao gồm dạng đối xứng lệnh, tổng trực tiếp hai không gian đối xứng lệnh, sở đối xứng lệnh, tích trực giao-đối xứng lệnh số ví dụ minh họa cho định nghĩa Tiếp theo trình bày Định lý Gram-Schmidt trực giao hóa đối xứng lệnh số hệ ý theo sau định lý Trình bày ma trận đối xứng lệnh giá trị riêng • Giới thiệu ma trận đối xứng lệnh, số tính chất ví dụ minh họa • Một số kết giá trị riêng ma trận đối xứng lệnh Tiếp theo nhóm unita số kết chuẩn bất biến unita qua giá trị riêng đối xứng lệnh • Định lý chéo hóa Williamson, phổ đối xứng lệnh, số kết kèm theo định lý 33 Tài liệu tham khảo [1] M de Gosson, 2006 Symplectic Geometry and Quantum Mechanics, Birkhăauser Basel [2] Introduction to symplectic mechanics, 2006: Lectures I-II-III Lecture Notes from a course at the University of St-Paulo, May-June [3] Bruijn, de, N G, (1955) On some multiple integrals involving determinants, Journal of the Indian Mathematical Society New Series, 19, 133-151 [4] Rajendra Bhatia and Tanvi Jain, (2015) On symplectic eigenvalues of positive definite matrices, J Math Phsy 56, 112-201 [5] Rajendra Bhatia, 1997 Matrix Analysis, Springer 34 ... 2.2.1 Một số kết giá trị riêng Giá trị riêng ma trận đối xứng lệch Bây giời bàn giá trị riêng ma trận đối xứng lệnh Từ lâu người ta biết giá trị riêng ma trận đối xứng lệnh đóng vai trị việc nghiên... hóa đối xứng lệnh số hệ ý theo sau định lý Trình bày ma trận đối xứng lệnh giá trị riêng • Giới thiệu ma trận đối xứng lệnh, số tính chất ví dụ minh họa • Một số kết giá trị riêng ma trận đối xứng. .. Trực giao Gram-Schmidt đối xứng lệnh Ma trận Đối xứng lệnh giá trị riêng 2.1 2.2 14 Ma trận đối xứng lệnh, số tính chất ví dụ 14 2.1.1 Giới thiệu ma trận đối xứng lệnh 14