3 Tính toán hoành độ giả phổ của ma trận
3.2 Thành phần liên thông của giả phổ
Chúng ta có kết quả quan trọng sau.
Định lý 3.2.1 [2] Mọi thành phần liên thông của giả phổ chặt của ma trận A chứa một giá trị riêng của A.
Chứng minh: Giả sử tập S là một thành phần liên thông của giả phổ chặt Λ0
(A) không chứa giá trị riêng nào của A. Hàm g đạt được giá trị nhỏ nhất trên tập compact clS tại điểm z nào đó, và rõ ràng g(z)< , do đó z ∈Λ0
(A). VìS mở và không chứa giá trị riêng nào, theo Định lý 2.5.2 suy raz 6∈S. Nhưng vì Λ0
(A)mở, nó chứa một hình tròn mở D có tâm tại z. Vì z ∈ clS, ta biết rằng D∩S 6=∅, và do đó D∪S là một tập con liên thông đường của Λ0(A) lớn hơn S. Và ta có điều mâu thuẫn với định nghĩa của S.
Ta có hệ quả của định lí trên như sau.
Bổ đề 5 [2]Với mọi điểmz1 ∈Λtồn tại một điểmz2 thỏa mãnRez1 = Rez2 vàg(z2) =.
Chứng minh: Đơn giản ta lấy z2 trên biên của giả phổ và là giao điểm của đường thẳng
đứng đi qua z1 và giả phổ Λ(A)(là tập compact).
Định lý 3.2.2 [2] Với bất kì số thực x≥α(A), các khẳng định sau đây là tương đương: 1. x≤α(A); 2. phương trình g(x+iy) =, y∈R, (3.2.1) giải được; 3. hệ iy∈Λ xI−A∗ I −I A−xI , y∈R, (3.2.2) giải được.
Chứng minh: Trước tiên ta chỉ ra 1.⇒2.. Nếux=α(A), thì chọn tùy ý điểm z là nghiệm của bài toán hoành độ giả phổ (2.2.1). Rõ ràng z =x+iy với y thực nào đó, và g(z) =,
vì vậy ta đã chỉ ra (3.2.1) có nghiệm. Ta có thể giả sử rằng x < α(A), trong trường hợp này tồn tại một điểm z1 sao cho Rez1 > x và g(z1) < . Thành phần liên thông của z1 trong giả phổ chặt Λ0
(A) chứa một giá trị riêng z2 theo Định lý 3.2.1. Do đó tồn tại một dây cung trong thành phần liên thông này nối z1 và z2. Nhưng vì Rez1 > x ≥Rez2, nên cung này phải chứa điểmz3 màRez3 =x, áp dụng Bổ đề 5 cho nghiệm của (3.2.1).
2.⇒3. theo Bổ đề 1.
3.⇒1.theo Bổ đề 1: nếu (3.2.2) đúng, thìlà một giá trị kì dị của ma trậnA−(x+iy)I, và do đó giá trị kì dị nhỏ nhất của ma trận này không lớn hơn , khi đó ta thu được điều
cần chứng minh.