Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ - - PHẠM THỊ NGUYỆT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP TÍNH CHÉO HĨA CỦA MA TRẬN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÚ THỌ - 2012 MỤC LỤC Danh mục ký hiệu Mở đầu……………………………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị …………………………………………… 1.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính.…………………………………… 1.2 Ma trận nghịch đảo.…………………………………………………… 1.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở Ma trận đồng dạng… 1.4 Vectơ riêng - Giá trị riêng …………………………………………… Chương Tính chéo hóa ma trận …………………………………… 12 2.1 Tính chéo hóa ma trận …………………………………………… 12 2.2 Chéo hóa đồng thời …………………………………………………… 21 2.3 Đa thức tự đồng cấu, đa thức ma trận ……………………….… 23 2.4 Một số ví dụ………………………………………………………… 26 Chương Một số ứng dụng ma trận chéo ……………… 35 3.1 Tính lũy thừa ma trận vuông 35 3.2 Xác định dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi 40 3.3 Giải số phương trình ma trận 47 3.4 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 51 Kết luận……………………………………………………………………… 57 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 58 DANH MỤC KÝ HIỆU A ~ B : Ma trận A đồng dạng với ma trận B Dn ( K ) : Tập hợp ma trận chéo cấp n trường K GLn ( K ) : Tập hợp ma trận vuông cấp n khả nghịch trường K L(V ) : Tập hợp tự đồng cấu không gian vectơ V M n ( K ) : Tập hợp ma trận vuông cấp n, có phần tử thuộc trường K χ A : Đa thức đặc trưng ma trận vuông A χ f : Đa thức đặc trưng đồng cấu f SpK ( f ) : Phổ tự đồng cấu f hay tập hợp giá trị riêng đồng cấu f SpK ( A) : Phổ ma trận A hay tập hợp giá trị riêng A L(e1 , , em ) : Không gian vectơ sinh hệ vectơ (e1 , , em ) λ KGCR( f , ): Không gian riêng tự đồng cấu f liên kết với giá trị riêng λ S n ( K ) : Tập hợp ma trận đối xứng cấp n với hệ tử K An ( K ) : Tập hợp ma trận phản đối xứng)cấp n với hệ tử K On ( ¡ ) : Tập ma trận trực giao M n ( ¡ ) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ma trận ứng dụng rộng rãi Tốn học tính tốn, Vật lý, Kinh tế nhiều ngành khoa học khác Trong Đại số tuyến tính, ma trận cơng cụ để nghiên cứu ánh xạ tuyến tính Chính vậy, ma trận ánh xạ tuyến tính có liên hệ chặt chẽ với Khi cho hai sở hai không gian vectơ ánh xạ tuyến tính hai khơng gian cho ta ma trận, ngược lại ma trận xác định ánh xạ tuyến tính Các giá trị riêng vectơ riêng ánh xạ tuyến tính xác định thơng qua ma trận, khơng gian bất biến ứng với giá trị riêng xác định Các giá trị riêng vectơ riêng ánh xạ tuyến tính công cụ để đưa ma trận dạng đơn giản ma trận chéo Giá trị riêng chéo hóa ma trận khám phá năm 1926 Augustin Luois Cauchy q trình ơng tìm công thức đơn giản cho đường bậc Cauchy chứng minh định lý phổ dụng cho ma trận tự liên hợp, ví dụ ma trận đối xứng chéo hóa Khi cho ma trận tự đồng cấu với sở đó, ta muốn tìm sở mà ma trận tự đồng cấu cho dạng “đẹp nhất” – dạng chéo ta nói ma trận cho chéo hóa Nếu ma trận A chéo hóa việc nghiên cứu tính chất (bảo tồn quan hệ đồng dạng) ma trận A dẫn đến việc nghiên cứu tính chất ma trận chéo vấn đề trở nên đơn giản nhiều Ma trận chéo ma trận vuông mà phần tử khơng ngoại trừ phần tử đường chéo Việc đưa ma trận ma trận chéo gọi chéo hóa ma trận Ma trận chéo có ứng dụng quan trọng việc tính lũy thừa ma trận vuông, xác định dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi số ứng dụng khác Thông qua ma trận chéo mà việc giải nhiều toán trở nên đơn giản Như vậy, qua trình học tập nghiên cứu, xuất phát từ tầm quan trọng ma trận chéo xuất phát từ nhu cầu thân, nhu cầu thực tế nhiều sinh viên, chọn đề tài: “Tính chéo hóa ma trận số ứng dụng” Thông qua việc nghiên cứu nội dung này, có thêm điều kiện để củng cố kiến thức học, đồng thời bổ sung nhiều điều bổ ích, rèn luyện khả nghiên cứu, làm việc khoa học Mục đích nghiên cứu - Mục đích khoa học công nghệ: Đưa điều kiện để ma trận chéo hóa ma trận bước để chéo hóa ma trận, ứng dụng ma trận chéo - Sản phẩm khoa học công nghệ: Đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Hùng Vương Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu véctơ riêng, giá trị riêng, ma trận chéo, tính chéo hóa ma trận - Nghiên cứu số ứng dụng ma trận chéo thơng qua tốn cụ thể Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan đến vectơ riêng, giá trị riêng, tính chéo hóa ứng dụng - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút kinh nghiệm để giải tốn chéo hóa ma trận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Ma trận - Phạm vi nghiên cứu: Tính chéo hóa ma trận ứng dụng ma trận chéo, tập trung chủ yếu trường số thực trường số phức Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận bao gồm có chương: Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.2 Ma trận nghịch đảo 1.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở Ma trận đồng dạng 1.4 Vectơ riêng - Giá trị riêng Chương Tính chéo hóa ma trận 2.1 Tính chéo hóa ma trận 2.2 Chéo hóa đồng thời 2.3 Đa thức tự đồng cấu, đa thức ma trận 2.4 Một số ví dụ Chương Một số ứng dụng ma trận chéo 3.1 Tính lũy thừa ma trận vuông 3.2 Xác định dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi 3.3 Giải số phương trình ma trận 3.4 Đưa dạng tồn phương dạng tắc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm ma trận ánh xạ tuyến tính, ma trận nghịch đảo, ma trận đồng dạng Ngoài khái niệm vectơ riêng, giá trị riêng cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng nêu Đây kiến thức trọng tâm để chuẩn bị cho phần nội dung chương sau 1.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.1 Giả sử V W K - không gian vectơ với sở r r r r r r  ε   ε1,ε , ,ε n  ,  ξ   ξ1,ξ , ,ξ m , f : V  W ánh xạ tuyến mà εr )) ξur ξ ξuu ξr ξuu ξr f (  a11  a21   am1 m ur uur uur r f (  a12  a22   am m (1) ur ur uur r f ( n  a1n  a2 n   amn m   Ma trận  a11 a12 a a22 A   21    am1 am a1n  a2 n    amn  gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f sở ( ε) ξ) ( Có thể viết gọn đẳng thức (1) sau: ε ) ξ, m r r f ( j   aij i với j  1, 2, , n i 1 ξ) Chú ý: Vì ( sở W nên thành phần aij xác định nhất, ma trận A xác định Giả sử 1V : V  V đồng cấu đồng không gian vectơ V r r r  ε   ε1,ε , ,ε n  sở V Khi đó: εr )) εr0ε 0εr0ε ε 0ε 0ε rε 1V (     n r r r r 1V (     n r r r r 1V ( n    n  Do ma trận 1V ( ε) là: 1     I       0 1 I gọi ma trận đơn vị Ma trận I   aij  gọi ma trận đơn vị nếu: 1, i  j aij   0, i  j Nếu V W hai K -không gian vectơ dimV  n,dimW  m đồng cấu có ma trận sở V W ma trận O kiểu (m, n) :  0   0   O      0  O gọi ma trận không, tức ma trận mà thành phần Kí hiệu tập hợp ánh xạ tuyến tính từ K - khơng gian vectơ V đến K - không gian vectơ W HomK (V ,W ) Sau mệnh đề nêu lên mối liên hệ HomK (V ,W ) với M ( m ,n ) ( K ) Mệnh đề 1.1 Giả sử V W hai K -không gian vectơ r r r r r r  ε   ε1,ε , ,ε n  ,  ξ   ξ1,ξ , ,ξ m sở cố định V W   Khi đó: a, Mỗi ma trận kiểu (m, n) xác định ánh xạ tuyến tính f :V  W b, Có song ánh φ : HomK (V ,W )  M ( m ,n ) ( K ) 1.2 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.2 Ma trận A  M n ( K ) gọi khả nghịch tồn ma trận B  M n ( K ) cho AB  I  BA B gọi ma trận nghịch đảo A Kí hiệu: B  A1 Định lí 1.2 Ma trận vng A có nghịch đảo A  1.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở Ma trận đồng dạng Giả sử V không gian vectơ n chiều trường K , α1 ,α , ,α n  (1) α1 ,α2 , ,αn  (1) sở W không gian vectơ m chiều trường K , chọn sở β1,β , ,β m  (2) β1 ,β2 , ,βm  (2) Gọi A, B ma trận f cặp sở (1), (2) (1),(2) S, T ma trận chuyển sở từ (1) sang (1) (2) sang (2)  Tìm quan hệ A, B, S, T Ta có A  (aij ) mn , B  (bij ) mn S  ( sij ) n , S không suy biến T  (tij ) m , T không suy biến α ) β, 1, , (3) m Theo giả thiết f ( j   aij i j  n i 1 α ) β, 1, , (4) m f ( j   bij i j  n i 1 n αj   sij α i , j  1, , n (5) i 1 m βj   tijβ i , j  1, , m (6) i 1 Từ (5) ta có : α ) α (α ) β β (*) n n n m n m       f ( j  f   sij i    sij f i   sij   aki k      aki sij  k i 1  i1  i1  k 1  i1  k 1  Mặt khác thay (6) vào (4): α ) β β (**) m m m m     f ( j   bij   thi h     thibij  h i 1  h1  i1  h1  Vì vectơ biểu thị qua sở Từ (*) (**) ta n m i 1 i 1  aki sij   thibij , ( k  1, , m; j  1, , n; h  1, , m ) Viết dạng ma trận ta có: AS  TB  B  T 1AS Định lí 1.3 Giả sử f :V  W ánh xạ tuyến tính có ma trận A sở (1) V sở (2) W , ngồi V có sở (1) W có sở (2) , với ma trận chuyển sở S, T Khi ma trận f sở (1) , (2) B  T 1 AS Định nghĩa 1.3 Hai ma trận A B gọi đồng dạng có ma trận T cho B  T 1 AT Kí hiệu A ~ B Hệ 1.4 Hai ma trận đồng dạng chúng hai ma trận tự đồng cấu 1.4 Vectơ riêng - Giá trị riêng Định nghĩa 1.4 Giả sử V không gian vectơ, f : V  V tự đồng r r cấu Vectơ α  V gọi vectơ riêng f tồn số k  K cho f( α) r αr k r Số k gọi giá trị riêng f ứng với vectơ riêng α Ta gọi tập hợp giá trị riêng f phổ f kí hiệu SpK ( f ) Nếu A ma trận tự đồng cấu f giá trị riêng f gọi giá trị riêng ma trận A Ta gọi tập hợp giá trị riêng A phổ A , kí hiệu SpK ( A) (hay Sp ( A) ) Định nghĩa 1.5 Giả sử f : V  V tự đồng cấu không gian vectơ V Không gian W V gọi không gian bất biến α) r r f với α  W ta có f ( W r Mệnh đề 1.5 Giả sử V không gian vectơ, tập hợp gồm vectơ vectơ riêng ứng với giá trị riêng k tự đồng cấu f : V  V không gian bất biến V gọi không gian riêng ứng với giá trị riêng k r r r Định lí 1.6 Nếu α1 , α , ,α p vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng đôi phân biệt k1 , k2 , , k p tự đồng cấu f chúng lập thành hệ vectơ độc lập tuyến tính Nhận xét: Giả sử dimV  n , B sở V, f  L(V ) A  Mat B ( f ) ma trận f sở B Khi đó: i, λ  K giá trị riêng f λ giá trị riêng A ii, α V  {0} vectơ riêng f ma trận cột tọa độ α α) sở B tức Mat B ( vectơ riêng A iii, Các vectơ riêng f ứng với giá trị riêng λ với vectơ lập nên không λ ) gian vectơ Ker ( f  Id v Định nghĩa 1.6 Giả sử ma trận tự đồng cấu f : V  V sở  ε   a11 a12 a a22 A   21    an1 an a1n  a2 n    ann  k gọi giá trị riêng ma trận A tồn x1 , x2 , , xn không đồng thời cho  x1   x1   x1  0      A M  k M hay ( A  kI )  M   M          xn   xn   xn  0  Nói cách khác n  aij x j  kxi j 1 hay với i  1,2, , n a11 x1  a12 x2   a1n xn  kx1 a x  a x   a x  kx  21 22 2n n   an1 x1  an x2   ann xn  kxn (1) (a11  k ) x1  a12 x2   a1n xn  a x  (a  k ) x   a x   22 2n n   21  an1 x1  an x2   (ann  k ) xn  (2) r α vectơ riêng ứng với giá trị riêng k tọa độ ( x1 , x2 , , xn ) nghiệm hệ phương trình (2)  un   3.2n  n    3.2  w   6.2n  n Suy : Vậy  số nguyên chia hết cho 2n Đó điều phải chứng minh Nhận xét: Ta xây dựng tốn xác định dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp với hệ số không đổi xuất phát từ ma trận chéo hóa Chẳng hạn:  2  Cho ma trận A   2 2  chéo hóa  2    Ta xây dựng toán sau:  un1   2   un   2un  2vn   v    2 2   v    2u  v  w  n n n  n1    n    w   2   w    2vn  n    n1    Như ta có tốn : Giả sử (un ) nN ,(vn ) nN ,( wn ) nN dãy xác định bởi: u0  v0  w0   un1  2un  2vn   vn1  2un   wn w  2vn  n1 Tính un , , wn Định nghĩa 3.2 Giả sử p  ¥ * ,(a0 , , a p1 )  K p Ta xét dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi (un ) n¥ xác định : (u0 , , u p1 )  K p  p 1   n  ¥ , u   aiuni  a0un   a p1un p1  n p i 0  Vấn đề tính un theo n , với n thuộc ¥ Phương trình giải trường hợp đặc biệt K  ¡ £ p  44 0 0  Kí hiệu A    0 a       M p ( K ) với n thuộc ¥ :   a p1  0 a1 a2 0  un   u  n 1  Xn       u n  p    Ta có với n thuộc ¥ 0  un1   u   n  Xn            un  p   a  0 a1 a2  un     un1     A X n    un p2   a p1   un p1  Như việc tính un đưa việc tính lũy thừa A Mặt khác, kí hiệu u j ,n  un j , j  0, , p  1 n thuộc ¥ ta đưa trường hợp dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp với hệ số khơng đổi Nhận xét: Dùng ma trận để xác định dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi phương pháp giúp ta giải toán cách đơn giản hơn, gọn nhẹ Ví dụ 3.7 Tìm số hạng tổng quát hai dãy số un , xác định : u0  a un1  2un ; ; n  ¥   v0  b  vn1  2vn Giải Đặt  un  2 0 a ; ; A X  X  v  n  b  2    n Ta : X n1  AX n 45 Giá trị riêng ma trận A là: λ1  λ  Các vectơ riêng tương ứng là: 1  0 α1    ;α    0 1 Do  2n An   0 0  2n  Nên  2n   a  n a X n  An X       b n     b  Vậy số hạng tổng quát hai dãy số cho là: un  2n a  n   b Ví dụ 3.8 Tính un , với n thuộc ¥ biết : u0  1, u1  1, u2   n  ¥ , un3  45un  39un1  11un2 0 0  lập thành đa thức đặc trưng : Giải Kí hiệu A    45 39 11   λ λ χ A (λ)  λ 45 39 11   λ3  11λ2  39λ  45  (λ  3) (λ  5) Vậy χ A tách ¡ giá trị riêng A (kép) (đơn) Tính khơng gian riêng thu được, khơng gian riêng W1 ứng với giá trị r riêng không gian sinh vectơ riêng α1  (1,3,9) Không gian riêng W3 ứng với giá trị riêng không gian sinh vectơ r riêng α  (1,5, 25) Vì giá trị riêng kép dimW1  , nên khơng chéo hóa r r r r Ta tam giác hóa A Ta tìm α ( x1 , x2 , x3 ) Aα  2α  α1 46  x  x1  r r r Ta có Aα  2α  α1    x3  x1  r Vậy ta chọn α (0,1,6) 1  Kí hiệu P    ;  25     0  5 1  1   1 T    ; ta có P   30 16 2  4 0 5     6  A  PTP 1  3n  Bằng quy nạp dễ dàng chứng tỏ: n  ¥ , T n   0  n3n1 n 0  0 5n    4n.3n1  5n   Từ đây, với n thuộc ¥ : X n  PT n P 1 X   4(n  1).3n  5n1   4(n  2).3n1  5n2    Cuối cùng: n  ¥ , un  4n.3n1  5n Nhận xét: Nếu ma trận xác định dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi khơng chéo hóa ta đưa ma trận ma trận tam giác, bước tìm dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi tương tự ma trận chéo hóa 3.3 Giải số phương trình ma trận Ví dụ 3.9 Tìm ma trận thực A vuông cấp cho A2013  B , với B ma trận 1 1   1 1   B  1 1     1  1  Có thể thấy tốn khó khơng nghĩ đến ma trận chéo Vì giải sau cho thấy “thuận lợi” Giải Đa thức đặc trưng ma trận B det( B  kI )  1 k 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 Các giá trị riêng k1  2, k2  (bội 3) Với k1  2 , ta có hệ 47  (2  k )3 (2  k ) 3 x1  x2  x3  x4   x  3x  x  x     x1  x2  x3  x4   x1  x2  x3  x4  3 x1  x2  x3  x4   0  x1  x2   x1  x2  x3  x4   x3  x4 0 r Nghiệm tổng quát hệ (a,  a,  a,  a ) Vectơ riêng α1  (1, 1, 1, 1) Với k2  , ta có  x1  x2  x3  x4 x  x  x  x    x1  x2  x3  x4  x1  x2  x3  x4 0 0  x1  x2  x3  x4  0 0 Nghiệm tổng quát hệ (a+b+c,a,b,c) Vectơ riêng r r r α  (1,1,0,0),α  (1,0,1,0),α  (1,0,0,1) Ma trận chuyển sở T 1  1 T   1   1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 0 1  T  1 1 1 0    0 1 1 1 1  Chọn ma trận C là:   2013   C     0 2013       2013 2 0 2013 0 Vậy ma trận 1  1 1 A  TCT    1   1 2013 1    0    0  0   2013 0 2013 0 48   1 1 1   1 1 1   1 1 1    2013   1       A 2013 2  2013 2   2013   2013  A 2013   2013  42013 42013 42013 22013 22013 22013 22013 2013  2013 2013  2013  1 1 1 1   1 1 1    1 1      1   2013  0 2013 0 42013     22013   22013     Ma trận cần tìm là: A   2013 2  2013 2 42013 42013 42013 22013 22013 22013 22013 42013     22013   22013  Một ví dụ khẳng định tính “ưu việt” chéo hóa ma trận: Ví dụ 3.10 Tìm tất ma trận B thuộc M (¡ ) cho B  A tr ( B )  , 2 1 A   1 2 1 1 2   (Trong tr  B  tổng phần tử đường chéo ma trận B ) Giải Đa thức đặc trưng A 2k det( A  kI )  1 2  k 1  k ( k  1) 2k Các giá trị riêng là: k1  (kép), k2  Với k1  , ta có  x1  x2  x3    x1  x2  x3   x  3x  x    x1  x2  x3  r r Nghiệm tổng quát (3a  b, a, b) Vectơ riêng α1 (3, 1,0), α (1,0, 1) Với k2  , ta có 49 2 x1  x2  x3    x1  x2  x3   x  3x  x    x1  x3   x1   x2 r Nghiệm tổng quát (a,  a, a ) Vectơ riêng α3 (1, 1,1) Ma trận chuyển sở P 3 1 1 1   1 P   1 1  P   1 3 2   1   1        Ma trận chéo D là: 1 0 D    0 0   Ta A  PDP 1 Giả sử B  M (¡ ), C  P 1BP Ta có B  A  C  D M Phân tích C thành khối: C   t U  M  VU t  I   MV  αV  Với C  D   t t  MU  αU  U tV  α   V , M  M ( ¡ ) α  (1) (2) (3) (4) α ) Từ (1) (4), ta suy ra: M V  V  V (U V )  (1  V t Từ (2): M 2V  αMV  α 2V α 0, , 0, 0, Từ V  0,  M  I MU t  U t  M 2U t  U  α 0) Như : C  D  ( M  I ,U  V  0,  Mặt khác : tr ( B )  tr (C )  tr ( M ) a b Kí hiệu M    , ta có c d   M  I a  d    tr ( M )  a  bc  Công thức cuối B  PCP 1 Vậy ma trận B cần tìm là: 50  4a  3b  c 9a  9b  2c 5a  6b  c  B    a  b  a  3b  a  2b  , (a, b, c)  ¡ , a  bc   a  c 3a  2c 2a  c   3.4 Đưa dạng tồn phương dạng tắc Định nghĩa 3.3 1, Cho A  (aij )  M n ( K ), x  ( x1 , x2 , , xn )  E , y  ( y1 , y2 , , yn )  E , ánh xạ φ : E  E  K , xác định bởi: n n φ( x, y )   aij xi y j (viết cách khác  ( x, y )  x t Ay ) i 1 i 1 gọi dạng song tuyến tính A gọi ma trận dạng song tuyến tính φ Trong trường hợp A ma trận đối xứng φ gọi dạng song tuyến tính đối xứng 2, Cho φ dạng song tuyến tính đối xứng ánh xạ Q : E  K , định φ( , ) Q( x)  x x gọi dạng toàn phương Lưu ý: Dạng tồn phương ma trận tương ứng phải có dạng đối xứng Giả sử Q dạng tồn phương không gian vectơ V , với sở α) λ (λ ) n r ε1 ,ε , ,ε n  V biểu thức tọa độ Q có dạng Q(   i xi2 i  K , i 1 r n α   xi ε i gọi dạng tắc dạng tồn phương Q i 1 Ví dụ 3.11 Đưa dạng tồn phương dạng tắc Q( x)  x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 1 Giải Ma trận Q là: A   2  Phương trình đặc trưng : λ 2λ 1 1 2 2   2λ λ λ        1 Vậy A có giá trị riêng λ  λ  1 (kép) + Với λ  , ta có hệ phương trình tuyến tính tìm vectơ riêng 51 4 x1  x2  x3   x1  c    x1  x2  x3    x2  c  2x  2x  4x  x  c   Ta vectơ riêng độc lập v1  1,1,1 chuẩn hoá ta  1  e1   , ,   3 3 + Với λ  1 , ta có hệ phương trình tìm vectơ riêng x1  x2  x3   x1    c1  c2    x2  c1  x3  c2  Ta hai vectơ riêng độc lập tuyến tính v2   1,1,0  , v3   1,0,1 Trực giao hoá ta f   1,1,0  , f3   1,0,1  1  1,1,0     ,  ,1  2  Chuẩn hoá ta :  1  e2    , ,0  2   1   e3    , ,  6 6  Từ đó, với     T      3  2   6   6      Ta có 5 0  B  T AT   1   0 1    1 52 Đặt    x1   x   2  x    3    3  2   6 y  1     y2    y      Khi ta có Q ( x)  y t By  Q ( x )  y12  y22  y32 Ví dụ 3.12 Giả sử Q dạng tồn phương khơng gian véctơ Ơ-cơ-lít ¡ xác định bởi: Q = xy  xz  yz đưa Q dạng tắc Giải Ma trận dạng toàn phương : 0 A   1  Giải phương trình đặc trưng 1   ma trận A, ta có ma trận A có giá trị riêng : λ1  1 , λ  , λ1 nghiệm kép +Với λ1  1 , Vectơ riêng ứng với giá trị riêng nghiệm hệ phương trình:  A  λ1I  X  Hay ta có hệ phương trình : x  y  z   x  y  z  x  y  z   Từ đó: vectơ riêng có dạng u    a  b, a, b  , a  b  ta có vectơ riêng độc lập tuyến tính : u1  1, 1,0  , u2  1,0, 1 Trực chuẩn hoá Gram- Schmidt hệ ta hệ trực chuẩn :      6  2     1     c1    , c2                53 + Với λ1  , vectơ riêng ứng với giá trị riêng nghiệm hệ phương trình  A  2.I  X  Hay ta có hệ phương trình  2 x  y  z    x  2y  z   x  y  2z   Giải hệ ta vectơ riêng có dạng u   a, a, a  , a  có vectơ riêng độc lập tuyến tính u3  1,1,1 Rõ ràng u3  u1 , u2 Chuẩn hố vectơ u3 ta có : Dạng tồn phương tắc :  x12  x22  x32 Và ma trận P có dạng :     1 P    Và công thức đổi biến : 6    3     x1   x  x   Pt  y   2    x3   z  Hay   x1   x  y     x  y  2z   x2    x  y  z  x3   54 Một số tập Bài 3.1 Tính An 2 1 a, A   ; 1 2  10 9  b, A   9 8 9   9        3n 1  3n  Đáp số: a, An     1  3n  3n    (1) n1.8n  (1) n1.8n  (1) n1.8n    b, An   1  (1) n 8n (1) n 8n 1  (1) n 8n   1  (1) n 8n 1  (1) n 8n (1) n 8n    1 Bài 3.2 Cho ma trận A   1  Chứng minh An không phụ thuộc  2 1   * vào n, n  ¥ Giải Đa thức đặc trưng : 2k det( A  kI )  1  k  k ( k  1) 2 1 Các giá trị riêng k1  0, k2  (kép) r Với k1  , ta tìm vectơ riêng α1  (1,1, 2) r r Với k2  , ta tìm vectơ riêng α  (1,0, 1),α3  (0,1,0) Ma trận chuyển sở T  1 0  1 1    1 T   1   T     2 1  1 1     0 0 Ma trận chéo B    0 1   Như An  PB n P 1  PBP 1  A (vì B n  B ) Vậy An khơng phụ thuộc vào n, n  ¥ * Bài 3.3 Tìm u , biết : n  u0  1, u1  a)  ; n¥ u  u  u  n  n 1 n 55 n n 1 Đáp số: u       n 2   u0  2, u1  b)  ; n¥ un   3un   2un  u0  2, u1   c)  ; n¥ u  ( u  u )  n2  n 1 n  u0  1, u1  d)  ;n¥ un   2un   un  Đáp số: u  n 2    Đáp số: u  2n  1, n  ¥ n 3 Đáp số: u   ( ) n , n  ¥ n 1  n  4 1  n Bài 3.4 (Olympic Tốn học sinh viên tồn quốc 1997) Giả sử u0 , v0 , w0 số thực cho trước Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số thực un , , wn  n  ¥  thoả mãn hệ phương trình: un1  un   wn   vn1  un   wn  w u v w n n n  n1 u0  v0  w0  2w  u  v   (2) n  0  3   u  v  w0  2v  u  w0   0  (2) n  0  3   u  v  w0  2u  v  w0  un  0  (2) n  0  3   Bài 3.5 Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc a, Q  x   x1 x2  x1 x3  x2 x3 Đáp số: wn  b, Q  x   x12  x1 x2  x1 x3  x1 x4  x22  x2 x3  x2 x4  x32  x42 c, Q  x   x12  x1 x2  x22  x32 Đáp số: a, Q( x)  z12  z22  z32 b, Q ( x)  x12  x22  x32  x42 c, Q ( x)  x12  x22  x32 56 KẾT LUẬN Thông qua vấn đề nghiên cứu, khóa luận: " Tính chéo hóa ma trận số ứng dụng" đạt số kết sau: Khóa luận trình bày cách hệ thống kiến thức ma trận chéo, điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa được, bước chéo hóa ma trận làm sở vận dụng vào giải tập Khóa luận đưa số ứng dụng ma trận chéo: tính lũy thừa ma trận vng, xác định dãy truy hồi tuyến tính với hệ số khơng đổi, giải phương trình ma trận, đưa dạng tồn phương dạng tắc Ngồi ra, khóa luận cịn cung cấp hệ thống tập làm tài liệu tham khảo cho sinh viên sư phạm Toán Hướng phát triển khóa luận tiếp tục nghiên cứu sâu ứng dụng ma trận chéo Hạn chế: Đây mảng kiến thức với hệ thống tập đa dạng, phong phú Do thời gian cịn hạn chế nên khóa luận chưa sâu nghiên cứu hết khía cạnh ma trận chéo 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Tuấn Hoa, (2006), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [3] Phan Huy Phú, Nguyễn Doãn Tuấn, ( 2001), Bài tập Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [4] Hồng Xn Sính - Trần Phương Dung, (2007), Bài tập Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Duy Thuận, (2006), Bài tập Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP, Hà Nội [6] Nguyễn Duy Thuận (chủ biên), Phí Mạnh Ban - Nơng Quốc Chinh, (2004), Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP, Hà Nội [7] Ngơ Việt Trung, (2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [8] Dương Quốc Việt (chủ biên), Nguyễn Cảnh Lương, (2006), Đại số tuyến tính, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [9] Jean- Marrie Monier, (2006), Giáo trình Toán – Tập (Đại số 2), Nhà xuất giáo dục, Hà Nội 58