Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT quan sơn xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

I MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong năm học 2019- 2020 phân công lên giảng dạy trường T.H.P.T Quan Sơn có khối 10 Trong q trình giảng dạy em tơi thấy nhiều em có học lực trung bình, số em có học lực yếu khá; Vì q trình dạy học tơi thấy em thiếu nhiều thứ kiến thức bản, kỹ năng, kỹ xảo giải tốn cịn thụ động sáng tạo q trình học tập rèn luyện Trong chương trình Đại Số 10 em học cách xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai nội dung quan trọng đại số lớp 10 Với cách hướng dẫn SGK tơi thấy cịn dài dòng, chưa đơn giản làm nhiều thời gian em Tơi thấy bất cập cần khắc phục nhu cầu cấp thiết phải có cách làm đơn giản hơn, dễ hiểu hơn, tiết kiệm thời gian làm mà lại có hiệu cao em MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với mong muốn giúp em xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai cách nhẹ nhàng hơn, dễ làm so với cách SGK nên mạnh dạn chọn "Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Quan Sơn xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai" Qua nội dung mong em đặc biệt em có học lực yếu, trung bình, xét dấu nhị thức bậc nhị thức bậc hai đồng thời cải thiện cách làm, tăng thêm kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán em ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; + Thống kê, xử lý số liệu; + Tổng hợp kiến thức có II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm + Đối với sáng kiến "Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Quan Sơn xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai" Ta cần nắm vững số kiến thức sau: + Cách tìm tập xác định hàm số, biểu thức (hoặc điều kiện xác định hàm số, biểu thức); + Cách giải phương trình bậc phương trình bậc hai ẩn; + Cách xét dấu hàm số, biểu thức Cụ thể: + Muốn tìm tập xác định hàm số ta cần nhớ hàm số xác định nào? biểu thức mẫu hàm phân thức phải khác 0, + Để giải phương trình bậc phương trình bậc hai ẩn ta xem lại cách giải trang 58 SGK Đại số 10 + Cách xác định dấu hàm số, biểu thức bước quan trọng Để làm tốt ta cần ghi nhớ kiến thức sau: *1: Cách lập bảng xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai *2: Khi biết f(x) mang dấu khoảng K Muốn biết f(x) âm hay dương ta việc lấy điểm x khoảng K thay x  x0 vào f(x) f(x0) dương kết luận f(x) dương khoảng K ngược lại f(x0) âm f(x) âm khoảng K *3:Hàm số y = f(x) xác định, liên tục khoảng K phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2, , xm khác K = (a; b) với x1< x2< < xm ta có lưu ý sau: + Nếu nghiệm xi có số nghiệm dạng xi  2n  1, i  1, m, n��thì khoảng lân cận (bên phải, bên trái) điểm xi mang dấu khác + Nếu nghiệm xi có số nghiệm dạng xi  2n , i  1, m, n�� (ta quy ước gọi nghiệm bội) khoảng lân cận điểm xi mang dấu Sau xác định dấu f(x) muốn lấy nghiệm bất phương trình cho cần dựa vào yêu cầu toán như: f(x) > 0; f(x) � 0; f(x) < 0; f(x) �0 để suy nghiệm bất phương trình cho 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai dùng định lí dấu nhị thức bậc định lí dấu tam thức bậc hai chưa đủ cịn dài dòng, chưa nhanh gọn đặc biệt lập bảng xét dấu số toán nhiều thời gian làm em 2.3 Một số giải pháp Trước hết ta cần nắm vững định lí dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai I Định lí dấu nhị thức bậc (Đại số 10) Nhị thức f (x)  ax+b có giá trị dấu với hệ số a x lấy giá trị b a b a khoảng ( ;�) , trái dấu với hệ số a x lấy giá trị khoảng (�; ) Bài toán: Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b Giải: + Phương trình f(x) = có nghiệm x   b a + Để xét dấu nhị thức ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Lập bảng xét dấu f (x) x �  f(x) Trái dấu với a Cách 2: Dùng trục số Trái dấu với a b a  � Cùng dấu với a b a Cùng dấu với a Ghi nhớ: Khoảng lớn nghiệm nhị thức dấu với hệ số a, khoảng bé nghiệm nhị thức trái dấu với a Vận dụng: Xét dấu nhị thức sau a) f ( x)  x  ; b) f ( x)  4 x  Giải: có hệ số a = > nên Cách 1: ta có bảng xét dấu f (x) � x a) f(x) = có nghiệm x  f(x) Cách 2: Ta có trục xét dấu f (x) - � + + Kết luận 3 f ( x)  � x �( ; �) f ( x)  � x �(�; ) 2 b) f(x) = có nghiệm x   có hệ số a = -4 < nên Cách 1: Ta có bảng xét dấu f (x) �  x f(x) + Cách 2: Ta có trục xét dấu f (x) �  - + - Kết luận: 5 f ( x)  � x �(�;  ) f ( x)  � x �(  ; �) 4 II Định lí dấu tam thức bậc hai: (Đại số 10) Cho f (x)  ax2  bx  c (a �0),   b2  4ac + Nếu   f(x) ln dấu với hệ số a, với x��; b a + Nếu   f(x) ln dấu với hệ số a, với x � ; + Nếu   f(x) ln dấu với hệ số a x  x1 x  x2 , trái dấu với hệ số a x1  x  x2 x1, x2(x1  x2 ) hai nghiệm f(x) Bài toán: Xét dấu tam thức f (x)  ax2  bx  c (a �0) Khi ta có hai cách trình bày Cách 1: Dùng bảng xét dấu + Nếu   tam thức dấu với hệ số a với x � � x f(x) Cùng dấu với hệ số a + Nếu   0Khi tam thức dấu với hệ số a với x � x �  b 2a b 2a � f(x) Cùng dấu với hệ số a Cùng dấu với hệ số a + Nếu   0Tam thức có hai nghiệm x1; x2 Khi tam thức dấu với hệ số a x nằm khoảng hai nghiệm tam thức trái dấu với hệ số a x nằm khoảng hai nghiệm � � x1 x2 x f(x) Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a Cách 2: Dùng trục số + Nếu   tam thức dấu với hệ số a với x Cùng dấu với hệ số a + Nếu   0Khi tam thức dấu với hệ số a với x � Cùng dấu với hệ số a  b 2a b 2a Cùng dấu với hệ số a + Nếu   0Tam thức có hai nghiệm x1; x2 Khi tam thức dấu với hệ số a x nằm khoảng hai nghiệm tam thức trái dấu với hệ số a x nằm khoảng hai nghiệm Cùng dấu với a x1 x2 Cùng dấu với a Trái dấu với a Áp dụng: Xét dấu tam thức sau a) f (x)  x2  x  b) f (x)  2x2  x  c) f (x)   x2  2x  d) f (x)  4x2  x  Giải: Chúng ta giải câu theo hai cách a) Ta có    nên f(x) có hai nghiệm x  1, x  2 a  1 nên ta có bảng xét dấu sau: � � 2 x f(x) + 0 + Vậy f (x)  � x�(�;2) �(1;�) f (x)  � x�(2;1) Hoặc ta trình bày theo cách sau: Ta có    nên f(x) có hai nghiệm x  1, x  2 a  1 nên ta trục xét dấu sau: 2 + + Vậy f (x)  � x�(�;2) �(1;�) f (x)  � x�(2;1) b) Ta có   7  a   nên ta có bảng xét dấu � � x f(x) + Vậy f (x)  với x�� Hoặc   7  a   nên ta có trục xét dấu + Vậy f (x)  với x�� c) Ta có   16  0nên f(x) có hai nghiệm x  1, x  a  1 nên ta có bảng xét dấu sau: � � 1 x f(x) + f ( x )  � x � (  ;3) f ( x )  � x � (  � ;  ) � (3;  � ) Vậy Hoặc ta trình bày theo cách sau: Ta có   16  0nên f(x) có hai nghiệm x  1, x  a  1 nên ta có trục xét dấu sau: 1 + - - Vậy f (x)  � x�(1;3) f (x)  � x�(�;1) �(3;�) d) Ta có   a   nên ta có bảng xét dấu sau: x f(x)  � + � + Vậy f (x)  với x�(�; ) �( ;�) Hoặc có   a   nên ta có trục xét dấu sau:  + 2 + Vậy f (x)  với x�(�; ) �( ;�) Nhận xét: Đối với cách lập bảng cách dùng trục số có ưu nhược điểm như: Dùng bảng số ta biết dấu hàm số thành phần hàm số f(x) biết hàm số f(x) xác định hay không xác định điểm x0 ( x0 nghiệm hàm số thành phần) có nhược điểm dùng bảng cồng kềnh tốn gồm nhiều hàm số thành phần, cịn trục số ta khơng thể dấu hàm số thành phần rõ hàm số có xác định hay khơng xác định x0 xét dấu khơng cách làm lại ngắn đơn giản Vậy tùy vào toán cụ thể mà ta dùng bảng số hay trục số Bây ta vận dụng dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai giải số toán Bài Giải bất phương trình 2x2  3x  �0 Hướng dẫn: � x  � + Xét phương trình 2x  3x   � � x1 � + Xét dấu f (x)  2x2  3x  5   ]2  [  Vậy tập nghiệm bất phương trình 2x2  3x  �0 (�; ]�[1;�) Nhận xét: + Phần không gạch chéo phần nghiệm bất phương trình Ngoặc vng điểm lấy nghiệm điểm đó, ngoặc trịn khơng lấy + Do bất phương trình lấy nghiệm nên điểm x   2; x  ta để ngoặc vng hướng phía tập nghiệm chứa điểm bất phương trình khơng lấy ta để ngoặc trịn hướng tập nghiệm kề + Đối với tốn đơn giản cần xét dấu biểu thức tơi thường bảo em dùng trục số cho nhanh + Tam thức bậc hai f (x) có hai nghiệm phân biệt trái, ngồi (tức khoảng hai nghiệm f (x) trái dấu với hệ số a, khoảng hai nghiệm f (x) dấu với hệ số a) Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu 3x2  (m2  2m 5)x  m2  2m  Hướng dẫn: Phương trình tam thức bậc hai để phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c