Giải pháp để giải nhanh các bài toán liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hình bình hành

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU NỘI DUNG SKKN 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 2.1.1 Thể tích khối chóp 2.1.2 Tỉ số thể tích khối chóp tam giác 2.1.3 Tỉ số diện tích tam giác 2.2.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN 2.3 GIẢI PHÁP 2.3.1 Xây dựng cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp tứ giáccó đáy hình bình hành 2.3.2 Các ý áp dụng 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SKKN TRONG GIẢI TOÁN 2.4.1 Các ví dụ minh họa 2.4.2 Hiệu SKKN 2.4.3 Một số tập tương tự KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN 3.2 KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 3 3 4 6 17 17 19 19 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giáo dục phổ thơng hành, mơn HHKG cổ điển thường gây cho học sinh nhiều khó khăn Đặc biệt tốn tính thể tích, tỉ số thể tích khối đa diện Thực tế, năm gần đây, nội dung xuất thường xuyên kỳ thi, kỳ thi THPTQG thường mức độ VD - VDC Các câu hỏi thể tích, tỉ số thể tích khối đa diện dù hình thức (TNKQ, Tự luận) gây nhiều khó khăn cho đa số học sinh Việc nghiên cứu phát thêm phương pháp giải nhanh, dễ hiểu toán liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích khối đa diện cần thiết, hình thức thi cử Qua đó, giúp học sinh THPT có thêm phương pháp tiếp cận tốn tính thể tích, tỉ số thể tích cách tích cực, hứng thú, dễ dàng chuẩn bị bước vào kỳ thi quan trọng; làm phong phú thêm kho tàng phương pháp giải toán sơ cấp Mặt khác, tốn tính thể tích, tỉ số thể tích khối đa diện tốn thể tích, tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành toán xuất nhiều Để giải dạng toán này, học sinh phải nhiều thời gian cho kỹ vẽ hình, dựng xác thiết diện, xác định vị trí giao điểm, phân chia khối chóp thành khối chóp tam giác để sử dụng tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác tìm lời giải đáp số Điều dẫn đến tình trạng chán học, sợ học HHKG, ảnh hưởng đến kết hình thức thi trắc nghiệm nhiện Hơn nữa, nội dung kiến thức phương pháp giải loại tốn khơng có SGK tốn phổ thơng Các tài liệu tham khảo vấn đề hạn chế Rất nhiều đồng nghiệp tâm huyết có phát hiện, phương pháp tính sáng tạo để giải khó khăn Tuy nhiên, hầu hết dừng lại việc giải toán cụ thể, chưa có viết hay chuyên đề cung cấp cho học sinh phương pháp giải nhanh loại toán 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Qua thực tế giảng dạy, tơi thấy việc sử dụng cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích cho khối chóp có đáy hình bình hành thực có nhiều ưu điểm hiệu rõ rệt so với việc phải phân chia thành khối chóp tam giác Kỹ khơng làm cho đa số học sinh hứng thú, dễ hiểu mà cịn nhanh chóng tính thể tích, tỉ số thể tích, để từ tìm lời giải, đáp số toán Dù nội dung nhỏ kinh nghiệm thân hạn chế, mạnh dạn coi đề tài SKKN với tên gọi: “Giải pháp để giải nhanh tốn liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành ” Đề tài trình bày trước tổ chun mơn triển khai dạy nhóm ơn thi THPTQG, nhóm học sinh đại trà, nhiều đem lại hiệu rõ nét 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tốn liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích khối đa diện sinh cắt khối chóp có đáy hình bình hành mặt phẳng không qua đỉnh khối chóp 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Dựa sở lý thuyết đề cập SGK: Đặc điểm khối chóp có đáy hình bình hành, tỉ số diện tích tam giác, tỉ số thể tích khối chóp tam giác để xây dựng cơng thức tính nhanh - Ngồi ra, tơi sử dụng phương pháp sau để hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này: + Phương pháp điều tra, khảo sát trực triếp + Phương pháp thống kê, xử lí số liệu + Phương pháp nêu vấn đề + Phương pháp quy nạp diễn dịch NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 2.1.1 Cơng thức tính thể tích khối chóp: Cho khối chóp S A1 A2 A3 A4 An Gọi H hình chiếu S mặt đáy ( A1 A2 A3 A4 An ) Khi đó: VS A A A A A = SH S A A A A A 3 n n 2.1.2 Tỉ số thể tích khối chóp tam giác: Cho hình chóp S ABC Trên đoạn thẳng SA , SB , SC lấy ba điểm A' , B ' , C ' VS A B C SA' SB ' SC ' = Khi ta có: VS ABC SA SB SC ' ' ' 2.1.3 Tỉ số diện tích hai tam giác: Cho ∆OAB Trên OA, OB lấycác điểm A ', B ' ≠ O Khi đó: SOA' B ' OA' OB ' = SOAB OA OB 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN Bài tốn thể tích, tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành toán mức VD – VDC đề thi thường phát biểu dạng: Cho hình chóp tứ giác đều, hình chóp tứ giác có đáy hình bình hành, hình vng, hình chữ nhật, hình thoi Một mặt phẳng (α ) khơng qua S thỏa mãn tính chất cho trước, cắt cạnh SA, SB, SC , SD A ', B ', C ', D ' Các yêu cầu thường gặp là: SA ' SB ' SC ' SD ' , , , - Tính tốn tỉ số , diện tích thiết diện A ' B ' C ' D ' SA SB SC SD - Thể tích khối đa diện S ABCD, S.A'B'C'D', ABCDA ' B ' C ' D ' , tỉ số thể tích chúng - Các toán giá trị lớn nhất, nhỏ liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích khối đa diện * Khi gặp tốn trên, thông thường học sinh giải theo bước: +) Từ tính chất mặt phẳng (α ) , dựng thiết diện ( mặt cắt), xác định vị trí SA ' SB ' SC ' SD ' , , , giao điểm A ', B ', C ', D ' , tính tốn tỉ số Đây cơng SA SB SC SD việc khó khăn với đa số học sinh +) Chia khối chóp S.ABCD thành khối chóp tam giác để sử dụng tỉ số thể tích khối chóp tam giác , sau lại ghép lại Điều khó khăn, tư hình khơng gian khơng tốt dẫn đến việc chia khối chóp khơng xác Một số học sinh giỏi làm theo hướng này, nhiều thời gian 2.3 GIẢI PHÁP Để giúp học sinh giải khó khăn trên, tơi xin đưa giải pháp sau: 2.3.1 Xây dựng cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (α ) không qua S cắt cạnh SA, SB, SC , SD A ', B ', C ', D ' SA SB SC SD = x, = y, = z, =t Đặt SA ' SB ' SC ' SD ' Khi ta ln có: x + z = y + t  VS.A B C D x + y + z + t = V 4xyzt  S.ABCD ' ' ' ' (*) Chứng minh: a) Xét ∆SAC Gọi O trung điểm AC, I = SO ∩ AC SA SC SO + = Trước hết ta chứng minh: SA ' SC ' SI Dễ thấy: S∆SAO = S∆SCO = S ∆SAC = S Với ký hiệu S∆SA ' I = S1 , S∆SC ' I = S ta có: S1 S SA ' SI S2 S SC ' SI S + S2 SA ' SC ' SI = = = = ⇒ =( + ) S S ∆SOA SA SO S S∆SCO SC SO S SA SC SO 2S SA ' SC ' SI SA ' SC ' SA ' SC ' SI SA SC SO ⇔ ∆ SA 'C ' = ( + ) ⇔2 =( + ) ⇔ + =2 S∆SAC SA SC SO SA SC SA SC SO SA ' SC ' SI SB SD SO + = Hồn tồn tương tự, ∆SBD ta có ,nên từ ta có: SB ' SD ' SI SA SC SB SD SO + = + = ⇔ x+ z = y+t SA ' SC ' SB ' SD ' SI VS A B C SA ' SB ' SC ' = = b) Tiếp theo xét khối chóp S ABC ta có: VS ABC SA SB SC xyz VS A D C SA ' SD ' SC ' = = Tương tự xét khối chóp S ADC ta có VS ADC SA SD SC xtz Dễ thấy VS ABC = VS ADC = VS ABCD (do đáy ABCD hình bình hành) V V 2(VS A B C + VS A D C ) 2V 1 y+t ⇒ S.A B C + S.A D C = = + ⇔ S.A B C D' = VS ABC VS ADC VS ABCD xyz xzt VS ABCD xyzt ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' y + t 2( y + t ) x + y + z + t = = VS ABCD xyzt xyzt 4xyzt Vậy công thức (*) chứng minh +) Ưu điểm công thức thứ công thức (*) giúp em học sinh tìm nhanh tỉ số đoạn thẳng biết tỉ số lại Từ xác định vị trí điểm, dựng nhanh thiết diện +) Với công thức thứ hai, ưu điểm lớn giúp e tính nhanh tỉ số thể tích, thể tích khối chóp tứ giác mà khơng phải phân chia thành khối chóp tam giác trước 2.3.2 Các ý áp dụng - Khi gặp toán dạng nêu trên, em học sinh thiết lập SA ' SB ' SC ' SD ' , , , tỉ số , sử dụng giả thiết công thức thứ cơng thức SA SB SC SD (*) để tính tỉ số chưa biết, mối liên hệ tỉ số - Sử dụng cơng thức thứ hai để lập tỉ số thể tích khối chóp tứ giác mà khơng cần phân chia thành khối chóp tam giác - Lưu ý công thức (*) với khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành nên với khối chóp tứ giác đều, khối chóp có đáy hình chữ nhật, hình vng, hình thoi kể trường hợp điểm A ', B ', C ', D ' nằm đoạn SA, SB, SC , SD 2.4 HIỆU QUẢ Để thấy ưu điểm công thức (*) hiệu việc giải toán liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành, tơi xin lấy số ví dụ chọn lọc minh họa sau 2.4.1 Các ví dụ minh họa: Bài (Đề KSCL lần - THPT Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An - 2017): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi M trung điểm SB, P điểm thuộc cạnh SD cho SP = 2DP Mặt phẳng ( AMP ) cắt cạnh SC N Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP theo V 23 19 A VABCDMNP = V B VABCDMNP = V 30 30 C VABCDMNP = V D VABCDMNP = V 30 Giải: Phân tích: Khó khăn tốn việc xác định điểm N a) Lời giải chưa có cơng thức tính nhanh (*): Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ MP ⇒ ( AMP ) ∩ SC = AI ∩ SC = N Ta có : SP SM S ∆SPM S ∆SPI + S ∆SMI S S = = = = ∆SPI + ∆SMI SD SB S ∆SDB S ∆SDB S ∆SDO 2S ∆SBO SI SP SM SI SI = ( + )= ⇒ = 2SO SD SB 12 SO SO Suy ra: ⇔ VS A B C D ' ' ' ' = SN S∆SAN S ∆SAI + S ∆SNI S S = = = ∆SAI + ∆SNI = SC S ∆SAC S∆SAC 2S∆SAO S∆SCO SI SI SN 2 SN SN + = + ⇒ = 2SO 2SO SC 7 SC SC Khi đó: VS AMP SA SM SP 1 = = = ⇒ VS AMP = VS ABD = V VS ABD SA SB SD 3 = VS MNP SM SN SP 2 2 = = = ⇒ VS MNP = VS BCD = V VS BCD SB SC SD 15 15 15 ⇒ VS APNM = VS AMP + VS MNP = 7 23 V ⇒ VABCDMNP = V − VS APNM = V − V = V 30 30 30 Chọn đáp án A b) Lời giải theo phương pháp sử dụng cơng thức tính nhanh (*): Gọi N giao điểm ( AMP ) với SC SA SB SD SC = 1, y = = 2, t = = ⇒z= = y+t − x= Ta có: x = SA SM SP SN + + + VS AMNP 2 = ⇒V ⇒ = = V S AMNP V 30 30 4.1.2 2 23 ⇒ VABCDMNP = V − VS AMNP = V − V = V 30 30 Chọn đáp án A Nhận xét: Ưu điểm lớn lời giải thứ việc xác định vị trí điểm N cực SC SN = ⇔ = ) Dẫn đến việc tìm kỳ nhanh xác ( tức tính tỉ số SN SC đáp số toán nhanh Bài (Đề KSCL lần - THPT Chuyên Lê Qúy Đôn - Bà Rịa - Vũng Tàu 2020): Cho khối chóp S ABCD tích V , đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SB, N điểm cạnh SD Mặt phẳng ( AMN) cắt SN V cạnh SC điểm P cho thể tích khối chóp S AMPN Tỉ số SD bằng: 1 A B C D 3 2 Giải: Phân tích: Khó khăn tốn có tới hai điểm N, P thay đổi a) Lời giải chưa có cơng thức tính nhanh (*): Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ MP ⇒ ( AMN ) ∩ SC = AI ∩ SC = P SN = k > Ta có : SD SM SN S ∆SMN S ∆SMI + S ∆SNI S S SI SM SN k = = = = ∆SMI + ∆SNI = ( + )= SB SD S ∆SDB S ∆SDB 2S ∆SBO 2S ∆SDO 2SO SB SD SI SI 2k = ( + k) ⇒ = SO SO + 2k Suy ra: SP S∆SAP S ∆SAI + S ∆SPI = = = SC S ∆SAC S ∆SAC Đặt = S∆SAI S SI SI SP + ∆SPI = + S∆SAO 2S ∆SCO 2SO 2SO SC SP SI SI ⇒ (1 − )= SC 2SO 2SO SP k k SP k ⇔ (1 − )= ⇒ = SC + 2k ) + k ) SC + k Khi đó: VS AMPN VS AMN + VS MNP VS AMN V = = + S PMN V V 2VS ABD 2VS CBD ⇔ VS AMN V  SA SM SN SP SM SN  = + S PMN =  + ÷ 2VS ABD 2VS CBD  SA SB SD SC SB SD   k  2k + k SN ⇔ =  .k + k ÷ ⇔ =1⇔ k2 = ⇔ k = ⇒ =  1+ k  1+ k 2 SD Chọn đáp án B b) Lời giải theo phương pháp sử dụng cơng thức tính nhanh (*): SA SB SC SD = 1, y = = 2, z = ,t = ⇒1+ z = + t ⇔ z =1+ t Ta có: x = SA SM SP SN VS AMPN + + (1 + t ) + t t+2 t+2 = = ⇔ = ⇔ t2 = ⇔ t = Khi : V 4.1.2.(1 + t ).t 4t + 4t 4t + 4t SN Chọn đáp án B = = SD t Nhận xét: Cũng 1, khó khăn lớn tỉ số đoạn SN SP , thẳng chưa biết ( có tới tỉ số chưa biết ) Lời giải không sử dụng công SD SC thức (*) cho ta thấy khó khăn, phức tạp việc tìm biểu thức liên hệ tỉ số đoạn thẳng Ngược lại với việc sử dụng công thức (*), thấy ưu điểm vượt trội lời giải Ở ví dụ sau, tơi xin phép trình bày cách giải cách sử dụng công thức (*) để thấy rõ ưu điểm công thức Bài (Đề thi thử THPTQG 2020 - THPT Nguyễn Trãi - Thái Bình): ⇒ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy ( ABCD ) có diện tích 27 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm ∆SAB song song với mặt đáy ( ABCD ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tính thể tích V phần chứa điểm S: A V = B V = 24 C V = 36 D V = 12 Giải: Gọi H trung điểm AB, G trọng tâm ∆SAB Mặt phẳng qua trọng tâm G song song với đáy ( ABCD ) cắt SA, SB, SC, SD M, N, P, Q Ta cần tính V = VS MNPQ SA SB SC SD = x, = y, = z, =t Ký hiệu SM SN SP SQ Ta có: MN / / AB / / PQ, NP / / BC / / MQ SA SB SC SD SH = = = = = SM SN SP SQ SG Hay x = y = z = t = V x+ y+ z+t ⇒ S MNPQ = = (a) VS ABCD 4xyzt 27 Do ∆SAB ( SAB ) ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ ( ABCD) Ta có: AB 27 AB 3 3 S∆SAB = = ⇒ AB = 3 ⇒ SH = = = 4 2 1 81 8 81 ⇒ VS ABCD = S ABCD SH = (3 3) = ⇒ V = VS ABCD = = 12 3 2 27 27 Chọn đáp án D Nhận xét: Sử dụng cơng thức tính nhanh để có hệ thức (a) liên hệ V cần tính với VS ABCD cách tốt để đến đáp số Nếu sử dụng cách truyền thống ta phải phân chia khối S ABCD thành hai khối chóp tam giác sử dụng nhiều tỉ số thể tích Các ví dụ sau tiếp tục làm rõ điều Bài (Đề KSCL Tốn 12 Sở GD&ĐT Đà Nẵng - 2017): Cho khối chóp tứ giác S ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng ( P ) chứa AM song song với BD chia khối chóp thành hai khối đa diện Đặt V1 thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S V2 thể tích khối đa diện có chứa V1 đáy ABCD Tính tỉ số : V2 V1 V1 V1 V1 =1 = = = A B C D V2 V2 V2 V2 ⇒ 10 Giải: Gọi N, P giao điểm ( P ) với SB, SD SB SD = = y Do ( P ) / / BD ⇒ NP / / BD ⇒ SN SP Mặt khác ta có: SA SC SB SD + = + ⇔ 1+ = y + y ⇔ y = SA SM SN SP Đặt V = VS ABCD SA SB SC SD 3 + + + + + + V 2 =1 ⇒ = SA SN SM SP = SA SB SC SD 3 V 4.1 .2 SA SN SM SP 2 V V V ⇒ =1− = ⇒ = V V V2 Chọn đáp án B Bài (Đề KSCL Toán 12 Sở GD&ĐT Bắc Giang - 2017): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 1, AD = SA ⊥ ( ABCD), SA = Điểm M cạnh SA cho mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần tích Tính diện tích ∆MAC : 5 5− 5 −5 A B C D Giải: Gọi N = SD ∩ ( MBC ) Ta có : SA SB SC SD x= ,y= = 1, z = = 1, t = SM SB SC SN ⇒ x +1=1+ t ⇔ t = x Khi đó: VS BCNM x + + + x x + = = VS ABCD 4.x.1.1.x 2x x +1 1+ = ⇔ x2 − x −1 = ⇔ x = 2 2x SA + ⇒ = ⇒ SM = − SM ⇒ AM = SA − SM = − ⇔ ⇒ S ∆MAC = 1 −5 AM AC = (3 − 5) 12 + 2 = 2 Chọn đáp án D Bài (Đề KSCL Tốn 12 - THPT Đặng Thai Mai - Thanh Hóa - 2020): 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD Tính thể tích khối chóp cụt MNPQ ABCD : a3 a3 7a3 a3 A B C D 24 Giải : SA SB SD SC = 2, y = = 2, t = = 2, z = =2 Ta có x = SM SN SQ SP 1 a3 V = VS ABCD = SA.S ABCD = a.a = 3 Do đó: VS MNPQ + + + 1 = = ⇔ VS MNPQ = V V 4.2.2.2.2 8 7 a 7a ⇒ VMNPQ ABCD = V − VS MNPQ = V = = 8 24 Chọn đáp án B Bài (Đề KSCL Tốn 12 Sở GD&ĐT Bắc Giang -2020): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh · BAD = 600 , SA = SC tam giác SBD vuông cân S Gọi E trung điểm SC Mặt phẳng ( P ) qua AE cắt hai cạnh SB, SD M, N Thể tích lớn V0 khối đa diện ABCDNEM bằng: 3 A V0 = B V0 = C V0 = D V0 = 9 21 Giải: Gọi O = AC ∩ BD Dễ có SO ⊥ ( ABCD) Theo đề ta có: +) BD = 2, SB = SD = 2, S ABCD = 2S ABD = +) SO = BD = 2 ⇒ V = VS ABCD = SO.S ABCD = 3 SB SA SC SB SD =x⇒ + = + Đặt SM SA SE SM SN SD SD ⇔ 1+ = x + ⇒ = 3− x SN SN V + + x + (3 − x) 3 3 ⇒ S AMEN = = ⇒ VS AMEN = = V 4.1.2.x (3 − x ) 4x(3 − x) 4x(3 − x ) 2x(3 − x) 12 ⇒ V0 = V − VS AMEN = 3 − 2x(3 − x) Do V0 lớn f ( x) = 2x(3 − x) = −2x + 6x lớn ⇔ x = − b = 2a 2 3 − = Khi 3 Chọn đáp án D (3 − ) 2 Bài (Đề thi KSCL Toán 12 lần - Chuyên Lào Cai - 2017): Một viên đá có hình dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cắt khối đá mặt phẳng song song với đáy khối chóp để chia khối đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện khối đá bị cắt mặt phẳng nói (Giả thiết tổng thể tích hai khối đá sau thể tích khối đá ban đầu) 2a a2 a2 a2 A B C D 3 4 Giải: Gọi thiết diện hình vng MNPQ Ta có: SA SB SC SD SO = = = = =x SM SN SP SQ SI V x+x+x+x 1 ⇒ S MNPQ = = ⇔ = ⇔ x= VS ABCD 4.x.x.x.x x x VS ABCD SO.S ABCD x.a = = Mặt khác lại có: VS MNPQ SI S MNPQ S MNPQ V0 = ⇔2= x.a x.a 2.a a ⇔ S MNPQ = = =3 S MNPQ 2 Chọn đáp án B Bài (Đề thi thử THPTQG 2020 - THPT Chuyên Lê Thánh Tông- Quảng Nam): Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng ( P ) chứa AM song song với BD cắt SB E cắt SD F Tính thể tích V khối chóp S.AEMF: a3 4a a3 a3 A V = B V = C V = D V = 36 18 Giải: Ta có AC = BD = 2a Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD), SO = OC.tan 600 = a ⇒ VS ABCD 1 4a = SO.S ABCD = a 6.(2a) = 3 13 Do EF / / BD ⇒ SB SD = = SE SF Khi đó: 3 + + VS AEMF 2 =1 = 3 VS ABCD 4.1 .2 2 1 4a 4a ⇒ VS AEMF = VS ABCD = = 3 Chọn đáp án B Bài 10 (Đề KSCL Toán 12 lần - THPT Lê Lai – Thanh Hóa - 2020): Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng ( P ) chứa AB tạo với đáy góc 300 cắt SC, SD M, N Tính thể tích V khối chóp S ABMN theo a: a3 5a 3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 48 16 Giải: Gọi O tâm ABCD I, F trung điểm AB, CD E giao điểm · · = 600 , EIF = 300 hay IE phân giác MN với SF Ta có: SIO 1+ góc SIF ⇒ ES IS OI = = = ⇒ ES = EF EF IF IF cos 600 Suy E trung điềm SF Do M, N trung điểm SC, SD Ta có: SA SB SC SD = 1, y = = 1, z = = 2, t = =2 SA SB SM SN a +) SO = 1 a a3 ⇒ VS ABCD = SO.S ABCD = a = 3 +) x = 1+ +1+ 3 a3 a3 = = ⇒ V = VS ABCD = = Khi VS ABCD 4.1.2.1.2 8 16 Chọn đáp án C Bài 11 (Đề thi thử THPTQG -THPT Kim Thành – Hải Dương - 2020): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt cạnh SB, SD M, N Gọi V1 ,V thể tích khối chóp S AMKN khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ V tỉ số : V A V 14 C D B Giải: SB SA SC SB SD SD SD = x Ta có : + = + ⇔ 1+ = x + ⇒ = 3− x SM SA SK SM SN SN SN V1 + + x + − x = = Khi đó: = V 4.1.2.x.(3 − x ) 8x(3 − x) 4x(3 − x) V b ⇒ nhỏ ⇔ f ( x) = 4x(3 − x) = −4x + 12x lớn ⇔ x = − = V 2a V1 = Khi giá trị nhỏ Chọn đáp án C (3 − ) V 2 Bài 12 (Đề KSCL -THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển– Cà Mau - 2020): Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Mặt bên tạo với đáy góc 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAC Mặt phẳng chứa AB qua G cắt SC, SD M, N Tính thể tích V khối chóp S ABMN theo a: a3 A V = B V = 2a 3 C V = a 3 D V = 3a 3 Giải: Do G trọng tâm tam giác SAC nên ta suy M, N trung điểm SC, SD Do đó: SA SB SC SD x= = 1, y = = 1, z = = 2, t = =2 SA SB SM SN Mặt khác, gọi O tâm ABCD SO ⊥ ( ABCD) Ta có: SO = a.tan 600 = a Giả sử 4a 3 ⇒ VS ABCD = SO.(2a ) = 3 V x + y + z + t 1+1+ + ⇒ S ABMN = = = VS ABCD 4xyzt 4.1.2.2 4a 3 a 3 ⇒ VS ABMN = = Chọn đáp án A Bài 13 (Đề thi thử THPTQG 2020- Lần -THPT Nghi Sơn–Thanh Hóa): 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm SA, SD Mặt phẳng (α ) chứa MN cắt cạnh SB, SC SQ = x , V1 ,V thể tích khối chóp S MNQP khối chóp Q, P Đặt SB S ABCD Tìm x để V1 = V −1 + 41 −1 + 33 A x = B x = C x = D x = 4 Giải: SB =m⇒ x= Ký hiệu SQ m Ta có: SA SC SB SD SC + = + ⇔ 2+ = m+2 SM SP SQ SN SP SC ⇒ =m SP V 2+m+2+m ⇒ 1= = V 4.2.m.2.m 2+m ⇔ = ⇔ 4m − m − = 4m + 33 −1 + 33 ⇒m= ⇒x= = m Chọn đáp án B Bài 14 (Đề thi thử Toán THPTQG 2020- Lần - THPT Nguyễn Quán Nho – Thanh Hóa): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M di động MC = k Mặt phẳng qua A, M song song với BD cắt SB, SD cạnh SC Đặt MS theo thứ tự N, P Tìm k để thể tích khối chóp C APMN lớn A k = B k = C k = D k = Giải: SC = x ⇒ k = x − , ( x > 1) V = VS ABCD Đặt SM SB SD = = t , (t > 1) Khi đó: Ta có NP / / BD ⇒ SN SP SA SC SB SD + = + ⇔ + x = 2t ⇒ x = 2t − SA SM SN SP Do đó: VS APMN + 2t − + t + t = = V 4.1.(2t − 1).t.t t (2t − 1) 16 ⇒ VS APMN = V t (2t − 1) V1 PD S ACD SD − SP 1 t −1 = = = (1 − ) = V SD S ABCD SD t 2t t −1 2t − ⇒ V1 = V ⇒ VC APMN = V − VS APMN − 2V1 = V 2t 2t − t 2t − Do V không đổi nên VC APMN lớn ⇔ f (t ) = , (t > 1) đạt giá trị lớn 2t − t Ta có: −4t + 8t − 2 ' f (t ) = = ⇒ t =1+ = t0 , ( t > 1) Bảng biến thiên: 2 (2t − t ) t0 +∞ t Lại có VP ACD = VN ACB = V1 và: f '(t ) + f (t ) - f max Vậy VC APMN lớn t = + ⇒ x = 2t − = + ⇒ k = x − = 2 Chọn đáp án D Bài 15 (Đề KSCL Toán 12 lần -THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc - 2020): Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các uuur uur uuur uuu r điểm A ', C ' thỏa mãn SA ' = SA, SC ' = SC Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng VS A ' B 'C ' D ' A ' C ' cắt cạnh SB, SD B ', D ' đặt k = Giá trị nhỏ VS ABCD k là: 1 15 A B C D 30 60 15 16 Giải: Ta có: SA SB SC SD x= = 3, y = ,z = = 5, t = SA ' SB ' SC ' SD ' ⇒ 3+5 = y +t ⇔ y =8−t Do đó: V 3+5+8−t +t k = S A ' B 'C ' D ' = = VS ABCD 4.3.5.t.(8 − t ) = 4 = 15t (8 − t ) −15t + 120t 17 kmin ⇔ f (t ) = −15t + 120t lớn ⇔ t = − b = ⇒ kmin = 2a 60 Chọn đáp án C Nhận xét: Qua số ví dụ trên, rõ ràng thấy ưu điểm bật phương pháp sử dụng cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành Ngồi lời giải độc đáo sử dụng kiến thức dễ nhớ, ưu điểm lớn mà phương pháp đem lại giúp em học sinh hứng thú hơn, học tập cách tích cực Trong ví dụ trên, tiến hành khảo sát nhiều đối tượng học sinh yêu cầu em giải phương pháp phân chia khối chóp, phương pháp khác hầu hết em khó khăn việc dựng thiết diện, thiết lập tỉ số thể tích theo yêu cầu, vài em khá, giỏi thành công Tuy nhiên, hướng dẫn em giải theo hướng kết thu tốt Các em khơng nhanh chóng tìm vị trí điểm mà thiết diện cắt cạnh hình chóp, nhanh có tỉ số thể tích cần tính mà cịn hứng thú với tiết học 2.4.2 Hiệu SKKN: Tôi tiến hành giảng dạy thử nghiệm đề tài cho nhóm học sinh lớp 12 có học lực tương đối tương đương để đối chứng tính hiệu đề tài, khoảng thời gian tiết học (từ ngày 30/05/2020 – 20/06/2020) Sau em học xong, tiến hành kiểm tra đánh giá Nhóm 1: Giảng dạy theo phương pháp không sử dụng công thức (*): Dựng thiết diện, phân chia khối chóp Nhóm 2: Giảng dạy theo phương pháp sử dụng cơng thức (*) tính nhanh tỉ số thể tích Kết thu sau: Nhóm Số Kết lượng Giỏi Khá Trung Yếu Kém học bình sinh SL % SL % SL % SL % SL % 25 4% 8% 20% 11 44% 24% 25 32% 11 44% 16% 8% 0% Qua vài kinh nghiệm nhỏ đưa trên, thấy việc sử dụng cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành đem lại số kết thực tốt đẹp Nó giúp cho học sinh hứng thú, tích cực, biết sáng tạo học tập, làm cho công việc dựng thiết diện, tính tỉ số thể tích khối chóp tứ giác “bí”, khó khăn, phức tạp, trở nên đơn giản, thú vị nhiều 2.4.3 Một số tập tương tự: Bài (Đề thi thử THPTQG 2020-lần 1-THPT Lương Thế Vinh- Hà Nội): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB, SD Mặt phẳng ( AMN ) cắt SC I Tính thể tích khối đa diện ABCDMNI 3a 3a 13 3a 3a A B C D 18 36 18 18 (Đáp án: A) Bài (Đề KSCL Tốn 12 Sở GD&ĐT Bình Thuận - 2017): Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi M trung điểm cạnh SA , N điểm nằm cạnh SB cho SN = NB Mặt phẳng (α ) di động qua điểm M , N cắt cạnh SC , SD hai điểm phân biệt K , Q Tính giá trị lớn thể tích khối chóp S MNKQ theo V 2V V V 3V A B C D 3 (Đáp án: C) Bài (Đề KSCL Toán 12 THPT Phú Xun A- HàNội - 2017): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 3a, SA ⊥ ( ABCD) , góc SB ABCD 600 Điểm M a cạnh SA cho AM = ,( BCM ) ∩ SD = N Tính thể tích khối chóp S BCMN 10 3a 3a 3a 3a A B C D 9 27 (Đáp án: B) Bài (Đề KSCLToán 12 lần 3-THPT Ngô Sĩ Liên- Bắc Giang-2017): Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích 18 Gọi M điểm thuộc cạnh SD cho SM = MD Mặt phẳng ( ABM ) cắt SC N Tính thể tích khối chóp S ABNM A B 12 C D 10 (Đáp án: D) Bài (Đề thi thử THPTQG 2019-Sở GD&ĐT Bình Thuận): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi B ', D ' hình chiếu A SB, SD Mặt phẳng ( AB ' D ') cắt SC C ' Thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' là: 3a 2a 3a 2a A B C D 3 9 (Đáp án: D) 19 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN SKKN giải vấn đề khó khăn mà học sinh thường gặp phải giải toán liên quan đến tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành: - Tính nhanh tỉ số đoạn thẳng, tìm mối liên hệ tỉ số đoạn thẳng mà nhiều trường hợp không cần phải sử dụng tính chất hình học để dựng hình, dựng thiết diện, để từ đến tỉ số đoạn thẳng - Tính trực tiếp tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành mà khơng cần phải phân chia thành khối chóp tam giác - Sử dụng thành thạo cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành giúp học sinh tìm lời giải đáp án tốn cách nhanh Đây mục tiêu quan trọng cần hướng làm TNKQ Từ đó, khơng góp phần khắc phục tâm lí lo sợ phải đối diện với tốn tỉ số thể tích tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành nói riêng, tốn HHKG cổ điển nói chung, mà cịn giúp học sinh hứng thú học tập 3.2 KIẾN NGHỊ - Cấp lãnh đạo, Tổ chuyên môn tiếp tục tạo điều kiện để tiếp tục nghiên cứu chia sẻ viết cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác, khối hộp cho học sinh Như nói trên, tốn tính thể tích, tỉ số thể tích khối đa diện nội dung quan trọng thiếu kỳ thi kỳ thi THPTQG Viêc nghiên cứu tiếp tục tìm phổ biến phương pháp giải nhanh thực cần thiết đáng quan tâm Với chút kinh nghiệm, tơi mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm Có thể cịn hạn chế, mong đồng chí lãnh đạo đồng nghiệp góp ý XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hố, ngày 04 tháng 07 năm 2020 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm rút q trình giảng dạy, khơng chép người khác Tác giả: Hoàng Văn Hoan 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đề thi thử THPTQG, thi KSCL mơn Tốn 12 trường THPT, Sở GD&ĐT toàn quốc từ năm 2017- 2020 [2] Đề minh họa, đề thức THPTQG Bộ GD&ĐT từ năm 2017- 2020 [3] Hình học 12 – Tác giả: Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Huy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên – Nhà xuất Giáo dục năm 2006 [4] Website: toanmath.com 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hoàng Văn Hoan Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Vĩnh Lộc - Huyện Vĩnh Lộc -Tỉnh Thanh Hóa Cấp đánh Kết giá xếp đánh loại giá xếp Năm học đánh TT Tên đề tài SKKN (Phòng, loại (A, giá xếp loại Sở, B, Tỉnh ) C) Dùng phương pháp đồ thị để giải tốn tính đơn điệu, tồn vị trí Tỉnh C 2010 - 2011 điểm cực trị hàm phân thức bậc hai bậc Rèn luyện kỹ sử dụng tam thức bậc hai cho học sinh giải hệ phương trình Tỉnh C 2014 - 2015 22 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GD&ĐT HHKG KSCL SGK SKKN THPT THPTQG TNKQ VD-VDC Giáo dục đào tạo Hình học không gian Khảo sát chất lượng Sách giáo khoa Sáng kiến kinh nghiệm Trung học phổ thông Trung học phổ thông quốc gia Trắc nghiệm khách quan Vận dụng- vận dụng cao 23 ... SKKN Bài tốn thể tích, tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành toán mức VD – VDC đề thi thường phát biểu dạng: Cho hình chóp tứ giác đều, hình chóp tứ giác có đáy hình bình hành, hình. .. quan trọng; làm phong phú thêm kho tàng phương pháp giải toán sơ cấp Mặt khác, tốn tính thể tích, tỉ số thể tích khối đa diện tốn thể tích, tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành. .. thức (*) hiệu việc giải toán liên quan đến thể tích, tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình bình hành, tơi xin lấy số ví dụ chọn lọc minh họa sau 2.4.1 Các ví dụ minh họa: Bài (Đề KSCL lần