3 GTLN, GTNN TÍCH PHÂN

Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng GTNN, GTLN TÍCH PHÂN Câu 1: Tìm giá trị nhỏ S = ∫ x − ax dx với a ∈ [ ,1] A Câu 2: 2− −1 B C 2− D −1 Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn [ ;1] thỏa  f ' ( x)  mãn f (1) = e f ( ) = e; ∫   dx ≤ Tìm mệnh đề đung f ( x )  0 1 A f   = e 2 1 B f   = e 2 1 C f   = e 2 1 D f   =   2e b Câu 3: Cho a + b = ab + a < b Tìm giá trị nhỏ biểu thức I = ∫ x − ( a + b ) x + ab dx a B 12 A D 48 C b Câu 4: Tìm giá trị nhỏ I = ∫ x + ( − m ) x − dx a < b hai nghiệm cảu a phương trình x + ( − m ) x − = A 128 B C D 2 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ S = ∫ x3 − ax dx với a ∈ [ ,1] A 2− B C D 2− 2m Câu 6: Gọi a,b giá trị lớn nhỏ S = ∫ x3 − 4mx + 5m x − 2m3 dx với m m ∈ [1; 3] Mệnh đề A a + b = Câu 7: 41 B a + b = 21 D a + b = A tập hàm số f lien tục đoạn [ 0;1] nhận giá trị không âm đoạn [ 0;1] Tìm m nhỏ cho ∫f( 2018 A 2018 87 C a + b = B ) x dx ≤ m.∫ f ( x ) dx ∀f ∈ A C 2018 D 2018 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm f ' ( x ) liên tục đoạn [ ;1] thỏa f (1) = 2018 f ( ) mãn 1 M =∫  f ( x )  Tìm giá trị nhỏ thức dx + ∫  f ' ( x )  dx A ln 2018 B ln 2018 C 2e D 2018e b Câu 9: biểu Cho a + b = ab + a < b Tìm giá trị nhỏ biểu thức I = ∫ ( x − a ) ( x − b ) dx a A 12 B (a − b) Câu 10: Cho + (a − b2 ) = C 64 D 49 a < b Tìm giá trị lớn biểu thức b I = ∫ x − ( a + b ) x + ab dx a A 16 B 16 C D Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm f ' ( x ) liên tục đoạn [ ;1] thỏa mãn f (1) = e f ( ) Biểu thức ∫  f ( x ) A f (1) = Câu 12: A 2e e −1 tập B f (1) = hàm 1   2e2 e2 − số f 2 dx + ∫  f ' ( x )  dx ≤ Mệnh đề C f (1) = lien tục C −2017 2018 ( e − 2) D e −1 f (1) = (e − 2) e2 − [0;1] đoạn Tìm 1  m =  ∫ x f ( x ) dx − ∫ x 2018 f ( x ) dx  f ∈A  0  A −1 2019 B −1 16144 D −1 16140 Câu 13: m tham số thuộc đoạn [1; 3] Gọi a,b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2m P= ∫ ( x − m ) ( x − 2m ) 2 dx Tính a + b = m A 31 B 36 m2 + Câu 14: Giá trị nhỏ P = ∫ C D 121 x − ( m + m + 1) x + ( m3 + m ) dx S = m a dương tối giản Tính T = a + b b 88 122 15 a ;a,b nguyên b Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A Câu 15: A B 337 tập C 25 hàm số f D 91 lien tục C 2012 2013 [0;1] đoạn Tìm   M = − ∫ x f ( x ) dx+∫ x 2013 f ( x ) dx  f ∈A  0  A 2014 B 503 2014 D 8.2013 Câu 16: Giá trị tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 3x + 2mx + m + , trục hoành, trục tung đường thẳng x = đạt giá trị nhỏ là: A m = B m = C m = -1 D m = - Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ −1;1] đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( x ) ≤ với x ∈ [ −1;1] ∫ f ( x ) dx = Tìm giá trị nhỏ −1 A − B − ∫ x f ( x ) dx ? −1 C − D −1 Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ( x ) ∈ [ −8;8] với x ∈ [ 0;1] ∫ xf ( x ) dx = Tìm giá trị lớn A B 31 16 C ∫ x f ( x ) dx ? D 17 Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ 0;1] đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: max f ( x ) = [ 0;1] ∫ x f ( x ) dx = Giá trị lớn tích phân ∫ x f ( x ) dx bao nhiêu? A B ( 2− ) C 2− 16 D 24 2018 Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + xf ' ( x ) ≥ x với x ∈ [ 0;1] Giá trị nhỏ tích phân ∫ f ( x ) dx bằng: A 2021× 2022 B 2018 × 2021 C 2018 × 2019 D 2019 × 2021 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời ta đặt x g ( x ) = + ∫ f ( t ) dt Biết g ( x ) ≤ lớn bằng: 89 f ( x ) với x ∈ [ 0;1] Tích phân 1 ∫ g ( x )dx có giá trị Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A B C 2 D Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời ta đặt x g ( x ) = + 3∫ f ( t ) dt Biết g ( x ) ≥ f ( x ) với x ∈ [ 0;1] Tích phân ∫ g ( x )dx có giá D trị lớn bằng: A B C Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời ta đặt x2 g ( x ) = + ∫ f ( t ) dt Biết g ( x ) ≥ xf ( x ) với x ∈ [ 0;1] Tích phân ∫ g ( x )dx có giá trị 0 lớn bằng: B A C D Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời ta đặt x g ( x ) = + ∫ f ( t ) dt Biết g ( x ) ≥  f ( x )  với x ∈ [ 0;1] Tích phân ∫  g ( x )  dx có giá trị lớn bằng: A B C D Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) dương liên tục [1;3] thỏa mãn max f ( x ) = 2; f ( x ) = [1;3] [1;3] 3 1 biểu thức S = ∫ f ( x ) dx ∫ A B Câu 26: Cho hàm số f (2) A m = y = f (x) dx đạt giá trị lớn Khi tính f ( x) C ∫ f ( x ) dx ? D f =1 thỏa mãn f ′ ( x ) ≥ x + , ∀x > ( ) Tìm giá trị nhỏ m x + ln B m = + 2ln C m = + ln D m = + ln 2 Câu 27: Cho parabol ( P ) : y = x hai điểm A, B thuộc ( P ) cho AB = Tìm diện tích lớn hình phẳng giới hạn ( P ) đường thẳng AB A 90 B C D Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI GTNN, GTLN TÍCH PHÂN Câu 1: Tìm giá trị nhỏ S = ∫ x − ax dx với a ∈ [ ,1] A 2− B −1 C 2− D −1 Hướng dẫn giải: Phá dấu trị tuyệt đối ta có S=∫ a  − x3 ax   x3 ax  2a3 − 3a + + + − = x − ax dx = − ∫ ( x − ax ) dx + ∫ ( x − ax ) dx =     0  3 a  a a 2   2− Smin = f  =  2 Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn [ ;1] thỏa  f ' ( x)  mãn f (1) = e f ( ) = e; ∫   dx ≤ Tìm mệnh đề đung f ( x )  0 1 A f   = e 2 1 B f   = e 2 1 C f   = e 2 1 D f   =   2e Hướng dẫn giải: Ta có ∫ f ' ( x) f (1) dx=ln f ( x ) = lnf (1) − ln f ( ) = ln = ln e = f ( x) f ( 0) 2    f ' ( x)   f ' ( x)   Nên ∫  dx ≤ ⇔ − ∫0  f ( x )  dx ≤  f ( x )  0      f ' ( x )   f ' ( x)  f ' ( x)  f ' ( x)   dx dx − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ −1 =     ∫0  f ( x )  ∫0 f ( x ) f ( x)  f ( x)       1 Vậy: f ( x ) = A.e x Mà f (1) = e f ( ) = e Nên f ( x ) = e x ⇔ f   = e 2 b Câu 3: Cho a + b = ab + a < b Tìm giá trị nhỏ biểu thức I = ∫ x − ( a + b ) x + ab dx a A Ta có 91 B 12 C D 48 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ∆3 I2 = 36.a ⇒I ≥4 (( a + b ) = − 4ab 36 ) = (( ab + ) − 4ab 36 ) = (( ab + ) + 12 ) 36 ≥ 123 = 48 36 b Câu 4: Tìm giá trị nhỏ I = ∫ x + ( − m ) x − dx a < b hai nghiệm cảu a phương trình x + ( − m ) x − = A 128 ∆ I= ( ( − m ) + 8) = 36a B C D 2 36 ≥ 128 ⇒I ≥ Câu 5: Tìm giá trị nhỏ S = ∫ x3 − ax dx với a ∈ [ ,1] A 2− B C D a  a.x x   x a.x  S = ∫ ( a.x − x ) dx + ∫ ( x − a.x ) dx =  −  + −  0    a a 2− a  a2 a2   a a2 a2   1 1 S =  − + − − +  = a −  + ≥  2 2 8   4 2m Câu 6: Gọi a,b giá trị lớn nhỏ S = ∫ x3 − 4mx + 5m x − 2m3 dx với m m ∈ [1; 3] Mệnh đề A a + b = 2m S= 41 C a + b = B a + b = 2m 21 D a + b = 2m ∫ ( x − m ) ( x − 2m) dx = − ∫ ( x − m ) ( x − 2m) dx = − ∫ ( x − m ) ( ( x − m ) − m ) dx m m m 2m  − ( x − m ) m ( x − m )3  m4 S = − ∫ ( x − m ) dx+m ∫ ( x − m ) dx=  +  =   12 m m  m 2m 2m Thay m ∈ [1; 3] vào ta có a + b = Câu 7: A tập hàm số f lien tục đoạn [ 0;1] nhận giá trị không âm đoạn [ 0;1] Tìm m nhỏ cho ∫ ( f 92 41 2018 ) x dx ≤ m.∫ f ( x ) dx ∀f ∈ A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A 2018 B C Đặt t 2018 = x ⇒ dx = 2018.t 2017 dt nên ∫ ( f 2018 2018 ) D 2018 1 0 x dx=2018.∫ t 2017 f ( t ) dt ≤ 2018∫ f ( t ) dt Tìm m nhỏ nên m ≤ 2018 Ta Cm m = 2018 số cần tìm Xét f ( x ) = x n ta có 1 0 n / 2018 n ∫ x dx ≤ m∫ x dx → 2018 ( n + 1) 2018 m ≤ →m≥ n + 2018 n + n + 2018 Cho n → +∞ ta có m ≥ 2018 Vậy m = 2018 số nhỏ cần tìm Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm f ' ( x ) liên tục đoạn [ ;1] thỏa f (1) = 2018 f ( ) mãn 1 M =∫  f ( x )  Tìm giá trị nhỏ biểu thức dx + ∫  f ' ( x )  dx A ln 2018 B ln 2018 C 2e D 2018e Hướng dẫn giải: 1   f ( x) f ( x) − f ' ( x )  dx + 2∫ ' M=∫  dx ≥ 2∫ ' dx = ln f ( x ) = ln 2018 f ( x) f ( x) f ( x) 0 0  b Câu 9: Cho a + b = ab + a < b Tìm giá trị nhỏ biểu thức I = ∫ ( x − a ) ( x − b ) dx a A 12 B b C b 64 D b 49 S = − ∫ ( x − a ) ( x − a ) + ( a − b )  dx = − ∫ ( x − a ) ( x − a ) dx − ( a − b ) ∫ ( x − a ) dx a S= a ( 1 ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab 12 12 (a − b) Câu 10: Cho 2 + ( a − b2 ) = ) = a ( ( ab + ) − 4ab 12 ) = ( ) 2 ( ab + ) + 12 ≥ 12 12 a < b Tìm giá trị lớn biểu thức b I = ∫ x − ( a + b ) x + ab dx a A 16 B 16 C ( = ( a − b ) + ( a2 − b2 ) = ( a − b ) + ( a + b ) 2 I2 = 93 ∆3 36a (( a + b ) = − 4ab 36 ) = (( a − b ) ) 2 36 ≤ ) ≥ ( a − b) 43 = 36 D Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  a = −1 a + b = ⇔ Khi  2 2 ( a − b ) + ( a − b ) = b = Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm f ' ( x ) liên tục đoạn [ ;1] thỏa mãn f (1) = e f ( ) Biểu thức ∫  f ( x ) A f (1) = 2e e −1 B f (1) = 1   2e2 e2 − 2 dx + ∫  f ' ( x )  dx ≤ Mệnh đề C f (1) = (e − 2) D e −1 f (1) = (e − 2) e2 − Hướng dẫn giải:   − f ' ( x )  dx ≤ Dấu xảy Viết lại biểu thức cho dạng ∫  f ( x)   1 − f ' ( x) = ⇔ = f ' ( x ) ⇔ ∫ 1dx = ∫ f ( x ) d ( f ( x ) ) f ( x) f ( x) ⇔ x+c = f ( x) ⇔ f ( x) = 2( x + c)  f ( ) = 2c f (1) + 2c ⇔ =e= ⇔c= Thay x = vào ta có  f ( 0) e −1 2c  f (1) = + 2c 2e2 → f ( x) = 2x + → f (1) = e −1 e −1 Câu 12: A tập hàm số f lien tục C −2017 2018 [ 0;1] đoạn 1  m =  ∫ x f ( x ) dx − ∫ x 2018 f ( x ) dx  f ∈A  0  A −1 2019 B −1 16144 D −1 16140 Hướng dẫn giải: Biểu thức cho tam thức bậc ẩn f ( x ) có hệ số a = x;b = − x 2018 ;c =  −b x 2017 f x =  ( ) 2a =  Nên biểu thức Min  1 4036 − x 4035 −1 m = −∆ dx = − x = dx = ∫ ∫  4a 4.x x 4036 16144 0  Câu 13: m tham số thuộc đoạn [1; 3] Gọi a,b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 94 Tìm Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2m ∫ ( x − m ) ( x − 2m ) P= 2 dx Tính a + b = m A 31 P= B 36 C 122 15 D 121 m5  35  35 + 122 ∈ ;  →T = = 30  30 30  30 15 m2 + Câu 14: Giá trị nhỏ P = ∫ x − ( m + m + 1) x + ( m3 + m ) dx S = m dương a ;a,b nguyên b a tối giản Tính T = a + b b A B 337 C 25 D 91 Hướng dẫn giải: Ta có: P = Câu 15: A ( m − m + 1) tập 3 3 ≥   = ⇒ T = + 16 = 25   16 hàm số f lien tục C 2012 2013 đoạn [0;1] Tìm   M = − ∫ x f ( x ) dx+∫ x 2013 f ( x ) dx  f ∈A  0  A 2014 B 503 2014 D 8.2013 Hướng dẫn giải: Biểu thức cho tam thức bậc ẩn f ( x ) có hệ số a = − x;b = − − x 2013 ;c =  −b x 2013 x 2012 f x = = = ( )  2a 2x  Nên biểu thức Max  1 4026 x 4026  M = − ∆ dx = x ∫0 4.x dx = 4.4026 = 4.4026  max ∫0 4a  Câu 16: Giá trị tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 3x + 2mx + m + , trục hoành, trục tung đường thẳng x = đạt giá trị nhỏ là: A m = B m = C m = -1 D m = - Hướng dẫn giải: Vì với m tùy ý ta ln có x + 2mx + m + > ∀x nên diện tích hình phẳng cần tìm 2 S = ∫ ( 3x + 2mx + m2 + 1) dx =  x3 + mx + ( m2 + 1) x  = 2m2 + 4m + 10 = ( m + 1) + 95 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng S đạt giá trị nhỏ m = - (dùng casio thử nhanh hơn) Chọn C Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ −1;1] đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( x ) ≤ với x ∈ [ −1;1] 1 ∫ f ( x ) dx = Tìm giá trị nhỏ ∫ x f ( x ) dx ? −1 Hướng dẫn giải: A − B − −1 Ta đặt I = ∫ x f ( x ) dx ⇒ I = −1 C − D −1 2 ∫ ( x − a ) f ( x ) dx ≤ ∫ x − a f ( x ) dx ≤ −1 −1 ∫x − a dx ∀a ∈ R −1 Do ta suy I ≤ ∫ x − a dx Đến ta chia toán thành trường hợp sau: a∈R −1 1 2  Trường hợp 1: Nếu a ≤ ∫ x − a dx = ∫ ( x − a ) dx =  − 2a  = a∈R a≤0 a ≤0 3  −1 −1 1 2  Trường hợp 2: Nếu a ≥ ∫ x − a dx = ∫ ( a − x ) dx =  2a −  = a∈R a ≥1 a ≥1 3  −1 −1 Trường hợp 3: Nếu a ∈ [ 0;1] a − a  ∫ x − a dx =  ∫ ( x − a ) dx + ∫ ( a − x ) dx + ∫ ( x − a ) dx  a∈R a∈[ 0;1]   −1 a − a  −1   x − a   x3 1  x3  a ⇔ ∫ x − a dx =  − ax  +  ax −  +  − ax   a∈R a∈[0;1] − a    −1   a  −1  8a a 2 ⇔ ∫ x − a dx =  − 2a +  = a = a∈R a∈[0;1] 3 −1  Kết luận: Như ∫ x − a dx = a∈R −1 1 I ≤ ⇒ I = − 2 Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ( x ) ∈ [ −8;8] với x ∈ [ 0;1] ∫ xf ( x ) dx = Tìm giá trị lớn A B 31 16 C ∫ x f ( x ) dx ? D 17 Hướng dẫn giải: Ta đặt I = ∫ x f ( x ) dx đó: I − 3a = ∫(x − ax ) f ( x ) dx ≤ ∫ x − ax f ( x ) dx   ⇒ I − 3a ≤ 8∫ x3 − ax dx ∀a ∈ R ⇒ I ≤ 3a + 8∫ x3 − ax dx ∀a ∈ R ⇒ I ≤  3a + 8∫ x − ax dx  a∈R 0   96 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Trường hợp 1: Nếu a ≤ 1      3a + 8∫ x3 − ax dx  =  3a + 8∫ ( x − ax ) dx  = ( − a ) = a∈R a ≤0 a ≤0 0     Trường hợp 2: Nếu a ≥ 1      3a + 8∫ x − ax dx  =  3a + 8∫ ( ax − x ) dx  = ( a − ) = a∈R a ≥1 a ≥1 0     Trường hợp 3: Nếu a ∈ [ 0;1] ta có đánh giá sau: a     31 3  3a + 8∫ x − ax dx  =  3a + ∫ ( ax − x ) dx + ∫ ( x − ax ) dx  = ( 4a − a + ) = a∈R a∈[ 0;1]   a∈[0;1] 16 0   a     31 31 Kết luận: Vậy  3a + 8∫ x − ax dx  = ⇒ I ≤ Đẳng thức xảy a∈R 16   16 31 a = ;I = > 3a = 12 Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ 0;1] đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: max f ( x ) = ∫ x f ( x ) dx = Giá trị lớn tích phân [ 0;1] ∫ x f ( x ) dx bao nhiêu? A Hướng dẫn giải: B ( 2− ) C 2− 16 D 24 Ta có với số thực a ∈ R ∫ ax f ( x ) dx = đó: 1 ∫ x f ( x ) dx = ∫ ( x 3 − ax ) f ( x ) dx ≤ ∫ x − ax Do đó: f ( x ) dx ≤ ∫ x3 − ax dx ∀a ∈ R 3 ∫ x f ( x ) dx ≤ 6∫ x − ax dx = g ( a ) Tới ta chia trường hợp sau: a∈R a∈R 2 Trường hợp 1: Nếu a ≤ x − ax = x ( x − a ) ≥ ∀x ∈ [ 0;1] Khi đó: 1 1 a g ( a ) = ∫ x3 − ax dx = ∫ x3 − ax dx =  −  ⇒ g ( a ) = a ≤0 4 3 0 2 Trường hợp 2: Nếu a ≥ x − ax = x ( x − a ) ≤ ∀x ∈ [ 0;1] Khi đó: 1 a 1 g ( a ) = ∫ x3 − ax dx = ∫ ax − x3 dx =  −  ⇒ g ( a ) = a ≥ 3 4 0 Trường hợp 3: Nếu a ∈ [ 0;1] 1 a f ( a ) = ∫ x − ax dx = ∫ ax − x dx + ∫ x − ax dx = 97 2 a 2a − 4a + Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ( )  a − 4a +  − = < < Ta tìm g ( a ) =   a∈[ 0;1] a∈[ 0;1] 2   g ( a ) = ( 2− a∈R ) Do vậy: ∫ x f ( x ) dx ≤ g ( a ) ⇒ a∈R ∫ x f ( x ) dx ≤ ( 2− 4 ) ⇒ max [0;1] ( 2− ∫ x f ( x ) dx = ) 2018 Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + xf ' ( x ) ≥ x với x ∈ [ 0;1] Giá trị nhỏ tích phân ∫ f ( x ) dx bằng: 1 B C 2021× 2022 2018 × 2021 2018 × 2019 Hướng dẫn giải: 2018 2020 Ta có: f ( x ) + x f ' ( x ) ≥ x ⇒ 3x f ( x ) + x f ' ( x ) ≥ x A D 2019 × 2021 t 2018 ⇒  x3 f ( x ) ′ ≥ x 2020 ⇒ ∫  x3 f ( x ) ′ dx ≥ ∫ x 2020 dx ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ f ( t ) ≥ 2021 0 t 1 0 Khi ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ t x 2018 dx = Giá trị nhỏ tích phân 2021 2019.2021 ∫ f ( x ) dx 2019.2021 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời ta đặt x g ( x ) = + ∫ f ( t ) dt Biết g ( x ) ≤ f ( x ) với x ∈ [ 0;1] Tích phân 1 ∫ g ( x )dx có giá trị 0 lớn bằng: Hướng dẫn giải: Đặt A x B F ( x ) = ∫ f ( t ) dt ⇒ g ( x ) = + F ( x ) ≤ C 2 f ( x ) ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ D F′( x) ( F ( x ) + 1) 2 − ≥ ∀x ∈ [ 0;1] t   F′( x)  dx = − t − ⇒ h (t ) = ∫  − hàm số đồng biến [ 0;1] ta có F (t ) +   ( F ( x ) + 1)   đánh giá: 1 h ( x ) ≥ h ( ) ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ − x − ≥0⇒ ≤ − x ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ F ( x) +1 F ( x) +1 98 1 ∫ g ( x )dx ≤ Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời ta đặt x g ( x ) = + 3∫ f ( t ) dt Biết g ( x ) ≥ f ( x ) với x ∈ [ 0;1] Tích phân ∫ g ( x )dx có giá D 0 trị lớn bằng: Hướng dẫn giải: Đặt A B C F′( x) x F ( x ) = ∫ f ( t ) dt ⇒ g ( x ) = + 3F ( x ) ≥ f ( x ) ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ 3F ( x ) + − ≤ ∀x ∈ [ 0;1] t   F′( x) 2 ⇒ h (t ) = ∫  − 1 dx = 3F ( t ) + − t − hàm số nghịch biến [ 0;1]   3  3F ( x ) +  ta có: 2 h ( x ) ≤ h ( ) ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ 3F ( x ) + − t − ≤ 3 ⇒ 3F ( x ) + ≤ x + ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ∫ g ( x )dx ≤ Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời ta đặt x2 g ( x ) = + ∫ f ( t ) dt Biết g ( x ) ≥ xf ( x ) với x ∈ [ 0;1] Tích phân ∫ g ( x )dx có giá trị lớn bằng: A Hướng dẫn giải: Đặt F (x )= x2 B C f ( t ) dt ⇒ g ( x ) = + F ( x ) ≥ xf ( x ) ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ∫ D xf ( x ) + F ( x2 ) − ≤ ∀x ∈ [ 0;1]  xf ( x )   dx = ln (1 + F ( t ) ) − t hàm số nghịch biến [ 0;1] ta ⇒ h (t ) = ∫  −   + F x ( )   có: t h ( x ) ≤ h ( ) ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ln (1 + F ( x ) ) − x ≤ ⇒ + F ( x ) ≤ e x ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ∫ g ( x )dx ≤ Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời ta đặt x g ( x ) = + ∫ f ( t ) dt Biết g ( x ) ≥  f ( x )  với x ∈ [ 0;1] Tích phân ∫ giá trị lớn bằng: Hướng dẫn giải: A 99 B C D  g ( x )  dx có Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x Ta đặt F ( x ) = ∫ f ( t ) dt g ( x ) = + F ( x ) ≥  f ( x )  ∀x ∈ [ 0;1] f ( x) Do + 2F ( x ) − ≤ ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ F′( x) + 2F ( x ) t   F′( x) − 1 dx = Xét hàm số: h ( t ) = ∫  3   + 2F ( x )  biến [ 0;1] h ( t ) ≤ h ( ) ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ ( + 2F (t ) ) ( −t − − ≤ ∀x ∈ [ 0;1] + 2F (t ) ≤0⇔ ( ) −t − ∀t ∈ [ 0;1] hàm nghịch + 2F (t ) ) ≤ t + ∀t ∈ [ 0;1] Do đó: ( g ( x) ) ≤ 4  x + ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ∫  g ( x )  dx ≤ ∫  x + 1dx ⇒ 3  0 ∫  g ( x )  dx ≤ Chọn A Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) dương liên tục [1;3] thỏa mãn max f ( x ) = 2; f ( x ) = [1;3] [1;3] 3 1 biểu thức S = ∫ f ( x ) dx ∫ dx đạt giá trị lớn Khi tính f ( x) ∫ f ( x ) dx ? 7 B C D 2 5 Hướng dẫn giải: ≤ Ta có: ≤ f ( x ) ≤ ⇒ ( f ( x ) − 1) ( f ( x ) − ) ≤ ⇒ f ( x ) + f ( x) 2 A ⇒ 3  25 ≤ − f ( x ) ⇒ S ≤ ∫ f ( x ) dx  ∫ − f ( x ) dx  Ta tìm max S = f ( x) 1  ∫ f ( x ) dx = Câu 26: Cho hàm số f (2) A m = y = f (x) f =1 thỏa mãn f ′ ( x ) ≥ x + , ∀x > ( ) Tìm giá trị nhỏ m x + ln B m = + 2ln C m = + ln D m = + ln Hướng dẫn giải: Chọn D 2 1  f ( ) =  f ( ) − f (1)  + f (1) = ∫ f ′ ( x ) dx + f (1) ≥ ∫  x +  dx + = + ln ⇒ m = + ln x 2 1 100 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 27: Cho parabol ( P ) : y = x hai điểm A, B thuộc ( P ) cho AB = Tìm diện tích lớn hình phẳng giới hạn ( P ) đường thẳng AB Hướng dẫn giải: A B C D 2 Gọi A ( a; a ) , B ( b; b ) với a < b Ta có: AB = ⇔ ( b − a ) + ( b − a ) = 2 AB : x − a y − a2 x − a y − a2 ⇔ y = ( a + b )( x − a ) + a ⇔ y = ( a + b ) x − ab = ⇔ = b − a b − a2 b+a b b S = ∫ ( ( a + b ) x − ab − x ) dx = ∫ ( x − a )( b − x ) dx Đặt t = x − a Suy ra: a a b −a S= b−a ∫ t ( b − a − t ) dt = ∫ (( b − a ) t − t ) b − a)t2 ( dt = ( Ta có: ( b − a ) + ( b − a ) = ⇔ ( b − a ) + ( b + a ) 2 (b − a ) Suy ra: b − a ≤ ⇒ S = b −a b−a t3 − ) = ⇔ (b − a ) = (b − a ) = 1+ (a + b) ≤4 23 = 6 a + b = b = Dấu " = " xảy  ⇔ ⇔ A ( −1;1) ; B (1;1) b − a =  a = −1 Chú ý: Khi làm trắc nghiệm ta đặc biệt hóa AB song song với Ox , từ tìm a + b = 101 ≤ ... ) + ( a2 − b2 ) = ( a − b ) + ( a + b ) 2 I2 = 93 ? ?3 36a (( a + b ) = − 4ab 36 ) = (( a − b ) ) 2 36 ≤ ) ≥ ( a − b) 43 = 36 D Nguyên Hàm -Tích Phân- Ứng Dụng  a = −1 a + b = ⇔ Khi  2 2 (... ) P= 2 dx Tính a + b = m A 31 P= B 36 C 122 15 D 121 m5  35  35 + 122 ∈ ;  →T = = 30  30 30  30 15 m2 + Câu 14: Giá trị nhỏ P = ∫ x − ( m + m + 1) x + ( m3 + m ) dx S = m dương a ;a,b... thức Min  1 4 036 − x 4 035 −1 m = −∆ dx = − x = dx = ∫ ∫  4a 4.x x 4 036 16144 0  Câu 13: m tham số thuộc đoạn [1; 3] Gọi a,b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 94 Tìm Nguyên Hàm -Tích Phân- Ứng Dụng