NỘI DUNG 3 GTLN GTNN

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Chuyên đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y  f  x  xác định tập hợp D  Số M gọi GTLN hàm số y  f  x  tập D điều sau thỏa mãn i) f  x   M x  D ii) x  D : f x  M  0  Ký hiệu: M  Max f  x  xD  Số m gọi GTNN hàm số y  f  x  tập D điều sau thỏa mãn i) f  x   m x  D ii) x  D : f x  m  0  f x Ký hiệu: m  xD  Quy ước: Ta quy ước nói GTLN hay GTNN hàm số f mà không nói "trên tập D" ta hiểu GTLN hay GTNN TẬP XÁC ĐỊNH  Đối với GTLN GTNN hàm nhiều biến có định nghĩa tương tự 2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa) Một số kiến thức thường dùng: a) f ( x )  ax  bx  c  a( x  b  )  2a 4a b) Bất đẳng thức Cô-si: ab  ab  a  b  ab Dấu "=" xảy a  b abc  abc  a  b  c  3 abc không âm  a, b, c   ta có: Dấu "=" xảy a  b  c  Với hai số a, b không âm  a, b   ta có:  Với ba số a, b, c c) Một số bất đẳng thức thường dùng 1) a  b  2ab  ab  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 a  b2 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2) (a  b)  4ab  ab  ( a  b) 3) (a  b)2  2(a  b )  a  b  ( a  b) 2 CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm GTLN hàm số f  x   2x  8x  Bài giải ♥ Tập xác định: D ♥ Ta có f  x   2x  8x     x    9, x  D Dấu “=” xảy x D ♥ Vậy max f ( x )  x D Ví dụ 2: Tìm GTNN hàm số f  x   2x  4x  12 Bài giải ♥ Tập xác định: D ♥ Ta có f  x   2x  4x  12 =  x  1  10  10 ,x  D Dấu “=” xảy x D ♥ Vậy f ( x) 10  x D Ví dụ 3: Tìm GTNN hàm số f  x   x  x 1 với x  1;   Bài giải ♥ D 1; ♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: f x  x  Dấu “=” 2  x 1     x  1   2  1, x  1;   x 1 x 1 x 1 2 x x D xảy x x ♥ Vậy f ( x) 2  x D Bài tập tương tự Tìm GTNN hàm số f (x)  x   x 3 b) Phương pháp : Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình (hay phương pháp miền giá trị) Cơ sở lý thuyết phương pháp: Cho hàm số xác định biểu thức dạng y  f x  Tập xác định hàm số định nghĩa : D  { x  | f(x) có nghĩa}  Tập giá trị hàm số định nghĩa : NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 T = { y  | Phương trình f(x) = y có nghiệm x  D } Do ta tìm tập giá trị T hàm số ta tìm đựơc GTLN GTNN hàm số Một số kiến thức thường dùng: a) Phương trình ax  bx  c   a   có nghiệm    b) Phương trình a cos x  b sin x  c  a, b   có nghiệm  a  b  c2 CÁC VÍ DỤ x2  x  x2  x  Ví dụ : Tìm GTLN GTNN hàm số y  (1) Bài giải ♥ Tập xác định: D ♥ Xem (1) phương trình theo ẩn x ta có: y x2  x   yx  yx  2y  x  x  2 x x2 y x y x 2y (2) (Dạng ax  bx  c  ) + Trường hợp 1: Với y (2) có nghiệm x + Trường hợp 2: Với y (2) có nghiệm 0 y 18y 9 Suy tập giá trị hàm số T y ♥ Vậy x D ; max y x D 9 ; 7 y   sin x  cos x Ví dụ 2: Tìm GTLN GTNN hàm số y  (1) Bài giải ♥ Tập xác định: D ♥ Xem (1) phương trình theo ẩn x ta có: 1  2y  y cos x   sin x y cos x (2) có nghiệm c2 a2 b2 Suy tập giá trị hàm số T y 0; max y ♥ Vậy x D x D sin x y2 0; 2y 2y (2) (dạng a cos x  b sin x  c ) 3y 4y 0 y  c) Phương pháp : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích)  Điều kiện tồn GTLN GTNN: Định lý: Hàm số liên tục đoạn  a; b  đạt GTLN GTNN đoạn NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN GTNN hàm số y  f  x  miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN hàm số D dựa vào BBT suy kết  Phương pháp riêng: Trong nhiều trường hợp, tìm GTLN GTNN hàm số đoạn mà không cần lập bảng biến thiên Giả sử hàm số f liên tục đoạn  a; b  có đạo hàm khoảng  a; b  , trừ số hữu hạn điểm Nếu f '( x)  số hữu hạn điểm thuộc  a; b  ta có quy tắc tìm GTLN GTNN hàm f đoạn  a; b  sau: Quy tắc 1) Tìm điểm x1 , x2 , , xm thuộc  a; b  mà hàm số f có đạo hàm đạo hàm 2) Tính f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xm ), f (a), f (b) 3) So sánh giá trị tìm  Số lớn giá trị GTLN f đoạn  a; b   Số nhỏ giá trị GTNN f đoạn  a; b  CÁC VÍ DỤ i XÉT HÀM TRỰC TIẾP Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 3 x 12 x đoạn 1;2 Bài giải 1;2 ♥ D ♥ Ta có: y ' x x 12 Do y x x D y' 15; y y ♥ Vậy x D D 6; y 5; max y y 5; max y x D x D 15 15  x D Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y e x x x đoạn 0;2 Bài giải ♥ D 0;2 ♥ Ta có: y ' e x x y' Do y y ♥ Vậy x D x x x D 1; y e2 ; y e; max y x D D e y x D e; max y x D e2 e2  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y Bài giải 2;2 ♥ D ♥ Ta có: y ' y' Do y ♥ Vậy y x D x2 4 x x2 x x2 x 2; y D 2; y 2; max y x D 2 y x D 2; max y x D 2  ii ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ) Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y sin x cos x Bài giải ♥ Tập xác định: D 1;1 , hàm số trở thành: y 2t t ♥ Đặt t cos x với t Ta có: y ' Do y ♥ Vậy y x D ; y' 4t 2; y 0; y 2; max y x D t 25 1;1 y x D 0; max y x D 25  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y  x  x  đoạn 0;4 y’=  x=0, x=1  0;4 x= -1 loại Ta có: f(0) =3 , f(1)=2 , f(4)=227 Vậy GTLN y = 227 , 0;4 x=4 GTNN y= trên 0;4 x=1 Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   x   x đoạn 1   2;  + Ta có f '(x)   x  x2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 1  15 + Có f (2)  2;f ( )  2 + f '(x)   x   [  2; ] maxf(x)  [-2; ]  15 ; minf(x)  2 [-2; ] Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x    x    x   2 đoạn   ;    Ta có f  x   x  x  ; f  x  xác định liên tục đoạn   ;0 ; f '  x  4x    x Với x   ; 2 , f '  x    x  0; x    Ta có f     , f    4, f    0, f    16  2 1 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x  đoạn   ;0   Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x   x  ln 1  x  đoạn  1;0 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x   x  ln 1  x  đoạn  1;0 x  Ta có f '  x   x  ; f ' x    x   1 2x  1 Tính f  1   ln 3; f      ln 2; f     2 f  x    ln 2; max f  x   Vậy  1;0  1;0 Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x.log x khoảng (0;10) Hàm số cho liên tục (0;10] Ta có f '( x)  log x  x f '( x)   log x   log e  x   log x  log e x ln10 e BBT: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x 1/e f’(x) - 10 + f(x)  f '( x)   Từ BBT ta suy (0;10] log e e log e x e e Câu Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f  x   x   - Ta có f  x  liên tục xác định đoạn  2;5 ; f '  x    đoạn  2;5 x 1  x  1 - Với x   2;5 f '  x    x  - Ta có: f    3, f  3  2, f    - Do đó: Max f  x    x   x  ,  2;5 f  x    x   2;5 Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x 1 2x  đoạn 2;  Hàm số liên tục đoạn 2;  Ta có y '   2x  1  Có y 2   ; y    y= Vậy max   2;4   0, x  2;  x  y = 2;4  x  Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x)  2 x  x  10 đoạn  0; 2 f ( x) xác định liên tục đoạn  0; 2 , ta có: f '( x)  8 x3  x x  Ta có: f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = -6 x  Với x   0; 2 thì: f '( x)    f ( x)  f (2)  6 Vậy: M0;2ax f ( x)  f (1)  12; 0;2     NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ