Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Chuyên đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y f x xác định tập hợp D Số M gọi GTLN hàm số y f x tập D điều sau thỏa mãn i) f x M x D ii) x D : f x M 0 Ký hiệu: M Max f x xD Số m gọi GTNN hàm số y f x tập D điều sau thỏa mãn i) f x m x D ii) x D : f x m 0 f x Ký hiệu: m xD Quy ước: Ta quy ước nói GTLN hay GTNN hàm số f mà không nói "trên tập D" ta hiểu GTLN hay GTNN TẬP XÁC ĐỊNH Đối với GTLN GTNN hàm nhiều biến có định nghĩa tương tự 2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa) Một số kiến thức thường dùng: a) f ( x ) ax bx c a( x b ) 2a 4a b) Bất đẳng thức Cô-si: ab ab a b ab Dấu "=" xảy a b abc abc a b c 3 abc không âm a, b, c ta có: Dấu "=" xảy a b c Với hai số a, b không âm a, b ta có: Với ba số a, b, c c) Một số bất đẳng thức thường dùng 1) a b 2ab ab NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 a b2 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2) (a b) 4ab ab ( a b) 3) (a b)2 2(a b ) a b ( a b) 2 CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm GTLN hàm số f x 2x 8x Bài giải ♥ Tập xác định: D ♥ Ta có f x 2x 8x x 9, x D Dấu “=” xảy x D ♥ Vậy max f ( x ) x D Ví dụ 2: Tìm GTNN hàm số f x 2x 4x 12 Bài giải ♥ Tập xác định: D ♥ Ta có f x 2x 4x 12 = x 1 10 10 ,x D Dấu “=” xảy x D ♥ Vậy f ( x) 10 x D Ví dụ 3: Tìm GTNN hàm số f x x x 1 với x 1; Bài giải ♥ D 1; ♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: f x x Dấu “=” 2 x 1 x 1 2 1, x 1; x 1 x 1 x 1 2 x x D xảy x x ♥ Vậy f ( x) 2 x D Bài tập tương tự Tìm GTNN hàm số f (x) x x 3 b) Phương pháp : Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình (hay phương pháp miền giá trị) Cơ sở lý thuyết phương pháp: Cho hàm số xác định biểu thức dạng y f x Tập xác định hàm số định nghĩa : D { x | f(x) có nghĩa} Tập giá trị hàm số định nghĩa : NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 T = { y | Phương trình f(x) = y có nghiệm x D } Do ta tìm tập giá trị T hàm số ta tìm đựơc GTLN GTNN hàm số Một số kiến thức thường dùng: a) Phương trình ax bx c a có nghiệm b) Phương trình a cos x b sin x c a, b có nghiệm a b c2 CÁC VÍ DỤ x2 x x2 x Ví dụ : Tìm GTLN GTNN hàm số y (1) Bài giải ♥ Tập xác định: D ♥ Xem (1) phương trình theo ẩn x ta có: y x2 x yx yx 2y x x 2 x x2 y x y x 2y (2) (Dạng ax bx c ) + Trường hợp 1: Với y (2) có nghiệm x + Trường hợp 2: Với y (2) có nghiệm 0 y 18y 9 Suy tập giá trị hàm số T y ♥ Vậy x D ; max y x D 9 ; 7 y sin x cos x Ví dụ 2: Tìm GTLN GTNN hàm số y (1) Bài giải ♥ Tập xác định: D ♥ Xem (1) phương trình theo ẩn x ta có: 1 2y y cos x sin x y cos x (2) có nghiệm c2 a2 b2 Suy tập giá trị hàm số T y 0; max y ♥ Vậy x D x D sin x y2 0; 2y 2y (2) (dạng a cos x b sin x c ) 3y 4y 0 y c) Phương pháp : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích) Điều kiện tồn GTLN GTNN: Định lý: Hàm số liên tục đoạn a; b đạt GTLN GTNN đoạn NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN GTNN hàm số y f x miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN hàm số D dựa vào BBT suy kết Phương pháp riêng: Trong nhiều trường hợp, tìm GTLN GTNN hàm số đoạn mà không cần lập bảng biến thiên Giả sử hàm số f liên tục đoạn a; b có đạo hàm khoảng a; b , trừ số hữu hạn điểm Nếu f '( x) số hữu hạn điểm thuộc a; b ta có quy tắc tìm GTLN GTNN hàm f đoạn a; b sau: Quy tắc 1) Tìm điểm x1 , x2 , , xm thuộc a; b mà hàm số f có đạo hàm đạo hàm 2) Tính f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xm ), f (a), f (b) 3) So sánh giá trị tìm Số lớn giá trị GTLN f đoạn a; b Số nhỏ giá trị GTNN f đoạn a; b CÁC VÍ DỤ i XÉT HÀM TRỰC TIẾP Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 3 x 12 x đoạn 1;2 Bài giải 1;2 ♥ D ♥ Ta có: y ' x x 12 Do y x x D y' 15; y y ♥ Vậy x D D 6; y 5; max y y 5; max y x D x D 15 15 x D Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y e x x x đoạn 0;2 Bài giải ♥ D 0;2 ♥ Ta có: y ' e x x y' Do y y ♥ Vậy x D x x x D 1; y e2 ; y e; max y x D D e y x D e; max y x D e2 e2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y Bài giải 2;2 ♥ D ♥ Ta có: y ' y' Do y ♥ Vậy y x D x2 4 x x2 x x2 x 2; y D 2; y 2; max y x D 2 y x D 2; max y x D 2 ii ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ) Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y sin x cos x Bài giải ♥ Tập xác định: D 1;1 , hàm số trở thành: y 2t t ♥ Đặt t cos x với t Ta có: y ' Do y ♥ Vậy y x D ; y' 4t 2; y 0; y 2; max y x D t 25 1;1 y x D 0; max y x D 25 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y x x đoạn 0;4 y’= x=0, x=1 0;4 x= -1 loại Ta có: f(0) =3 , f(1)=2 , f(4)=227 Vậy GTLN y = 227 , 0;4 x=4 GTNN y= trên 0;4 x=1 Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x x đoạn 1 2; + Ta có f '(x) x x2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 1 15 + Có f (2) 2;f ( ) 2 + f '(x) x [ 2; ] maxf(x) [-2; ] 15 ; minf(x) 2 [-2; ] Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x x x 2 đoạn ; Ta có f x x x ; f x xác định liên tục đoạn ;0 ; f ' x 4x x Với x ; 2 , f ' x x 0; x Ta có f , f 4, f 0, f 16 2 1 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x đoạn ;0 Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x x ln 1 x đoạn 1;0 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x x ln 1 x đoạn 1;0 x Ta có f ' x x ; f ' x x 1 2x 1 Tính f 1 ln 3; f ln 2; f 2 f x ln 2; max f x Vậy 1;0 1;0 Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số y x.log x khoảng (0;10) Hàm số cho liên tục (0;10] Ta có f '( x) log x x f '( x) log x log e x log x log e x ln10 e BBT: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x 1/e f’(x) - 10 + f(x) f '( x) Từ BBT ta suy (0;10] log e e log e x e e Câu Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f x x - Ta có f x liên tục xác định đoạn 2;5 ; f ' x đoạn 2;5 x 1 x 1 - Với x 2;5 f ' x x - Ta có: f 3, f 3 2, f - Do đó: Max f x x x , 2;5 f x x 2;5 Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 1 2x đoạn 2; Hàm số liên tục đoạn 2; Ta có y ' 2x 1 Có y 2 ; y y= Vậy max 2;4 0, x 2; x y = 2;4 x Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) 2 x x 10 đoạn 0; 2 f ( x) xác định liên tục đoạn 0; 2 , ta có: f '( x) 8 x3 x x Ta có: f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = -6 x Với x 0; 2 thì: f '( x) f ( x) f (2) 6 Vậy: M0;2ax f ( x) f (1) 12; 0;2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ