PP giải BDT GTLN GTNN một biến số

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) GIÁ TR L N NH T NH NH T HÀM S B T – GTLN - NN BI N ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Giá tr l n nh t – nh nh t thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng có th n m v ng ki n th c ph n này, Bài Tìm giá tr l n nhât, nh nh t (n u có) c a hàm s sau: 1) f ( x)  v i x0  x  2x 2) f ( x)  16 x3  (1  x)3 v i x  0;1 x3 x 3) f ( x)    2(9  x2 ) v i x  3;0 2 4) f ( x)  2(1  x2 )  x3  x v i  x  2 5) f ( x)  ( x  1)3  x2  x  v i x  Gi i v i x0  x  2x 3( x  1)(5 x  3) ; f '( x)   x  (do x  ) Ta có f '( x)    2 ( x  3) x x2 ( x  3)2 B ng bi n thiên: 1) f ( x)  T b ng bi n thiên suy f ( x)  f (1)  V y f ( x) có giá tr l n nh t 2) f ( x)  16 x3  v i x  x  (1  x)3 v i x  0;1 3(1  x)2 3(9 x  1)(7 x  1)  ; f '( x)   x    0;1 Ta có f '( x)  48 x  4 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) B T – GTLN - NN   f (0)  16  f ( x)  x    xmin 81 Khi  f (1)  16   0;1 f ( x)  16 x   16 max x 0;1  f       81 3) f ( x)  x3 x   2(9  x2 ) v i x  3;0 2 Ta có f '( x)  3x2 2 x (3x2  5)  x2  2 x    2  x2  x2  3x   Khi f '( x)   (3x2  5)  x2  2 x   2 2  (3x  5) (9  x )  x 3x2  x  3x       9 x  111x  327 x  225   x    x2 5 1 25  x   x  1  3;0  3  f (3)  6 f ( x)  6 x  3  xmin   3;0 Suy  f (1)  10   f ( x)  10 x  1   xmax  3;0  f (0)   4) f ( x)  2(1  x2 )  x3  x v i  x  2 2 x 27 x  (27 x2  5)  x2  x   Ta có f '( x)   x2 2  x2 0  x  1  Khi f '( x)   x  (27 x2  5)  x2  27 x2    x (3x2  1)(9 x2  1)(27 x2  25)   B ng bi n thiên 10   10 x  T b ng bi n thiên suy f ( x)  f    V y giá tr l n nh t c a f ( x) 3 3 5) f ( x)  ( x  1)3  x2  x  v i x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Ta có: f '( x)  3( x  1)  x 1 x  2x   3( x  1)  1 ( x  1)  3 1 32 B T – GTLN - NN  3  v i x  2 Suy f ( x) đ ng bi n v i x  nên f ( x)  f (2)   V y P đ t giá tr nh nh t  x  Bài Ch ng minh b t đ ng th c sau: 1) e x  x  v i x  2) e x  cos x   x  ln x v i x  0; x   x 1 x x 5)  ln 1  x  x v i x  1 x 2x 7) ln( x  1)  v i x  x 4) ln( x  1)  x  v i x  3)   2ln x v i x    x x 1 x  1 8) ln   x2   ln x v i x  x 6)   x 1  10) x      9) x ln x   x    x v i x  x2 v i x   x1 x v i x  Gi i 1) e  x  v i x  B t đ ng th c t ng đ x ng: e x  x   v i x  Xét hàm s : f ( x)  e x  x  v i x  Ta có: f '( x)  e x    x  lim f ( x)  lim  e x  x  1   ; x lim f ( x)  lim  e  x  1   x x x x T b ng bi n thiên ta có: f ( x)  v i x  2) e x  cos x   x  hay e x  x   v i x  (đpcm) x2 v i x  x2 v i x  Xét hàm s : f ( x)  e  cos x   x  Ta có: f '( x)  e x  sin x   x f ''( x)  e x  cos x   v i x  x  f '( x) đ ng bi n v i x  Hocmai.vn – Ngôi tr  x   f '( x)  f '(0)  Do đó:   x   f '( x)  f '(0)  ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) B T – GTLN - NN  x2  ta có: lim f ( x)  lim  e x  cos x   x     x x 2  T b ng bi n thiên ta có: f ( x)  v i x  hay e x  cos x   x  x2 v i x  (đpcm) ln x v i x  0; x   x 1 x x 1 Xét hàm s : f ( x)  ln x  v i x  x  x x   x  1   x 1 x   x 1  Ta có: f '( x)    v i x  0; x  x x x 2x x 2x x  f ( x) ngh ch bi n v i x  0; x  Do đó: 3)  +) V i  x   f ( x)  f (1)  hay ln x   ln x x 1 x 1 (vì x  )   ln x    x 1 x x x (1) +) V i x   f ( x)  f (1)  hay ln x  ln x x 1 x 1 (vì x  )   ln x    x 1 x x x (2) T (1) (2)  ln x v i x  0; x  (đpcm)  x 1 x 4) ln( x  1)  x  v i x  Xét hàm s f ( x)  ln( x  1)  x  v i x  Ta có: f '( x)  1  x 1     x 1   x   x  1 x 1 x 1 lim f ( x)  lim ln( x  1)  x  1   ; lim f ( x)  lim ln( x  1)  x  1   x x x1 x1 T b ng biên thiên ta có: f ( x)  2ln   hay ln( x  1)  x  v i x  (đpcm) 5) x  ln 1  x  x v i x  1 x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) B T – GTLN - NN +) Xét hàm s : f ( x)  ln 1  x  x v i x  Ta có: f '( x)   hàm s x 1   v i x  1 x 1 x f ( x) ngh ch bi n v i x   f ( x)  f (0)  hay: ln 1  x  x  v i x  (1) x v i x0 1 x x 1 Ta có: g '( x)     v i x  2  x 1  x 1  x +) Xét hàm s : g ( x)  ln 1  x   hàm s g ( x) đ ng bi n v i x   g ( x)  g (0)  hay: ln 1  x  x  v i x  1 x (2) T (1) (2)  6) x  ln 1  x  x v i x  (đpcm) 1 x 2ln x v i x    x x 1 x  1 ln x (1)  x x2  V i x  , (1)  x2 1  x ln x  x2 1  x ln x  Tr c tiên ta s ch ng minh  Xét hàm s f ( x)  x2   x ln x v i x  2( x  1)   , x  x x Suy f '( x) đ ng bi n v i x   f '( x)  f '(1)   f ( x) đ ng bi n v i x  Ta có f '( x)  x  2ln x  ; f ''( x)    Khi f ( x)  f (1)  hay x2   x ln x  2ln x (2)  2 x 1 x  V i x  , (2)  ( x2  1) ln x  x2   Ta ch ng minh  Xét hàm s g ( x)  ( x2  1) ln x  x2  v i x  Ta có g '( x)  x ln x  x2  1  x  x ln x   x x x x2  1 2ln x     , x  x2 x2 Suy g '( x) đ ng bi n v i x   g '( x)  g '(1)   g ( x) đ ng bi n v i x  g ''( x)  2ln x    7) ln( x  1)  Khi g ( x)  g (1)  hay ( x2  1) ln x  x2   2x v i x  x Xét hàm s : f ( x)  ln( x  1)  Ta có: f '( x)  2x v i x0 x x2    v i x   x  x  2 1  x x  2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  f ( x) đ ng bi n v i x   f ( x)  f (0)  hay ln( x  1)    8) ln   x2   ln x v i x  x B T – GTLN - NN 2x v i x  (đpcm) x   Xét hàm s : f ( x)  ln   x2   ln x v i x  x Ta có: f '( x)    x  x2   x2    2 1  x x  1  x  x   x x  2    x x x  x2   x2  x2   x2 x2  x2   x2  x  x2  x    x2   x2 x2  hàm s đ ng bi n  0;         x2  x   x2    x2   x2 x2   x2  x x2  x2     T (1) (2)  f ( x)  v i x  hay ln   x2   0 v i x0 (1)     x2   M t khác: lim f ( x)  lim ln   x2   ln x  lim ln  x x  x x  x       1   0  x   (2)  ln x v i x  (đpcm) x 9) x ln x   x2    x2 v i x    Xét hàm s : f ( x)  x ln x   x2    x2 v i x   x x 1   x2 Ta có: f '( x)  ln x   x2   x   x2        x 1 x   ln x   x2  Khi đó: f '( x)   ln x   x2   x   x2    x2   x 1  x  x     x0 2 x  1  x   x  x   lim f ( x)  lim  x ln x   x2    x2     x x   T b ng bi n thiên ta có: f ( x)  v i x    hay x ln x   x2    x2 v i x  (đpcm) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  x 1  10) xx      B T – GTLN - NN x1 v i x   x 1  Ta có: xx      x1 x1 x 1 x 1  x 1   ln xx  ln   x ln x   x  1 ln 0   x ln x   x  1 ln 2   x 1 Xét hàm s : f ( x)  x ln x   x  1 ln v i x 1 x 1 x 1 2x (1) Ta có: f '( x)  ln x   ln   ln x  ln  ln x 1 2 2x 2x Mà: x   x  x      ln  (2) x 1 x 1 T (1) (2)  f '( x)  v i x  f '( x)  x   hàm s f ( x) đ ng bi n v i x   f ( x)  f (1)  hay x ln x   x  1 ln x 1  (đpcm) Bài Tìm giá tr l n nh t, nh nh t (n u có) c a hàm s sau: f ( x)  4  x  3x2  x  x    3x Gi i i u ki n: 1  x   4 t t  x    3x Xét hàm g ( x)  x    3x liên t c  1;   3 Ta có g '( x)     3x  x  3 ; g '( x)    3x  x   x    x 1  3x ( x  1)(4  3x) 4 Khi g (1)  ; g (0)  ; g    21 Suy 3 21  g ( x)  hay Ta có t  25  3x  12  x  3x2  4  x  3x2  x  t  25 21  t  t  25 8 t 1   Suy f ( x)     t    h(t ) t 3t 3 t   1 Xét hàm h(t )   t   v i t   21;7  3 t  1 1 Ta có h '(t )  1    v i t   21;7  , suy h(t ) liên t c đ ng bi n  21;7  3 t  Khi h   21  h(t )  h(7)  20 16 20 16 hay  h(t )   f ( x)  7 21 21 ; t 7 x0 20 16 V y giá tr nh nh t c a f ( x) x  giá tr l n nh t c a f ( x) x  21 V i t  21  x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài Tìm giá tr nh nh t c a hàm s B T – GTLN - NN       f ( x)  (1  cos x) 1    (1  sin x) 1   v i x   0;   sin x   cos x   2 Gi i 1 cos x sin x    2 sin x cos x sin x cos x sin x  cos x   sin x  cos x  2 sin x cos x Ta bi n đ i f ( x)  sin x  cos x  t 1   t t  sin x  cos x  sin  x   , suy t   2sin x cos x  sin x cos x  4  Do  x     Khi f ( x)  t  Ta có g '(t )    x   3       sin  x      sin  x    hay  t  4 4   1 t 2t   g (t ) v i  t  t 1 t 1 2 (t   2)(t   2)   v i t  1;  (t  1) (t  1)2   Suy g (t ) ngh ch bi n v i t  1;  , f ( x)  g (t )  g ( 2)    V i x  f ( x)   V y giá tr nh nh t c a f ( x)  Bài Tìm giá tr l n nh t c a hàm s f ( x)  ( x  1)3 (3  x) Gi i  V i x  ho c x   V i 1 x  f ( x)  , áp d ng b t đ ng th c AM – GM cho s ta đ c:   ( x  1)  ( x  1)  ( x  1)  (3  x)   27 ( x  1) (3  x)  ( x  1)( x  1)( x  1) (3  x)     3  2048    Khi f ( x)  ( x  1)3 (3  x)  V y f ( x) có giá l n nh t b ng Bài Ch ng minh r ng: 2sin x 2 tan x  27 11 D u “=” x y x   (3  x)  x  2048 27 11 x  2048   v i x   0;   2 Gi i 3x 1 22 2 2 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta đ c: Khi b t đ ng th c s đ c ch ng minh n u ta ch đ c: 2sin x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t tan x 2sin x 2 tan x 2sin x tan x 1 2 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2sin x tan x 1  Xét hàm s 3x 22 1  B T – GTLN - NN 2sin x  tan x 3x 1    2sin x  tan x  3x 2   f ( x)  2sin x  tan x  3x v i x   0;   2 Ta có f '( x)  2cos x  (2cos x  1)(1  cos x)      , x   0;  2 cos x cos x  2   Suy f ( x) đ ng bi n kho ng  0;   2 Khi f ( x)  f (0)  hay 2sin x  tan x  3x   2sin x  tan x  3x (đpcm) Bài Tìm giá tr nh nhât c a bi u th c P  x4  8x3  22 x2  24 x  x   x   4ln( x2  x  5) Gi i  Xét f ( x)  x4  8x3  22 x2  24 x  4ln( x2  x  5) 4(2 x  4) x2  x  2      4( x  2)  x2  x    2   4( x  2) ( x  x  5)  x  4x   x  4x     Ta có f '( x)  x3  24 x2  44 x  24  AM GM 2   ( x2  x  5) 2  2 2  2 x  4x  x  4x  Nên f '( x)   x    x  , ta có b ng bi n thiên: Do ( x2  x  5)  Suy f ( x)  f (2)  88 (*)  Áp d ng b t đ ng th c tr t đ i d ng a  b  a  b a  v i a , b  , ta đ c: x   x    x    x   x   x    x   (2*) T (*) (2*), ta đ c: P  f ( x)  x   x   88   89  Khi x  P  89  V y giá tr nh nh t c a P 89 Bài Ch ng minh b t đ ng th c sau: x2 xn 1) e   x    v i x  ; n  n! x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2) a x  x ln a    x ln a  2!  x ln a    B T – GTLN - NN n v i x  ; a  ; n  n! Gi i 1) e x   x  n x x v i x  ; n    n! x2 xn   Ta s ch ng minh: fn ( x)  (*) v i x  ; n  n! x +) V i n  : f1 ( x)  e   x  f1 '( x)  e x   v i x  f '( x)  x  Xét hàm s : fn ( x)  e x   x   hàm s f1 ( x) đ ng bi n v i x   f1 ( x)  f1 (0)  V y (*) v i n  +) Gi s (*) v i n  k hay fk ( x)  +) Ta c n ch ng minh (*) v i n  k  hay fk 1 ( x)  e x   x  x2 xk xk 1     Th t k !  k  1! v y: x2 xk    fk ( x)  (theo gi thi t quy n p) fk'1 ( x)  x  k! fk 1 ( x) đ ng bi n v i x   fk 1 ( x)  fk 1 (0)  V y (*) v i n  k  fk'1 ( x)  e x   x   hàm s Theo ph 2) a x ng pháp quy n p  e x   x   x ln a    x ln a   x ln a    (đpcm) n 2! n! x x ln a t t t  x ln a  a  e e v i t 0 Khi toán đ x2 xn v i x  ; n    n! v i x  ; a  ; n  c phát bi u l i là: Ch ng minh et   t  t2 tn   v i t  ; n  n! (quay v ý 1)) Bài Ch ng minh b t đ ng th c sau:  x2  1) ln 1  x    x v i x  2  Gi i  x2 xn  2) ln 1  x      x v i x  n!    x2  1) ln 1  x    x v i x  2  1 x  x2   Xét hàm s : f ( x)  ln 1  x    x v i x  Ta có: f '( x)    0v i x2 x2  x  x   1 x  x   hàm s  x2  f ( x) ngh ch bi n v i x   f ( x)  f (0)  hay: ln 1  x    x v i x  2  (đpcm) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) B T – GTLN - NN  x2 xn  2) ln 1  x      x v i x  n!    x2 xn  Xét hàm s : f ( x)  ln 1  x      x v i x  n!   xn 1 xn   n  1!   n! Ta có: f '( x)   v i x  n 2 x x x xn  x     x    n! n! 2  x    x2 xn   f ( x) ngh ch bi n v i x   f ( x)  f (0)  hay: ln 1  x      x v i x  n!   (đpcm) Bài 10 Ch ng minh b t đ ng th c sau: xn  x  2ne v i x  (0;1) n  * Gi i Ta có: xn  x  1  x2 n 1  x   2n 1  x x2 n  2ne e 2ne  2n  2nx  2nx  Áp d ng B T Cauchy ta có: 2n 1  x x2 n   2n  2nx x.x x    2n    2n  2n  Ta c n ch ng minh:    2n   n 1  2n    ln   e  2n   n 1  ln n 1  2n     2n   n 1 e   2n  1 ln  2n   ln  2n  1  1 hay ln  2n  1  ln  2n   2n  Xét hàm s : f ( x)  ln x v i x   2n; 2n  1 ta có: f '( x)  f ( x) liên t c  2n; 2n  1 x Áp d ng đ nh lý La – g – r ng  c   2n; 2n  1 : f (2n  1)  f (2n)  f '(c)  ln  2n  1  ln  2n   (1) c n   2n 1 (2) M t khác: c  2n    c 2n  1 (đpcm) T (1) (2)  ln  2n  1  ln  2n   2n  Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]...Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) B T – GTLN - NN  x2 xn  2) ln 1  x      x v i x  0 2 n!    x2 xn  Xét hàm s : f ( x)  ln 1  x      x v i x  0 2 n!   xn 1 xn   n  1!  1  n! Ta có: f '( x)   0 v i x  0