Cách giải bài tập GTLN GTNN

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN A PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để giải toán tìm GTLN, GTNN hàm số nhiều biến phương pháp hàm số, thông thường ta thực theo bước sau :  Biến đổi số hạng chứa biểu thức đại lượng giống  Đưa vào biến t, cách đặt t đại lượng biến đổi  Xét hàm số f (t ) theo biến t Khi ta hình thành toán tương đương sau : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (t ) với t  D  Lúc ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (t ) với t  D  Chú ý : trường hợp xây dựng trực tiếp hàm số f (t ) với t  D , ta tìm  f (t ) với t  D thỏa P  f (t ) toán tìm giá trị nhỏ  f (t ) với t  D thỏa P  f (t ) toán tìm giá trị lớn B MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA I XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM SỐ f (t ) BẰNG CÁC BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ: Phương pháp chung:  Dự đoán khả dấu xảy giá trị đặc biệt điều kiện để đặt biến phụ t thích hợp  Có thể biến đổi hàm f(t) không cần sử dụng tính chất bất đẳng thức  Hàm f(t) tương đối khảo sát  Chú ý phần tìm điều kiện t (phải thật xác)  Thích hợp cho đề thi khối B D Thí dụ Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y =  Tìm GTNN biểu thức P   x      y   y2   x  Lời giải  Ta biến đổi P   xy   2 ( xy ) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN  x, y   Do  nên  x  y  xy   xy  x  y   Đặt t  xy 2 , điều kiện t  t   Khi biểu thức P  f t    t   f ' t   t 1 ; t2 16 t ta thấy f ' t   với t   0;  , suy hàm số f(t) nghịch biến  16  nửa khoảng  0;   16    289  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P P  min1 f t   f     t( 0; 16  16  ] 16 Thí dụ (Khối A 2006) Cho số thực x  0, y  thỏa ( x  y ) xy  x  y  xy Tìm GTLN biểu thức A  1  3 x y Lời giải  Đặt x  y  S xy  P với P  , từ giả thiết ta có P   x, y tồn S  P  S  S2 S 3  S  3 4S S 1  1   S  3  S  S 3 S 3 S 3  Ta biến đổi  Xét hàm số x  y ( x  y )( x  y  xy) ( x  y ) xy  x  y   S  3    A 3      3 3 x y x y x y  S   xy  t 3 f (t )  với t  3  t  , ta có f / (t )    t t  BBT -∞ t -3 +∞ _ f /(t) _ f(t)  Suy A  f (t )  16  Vậy GTLN P  16 x  y   Thí dụ Cho số thực dương thay đổi x, y thỏa điều kiện x  y  Tìm GTNN biểu thức P  1  x y xy Lời giải NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN  P 1 1 1      3 xy ( x  y )  3xy( x  y ) xy  3xy xy x y  Đặt x y  t  xy       1  hàm số f (t )  với  t   3t t 3 3 f / (t )    f / (t )   t  (1  3t ) t  Xét  BBT 3- t _ f /(t) + +∞ f(t) 3    42  Suy P  f     4+2 1   1   ; y  1   Vậy GTLN P   x  1   2    2    Thí dụ (khối D 2009) Cho số thực không âm x, y thỏa điều kiện x  y  Tìm GTLN GTNN biểu thức S  (4 x  y )(4 y  3x)  25 xy Lời giải  Do x  y  nên S  (4 x  y )(4 y  x)  25 xy  16 x y  12( x  y )  xy  25 xy    16 x y  12 ( x  y )  xy( x  y )  34 xy  16 x y  xy  12 2 x y      Đặt  t  xy   f / (t )  32t   f / (t )   t  16  Xét hàm số f (t )  16t  2t  12 t với  t  _ f /(t) 1 16 12 f(t) + 25 191 16 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN 25 x  y  2 191 2 2 S x  ,y  16 4  Vậy GTLN S  GTNN x  2 2  ,y  4 Thí dụ Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện y  x  x  y  12 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  xy  x  y  17 Lời giải  Ta có x  x  12  y   4  x   P  x( x  x  12)  x  2( x  x  12)  17  x  3x  x   Xét hàm số f ( x)  x  3x  x  với   x  f / ( x)  3x  x   f / ( x)   x  3; x  x -4 f /(x) -3 + - 20 + 20 f(x) -12 -13  Vậy GTLN P  20 x  3, y  6 x  3, y  GTNN P  12 x  1, y  10  Thí dụ Cho số thực x  y  thỏa x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y  x  x  xy  Lời giải    x0   y0 0 x2 x  y   x  x(2  x)  (2  x)  x  x  x  P  3x  x(2  x)  x  x 1 P/  2x  ( x  x  1) x P/ P - + NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN  Vậy GTNN P  x  1; y   Thí dụ Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện x  y  1 , x  y  xy  x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  xy x  y 1 Lời giải  Từ giả thiết x  y  xy  x  y   xy  ( x  y)  ( xy)   Đặt t  x  y , ta có ( x  y )  xy  3t  4t      t  Khi P   Xét hàm t  t 1 t 1 t  t 1 số f (t )  với   t  t 1 t  2 t  2t f / (t )   f / ( x)    (t  2)  t 0 -2 t _ f /(t) f(t) + 1 3 -1 P  1  Vậy GTLN P  GTNN x  y  x  1, y  x  1, y  1  x  y   Thí dụ Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện x, y  , xy ( x  y )  x  y  x  y  x y Tìm GTLN biểu thức P   Lời giải  Từ giả thiết suy xy( x  y )  ( x  y )  xy  ( x  y )   Đặt t  x  y suy t2 t  xy  t2  Ta có ( x  y )  xy   Khi P  t  2t  4t    t  2   t t2 x y t  2t  xy t t 2  Xét hàm số f (t )  t  2t t2 t  t  2   t NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 với SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN f / (t )  2  3t  4t   f / ( x)   t  ; t2 2 (t  t  2) t -2 -∞ +∞ _ _ f /(t) f(t) -2  Vậy GTLN P  x  y   Thí dụ Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện  y  x( x  y ) Tìm GTLN, GTNN biểu thức x6  y  P x y  xy Lời giải  Ta có  x  y  xy  xy  xy  1 2 2 2 ( x  y ) ( x  y )  3x y   x  y  xy  ( x  y )  xy  xy    Ta có x6  y  P  x y  xy xy ( x  y ) 2  xy x  y    Đặt t  xy  x  y   t  P  2t  t 1  Xét hàm số  2t  f (t )  với   t  t 1  2t  4t  f / (t )  0 (t  1) -1 t f /(t) _ 25 f(t)  Vậy GTNN P  f (1)  GTLN P  f ( )  x  y  1 25 x   y   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Thí dụ 10 (Khối B 2011)Cho a, b số thực dương thỏa  a b3   a b     9   a  b a  b Tìm GTNN biểu thức P   2(a  b )  ab  (a  b)(ab  2) Lời giải  Từ giả thiết ta có  a 2 b a b 1 1 a b  2       (ab  2)  2     a   b   2    b a a b b a b a b a         a b  Đặt t    2t   2 t   4t  4t  15   t  b a 3 2 a b  a b   Ta có P  4    9    4(t  3t )  9(t  2)  4t  9t  12t  18 a  b a  b  Xét hàm số f (t )  4t  9t  12t  18 với  t f / (t )  12t  18t  12  f / ( x)   t   ; t  2 t +∞ f /(t) + +∞ f(t) -23 23  Suy P  f     2  Vậy GTNN 23 P a  1, b  hay a  2, b   Thí dụ 11 Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện 2( x  y )  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu thức Lời giải P x4  y xy     Đặt t  xy Ta có: xy    x  y 2  xy  4 xy  xy     5  xy    x  y 2  xy  xy  xy  ĐK:   t   x Suy : P   Do đó: P '    y2  2x2 y 2 xy   t  t  2t  1  , 7t  2t   2t  1 P '   t  0, t  1( L) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  1 1 P   P   P     5   15 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN 1 t P/ - + _ P 2 15  Vậy GTLN GTNN 15  15 Thí dụ 12 Cho số thực a, b, c thỏa abc  2 Tìm giá trị nhỏ biểu P  a  b6 b6  c c6  a6   a  b  a 2b b  c  b c c  a  c a Lời giải  Ta có P  (a  b )(a  b  a b ) (b  c )(b  c  b c ) (c  a )(c  a  c a )   a  b  a 2b b  c  b 2c c4  a4  c2a2  Nhận xét: Do abc  2 nên a , b , c số thực dương  Xét A = A  x  y  xy x  y  xy với x,y >  Chia tử mẫu cho y đặt t   Xét hàm số f (t )  x y ta A  t2  t 1 với t2  t 1 t>0 t2  t 1 2x  /  t với f ( t )   t2  t 1 ( x  x  1) t _ f /(t) +∞ + f(t) 3 3  Suy P  (a  b )  (b  c )  (c  b )    2 a  b  c  23 a b c   Vậy GTNN P  a  b  c   Thí dụ 13 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  1, y  3( x  y )  xy  1    y  x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Đặt x  y  a Khi xy  3a , a  3a 0    a  3a   a   Suy x, y nghiệm phương trình t  at   Phương trình (1) có nghiệm  Vì x, y  nên ( x  1)( y  1)  Hay xy  ( x  y )    (1) 3a  a    a  4  Vậy ta có  a   Mặt khác, từ giả thiết ta lại có    1   x y 1 1 16  a3  a2   Suy P  ( x  y)  3xy( x  y )  3    a xy x y 16 Xét hàm số f (a)  a  a   ,  a  4 a 8 Ta có f ' (a)  3a  a   3a(a  )   0, a  [3; 4] 2 a a a f ' (a) + 94 P  f (a ) 113 12 113 , đạt a   x  y  ; 12  x  1, y  94 max P  , đạt a      x  3, y   Dựa vào BBT ta suy P  Thí dụ 14 Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức A  xy  yz  zx  x yz Lời giải t2 3  Ta có  xy  yz  zx  x  y  z  nên  t    t  t   Đặt t  x  y  z  t   2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  t2   t t2 số f (t )    ,  t  t  Khi A   Xét hàm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN  Ta có f ' (t )  t  t3   0 t2 t t   Suy f (t ) đồng biến [ 3, 3] Do f (t )  f (3)  14  Dấu đẳng thức xảy t   x  y  z   Vậy GTLN A 14 , đạt x  y  z   Thí dụ 15 Cho hai số thực x thỏa mãn  x  1,  y  x  y  xy Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M  x  y  xy Lời giải  Đặt xy  t  x  y  4t Theo định lí Viet đảo x, y nghiệm phương trình h( X )  X  4tX  t   Vì  x1 , x  nên phương trình h( X )  có nghiệm X , X thoả mãn   '  4t  t   1.h(0)  t  1 t  X  X   1.h(1)   3t    s 0   2t   1 Khi M  x  y 2  xy  16t  9t , với  t  1 Ta có M ' (t )  32t    t    ;  Suy Bảng biến thiên 32   t - M'(t) 32 +  M 4  11 81 64 1 11 , đạt xy   x  1, y  x  , y  3 81 3 Mmin   , đạt xy   x  y  y  x   64 32  Suy ra: Mmax   Thí dụ 16 Cho x, y hai số thực thỏa mãn x  y  xy  Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  xy  x3 y Lời giải NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN x  mx   x  (1) Lời giải  Do x  nghiệm phương trình (1) nên    3x  x  1  3x  x   mx  m (2)  x     x         x  mx   x  x   x   x       3x  x  1 Xét hàm số y  f  x   D    ;   x   Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x   ;    đường thẳng y  m có hai điểm chung khác với   thị hàm số y  f  x  vẽ  ;     3x  1 Lập BBT hàm số trên D Ta có: f '  x   , x    ;   \ 0 x   3x  x  f ( x)  lim   Giới hạn: xlim  x  x đồ Bảng biến thiên x  f ' x  + +  f  x    Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m   MINH HỌA ĐỒ THỊ Thí dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2x  2x   x   x  m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Tập xác định phương trình : D   0; 6  Xét hàm số y  f  x   2x  2x   x   x  0;  Phương trình 1 có nghiệm  0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  x  vẽ  0;   Lập BBT hàm số y  f  x  D Ta có: f ' x  2x  1    2x 6  x 6 x   1 1      , x   0;6       x 3   x 3   x 6 x    1 1 Đặt u  x   Ta thấy u    v    nên  , v  x   3 2x 6 x  2x 6  x f '  2  Mặt khác u  x  , v  x  dương  0;  , âm  2;  nên ta có Bảng biến thiên x f’(x) f(x) + 63 2  24 12   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình 1 có nghiệm  0;     m    MINH HỌA ĐỒ THỊ Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm 6 x2   x  x    m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  x  2x   (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1; 4  Đặt ẩn phụ t   x  x  với x  1; 4 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x  1; 4 1  2x    x , x  1;    4 x 2x  2  x 2x  t '    x  2x     x   2x   x  t' Ta có: Bảng biến thiên x t' + t 3 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   3;3 t  4t   m (2)  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: Phương trình (1) có nghiệm x  1; 4  Phương trình (2) có nghiệm t   3;3  Xét hàm số y  f  t   t  4t  với t   3;3 Phương trình   có nghiệm t   3;3  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  3;3  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t  ; f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  f t  74 3 +  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1; 4   m   Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị ẩn phụ chuyển phương trình sang phương trình theo ẩn phụ với tập xác định tập giá trị ẩn phụ tìm Cụ thể  Khi đặt t  u  x  , x  D , ta tìm t  D ' phương trình f  x; m   (1) trở thành g  t ; m   (2) Khi (1) có nghiệm x  D  (2) có nghiệm t  D '  Để tìm miền giá trị t ta nên lập BBT hàm số t  u  x  D (có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá tính chất hàm số) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN  Nếu toán yêu cầu xác định số nghiệm ta phải tìm tương ứng x t Tức giá trị t  D ' phương trình u  x   t có nghiệm x  D ? (có thể xem toán nhỏ xét tương giao) Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm  x  x  3x  m  x   3 x  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   2;3  Đặt t  x    x với x   2;3 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   2;3 3 x  x    x  2  x x   x t '    x  x    x   x    x  1 t' Ta có: Bảng biến thiên x t' -2 + t -1 5 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   5;5 14 m (2) t nghiệm t   5;5  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: t  14t  mt  t  Phương trình (1) có nghiệm x   2;3  Phương trình (2) có  Xét hàm số y  f  t   t  14 t với t   5;5 Phương trình   có nghiệm t   5;5  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  5;5  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t    14  , t   5;5   t2 Bảng biến thiên t f 't  + f t  11   5 Dựa vào BBT ta suy ra: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Phương trình (1) có nghiệm x   2;3   11 m  5 Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm m    x2   x2    x4   x2   x2 (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   1;1  Đặt t   x   x x   1;1 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   1;1 Ta có: t' x  x2   1  x  2 1 x  x2  1 x x  ,  t'0 x 0 Bảng biến thiên x -1 0 t' t + 2 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '  0;   Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: m  t    t  t   t  t  m t2 (2) Phương trình (1) có nghiệm x   1;1  Phương trình (2) có nghiệm t  0;  t  t   Xét hàm số y  f  t   với t  0;  t2 Phương trình   có nghiệm t  0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ 0;   Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   t  4t t  2  , t  0;  Bảng biến thiên t f t  f 't  2 1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x   1;1  1  m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm     x  x 1  m x   x  x  1   x 1   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   0;    Khi đó: 1   x  x    m x     x  x  1   x 1   x  x  1  x  x  x 1  x 1   x  x  1  1  m  x x 1 m x x x 1 (2) 4  1 m x x 1 x 1 x 1    t  Tập giá trị t là: D '   0;1  Đặt t  , x  nên  x x 1  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành:  t   m  m    t  t t  (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1;    Phương trình (2) có nghiệm t   0;1  t  với t   0;1 t2 nghiệm t   0;   đường thẳng y  m  Xét hàm số y  f  t    Phương trình   có phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;   Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   có điểm chung với   0, t   0;1 t2 Bảng biến thiên t f 't  + f t  1   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;    m  1  Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 1  m x   4 x2 1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1;    Khi đó: 1  x 1 x 1 x 1 x2 1 3  m  24  m  24 x 1 x 1 x 1  x  1 x 1 x 1    t  Tập giá trị t là: D '   0;1 , x  nên  x 1 x 1  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: 3t  2t  m (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1;    Phương trình (2) có nghiệm t   0;1  Đặt t   Xét hàm số y  f  t   3t  2t với t   0;1 Phương trình   có nghiệm t   0;1  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ t   0;1  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   6t  , f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  + f t  1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;    1  m   Thí dụ 10 Tìm m để phương trình sau nghiệm x  1;3  log32 x  log32 x   2m   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1;3   Đặt t  log32 x  với x  1;3  Tìm tập giá trị ẩn phụ t x  1;3  x  1;3    x      log32 x     log32 x     t   t  1; 2 Tập giá trị ẩn phụ t x  1;3  D '  1; 2  Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: t  t   2m (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1;3   phương trình (2) có nghiệm t  1; 2  Xét hàm số y  f  t   t  t  với t  1; 2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Phương trình (2) có nghiệm t  1; 2  đường thẳng y  2m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ 1;  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t   , t  1; 2 Bảng biến thiên t f 't  + f t   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;3    m   Thí dụ 11 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 x  x5  m (1) Lời giải  Tập xác định bất phương trình : D   5; 4  Xét hàm số y  f  x    x  x   5; 4 Bất phương trình (1) có nghiệm x   5; 4  có điểm thuộc đường thẳng y  m nằm phía đồ thị hàm số y  f  x  vẽ  5; 4  Lập BBT hàm số trên D Ta có: f '  x   1 4 x  x5    x x    x  x   f ' x    x  x   x   x  -5 + t' 2 t 3  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm x   5; 4  m   Thí dụ 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x   m  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Lời giải  Tập xác định phương trình : D  3;   1  m  Khi đó: x  1 x 1 (2) x  1 3;   x 1 Bất phương trình (2) có nghiệm x  3;    có điểm thuộc đường thẳng y  m  Xét hàm số y  f  x   nằm phía đồ thị hàm số y  f  x  vẽ 3;    Lập BBT hàm số D Ta có: f '  x   5 x  x 3 x   x  1 f ' x   x    x  x  x  1 0 x 1 Giới hạn xlim f ( x)  lim  x  Bảng biến thiên x f ' x  + f  x  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm 3;    m   Thí dụ 13 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   2; 4 4   x   x   x2  2x  m  18 (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   2; 4  Đặt t   x  x  với x   2; 4 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   2; 4 Ta có: t' x 1  x2  x  t '   x 1 , Bảng biến thiên x t' -2 + NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN t 0 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   0;3  Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: m  t  4t  10 (2) Bất phương trình (1) nghiệm với x   2; 4  Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;3  Xét hàm số y  f  t   t  4t  10 với t   0;3 Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;3  đường thẳng y  m nằm hoàn toàn phía phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;3  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t  , f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  f t  0 + 10  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với x   2; 4  m  10  Thí dụ 14 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  m.4 x   m  1 x   m   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   Đặt t  x với x  Tập giá trị ẩn phụ t x   Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: 4t  t  4t  x   2; 4  mt   m  1 t  m   m  Bất phương trình (1) nghiệm với nghiệm với t   0;    Xét hàm số y  f  t   4t  t  4t  D '   0;   (2) Bất phương trình (2) với t   0;   Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;    đường thẳng y  m nằm hoàn toàn phía phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;    Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 4t  2t   t  4t   , t   0;   , SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN Giới hạn: lim f  t   t  Bảng biến thiên t f t  f 't    Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với x   m   Thí dụ 15 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x   y   x  xy  m   x  x  y   2m Lời giải      (1)    x2  x  2x  y   m Ta có : 1    x  x   x  y    2m u  x  x Đặt  Điều kiện u u   v  x  y  uv  m u   2m  1 u  m  Hệ phương trình trở thành:    u  v   2m v   m  u Hệ phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm thỏa mãn u    Với u   , ta có:    m  2u  1  u  u  m   2 u  u 2u  u  u với u   ;   2u    Phương trình   có nghiệm u   ;    đường thẳng y  m có điểm chung   với phần đồ thị hàm số f  u  vẽ  ;      Xét hàm số f  u    Lập BBT hàm số D Ta có: f ' u    2u  2u   2u  1 ; f ' u    u  1  Bảng biến thiên NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN u  f 'u  1  + f u  + 2    Dựa vào BBT ta suy ra: 2  Hệ phương trình (1) có nghiệm  m  BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập rèn luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1) x  3x   m ĐS: m  2) x   x  m ĐS:  m  4) x x  x  12  m   x   x  ĐS:  Bài tập rèn luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1) x2   m  2 x    m  1 x3  x  ĐS: m  ĐS: 1  m  2) x   m x   x   ĐS: m  12 4) x   x   x  x  m ĐS:  3)    m  12 ĐS: m   3) x  13x  m  x     x  x 1  m x   16 x  x  1   x 1   5)  x   x  3  x   x   m 6) m   x   x2   x   x2  ĐS: 37 m3 9 m3 ĐS: m  Bài tập rèn luyện 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm  x   m ĐS: m  x 1  m  2) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   4;6  x  4  x   x2  x  m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ĐS: m  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN 3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm m x2   x   m ĐS: m  4) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x  0;1   m   x2  x    x   x   ĐS: m  5) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  x   m  1 3x  2m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ĐS: m   SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 GTLN – GTNN ỨNG DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG PT VÀ BPT Giả sử f  x  hàm số liên tục miền D đạt GTLN, GTNN miền Ký M  Max f  x  xD hiệu: m  f x  xD Khi ta có kết luận sau: 1) Phương trình f  x   a có nghiệm x  D  m  a  M Ví dụ 1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 2 x  4x  a x  m   x2   x  3 x 1  x   3;0 4x  x  2m    2x    m  1  x  2x   m   2) Bất phương trình f  x   a có nghiệm x  D  a  M Bất phương trình f  x   a có nghiệm x  D  a  m Ví dụ : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x    x  a 3) Bất phương trình f  x   a nghiệm với x  D  a  m Bất phương trình f  x   a nghiệm với x  D  a  M Ví dụ : Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   2; 2 x  m   x2  B Bài tập Bài 1: Cho phương trình  x   x    x   x   m (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 2: Cho phương trình   x   x     x   x   3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 3: Cho phương trình  x  1  2x  x  3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 4: Cho phương trình x   x  x  x  5m 1  (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm   Bài 5: Cho phương trình m  x   x    x   x   x (1) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ GTLN – GTNN FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 6: Cho phương trình  sin x  cos x   cos 4x  2s in2x  m  (1)  Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  0;   2 Bài 7: Cho bất phương trình  x  4  x   x  2x  m (1) Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm nghiệm với 4  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ