3 GTLN, GTNN hàm số

Hàm Số Nâng Cao GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa GTLN, GTNN Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng) + Nếu có x0 ∈ K cho f ( x ) ≤ f ( x0 ) , ∀x ∈ K f ( x0 ) gọi giá trị lớn hất hàm số khoảng K Kí hiệu: max y = f ( x0 ) K + Nếu có x0 ∈ K cho f ( x ) ≥ f ( x0 ) , ∀x ∈ K f ( x0 ) gọi giá trị nhỏ hất hàm số khoảng K Kí hiệu: y = f ( x0 ) K Phương pháp tìm GTLN, GTNN Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng K: Phương pháp: Lập bảng biến thiên khoảng K, nhìn để kết luận max, Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] : Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên khoảng kết luận Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] ta có bước làm sau: Tính đạo hàm hàm số y = f ( x ) cho Tìm điểm x1; x2 ; ; xn đoạn [ a; b] , f ' ( x ) = f ' ( x ) không xác định Tính: f ( a ) ; f ( x1 ); f ( x2 ); ; f ( xn ); f (b) Tìm số lớn M số nhỏ m số (ở mục 3) Khi đó: M = max f ( x ) ; m = f ( x ) [ a ;b ] [ a ;b ] Chú ý: Hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b] hàm số f(x) ln tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tất giá trị trung gian nằm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f(x) đoạn Nếu đề khơng cho rõ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng, đoạn cón nghĩa ta tìm GTLN, GTNN hàm số tập xác định hàm số min f ( x ) = f ( a ) Tính đạo hàm y ' Nếu y ' ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒  max f ( x ) = f ( b ) min f ( x ) = f ( b ) Tính đạo hàm y ' Nếu y ' ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒  max f ( x ) = f ( a ) B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: A m = Câu 2: Cho hàm số y = x + x + a − Tìm a để giá trị lớn hàm số đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ 104 mx đạt giá trị lớn x = x2 + B m ≥ C m = −2 D m < Trên đoạn [ −2;2] , hàm số y = Hàm Số Nâng Cao A a = Câu 3: B a = C a = D a = Với m để hàm số y = x + mx + [ −1; 2] đạt giá trị nhỏ mệnh đề sau đúng? A < m < Câu 4: B < m < C < m < D m > Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có điều kiện f ( x ) = f ( −1) Giá trị nhỏ ( −∞ ;0 ) 1  hàm số y = f ( x ) đoạn  ;  bằng: 2  A c + 8a Câu 5: B c − 7a 16 C c + 9a 16 D c − a Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x + m + Có số nguyên dương m < 2018 cho với ba số thực a, b, c ∈ [ −1;3] f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) độ dài ba cạnh tam giác nhọn A 1989 Câu 6: B 1969 C 1997 D 2008 Có giá trị tham số thực m để GTNN hàm số y = x − x + m + x −1 ? A Câu 7: B C ln x + Giá trị lớn hàm số y = ln x + D + m 1;e  đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A Câu 8: 1+ 2 −1 C D 1+ 4t (với m > tham số thực) Biết f ( x ) + f ( y ) = với số 4t + m 1 thực dương x, y thỏa mãn ( x + y ) ≥ ( x + y ) + Tìm GTNN hàm số f ( t ) 2 1  đoạn  ;1 2    ;1 f (t ) = B    ;1 f (t ) = ( C  f (t ) = ) (   ;1 D    ;1 ) Giá trị nhỏ hàm số: y = x + + x + + x + − x + là: A 105 −1 Cho hàm số f ( t ) = A  Câu 9: B B C D f (t ) = Hàm Số Nâng Cao Câu 10: Giá trị nhỏ hàm số ( C ) : y = ( x + x − ) A B ( x + x −1 ) C D cos x + cos x + Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ Câu 11: Cho hàm số y = cos x + hàm số cho Khi M+m A – B – C – D sin x + Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm sin x + sin x + số cho Chọn mệnh đề 3 A M = m + B M = m + C M = m D M = m + 2 Câu 12: Cho hàm số y = Câu 13: Giá trị lớn hàm số f ( x ) = A B sin x x x sin + cos 2 C D 3sin x + cos x ≤ m + với x ∈ ℝ sin x + cos x + +9 65 − −9 B m ≥ C m ≥ D m ≥ 4 Câu 14: Tìm m để bất phương trình A m ≥ Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục ℝ đồ thị hàm số f ′ ( x ) đoạn [ −2;6] hình vẽ bên Tìm khẳng định khẳng định sau y −2 O x −1 A max f ( x ) = f ( −2 ) B max f ( x ) = f ( ) C max f ( x ) = f ( ) D max f ( x ) = f ( −1) x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm R có đồ thị hàm y = f ' ( x ) hình vẽ Biết f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( 5) Giá trị nhỏ giá trị lớn f ( x ) đoạn [ 0;5] lượt là: 106 Hàm Số Nâng Cao A f ( ) ; f ( ) B f ( ) ; f ( ) C f ( ) ; f ( ) D f (1) ; f ( 3) Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ Xét 3 hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2018 Mệnh đề đúng? A g ( x ) = g ( −1) B g ( x ) = g (1) [ −3;1] C g ( x ) = g ( −3) [ −3;1] [−3;1] D g ( x ) = [ −3;1] g ( −3) + g (1) Câu 18: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn < a < b < c < d hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [ 0; d ] Khẳng định sau khẳng định đúng? A M + m = f ( ) + f ( c ) B M + m = f ( d ) + f ( c ) C M + m = f ( b ) + f ( a ) D M + m = f ( ) + f ( a ) Câu 19: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x + y) xy = x2 + y − xy Giá trị 1 + là: x3 y3 B M = lớn M biểu thức A = A M = Câu 20: Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = C M = ( D M = 16 ) x − + y + Giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y ) + 15 xy A P = −80 B P = −91 Câu 21: Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = C P = −83 ( D P = −63 ) x − + y + Giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y ) + 15 xy là: A P = −83 B P = −63 C P = −80 D P = −91 Câu 22: Cho x , y số thực thỏa mãn x + y = x − + y + Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P = x + y + ( x + 1)( y + 1) + − x − y Khi đó, giá trị M + m A 44 107 B 41 C 43 D 42 Hàm Số Nâng Cao Câu 23: Cho x, y hai số không âm thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + x + y − x + A P = 108 B P = C P = 17 D P = 115 Hàm Số Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: mx đạt giá trị lớn x = x2 + B m ≥ C m = −2 D m < Trên đoạn [ −2; 2] , hàm số y = A m = Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: Với m = y = nên max y = x = [−2;2] Với m ≠ Đặt x = tan t , ta y = m sin 2t Với x ∈ [ −2; 2] t ∈ [ − arctan 2;arctan 2] Hàm số cho đạt giá trị lớn x = tương ứng với t = Khi m > Khi m < max y= m π t = max y= m π t = − [− arctan 2;arctan 2] [− arctan 2;arctan 2] π Vậy m ≥ thỏa mãn tốn Cách 2: Ta có y′ = m (1 − x ) ( x2 + 1) , TH1: m = ⇒ y = hàm nên coi GTLN x =  x = −1 ( n ) TH2: m ≠ Khi đó: y′ = ⇔   x = (n) Vì hàm số cho liên tục xác định nên ta có hàm số cho đạt giá trị lớn x =  y (1) ≥ y ( −2 )  đoạn [ −2; 2]  y (1) ≥ y ( ) ⇔ m ≥ ⇒ m > (do m ≠ )   y (1) ≥ y ( −1) Vậy m ≥ Chú ý: Ngoài cách TH2 m ≠ , ta xét m > , m < lập BBT tìm kết Câu 2: Cho hàm số y = x + x + a − Tìm a để giá trị lớn hàm số đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ A a = 109 B a = C a = D a = Hàm Số Nâng Cao Hướng dẫn giải: Ta có y = x + x + a − = ( x + 1) + a − Đặt u = ( x + 1) ∀x ∈ [ −2;1] 2 u ∈ [ 0; 4] Ta hàm số f ( u ) = u + a − Khi Max y = Max f ( u ) = Max { f ( ) , f ( )} = Max { a − ; a − 1} x∈[ −2;1] u∈[ 0;4] Trường hợp 1: a − ≥ a − ⇔ a ≤ ⇒ Max f ( u ) = − a ≥ ⇔ a = u∈[0;4] Trường hợp 2: a − ≤ a − ⇔ a ≥ ⇒ Max f ( u ) = a − ≥ ⇔ a = u∈[0;4] Vậy giá trị nhỏ Max y = ⇔ a = x∈[ −2;1] Chọn A Câu 3: Với m để hàm số y = x + mx + [ −1; 2] đạt giá trị nhỏ mệnh đề sau đúng? A < m < B < m < C < m < D m > Hướng dẫn giải:   m2  m  m m = − ; + ; −1         Ta có y =  f ( −1) , f ( ) , f  − [ −1;2]  m = Tuy nhiên thay vào kiểm tra ta thấy có m = Trường hợp 1: − m = ⇔  m = thỏa mãn  m = −2 Khi thay vào kiểm tra ta thấy có m = −3 thỏa  m = −3 Trường hợp 2: + 2m = ⇔  mãn Trường hợp 3:  m = ±2 m2 Tuy nhiên thay vào kiểm tra ta thấy không −1 = ⇔  m =  có giá trị thỏa mãn Chọn A Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có điều kiện f ( x ) = f ( −1) Giá trị nhỏ ( −∞ ;0 ) 1  hàm số y = f ( x ) đoạn  ;  bằng: 2  110 Hàm Số Nâng Cao A c + 8a B c − 7a 16 C c + 9a 16 D c − a Hướng dẫn giải: Ta ý điểm cực trị hàm số có x = f ( x ) = f ( −1) chứng ( −∞ ;0 ) tỏ x = ±1 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) = a ( x − x ) + c 1  Vậy giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) đoạn  ;  f (1) = c − a 2  Chọn D Câu 5: Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x + m + Có số nguyên dương m < 2018 cho với ba số thực a, b, c ∈ [ −1;3] f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) độ dài ba cạnh tam giác nhọn A 1989 Hướng dẫn giải: B 1969 C 1997 D 2008 Ta đặt g ( x ) = x − x + ⇒ max g ( x ) = 20; g ( x ) = f ( x ) = m + g ( x ) [ −1;3] [ −1;3] Ta có: f ( a ) + f ( b ) > f ( c ) ∀a, b, c ∈ [ −1;3] ⇒ m > g ( c ) − ( g ( a ) + g ( b ) ) ∀a, b, c ∈ [ −1;3] ⇒ m > max g ( x ) − g ( x ) ⇒ m > 20 [−1;3] [−1;3] Và f ( a ) + f ( b ) > f ( c ) ∀a, b, c ∈ [ −1;3] ⇒ ( m + g ( a ) ) + ( m + g ( b ) ) > ( m + g ( c ) ) ∀a, b, c ∈ [ −1;3] 2 ⇒ m2 + ( g ( a ) + g ( b ) − g ( c ) ) m + g ( a ) + g ( b ) − g ( c ) > ∀a, b, c ∈ [ −1;3] ⇒ ( m + g ( a ) + g ( b ) − g ( c ) ) − g ( a ) g ( b ) + g ( a ) g ( c ) + g ( b ) g ( c ) − g ( c ) > ∀a, b, c ∈ [ −1;3] ⇒ ( m + g ( a ) + g ( b ) − g ( c ) ) > ( g ( a ) − g ( c ) ) ( g ( b ) − g ( c ) ) ∀a, b, c ∈ [ −1;3] ⇒ ( m + g ( a ) + g (b ) − g (c )) 2 >  max g ( x ) − g ( x )  ∀a, b, c ∈ [ −1;3] [ −1;3]  [−1;3]  m > max g ( x ) + 20 − g ( x ) ⇒ m ≥ 49 [−1;3] [−1;3] Chọn B Câu 6: Có giá trị tham số thực m để GTNN hàm số y = x − x + m + x −1 ? A Hướng dẫn giải: B C D Nếu m ≥ y = x + x + m có GTNN m − = −1 ⇔ m = (loại) 111 Hàm Số Nâng Cao  x + x + m Nếu m < y =  nên − x + x − m { ( ) ( y = f ( −1) ; f + − m ; f − − m ( { ⇒ y = { m + − 4; (1 − )} ) ( − m )} ⇒ y = m + − 4; + − m ; − − m )} m =  m = −7 Trường hợp 1: y = m + − = ⇒  ( ) Vì m < nên m = −7 − − m < nên trường hợp không thỏa mãn ( ) Trường hợp 2: y = − − m = ⇔ m = m + − = −1 < nên trường hợp không thỏa mãn Kết luận: không tồn m thỏa mãn Chọn A Câu 7: ln x + Giá trị lớn hàm số y = ln x + + m 1; e  đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A 1+ 2 B −1 C −1 Hướng dẫn giải: Ta có max y = max [0;2] 1; e    f (t ) = t +1 t2 +1 t +1 t2 +1 + m Ta xét + m ⇒ f ' (t ) = 1− t ( t +1 ) = ⇔ t =1 Mặt khác f ( ) = + m; f (1) = + m; f ( ) = { } + m Vậy max y = max m + ; m + = M 1; e2     M ≥ m + −1 ⇒ 2M ≥ − Do M = Vì   M ≥ − − m  −1  1+ m + = − − m = ±   m = − 2   Chọn C 112 D 1+ Hàm Số Nâng Cao Câu 8: 4t (với m > tham số thực) Biết f ( x ) + f ( y ) = với số 4t + m 1 thực dương x, y thỏa mãn ( x + y ) ≥ ( x + y ) + Tìm GTNN hàm số f ( t ) 2 1  đoạn  ;1 2  Cho hàm số f ( t ) = A    ;1 f (t ) = B    ;1 f (t ) = C    ;1 f (t ) = D    ;1 f (t ) = Hướng dẫn giải: 1 Từ điều kiện tốn ta có: ( x + y ) ≥ ( x + y ) + ⇔ x + y = 2 + m ( x + 41− x ) 4x 41− x + = ⇔ m= 2>0 x + m 41− x + m + m ( x + 41− x ) + m Khi = f ( x ) + f (1 − x ) = Khi f ( t ) = 1+ ⇒  4t   ;1 1 f (t ) = f   = 2 Chọn B Câu 9: ) ( ( A Hướng dẫn giải: B ) ( C ( y = x3 + + x3 + + x3 + − x + ) ⇔ y= ( ⇔ y= x3 + + + x3 + + + ( ) x3 + − ) x3 + − Điều kiện để hàm số xác định x ≥ −1 Ta có y = x + + + - Nếu −1 ≤ x < - Nếu x ≥ x3 + − x3 + − < ⇒ Chọn C x3 + − = − x3 + ⇒ y = x3 + − ≥ ⇒ y = x + ≥ Vậy: y ≥ 2, ∀x ≥ −1, y = ⇔ x = 113 ) Giá trị nhỏ hàm số: y = x + + x + + x + − x + là: D Hàm Số Nâng Cao Câu 10: Giá trị nhỏ hàm số ( C ) : y = ( x + x − ) A Hướng dẫn giải: B ( x + x −1 ) C D Tập xác định: D = [1; +∞ ) y = ( x7 + x − ) ⇒ y' = ( ( x + x −1 ) 3   3 1  x + x − 7 x + 28 x +  x + x − ) + (  2 x x −1    ) ≥ 0,∀x ≥1 Câu 11: Cho hàm số y = cos x + cos x + cos x + hàm số cho Khi M+m A – B – Hướng dẫn giải: Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ C – D Chọn D Tập xác định: D = ℝ Đặt t = cos x , ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = f ′(t ) = 2t + t + , ≤ t ≤1 t +1 t = 2t + 4t ; f ′(t ) = ⇔  ⇒ f (0) = 1, f (1) = 2 (t + 1) t = −2 ∉ [ 0;1] Vậy y = 1, max y = ℝ ℝ sin x + Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm sin x + sin x + số cho Chọn mệnh đề 3 A M = m + B M = m + C M = m D M = m + 2 Hướng dẫn giải: Câu 12: Cho hàm số y = Chọn B Đặt t = sin x, − ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = −t − 2t t +1 ′ , f ( t ) = t2 + t +1 (t + t + 1) t = ∈ [ −1;1] f ′(t ) = ⇔  ⇒ f (0) = 1, f (−1) = 0, f (1) = Vậy M = 1, m = t = −2 ∉ [ −1;1] 114 Hàm Số Nâng Cao Câu 13: Giá trị lớn hàm số f ( x ) = A Hướng dẫn giải: B TXĐ: D = ℝ , ta có f ( x) = 2sin x x x sin + cos 2 C 2sin x 2sin x 4sin x = = x x sin + cos 1− sin x − sin x 2 Đặt sin x = t (t ∈ [0;1]) , hàm số trở thành g (t ) = g '(t ) = (−t + 2) D 4t với t ∈ [0;1] , ta có −t + > ∀t ∈ [0;1] , suy hàm số đồng biến [ 0;1] , max f ( x) = max g (t ) = g (1) = , xảy t = ⇒ x = t ∈[ 0;1] x∈ℝ π + k π (k ∈ ℤ) Chọn B 3sin x + cos x ≤ m + với x ∈ ℝ sin x + cos x + +9 65 − −9 B m ≥ C m ≥ D m ≥ 4 Câu 14: Tìm m để bất phương trình Hướng dẫn giải: A m ≥ Chọn C Đặt y = 3sin x + cos x 3sin x + cos x = sin x + cos x + sin x + cos x + (Do sin x + cos x + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ hàm số xác định ℝ ) ⇔ (3 − y ) sin x + (1− y ) cos x = y (Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm ⇔ a + b ≥ c ) Suy ( − y ) + (1 − y ) ≥ y ⇔ y + y − ≤ ⇔ ⇒ max y = −5 − 65 −5 + 65 ≤ y≤ 4 −5 + 65 −5 + 65 65 − Yêu cầu toán ⇔ ≤ m +1 ⇔ m ≥ 4 Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục ℝ đồ thị hàm số f ′ ( x ) đoạn [ −2;6] hình vẽ bên Tìm khẳng định khẳng định sau 115 Hàm Số Nâng Cao y −2 O x −1 A max f ( x ) = f ( −2 ) B max f ( x ) = f ( ) C max f ( x ) = f ( ) D max f ( x ) = f ( −1) x∈[ −2;6 ] x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] x∈[ −2;6] Hướng dẫn giải: Do hàm số đạt giá trị lớn x = −1 x = Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trục Ox ( −1 ≤ x ≤ ) , S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) trục Ox ( ≤ x ≤ ) Ta có −1 S1 < S ⇒ − ∫ f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ − f ( ) + f ( −1) < f ( ) − f ( ) ⇔ f ( −1) < f ( ) Vậy max f ( x ) = f ( ) x∈[ −2;6] Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm R có đồ thị hàm y = f ' ( x ) hình vẽ Biết f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( 5) Giá trị nhỏ giá trị lớn f ( x ) đoạn [ 0;5] lượt là: A f ( ) ; f ( ) B f ( ) ; f ( ) C f ( ) ; f ( ) D f (1) ; f ( 3) Hướng dẫn giải: Chọn C Phương pháp: Dựa vào tính đơn điệu hàm số, vẽ bảng biến thiên để xác định Min, Max hàm số f ( x ) Cách giải: Từ đồ thị y = f ' ( x ) đoạn [ 0;5] , ta có f ' ( ) = 0; f ' ( ) = Ta có bảng biến thiên hàm số y = f x 116 −∞ ( x) hình vẽ bên: +∞ Hàm Số Nâng Cao + y' - + f (0) y + f ( 5) f ( 2) Suy f ( x ) = f ( ) Từ giả thiết, ta có: [ 0;5] f ( ) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) ⇔ f ( ) - f ( 3) = f ( ) − f ( ) Hàm số y = f ( x ) đồng biến [2;5];3 ∈ [2;5] ⇒ f (3) > f (2) ⇒ f (5) − f (2) > f (5) − f (3) = f (0) − f (2) ⇒ f (5) > f (0) Suy max f ( x ) = { f ( ) , f ( )} = f ( ) [ 0;5] Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ Xét 3 hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2018 Mệnh đề đúng? A g ( x ) = g ( −1) B g ( x ) = g (1) [ −3;1] C g ( x ) = g ( −3) [ −3;1] [−3;1] D g ( x ) = g ( −3) + g (1) [ −3;1] Hướng dẫn giải: Chọn A 3 3 Ta có g ( x ) = f ( x ) − x3 − x + x + 2018 ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) − x − x + 2 Căn vào đồ thị y = f ' ( x ) ta có  f ' ( −1) = −2  g ' ( −1) =    f ' (1) = ⇒  g ' (1) =    f ' ( −3 ) =  g ' ( −3 ) = Ngoài ra, vẽ đồ thị ( P ) hàm số y = x + 3 x − 2 hệ trục tọa độ hình vẽ bên (đường màu đỏ), ta thấy ( P )  33  qua điểm ( −3;3) , ( −1; −2 ) , (1;1) với đỉnh I  − ; −   16  Rõ ràng Trên khoảng ( −1;1) f ' ( x ) > x + 117 3 x − , nên g ' ( x ) > ∀x ∈ ( −1;1) 2 Hàm Số Nâng Cao Trên khoảng ( −3; −1) f ' ( x ) < x + 3 x − , nên g ' ( x ) < ∀x ∈ ( −3; −1) 2 Từ nhận định trên, ta có bảng biến thiên hàm y = g ' ( x ) [ −3;1] sau: x −3 g’(x) −1 − + g(x) Vậy g ( x ) = g ( −1) [ −3;1] Câu 18: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn < a < b < c < d hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [ 0; d ] Khẳng định sau khẳng định đúng? A M + m = f ( ) + f ( c ) B M + m = f ( d ) + f ( c ) C M + m = f ( b ) + f ( a ) D M + m = f ( ) + f ( a ) Hướng dẫn giải: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) , ta có nhận xét: ● Hàm số y = f ′ ( x ) đổi dấu từ − sang + qua x = a ● Hàm số y = f ′ ( x ) đổi dấu từ + sang − qua x = b ● Hàm số y = f ′ ( x ) đổi dấu từ − sang + qua x = c Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) đoạn [ 0; d ] sau: 118 Hàm Số Nâng Cao max  f ( x )  = max { f ( ) , f ( b ) , f ( d )}  [0;d ] Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được:  min ,   = f x f a f c ( ) ( ) ( ) { }  [0;d ]    Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích, ta có b ∫ a c f ′ ( x ) dx < ∫  − f ′ ( x )  dx  → f ( c ) < f ( a )  →  f ( x )  = f ( c ) [ 0;d ] b Tương tự, ta có b a  ∫ 0 − f ′ ( x )  dx > ∫ f ′ ( x ) dx → f ( ) > f ( b ) 0 a → f ( ) > f ( b ) > f ( d )  → max  f ( x )  = f ( ) c d [0;d ]  0 − f ′ x  dx > f ′ x dx → f b > f d ( ) ( ) ( ) ( )  ∫c ∫  b Vậy max  f ( x )  = f ( ) ;  f ( x )  = f ( c ) [0;d ] [0;d ] Chọn A Câu 19: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x + y) xy = x2 + y − xy Giá trị lớn M biểu thức A = A M = Hướng dẫn giải: 1 + là: x3 y3 B M = C M = D M = 16 Chọn D A= 1 x + y ( x + y )( x − xy + y )  x + y   1  + = 3 = =  = +  x3 y x y x3 y  xy   x y  Đặt x = ty Từ giả thiết ta có: ( x + y) xy = x2 + y − xy ⇒ (t + 1)ty3 = (t − t + 1) y 2 Do y = t2 − t +1 t2 − t +1  1   t + 2t +  ; x = ty = Từ A =   +  = t2 + t t +1  x y   t − t +1  Xét hàm số f (t ) = t + 2t + −3t + ′ f ( t ) ⇒ = t2 − t +1 ( t − t + 1) Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn A là: 16 đạt x = y = 119 Hàm Số Nâng Cao Câu 20: Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = ( ) x − + y + Giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y ) + 15 xy A P = −80 Hướng dẫn giải: B P = −91 C P = −83 D P = −63 Chọn C Ta có x + y ≥ x + y = 2( x − + y + 3) ⇔ ( x + y ) = 4( x + y ) + x − y + ≥ 4( x + y ) ⇔  x + y ≤ Mặt khác x + y = 2( x − + y + 3) ≤ 2( x + y ) ⇔ x + y ≤ ⇒ x + y ∈ [ 4;8] Xét biểu thức P = 4( x + y ) + 15xy = 4( x + y )2 + xy ≥ 16( x + y) + xy = x( y + 3) + 16 y − 5x y +3 ≥ Mà  ⇒ P ≥ 16(4 − x) − x = 64 − 21x , kết hợp với y ≥ 4− x x + y ≥ ⇒ x ∈ [3;7 ] ⇒ 64 − 21x ≥ −83 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P −83 Câu 21: Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = ( ) x − + y + Giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y ) + 15 xy là: A P = −83 Hướng dẫn giải: Ta có x + y = ( B P = −63 ) C P = −80 D P = −91 x − + y + ⇔ ( x + y ) = ( x + y ) + x − y + ≥ ( x + y ) x + y ≥ Mặt khác ⇔ x + y ≤ x+y=2 ( ) x − + y + ≤ 2 ( x + y ) ⇔ x + y ≤ ⇒ x + y ∈ [ 4;8] ( ) 2 Xét biểu thức P = x + y + 15xy = ( x + y ) + 7xy đặt t = x + y ∈ [ 4;8] ⇒ P = 4t + 7xy Lại có ( x + 3)( y + 3) ≥ ⇔ xy ≥ −3 ( x + y ) − ⇒ P ≥ ( x + y ) − 21( x + y ) − 63 = 4t − 21t − 63 Xét hàm số f ( t ) = 4t − 21t − 63 đoạn [ 4;8] suy Pmin = f ( ) = −83 Chọn A 120 Hàm Số Nâng Cao Câu 22: Cho x , y số thực thỏa mãn x + y = x − + y + Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P = x + y + ( x + 1)( y + 1) + − x − y Khi đó, giá trị M + m A 44 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: ( x + y ) = C 43 B 41 ( x − + y + ) D 42 ≤ (1 + ) ( ( x − 1) + ( y + 1) ) = ( x + y ) Do đó: ≤ ( x + y ) ≤ Theo ra: P = ( x + y ) + ( x + y ) + + − ( x + y ) Đặt t = x + y Đk: ≤ t ≤ Xét: P = f ( t ) = t + 2t + + − t [ 0;3] Có f ′ ( t ) = 2t + − 4−t Đặt g ( t ) = f ′ ( t ) = 2t + − ⇒ g ' ( t ) = f ′′ ( t ) = + 4−t (4 − t ) > với ∀t ∈ [ 0;3] Do đó: hàm số g ( t ) đồng biến [ 0;3] Khi đó: g ( t ) > g ( ) ⇒ f ′ ( t ) ≥ f ′ ( ) = Suy hàm số f ( t ) đồng biến [ 0;3]  M = f ( 3) = 25 Vì vậy: M + m = 43 ⇒ m = f ( ) = 18 Câu 23: Cho x, y hai số không âm thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x + x2 + y2 − x + A P = B P = C P = 17 D P = Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có x + y = ⇒ y = − x 1 x + x + y − x + ⇒ P = x3 + x + ( − x ) − x + ⇒ P = x + x − x + 3 Xét hàm số y = x3 + x − x + [ 0; +∞ ) x = y′ = x + x − Cho y′ = ⇔ x + x − = ⇔   x = −5 Bảng biến thiên: +∞ x −∞ −5 − + + y′ 0 P= 121 115 Hàm Số Nâng Cao y −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy P = 122 +∞ 115 ... y = x3 + + x3 + + x3 + − x + ) ⇔ y= ( ⇔ y= x3 + + + x3 + + + ( ) x3 + − ) x3 + − Điều kiện để hàm số xác định x ≥ −1 Ta có y = x + + + - Nếu −1 ≤ x < - Nếu x ≥ x3 + − x3 + − < ⇒ Chọn C x3 + −... có ( x + 3) ( y + 3) ≥ ⇔ xy ≥ ? ?3 ( x + y ) − ⇒ P ≥ ( x + y ) − 21( x + y ) − 63 = 4t − 21t − 63 Xét hàm số f ( t ) = 4t − 21t − 63 đoạn [ 4;8] suy Pmin = f ( ) = − 83 Chọn A 120 Hàm Số Nâng Cao... (1) [ ? ?3; 1] C g ( x ) = g ( ? ?3) [ ? ?3; 1] [? ?3; 1] D g ( x ) = [ ? ?3; 1] g ( ? ?3) + g (1) Câu 18: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn < a < b < c < d hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị