5 GTLN, GTNN TRÊN số PHỨC

Số Phức Nâng Cao DẠNG 5: GTLN, GTNN TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn z + + i là: A 13 + B D 13 + C Câu 2: Số phức z ≠ thỏa mãn z ≥ Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= z +i z A B D C 5i z Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = + A B C D Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M = z + z + + z + A M max = 5; M = B M max = 5; M = C M max = 4; M = D M max = 4; M = Câu 5: Cho số phức z thỏa A z ≥2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P = C B D z +i z Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A 15 B C 20 D 20 Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M m A 13 B 39 C 3 D 13 Câu 8: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) số phức thỏa mãn hai điều kiện z − + z + = 26 z− − A xy = i đạt giá trị lớn Tính tích xy B xy = 13 C xy = 16 9 D xy = Câu 9: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i z1 − z2 = Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 A P = 84 B P = 26 C P = + D P = 32 + Số Phức Nâng Cao Câu 10: Cho số phức z thỏa z = Tính giá trị lớn biểu thức T = z + + z − A max T = B max T = 10 C max T = D max T = 2 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) Tính | w | , với w = z − + 2i A | w |= B | w |= C | w |= D | w |= Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = Tìm giá trị lớn T = z + i + z − − i A max T = B max T = C max T = D max T = Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn z + + i A 13 + B D 13 + C Câu 14: Cho số phức thỏa z = Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ P = z +1 + z2 − z +1 Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn z + + i A 13 + B C D 13 + Câu 16: Cho số phức z thoã mãn điều kiện z + 2i = z − − 2i Gọi w số phức thoã mãn điều kiện w = (1 + i ) z + Giá trị nhỏ biểu thức P = w là: A Pmin = B Pmin = 34 C Pmin = 41 D Pmin = Câu 17: Cho số phức z thoã mãn z − − i = Gọi A B giá trị lớn nhỏ z − + i Giá trị biểu thức P = A + B gần A Câu 18: Cho số phức z thoã mãn A + B C 1+ i z − + i = Giá trị lớn A = z − + i 1− i B −2 Câu 19: Trong tất số phức z thỏa mãn A z = D C + (1 + i ) z + = 1− i B z = − D tìm số phức z có mođun nhỏ C z = D z = Câu 20: Xét số phức z thỏa mãn z + i + = z − 4i + Tìm giá trị nhỏ z − 2i + A 98 B 102 C 10 Câu 21: Xét số phức z thỏa mãn z − − 3i = Tìm giá trị lớn z + i + 85 D 470 Số Phức Nâng Cao A + 13 B + 13 C D Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn: z (1 + i ) − + 2i = Gọi A B giá trị lớn nhỏ z + + 3i Khi A2 − B có giá gần A 20 B 18 C 64 D 32 Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M + m A − B + D + C Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn: z + − 2i = Gọi A B giá trị lớn nhỏ z + i Khi A.B có giá trị A 10 B -10 C 12 D -12 Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn: z − + i = Gọi A B giá trị lớn nhỏ z + Khi A2 + B có giá trị A 20 B 18 C 24 D 32 Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z − − 2i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z + + i Giá trị T = M + m A T = 50 B T = 64 C T = 68 D T = 16 Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = 10 Giá trị lớn z + − 4i A 10 B 10 C 10 D 10 Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z + = Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z − A B 2 C D Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − − i = Giá trị lớn z − A + B −1 C D Câu 30: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện z + − i + z + − 3i = Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = x z Tổng M + 2m A − 54 B 27 C 18 D − Câu 31: Cho số phức z = x + yi ( x; y ∈ ℝ ) thỏa z = Tính tổng giá trị lớn nhỏ P = x− y A 86 B C − D Số Phức Nâng Cao Câu 32: Cho số phức z = i−m ( m ∈ ℝ ) Gọi k ( k ∈ ℝ ) giá trị nhỏ cho tồn − m ( m − 2i ) z − ≤ k Giá trị k thuộc khoảng sau 1 1 A  ;  3 2 1 2 2 4 4  B  ;  C  ;  D  ;1 2 3 3 5 5  P= z A = 2017 ( max P ) − 2017 ( P ) Câu 33: Cho số phức z 2017 − = Gọi Tính B A = 2017.2017 A A = 2017.2016 C A = 2017.2017 D A = 2017 Câu 34: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + + i = z + 2i P = z − − 3i + z + đạt giá trị nhỏ Tính P = a + 2b : Câu 35: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + + i = z + 2i P = z − − 3i + z − + 2i đạt giá trị nhỏ Tính P = a + 2b : Câu 36: Cho số phức z = a + bi thỏa z + + i = z + 2i P = z − 3i đạt giá trị nhỏ Tính A = a + 2b Câu 37: Cho số phức z = a + 2bi ( a, b ∈ ℝ ) đa thức: f ( x ) = ax − bx + Biết f ( ±1) ≤ Tính giá trị lớn z A B 2 C D Câu 38: Cho hàm số phức f ( z ) = ( + i ) z + az + b với a , b số phức Biết f (1) , f ( i ) số thực Tính giá trị nhỏ P = a + b Câu 39: Cho số phức z thỏa z + − 2i = 2 Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z − + 2017 z + + 4i Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z − ( + 4i ) = Gọi M , m giá trị lớn giá trị 2 nhỏ P = z + − z − i Tính giá trị A = M + m Câu 41: Cho số phức z ≠ thoả z ≥ Họi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P= z +i Tính A = M + m : z Câu 42: Cho số phức z thỏa z = Tìm giá trị nhỏ + 4i z −5 Câu 43: Cho số phức z thỏa z = Tìm giá trị nhỏ z + 4i z −5 z2 − z1 số thực Gọi M , m lần 1+ i lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z1 − z2 Tính A = M + m Câu 44: Cho z1 số phức, z2 số thực thoả mãn z1 − 2i = 87 Số Phức Nâng Cao Gọi Câu 45: Cho z1 , z2 nghiệm phương trình − 3i + iz = z − − 9i thõa mãn z1 − z2 = M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z1 + z2 Tính P = M + m z1 − z2 số thực Gọi M , m 2−i giá trị lớn giá trị nhỏ z1 − z2 Tính P = M + m Câu 46: Cho số phức z1 , z2 thoả mãn z1 − − 4i = 1, z2 + = z2 − i Câu 47: Cho số phức z thoả mãn z số thực w = z thực Giá trị lớn + z2 P = z + − i là: Câu 48: Cho số phức z thỏa z − − 4i = P = z + − i Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P Tính A = M + m Câu 49: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn iz1 + = z2 = iz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1 − z2 A − B + C 2− D 2+ Câu 50: Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M ′ Số phức w = z (4 + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N ′ Biết M , M ′, N , N ′ bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z + 4i − A 34 B C Câu 51: Cho số phức z1 thỏa z1 + − i = z1 , số phức z2 thỏa D 13 − 35i số thực số phức w z2 − 23 − 4i thỏa điều kiện w − + i + w − + i ≤ Cho P = w − z1 + w − z2 + z1 − z2 , gọi a giá trị nhỏ biểu thức P (nếu có) Đáp án sau đúng: 16 10 10 6+4 3+ B a = C a = D a = 5 2 Câu 52: Cho số phức z1 , z2 thỏa z + − i = z z1 − z2 = , số phức w1 , w2 thỏa điều kiện A a = 1+ i số thực w1 − w2 = , số phức u thỏa u + − i + u − + 2i ≤ Gọi w − + 2i giá trị nhỏ biểu thức sau (nếu có) P = u − z1 + u − z2 + u − w1 + u − w2 Đáp án sau đúng: A + 26 B + C + 26 D − 26 Câu 53: Cho số phức z 2017 − = Gọi P = z Tính A = 2017 ( max P ) − 2017 ( P ) A A = 2017.2016 88 B A = 2017.2017 C A = 2017.2017 D A = 2017 Số Phức Nâng Cao Câu 54: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) Tìm giá trị nhỏ module z − + 2i A B C D Câu 55: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 2i = 2 Tính giá trị lớn biểu thức P = a z − + b z + + 4i với a, b số thực dương A a + b2 B 2a + 2b Câu 56: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn lớn Tính giá trị biểu thức P = a + b A P = B P = C 2a + 2b D a + b z − 2i số ảo Khi số phức z có mơđun z−2 C P = 2 + D P = + ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + + 3i = Tính P = a + b Câu 57: Xét số phức z = a + bi z + − 5i + z − + 3i đạt giá trị lớn A P = B P = −3 C P = D P = −7 z − z1 số thực Gọi M , m 1+ i giá trị lớn nhỏ z1 − z2 Tính giá trị biểu thức T = M + m ? Câu 58: Cho số thực z1 số phức z2 thỏa mãn z2 − 2i = B T = A T = C T = + D T = + Câu 59: Tìm giá trị lớn P = z − z + z + z + với z số phức thỏa mãn z = A max P = 13 B max P = C max P = 13 D max P = 11 Câu 60: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i z1 − z2 = Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 A P = B P = 26 C P = + D P = 32 + Câu 61: Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 20 Gọi m , n giá trị nhỏ giá trị lớn z Tính P = m + n A P = 16 B P = 10 C P = 17 D P = 10 Câu 62: Cho số phức z có z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1008 + z + + z + + z + + + z 2017 A Pmin = 1007 89 B Pmin = 2018 C Pmin = 1008 D Pmin = 2016 Số Phức Nâng Cao z − 2i số ảo giá trị thực m, n thỏa z−2 mãn có số phức z ∈ ( A) thỏa mãn z − m − ni = Đặt M = max ( m + n ) Câu 63: Xét tập ( A ) gồm số phức z thỏa mãn N = ( m + n ) Tính P = M + N ? A P = −2 B P = −4 C P = D P = Câu 64: Xét số phức z thỏa z + − i + z − − 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z − + i Tính P = m + M A P = 13 + 73 + 73 B P = C P = + 73 D P = + 73 Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn z − + 4i + z − + 3i = Mệnh để sau đúng? A ≤ z ≤ 13 B ≤ z ≤ C ≤ z ≤ 13 D 13 ≤ z ≤ Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i + z + + 5i = 10 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z − + i Tính P = M m A P = 41 B P = 697 C P = 41 D P = 41 Câu 67: Xét số phức z thỏa mãn z2 − z + 25 = z − + 4i Hỏi giá trị lớn z là: A B C D 10 ( ) Câu 68: Cho số phức z thỏa mãn ( z + ) i + + z − i − = Tính tổng T = max z + z ? A T = 5−2 B T = C T = D T = 5−2 2 Câu 69: Cho số phức z1 thỏa mãn z1 − − z1 + i = số phức z2 thỏa mãn z2 − − i = Hỏi giá trị nhỏ z1 − z2 là? A B C D Câu 70: Cho số phức z1 = + 3i , z2 = −5 − 3i Tìm điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z3 , biết M nằm đường thẳng x − y + = số phức w = 3z3 − z2 − 2z1 có giá trị nhỏ nhất?  1 A M  − ;   5 3 1 B M  ;  5 5 3 1 C M  ; −  5 5  1 D M  − ; −   5 Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i − z + − 3i = 34 Hỏi giá trị nhỏ z + + i là? 90 Số Phức Nâng Cao A 34 C 13 B D Câu 72: Cho số phức z,w thỏa mãn z2 − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) w = z − + 2i Hỏi giá trị nhỏ w là: A B C D Câu 73: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z − − i = Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P = z − − 9i + (1 + i ) z + − 8i là? A B 5 C D Câu 74: Cho số phức z thỏa mãn z − i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z + + z + − 2i Tính P = M + m A P = + 17 B P = + 17 C P = + 17 D P = + 17 Câu 75: Cho số phức z thỏa mãn z + = z Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính P = M + m A P = 17 + B P = 17 Câu 76: Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn biểu thức P = z + z − z1 + z − z2 A + z1 = z2 = C P = 17 + z1 − z2 = D P = 17 − Tìm giá trị nhỏ B + C + D + Câu 77: Cho số phức z = a + bi ( a ≥ 0, b ≥ ) thỏa mãn a − b − ≤ , a + 4b − 12 ≤ Hỏi giá trị lớn z A B C D Câu 78: Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 − z = + 4i z1 + z2 = Hỏi giá trị lớn biểu thức z1 + z2 là? A B C 12 D Câu 79: Cho số phức z Kí hiệu A, B, C , D điểm biểu diễn số phức z, z , z ( + 3i ) z ( + 3i ) Biết A, B, C , D bốn đỉnh hình chữ nhật Hỏi giá trị nhỏ biểu thức z + 4i − là? A 91 34 B C D 13 Số Phức Nâng Cao Câu 80: Cho số phức z = i−m , m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá − m ( m − 2i ) Hỏi S có tất phần tử trị thực tham số m cho z − i ≤ nguyên? C B A D Câu 81: Gọi z số phức thỏa mãn P = z − − i + z − − 4i + z − + i đạt giá trị nhỏ Tính z A B C D z1 = z2 = z1 − z2 = 37 , , Gọi M , m z phần thực phần ảo số phức w = Tính P = M − m z2 Câu 82: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn A P = − 32 B P = 32 C P = − D P = − 64 Câu 83: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ mơđun z , tính M − m A 13 − B 13 − C 13 − D 15 − Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính giá trị M m A 65 65 B C 26 D 65 Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ mơ đun z , tính M 2017 + m 2017 (5 13 ) A C ( 13 ) 2017 2017 ( + ) 2017 2017 ( + ) 2017 B ( D 13 ) 2017 + ( 5) 2017 ( 13 ) 2017 + ( 5) 2017 Câu 86: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mơ đun z + − 2i , tính M + m A + 10 B + 10 C + 10 D + 10 Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ mơđun z + − 2i , tính M − m 92 Số Phức Nâng Cao A 10 − B 10 − C 10 − D 10 − Câu 88: Cho số phức z thỏa điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ môđun z + − 2i Tính M m A B C D Câu 89: Cho số phức z thỏa điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z + − 2i , tính M 2017 + m 2017 (5 10 ) A C Câu 90: ( 10 ) 2017 + ( 5) 2017 52017 2017 ( + ) 2017 B ( D 10 Cho số phức z thỏa mãn z ≠ z , ) 2017 + ( 5) 2017 ( 10 ) 2017 + ( 2) 2017 + z + z2 số thực Gọi M , m giá trị lớn nhất, − z + z2 giá trị nhỏ z + − i Tính P = M + m A P = Câu 91: B P = C P = + D P = + 2 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + ( m + 1) z + m + = , với m tham số thực Biết giá trị lớn biểu thức P = 1 + M đạt m = m0 Tính z1 z2 T = M + m0 A T = 2 B T = C T = 2 + D T = 2 − 4i = Gọi M, m giá trị lớn giá trị z nhỏ z − + i Tính P = M m Câu 92: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + A P = B P = − C P = 34 D P = − Câu 93: Trong số phức z thoả mãn z − i = + iz có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = Tính P = z1 − z2 A P = B P = C P = D P = Câu 94: Trong số phức z thoả mãn iz + − 3i = z − − 9i có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − z2 = A 93 56 Hỏi giá trị lớn z1 + z2 là? B 10 C 44 D 76 Số Phức Nâng Cao Hướng dẫn giải Chọn C Với z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) Ta có: A ( a; b ) , B ( a; −b ) , C ( 4a − 3b;3a + 4b ) , D ( 4a − 3b; −3a − 4b ) Do A, B đối xứng qua trục hoành; C , D đối xứng qua trục hoành AB / / CD Theo giả thiết A, B, C , D bốn đỉnh hình chữ nhật có a ≠ b ≠   a = −2b    a = −2b   a = −b  AB = CD      a = −b   ⇔  b = ( l ) ⇔ a = −b  AB ⊥ AC ⇔    −2b ( 3a + 3b ) =   a = −b   AB ⊥ AD   −2b ( −3a − 5b ) =      b = − a  Với z = a − , ta có: z + 4i − = ( a − 5) + ( − a ) 2 9 1  = 2 a −  + ≥ 2 2  i−m , m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá − m ( m − 2i ) Hỏi S có tất phần tử trị thực tham số m cho z − i ≤ nguyên? A B C D Hướng dẫn giải Câu 80: Cho số phức z = Chọn B Ta có z − i ≤ ⇔ i − m − i + mi ( m − 2i ) i−m 1 ⇔ −i ≤ ⇔ ≤ − m ( m − 2i ) − m + 2mi 2 m + m 2i m + m 2i 1 ⇔ ≤ ⇔ ≤ 2 − m + 2mi − m + 2mi 2 m2 + m (1 − m ) 2 ≤ + 4m 2 ⇔ 2m + 2m4 ≤ m4 + 2m + ⇔ m ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ ⇒ S = [ −1;1] Vậy có số nguyên S Câu 81: Gọi z số phức thỏa mãn P = z − − i + z − − 4i + z − + i đạt giá trị nhỏ Tính z 131 Số Phức Nâng Cao A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt z = a + bi , xét điểm M ( a; b ) , A (1;1) , B (1;4 ) , C ( 2; −1) Ta có cos BAC = Do AB + AC − BC 2 =− < − ⇒ BAC > 1200 AB AC AB AC + < AB AC P = MA + MB + MC = MA + MB AB MC AC + AB AC 2  AB AC  AB MB AB MC AC AC ≥ MA + + = MA + MA  + + + AB AC AC  AB AC  AB  AB AC   AB AC  = MA + MA  + +  + AB + AC ≥ MA − MA   + AB + AC ≥ AB + AC  AB AC   AB AC  Dấu xảy M ≡ A ⇒ z = + i ⇒ z = Câu 82: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = phần thực phần ảo số phức w = 32 Hướng dẫn giải: Chọn A A P = − B P = 32 z2 = , , z1 − z2 = 37 z1 Tính P = M − m z2 C P = − Gọi M , m D P = − 64 Từ giả thiết ta có        z1 = z2 3    2 M =− M m + =   w =   16 ⇒ ⇔ ⇔ ⇒P=− 32 37 z1  w − = 37 ( M − 1)2 + m = 37 m = ± 3 −1 =  16   z2 Câu 83: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ mơđun z , tính M − m 13 − A B 13 − C 13 − D 15 − Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) có điểm M ( x; y ) biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Ta có z + − i + z − − 3i = ⇔ Đặt 132 ( x + ) + ( y − 1) + ( x − ) + ( y − 3) = (1) A ( −2;1) , B ( 2;3) từ (1) ta có MA + MB = ( ) 2 2 Số Phức Nâng Cao Mặt khác AB = ( 3) Từ ( ) ( ) suy M thuộc đoạn thẳng AB Ta có OA = 5; OB = 13 phương trình đường thẳng AB : x − y + = Nhận xét OAB OBM góc nhọn nên M = z max = max {OA; OB} = 13 m = z = d ( O, AB ) = M − m = 13 − Vậy 5 13 − = 5 Chọn đáp án A Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính giá trị M m 65 Hướng dẫn giải: A B 65 C 26 D 65 Chọn D Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) Gọi M ( x; y ) , N ( −2; 1) , P ( 2; 3) điểm biểu diễn số phức z , z1 = −2 + i, z2 = + 3i z + − i + z − − 3i = ⇔ MN + MP = , mặt khác NP = 42 + 22 = nên điểm M thuộc đoạn thẳng NP z đạt giá trị nhỏ ⇔ OM ngắn ⇔ M ≡ M1 , với M hình chiếu vng góc M lên đoạn NP (quan sát hình nhận xét góc NOP tù ON OP < nên M thuộc đoạn NP ) z đạt giá trị lớn ⇔ OM = OP (quan sát hình so sánh ON OP ) Phương trình NP : x − y + = 133 Số Phức Nâng Cao 4 65 = 5 Vậy M m = OP.d ( O, NP ) = 13 Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ mơ đun z , tính M 2017 + m 2017 (5 13 ) A C ( 13 ) 2017 2017 ( + ) 2017 52017 ( + ) 2017 B ( D 13 ) 2017 + ( 5) 2017 ( 13 ) 2017 + ( 5) 2017 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi z = x + yi ; ( x; y ∈ R ) điểm M ( x; y ) biểu diễn z mặt phẳng tọa độ ( x + ) + ( y − 1) Ta có: z + − i + z − − 3i = ⇔ + ( x − ) + ( y − 3) 2 =2 Chọn A ( −2;1) , B ( 2;3) , ta có AM + BM = = AB , suy M thuộc đoạn thẳng AB Mặt khác OA = , OB = 13 , đường thẳng AB : x − y + = ( ) ( ) ( ) > ⇒ OAB nhọn ( ) ( ) > ⇒ OBA nhọn 15 cos OAB = cos AO , AB = cos OBA = cos BO, BA = ( ) Do M = z max = max {OA; OB} = 13 m = z = d ( O; AB ) = Vậy M 2017 + m 2017 ( 13 ) = 2017 ( + 52017 ) 2017 Câu 86: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun z + − 2i , tính M + m 134 Số Phức Nâng Cao A + 10 B + 10 C D + 10 + 10 Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi z = x + yi ( x; y ∈ ℝ ) Có điểm biểu diễn M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Ta có z + − i + z − − 3i = ⇔ 2 ( x + 2) + ( y − 1) 2 + ( x − ) + ( y + 3) 2 =2 ⇔ ( x + 1) + 1 + ( y − ) + 1 + ( x + 1) − 3 + ( y − ) − 1 = (1) Điểm M ′ ( x + 1; y − ) biểu diễn số phức z + − 2i = ( x + 1) + ( y − ) i mặt phẳng phức Đặt A ( −1; − 1) ; B ( 3;1) từ (1) ta có AM ′ + BM ′ = ( ) Mặt khác AB ( 4; ) ⇒ AB = ( 3) Từ ( ) , ( 3) suy M ′ thuộc đoạn thẳng Ta có OA = 2; OB = 10 , AB : x − y − = Nhận xét góc OAB, OBM góc nhọn (nhìn hình vẽ) ta có M = z max = max {OA, OB} = 10 , m = z = d ( O, AB ) = Vậy M + m = 5 + 10 Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ môđun z + − 2i , tính M − m 10 − A B 10 − C 10 − Hướng dẫn giải: Chọn A 135 D 10 − Số Phức Nâng Cao Giả sử z = a + bi Theo giả thiết ta có: a + bi + − i + a + bi − − 3i = ⇔ a + + ( b − 1) i + a − + ( b − 3) i = ⇔ ( a + ) + ( b − 1) 2 + ( a − ) + ( b − 3) 2 2 =2 2 ⇔ ( x + 1) + 1 + ( y − ) + 1 + ( x + 1) − 3 + ( y − ) − 1 = (1) Số phức z + − 2i = ( a + 1) + ( y − ) i có điểm M ( x + 1; y − ) biểu diễn z + − 2i mặt phẳng tọa độ Đặt A ( −1; −1) , B ( 3;1) từ (1) ta có: AM + BM = ( ) Mặt khác AB = ( 4; ) ⇒ AB = ( 3) nên từ (2) (3) suy M thuộc đoạn thẳng AB Ta có OA = 2, OB = 10 AB : x − y − = Nhận xét OAB OBM góc nhọn (hoặc quan sát hình vẽ) ta có: M = z max = max {OB, OA} = 10 m = z = d ( O; AB ) = Vậy M − m = 10 − 5 5 10 − = 5 Câu 88: Cho số phức z thỏa điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ môđun z + − 2i Tính M m A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) , điểm biểu diễn cho số phức z điểm M ( x; y ) 136 Số Phức Nâng Cao ( x + ) + ( y − 1) Ta có: z + − i + z − − 3i = ⇔ + ( x − ) + ( y − 3) 2 =2 ⇔ MA + MB = với A ( −2;1) , B ( 2;3) Ta có: AB = = MA + MB ⇒ M nằm A B Ta có: z + − 2i = ( x + 1) + ( y − ) 2 = MI với I ( −1; ) Vậy z + − 2i lớn = IB = 10 = M , z + − 2i nhỏ = IA = = m Vậy M m = Câu 89: Cho số phức z thỏa điều kiện z + − i + z − − 3i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z + − 2i , tính M 2017 + m 2017 (5 10 ) A C ( 10 ) 2017 2017 + ( 5) 2017 2017 ( + ) 2017 B ( D 10 ) 2017 + ( 5) 2017 ( 10 ) 2017 + ( 2) 2017 Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn z Các điểm A ( −2;1) , B ( 2;3) , C ( −1; ) Ta có z + − i + z − − 3i = ⇔ MA + MB = , mà AB = ⇒ MA + MB = AB Suy M thuộc đoạn thẳng AB Phương trình đường thẳng AB : y = 137 x + , với x ∈ [ −2; 2] Số Phức Nâng Cao Ta có 2 2 2  x  5x z + − 2i = MC ⇒ z + − 2i = MC = ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 1) +   = + 2x +1 2 Đặt f ( x ) = f ′( x) = 5x + x + , x ∈ [ −2; 2] 5x + , f ′ ( x ) = ⇔ x = − ( nhận )  4 Ta có f ( −2 ) = , f  −  = , f ( ) = 10  5 Vậy f ( x ) max = f ( ) = 10 , f ( x )min = f ( −2 ) = ⇒ M = 10 , m = ⇒ M 2017 + m 2017 = ( 10 ) 2017 + ( 2) 2017 + z + z2 số thực Gọi M , m giá trị lớn nhất, − z + z2 Câu 90: giá trị nhỏ z + − i Tính P = M + m Cho số phức z thỏa mãn z ≠ z , A P = Hướng dẫn giải: Chọn A B P = C P = + D P = + 2 + z + z2 2z − z + z2 4 = + ∈ ℝ ⇒ = z −1+ ∈ ℝ ⇒ z + ∈ ℝ 2 4− z+ z 4− z + z z z z 4 4 ⇒ z + = z + ⇒ z + − z − = ⇒ z − z z − = ⇒ z = z z z z ( )( )  z + − i ≥ z − − i = − ⇒ P =   z + − i ≤ z + − i = + Câu 91: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + ( m + 1) z + m + = , với m tham số thực Biết giá trị lớn biểu thức P = 1 + M đạt m = m0 Tính z1 z2 T = M + m0 A T = 2 Hướng dẫn giải: Chọn A B T = C T = 2 + D T = 2 − Theo Vi – et:  z1 + z2 = ( m + 1)  z1 + z2 = −2 ( m + 1)  ⇒  z1.z2 = m +   z1.z2 = m +  2 ( z1 − z2 ) = ( z1 + z2 ) − z1.z2 = 8m ⇒ z1 − z2 = 8m ≥ 138 Số Phức Nâng Cao z + z2 1 P= + = = z1 z2 z1 z2 (z + z2 ) 2 = m2 + z1 + z2 + z1 z2 m2 + z1.z1 + z2 z2 + ( m + 1) = m2 + = z1 + z2 + z1 − z2 + ( m + 1) 2(m + 1) = ≤ 1+ 2 m +1 m +1 Khi M = + , m0 = − ⇒ T = 2 Câu 92: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 4i = Gọi M, m giá trị lớn giá trị z nhỏ z − + i Tính P = M m C P = 34 A P = B P = − Hướng dẫn giải: D P = − Chọn B Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức moddun ta có 1= z + 4i 4i + 17 ≥ z− = z − ⇔ z − z −4≤ ⇔ z ≤ z z z 1= z + 4i 4i −1 + 17 ≤ z+ = z + ⇔ z + z −4≤0⇔ z ≥ z z z Do áp dụng bất đẳng thức mơ đun, ta có:  + 17 + 2 + 17 + 2=  z −1 + i ≤ z + − i ≤ z + ≤  2   z − + i ≥ z − − i ≤ z − ≥ −1 + 17 − = −1 − 2 + 17  2 Suy P = − Cách 2: Với z = a + bi , theo giả thiết, ta có: z+ 4i 4i  4i  4i   4i    = ⇔  z +  z +  = ⇔  z +   z −  = z z  z z  z   z ⇔ z + 4i  − z ⇔1= ) 16ab 16 + a2 + b2 + 2 a +b a + b2 Vì ( a + b ) ≥ ⇒ 139 ( 16 4i z − z z  16 =1  + =1⇔ z + + z z z z 16 17 − 17 + 16ab ≤ z ≤ ≥ −8 , ≥ z + − ⇔ 2 2 a +b z Số Phức Nâng Cao Do áp dụng bất đẳng thức mơ đun, ta có:  + 17 + 2 + 17 + 2=  z −1 + i ≤ z + − i ≤ z + ≤  2   z − + i ≥ z − − i ≤ z − ≥ −1 + 17 − = −1 − 2 + 17  2 Suy P = − Câu 93: Trong số phức z thoả mãn z − i = + iz có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = Tính P = z1 − z2 A P = B P = Hướng dẫn giải: Chọn A ( C P = ) ( D P = ) z − i = + iz ⇔ ( z − i ) z + i = ( + iz ) − iz ⇔ z.z = ⇔ z = Khi ta có z1 = z = 1, z1 + z = ⇒ P = z1 − z2 = ( z1 + z2 ) − z1 + z 2 =1 Câu 94: Trong số phức z thoả mãn iz + − 3i = z − − 9i có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − z2 = Hỏi giá trị lớn z1 + z2 là? 56 Hướng dẫn giải: Chọn A Theo giả thiết ta có: B 10 A C 44 ( a − 3) + ( − b ) = ( 2a − ) + ( 2b − ) 2 ⇔ ( a − ) + ( b − ) = ⇔ z − − 4i = z = a + bi ⇒ 2 D 76 Vận dụng bất đẳng thức modun đẳng thức đáng nhớ z1 + z2 = z1 − − 4i + ( z2 − − 4i ) + + 8i ≤ + 8i + ( z1 − − 4i ) + z − − 4i ( ≤ 10 + z1 − − 4i + z2 − − 4i Bằng cách tương tự ta có z1 + z2 ) − ( z − − 4i ) − ( z − − 4i ) = = 10 + − 64 56 = 25 44 Câu 95: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + = , z2 + − 3i = z2 − − 6i Hỏi giá trị nhỏ z1 − z2 là? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Giải sử M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z1 = a + bi , N ( c; d ) điểm biểu diễn số phức z2 = c + di 140 Số Phức Nâng Cao Ta có z1 + = ⇔ ( a + ) + b = 25 Vậy M thuộc đường tròn ( C ) : ( x + ) + y = 25 2 Và z2 + − 3i = z2 − − 6i ⇔ 8c + 6d = 35 Vậy N thuộc đường thẳng ∆ : x + y = 35 Dễ thấy đường thẳng ∆ không cắt ( C ) z1 − z2 = MN Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ba điểm ( I , M , N ) ta có MN ≥ IN − IM = IN − R ≥ IN − R = d ( I , ∆ ) − R = ( −5 ) + 6.0 − 35 +6 −5 = Dấu đạt M ≡ M , N ≡ N0 Câu 96: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = , z12 + z22 = 34 Tính P = z1 + z2 A P = C P = B P = D P = Hướng dẫn giải: Chọn D z1 u = , u + = 34 Ta cần tìm P = u + z2 Sử dụng định nghĩa mơ đun ta có u.u =  u.u =  ⇔ 2  2 ( u + ) u + = 34 ( u + ) u + = 34 u.u = u.u =   ⇔ 2 ⇔ 2 u u + u + u = 18 1 + u + u − 8.1 = 34 u.u = u.u =   ⇔  4 u + u = 25 u + u = ±  Theo giả thiết, ta có với u = ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Do P = ( u + 1) ( u + 1) = uu + u + u + = ± 5 ⇒ P = 2+ = 2 Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi a , b giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + − + z Tính T = a + b A T = − B T = + C T = − D T = − Hướng dẫn giải: Chọn B Với z = m + ni , ta có: z.z = z = = m + n ⇒ m ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ và: 1 z z  P = z  z +  − z +1 = z + − z +1 = z + − z +1 = z + z − z +1 = m − z z z  =2m − 141 ( m + 1) + − m2 = m − (1 + m ) , ∀m ∈ [ −1;1] ( m + 1) + n2 Số Phức Nâng Cao Vậy a = − 2, b = ⇒ T = − Câu 98: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi a , b giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính T = A T = a b +1 5 B T = 26 Hướng dẫn giải: C T = D T = 13 16 Chọn D Ta có z = m + ni , z.z = z = m + n = Do biến đổi P ta 1  P = z + + z  z −1+  = z + + z −1 + z = z  ( m + 1) + n + 2m − 13   = 2m − + 2m + ∈  3;  ; ∀ − ≤ m ≤ 4  Nên a = 13 13 13 ;b = ⇒ T = = 4 (1 + 3) 16 Câu 99: Cho hai số phức z thõa mãn: z = Gọi a , b giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính T = a + b A T = T= ( ( 13 + 10 27 14 + 10 ) B T = C T = ( 15 + 10 ) 27 ) 27 Hướng dẫn giải: Chọn A Với z = m + ni , z.z = z = m + n = biến đổi biểu thức P ta có: P = z + + z − z + = z − z + ( z + + 1) 1  = z  z − +  ( z + + 1) = ( z − + z ) ( z + + 1) z  = ( 2m − 1) 1 +  ( m + 1) ( + n   = f ( m ) = ( 2m − 1) + 2m + ( ) ) Khảo sát f ( m ) = ( 2m − 1) + 2m + [ −1;1] ta có f ( m ) = ; [ −1;1] 142 D Số Phức Nâng Cao (  −7 − 10  13 + 10 Max f ( m ) = f   = [ −1;1] 18 27   Câu 100: Cho biết z + = Tìm giá trị lớn biểu thức P = z + z + 1? z A − Hướng dẫn giải:   Ta có =  z + ⇒4= z + ( B + + z2 + z z ) = Re ( z ) C − z  4 16  z +  = z + + 4 + z  z z z 16 z Vì z + z ) 2 z  z (z + z )− z + 2 = z + 16 z z ≥ ≥ z + D + 16 z 2 −8 ⇒ z − 12 z + 16 ≤ ⇒ − ≤ z ≤ + ⇒ −1 ≤ z ≤ +1 ⇒ P ≤ + Chọn D Câu 101: Cho z + − 3i = Tìm giá trị lớn P = z − + z + − 2i ? A Hướng dẫn giải: C 2 B D 2  2  1  3 Ta có: M ( z ) ∈  I ;  :  x +  +  y −  = 2  2    Gọi A (1;0 ) , B ( −1; ) Chú ý I , A, B thẳng hàng đồng thời ta có IA = 3IB Ta tìm max MA + 3MB ( ) ( 2 Ta có: MA + 3MB = MI + IA + MI + IB ( ) ⇒ MA2 + 3MB = MI + IA2 + 3IB + MI IA + 3IB ) ⇒ MA2 + 3MB = 4MI + IA2 + 3IB = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: MA + 3MB ≤ Chọn A 143 ( MA + 3MB ) (1 + 3) = Số Phức Nâng Cao Câu 102: Cho z − − 3i = Gọi M m giá trị lớn nhỏ z + − 3i + z − + i 2 Tính P = M + m ? A P = 240 Hướng dẫn giải: ( I ; ) : ( x − 4) B P = 250 C P = 270 ( D P = 320 ) + ( y − 3) = Gọi I ( 4;3) ⇒ M ( z ) ∈ I ; Gọi A ( −1;3) , B (1; −1) ⇒ IA = IB = > R 2 2 +) MA + MB ≤ ( MA + MB ) ⇒ MA + MB ≤ MH + AB ⇒ MA + MB ≤ KH + AB = 10 Dễ có HK = HA = HB = Lấy C cho H trung điểm CK Ta có Ptolemy: MA.CB + MB.CA ≥ MC AB AB ⇒ MA + MB ≥ MC ≥ KC ⇒ MA + MBmin = 10 CB Câu 103: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A 15 Hướng dẫn giải: B 20 C 10 D Gọi A (1;0 ) , B ( −1;0 ) , ta có P = MB + 3MA Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky: MB + 3MA ≤ (1 + 32 )( MA2 + MB ) = 10 Chọn C Câu 104: Cho số phức z thỏa mãn z − + 3i + z + + i = Tìm giá trị lớn z − + 5i ? A B 5 C D Hướng dẫn giải: Gọi A ( 2; −3) , B ( −2; −1) , C ( 6; −5) Ta thấy A trung điểm BC  MA + MB = = 2a ⇒ a = 5, c = 5, b = 15 Mà  = = = AB c AC  Do MC max khi: MC = CA + AB + a = + + = 5 Câu 105: Cho hai số phức z w biết chúng thỏa mãn (1 + i ) z + = 1− i w = iz Tìm giá trị lớn M = z − w A 3 144 B C D Số Phức Nâng Cao Hướng dẫn giải: Ta có: (1 + i ) z + (1 − i ) = ⇔ z − 2i = Vậy quỹ tích M ( z ) đường tròn tâm I ( 0; ) , R = Lại có w − z = iz − z = z ≤ Chọn C T = a+b = 145 ( 13 + 10 27 ) ... + 5i ? A B 5 Câu 1 05: Cho hai số phức z w biết chúng thỏa mãn C (1 + i ) z + = 1− i D w = iz Tìm giá trị lớn M = z − w A 3 95 B C D Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 5: GTLN, GTNN TRÊN SỐ... w+ − = ⇒ w max =   +   + = 2+ 5 5 5 ? ?5? ?? ? ?5? ?? 2 1 7 1 = 2− Vậy w + w max = 2 Và w max =   +   − 5 ? ?5? ?? ? ?5? ?? Chọn B 1 05 Số Phức Nâng Cao Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − − i... ? ?5 5 3 1 C M  ; −  ? ?5 5  1 D M  − ; −   5? ?? Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i − z + − 3i = 34 Hỏi giá trị nhỏ z + + i là? 90 Số Phức Nâng Cao A 34 C 13 B D Câu 72: Cho số