2 TRỤ TRÒN XOAY

Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa mặt trụ ∆ - Cho đường thẳng ∆ Xét đường thẳng l song song với ∆ , cách ∆ khoảng R Khi đó: R M1 Mặt trịn xoay sinh đường thẳng l gọi mặt trụ tròn xoay hay đơn giản mặt trụ R M - ∆ gọi trục mặt trụ, l gọi đường sinh R gọi bán kính mặt mặt trụ l1 Hình trụ khối trụ l Cắt mặt trụ ( T ) trục ∆ , bán kính R mặt phẳng phân biệt ( P ) ( P ') vng góc với ∆ ta giao tuyến hai đường tròn ( C ) , ( C ') a) Phần mặt trụ (T ) nằm hai mặt phẳng ( C ) , ( C ') ( P) ( P ') với hai hình trịn xác định gọi hình trụ - Hai đường trịn ( C ) , ( C ') gọi hai đường tròn đáy, hình trịn xác định chúng gọi mặt đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ Khoảng cách mặt đáy gọi chiều cao hình trụ - Nếu gọi O O’ tâm hai hình trịn đáy đoạn OO’ gọi trục hình trụ - Phần mặt trụ nằm đáy gọi mặt xung quanh hình trụ b) Hình trụ với phần bên gọi khối trụ Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Với R bán kính đáy, h chiều cao - Diện tích xung quanh hình trụ: S xq = 2π Rh - Diện tích tồn phần hình trụ: Stp = S xq + 2Sday = 2π Rh + 2π R - Thể tích khối trụ V = π R h ( chiều cao nhân diện tích đáy) Trước hết tơi xin nhắc lại, hai đề Minh họa tháng 10 vừa Bộ Giáo dục Đào tạo, hai mức vận dụng thấp 22 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho A 4R3 Câu 2: B 2R3 D R C 3R Một khối lăng trụ tam giác cạnh đáy a, góc đường chéo mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ A V = π a 3 Câu 3: π a2h B a3 12 B a3 12 C 5a3 12 D C B d = 50 3cm R B a3 D C d = 25cm D d = 25 3cm R C R D R Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Bên hình trụ có hình lăng trụ tứ giác nội tiếp Nếu thể tích hình lăng trụ V thể tích hình trụ bao nhiêu? πV B VTru = πV C VTru = πV D VTru = πV Cho AA ' B ' B thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A, B thuộc đường trịn tâm O) Cho biết AB = 4, AA'=3 thể tích hình trụ V = 24π Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( AA ' B ' B ) là: 23 D π 2a h Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho AB = R Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R A VTru = Câu 9: π 5a h Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ A Câu 8: C B A d = 50cm Câu 7: π 2a h Cho hình trụ có bán kính đáy R = 5, chiều cao h = Một đoạn thẳng AB có độ dài 10 có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ? A Câu 6: D V = π a 3 Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO ' AB A Câu 5: C V = π a 3 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ A Câu 4: B V = π a3 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A d = B d = C d = D d = Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi O’, O tâm hai hình vng ABCD A ' B ' C ' D ' O ' O = a Gọi V1 thể tích hình trụ trịn xoay đáy hai đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD, A ' B ' C ' D ' V2 thể tích hình nón trịn xoay đỉnh O’ đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích A B Câu 11: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ', đáy ( AB, AC ) = 600 C D ABC tam giác có AB = 5, AC = góc Gọi V , V ' thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính tỉ số A V1 là: V2 49 V' ? V B C 19 49 D 29 49 Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn ( O ) ( O′ ) , chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng (α ) qua trung điểm OO′ tạo với OO′ góc 30° , (α ) cắt đường trịn đáy theo dây cung Tính độ dài dây cung theo R A 4R 3 B 2R C 2R D 2R Câu 13: Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng: B R A R C R D R Câu 14: Cho hình trụ có chiều cao h = 2, bán kính đáy r = Một mặt phẳng ( P ) khơng vng góc với đáy hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB CD cho ABCD hình vng Tính diện tích S hình vng ABCD A S = 12π B S = 12 C S = 20 D S = 20π Câu 15: Cho khối trụ có bán kính đáy r = a chiều cao h = 2a Mặt phẳng ( P ) song song với trục OO ' khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục OO ' , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số khoảng A 24 3π + π −2 V1 , biết ( P ) cách OO ' V2 a B 3π − π −2 C 2π + π −2 D 2π − π −2 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 16: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ A R = h B R = h C R = h D R = h Câu 17: Trong số khối trụ tích V, khối trụ có diện tích tồn phần bé có bán kính đáy A R = V 2π B R = 4π V C R = π V D R = V π Câu 18: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là: A R = S S ;h = 2π 2π C R = 2S 2S S S ;h = D R = ;h = 3π 3π 6π 6π B R = S S ;h = 4π 4π Câu 19: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy R , độ dài đường sinh R 17 hình trụ có chiều cao đường kính đáy 2R , lồng vào hình vẽ Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón A π R3 12 B π R3 C π R3 D π R3 Câu 20: Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R R 4R 2R C D 3 Câu 21: Cho mặt cầu ( S ) bán kính R Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội A R B tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo bán kính R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn A h = R B h = R C h = R D h = R Câu 22: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Hãy tìm kích thước hình trụ tích đạt giá trị lớn 25 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A r = R B r = 2R C r = 2R D r = 2R Câu 23: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối ( H ) hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích ( H ) A V( H ) = 192π B V( H ) = 275π C V( H ) = 704π D V( H ) = 176π Câu 24: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối ( H ) hình vẽ biết thiết diện elip có độ dài trục lớn 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 Tính thể tích ( H ) K N 14 A V( H ) = 275π B V( H ) = 176π C V( H ) = 192π D V( H ) = 704π Câu 25: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN €SO với M , N nằm cạnh SA, OA Đặt SO = h khơng đổi A B S Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính R = OA Tìm độ dài MN để thể tích khối trụ lớn M 26 A MN = h B MN = h C MN = h D MN = h O N A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho A 4R3 B 2R3 D R C 3R Hướng dẫn giải: D' Giả sử ABCDA ' B ' C ' D ' khối lăng trụ O' A' tứ giác nội tiếp hình trụ cho C' Từ giả thiết, suy hình trụ có chiều cao B' h = R đáy ABCD hình vng nội tiếp đường trịn bán kính R Do AC = R ⇒ AB = D 2R =R 2 A Diện tích hình vng ABCD là: ( S ABCD = R ) C O B = 2R2 Vậy thể tích khối lăng trụ cho là: V = S ABCD h = R 2 R = R3 Chọn A Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác cạnh đáy a, góc đường chéo mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ A V = π a 3 B V = π a3 C V = π a 3 2 D V = π a 3 Hướng dẫn giải: Xét hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy AB = a , C' B' góc đường chéo A’B với mặt đáy ( ABC ) A ' BA = 600 A' Suy ra: h = AA ' = a.tan 60 = a Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ có đường cao A’A, đáy đường tròn ngoại tiếp hai mặt đáy ( ABC ) , ( A ' B ' C ') , a có bán kính R cho R = a ⇒ R = Thể tích khối trụ: 27 C B a A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao  a  V = π R2h = π   a = π a (đvdt)  3 Chọn A Câu 3: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ A π a2h B π 2a h C π 5a h D π 2a h Hướng dẫn giải: C' Hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC O' Do ABC tam giác cạnh a nên M' B' A' hình trụ có bán kính là: R = OA = 2 a a AM = = 3 C với M = AO ∩ BC M Chiều cao hình trụ chiều cao O B A lăng trụ h Vậy thể tích khối trụ là: a 3 π a2h V = π R h = π   h =   Chọn A Câu 4: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO ' AB A a3 12 B a3 12 C 5a3 12 D a3 Hướng dẫn giải: Kẻ đường sinh AA’ Gọi D điểm đối xúng A’ qua O’ H hình chiếu vng góc B đường thẳng A’D  BH ⊥ A ' D ⇒ BH ⊥ ( AOOA ' )   BH ⊥ AA ' Do đó, BH chiều cao tứ diện OO ' AB Thể tích khối tứ diện OO ' AB : V = S ∆AOO ' BH 28 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Tam giác AA ' B vuông A’ cho: A ' B = AB − A ' A2 = 4a − a = a Tam giác A ' B = A ' D − A ' B = 4a − 3a = a A' O' H Suy BO ' D tam giác cạnh a Từ BH = D B a 2a Do OA = OO'=a nên tam giác AOO ' vuông cân O A a O Diện tích tam giác AOO ' là: 1 S∆AOO ' = OA.OO'= a 2 a a3 a = Vậy V = 2 12 Chọn A Câu 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Bên hình trụ có hình lăng trụ tứ giác nội tiếp Nếu thể tích hình lăng trụ V thể tích hình trụ bao nhiêu? A VTru = πV B VTru = πV C VTru = πV D VTru = πV Hướng dẫn giải: Gọi cạnh đáy lăng trụ a Thiết diện qua hình trụ hình vng D' C' BDD ' B ' : BD = R = a ⇒ BB ' = a O' Thể tích lăng trụ V V ⇔ a a = V ⇔ a = 2 A' B' Thể tích hình trụ tính theo a : a 2 π a3 Vtru = π   a =   V π V πV Thay a = = : Vtru = 2 2 D C O A B Chọn A Câu 19: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy 2R , độ dài đường sinh R 17 hình trụ có chiều cao đường kính đáy 2R , lồng vào hình vẽ 29 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón A π R3 12 B πR C πR D πR Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có SI = SB − IB = 17 R − R = R ⇒ SE = R, EF = R Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI ) V1 = π R R = π R 3 Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE ) R V2 = π   R = π R 3 2 Thể tích phần khối giao giữ khối nón khối trụ V3 = V1 − V2V2 = π R Thể tích khối trụ là V4 = π R 2 R = 2π R3 Vậy thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón V = V4 − V3 = π R Câu 23: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối ( H ) hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích ( H ) A V( H ) = 192π B V( H ) = 275π C V( H ) = 704π D V( H ) = 176π Hướng dẫn giải: 30 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chọn D Đường kính đáy khối trụ 102 − 62 = Bán kính đáy khối trụ R = Thể tích khối trụ H V1 = π R h1 = π 42.8 = 128π Thể tích khối trụ H V2 = π R h2 = π 42.6 = 96π 1 Thể tích H V = V1 + V2 = 128π + 96π = 176π 2 Câu 24: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối ( H ) hình vẽ biết thiết diện elip có độ dài trục lớn 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 Tính thể tích ( H ) K N 14 A V( H ) = 275π B V( H ) = 176π C V( H ) = 192π D V( H ) = 704π A B Hướng dẫn giải: Dùng mặt phẳng qua N vng góc với trục hình ( H ) cắt hình ( H ) thành phần tích Vtren , Vduoi K Ta có MN = NK − KM = ⇒ Rday tru = ⇒ Vduoi = π R h = 128π Phần phía tích nửa hình trụ có R = 4, h = ⇒ Vtren = π 16.6 = 48π N M A B Vậy V( H ) = 128π + 48π = 176π Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi O’, O tâm hai hình vng ABCD A ' B ' C ' D ' O ' O = a Gọi V1 thể tích hình trụ trịn xoay đáy hai đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD, A ' B ' C ' D ' V2 thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ đáy đường tròn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích A B Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AB tam giác OAM vng cân M 31 C V1 là: V2 D Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao R1 = OA = ; R2 = OM = 2  2 V1 π R12 h = =    V2 π R h  1 :  = 4 O ( AB, AC ) = 600 49 M B D ABC A ' B ' C ', đáy ABC tam giác có AB = 5, AC = góc Gọi V , V ' thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính tỉ số A R2 R1 Chọn D Câu 11: Cho lăng trụ B C V' ? V B C 19 49 D 29 49 Hướng dẫn giải: Áp dụng đinh lý cosin tam giác ABC ta c BC = AB + AC − AB AC.cos600 = 25 + 64 − 2.5.8 = 49 Diện tích tam giác ABC là: 1 S = AB AC.sin 600 = 5.8 = 10 2 Mặt khác: C' A' B' C A AB AC BC S ABC = , với R bán kính đường trịn ngoại tiếp 4R tam giác ABC ⇒ R == O' 600 O B AB AC.BC 5.8.7 = = S ABC 4.10 ( AB + BC + AC ) = 10 r bán kính đường trịn nội S 10 tiếp tam giác ABC ⇒ r = ABC = = 10 p Ngồi ra: S ABC = pr , p = Hình trụ ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ cho có bán kính đáy R, r có chiều cao chiều cao hình lăng trụ Giả sử h chiều cao hình lăng trụ, ta có: V = π R h V = π r h Vậy V' = V 49 Chọn A Câu 15: Cho khối trụ có bán kính đáy r = a chiều cao h = 2a Mặt phẳng ( P ) song song với trục OO ' khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục 32 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao OO ' , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số khoảng A V1 , biết ( P ) cách OO ' V2 a 3π + π −2 B 3π − π −2 C 2π + π −2 D 2π − π −2 Hướng dẫn giải: Thể tích khối trụ V = π r h = π a 2a = 2π a Gọi thiết diện hình chữ nhật ABB ' A ' Dựng lăng trụ ABCD A’B’C’D’ hình vẽ Gọi H trung điểm AB Ta có OH ⊥ AB ⇒ OH ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ OH = ⇒ AH = BH = a 2 a = OH ⇒ ∆OAB vuông cân O ⇒ ABCD hình vng Từ suy ra: V2 = 1 a (π − 2) (V − VABCD A ' B 'C ' D ' ) = 2π a − (a 2)2 2a = 4 V1 = V − V2 = 2π a − ( ) V 3π + a (π − 2) a (3π + 2) = Suy = V2 π − 2 Chọn A Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy R = 5, chiều cao h = Một đoạn thẳng AB có độ dài 10 có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ? A B C D Hướng dẫn giải: Gọi hai đường tròn đáy ( O ) , ( O ') A ∈ ( O ) , B ∈ ( O ') Kẻ hai đường sinh B O' D AD, BC ta tứ giác ABCD hình chữ nhật mp ( ABCD ) / /OO ' Do đó, khoảng cách OO’ AB khoảng cách từ O đến mp ( ABCD ) Tam giác ACB vuông C nên ta có: 33 C I O A Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao AC = AB − BC = 102 − 62 = Gọi I trung điểm AC, ta có: OI ⊥ AC ⇒ OI ⊥ ( ABCD )  OI ⊥ AD Vậy khoảng cách đường thẳng AB trục OO’ hình trụ là: OI = OA2 − IA2 = 52 − 42 = Chọn B Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ A d = 50cm B d = 50 3cm D d = 25 3cm C d = 25cm Hướng dẫn giải: A O Kẻ AA1 vng góc với đáy, A1 thuộc đáy Suy ra: OO1 / / AA1 ⇒ OO1 / / ( AA1 B ) ⇒ d ( OO1 , AB ) = d ( OO1 , ( AA1 B ) ) = d ( O1 , ( AA1B ) ) Tiếp tục kẻ O1 H ⊥ A1B H, O1H nằm đáy nên vng góc với A1A suy ra: I K O1 H ⊥ ( AA1B ) Do d ( OO1 , AB ) = d ( OO1 , ( AA1 B ) ) = d ( O1 , ( AA1 B ) ) = O1 H A1 O1 Xét tam giác vng AA1 B ta có A1 B = AB − AA12 = 50 H B Vậy O1 H = O1 A12 − A1 H = 25 cm Chọn C Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho AB = R Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R A R B R C R D R Hướng dẫn giải: Giả sử A∈ đường tròn O, B ∈ O ' Từ A vẽ đường song song OO’ cắt đường tròn ( O ') A’ O A Vẽ O’H vng góc A’B Từ H vẽ đường thẳng song song với OO’, I cắt AB K Vẽ KI / /O ' H K 34 O' A' H B Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có: O ' H ⊥ A ' B AA ' nên: O ' H ⊥ mp ( AA ' B ) ⇒ O ' H ⊥ HK AB Vậy tứ giác KIO ' H hình chữ nhật ⇒ KI ⊥ OO ' Vậy KI đoạn vng góc chung AB OO ' ∆AA ' B vuông ⇒ A ' B = AB − AA '2 = R − R = 3R Do H trung điểm A’B nên: HA ' = R 3R R = ∆O ' A ' H ⇒ O ' H = O ' A2 − A ' H = R − 4 Do đó: d ( AB, OO ' ) = KI = O ' H = R Chọn A Câu 9: Cho AA ' B ' B thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O) Cho biết AB = 4, AA'=3 thể tích hình trụ V = 24π Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( AA ' B ' B ) là: A d = B d = C d = D d = Hướng dẫn giải: B' Kẻ OH ⊥ AB OH ⊥ ( AA ' B ' B ) Và AH = O' A' AB = 2 Ta có V = π OA2 AA ' = 3π OA2 B H Mà V = 24π ⇒ OA = 2 2 O A ∆OAH : d = OH = OA − AH = − = ⇒ d ( O, ( AA'B'B ) ) = d = Chọn B Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy hai đường tròn ( O ) ( O′ ) , chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng (α ) qua trung điểm OO′ tạo với OO′ góc 30° , (α ) cắt đường trịn đáy theo dây cung Tính độ dài dây cung theo R A 4R 3 Hướng dẫn giải: Chọn B 35 B 2R C 2R D 2R Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Dựng OH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( OIH ) ⇒ ( OIH ) ⊥ ( IAB ) ⇒ IH hình chiếu OI lên ( IAB ) Theo ta OIH = 30° Xét tam giác vuông OIH vuông O R ⇒ OH = OI tan 30° = Xét tam giác OHA vuông H R 2R ⇒ AH = OA2 − OH = ⇒ AB = 3 Câu 13: Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng: B R A R C R D R Hướng dẫn giải: Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O ' B = R Gọi AA ' đường sinh hình trụ O ' A ' = R, AA ' = R BAA ' = 300 Vì OO ' ( ABA ') nên d OO ', ( AB )  = d OO ', ( ABA ')  = d O ', ( ABA ' )  Gọi H trung điểm A ' B , suy O ' H ⊥ A' B  ⇒ O ' H ⊥ ( ABA ' ) nên d O ', ( ABA ')  = O ' H O ' H ⊥ AA '  Tam giác ABA ' vuông A ' nên BA ' = AA ' tan 300 = R Suy tam giác A ' BO ' có cạnh R nên O ' H = R Chọn C Câu 21: Cho mặt cầu ( S ) bán kính R Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo bán kính R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn A h = R Hướng dẫn giải: Chọn A 36 B h = R C h = R D h = R Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có OO′ = h; IA = R, AO = r ⇒ r = R − h2 Diện tích xung quanh hình trụ S = 2π rh = π h R − h ≤ π (dùng BĐT ab ≤ h2 + 4R2 − h2 , a2 + b2 ) 2 2 Vậy S max = 2π R ⇔ h = R − h ⇔ h = R Câu 14: Cho hình trụ có chiều cao h = 2, bán kính đáy r = Một mặt phẳng ( P ) khơng vng góc với đáy hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB CD cho ABCD hình vng Tính diện tích S hình vng ABCD A S = 12π B S = 12 C S = 20 D S = 20π Hướng dẫn giải: Kẻ đường sinh BB’ hình trụ Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD x, x > CD ⊥ BC Do  ⇒ CD ⊥ B ' C ⇒ ∆B ' CD vuông CD ⊥ BB ' C Khi đó, B’D đường kính c Trịn ( O ') Xét ∆B ' CD vuông C ⇒ B ' D2 = CD2 + CB '2 ⇒ 4r = x + CB (1) Xét tam giác ∆BB 'C vuông B ⇒ BC = BB '2 + CB '2 ⇒ x = h2 + CB '2 (2) Từ (1) (2) ⇒ x = 4r + h = 20 Suy diện tích hình vng ABCD S = 20 Câu 16: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ A R = h B R = h C R = h D R = h Hướng dẫn giải: Gọi R h bán kính đáy chiều cao hình trụ O Ta có: V = π R h (khơng đổi) Stp = S xq = S day = 2π Rh + 2π R = ( Rh + R ) 2π h Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương, 37 R O' Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có: Rh Rh Rh Rh + + R2 ≥ 33 R 2 2 ⇔ Rh + R ≥ 3 R4h2 V2 = 33 π ⇔ Stp ≥ ( 2π ) V2 (hằng số) π 24 Do đó: S toàn phần đạt giá trị nhỏ ⇔ Rh h = R2 ⇔ R = 2 Chọn A Câu 17: Trong số khối trụ tích V, khối trụ có diện tích tồn phần bé có bán kính đáy A R = V 2π B R = 4π V C R = π D R = V V π Hướng dẫn giải: V = π R h ⇒ l = h = Xét hàm số f ( R ) = V 2V , STP = S Xq + S d = 2π Rl + 2π R = + 2π R 2 πR R 2V −2V + 4π R3 V + 2π R với R>0, f '( R) = , f '( R) = ⇔ R = R 2π R Bảng biến thiên R f , ( R) f ( R) + V 2π +∞ - +∞ +∞ Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích toàn phần nhỏ R = V 2π Chọn A Câu 18: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là: 38 A R = S S ;h = 2π 2π C R = 2S 2S S S ;h = ;h = D R = 3π 3π 6π 6π B R = S ;h = 4π S 4π Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hướng dẫn giải: Gọi thể tích khối trụ V , diện tích tồn phần hình trụ S Ta có: S = S2 day + S xq = 2π R + 2π Rh Từ suy ra: S S V V V Cauchy V = R + Rh ⇔ = R2 + = R2 + + 2π 2π πR 2π R 2π R ≥ 4π V2  S  S3 hay 27 ≤   ⇔V ≤ 4π 54π  2π  Vậy Vmax = S3 V π R h Rh Dấu “=” xảy ⇔ R = = = hay h = R 54π 2π R 2π R Khi S = 6π R ⇒ R = S S h = R = 6π 6π Chọn D Câu 20: Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R A R B R C 4R D 2R Hướng dẫn giải: Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0 < x < R ) (xem hình vẽ) Bán kính khối trụ r = R − x Thể tích khối trụ là: V = π ( R2 − x )2 x Xét hàm số V ( x) = π ( R2 − x2 )2 x, < x < R Ta có : V '( x) = 2π ( R − 3x ) = ⇔ x = R 3 Bảng biến thiên: Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ 2R ; 4π R3 Câu 22: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Hãy tìm kích thước hình trụ tích đạt giá trị lớn Vmax = 39 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A r = R B r = 2R C r = 2R S r = 2R D 3 Hướng dẫn giải: 1Gọi h r chiều cao bán kính đáy hình trụ Bài tốn quy việc tính h r phụ thuộc theo R hình chữ nhật ABCD nội tiếp hình trịn (O, R) thay đổi V = π r h đạt giá trị lớn M Ta có: AC = AB + BC ⇔ R = 4r + h     V = π  R − h  h = π  − h3 + R h  4     2R   V ' = π  − h2 + R  ⇔ h = ±   ( < h < 2R ) O A N S 2R Vậy V = Vmax = π R3 ⇔ h = Q I B P O M N A 4R 2 R2 R = ⇒r= Lúc r = R − 3 Chọn A Câu 25: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN / / SO với M , N nằm cạnh SA, OA Đặt SO = h không đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính R = OA Tìm độ dài MN để thể tích khối trụ lớn A MN = h B MN = h C MN = h D MN = h Hướng dẫn giải: Ta thấy quay quanh trục SO tạo nên khối trụ nằm khối chóp Khi thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật MNPQ Ta có hình sau: Ta có SO = h ; OA = R Khi đặt OI = MN = x Theo định lí Thales ta có V = π IM IH = 40 π R2 h IM SI OA.SI R ( h − x ) = ⇒ IM = = Thể tích khối trụ OA SO SO h x ( h − x ) Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2x ( h − x) Vậy V ≤ Chọn B 41  2x + ( h − x )  ≤    4π R h h h Dấu '' = '' xảy x = Hay MN = 27 3 ... tích phần khối trụ chứa trục OO ' , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số khoảng A 24 3π + π ? ?2 V1 , biết ( P ) cách OO ' V2 a B 3π − π ? ?2 C 2? ? + π ? ?2 D 2? ? − π ? ?2 Mặt Nón -Trụ- Cầu Nâng... V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số khoảng A V1 , biết ( P ) cách OO ' V2 a 3π + π ? ?2 B 3π − π ? ?2 C 2? ? + π ? ?2 D 2? ? − π ? ?2 Hướng dẫn giải: Thể tích khối trụ V = π r h = π a 2a = 2? ?... Mặt Nón -Trụ- Cầu Nâng Cao Ta có OO′ = h; IA = R, AO = r ⇒ r = R − h2 Diện tích xung quanh hình trụ S = 2? ? rh = π h R − h ≤ π (dùng BĐT ab ≤ h2 + 4R2 − h2 , a2 + b2 ) 2 2 Vậy S max = 2? ? R ⇔ h