1 nón TRÒN XOAY

Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao MẶT NĨN – KHỐI NĨN A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng ∆ Xét đường thẳng l cắt ∆ O khơng vng góc với ∆ Mặt tròn xoay sinh đường thẳng l quay quanh ∆ gọi mặt nón trịn xoay hay đơn giản mặt nón - ∆ gọi trục mặt nón - l gọi đường sinh mặt nón - O gọi đỉnh mặt nón - Nếu gọi α góc l ∆ 2α gọi góc đỉnh mặt nón (0 ∆ O M < 2α < 1800 ) Hình nón khối nón Cho mặt nón N với trục ∆ , đỉnh O góc đỉnh 2α Gọi ( P ) mặt phẳng vuông góc với ∆ I khác O Mặt phẳng ( P ) cắt mặt nón theo đường trịn ( C ) có tâm I Gọi ( P ') mặt phẳng vng góc với ∆ O Khi đó: - Phần mặt nón N giới hạn mặt phẳng ( P ) ( P ') với hình trịn xác định ( C ) gọi hình nón - Hình nón với phần bên gọi khối nón Diện tích hình nón thể tích khối nón - Diện tích xung quanh hình nón: S xq = π Rl với R bán kính đáy, l độ dài đường sinh - Thể tích khối nón: V = π R h với R bán kính đáy, h chiều cao Lý thuyết ngắn gọn thế, nhiên có nhiều tập vận dụng cao đòi hỏi khả tư cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Hình nón trịn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: π π π 2π A S xq = a B S xq = a 2 C S xq = a D S xq = a 6 Câu 2: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: A S xq = π a2 B S xq = π a2 C S xq = π a2 3 A Câu 3: π a2 D S xq = O N M Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người P I S Q B Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 16π dm Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm đường trịn đáy cịn lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh S xq bình nước là: ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn ngồi A S xq = 9π 10 dm B S xq = 4π 10 dm C S xq = 4π dm2 D S xq = 3π dm Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 20 cm , bán kính đáy r = 25 cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng: A 500 cm B 475 cm C 450 cm D 550 cm Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng để sinh hình nón Hỏi thể tích V khối nón sinh lớn A V = 250 3π 27 B V = 25 2π 27 C V = 20 3π 27 D V = 250 6π 27 Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = , đáy lớn CD = , cạnh bên AD = quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành A V = 3π B V = π C V = π D V = π 3 Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có BAD = α ( 00 < α < 900 ) , AD = a ADB = 900 Quay ABCD quanh AB, ta vật trịn xoay tích là: A V = π a sin α B V = π a sin α cosα C V = π a sin α cosα D V = π a cos 2α sin α Câu 8: Cho khối nón đỉnh O , trục OI Măt phẳng trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là: 1 1 A B C D Câu 9: Cho hình nón N có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho SO1 = SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón N nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón N nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón N A 7π R B π R3 C 26π R 81 D 52π R 81 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 10: Hình nón trịn xoay có trục SO = R với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F ∈ SO EI FI cho = = Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm: EO FO A I B E C F D O Câu 11: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy đường trịn tâm O, bán kính R = Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng cách từ O đến thiết diện ( SAB ) là: A d = 13 B d = 13 C d = 13 D d = Câu 12: Cho hình nón có bán kính đáy R , chiều cao 2R , ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) A 16π R ( ) −1 B 4π R 1+ C 16π R (1 + ) D 4π R −1 Câu 13: Một hình nón bị cắt mặt phẳng ( P ) song song với đáy Mặt phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) ( N ) N1 Cho hình cầu nội tiếp ( N ) hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích ( N ) Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt ( N ) theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân A B N2 C D Câu 14: Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn A R = B R = C R = D R = 2 Câu 15: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a , tìm hình nón tích lớn A MaxV = MaxV = 2π a 3 27 B MaxV = π a3 C MaxV = π a3 27 D 2π a 3 Câu 16: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần π Tính thể tích hình nón lớn nhất? A π B π 12 C π 2 D π Câu 17: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A πR B π R3 C π R3 D 32 π R3 81 Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng: A π r B π r C π r D π r 3 Câu 19: Cho hình nón ( N ) có đáy hình trịn tâm O Đường kính 2a đường cao SO = a Cho điểm H thay đổi đoạn thẳng SO Mặt phẳng ( P ) vng góc với SO H cắt hình nón theo đường trịn ( C ) Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn ( C ) tích lớn bao nhiêu? A 2π a 81 B 4π a 81 C 7π a 81 D 8π a 81 Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h h h h 2h A x = B x = C x = D x = 3 Câu 21: Cho hình nón đỉnh S , đáy hình trịn tâm O , góc đỉnh 120° Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A B C D vơ số Câu 22: Hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước bằng: A 64π R 81 B 32π R 81 C 32π R 81 D 64π R3 81 Câu 23: Cho nửa đường trịn đường kính AB = R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt α = CAB gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm α cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A α = 60° B α = 45° C arctan D α = 30° Câu 24: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 ,V2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị V bé tỉ số V2 A B 2 C D Câu 25: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ) Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng: A 4π 6cm B 6π 6cm C 2π 6cm D 8π 6cm Câu 26: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số V1 V2 A B C D Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường trịn đáy bán kính R Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy khoảng d cắt hình nón theo đường trịn (L) Dựng hình trụ có đáy (L), đáy cịn lại thuộc đáy hình nón trục trùng với trục hình nón Tìm d để thể tích hình trụ lớn h h h h A d = B d = C d = D d = Câu 28: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm B 20cm C 50 2cm D 25cm Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Hình nón trịn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: π π π 2π A S xq = a B S xq = a 2 C S xq = a D S xq = a 6 Hướng dẫn giải: Gọi S ABC tứ diện cạnh a S Gọi H trung điểm cạnh BC a đường sinh hình nón Ba điểm A, O, H thẳng hàng Kẻ SO ⊥ ( ABC ) SH = C 1 a a = AH = 3 a a π a2 = S xq = π OH SH = π Chọn A A HO = Câu 2: B Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: A S xq = π a2 B S xq = Hướng dẫn giải: π a2 C S xq = π a2 Ta có: OA = S xq = πa a a a A B Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn 16π dm3 Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm đường trịn đáy cịn lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh S xq 9π 10 dm Hướng dẫn giải: C H bình nước là: O Chọn C A S xq = S 2 a a AH = = 3 S xq = π OA.SA = π π a2 D S xq = Kẻ SO ⊥ ( ABC ) , SH ⊥ BC ⇒ OH ⊥ BC Câu 3: H O B S xq = 4π 10 dm C S xq = 4π dm2 A O N M P I Q S D S xq = 3π dm B Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chọn B Xét hình nón: h = SO = 3r , r = OB, l = SA Xét hình trụ: h1 = 2r = NQ , r1 = ON = QI QI SI r = = ⇒ r1 = ⇒ Thể tích khối trụ là: BO SO 3 2π r 16π = ⇒ r = ⇒ h = ⇒ l = h2 + r = 10 Vt = π r12 h1 = 9 ∆SQI ∼ ∆SBO ⇒ ⇒ S xq = π rl = 4π 10 dm Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 20 cm , bán kính đáy r = 25 cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng: A 500 cm B 475 cm C 450 cm D 550 cm Hướng dẫn giải: Gọi S đỉnh khối nón Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh SA = SB nên ta có thiết diện tam giác cân SAB Gọi I trung điểm đoạn AB, ta có OI ⊥ AB Từ tâm O đáy ta kẻ OH ⊥ SI H, ta có OH ⊥ ( SAB ) theo giả thiết ta có OH = 12 cm Xét tam giác vng SOI ta có: 1 1 = − = 2− 2 2 OI OH OS 12 20 ⇒ OI = 15 ( cm ) Mặt khác, xét tam giác vng SOI ta cịn có: OS OI = SI OH Do SI = OS OI 20.15 = = 25 ( cm ) OH 12 Gọi St diện tích thiết diện SAB Ta có: St = AB.SI , AB = AI Vì AI = OA2 − OI = 252 − 152 = 20 nên AI = 20 cm AB = 40 cm Vậy thiết diện SAB có diện tích là: St = 40.25 = 500 ( cm ) Chọn A Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng để sinh hình nón Hỏi thể tích V khối nón sinh lớn 250 3π 27 Hướng dẫn giải: A V = B V = 25 2π 27 C V = 20 3π 27 D V = 250 6π 27 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 1 25 Ta có V = π r h = π x y = π ( 25 − y ) y = π y − π y 3 3 Xét hàm số V = Ta có V ' = 25 π y − π y với < y < 3 25 π − π y2 = ⇒ y = 3 Khi thể tích lớn V = 250 3π 27 Chọn A Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = , đáy lớn CD = , cạnh bên AD = quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành A V = 3π B V = π C V = π D V = π 3 Hướng dẫn giải: Chọn C Theo hình vẽ: AH = HD = Thể tích khối trịn xoay tạo thành thể tích khối trụ có bán kính r = AH = , chiều cao CD = trừ thể tích hai khối nón (khối nón đỉnh A, đỉnh B đáy đáy hình trụ) 2  Vậy V = π AH CD − π AH HD = π  −  = π 3   Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có BAD = α ( 00 < α < 900 ) , AD = a ADB = 900 Quay ABCD quanh AB, ta vật trịn xoay tích là: A V = π a sin α B V = π a sin α cosα sin α cosα Hướng dẫn giải: C V = π a D V = π a Kẻ DH ⊥ AB, CN ⊥ AB Các tam giác vuông HAD NBC DH = CN = a.sin α AH = BN = a.cos α a ⇒ HN = AB = cos α cos 2α sin α D C a α A H B N Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Khi quay quanh AB, tam giác vuông AHD NBC tạo thành hai hình nón trịn xoay nên: a 1 sin α   V = π DH AH +  π DH HN − π CN BN  = π DH AB = π a sin α = π a3 3 sin α cosα   Chọn C Câu 8: Cho khối nón đỉnh O , trục OI Măt phẳng trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là: 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi R bán kính đáy khối nón trục OI ⇒ V = π R OI Giả sử mặt phẳng trung trực OI cắt trục OI H , cắt đường sinh OM N Khi mặt phẳng chia khối nón thành phần, phần R khối nón có bán kính r = , có chiều cao 2 OI  R   OI ⇒ V1 = π    2  2  π R OI Phần =  24  khối nón cụt tích V2 = V − V1 = π R OI − π R OI 24 = 7π R OI 24 π R OI Vậy tỉ số thể tích là: Câu 9: V1 24 = = V2 7π R OI 24 Cho hình nón N có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho SO1 = SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón N nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón N nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón N 7π R A Hướng dẫn giải: B π R3 Gọi thiết diện thu AA1B1B 1 Vì SO1 = SO nên A1 B1 = AB = R 3 26π R C 81 52π R D 81 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Mặt khác AB1 ⊥ A1B I nên IO = 1 AB, IO1 = A1 B1 2 Vậy OO1 = R + R 4R = 3 2R Dễ thấy SO1 = OO1 = Từ SO = R Gọi thể tích phần hình nón phải tính V* V * = V1 − V2 , đó: V1 thể tích hình nón N V2 thể tích hình nón đỉnh S đáy thiết diện N cắt (P) Ta tích phần hình nón phải tính  R 2 R  52π R 1 2 V * = V1 − V2 = π OB SO − π O1 B1 SO1 = π  R R − =   81 3 Câu 10: Hình nón trịn xoay có trục SO = R với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F ∈ SO EI FI cho = = Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm: EO FO A I B E C F D O Hướng dẫn giải: Gọi O ' tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì: r = O'S = O' A = O'B R Ta có: OO ' = OS − r = R − cos300 OO ' = R − S 2R R = 3 R OO ' OO ' 2 ⇒ = = ⇒ = OI OI R 3 O ' ≡ E Vậy Chọn B r A R I O' O B Câu 11: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, bán kính R = Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng cách từ O đến thiết diện ( SAB ) là: Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 13 Hướng dẫn giải: A d = B d = 13 C d = D d = 13 SO ⊥ ( OAB ) , kẻ SH ⊥ AB ⇒ OH ⊥ AB AB ⊥ ( SOH ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SOH ) Kẻ OI ⊥ SH OI ⊥ ( SAB ) nên d = OI ∆SOA : OS2 = 64 − 25 = 39 ; ∆OHA : OH = 25 − 16 = 1 1 16 = + = + = ⇔ OI = 2 OI OH OS 39 117 Chọn B ⇒ Câu 12: Cho hình nón có bán kính đáy R , chiều cao 2R , ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) A 16π R ( ) −1 B 4π R 1+ C 16π R (1 + ) D 4π R −1 Hướng dẫn giải: Giả sử hình nón có đỉnh O đường kính đáy AB Ta có OA = OB = R + (2 R ) = R Tam giác OAB có diện tích S = R , chu vi p = R (1 + 5) Do bán kính khối cầu S (O; r ) r= S 2R = p 1+ Thể tích khối trụ cần tìm là: Vtru = π r h = 2π r = 16π R (1 + ) Câu 13: Một hình nón bị cắt mặt phẳng ( P ) song song với đáy N1 Mặt phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) ( N ) Cho hình cầu nội tiếp ( N ) hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích ( N ) Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt ( N ) theo thiết N2 diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân A Hướng dẫn giải: 10 B C D Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Giả sử ta có mặt cắt hình nón cụt đại lượng hình vẽ Gọi α góc cần tìm Xét ∆AHD vng H có DH = h, AH = R − r ⇒ h = 2r0 = AH tan α = ( R − r ) tan α (1) π h3 Thể tích khối cầu V1 = π r03 = Thể tích ( N ) V2 = π h ( R + r + Rr ) V1 = ⇒ h = R + r + Rr V2 D h Mà h = BC − ( R − r ) = Rr α A ( 3) C r0 ( 2) Ta có BC = R + r (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Từ ( ) , ( 3) ⇒ ( R − r ) = Rr r H O K R B ( 4) Từ (1) , ( 3) , ( ) ⇒ h = ( R − r ) tan α = ( R − r ) (vì α góc nhọn) 2 ⇒ tan α = ⇒ tan α = Chọn A Câu 14: Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn A R = Hướng dẫn giải: B R = C R = Chọn D Giả sử chóp đỉnh A hình vẽ hình chóp tích lớn ∆AKM vuông K Ta thấy IK = r bán kính đáy chóp, AI = h chiều cao chóp IK = AI IM ⇒ r = h ( − h ) 1 V = π r h = π h2 ( − h ) ( < h < ) 3 Vmax ⇔ π h ( − h ) max ⇔ y = −h3 + 6h2 max ( 0; ) 11 D R = 2 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 15: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a , tìm hình nón tích lớn A MaxV = 2π a 3 27 B MaxV = π a3 C MaxV = π a3 27 D 2π a 3 Hướng dẫn giải: MaxV = Chọn A Gọi h chiều cao nón bán kính nón r = a − h2 Suy ra: 1 V = π r h = π ( a − h ) h = π ( a h − h3 ) , với < h < a 3  a  2a Xét hàm số f ( h ) = a h − h3 ( 0; a ) ta thấy Max f ( h ) = f  hay =  3 3 2π a 3 27 Câu 16: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần π Tính thể tích hình nón lớn nhất? MaxV = A π Hướng dẫn giải: B π 12 C π 2 D π Chọn B Ta có Stp = π ⇔ π rl + π r = π ⇔ rl + r = suy l = 1− r2 l + r = r r 1 Có V = π r h = π r l − r = π r − 2r 3  2 Xét hàm số y = f ( x ) = x − x đoạn  0; x = f ( x) =  ta có max 2   0;      π Vậy Vmax = π = 12 Câu 17: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R πR Hướng dẫn giải: A B π R3 C π R3 D 32 π R3 81 Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, R O 12 x R r Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón Giả sử khối nón có đáy hình trịn ( C ) bán kính r Gọi x với f ′ ( x ) khoảng cách tâm khối cầu đến đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hình trịn ( C ) h = R + x Khi bán kính đáy nón r = R − x , suy thể tích khối nón 1 1 V = π r h = π ( R + x ) ( R − x ) = π ( R + x )( R + x )( R − x ) = π ( R + x )( R + x )( R − x ) 3 ( R + x + R + x + 2R − x ) 32π R = Áp dụng BĐT Cơ-si ta có V ≤ π 27 81 Chọn D Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng: A π r B π r C π r D π r 3 Hướng dẫn giải: Xét mặt phẳng chứa trục hình nón, mặt phẳng cắt hình nón theo tam giác cân SAB cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường trịn bán kính r hình trịn nội tiếp tam giác cân SAB ( h.79b ) Kí hiệu bán kính đáy hình nón x , chiều cao hình nón y ( x > 0, y > 2r ) ( AH + SA ) r = AB.SH ( ) r2 y \ ⇔ x + x + y r = xy ⇔ x = y − 2r Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r y2 1 V2 = π x y = π r : y − 2r 3 Ta có y2 y − 4r + r 4r = = y + 2r + y − 2r y − 2r y − 2r = y − 2r + 4r + 4r ≥ y − 2r ( y − 2r ) 4r + 4r = 8r y − 2r 4r Từ V2 ≥ π 8r , tức V2 đạt giá trị bé y − 2r = ⇔ y = 4r từ y − 2r x = r 13 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 19: Cho hình nón ( N ) có đáy hình trịn tâm O Đường kính 2a đường cao SO = a Cho điểm H thay đổi đoạn thẳng SO Mặt phẳng ( P ) vuông góc với SO H cắt hình nón theo đường trịn ( C ) Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn ( C ) tích lớn bao nhiêu? A 2π a 81 B 4π a 81 C 7π a 81 D 8π a 81 Hướng dẫn giải: Gọi (α ) mặt phẳng qua trục hình nón ( N ) cắt hình nón ( N ) theo thiết tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S có đáy đường tròn ( C ) theo thiết diện tam giác SCD, gọi I giao điểm SO CD Ta có: AB = 2a ⇒ OA = a = SO Do tam giác SOA vng cân S Suy tam giác SIC vuông cân I Đặt SI = AC = x (0 < x < a ) ⇒ OI = a − x Thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình trịn ( C ) là: 1 1 V = π IC OI = π x ( a − x ) = π ( − x + ax ) V ' ( x ) = π ( −3 x + 2ax ) 3 3 x = V '( x) = ⇔   x = 2a  Bảng biến thiên: Chọn B Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h h h h 2h A x = B x = C x = D x = 3 Hướng dẫn giải: Gọi r , R theo thứ tự bán kính đáy hình nón khối trụ cần tìm O đỉnh hình nón, I tâm đáy hình nón, J tâm đáy hình trụ khác I OA 14 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao đường sinh hình nón, B điểm chung OA với khối trụ Ta có: r h−x R = ⇒ r = ( h − x) R h h Thể tích khối trụ là: V = π xR = π x Xét hàm số V ( x ) = π x Ta có V '( x) = π R2 (h − x) 2 h R2 (h − x) , < x < h h R2 h ( h − x)( h − x) = ⇔ x = hay x = h h Bảng biến thiên: h ; Câu 21: Cho hình nón đỉnh S , đáy hình trịn tâm O , góc đỉnh 120° Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A B C D vô số Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ x = Hướng dẫn giải Chọn A Gọi r bán kính đáy hình nón Vì góc đỉnh ASA′ = 120° ⇒ ASO = 60° Suy SO = OA.cot ASO = r Gọi H trung điểm AM đặt x = OH r2 + x2 , Ta có: SH = SO + OH = 2 AM = AH = OA2 − OH = r − x Diện tích tam giác ∆SAM s = smax = 15 r2 SH AM = + x2 r − x2 ≤ r 2 3 r2 r2 r 2 + x2 = r − x2 ⇔ x2 = ⇔ x = Tức OH = SO r đạt 3 3 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Theo tính chất đối xứng của đường trịn ta có hai vị trí M thỏa u cầu Câu 22: Hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước bằng: 64π R 81 Hướng dẫn giải: A B 32π R 81 C 32π R 81 D 64π R 81 Kí hiệu bán kính đáy hình nón x , chiều cao hình nón y ( < x ≤ R, < y < R ) Gọi SS ' đường kính mặt cầu ngồi tiếp hình nón ta có 1 x = y ( R − y ) Gọi V1 thể tích khối nón V1 = π x y = π y y ( R − y ) 3 = π ( R − y ) y y ≤ π  4R − y + y + y   6 Vậy thể tích V1 đạt giá trị lớn x =  =  32π R 81 32π R 4R R − y = y ⇔ y = , từ 81 4R  R  8R 2R 2 R − hay x =  =   Chọn C Câu 23: Cho nửa đường trịn đường kính AB = R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt α = CAB gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm α cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A α = 60° B α = 45° C arctan D α = 30° Hướng dẫn giải: Chọn C AC = AB cos α = R.cos α CH = AC.sin α = R.cos α sin α ; AH = AC.cos α = R.cos α Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB V= AH π CH = R cos α sin α Đặt t = cos α ( < t < 1) 3 8  t + t + − 2t  ⇒ V = R 3t (1 − t ) = R t.t ( − 2t ) ≤ R   6   Vậy V lớn t = α = arctan  Chú ý: dùng PP hàm số để tìm GTNN hàm f ( t ) = t (1 − t ) 16 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 24: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 ,V2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị V bé tỉ số V2 A B 2 C D Hướng dẫn giải: Gọi ( P ) mặt phẳng qua trục hình nón ( P ) cắt hình nón Theo tam giác cân SAB , cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn nội tiếp tam giác cân Khi đó, bán kính r1 hình cầu nội tiếp hình nón tính cơng thức r1 = rh r + h2 + r   h2  1+ +1  r V1   = 1+ 1+ x = h2 V2 x r2 ( (1 + f ( x) = Xét ( Vì ) 1+ x +1 1+ x ) 4x ( , f '( x) = ) h2 = x>0 r2 , ) (x − 2− 1+ x +1 4.2 x 1+ x ) x +1 4.2 x x + > nên xét dấu f ( x ) , ta cần xét dấu g ( x) = x − − 1+ x Ta có g ' ( x ) = − Dễ thấy g ' ( x ) > x > x +1 < , đồng thời x +1 g ( x) = ⇔ x = Vậy g ( x ) hàm tăng miền x > g ( 8) = nên Với < x ≤ g ( x ) ≤ 0; Câu 25: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ) 17 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng: A 4π 6cm Hướng dẫn giải: B 6π 6cm C 2π 6cm D 8π 6cm Gọi x, ( x > ) chiều dài cung trịn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình nón đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức x 2π r = x ⇒ r = 2π Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = R2 − r = R2 − 4π x x 8π 8π M h R S x2 4π 1  x  Thể tích khối nón: V = π r h = π   3  2π  Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: V2 = r I N R2 − x2 4π  x2 x2 x2 R + + −  x  4π  8π 8π 4π  R − ≤ 4π      Do V lớn khi:   4π R  = 27    x2 x2 2π 2π R R 6= = − ⇔x= 6 = 4π 2 8π 4π 3 Chọn A (Lưu ý sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải dài hơn) Câu 26: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số V1 V2 Hướng dẫn giải: A B Ta có: Thể tích khối nón V1 = π r h 18 C D Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác góc SBO , cắt SO I Ta có: IO OB r r + h2 = = ⇒ IS = IO ⋅ IS SB r r + h2 Mặt khác: IO + IS = h Do ta có bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp rh R = IO = r + h2 + r 4 r h3 Thể tích khối cầu V2 = π R3 = π 3 r + h2 + r ( ) ( r + r + h2 V1 ⇒ = V2 4rh )  h2  + + 1    r   = Đặt h2 r (1 + t ) = ( t + 1) V h2 t = 1+ ( t ≥ ) ⇒ = V2 ( t − 1) ( t − 1) r Đặt f ( t ) ( t + 1) = t −1 , Điều kiện: t ≥ , f ′ ( t ) = BBT ⇒ f ( t ) ≥ 8∀t ≥ ⇒ t − 2t − ( t − 1) , f ′ ( t ) = ⇔ t = , f ( 3) = V1 ≥2 V2 Chọn D Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường trịn đáy bán kính R Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy khoảng d cắt hình nón theo đường trịn (L) Dựng hình trụ có đáy (L), đáy cịn lại thuộc đáy hình nón trục trùng với trục hình nón Tìm d để thể tích hình trụ lớn h h h h A d = B d = C d = D d = Đáp án: A Giải: Gọi r bán kính (L) Ta có 19 r h−d R = ⇒ r = (h − d ) R h h Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao ⇒V =π 4π R h R2 R2 R  ( h − d ) + ( h − d ) + 2d  h − d d = h − d h − d d ≤ = π π ( ) ( )( )   h2 2h 2h2  27  Dấu xảy h − d = 2d ⇔ d = h Câu 28: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm Hướng dẫn giải: B 20cm C 50 2cm D 25cm Đặt a = 50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x, y ( x, y > ) Ta có SA = SH + AH = x + y Khi diện tích tồn phần hình nón Stp = π x + π x x + y Theo giả thiết ta có π x2 + π x x2 + y2 = π a2 ⇔ x x2 + y + x2 = a2 ⇔ x x2 + y = a2 − x2 ⇔ x ( x + y ) = a + x − 2a x , ( DK : x < a ) ⇔ x = a4 y + 2a Khi thể tích khối nón a4 y V = π y = π a4 2 y + 2a y + 2a V đạt giá trị lớn y + 2a đạt giá trị nhỏ y y + 2a 2a 2a = + ≥ = 2a y y Ta có y y y Vậy V đạt giá trị lớn y = 2a a , tức y = a ⇒ x = = 25cm y Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên 20 ... thu AA1B1B 1 Vì SO1 = SO nên A1 B1 = AB = R 3 26π R C 81 52π R D 81 Mặt Nón- Trụ-Cầu Nâng Cao Mặt khác AB1 ⊥ A1B I nên IO = 1 AB, IO1 = A1 B1 2 Vậy OO1 = R + R 4R = 3 2R Dễ thấy SO1 = OO1 = Từ... r + h2 + r   h2  1+ +1? ??  r V1   = 1+ 1+ x = h2 V2 x r2 ( (1 + f ( x) = Xét ( Vì ) 1+ x +1 1+ x ) 4x ( , f '( x) = ) h2 = x>0 r2 , ) (x − 2− 1+ x +1 4.2 x 1+ x ) x +1 4.2 x x + > nên xét... 16 π R ( ) ? ?1 B 4π R 1+ C 16 π R (1 + ) D 4π R ? ?1 Câu 13 : Một hình nón bị cắt mặt phẳng ( P ) song song với đáy Mặt phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) ( N ) N1 Cho hình cầu nội tiếp