5 nâng cao 2 đường tròn đa trục

NÂNG CAO ĐƯỜNG TRÒN ĐA TRỤC VÀ NÂNG CAO GIẢI TỐN DAO ĐỘNG CƠ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT  Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos (t + 0 ) Tại thời điểm t1 vật qua vị trí có li độ x1 (hoặc có vận tốc v1 hay gia tốc a1 ), đến thời điểm t2 = t1 + t vật qua vị trí có li độ x2 (hoặc vận tốc v2 hay gia tốc a2 ) Xác định khoảng thời gian t  Phương pháp giải: Với điều kiện cho trước ( v1 , a1 ) ( v2 , a2 ) ta quy điều kiện x1 x2 tiến hành giải Chuyển đề Chuyên đề − A M1 v1  a + A −A x2 , a2 x1 , a1 − A +A x v2 M2 v + A Vòng tròn lượng giác đa trục Tuy nhiên ta sử dụng đường trịn lượng giác đa trục Khi đó: o điều kiện toán liên quan đến vận tốc xác định hình chiếu vật chuyển động trịn lên trục thẳng đứng chiều dương hướng xuống o điều kiện toán liên quan đến gia tốc xác định hình chiều vật chuyển động trịn lên phương nằm ngang, chiều dương ngược với chiều dương trục Ox → Thời gian cần tìm: t =  (rad )  =  (rad )  T= T 2 3600  Ví dụ minh họa:    Ví dụ 1: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos   t +  cm, t 2  tính giây Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có vận tốc v = 5 cm/s lần đầu vào thời điểm A s B s C s D s 3  Hướng dẫn : Chọn A HDedu - Page M −10 −10 +10 x +5 N v +10 Ta có: o vmax =  A = 10 cm/s Biểu diễn dao động tương ứng đường trịn: o t = 0 = o v= o  → điểm M đường tròn vmax = 5 cm/s → điểm N đường tròn 2 → t = s  = 3    Ví dụ 2: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = cos   t +  cm, t tính 3  giây Tại thời điểm t1 vật qua vị trí có v1 = −4 cm, đến thời điểm t2 = t1 + t sau vật qua vị trí có gia tốc a2 = +20 cm/s2 theo chiều dương Lấy  = 10 , giá trị t A s B s C s  Hướng dẫn : Chọn B D s M1  +40 a x M2 v +4 Ta có: o vmax =  A = 4 cm/s ; amax =  A = 40 cm/s2 Biểu diễn dao động vật tương ứng đường tròn : o t1 v1 = −vmax = −4 cm tương ứng với điểm M đường tròn a o t2 a2 = max = 20 cm/s2 v  , tương ứng với điểm M thuộc nửa đường tròn 5  5 o  = M1OM = → t = = = s  ( 6. ) 6 HDedu - Page    Ví dụ 3: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = cos   t −  cm, t tính 2  giây Tại thời điểm t1 vật qua vị trí có x = −2 cm theo chiều dương, đến thời điểm t2 = t1 + t sau vật qua vị trí có vận tốc v2 = +2 cm/s Lấy  = 10 , giá trị t A s B 0,5 s C s 3  Hướng dẫn: Chọn B −4 D 0,25 s +4 x −2  M2 M1 v +4 Ta có: o vmax =  A = 4 cm/s Biểu diễn dao động vật tương ứng đường trịn A o t1 x1 = − = −2 cm v  → điểm M đường tròn v o t2 v2 = max = 2 cm/s2 tương ứng với điểm M đường tròn    o  = M1OM = → t = = = 0,5 s  ( 2 )  Ví dụ 4: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hịa có vận tốc cực đại 60 cm/s gia tốc cực đại 2 m/s2 Thời điểm ban đầu ( t = ) chất điểm có vận tốc 30 cm/s hướng vị trí biên Chất điểm có gia tốc  m/s2 lần thời điểm A 0,35 s B 0,15 s C 0,10 s D 0,25 s Hướng dẫn : Chọn D M2 +2 a  −2 x +30 M 2 M1 v +60 Ta có: vmax =  A amax ( 2 10 ) 10 o  →= = =  rad/s vmax ( 60 ) amax =  A Biểu diễn vị trí tương ứng đường tròn HDedu - Page t = v = o vmax m/s hướng vị trí biên → điểm M đường trịn amax =  m/s2 → M M 2 đường trịn o lần phải biểu diễn tương ứng điểm M đường tròn 5  o  = M1OM = → t = = 0, 25 s   Với số vị trí có li độ đặc biệt, ta có giản đồ li độ, vận tốc – pha tương ứng hình vẽ Dựa vào giản đồ ta xác định nhanh thời gian tương ứng để vật qua vị trí có li độ đặc biệt o a = 900 −vmax 1200 1350 − − 2 vmax − − 300 − 12 vmax 1800 2 t =  A − 12 A A + + 12 A O 2 A + + 12 vmax 2100 + 225 2  Chú ý: + Thời gian để vật hai vị trí tương ứng với góc quét  xác định biểu thức: vmax 450 1500 −A 600 + Ta sử dụng đường tròn đa trục để giải tốn có điều kiện liên quan đến li độ, vận tốc gia tốc 3300 vmax + A 00 +A  (rad )  T= T 2 3600 3150 vmax 2400 3000 2700 +vmax Giản đồ li độ, vận tốc – pha HDedu - Page  BÀI TẬP RÈN LUYỆN    Câu 1: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = cos  2 t +  cm, t 3  tính giây Lấy  = 10 Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có vận tốc v = −2 cm/s lần vào thời điểm 1 A s B s C 0,25 s D 0,3 s  Hướng dẫn: Chọn C M1 −2 N1 N2 +2 x x0 v +4 Ta có: o vmax =  A = 4 cm/s Biểu diễn dao động tương ứng đường tròn o t = 0 = o v=− o  → điểm M đường tròn vmax = −2 cm/s2 → điểm N1 N  t = tmin →  = → t = s   Câu 2: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = cos  2 t +  cm, t 3  tính giây Lấy  = 10 Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có vận tốc v = +2 cm/s lần vào thời điểm 1 A s B s C 0,25 s D 0,3 s  Hướng dẫn: Chọn C M x0 N1 +2 +2 x N2 v +4 HDedu - Page Ta có: o vmax =  A = 4 cm/s Biểu diễn dao động tương ứng đường tròn o t = 0 = o v=− o  → điểm M đường tròn vmax = −2 cm/s2 → điểm N1 N  t = tmin →  = → t = s   Câu 3: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = cos  2 t +  cm, t 3  tính giây Lấy  = 10 Kể từ thời điểm ban đầu, vật qua vị trí có gia tốc a = +40 cm/s lần vào thời điểm 1 A s B s C 0,25 s D 0,3 s  Hướng dẫn: Chọn A N1 +80 a +40 M x0 +2 x N2 Ta có: o amax =  A = ( 2 ) ( ) = 80 cm/s Biểu diễn dao động tương ứng đường trịn o o o t = 0 =  → điểm M đường tròn amax = +40 cm/s2 → điểm N1 N  t = tmin →  = → t = s a=+   Câu 4: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = cos  2 t +  cm, t 3  tính giây Lấy  = 10 Khoảng thời gian ngắn để chất điểm từ vị trí có vận tốc 2 cm/s đến vị trí có gia tốc 40 cm/s2 1 A s B s C 0,5 s D 0,3 s  Hướng dẫn: Chọn A HDedu - Page M1 +80 a x +2 N1 M2 N2 v +4 Ta có: o vmax =  A = 4 cm/s amax =  A = ( 2 ) ( ) = 80 cm/s2 Biểu diễn dao động tương ứng đường tròn v o v = max = 2 cm/s → điểm M M a o a = max = 40 cm/s2 → điểm N1 N  o t = tmin →  = → t = s Câu 5: (BXD – 2020) Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T biên độ A Trong chu kì, A theo chiều âm đến vị trí có vận tốc v = A khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí có li độ x = 2 T T 13T T A B C D 24 24  Hướng dẫn : Chọn C M  −A + + N1 2 A +A x A v + A N2 Ta có : o o o A v  → điểm M đường tròn v=  A → điểm N1 N đường tròn 13T t = tmin →  = 1950 → t = 24 x= HDedu - Page Câu 6: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos ( 2 t ) cm, t tính giây Trong chu kì khoảng thời gian để li độ vận tốc vật không nhỏ x1 = cm v1 = 10 cm/s t Giá trị t 1 A s B s C s D 0,5 s 12  Hướng dẫn: Chọn B M1 −10 +5 +10 x  +10 N1 N2 v +20 M2 Ta có: o vmax =  A = 20 cm/s Biểu diễn dao động vật tương ứng đường tròn o x1 = cm → M M đường tròn v o v1 = max = 10 cm/s → N1 N đường tròn o  = 300 → t = s 12 Câu 7: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos ( t ) cm, t tính giây Kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật có vận tốc v = 5 cm/s lần đầu tiên, tốc độ trung bình vật gần giá trị sau đây? A 10 cm/s B 15 cm/s C 20 cm/s D 25 cm/s  Hướng dẫn: Chọn C  −10 N1 S M x +5 N2 v +10 Biễu diễn dao động vật đường tròn: o t = vật vị trí biên dương biễu diễn điểm M v o v = max = 5 cm/s → M M 2 đường tròn Lần tương ứng với điểm M  2100 o  = M1OM = 2100 → t = T = = s 0 360 360 HDedu - Page o S = 2.10 + 10 − cm → vtb = S  18,3 cm/s t s kể từ 12 thời điểm ban đầu, vật 10 cm mà chưa đổi chiều chuyển động đến vị trí có li độ cm theo chiều dương Vận tốc vật thời điểm ban đầu A 20 2 cm/s B 20 3 cm/s C 20 cm/s D 40 cm/s  Hướng dẫn: Chọn B Câu 10: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa quỹ đạo dài 20 cm Sau khoảng thời t = −10 S −5 +5 +10 x  M1 v + A M2 Ta có: L ( 20 ) = = 10 cm 2 Biễu diễn dao động vật đường tròn o Sau khoảng thời gian t vật đến vị trí x = +5 cm theo chiều dương biễu diễn tương ứng điểm M tương ứng đường tròn o A= o t = , tương ứng với góc lùi  = t , vật đến vị trí có li độ x0 = 10 − = cm Được biễu diễn tương ứng điểm M thuộc nửa đường tròn T o  = M1OM = 600 → t = = s → T = 0,5 s  = 4 rad/s 12 vmax = 20 3 cm/s o v= Câu 11: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình x = A cos ( 4 t + 0 ) cm, t tính s sau quãng 12 đường S = 20 cm không đổi chiều chuyển động vật đến vị trí có li độ x2 = − x1 Biên độ dao động vật A 20 cm B 10 cm C 15 cm D 12 cm  Hướng dẫn: Chọn A giây Tại thời điểm t1 vật qua vị trí có li độ x1 , đến thời điểm t2 = t1 + HDedu - Page −A S x2 x1 +A x 600 M2 M1 Biễu diễn dao động vật đường tròn o x1 biểu diễn tương ứng điểm M thuộc nửa đường tròn – giả sử vật chuyển động theo chiều dương o t = t2 − t1 = s tương ứng với bán kính OM qt góc  = M1OM = t = 600 12 x1 S o x1 = x2 = = 10 cm, A = = 20 cm sin 300 T Câu 12: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong khoảng thời gian t  tỉ số quãng đường lớn quãng đường nhỏ mà chất điểm Giá trị t A 0, 29T B 0,33T C 0, 43T D 0, 41T  Hướng dẫn: Chọn A Ta có:   t    t  S sin 1800  = max 2  Smax = A sin    T  2A       Smax   Smin  o  →  →  =  + 1 − 2A   2A    S = A 1 − cos  t   cos 1800 t  = − Smin        T  2A    o o 4A S   S  Smax = 2Smin →   + 1 −  = → Smin = 2A   A   S  2 arc sin   arc sin   t  2A  =    0, 29 = 0 T 180 180   Câu 13: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A cos  2 t −  cm, t tính 2  giây Gọi S1 quãng đường mà vật sau khoảng thời gian t kể từ thời điểm ban đầu, S quãng đường mà vật tiếp tục khoảng thời gian t Biết vật chưa đổi chiều S chuyển động = Giá trị t S2 A 0,115 s B 0,066 s C 0,176 s D 0,333 s  Hướng dẫn: Chọn A HDedu - Page 10 −A S1 +A x 2 Ta có: o S1 = A sin  S2 = A sin ( 2 ) − A sin  = A sin  cos  − A sin  A sin  S1 =2 → = → cos  = →  = 41, 40 → t = 0,115 s S2 A sin  cos  − A sin  Câu 14: Một vật dao động điều hoà với chu kì T = s Gọi s1 , s2 , s3 ba quãng đường liên tiếp o mà vật thời gian s, s s kể từ lúc bắt đầu dao động Biết tỉ lệ s1 : s2 : s2 = 1: 3: n (với n số dương) Giá trị n A B C D  Hướng dẫn: Chọn A + 12 A −A S2 S1 +A x Ta có: o t1 = T T = 1s, t2 = = s S2 A = → x0 =  A S1 = → S3 = A → n = S1 Câu 15: Một vật dao động điều hòa với biên độ 12 cm Trong chu kì, thời gian vật có tốc độ lớn giá trị v0 s Tốc độ trung bình chiều hai vị trí có tốc độ v0 trên o 12 cm/s Giá trị v0 A 4 cm/s  Hướng dẫn: Chọn C B 8 cm/s C 4 cm/s D 8 cm/s HDedu - Page 11 x0 −A S +A x M1 M2 Ta có: o v = v0 → tương ứng điểm M M đường tròn ( ) v t 12 (1) x0 = cm → x0 = tb = 2 t    x0   = 1200 → T = s → T = s o M 1OM = 2arc sin   = 2arc sin   (12 )   A   1  2  o v0 = vmax =   (12 ) = 4 cm/s 2  Câu 16: (Chuyên Thái Bình – 2018) Một chất điểm dao động điều hòa trục Ox có vận tốc khơng hai thời điểm liên tiếp t1 = 1,75 s t2 = 2,5 s, tốc độ trung bình khoảng thời gian 16 cm/s Ở thời điểm t = , vận tốc v0 cm/s li độ x0 cm vật thỏa mãn hệ thức o vtb = ( A x0 v0 = −12  Hướng dẫn: Chọn B ) C x0 v0 = −4 B x0 v0 = 12 t0 M −A D x0 v0 = 4 v0  +A x x0 v0 Ta có: o v = → x =  A hai vị trí biên đường tròn T 4 o t = = t2 − t1 → T = ( 2,5 ) − (1, 75 )  = 1,5 s →  = rad/s v T (16 ) (1,5) 2A o vtb = → A = tb = = cm → vmax = 8 cm/s 4 0,5T o t = → OM quay chiều kim đồng hồ góc 2 + o   A  x0v0 =  −   − vmax  = 12 3     HDedu - Page 12   Câu 17: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A cos  2 t −  , t tính 3  2 x giây Kể từ thời điểm ban đầu, thời điểm vật qua vị trí có vận tốc v = lần thứ 2020 2019 2021 2019 A s B 2020 s C s D s 12 15  Hướng dẫn: M − 12 A −A +A x N t0 Ta có: o v= 2 x → v x dấu (II IV) (1) 2 x  v    +  = → x =  A (2)  A A o (1) (2) → vị trí thõa mãn tương ứng M N đường tròn o 2020 = 2018 + → t = 1009T + t2 2T 3029 o  = 2400 → t = 1009T + s = 3 Câu 18: (Chuyên Vinh – 2015) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos ( 2 t +  ) Biết o chu kì, khoảng thời gian ngắn hai lần liên tiếp vật cách vị trí cân khoảng m cm với khoảng thời gian hai lần liên tiếp vật cách vị trí cân khoảng n cm, đồng thời khoảng n thời gian mà tốc độ không vượt 2 ( n − m ) cm/s 0,5 s Tỉ số xấp xỉ m A 1,73 B 2,75 C 1,25 D 3,73  Hướng dẫn: Chọn D  −A −m  +n +A x Ta có: T vmax (1) = 0,5 s → v = 2 ( n − m ) = 2 sin  + cos  = → n2 + m2 = A2 (2) o T = s → t = o HDedu - Page 13 o (2) vào (1) → n n = 3,73 = 0, 26 m m T tỉ số quãng đường lớn quãng đường nhỏ mà chất điểm Khoảng thời gian t gần giá trị sau đây? A 0,03T B 0, 2T C 0,06T D 0, 41T  Hướng dẫn: Chọn C Ta có:   t    t  S sin 1800  = max 2  Smax = A sin    T  2A       Smax   Smin  o  →  →  =  + 1 − 2A   2A    S = A 1 − cos  t   cos 1800 t  = − Smin        T  2A    Câu 19: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Trong khoảng thời gian t  2  3S   S  Smax = 3Smin →   + 1 −  = → Smin = 0, A 2A   2A   S   0,  arc sin   arc sin   t  2A  =    0, 065 = o T 1800 1800 Câu 20: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với chu kì T Tại thời điểm t = , vật qua vị trí cân theo chiều dương trục Ox Tại thời điểm t = 2018, 75 s, vận tốc tức thời v li độ x vật thõa mãn hệ thức v = − x lần thứ 2019 Lấy  = 10 Chu kì dao động vật A 0,1 s B s C 2,5 s D s  Hướng dẫn : Chọn B o −A − 2  A + 2 A +A x t0 Ta có : o v = − x → v ngược dấu với x (I III) (1) o o o o 2 x  v    +  = → x =  A (2)  A A (1) (2) → vị trí thõa mãn tốn biểu diễn M N đường tròn 2019 = 2018 + → t = 1009T + t1 3T  = 1350 → t = 1009T + = 2018,75 s → T = s HDedu - Page 14 ... qua vị trí có li độ đặc biệt o a = 900 −vmax 120 0 1 350 − − 2 vmax − − 300 − 12 vmax 1800 2 t =  A − 12 A A + + 12 A O 2 A + + 12 vmax 21 00 + 2 25 2  Chú ý: + Thời gian để vật hai vị trí tương... lần thứ 20 20 20 19 20 21 20 19 A s B 20 20 s C s D s 12 15  Hướng dẫn: M − 12 A −A +A x N t0 Ta có: o v= 2? ?? x → v x dấu (II IV) (1) 2 x  v    +  = → x =  A (2)  A A o (1) (2) → vị trí... vượt 2? ?? ( n − m ) cm/s 0 ,5 s Tỉ số xấp xỉ m A 1,73 B 2, 75 C 1, 25 D 3,73  Hướng dẫn: Chọn D  −A −m  +n +A x Ta có: T vmax (1) = 0 ,5 s → v = 2? ?? ( n − m ) = 2 sin  + cos  = → n2 + m2 = A2 (2)