4 mặt TRÒN XOAY

Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao MẶT TRỊN XOAY – KHỐI TRỊN XOAY A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF A Câu 2: 10π a 77 C 5π a D π a3 B V = 21600π C V = 20160π D V = 45000π Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a ,vẽ tia Ax phía điểm B cho điểm B cách tia Ax đoạn a Gọi H hình chiếu B lên tia, tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay có diện tích xung quanh A Câu 4: 10π a Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO′ , biết OO′ = 80, O′D = 24, O′C = 12, OA = 12, OB = A V = 43200π Câu 3: B (2 + 2)π a 2 B (3 + 3)π a 2 C (1 + 3)π a 2 D 2π a 2 Cho ba hình tam giác cạnh a chồng lên hình vẽ (cạnh đáy tam giác qua trung điểm hai cạnh bên tam gác dưới) Tính theo a thể tích khối tròn xoay tạo thành quay chúng xung quanh đường thẳng d Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 13 3π a 96 3π a C 11 3π a 96 11 3π a D A Câu 5: B Cho nửa đường tròn đường kính AB = R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt α = CAB gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm α cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A α = 60° Câu 6: VT = VN D α = 30° VT = VN C VT = VN D Đáp án khác B 48π + 7π C 128π + 24π D 144π + 24π Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY X C V = 78 B 136π + 24π A V = Câu 9: Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB A Câu 8: C arctan Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R Hình cầu (S) ngoại tiếp hình trụ trịn xoay (T) có đường cao đường kính đáy hình cầu (S) lại nội tiếp nón trịn xoay (N) có góc đỉnh 60 Tính tỉ số thể tích hình trụ (T) hình nón (N) A Câu 7: B α = 45° ( ) 125 + π ( ) 125 + π 24 B V = D V = ( ) 125 + 2 π 12 ( ) 125 + π Y Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O , AD đường kính đường trịn tâm O Thể tích khối trịn xoay sinh cho phần tơ đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A O H B C D A 23π a 3 126 B π a3 24 C 20π a 3 217 D 4π a 3 27 Câu 10: Cho hình thang vng ABCD có độ dài hai đáy AB = 2a, DC = 4a , đường cao AD = 2a Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB thu khối tròn xoay ( H ) Tính thể tích V khối ( H ) A V = 8π a B V = 20π a C V = 16π a D V = 40π a Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A có AB = 3a, AC = 4a Khi tam giác ABC quay quanh đường thẳng BC ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay A V = π a B V = 96π a C V = 3π a D V = 48π a Câu 12: Cho hình phẳng ( H ) mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng ( H ) quanh cạnh AB cm A F cm D E cm B A V = 79 772π cm B V = cm cm 799π cm C C V = 254π cm3 D V = 826π cm Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao B – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF A 10π a B 10π a C 5π a D π a3 Hướng dẫn giải: Chọn A a 3 Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo hình nón tích Ta có EF = AF tan β = a.tan 30° = 1 a 3 π a3 = V1 = π EF AF = π  a  3   Khi quay quanh trục DF , hình vng ABCD tạo hình trụ tích V2 = π DC BC = π a a = π a Thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF π a3 10 V = V1 + V2 = + π a3 = π a3 9 Câu 2: Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO′ , biết OO′ = 80, O′D = 24, O′C = 12, OA = 12, OB = A V = 43200π Hướng dẫn giải: 80 B V = 21600π C V = 20160π D V = 45000π Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chọn C Cơng thức tính thể tích khối nón cụt V = π h ( R12 + R22 + R1 R2 ) Trong h độ dài đường cao, R1 ; R2 bán kính hai đáy Gọi V1 thể tích khối nón cụt quay hình thang AOO′D quanh trục OO′ Gọi V2 thể tích khối nón cụt quay hình thang BOO′C quanh trục OO′ Khi V = V1 − V2 Ta có V1 = π OO′ ( O′D + OA2 + O′D.OA) = 26880π V2 = π OO′ ( O′C + OB + O′C.OB ) = 6720π Vậy V = V1 − V2 = 26880π − 6720π = 20160π Câu 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a ,vẽ tia Ax phía điểm B cho điểm B cách tia Ax đoạn a Gọi H hình chiếu B lên tia, tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay có diện tích xung quanh A (2 + 2)π a 2 B (3 + 3)π a 2 C (1 + 3)π a 2 D 2π a 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Khi quay quanh tam giác AHB đường gấp khúc AHB vẽ lên mặt trịn xoay Diện tích mặt trịn xoay tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH BH Ta có AH = AB − BH = a HK = AH BH a 3.a a = = AB 2a Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH a 3a 2π S1 = π a = 2 Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH S = π Diện tích mặt trịn xoay cần tìm (3 + 3)a 2π S = S1 + S = Câu 4: 81 Cho ba hình tam giác cạnh a chồng lên hình vẽ (cạnh đáy tam giác qua trung điểm hai cạnh bên tam gác dưới) Tính theo a 3a 2π a = 2 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao a thể tích khối tròn xoay tạo thành quay chúng xung quanh đường thẳng d 13 3π a 96 3π a C Chọn B A 11 3π a 96 11 3π a D B Nếu ba hình tam giác khơng chồng lên thể tích khối trịn xoay V1 = Thể tích phần bị chồng lên V2 = π 3a π 3a ⇒ Thể tích cần tính V = V1 − V2 = 96 11 3π a 96 Hoặc làm sau: Đặt V1 ;V2 ;V3 ;V4 thể tích: khối nón sinh tam giác OAB quay quanh OB , khối trịn xoay sinh hình BCFE; GCHK , khối nón sinh tam giác DEB quay quanh BC Khi đó: Thể tích khối cần tìm là: a2 a a a 11 3π a V = V1 + V2 + V3 = 3V1 − 2V4 = ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅π ⋅ ⋅ = 16 96 Câu 5: Cho nửa đường trịn đường kính AB = R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt α = CAB gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm α cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A α = 60° B α = 45° C arctan D α = 30° Hướng dẫn giải: AC = AB cos α = R.cos α CH = AC.sin α = R.cos α sin α ; AH = AC.cos α = R.cos α Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB V= AH π CH = R cos α sin α 3 Đặt t = cos α ( < t < 1) ⇒ V = R3t (1 − t ) = 8  t + t + − 2t  R t.t ( − 2t ) ≤ R   6   Vậy V lớn t = α = arctan Chú ý: dùng PP hàm số để tìm GTNN hàm f ( t ) = t (1 − t ) 82 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chọn C Câu 6: Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R Hình cầu (S) ngoại tiếp hình trụ trịn xoay (T) có đường cao đường kính đáy hình cầu (S) lại nội tiếp nón trịn xoay (N) có góc đỉnh 60 Tính tỉ số thể tích hình trụ (T) hình nón (N) A VT = VN B VT = VN C VT = VN D VT = VN Hướng dẫn giải: Bài tốn quy hình nón tâm O ngoại tiếp hình vuông ABCD nội tiếp tam giác SEF mà EF / / AB Vì OAB tam giác vng cân nên AB = BC = R Suy π R3  AB  VT = π  BC =    Ta thấy, tâm O hình trịn tâm hình vng ABCD đồng thời trọng tâm tam giác SEF Như vậy, đường cao tam giác SEF SH = 3OH = 3R Trong tam giác EOH (vuông H, EOH = 30° ) Ta có: EH = OH = R Thể tích hình nón 1 VN = π EH SH = π 3R 3R = 3π R 3 π R3 Vậy VT 2 = = VN 3π R Chọn A Câu 7: Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB A 136π + 24π B 48π + 7π C 128π + 24π D 144π + 24π Hướng dẫn giải: Chọn D Khi xoay quanh trục AB thì:  Phần hình vng phía trở thành lăng trụ có bán kính R = 2, chiều cao h = → V1 = π 22.4 = 16π Phần trở thành hình nón cụt với A H R' h 83 K R C Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao h = HK = AK − AH = − = ( ) −1 ; R = R ' AH R = = = → R' = = R AK 3 3  24 −  Áp dụng V = π h ( R + R '2 + RR ' ) = =   π    24 + 136  Vậy V = V1 + V2 =   π   Chọn D Câu 8: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY A V = C V = ( ) 125 + π ( ) 125 + π 24 B V = D V = ( ) 125 + 2 π 12 ( ) 125 + π X Y Hướng dẫn giải: Chọn C  Cách : Khối tròn xoay gồm phần: Phần 1: khối trụ có chiều cao 5, bán kính đáy 125π 5 tích V1 = π ×   × = 2 Phần 2: khối nón có chiều cao bán kính đáy tích 2   125π = V2 = × π ×   × 12   Phần 3: khối nón cụt tích V3 = π × ( ) ×   −1 ( ) 2    5  125 2 − π + + × =        2 24   Vậy thể tích khối trịn xoay V = V1 + V2 + V3 =  Cách : 84 ( ) ( ) 125π 125π 125 2 − π 125 + π + + = 12 24 24 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Thể tích hình trụ tạo thành từ hình vng ABCD VT = π R h = 125π Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ hình vng XEYF 125π V2 N = π R h = Thể tích khối tròn xoay tạo thành từ tam giác XDC 125π VN ′ = π R h = 24 Thể tích cần tìm V = VT + V2 N − VN ′ = 125π Câu 9: 5+4 24 Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O , AD đường kính đường trịn tâm O Thể tích khối trịn xoay sinh cho phần tơ đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD A O H B C D A 23π a 3 126 B π a3 24 C 20π a 3 217 D 4π a 3 27 Hướng dẫn giải: Chọn A Khi quay tam giác ABC quanh trục AD khối nón tích là: 1  a  a a 3π = N = π r h = π HC AH = π   3 2 24 Khi quay đường tròn tâm O quanh trục AD khối cầu tích là: 4  a  3π a V = π R = π AO = π   = 3   27 + + −1 72 a b c Thể tích khối trịn xoay cần tìm: ( S ) ⇔ d ( I ; ( ABC ) ) = R ⇔ = 1 + + a2 b2 c 85 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 10: Cho hình thang vng ABCD có độ dài hai đáy AB = 2a, DC = 4a , đường cao AD = 2a Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB thu khối tròn xoay ( H ) Tính thể tích V khối ( H ) A V = 8π a B V = 20π a C V = 16π a D V = 40π a Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi V1 thể tích khối trụ quay hình chữ nhật DCFE quanh trục AB Gọi V2 thể tích khối nón Khi quay ∆BCF quanh trục AB V thể tích khối ( H ) cần tìm V = V1 − V2 = π ( 2a ) 4a − π ( 2a ) 2a = 2 40π a 3 Câu 11: Cho tam giác ABC vng A có AB = 3a, AC = 4a Khi tam giác ABC quay quanh đường thẳng BC ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay A V = π a B V = 96π a C V = 3π a Hướng dẫn giải: Chọn A D V = 48π a A Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC Gọi V1 ,V2 thể tích khối nón tam giác CAH BAH sinh quay quanh trục BC Ta có: AH = 12a 16a 9a ; CH = ; BH = 5 C  12a  16a 768π a Suy V1 = π  =    125 B H  12a  9a 432π a = V2 = π     125 48π a Vậy V = V1 + V2 = A' Câu 12: Cho hình phẳng ( H ) mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng ( H ) quanh cạnh AB 86 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao cm A F cm D E cm B A V = 772π cm cm C cm B V = 799π cm C V = 254π cm3 D V = 826π cm Hướng dẫn giải: A F 3cm 1cm E 4cm 3cm D O 6cm 7cm C B Vật thể tròn xoay tạo gồm hai phần: V1 phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc ODCB quanh trục AB tạo hình trụ có chiều cao h = ( cm ) ; bán kính đáy R1 = ( cm ) V2 phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc AFEO quanh trục AB tạo hình nón cụt có chiều cao h′ = 1( cm ) ; bán kính đáy lớn R = ( cm ) ; bán kính đáy bé r = 3( cm ) Khi thể tích khối trịn xoay là: V = V1 + V2 = π R12 h + Chọn A 87 π h′ (R + r + R.r ) = π 49.5 + π (4 + 32 + 4.3 ) = 772π cm ... (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB A 136π + 24? ? B 48 π + 7π C 128π + 24? ? D 144 π + 24? ? Hướng dẫn giải: Chọn D Khi xoay quanh trục AB thì:  Phần hình... 2 − π + + × =        2 24   Vậy thể tích khối tròn xoay V = V1 + V2 + V3 =  Cách : 84 ( ) ( ) 125π 125π 125 2 − π 125 + π + + = 12 24 24 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Thể tích hình... vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A α = 60° Câu 6: VT = VN D α = 30° VT = VN C VT = VN D Đáp án khác B 48 π + 7π C 128π + 24? ? D 144 π + 24? ? Cho hai