Lời giải tham khảo – Vật lý thống kê

LỜI GIẢI THAM KHẢO Bài tập Vật lý thống kê Biên soạn: Triệu Đoan An Sinh viên khóa 44 - Khoa Vật lý Đại học Sư phạm TP.HCM Phiên - Ngày 10 tháng 12 năm 2019 Mục lục Lời nói đầu Một số lưu ý Lịch sử phiên Thống kê Boltzmann 1.1 Tóm tắt công thức 1.2 Lời giải tham khảo Bài tập 1.1: Công thức lượng trung bình độ thăng giáng lượng Bài tập 1.2: Hạt có spin 1/2 từ trường Bài tập 1.3: Khí lý tưởng Bài tập 1.4: Hydrogen khí Bài tập 1.5: Khí lý tưởng trọng trường Bài tập 1.6: Phân bố Maxwell Bài tập 1.7: Khí lý tưởng chiều trường Bài tập 1.8: Dao động tử điều hịa tuyến tính cổ điển Bài tập 1.9: Dao động tử điều hịa tuyến tính lượng tử Bài tập 1.10: Tiến đến nhiệt độ âm - Sự đảo ngược mật độ trạng thái Bài tập 1.11: Nhiệt độ tới hạn mức lượng cao Bài tập 1.12: Hiểu chỉnh thể tích khí lý tưởng Bài tập 1.13: Hiệu chỉnh áp suất khí lý tưởng Bài tập 1.14: Chất rắn Einstein Bài tập 1.15: Sự trộn lẫn hai hệ khí 5 8 10 12 12 14 17 19 21 22 23 24 25 27 28 Khí lý tưởng lượng tử 2.1 Tóm tắt cơng thức 2.2 Lời giải tham khảo Bài tập 2.1: Điều kiện tiệm cận phân bố lượng tử phân bố cổ điển Bài tập 2.2: Điều kiện tiệm cận phân bố lượng tử phân bố cổ điển Bài tập 2.3: Nhiệt độ Fermi mức lượng Fermi Bài tập 2.4: Hệ fermion suy biến yếu Bài tập 2.5: Mơ hình Fermi hạt nhân nặng Bài tập 2.6: Sao lùn trắng Bài tập 2.7: Điều kiện cân lùn trắng Bài tập 2.8: Khối lượng tới hạn lùn trắng Bài tập 2.9: Điều kiện số chiều ngưng tụ Bose-Einstein Bài tập 2.10: Điều kiện nhiệt độ thể tích ngưng tụ Bose-Einstein Bài tập 2.11: Hiện tượng siêu chảy Bài tập 2.12: Nhiệt độ bề mặt Mặt Trời Bài tập 2.13: Nhiệt độ bề mặt Trái Đất Bài tập 2.14: Hiệu ứng nhà kính Bài tập 2.15: Bức xạ vũ trụ 30 30 32 32 34 34 35 38 39 40 41 44 45 46 47 47 48 50 Lời giải tham khảo đề thi 54 3.1 Đề thi học phần - học kỳ - năm học 2018-2019 54 3.2 Đề thi kết thúc học phần - học kỳ - năm học 2018-2019 58 Lời nói đầu Gửi bạn đọc, Tôi Triệu Đoan An, sinh viên lớp Sư phạm Vật lý A - khóa 44, thuộc khoa Vật lý - trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Nhằm tăng tính hiệu cho q trình lưu trữ tài liệu học tập, tơi biên soạn lại lời giải phần tập thuộc học phần Vật lý thống kê - môn học vô tâm đắc học kỳ 2, năm học 2018-2019 Đồng thời, biết khan nguồn tài liệu tiếng Việt gần gũi hỗ trợ tốt học phần này, điều chỉnh lại cách viết để bạn sinh viên học học phần Vật lý thống kê có thêm nguồn tư liệu tham khảo, khắc phục cho trình trạng "đói-khát" tơi học kỳ trước Mong tài liệu nhỏ giúp bạn sinh viên nguồn tham khảo bám sát tốt với chương trình học Tơi xin chân thành cảm ơn thầy Phan Ngọc Hưng - giảng viên môn Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, hướng dẫn tơi tiếp cận môn Vật lý thống kê cách hiệu có góp ý trao đổi quý giá với vấn đề mà gặp phải trình học tập Quyển tài liệu viết gần tất kiến thức tâm huyết mà nhận từ thầy học kỳ trước, đến vẹn nguyên Em xin cảm ơn thầy nhiều! Tuy nhiên, tơi nghĩ ln có lỗ hổng kiến thức ln tồn sai sót khơng thể tránh khỏi q trình soạn thảo Tơi mong nhận góp ý thảo luận từ bạn đọc, dù góp ý nhỏ nhất, thông qua email: kehy.antrieu@gmail.com Tôi xin chân thành cảm ơn bạn đọc nhiều! Tác giả Để sử dụng hiệu tài liệu tham khảo Nhằm giúp bạn đọc sử dụng tài liệu tham khảo cách hiệu quả, đồng thời tránh tình khơng hay xảy ra, tác giả xin lưu ý bạn đọc số điều sau: Giới hạn trách nhiệm tác giả nội dung tài liệu Nội dung tài liệu hoàn tồn tác giả tự tổng hợp, khơng theo u cầu cá nhân, tổ chức khác Tài liệu viết chỉnh sửa tác giả, chưa qua kiểm duyệt giảng viên hay cá nhân, tổ chức Với lượng kiến thức thời lượng tiếp xúc môn học học kỳ, tác giả đảm bảo tính xác tuyệt đối cho nội dung tài liệu Vì vậy, mong bạn đọc sử dụng tài liệu với mục đích tham khảo, khơng nên dùng làm sở cho việc làm kiểm tra, thi thảo luận chuyên môn Tác giả không chịu trách nhiệm cho trường hợp sử dụng tài liệu ngồi mục đích tham khảo Tuy nhiên, tác giả mong nhận góp ý thảo luận từ bạn đọc để giúp hoàn thành tài liệu tốt Tài liệu khơng dùng cho mục đích thương mại Tác giả soạn tài liệu khơng mục đích lợi nhuận Vui lịng khơng in ấn, chép để bán hay phục vụ cho hoạt động thương mại tương tự Tác giả buồn biết bạn làm chuyện Một số lưu ý trình tiếp nhận nội dung: - Một số cách ký hiệu, thuật ngữ tác giả sử dụng khác với nguồn tài liệu khác Bạn đọc nên thường xuyên so sánh, đối chiếu với nguồn tài liệu tham khảo khác - Tác giả thường sử dụng số quy trình chung giải tốn để thống quy trình giải Điều tạo số bước thừa Bạn đọc hồn tồn bỏ qua bước thừa làm theo quy trình riêng bạn - Một số câu hỏi tác giả chưa có câu trả lời hợp lý Tác giả đóng góp vào hướng giải khơng đưa câu trả lời cuối Bạn đọc suy nghĩ đóng góp ý tưởng cho tác giả Tài liệu cập nhật cần Nhằm khắc phục lỗi sai bổ sung nội dung, tài liệu cập nhật thay đổi đủ lớn Bạn đọc theo dõi tải tài liệu Trang bìa lần cập nhật có ghi rõ phiên ngày cập nhật Xin cảm ơn bạn đọc ý! Tác giả Lịch sử phiên Phiên - Ngày 10 tháng 12 năm 2019 Phiên nhận góp ý từ bạn Nguyễn Đăng Khoa - lớp Sư phạm Vật lý B - K43 bạn Phan Quang Sơn - lớp Sư phạm Vật lý B - K42 vấn đề sau: Bài tập 2.5: Cách lập luận phiên cũ đưa bậc suy biến nucleon g = Tuy nhiên, lập luận chặt chẽ đưa kết g = Bài tâp 2.6: Phiên cũ có sai sót cho ion Silic fermion, dẫn đến cách chứng minh hệ khí ion khí lý tưởng cổ điển có vấn đề Các điểm không hợp lý tác giả sửa lại phiên lần Xin chân thành cảm ơn hai bạn theo dõi đóng góp để tác giả hoàn thành tài liệu tốt Phiên lần cập nhật thêm đề thi học phần kết thúc học phần học kỳ - năm học 2018-2019 phần Phiên - Ngày 30 tháng 11 năm 2019 Phiên tài liệu gồm phần tóm tắt cơng thức phần lời giải tham khảo tập chương quan trọng học phần Vật lý thống kê, tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm TP.HCM, phụ trách Cụ thể gồm số nội dung quan trọng sau: • Chương - Thống kê Boltzmann (theo chương trình học): Cơng thức hàm tổng thống kê đại lượng tắc Mơ hình khí lý tưởng hiệu chỉnh, mơ hình đơn giản khí Trái Đất, phân bố Maxwell, mơ hình chất rắn Einstein Ý nghĩa entropy nhiệt độ thống kê Vật lý • Chương - Khí lý tưởng lượng tử (theo chương trình học): Cơng thức số chiếm đóng trung, hàm mật độ trạng thái công thức tổng số hạt, tổng lượng thống kê khí lý tưởng lượng tử Điều kiện tiệm cận với thống kê Boltzmann Phương pháp sử dụng thống kê Fermi-Dirac thống kê Bose-Einstein Mơ hình Fermi cho hạt nhân nặng, mơ hình lùn trắng Điều kiện ngưng tụ Bose-Einstein, tượng siêu chảy Mơ hình khí Trái Đất, xạ vũ trụ • Thống quy trình giải tập: Bạn đọc đối chiếu tập chương để rút quy trình chung tác giả Thống kê Boltzmann 1.1 1.1.1 Tóm tắt công thức Hàm tổng thống kê xác suất Hàm tổng thống kê xác suất để hạt trạng thái ( ) (ký hiệu β = 1/kT ) e−βE Z= P = ( ) eβE Z Trường hợp hệ có lượng gián đoạn E (lượng tử) không suy biến: e−βE Z= P = ( ) eβE Z Trường hợp hệ có lượng gián đoạn E (lượng tử) với bậc suy biến g : g e−βE Z= P = ( ) g eβE Z Trường hợp hệ có lượng liên tục (cố điển): Z= 1.1.2 (2π )f e−βE df pdf q dP (E) ≡ dP (p, q) = Các đại lượng tắc Năng lượng tự Helmholtz: F = −kT ln Z Entropy: S=− ∂F ∂T p=− ∂F ∂V Áp suất: Thế hóa học: µ= ∂F ∂N Năng lượng tự do: E=− ∂ ln Z ∂β Thăng giáng lượng: δE = ∂2 ln Z ∂β Nhiệt dung đẳng tích: CV = ∂E ∂T 1/2 e−βE df pdf q × Z (2π )f 1.1.3 Công thức Stirling Đối với N thì: √ 2πN N N e−N N ln N − N N ln N N! ln N ! 1.1.4 Hàm Gamma Hàm Gamma định nghĩa tích phân hội tụ sau: +∞ xz−1 e−x dx Γ(z) = Một số tính chất hàm Gamma: Hàm Γ(z) xác định với giá trị z > Γ(z + 1) = z × Γ(z) Γ(1) = , Γ 1.1.5 Γ(n) = n! với n nguyên √ √ π ; Γ = π ; Γ = 2 √ π = Tích phân Gauss Tích phân Gauss: +∞ Γ 2 xn e−ax dx = I(n) = n+1 a− n+1 Ta thường sử dụng kết tích phân sau: +∞ p2 e− 2mkT dp = √ 2πmkT −∞ Trong tài liệu này, số tích phân có dạng tương tự, tơi khơng dùng trực tiếp cơng thức tích phân Gauss mà thực đổi biến để đưa hàm Gamma Lý do: Tơi khơng thuộc cơng thức tính phân Gauss Sau đây, tơi xin trình bày quy trình đổi biến tổng quát sang biến ξ (đọc "xi" - chữ tương đương x, bảng chữ Hy Lạp): ξ = ax2 ⇒ x2 = a−1 ξ n+1 n+1 ⇒ xn+1 = a− ξ n+1 n−1 ⇒ xn dx = a− ξ dξ Tích phân Gauss trở thành: n+1 I(n) = a− × +∞ e−ξ ξ n−1 n+1 dξ = a− × Γ n+1 1.1.6 Hàm lượng giác hyperbolic Công thức định nghĩa khai triển Maclaurine: sinh x = cosh x = sinh x = x = cosh x cosh x = coth x = sinh x = sech x = cosh x = csch x = sinh x ex − e−x x e + e−x ex − e−x ex + e−x ex + e−x ex − e−x x e + e−x x e − e−x x3 x + + 3! 5! x2 x4 =1+ + + 2! 4! x3 2x5 + + =x− 12 x x3 + = + − x 45 x2 5x4 + + =1− 24 x 7x3 + = − + x 360 =x+ Công thức đạo hàm: d (sinh x) = cosh x dx d (cosh x) = sinh x dx d (tanh x) = sech2 x dx d (coth x) = − csch2 x dx d (sech x) = − x sech x dx d (csch x) = − coth x csch x dx 1.2 Lời giải tham khảo Bài tập 1.1 Xét hệ lượng tử có trạng thái ( ) mức lượng tương ứng E cân với hệ điều nhiệt nhiệt độ T a) Viết biểu thức hàm tổng thống kê Z hệ Xét trường hợp tổng quát, trạng thái ( ) có bậc suy biến g Hàm tổng thống kê hệ: g e−βE Z= ( ) b) Chứng tỏ lượng trung bình hệ tính cơng thức: E=− ∂ ln Z ∂β Theo công thức thống kê: P (E ) · E E= ( ) Với P (E ) xác suất tìm thấy hạt trạng thái E , ta có: P (E ) = Z g × e−βE = ⇒E= Z Z Z g E × e−βE ( ) Nhận thấy rằng: E × e−βE = − ∂ e−βE ∂β ⇒E= Z g × ( ) ∂ e−βE ∂β Phép lấy tổng đạo hàm riêng giao hoán nên:   ∂  E= g × e−βE  Z ∂β ( ) Chú ý biểu thức ngoặc hàm tổng thống kê ∂ ∂Z = ln Z Z ∂β ∂β Ta thu điều phải chứng minh: E=− ∂ ln Z ∂β c) Chứng tỏ độ thăng giáng lượng hệ tính công thức: ∂2 ln Z ∂β δE = 1/2 Từ biểu thức xác định nhiệt độ Bose, ta suy thể tích giới hạn để xảy ngưng tụ Bose-Einstein: √ π 2π VB = × √ ×N 2g × ζ 32 Γ 23 2πmkT 2π = λ bước sóng nhiệt de Broglie hạt Như vậy, để xảy 2πmkT ngưng tụ Bose-Einstein, ta cần phải nén đẳng nhiệt hệ đến thể tích tự trung bình cho hạt vào cỡ bước sóng nhiệt de Broglie hạt: Chú ý √ VB ∼λ N Bài tập 2.11 Hiện tượng siêu chảy Helium-4 giải thích thơng qua chế ngưng tụ Bose-Einstein Giả sử thí nghiệm, để tạo Helium-4 siêu chảy, người ta trước hết hạ nhiệt độ khí Helium Khi nhiệt độ hạ xuống mức K, khí Helium hóa lỏng có khối lượng riêng ρ = 0.145 g/cm3 Cho biết nguyên tử Helium-4 có spin a) Lúc Helium-4 lỏng có tượng siêu chảy chưa? Hãy tính nhiệt độ Bose Helium-4 lỏng Cho biết ζ(3/2) 2.612 Tương tự câu, ta tìm biểu thức xác định nhiệt độ Bose Helium-4 lỏng (2π )2 TB = 2mk 2πg × ζ 23 Γ N V 2/3 −27 −23 Lấy 2π = 6.626 × 10−34 J.s, √ m ≈ 4mp = 6.69 × 10 kg, k = 1.38 × 10 J/K, g = 1, ζ(3/2) 2.612, Γ(3/2) = π/2 mật độ hạt: m NA N ρNA (0.145 × 106 g/m3 ) (6.02 × 1023 /mol) M = = = = 2.18 × 1028 /m3 V V M g/mol Từ đó, ta tính nhiệt độ Bose Helium-4 lỏng TB ≈ 3.11 K b) Nếu muốn tạo pha siêu chảy Helium-4 cách nén đẳng nhiệt nhiệt độ K, cần phải nén thể tích Helium-4 lần? Dễ thấy nhiệt độ Bose phụ thuộc vào thể tích hệ Muốn hệ xảy ngưng tụ BoseEinstein nhiệt độ K, ta phải nén hệ đến đến nhiệt độ Bose hệ K Gọi VB thể tích Helium-4 ứng với nhiệt độ Bose TB = 3.11 K V thể tích Helium-4 nhiệt độ Bose T = K Ta có hệ số nén: κ= VB = V T TB 3/2 = 3.11 3/2 ≈ 1.5 c) Hãy so sánh kết tính câu a với kết đo thực nghiệm (2.17K) Sự sai khác (nếu có) hai kết có nguyên nhân chủ yếu Kết tính câu a sai khác so với kết đo thực nghiệm (3.11 K = 2.17 K) Ở đây, ta xem Helium-4 lỏng khí Bose lý tưởng ta bỏ qua tương tác nguyên tử Helium-4, vốn không yếu vật chất pha lỏng 46 Bài tập 2.12 Thông lượng xạ từ Mặt Trời đến Trái Đất đo 0.14 J/cm2 s Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời d⊕ = 1.5 × 1013 cm Bán kính mặt trời R = × 1010 cm Trong mơ hình đơn giản, ta xem Mặt Trời vật đen tuyệt đối cân nhiệt Hãy tìm nhiệt độ bề mặt Mặt Trời với số liệu cho Gọi T nhiệt độ bề mặt Mặt Trời Công suất xạ toàn phần Mặt Trời phát ra: P = σ × T × S = 4πσT R2 Gọi R⊕ bán kính Trái Đất Vì khoảng cách từ Mặt Trời đến Trái Đất lớn so với kích thước Trái Đất nên góc khối Mặt Trời nhìn Trái Đất lấy gần đúng: Ω= πR⊕ d2⊕ Công suất xạ mà Trái Đất nhận phần lượng xạ toàn phần Mặt Trời phát ra, liên hệ bởi: P⊕ = πσST R2 R⊕ Ω ×P = 4π d2⊕ Một nửa bề mặt Trái Đất nhận xạ nên quang thông Trái Đất nhận được: σST R2 P⊕ E⊕ = = 2πR⊕ 2d2⊕ Suy biểu thức xác định nhiệt độ bề mặt Mặt Trời: T = 2E⊕ d2⊕ πσR2 Lấy E⊕ = 1400 J/m2 s, d⊕ = 1.5 × 1011 m, σ = 5.67 × 10−8 J/K m2 s, R = × 108 m, ta nhiệt độ bề mặt Mặt Trời T ≈ 5200 K Bài tập 2.13 Ta xét mơ hình đơn giản, Trái Đất Mặt Trời xem vật đen tuyệt đối, đặt không gian trống rỗng (không tương tác trao đổi với vật thể khác) Đồng thời, ta giả sử rằng, trao đổi nhiệt bề mặt Trái Đất khí đủ tốt để bề mặt Trái Đất khí đồng Biết nhiệt độ bề mặt Mặt Trời T = 5800 K, bán kính Mặt Trời R = × 108 m, bán kính Trái Đất R⊕ = 6.4 × 106 m, khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời d⊕ = 1.5 × 1011 m = AU a) Tính cơng suất xạ mà Trái Đất nhận từ Mặt Trời Cơng suất xạ tồn phần Mặt Trời phát ra: P = σ × T × S = 4πσT R2 Vì khoảng cách từ Mặt Trời đến Trái Đất lớn so với kích thước Trái Đất nên góc khối Mặt Trời nhìn Trái Đất lấy gần đúng: Ω= πR⊕ d2⊕ Công suất xạ mà Trái Đất nhận phần lượng xạ toàn phần Mặt Trời phát ra, liên hệ bởi: P+ = πσT R2 R⊕ Ω ×P = 4π d2⊕ 47 b) Tính nhiệt độ bề mặt Trái Đất Gọi T⊕ nhiệt độ cân bề mặt Trái Đất Ngoài nhận nhiệt, mặt đất đồng thời xạ nhiệt với công suất xạ: P− = σ × T⊕4 × S⊕ = 4πσT⊕4 R⊕ Bề mặt Trái Đất trạng thái cân nhiệt công suất nhận công suất xạ, tức: πσT R2 R⊕ = 4πσT⊕4 R⊕ d⊕ Từ suy biểu thức nhiệt độ cân bề mặt Trái Đất: R ≈ 280K 2d⊕ T⊕ = T Tức nhiệt độ bề mặt Trái Đất vào khoảng 7◦ C Điều không phù hợp với thực tế Bài tập 2.14 Trong khí Trái Đất có chứa nước số loại khí có khả hấp thụ mạnh ánh sáng vùng hồng ngoại xa Các khí nguyên nhân gây nên hiệu ứng nhà kính Ta xét mơ hình đơn giản: khí nhà kính tạo thành lớp mỏng bao quanh Trái Đất Bức xạ Mặt Trời chủ yếu vùng tử ngoại xuyên qua lớp đến bề mặt Trái Đất Bức xạ nhiệt bề mặt Trái Đất chủ yếu vùng hồng ngoại bị lớp khí nhà kính hấp thụ hồn tồn Lớp khí bị nung nóng phát xạ theo tất phương a) Chứng tỏ có lớp khí nhà kính bao quanh, lượng nhiều bề mặt Trái Đất nhận gấp đôi so với khơng có lớp khí Gọi PS công suất nhiệt Trái Đất nhận từ Mặt Trời, công suất nhiệt bề mặt Trái Đất nhận khơng có lớp khí nhà kính Gọi P1 cơng suất xạ lớp khí nhà kính Gọi PE cơng suất xạ bề mặt Trái Đất Xét lớp khí nhà kính: Lớp khí hấp thụ xạ nhiệt PE từ bề mặt Trái Đất xạ nhiệt P1 theo phương (ra Trái Đất quay lại mặt đất) Ở trạng thái cân bằng, ta có: P1 = PE Xét Trái Đất: Mặt đất hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời P0 phần xạ nhiệt từ lớp khí P1 /2, đồng thời xạ nhiệt PE Ở trạng thái cân bằng, ta có: PS + P1 = PE Từ hai phương trình trên, ta dễ dàng suy ra: P1 = 2PS 48 Tổng nhiệt lượng bề mặt Trái Đất nhận được: P = PS + = 2PS P1 Như vậy, công suất nhiệt bề mặt Trái Đất nhận có lớp khí nhà kính cao gấp lần so với khơng có lớp khí b) Tính nhiệt độ trung bình bề mặt Trái Đất có lớp khí nhà kính (sử dụng số liệu trước) Từ cân nhiệt bề mặt Trái Đất câu trước: πσT R2 R⊕ = 4πσT⊕4 R⊕ P+ = P− ⇒ d⊕ ⇒ T0 = T R 2d⊕ Ta nhận thấy tổng công suất nhiệt bề mặt Trái Đất nhận tăng lên η lần √ nhiệt độ cân bề mặt Trái Đất tăng η lần Như vậy, nhiệt độ cân bề mặt Trái Đất lúc là: √ T = T0 ≈ 333K Nhiệt độ vào khoảng 60◦ C c) Thực tế, nhiệt độ trung bình bề mặt Trái Đất khơng cao kết tính toán câu b Hãy thử đưa giả thiết tượng xảy để giải thích chênh lệch Trong mơ hình này, xem xạ mặt trời chiếu đến Trái Đất khơng bị lớp khí hấp thụ, mà bị mặt đất hấp thụ hoàn toàn Thực tế, phần xạ từ Mặt Trời chiếu đến mặt đất bị khí hấp thụ để tạo tầng Ozone (phản ứng chuyển hóa oxygen thành ozone cần lượng từ tia cực tím để ion hóa oxy) Phần lượng đáng kể Nếu khí vùng bị thủng tầng Ozone nóng người phải chịu tác động tiêu cực tia tử ngoại, chứng tỏ tầng Ozone ngăn lượng lớn lượng xạ đến mặt đất phát xạ khỏi Trái Đất Nếu bỏ phần lượng bề mặt Trái Đất nhận lượng nhiệt thấp hơn, nhiệt độ cân khơng q lớn tính tốn d) Hãy thử xem mơ hình có n lớp khí nhà kính câu trên, nhiệt độ bề mặt tương ứng hành tinh tăng so với nhiệt độ bề mặt lớp khí nhà kính? Ta đánh số lớp khí từ xa bề mặt Trái Đất đến gần bề mặt Trái Đất 1, 2, 3, , n Gọi Pi công suất xạ lớp khí thứ i Để đồng mặt đất với lớp khí, ta đánh số n + cho "lớp khí" mặt đất, hấp thụ nhiệt từ lớp khí thứ n xạ nhiệt PE = Pn+1 49 Xét trạng thái cân lớp khí thứ i i = 2; n , ta có: 1 Pi = Pi−1 + Pi+1 2 Điều chứng tỏ dãy số {Pi } với i = 1; n + cấp số cộng Gọi ∆P công sai cấp số cộng này, biểu thức số hạng tổng quát viết: Pi = P1 + (i − 1)∆P Xét cân lớp khí thứ i = 1: 1 P1 = P2 = P1 + ∆P ⇒ ∆P = P1 2 Biểu thức số hạng tổng quát trở thành: Pi = iP1 Xét cân "lớp khí" mặt đất, tức lớp khí thứ i = n + 1: PE = Pn+1 = PS + n+1 P1 = PS + ⇔ ⇔ P1 = 2PS Pn n P1 Biểu thức số hạng tổng quát xác định: Pi = 2iPS Công suất nhiệt mà mặt đất nhận được: P = Pn + PS = (n + 1)PS Như vậy, có n lớp khí bao quanh hành tinh nhiệt lượng mà bề mặt hành tinh nhận tăng gấp n + lần so với khơng có lớp khí Đồng thời, nhiệt độ bề √ mặt hành tinh tăng gấp n + lần so với khơng có lớp khí Hiểu cách đơn giản hơn: Mỗi lớp khí tích trữ lượng đóng vai trò Mặt Trời phát lượng đến mặt đất Bài tập 2.15 Sự tồn xạ vũ trụ tiên đoán lý thuyết Big Bang G Gamow năm 1948 ghi nhận thực nghiệm lần đầu A Penzias R Wilson năm 1964 (hai ông trao giải Nobel năm 1978 cho phát này) Bức xạ vũ trụ xạ điện từ (photon) có mặt khắp nơi vũ trụ giống theo hướng khơng gian, với phổ phát xạ có dạng phổ phát xạ vật đen tuyệt đối Cho biết nhiệt độ vũ trụ 2.7 K 50 a) Chứng minh số trạng thái tương ứng photon có tần số góc khoảng ω → ω + dω tính theo cơng thức: V ω dω π c3 dΩ(ω) = Số trạng thái tương ứng photon có độ lớn xung lượng p → p + dp là: dΩ(p) = 4πV g (2π) Ta thực đổi biến với p = p2 dp ω lưu ý g = photon, thu được: c V ω dω π c3 dΩ(ω) = Hàm mật độ trạng thái theo ω: D(ω) = V ω π c3 b) Xem xạ vũ trụ tuân theo phân bố Planck, tính mật độ photon vũ trụ Cho ζ(3) 1.202 Photon không tồn trạng thái liên kết nên hóa học µ = Tổng số hạt: +∞ +∞ V n(ω) × D(ω) × dω = π c N= ω e kT − ω kT Đặt ξ = ⇒ω=ξ ⇒ ω3 = ξ kT kT ⇒ ω dω = ω dω kT ξ dξ Ta tiếp tục: V N= π kT c +∞ ξ dξ V = ξ e −1 π kT c × ζ(3)Γ(3) Suy mật độ số hạt: N ζ(3)Γ(3) = V π2 kT c = 1.202 · (1.38 × 10−23 J/K) (2.7 K) π2 (1.055 × 10−34 J.s) (2.998 × 108 m/s) 51 ≈ × 108 /m3 c) Hãy tính mật độ lượng W = E/V xạ vũ trụ Cho ζ(4) = π /90 1.0823 Tổng lượng: +∞ +∞ V n(ω) × D(ω) × ω × dω = π c E= ω 0 kT kT ω ⇒ω=ξ ⇒ ω4 = ξ Đặt ξ = kT ⇒ ω dω = ω dω kT e kT − ξ dξ Ta tiếp tục: V E= π +∞ kT c × kT × ξ dξ V = × ζ(4)Γ(4) × ξ e −1 π kT c × kT Suy mật độ lượng: W = E ζ(4)Γ(4) = V π2 kT c × kT ≈ × 10−14 J/m3 ≈ 0.25 M eV /m3 d) Cho trình dãn nở vụ trụ thuận nghịch chuẩn tĩnh: dE = −pdV Xem vũ trụ khối cầu có bán kính R Sử dụng cơng thức p = W/3, suy phương trình vi phân dW/W = −4dR/R, từ chứng tỏ W = C/R4 với C số Biểu thức lượng theo mật độ lượng: E = W × V ⇒ dE = dW × V + W × dV Mặt khác, ta có: dE = −pdV = − W dV Đồng hai biểu thức trên, ta thu được: dW dV dR =− = −4 W V R Lấy nguyên hàm hai vế: ln W = −4 ln R + ln C = ln Từ suy ra: W = 52 C R4 C R4 e) Kết hợp định luật Stefan-Boltzmann với kết trên, suy tích số RT khơng đổi Xem vũ trụ vật đen xạ lượng, theo định luật Stefan-Boltzmann, ta có lượng xạ khoảng thời gian dt: dE = σT × 4πR2 × dt Sự xạ lượng khỏi bề mặt thời điểm nguyên nhân làm cho vũ trụ dãn nở vật chất chiếm khoảng khơng gian Vì vậy, ta viết dE dạng: dE = pdV = C × 4πR2 dR R4 Đồng hai biểu thức trên, ta thu được: RT = C dR × σ dt Nếu tỷ số dR/dt số, tức vũ trụ dãn nở theo thời gian ta đến kết luận tích RT số f) Giả sử thể tích vũ trụ tăng lên lần, nhiệt độ vũ trụ bao nhiêu? √ Thể tích vũ trụ tăng lần tức kích thước vũ√trụ tăng lần Với hệ thức RT = const, ta dễ dàng suy nhiệt độ vụ trụ giảm lần, tức 2.14 K 53 Lời giải tham khảo đề thi 3.1 Đề thi học phần - học kỳ - năm học 2018-2019 Xét khí oxy khí theo mơ hình khí lý tưởng lưỡng ngun tử Ở điều kiện nhiệt độ phòng 300 K áp suất atm, hàm tổng thống kê phân tử oxy O2 tính theo cơng thức: Z1 = Ztrans × Zrot × Zvib × Ze đó, Ztrans , Zrot , Zvib Ze hàm tổng thống kê ứng với chuyển động tịnh tiến khối tâm, chuyển động quay, chuyển động dao động cấu trúc điện tử phân tử Năng lượng chuyển động tịnh tiến khối tâm phân tử có dạng E = p2 /2m m khối lượng phân tử O2 Hãy chứng minh công thức hàm tổng thống kê ứng với chuyển động khối tâm phân tử: Ztrans = V vq h vq = 2πmkT h số Planck √ thể tích lượng tử phân tử, k số Boltzmann, Năng lượng tịnh tiến khối tâm phân tử khí oxy khơng gian: E= p2x + p2y + p2z p2 = 2m 2m Giả sử hệ khí oxy bị nhốt vùng khơng gian tích V Hàm tổng tống kê phân tử oxy ứng với chuyển động khối tâm: +∞ Ztrans = h e−βE d3 pd3 q +∞ = h +∞ p2 x − 2mkT e dpx −∞ √ = 3× 2πmkT h e −∞ +∞ p2 y − 2mkT p2 z e− 2mkT dpz dpy −∞ dxdydz V V ×V = vq Ở nhiệt độ phịng, ta tính gần hàm tổng thống kê quay phân tử O2 tích phân: +∞ Zrot = (2l + 1)e−l(l+1)βε dl ε số đặc trưng cho lượng quay phân tử O2 Hãy tính tích phân để tìm biểu thức hàm tổng thống kê Zrot 54 kT kT χ ⇒ (2l + 1)dl = dχ ε ε Đặt χ = l(l + 1)βε ⇒ l2 + l = Ta tính tích phân Zrot : +∞ Zrot kT = 2ε e−χ dχ = kT kT × Γ(1) = 2ε 2ε Điều chỉnh máy đo để lượng mức dao động 0, hàm tổng thống kê dao động phân tử O2 tính tổng thống kê trạng thái dao động: +∞ e−nβ Zvib = ω n=0 ω tần số dao động phân từ O2 Sử dụng cơng thức tính tổng + x + x2 + x3 + = 1/(1 − x), tính tích phân để tìm biểu thức hàm tổng thống kê Zvib Hàm tổng thống kê dao động phân tử oxy tính: +∞ e−nβ Zvib = ω = + e−β ω + e−2β ω + e−3β ω + = n=0 1 − e−β ω Cho biết nhiệt độ đặc trưng cho chuyển động quay O2 2.08 K nhiệt độ đặc trưng cho dao động O2 2274 K Hãy tính giá trị Zrot Zvib nhiệt độ phịng 300 K, từ suy ta bỏ qua dao động phân tử O2 nhiệt độ phòng (Nhiệt độ đặc trưng cho chuyển động quay định nghĩa Trot = ε/k nhiệt độ đặc trưng cho dao động định nghĩa Tvib = ω/k) Từ công thức định nghĩa nhiệt độ đặc trưng cho chuyển động quay dao động, ta tìm ε = kTrot ω = kTvib Khi đó, hàm tổng thống kê ứng với hai chuyển động viết lại tính tốn: 300 K T = ≈ 72 2Trot × 2.08 K 1 = 2274 ≈ Tvib = − e− 300 − e− T Zrot = Zvib Như vậy, ta bỏ qua dao động phân tử oxy hàm tổng thống kê phân tử oxy nhiệt độ phòng Lưu ý hàm tổng thống kê tích hàm tổng thống kê ứng với chuyển động cấu trúc điện tử theo đề đề cập Từ kết trên, chứng minh công thức hàm tổng thống kê hệ khí O2 : Z= N! V × Zrot × Ze vq N Vì phân tử khí oxy không phân biệt nên hàm tổng thống kê hệ khí oxy: Z= Z1N = × N! N! V × Zrot × × Ze vq 55 N = N! V × Zrot × Ze vq N Cho biết Ze = 3, chứng minh phương trình trạng thái khí lý tưởng hệ là: pV = N kT Năng lượng tự Helmholtz hệ: F = −kT ln Z = kT ln N ! − N kT ln V − N kT ln Zrot × Ze vq Vì Zrot , Ze vq khơng phụ thuộc vào thể tích hệ khí nên áp suất hệ: p=− N kT ∂F = ∂V V Ta thu phương trình trạng thái hệ là: pV = N kT Từ phương trình trạng thái câu 6, tính giá trị mật độ phân tử oxy bề mặt Trái đất Từ phương trình trạng thái khí lý tưởng vừa tìm được, ta suy mật độ phân tử oxy: n= p N = V kT Vì khí oxy chiếm khoảng 20% thành phần khơng khí nên theo định luật Dalton, áp suất riêng phần khí oxy bề mặt Trái đất p = 0.2p0 Lấy p0 = atm ≈ 105 N/m2 , k = 1.38 × 10−23 J/K T = 300 K, ta mật độ khí oxy bề mặt Trái đất: n ≈ 4.8 × 1024 /m3 Từ hàm tổng thống kê câu 4, chứng minh cơng thức hóa học hệ khí oxy: µ = −kT ln Sử dụng công thức Stirling: ln N ! tự Helmholtz: V × Zrot × Ze N × vq N ln N − N N F = N kT ln N − N kT − N kT ln 1, ta viết lại hàm lượng V × Zr ot × Ze vq Thế hóa học hệ khí oxy: µ= ∂F = kT ln N + kT − kT − kT ln ∂N 56 V × Zrot × Ze vq = −kT ln V × Zrot × Ze N × vq Tính giá trị thể tích lượng tử phân tử oxy, so sánh với khoảng cách trung bình hai phân tử oxy phòng B106 - ĐHSP TPHCM Lấy gần khối lượng phân tử oxy: m ≈ 32mp , thể tích lượng tử phân tử oxy: vq = = √ h 2πmkT 3 6.626 × 1034 J.s 2π × (32 × 1.67 × 10−27 kg) × (1.38 × 10−23 J/K) × (300 K) ≈ 5.6 × 10−33 m3 Xem phân tử oxy phân bố thể tích V phân tử có khoảng khơng gian tự riêng V /N Xét bậc, ta xem gần đại lượng V /N khoảng cách trung bình λ phân tử oxy Liên hệ với mật độ phân tử oxy, ta được: λ= Xét bậc: V /N = = n 4.8 × 102 /m3 ≈ 5.9 × 10−9 m V ∼ 10−25 m3 , vậy: N V N vq hay λ vq Câu hỏi có phần khơng hợp lý thứ nguyên nên dẫn đến cách xử lý có phần khó hiểu Có lẽ tác giả đề muốn ta so sánh thể tích riêng V /N thể tích lượng tích vq phân tử oxy, khoảng cách trung bình λ bước sóng nhiệt de Broglie λ phân tử oxy Mặt khác, hốn đổi vị trí câu giúp làm mạch lạc lập luận người làm 10 Tính giá trị thể hóa học khí oxy phòng B106 - ĐHSP TPHCM theo đơn vị eV Với k = 1.38 × 10−23 J/K, T = 300 K, N/V = n ≈ 4.8 × 1024 /m3 , Zrot ≈ 72, Ze = vq ≈ 5.6 × 10−33 m−3 , ta tính hóa học khí oxy: µ ≈ −0.59 eV 57 3.2 Đề thi kết thúc học phần - học kỳ - năm học 2018-2019 Trong mạng tinh thể kim loại, electron lớp dễ bị bứt khỏi liên kết với nụt mạng trở thành electron dẫn chuyển động tự kim loại Ta xét khối khí electron dẫn kim loại điển hình đồng nhiệt độ phịng (300K) Trung bình nút mạng tinh thể đồng cho electron dẫn Khối lượng riêng đồng ρ = 8.95 g/cm3 , khối lượng mol đồng M = 63.55 g/mol Chuyển động electron dẫn kim loại đồng phi tương đối tính Chứng minh mật độ electron dẫn kim loại đồng ρ × NA Ne = V M NA số Avogrado, tính giá trị số V /Ne Vì xem đồng kim loại điển hình nên nguyên tử cho electron, dẫn đến mật độ electron mật độ ngun tử đồng: mCu × NA Ne NCu ρ × NA M = = = V V V M Giá trị số V /Ne : M 63.55 g/mol V = = ≈ 1.18 × 10−29 m3 Ne ρ × NA (8.95 g/cm3 )(6.02 × 1023 /mol) Tính giá trị thể tích lượng tử electron nhiệt độ phịng Thể tích lượng của electron: vq = = √ h 2πme kT 3 6.626 × 10−34 J.s 2π × (9.109 × 10−31 kg) × (1.38 × 10−23 J/K) × (300K) ≈ 7.97 × 10−26 m3 Từ kết câu (1) (2), cho biết hệ khí electron dẫn kim loại đồng nhiệt độ phòng nên xét khí lý tưởng cổ điển hay khí lý tưởng lượng tử? Vì sao? V Vì < vq nên ta xem hệ khí electron dẫn kim loại đồng nhiệt độ phịng khí Ne lý tưởng lượng tử Từ công thức hàm mật độ trạng thái theo xung lượng, chứng minh công thức hàm mật độ trạng thái theo lượng electron: D(ε) = 4πV (2me )3/2 ε1/2 h Vì multiplicity hạt độ lớn xung lượng lượng tương ứng nên: dΩ(p) = dΩ(ε) ⇔ D(p)dp = D(ε)dε ⇔ D(ε) = D(p) × 58 dp dε Vì chuyển động electron phi tương đối tính: √ dp p2 ε= ⇒ p = 2me ε ⇒ = 2me dε me 2ε Thay vào, kết hợp với bậc suy biến electron g = 2, ta được: D(ε) = 4πV me = (2me )3/2 ε1/2 2ε h 4πV g × 2mε × h3 Chứng minh cơng thức lượng Fermi hệ khí electron dẫn kim loại đồng: h2 εF = 2me Ne × 8π V 2/3 Giả sử T = 0K, đặt µ0 = µ(T = 0) Khi đó, số chiếm đóng trung bình: n(ε) = với ε > µ0 với ε ≤ µ0 Tổng số hạt: µ0 +∞ n(ε) × D(ε) × dε = N= +∞ 4πV (2me )3/2 ε1/2 dε + h3 µ0 0 × D(ε) × dε 4πV 3/2 (2me )3/2 × µ0 h 3/2 = πV × (2me )3/2 µ0 = Suy mức lượng Fermi: h2 εF = µ = 2me 2/3 Ne × 8π V Giá trị mức lượng Fermi: εF = (6.626 × 10−34 J.s)2 × (9.109 × 10−31 kg) × 8π 1.18 × 10−29 m3 2/3 ≈ 1.13 × 10−18 J ≈ 7.04 eV Tính giá trị nhiệt độ Fermi hệ electron dẫn kim loại đồng: Nhiệt độ Fermi hệ electron dẫn kim loại đồng: TF = εF 1.13 × 10−18 J = ≈ 8.14 × 104 K ∼ 104 K k 1.38 × 10−23 J/K Hãy cho biết hệ khí electron dẫn kim loại đồng xem gần nhiệt độ tuyệt đối khơng? Vì nhiệt độ phịng nhỏ so với nhiệt độ Fermi hệ khí electron dẫn (T = 300 K × 104 K = TF ) nên ta xem gần hệ khí electron dẫn kim loại đồng gần nhiệt độ tuyệt đối 59 Chứng minh công thức lượng trung bình electron dẫn: ε = εF tính giá trị lượng trung bình electron dẫn nhiệt độ phịng Tổng lượng hệ khí electron: εF +∞ 4πV 4πV 5/2 (2me )3/2 ε3/2 dε = (2me )3/2 × εF h h n(ε) × D(ε) × ε × dε = E= 0 Năng lượng trung bình electron: ε= E = εF ≈ 4.22 eV N Tính giá trị vận tốc quân phương electron dẫn v nhiệt độ phòng Vận tốc quân phương lấy từ cơng thức động trung bình: ε = me v ⇒ v2 = 2ε = me × (4.22 eV ) ≈ 1.22 × 108 m/s 9.109 × 10−31 kg Kết gần với vận tốc ánh sáng 10 Hãy so sánh vận tốc quân pường electron dẫn kim loại đồng nhiệt độ phòng với vận tốc quân phương hạt khí lý tưởng cổ điển nhiệt độ Nếu xem electron hạt khí đơn ngun tử cổ điển nhiệt độ phịng có động trung bình kT vận tốc quân phương electron là: u2 = 3kT = me × (1.38 × 10−23 J.s) × (300 K) = 1.17 × 105 m/s 9.109 × 10−31 kg 1.22 × 108 m/s Vận tốc nhỏ so với electron dẫn kim loại đồng nhiệt độ 60 ... Phiên tài liệu gồm phần tóm tắt cơng thức phần lời giải tham khảo tập chương quan trọng học phần Vật lý thống kê, tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm TP.HCM, phụ trách Cụ... ơn thầy Phan Ngọc Hưng - giảng viên môn Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, hướng dẫn tiếp cận môn Vật lý thống kê cách hiệu có góp ý trao đổi quý giá... sinh viên học học phần Vật lý thống kê có thêm nguồn tư liệu tham khảo, khắc phục cho trình trạng "đói-khát" tơi học kỳ trước Mong tài liệu nhỏ giúp bạn sinh viên nguồn tham khảo bám sát tốt với