Đề cương toán 7 học kỳ 2

Tập thể Nhóm LATEX N h´ om LATEX ĐỀ CƯƠNG CƯƠNG ĐỀ TOÁN ◦ LƯU HÀNH NỘI BỘ a b N h´ om LATEX Dự án ĐCHT Lớp Nhóm LATEX N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ A CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN THỐNG KÊ BÀI TOÁN VỀ ĐƠN THỨC VÀ ĐA THỨC 22 Dạng tính giá trị biểu thức đại số 22 Dạng Bài tập đơn thức 25 Dạng Đa thức nhiều biến 27 Dạng Đa thức biến 31 Dạng Tìm nghiệm đa thức biến 32 Dạng Tìm hệ số chưa biết đa thức P (x) biết P (x0 ) = a 42 BÀI TẬP TỔNG ÔN 44 100 CÂU TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ TỔNG HỢP 45 PHẦN HÌNH HỌC 53 A CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 53 B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 58 C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 61 Dạng Các toán liên quan đến tam giác cân, tam giác 61 Dạng Bài tập định lí Pytago tam giác vng 64 Dạng Các toán quan hệ số bất đẳng thức tam giác 68 Dạng Đường trung tuyến tam giác 74 Dạng Đường phân giác tam giác 77 Dạng Đường trung trực tam giác 79 Dạng Đường cao tam giác 80 Dạng Đường cao tam giác 81 BÀI TẬP TỔNG ÔN 83 N h´ om LATEX Dự án ĐCHT Lớp D E Nhóm LATEX 100 CÂU TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ TỔNG HỢP 109 MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN GIỮA KÌ II 128 Đề số 128 Đề số 130 Đề số 131 Đề số 133 MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC CUỐI KÌ II 136 Đề số 136 Đề số 137 Đề số 139 Đề số 141 Đề số 142 Đề số 144 Đề số 146 Đề số 149 Đề số 150 Đề số 10 153 Đề số 11 155 Đề số 12 157 Đề số 13 158 Đề số 14 160 Đề số 15 163 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Dự án ĐCHT Lớp Nhóm LATEX N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang PHẦN ĐẠI SỐ A CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ CÂU Muốn thu thập số liệu thống kê vấn đề cần quan tâm người điều tra cần phải làm cơng việc gì? Trình bày kết thu theo mẫu bảng nào? Lời giải Muốn thu thập số liệu thống kê vấn đề cần quan tâm người điều tra cần phải đến đơn vị điều tra để thu thập số liệu Sau trình bày kết thu theo mẫu bảng số liệu thống kê ban đầu chuyển thành bảng tần số dạng ngang dạng dọc CÂU Tần số giá trị gì? Thế mốt dấu hiệu? Nêu cách tính số trung bình cộng dấu hiệu Lời giải - Tần số giá trị số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu - Mốt dấu hiệu giá trị có tần số lớn bảng “tần số”; kí hiệu M◦ - Cách tính số trung bình cộng dấu hiệu x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + + xk nk N + C2 : Tính theo bảng tần số dạng dọc + C1 : Tính theo cơng thức: X = B1 : B2 : B3 : B4 : Lập bảng tần số dạng dọc (4 cột) Tính tích (x · n) Tính tổng tích (x · n) Tính số trung bình cộng cách lấy tổng tích chia cho tổng tần số (N ) CÂU Thế đơn thức? Bậc đơn thức gì? Cho ví dụ Lời giải - Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến Ví dụ: 2; −3; x; y; 3x2 yz ; - Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số mũ tất biến có đơn thức Ví dụ: Đơn thức −5x3 y z xy có bậc 12 CÂU Thế đơn thức thu gọn? Cho ví dụ Lời giải Đơn thức thu gọn đơn thúc gồm tích số với biến, mà biến nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương Ví dụ: Các đơn thức thu gọn xyz; 5x3 y z ; −7y z ; CÂU Để nhân đơn thức ta làm nào? Áp dụng tính (−2x2 yz) · (0, 5x3 y z ) · (3yz) Lời giải Để nhân hai hay nhiều đơn thức ta nhân hệ số với nhân phần biến loại với Áp dụng: (−2x2 yz) · (0, 5x3 y z ) · (3yz) = (−2 · 0, · 3)(x2 · x3 )(y · y · y)(z · z · z) = −3x5 y z N h´ om LATEX Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp CÂU Thế đơn thức đồng dạng? Cho ví dụ Lời giải Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến Ví dụ: 5x2 y ; x2 y −3x2 y đơn thức đồng dạng CÂU Nêu quy tắc cộng, trừ đơn thức đồng dạng Áp dụng tính : −3x2 yz + x2 yz; 2xy z − xy z Lời giải Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến Ví dụ: ã Å 10 1 x2 yz = −3x2 yz + x2 yz = −3 + x yz 3 ã Å 3 xy z = xy z 2xy z − xy z = − 3 CÂU Có cách cộng, trừ hai đa thức, nêu bước thực cách? Lời giải Có hai cách cộng, trừ hai đa thức : Cách 1: Cộng, trừ theo hàng ngang (áp dụng cho tất đa thức) + B1: Viết hai đa thức cho dạng tổng hiệu, đa thức để ngoặc đơn + B2: Bỏ ngoặc Nếu trước ngoặc có dấu cộng giữ ngun dấu hạng tử ngoặc Nếu trước ngoặc có dấu trừ đổi dấu tất hạng tử ngoặc từ âm thành dương, từ dương thành âm + B3: Nhóm đơn thức đồng dạng + B4: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng để có kết Cách 2: Cộng trừ theo hàng dọc (chỉ áp dụng cho đa thức biến) + B1: Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo luỹ thừa tăng (hoặc giảm) biến + B2: Viết đa thức vừa xếp dạng tổng hiệu cho đơn thức đồng dạng thẳng cột với + B3: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng cột để kết - Chú ý: P (x) − Q(x) = P (x) + [−Q(x)] CÂU Khi số a gọi nghiệm đa thức P (x)? Lời giải Áp dụng: Cho đa thức P (x) = x3 + 7x2 + 7x − 15 Trong số −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; số nghiệm đa thức P (x)? Vì sao? - Nếu x = a, đa thức P (x) có giá trị ta nói a (hoặc x = a) nghiệm đa thức - Áp dụng: Thay số cho vào đa thức, số thay vào đa thức mà đa thức có giá trị nghiệm đa thức Do số nghiệm đa thức P (x) là: −5; −3; N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN THỐNG KÊ BÀI Thời gian làm tập học sinh lớp tính phút đươc thống kê bảng sau: 7 10 6 7 8 11 7 9 8 10 a) Dấu hiệu gì? Số giá trị bao nhiêu? b) Lập bảng tần số? Tìm mốt dấu hiệu? Tính số trung bình cộng? Lời giải a) Dấu hiệu thời gian làm tập học sinh lớp tính phút Số giá trị 40 b) Bảng tần số Giá trị (x) Tần số (n) 7 8 10 10 11 N=40 Mốt dấu hiệu M◦ = · + · + · + · + · 10 + · + 10 · + 11 · = 7, 15 Số trung bình cộng X = 40 BÀI Thời gian giải toán 40 học sinh ghi bảng sau (tính phút) 8 8 10 10 10 10 10 10 12 11 11 12 10 11 10 8 12 11 12 9 a) Dấu hiệu gì? Số dấu hiệu bao nhiêu? b) Lập bảng tần số? c) Nhận xét? d) Tính số trung bình cộng X mốt Lời giải a) Dấu hiệu thời gian giải toán học sinh ghi bảng sau (tính phút) Số giá trị 40 b) Bảng tần số Giá trị (x) Tần số (n) 16 10 11 12 N=40 c) Nhận xét:(có nhiều hướng nhận xét khác chọn cách nhận xét sau) - Giá trị lớn 12 - Giá trị nhỏ - Số giá trị 40 - Giá trị nằm khoảng từ đến 10 · 16 + · + 10 · + 11 · + 12 · = 9, 40 Mốt dấu hiệu M◦ = d) Số trung bình cộng X = N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp BÀI Điểm thi mơn Tốn lớp cho bảng sau: 10 7 8 8 7 10 7 10 8 10 10 a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng tần số c) Tính số trung bình cộng mốt Lời giải a) Dấu hiệu điểm thi mơn Tốn học sinh lớp Số giá trị 40 b) Bảng tần số Giá trị (x) Tần số (n) 3 6 10 N=40 · + · + · + · + · 10 + · + · + 10 · = 6, 40 Mốt dấu hiệu M◦ = c) Số trung bình cộng X = BÀI Thời gian làm tập tốn (tính phút) 30 học sinh ghi lại sau: 10 8 10 9 9 10 10 14 14 8 14 a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng tần số c) Tính số trung bình cộng Lời giải a) Dấu hiệu thời gian làm tập tốn (tính phút) học sinh Số giá trị 30 b) Bảng tần số Giá trị (x) Tần số (n) c) Số trung bình cộng X = 8 10 14 N=30 · + · + · + · + 10 · + 14 · 259 = = 8, 6(3) 30 30 BÀI Điểm kiểm tra tiết mơn tốn lớp thông kê lại bảng đây: Điểm Tân số 3 5 6 9 10 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? b) Tìm số giá trị mốt dấu hiệu? c) Tính số trung bình cộng dấu hiệu (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất) Lời giải a) Dấu hiệu điểm kiểm tra tiết mơn tốn học sinh lớp b) Số giá trị 40 mốt dấu hiệu M◦ = N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp c) Số trung bình cộng dấu hiệu X = · + · + · + · + · + · + · + · + 10 · = 8, 30 BÀI Thời gian hoàn thành loại sản phẩm 60 công nhân cho bảng (tính phút) Thời gian (x) 10 Tân số (n) 2 19 14 N=60 a) Dấu hiệu ần tìm hiểu gì? Có tất giá trị? b) Tính số trung bình cộng Tìm mốt Lời giải a) Dấu hiệu ần tìm hiểu thời gian hoàn thành loại sản phẩm cơng nhân Có tất 60 giá trị b) Số trung bình cộng X = · + · + · + · + · + · 19 + · + 10 · 14 = 7, 60 Mốt M◦ = BÀI Một giáo viên theo dõi thời gian làm tập (thời gian tính theo phút) 30 học sinh (ai làm được) ghi lại sau: 8 9 14 8 10 10 14 8 9 9 10 5 14 a) Dấu hiệu gì? b) Tính số trung bình cộng dấu hiệu c) Tìm mốt dấu hiệu Lời giải a) Dấu hiệu thời gian làm tập (thời gian tính theo phút) học sinh Số giá trị 30 b) Bảng tần số Giá trị (x) Tần số (n) Số trung bình cộng X = 9 10 14 N=30 · + · + · + · + 10 · + 14 · = 8, 30 c) Mốt dấu hiệu M◦ = BÀI Theo dõi điểm kiểm tra học kỳ mơn Tốn học sinh lớp 7A trường THCS, người ta lập bảng sau: Điểm số Tần số 5 8 11 10 N = 45 Dấu hiệu điều tra gì? Tìm mốt dấu hiệu? Tính điểm trung bình kiểm tra học kì học sinh lớp 7A Nhận xét kết kiểm tra học kỳ mơn Tốn bạn lớp 7A Lời giải X: Điểm kiểm tra học kì mơn Tốn học sinh lớp 7A trường THCS Mo = Ta có: Các tích (x · n) 10 25 48 56 88 36 30 Tổng: 293 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Ta có N (x) + Q(x) = P (x) N (x) = P (x) − Q(x) ã Å 1 = x2 + 7x5 − − x + − x + x + − 7x5 4 2 1 = x + 7x5 − − x + − x2 − x − + 7x5 4 ã Å ã Å 2 1 5 + (−x − x) = x − x + 7x + 7x + −4 + − 4 2 N (x) = 14x5 − 2x − Vậy N (x) = 14x5 − 2x − Ƙ Câu (0,5 điểm) Tìm tất giá trị m để đa thức A(x) = x2 − 5mx + 10m − có hai nghiệm mà nghiệm lần nghiệm Lời giải Ta xét A(x) = x2 − 5mx + 10m − = x2 − − 5mx + 10 = x2 − 2x + 2x − − 5m(x − 2) = x(x − 2) + 2(x − 2) − 5m(x − 2) = (x − 2)(x + − 5m) = Khi đó, ta thấy x = x = 5m − hai nghiệm A(x) Để nghiệm gấp lần nghiệm 5m − = hay 6 m = 5m − = hay m = Vậy m = m = giá trị m cần tìm 5 5 ’ cắt AC D Ƙ Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, tia phân giác ABC Cho biết BC = 10cm, AB = 6cm, AD = 3cm Tính độ dài cạnh AC, CD; Vẽ DE vng góc với BC E Chứng minh ABD = BAE BAE cân; Gọi F giao điểm hai đường thẳng AB DE So sánh DE DF ; Gọi H giao điểm BD CF ; K điểm tia đối DF cho DK = DF , I điểm đoạn thẳng CD cho CI = 2DI Chứng minh ba điểm K, H, I thẳng hàng Lời giải Xét tam giác ABC có A = 90◦ , ta có AB + AC = BC ( Định lí Pytago) AC = 102 − 62 = 64 B AC = 8(cm) K Do đó, CD = AC − AD = − = 5(cm) Vì DE vng góc với BC E ’ = DEC ’ = 90◦ DBE Xét ABD vuông A EBD vng E có ’ = EBD ’ (BD tia phân giác ABC) ’ BD cạnh chung ABD nên ABD = EBD (ch - gn) suy BA = BE (cặp cạnh tương ứng) BAE cân B (dhnb) Vì ABD = EBD (cmt) nên AD = DE (cặp cạnh tương ứng) Xét ADF vng A EDC vng E có ’ = EDC ’ (đối đỉnh) AD = DE (cmt) ADF nên ADF = EDC (cgv - gn) suy DF = DC (cặp cạnh tương ứng) ’ = 90◦ suy DC > DE nên DF > DE Xét DEC có DEC E A D C I H F Vì ADF = EDC (cmt) nên AF = EC (cặp cạnh tương ứng) Mặt khác ta có BA = BE BA + AF = BE + EC (tính chất cộng đoạn thẳng) nên BF = BC N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 152 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Xét F BH CBH có ’ = EBD ’ (BD tia phân giác ABC); ’ BF = BC (cmt) BH cạnh chung; ABD nên F BH = CBH (c-g-c) suy F H = CH (cặp cạnh tương ứng) H trung điểm F C Xét F CK có DF = DK (gt), K thuộc tia đối DF nên D trung điểm F K Mặt khác, I thuộc CD có CI = 2DI hay CI = CD kết hợp với D trung điểm F K suy I trọng tâm F CK Hơn nữa, H trung điểm F C nên K, I, H thẳng hàng Đề số 10 Ƙ Câu (2 điểm) Cho đơn thức M = −3x2 yz N = − x2 y z Tính biểu thức T = M · N ; Xác định hệ số bậc T ; Tính giá trị N x = 3; y = −1; z = Lời giải ã ã Å Å 2 · − x2 y z = −27x3 y z · − x2 y z = 6x5 y z 9 b) Hệ số T bậc đơn thức T + + = 21 2 c) Khi x = 3; y = −1; z = ta có N = − x2 y zN = − · 32 · (−1)6 · = −4 9 a) Ta có T = M · N = −3x2 yz Ƙ Câu (2 điểm) Cho hai đa thức: A(x) = −2x4 − 2x3 − 7x − B(x) = 2x4 − 2x2 − 5x − Chứng tỏ x = −1 nghiệm B(x) không nghiệm A(x); Tính G(x) = A(x) + B(x) H(x) = A(x) − B(x) Lời giải Ta có A(−1) = −2(−1)4 − 2(−1)3 − 7.(−1) − = = B(−1) = 2(−1)4 − 2(−1)2 − 5.(−1) − = Do x = −1 nghiệm B(x) không nghiệm A(x) Ta có G(x) = A(x) + B(x) = −2x4 − 2x3 − 7x − + 2x4 − 2x2 − 5x − = −2x4 − 2x3 − 7x − + 2x4 − 2x2 − 5x − = −2x4 + 2x4 − 2x3 − 2x2 + (−7x − 5x) + (−2 − 5) G(x) = −2x3 − 2x2 − 12x − H(x) = A(x) − B(x) = −2x4 − 2x3 − 7x − − 2x4 − 2x2 − 5x − = −2x4 − 2x3 − 7x − − 2x4 + 2x2 + 5x + = −2x4 − 2x4 − 2x3 + 2x2 + (−7x + 5x) + (−2 + 5) H(x) = −4x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + Vậy G(x) = −2x3 − 2x2 − 12x − H(x) = −4x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + Ƙ Câu (3 điểm) Cho ABC vuông A có AB = 3cm; AC = 4cm Tính độ dài cạnh BC; Vẽ đường phân giác BD góc B (D ∈ AC) Từ D vẽ DH⊥BC(H ∈ BC) Chứng minh DH = DA; Tia HD cắt tia BA K Chứng minh ADK = HDC; N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 153 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Chứng minh KD > HD Lời giải B H A C D K Áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABC, ta có BC = √ AB + BC = Xét hai tam giác vuông ABD, HBD có B1 = B2 , cạnh huyền BD chung ⇒ Xét ADK √ 32 + 42 = 5(cm) ABD = ”1 = D ”2 (đối đỉnh), DA = DH, DAK ’ = DHC ’ = 90◦ ⇒ HDC có: D HBD ⇒ DA = DH ADK = HDC (g − c − g) Từ câu c, ta có DK = DC, DC cạnh huyền tam giác vuông DHC nên DC > DH ⇒ DK > DC Ƙ Câu (1 điểm) Cho biết x = nghiệm đa thức f (x) = ax + b(a = 0) Tính giá trị biểu thức b − 2014a a+b Lời giải Vì x = nghiệm đa thức f(x) =ax + b nên 2a + b = ⇒ b = −2a A = Điều kiện a + b = ⇔ a = Khi A = b − 2014a −2a − 2014a = = 2016 a+b a − 2a b − 2014a a+b Ƙ Câu (2 điểm) Facebook website truy cập miễn phí cơng ty Facebook điều hành https://vi.wikipedia.org/wiki/Facebook - cite_note-Growth-1 Người dùng tham gia mạng lưới tổ chức theo thành phố, nơi làm việc, trường học khu vực để liên kết giao tiếp với người khác Mọi người kết bạn gửi tin nhắn cho họ, cập nhật trang hồ sơ cá nhân để thơng báo cho bạn bè biết chúng Khảo sát số sử dụng Facebook ngày học sinh ghi lại sau: 4 3 5 2 3 2 Dấu hiệu gì? Lập bảng tần số tính thời gian sử dụng Facebook trung bình ngày học sinh; Tìm mốt dấu hiệu; Theo thống kê, thời gian sử dụng Facebook trung bình ngày người Việt Nam 2,5 cao thời gian sử dụng Facebook trung bình ngày giới 13% Từ thống kê trên, em có nhận xét việc sử dụng Facebook học sinh ngày nay? Lời giải Dấu hiệu là: thời gian sử dụng Facebook học sinh ngày Ta có bảng tần số sau: Giá trị (x) Tần số (n) 7 n = 40 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 154 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Thời gian sử dụng Facebook trung bình ngày học sinh 0·2+1·6+2·8+3·9+4·7+5·7+7·1 = 2,975 (giờ) 40 2,5 ≈ 2,21 (giờ) (100% + 13%) Nhận xét: Thời gian sử dụng Facebook trung bình ngày học sinh lớn thời gian sử dụng Facebook trung bình ngày giới c) Thời gian sử dụng Facebook trung bình ngày giới Đề số 11 Ƙ Câu (2,0 điểm) Điểm kiểm tra tiết mơn Tốn học sinh lớp 7A ghi lại sau 7 5 10 6 5 6 10 6 9 a) Dấu hiệu gì? b) Hãy lập bảng tần số c) Tìm mốt tính số trung bình cộng Lời giải a) X: Điểm kiểm tra tiết mơn Tốn học sinh lớp 7A b) Bảng tần số Điểm số Tần số 3 10 N = 30 c) Tìm mốt tính số trung bình cộng M0 = 5, M0 = Ta có: Các tích (x · n) Vậy X = 6 30 36 35 24 18 20 Tổng: 179 179 ≈ 5,97 30 Ƙ Câu (2,0 điểm) Thu gọn tìm bậc Å ã Å ã Å ã 2 15 x yz · − yz a) Của đơn thức N = − x5 yz · b) Của đa thức M = x3 − x + 2x2 − − 3x2 + x − x3 + 2 Lời giải Å ã Å ã Å ã 2 15 a) Của đơn thức N = − x yz · x yz · − yz x y z Bậc đơn thức N 14 Thu gọn ta N = b) Của đa thức M = x3 − x + 2x2 − − 3x2 + x − x3 + 2 Thu gọn ta M = −x2 + 3x − Bậc đa thức M N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 155 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Ƙ Câu (2,5 điểm) Cho hai đa thức P (x) = 5x5 + 3x − 4x4 − 2x3 + + 4x2 ; Q(x) = 2x4 − 2x + 3x2 − 2x3 + − x5 a) Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính P (x) + Q(x) c) Tính P (x) − Q(x) Lời giải a) Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến P (x) = 5x5 − 4x4 − 2x3 + 4x2 + 3x + Q(x) = −x5 + 2x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + b) Tính P (x) + Q(x) = 4x5 − 2x4 − 4x3 + 7x2 + x + c) Tính P (x) − Q(x) = 6x5 − 6x4 + x2 + 5x + 25 23 Ƙ Câu (0,5 điểm) Tìm nghiệm đa thức f (x) = |25 − 2x| − Lời giải Ta có f (x) = ⇒ |25 − 2x| = TH1 25 − 2x = ⇒ x = TH2 25 − 2x = −7 ⇒ x = 16 Vậy f (x) có hai nghiệm x = x = 16 Ƙ Câu (3,0 điểm) Cho a) Chứng minh ABC có AB = cm, BC = cm, AC = cm ABC tam giác vuông b) Trên BC lấy điểm D cho BA = BD Từ D vẽ Dx ⊥ BC, Dx cắt AC H Chứng minh ’ BH tia phân giác ABC HBA = HBD, suy c) Tia Dx cắt AB I Chứng minh IH + IB > HD + BC d) Gọi M trung điểm IC, chứng minh ba điểm B, H, M thẳng hàng Lời giải a) Ta có AB = 9; AC = 16; BC = 25 Nhận thấy BC = AB + AC Áp dụng định lí Pitago đảo suy vuông A b) Xét hai tam giác vuông HBA HBD, ta có ® AB = BD (gt) ⇒ HBA = BH : cạnh chung B ABC tam giác D A H C HBD (ch-cgv) M ’ = HBD ÷ (góc tương ứng) Vậy BH tia phân giác ABC ’ Suy ABH I x c) Ta có Xét hai tam giác vng HAI IH + IB = IA + AB + IH HD + BC = BD + DC + HD HDC, ta có HA = HD ⇒ HAI = HDC ⇒ AI = CD ’ = DHC ’ AHI Xét HAI vuông H có IH > AH, mà AH = HD nên IH > HD Ta có IA = CD, AB = BD IH > HD nên IA + AB + IH > CD + BD + HD ⇔ IH + IB > HD + BC N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 156 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp d) Ta có AI = DC ⇒ BI = BC ⇒ IBC cân Vì M trung điểm BC nên BM trung tuyến IBC IBC cân B có BH phân giác, BM trung tuyến nên BH ≡ BM nên suy B, H, M thẳng hàng Đề số 12 Ƙ Câu (1,5 điểm) Kết điểm kiểm tra Toán tổ tổ thuộc lớp 7A ghi lại sau Tổ Tổ 10 10 6 10 Tính điểm trung bình cộng tổ; Có nhận xét kết điểm kiểm tra Toán hai tổ trên? Lời giải Điểm trung bình cộng mơn Tốn tổ là: (6.2 + 7.5 + 8.3) : 10 = 7, Điểm trung bình cộng mơn Tốn tổ là: (2.1 + 4.1 + 5.1 + 6.2 + 9.2 + 10.3) : 10 = 7, Điểm trung bình mơn Tốn tổ tổ Ƙ Câu (2 điểm) Cho đơn thức A = −2a2 x3 y Å ã2 · − by với a, b số Thu gọn cho biết phần hệ số phần biến A; Tìm bậc đơn thức A Lời giải ã2 Å 1 · − by = −8a6 x9 y b2 y = −2a6 b2 x9 y Phần hệ số A −2a6 b2 , phần biến A x9 y Ta có A = −2a2 x3 y Bậc đơn thức A + = 18 Ƙ Câu (2, điểm) Cho hai đa thức P (x) = −7x4 + 11 + 5x − 3x2 Q(x) = 3x2 + 7x4 + x − Tính M (x) = P (x) + Q(x) tìm nghiệm đa thức M (x); Tìm đa thức N (x) cho N (x) = P (x) − Q(x) Lời giải Ta có M (x) = P (x) + Q(x) = 6x + M (x) = ⇔ 6x + = ⇔ x = −1 Vậy M (x) có nghiệm x = −1 Ta có N (x) = P (x) − Q(x) = −14x4 − 6x2 + 4x + 16 2 Ƙ Câu (0, điểm) Đồ thị hàm số y = ax (a = 0) đường thẳng (d) qua điểm A(x0 ; y0 ) mà (x0 + 4) +(y0 − 2) = 0, tìm a vẽ (d) mặt phẳng tọa độ Lời giải ® x0 = −4 2 Ta có (x0 + 4) + (y0 − 2) = ⇔ nên A(−4; 2) y0 = Đồ thị (d) qua A(−4; 2) ⇔ = −4a ⇔ a = − 1 Vậy a = − nên ta có (d) đồ thị hàm số y = − x 2 (d) đường thẳng qua gốc tọa độ O(0; 0) điểm A(−4; 2) nên có đồ thị hình vẽ sau N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 157 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp y −4 −1 O x −1 Ƙ Câu (3, điểm) Cho ’ cắt AB D ABC vuông A, tia phân giác góc ACB Cho biết BC = 15 cm, AC = 12 cm, BD = cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, CD; Vẽ DE vng góc với BC E Chứng minh Chứng minh ACD = ECD CAE cân; DAE cân, so sánh DA DB; Gọi K giao điểm AE CD, điểm M đoạn thẳng BK cho BM = 2M K Điểm M điểm đặc biệt ABE? Giải thích? Lời giải B E M D K A C Ta có BC = 15 cm, AC = 12 cm Theo định lý Pi-ta-go ta có AB = BC − AC = 81 nên AB = cm Mà BD√= cm √ nên AD = − = cm Ta có ACD vuông A nên CD2 = AC + AD2 = 122 + 42 = 160 nên BC = 160 = 10 cm ’ = DCA ’ (vì CD tia phân giác góc Từ giả thiết ta có ACD ECD hai tam giác vng, có góc ECD C) Mà hai tam giác vng có chung cạnh huyền CD nên chúng (g-c-g) Từ phần chứng minh ta có DB = cm nên DA < DB ACD = ECD nên DE = DA suy DAE cân đỉnh D Ta có DA = cm ÷ = ADK ’ nên DK phần giác góc Gọi K giao điểm AE CD mà theo chứng minh ta có EDK D tam giác cân ADE, từ suy K trung điểm AE M đoạn thẳng BK thỏa mãn BM = 2M K mà BK đường trung tuyến tam giác ABE nên M trọng tâm ABE Đề số 13 Ƙ Câu (2, điểm) Cho đơn thức A = −2x2 yz Tính biểu thức C = A.B; B = − x y z 16 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 158 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Xác định hệ số bậc C; Tính giá trị B x = 2, y = −1, z = −2 Lời giải 12 Ta có C = A.B = 16x y z ã Å − x y z = −5x12 y z 13 16 Hệ số C −5, bậc C 12 + + 13 = 32 Tại x = 2, y = −1, z = −2 ta có B = − (−1)3 (−2) = −10 16 Ƙ Câu (2, điểm) Cho hai đa thức P (x) = −5x4 + 2x3 − 6x2 − 5x + Q(x) = 3x4 + 5x3 + 5x2 − 7x − Tính P (x) + Q(x); Tìm đa thức A(x) cho A(x) + Q(x) = P (x) Lời giải Ta P (x) + Q(x) = −2x4 + 7x3 − x2 − 12x − Ta có A(x) + Q(x) = P (x) ⇔ A(x) = P (x) − Q(x) = −8x4 − 3x3 − 11x2 + 2x + 10 Ƙ Câu (1 điểm) Cho đa thức P (x) = ax2 + bx + c Chứng minh đa thức có nghiệm −1 a − b + c = Lời giải P (x) = ax2 + bx + c có nghiệm x = −1 nghĩa a(−1)2 + b(−1) + c = ⇔ a − b + c = Vậy ta có điều phải chứng minh Ƙ Câu (2 điểm) Số 30 gia đình phường ghi bảng sau 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 Dấu hiệu thống kê gì? Lập bảng tần số tính số trung bình gia đình; Tìm mốt dấu hiệu; Theo thống kê gia đình hạnh phúc có hai Từ thống kê trên, em có nhận xét gia đình phường thống kê Lời giải Dấu hiệu thống kê số gia đình Bảng tần số Số (X) Giá trị(n) Số trung bình gia đình X = 19 Tổng số N=30 0.2 + 1.3 + 2.19 + 3.6 59 = ≈ 1, 97 30 30 Mốt dấu hiệu Nhận xét: Số Số nhiều Số gia đình chủ yếu − Theo thống kê gia đình hạnh phúc có hai Từ thống kê trên, ta thấy đa số gia đình phường thống kê hạnh phúc Ƙ Câu (3 điểm) Cho Tính độ dài cạnh BC; ABC vng A có AB = cm, AC = cm N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 159 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Trên tia BA lấy điểm D cho BD = BC Kẻ DE vng góc với BC E Chứng minh Chứng minh BAC = BED; BAE cân AE ∥ DC; Gọi M trung điểm AC Hai đường thẳng AE M D cắt F Chứng minh: CF vng góc với AC Lời giải B F E A M C D Theo định lý Pi-ta-go ta có BC = AB + AC = 100 ⇒ BC = 10 cm Từ giả thiết ta xét hai tam giác vuông Vậy hai tam giác BAC “ chung, BD = BC, góc BED ’ = BAC ’ = 90◦ BED có góc B Theo chứng minh ta có BAC = BED nên BA = BE suy BAE cân Ta có BD = BC nên BDC cân đỉnh B ’ = BDC ’ suy AE ∥ DC (hai góc đồng vị) Vì BAE BDC cân nên suy BAE ’ ’ ’ Mà AM = M C nên Theo chứng minh ta có AF ∥ DC nên AF D = F’ DC F AC = ACD ÷ ÷ Từ suy M F = M D nên F M C = DM A có M FC = M DA nên AD ∥ F C Mà AD ⊥ AC nên F C ⊥ AC AM F = CM D Đề số 14 Ƙ Câu (2 điểm) Tính tổng đơn thức sau tính giá trị đơn thức thu x = 3; y = −4 z = : Å ã 1 x y z + x3 y z + − x3 y z 3 2 Tính tích đơn thức sau tính giá trị đơn thức thu x = 1; y = −1: Å ã Å ã Å ã − x y · − x y· − xy 27 25 Lời giải Tính tổng đơn thức Å ã 3 x y z+ x y z+ − x y z 3 Å ã 1 = x3 y z + − 3 = x y z Giá trị đơn thức thu x = 3; y = −4 z = 3 (−4)2 = 108 2 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 160 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Tính tích đơn thức ã Å ã Å ã Å x y · − x y· − xy − 27 25 Å ãÅ ãÅ ã = − − − x4 x2 xy yy 27 25 Å ã = − x7 y 30 Giá trị đơn thức thu x = 1; y = −1: Å ã 1 − 17 (−1)7 = 30 30 Ƙ Câu (2 điểm) Cho hai đa thức: 1 P (x) = x5 − 0,75x4 − 15x3 + 7x2 − x − 2017; Q(x) = 0,5x5 + x4 − 15x3 + 3x2 − x − 4034 Tính P (x) − Q(x) Tìm đa thức R(x) biết P (x) − R(x) = Q(x) Lời giải Tính P (x) − Q(x) Å ã 4 P (x) − Q(x) = x − 0,75x − 15x + 7x − x − 2017 − 0,5x + x − 15x + 3x − x − 4034 5 3 = x − 0,5x − 0,75x − x − 15x + 15x + 7x − 3x2 − x + x − 2017 + 4034 = −x4 + 4x2 + 2017 Tìm đa thức R(x) P (x) − R(x) = Q(x) R(x) = P (x) − Q(x) R(x) = −x4 + 4x2 + 2017 Ƙ Câu (1 điểm) Tìm nghiệm đa thức f (x) = −2x + Giải thích đa thức g(x) = x2 + 2017 khơng có nghiệm Lời giải Nghiệm đa thức f (x) = −2x + f (x) = −2x + = 2x = 3 x = Vậy x = nghiệm f (x) 2 Giải thích đa thức g(x) = x2 + 2017 khơng có nghiệm g(x) = x2 + 2017 = x2 = −2017 Bình phương số ln khơng âm nên khơng tìm x để g(x) = nghĩa đa thức g(x) khơng có nghiệm N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 161 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Ƙ Câu (2 điểm) Các bạn học sinh lớp 7A thích mơn Giáo dục Cơng dân, điểm kiểm tra HKII môn bạn học sinh lớp 7A ghi nhận sau: 7,5 10 8 7,5 9 6,5 9,5 10 9 7,5 9,5 10 6,5 10 7,5 9,5 7,5 9,5 10 8,5 10 8,5 10 7,5 Lập bảng “tần số” dùng cơng thức số trung bình cộng X để tính trung bình điểm kiểm tra KHII môn Giáo dục Công dân học sinh lớp 7A Số bạn có điểm kiểm tra từ điểm trở lên chiếm tỉ lệ phần trăm? Lời giải Lập bảng “tần số” Giá trị Tần số 7,5 9 10 8,5 6,5 9,5 Trung bình điểm kiểm tra KHII mơn Giáo dục Cơng dân học sinh lớp 7A X= 340 7, · + · + · + 10 · + 8,5 · + 6,5 · + 9,5 · + · + · = = 8,5 6+9+8+7+2+2+4+1+1 40 Tỉ lệ phần trăm bạn có điểm kiểm tra từ điểm trở lên 34 9+8+7+2+2+4+1+1 · 100 = · 100 = 85 (%) 40 40 Ƙ Câu (3 điểm) Cho tâm ABC ABC vng A có AB = cm, AC = 24 cm, D trung điểm cạnh BC G trọng Tính độ dài BC AG Trên nửa mặt phẳng bờ đượng thẳng BC không chứa điểm A vẽ tia Bx, nửa mặt phẳng bờ đường thẳng ’ = BCy ’ Trên Bx Cy lấy hai điểm E F cho BE = CF BC chứa điểm A vẽ tia Cy cho CBx Chứng minh BDE = CDF suy DE = DF Chứng tỏ G trọng tâm AEF Lời giải N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 162 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp E B D G A C F Tính độ dài BC AG Vì ABC vng A nên theo định lý Py-ta-go ta có AB + AC = BC BC = 72 + 242 BC = 625 = 252 BC = 25 (cm) BC Vì AD đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ta có BC 25 AD = = (cm) 2 Vì G trọng tâm ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có 2 25 25 AG = AD = · (cm) 3 Chứng minh BDE = CDF suy DE = DF Xét BDE CDF có   BD = CD (vì D trung điểm BC)   BE = Cf (giả thuyết) ⇒ BDE =   ’ ’ DBE = DCE (giả thuyết) Ta có DE = DF BDE = CDF Chứng minh G trọng tâm AEF Chứng minh E, D, F thẳng hàng Ta có ’ = CDF ’ (vì BDE = CDF ) BDE B, D, C thẳng hàng Xét CDF (c-g-c) ’ CDF ’ đối đỉnh ⇒ E, D, F thẳng hàng ⇒ BDE AEF có AD trung tuyến (vì DE = DF ), AG = AD nên G trọng tâm AEF Đề số 15 Ƙ Câu (2 điểm) Thời gian giải tốn (tính theo phút) 20 học sinh lớp 7A ghi bảng sau 9 9 10 7 10 10 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 163 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Lập bảng tần số Tính số phút trung bình giải tốn học sinh lớp 7A Lời giải Lập bảng tần số Giá trị Tần số 10 Tính số phút trung bình giải tốn học sinh lớp 7A X= · + · + · + · + · + · + · + 10 · 132 = = 6,6 (phút) 1+1+2+1+3+3+6+3 20 Ƙ Câu (1,5 điểm) Cho đơn thức M = xy(−3xy )2 Thu gọn M cho biết hệ số phần biến đơn thức Tính giá trị đơn thức x = −1; y = Lời giải Thu gọn M M = = = xy(−3xy )2 xy · (−3)2 x2 (y )2 3x3 y M có hệ số phần biến x3 y Giá trị đơn thức x = −1; y = 3(−1)3 (2)5 = · (−1) · (32) = −96 Ƙ Câu (2 điểm) Cho hai đa thức: A = −3x3 + 5x2 − 6x + 1; B = x3 − 5x2 + 5x + 1 Tính A + B Tìm đa thức C cho B − C = A Lời giải Tính A + B A+B = −3x3 + 5x2 − 6x + + (x3 − 5x2 + 5x + 1) = (−3x3 + x3 ) + (5x2 − 5x2 ) + (−6x + 5x) + (1 + 1) = −2x3 − x + 2 Tìm đa thức C B−C = A C C = B−A = x3 − 5x2 + 5x + − (−3x3 + 5x2 − 6x + 1) C = (x3 + 3x3 ) + (−5x2 − 5x2 ) + (5x + 6x) + (1 − 1) C = 4x3 − 10x2 + 11x N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 164 Nhóm LATEX Dự án ĐCHT Lớp Ƙ Câu (1 điểm) Tìm nghiệm đa thức sau a) P (x) = 4x − b) Q(x) = 4x − 2(3x − 5) + Lời giải Tìm nghiệm P (x) Ta có P (x) = 4x − = 4x = x = Vậy P (x) có nghiệm x = 2 Tìm nghiệm Q(x) Ta có Q(x) = 4x − 2(3x − 5) + = 4x − 6x + 10 = −2x + 10 = 2x = 10 x = Vậy Q(x) có nghiệm x = Ƙ Câu (3,5 điểm) Cho ˆ = 60◦ ABC vng A có B “ so sánh độ dài cạnh Tính số đo C ABC ’ (D ∈ AC) Qua D vẽ DK ⊥ BC (K ∈ BC) Chứng minh: Vẽ BD phân giác ABC Chứng minh: BAD = BKD BDC cân K trung điểm BC Tia KD cắt BA I Tính độ dài cạnh ID biết AB = cm (làm tròn kết đến chữ số phập phân thứ nhất) Lời giải B K A D C I “ so sánh độ dài cạnh Tính số đo C Ta có ABC “+ C “ = 180◦ A+B “ = 180◦ − A − B “ C ◦ ◦ “ C = 180 − 90 − 60◦ “ = 30◦ C “> C “ nên BC > AC > AB Vì A > B N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 165 Dự án ĐCHT Lớp Nhóm LATEX Chứng minh BAD = BKD ’ = ABD ’ = 30◦ BDA ’ = 180◦ − DBA ’ − BAD ’ = 180◦ − 30◦ − 90◦ = 60◦ Xét BAD có ABD ÷ = ABK ’ = 30◦ BDK ÷ = 180◦ − DBK ÷ − BKD ÷ = 180◦ − 30◦ − 90◦ = 60◦ Xét BDK có DBK Xét BAD BDK có  ’ ÷ = 90◦  BAD = BKD    BD cạnh huyền chung    ABD ’ = 30◦ (tính chất phân giác) ’ = ABK ’ = ABC ⇒ BAD = BKD (hai tam giác vng có cạnh huyền góc nhọn nhau) Chứng minh BDC cân K trung điểm BC ’ = 30◦ nên DBC cân D Vì DBC có DCB Xét DKB DKC có  ◦ ÷ ÷   DKB = DKC = 90 DB = DC DBC cân D   ’ ÷ DBA = DCK = 30◦ ⇒ BAD = BKD (hai tam giác vng có cạnh huyền góc nhọn nhau) ⇒ KB = KC Vậy K trung điểm BC Tính ID N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 166 ... có 2 1 82 H = 0, 1.(? ?2) − (0, 1 )2 (? ?2) 3 2( 0, 1)(? ?2) − 2( 0, 1) + (0, 1 )2 (? ?2) 3 + (? ?2) + = − 2 125 Thay x = 2; y = ? ?2 vào biểu thứ I = 2x2 y − xy + 1, ta có I = 2. 22 (? ?2) − (2) (? ?2) 2 + = − 27 10... − 7x2 + 3x − 12 + 5x2 − 9x + 12 4x3 + (−7x2 + 5x2 ) + (3x − 9x) + (− 12 + 12) = 4x3 − 2x2 − 6x P (x) + 2Q(x) = 4x3 − 7x2 + 3x − 12 + 5x2 − 9x + 12 = 8x3 + (−14x2 + 5x2 ) + (6x − 9x) + (? ?24 + 12) ... Trung bình cộng lớp 27 , 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, Tần số (n) 11 20 15 12 12 10 N = 100 Các tích (n.x) 165 26 0 4 12, 850 71 2, 630 690 625 405 n.x = 475 0 n.x 475 0 = = 47, N 100 BÀI TOÁN VỀ