Đề thi thử quốc gia 2016 môn toán trường ân thi hưng yên lần 2

TRƯỜNG THPT ÂN THI —————— ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015 - 2016 LẦN II Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ————————— Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x x+1 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = biết tiếp x−1 tuyến có hệ số góc k = −2 Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z tính mơđun nó, biết z thỏa mãn iz + 2z = 5i + 2iz b) Giải phương trình 31+x + 31−x − 10 = √ Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I = x √ dx x +1+1 Câu (1,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 5), B(−1; −1; 1) C(1; 0; 7) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua ba điểm A, B, C? Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) 5? Câu (1,0 điểm) π π a) Cho sin α = , α ∈ 0; Tính giá trị A = cos 2α + b) Lớp 12A có học sinh nam học sinh nữ học muộn Giáo viên chủ nhiệm lớp 12A chọn ngẫu nhiên học sinh số 10 học sinh học muộn để lao động Tính xác suất cho số học sinh chọn có số học sinh nam số học sinh nữ lớn 2? Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, góc SB mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC? Câu (1,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (C) có phương trình (x − 2)2 + (y + 1)2 = 40 Điểm E(5; −5) thuộc cạnh BC, DE cắt đường tròn (C) giao điểm thứ hai H, đường thẳng BH cắt đường thẳng DC điểm K(6; −8) Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD? Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:   x2 + xy + y  x2 + y + =x+y √  2 y − 2x − + x3 − 14 = y − Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: ab + a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức 3a 3b ab P = + + − 2a2 − 2b2 b+1 a+1 a+b ——— Hết ——— Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT ÂN THI ĐÁP ÁN THI THỬ THPTQG NĂM 2015 – 2016 LẦN II MƠN TỐN Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  x  3x TXĐ: D  ; y '  3x  ; y '   x  1 Hàm số đồng biến (; 1) (1; ) ; hàm số nghịch biến (1;1) Hàm số đạt cực đại x  1; y(1)  ; Hàm số đạt cực tiểu x  1; y(1)  2 lim y  ; lim y   x  1,0 0,25 0,25 x  x  y'  y 1     0,25 2  Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận O(0;0) làm tâm đối xứng qua điểm (2; 2),(2;2) y O -3 -2 -1 0,25 x -1 -2 -3 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x 1 biết tiếp tuyến x 1 có hệ số góc k  2 2 Ta có y '  ( x  1) Gọi (C) đồ thị hàm số cho,  tiếp tuyến cần viết phương trình, M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm  (C)  x0  2    Vì  có hệ số góc k  2 nên y '( x0 )  2  x  ( x0  1)2  1,0 0,25 0,25 Với x0   : y  2 x  0,25 Với x0   : y  2 x  0,25 Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z tính mơđun nó, biết z thỏa mãn iz  z  5i  2iz b) Giải phương trình 31 x  31 x  10  5i  z  1  2i a) iz  z  5i  2iz  (2  i) z  5i  z  2i z  (1)2  22  1,0 0,25 0,25 ĐÁP ÁN b) 31 x  31 x  10   3.3x  x  10   3.32 x  10.3x   x 3  x   1 3   x  1  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I   x dx x 1 1 Đặt t  x2   t  x   tdt  xdx Đổi cận x   t  ; x   t  ĐIỂM 0,25 0,25 1,0 0,5  t  I  dt   1   dt   t  ln t     ln t 1 t 1  1 0,5 Câu (1,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;5) , B(1; 1;1) C (1;0;7) Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua ba điểm A , B , C ? Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P) 5? 1,0 2 Ta có AB  (1; 1; 4); AC  (1;0; 2) Ta có  AB, AC   (2; 2;1) Ta có AB, AC hai vectơ khơng phương có giá song song nằm mặt phẳng 0,25 (P) nên n    AB, AC   (2; 2; 1) vtpt (P) 0,25 Mặt phẳng (P) có phương trình: x  y  z   2b  b    2b   15   M (0; b;0)  Oy ta có d ( M , ( P))   b  10 Vậy M (0;5;0) M (0; 10;0) Câu (1,0 điểm)   a) Cho sin   ,   (0; ) Tính giá trị A  cos(2  ) b) Lớp 12A có học sinh nam học sinh nữ học muộn Giáo viên chủ nhiệm lớp 12A chọn ngẫu nhiên học sinh số 10 học sinh học muộn để lao động Tính xác suất cho số học sinh chọn có số học sinh nam số học sinh nữ lớn 2? 16  25 25   Suy cos      0;   2 0,25 0,25 1,0 Ta có cos2    sin     2  Ta có A  cos  2     cos 2  sin 2   (cos2   sin   2sin  cos  ) 4 2   16 2.3.4  17       25 25 25  50 b) Phép thử: “Chọn ngẫu nhiên học sinh số 10 học sinh học muộn lớp 12A” Ta có n()  C107  120 0,25 0,25 0,25 ĐÁP ÁN ĐIỂM Gọi A biến cố: “Trong học sinh chọn có số học sinh nam số học sinh nữ lớn 2” Số phần tử biến cố A n( A)  C53C54  C54C53  100 100 Xác suất biến cố A P( A)   C10 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a , AD  2a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, góc SB mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC 3a AB.( BC  AD)  2 Ta có SA  ( ABCD) nên AB hình chiếu SB mặt phẳng (ABCD) Suy ABS  ( AB, SB)  (SB,( ABCD))  600 N K D 0,25 SA  AB tan 600  a 1 3a a3 (đvtt) VS ABCD  SA.S ABCD  a  3 2 H M B 1,0 +) Ta có S ABCD  S A 0,25 0,25 C Gọi M  BD  AC Dựng Mx / / SC , Gọi N  Mx  SA , Ta có MN / / SC  SC / /( BDN )  d (SC, BD)  d (C,( BDN ))  BC / / AD MC BC nên Ta có    AM AD  AD  2a  BC Suy d ( SC , DB)  d (C , ( BDN ))  d ( A, ( BDN )) Dựng AH  DB , AK  NH Ta có AN  ( ABCD)  AN  DB , lại có DB  AH nên BD  ( AHN )  BD  AK  BD  AK  AK  ( BDN )  d ( A, ( BDN ))  AK Ta có:   NM  AK Ta có tam giác ABD vng A AH đường cao nên 1 1    2  2 2 AH AB AD a 4a 4a AN AM 2 2a    AN  AS  Ta có MN / / SC nên AS AC 3 Ta có tam giác ANH vng A AK đường cao nên 1 a       AK  2 AK AH AN a 4a 4a a Vậy d ( SC , BD)  AK  2 Câu (1,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (C ) có phương trình ( x  2)2  ( y  1)2  40 Điểm E (5; 5) thuộc cạnh BC, DE cắt đường tròn (C ) 0,25 0,25 1,0 ĐÁP ÁN H , đường thẳng BH cắt đường thẳng DC điểm K (6; 8) Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD? Đường trịn (C) có tâm I (2; 1) bán kính R  10 A B Ta có góc DHB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên DHB  900 Xét tam giác BDK có BC  DK , DH  BK nên E trực tâm tam giác BDK, suy EK  BD BD qua I nhận EK  (1; 3) làm vtpt nên BD có phương trình x  y   I H E D C K AC qua I nhận EK  (1; 3) làm vtcp nên AC có phương trình 3x  y    x   x  3y   y 1  Tọa độ B, D nghiệm hệ phương trình   2   x  4 ( x  2)  ( y  1)  40    y  3 ĐIỂM 0,25 0,25 0,25 Nếu B(8;1), D(4; 3) thỏa mãn (vì B E phía so với đường thẳng AC) Nếu B(4; 3), D(8;1) khơng thỏa mãn (vì B E khơng phía so với AC)  x   3x  y    y  7  Tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình   2  x  ( x  2)  ( y  1)  40    y  Nếu C(4; 7), A(0;5) thỏa mãn (vì C E phía so với đường thẳng BD) Nếu A(4; 7), C (0;5) khơng thỏa mãn (vì C E khơng phía so với BD) Vậy A(0;5), B(8;1), C(4; 7), D(4; 3) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:  x2  y x  xy  y   x y (1)    3 (2) 2 y  x   x  14  y  ĐK: y  x  Ta thấy điều kiện có nghiệm phương trình (1) x  y  Khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có x2  y (12  12 )( x  y ) ( x  y)2   hay 4 x2  y x  y  2 1,0 (3) 2  2   1     x  y   y   x y y           x  xy  y 2     4 3 x  xy  y x  y  (4) (Chú ý: Ta chứng minh (3), (4) phương pháp biến đổi tương đương) hay 0,25 0,5 ĐÁP ÁN ĐIỂM Dấu (3) (4) xảy x  y (5) Từ (3), (4), (5) suy (1)  x  y Với x  y thay vào (2) ta có phương trình x2  x   x3  14  x   x2  x 1    x3  14  x   (6) x  1 ĐK:  Kết hợp với điều kiện x  y  x  y ta điều kiện x    x   Xét hàm số f ( x)  x3  14  x  tập [1  2; ) x2 f '( x)  x  14  1 ; f '( x)   x  x 1 y' y x  14   x6   x3  14   x  2   0,25 Suy f ( x)  0, x [1  2; ) 2   2 x  x   0, x  [1  2; ) 2 x  x   Ta có  nên (6)    x  1 3 3 0,25 x 14 x 0, x [1 2; ) 14         x x         Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x  y   Câu 10 (1,0 điểm): Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: ab  a  b  Tìm giá trị lớn 3a 3b ab 1,0 biểu thức P     2a  2b b 1 a 1 a  b Đặt t  a  b ta có ab  a  b   t   ab (1) Ta có a, b, c số dương nên từ (1) suy  t  (2) t  t2 0,25  ab Ta lại có t   ab    hay (3) t    t  4t  12       t  6 Từ (2) (3) suy  t  3(a  b2 )  3(a  b) ab 5(a  b)2  3(a  b) ab 5ab 2   2(a  b )    Ta có P  a  b  ab  ab ab 2 0,25  ab  a b  5    5t 5(a  b)  3(a  b)        Hay P  t  ab 2 5t Xét hàm số f (t )  t  [2;3) 5t 0,25 Có f '(t )    0, t  [2;3) suy hàm số f '(t ) nghịch biến [2;3) Suy f (t )  f (2), t [2;3) hay f (t )   , t  [2;3) Vậy P lớn  a  b  0,25 ... lớn 2? 16  25 25   Suy cos      0;   2? ?? 0 ,25 0 ,25 1,0 Ta có cos2    sin     2  Ta có A  cos  2? ??     cos 2? ??  sin 2? ??   (cos2   sin   2sin  cos  ) 4 2   16 2. 3.4...  ? ?2 lim y  ; lim y   x  1,0 0 ,25 0 ,25 x  x  y'  y 1     0 ,25 ? ?2  Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận O(0;0) làm tâm đối xứng qua điểm (? ?2; ? ?2) , (2; 2) y O -3 -2 -1 0 ,25 x -1 -2 -3... 31 x  10  5i  z  1  2i a) iz  z  5i  2iz  (2  i) z  5i  z  2? ??i z  (1 )2  22  1,0 0 ,25 0 ,25 ĐÁP ÁN b) 31 x  31 x  10   3.3x  x  10   3. 32 x  10.3x   x 3  x 