Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức

Tài liệu gồm 41 trang, phân dạng và hướng dẫn giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức (GTLN – GTNN môđun số phức; max – min module số phức …), một lớp bài toán vận dụng cao (VDC) về số phức thường gặp trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán.

Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MODUL SỐ PHỨC  DẠNG TOÁN ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng  : Ax  By  C  điểm M   Điểm N   cho NM nhỏ  K hình chiếu N lên , nghĩa NM  NK  d  N ,    M  K z  OH  d  N ,    C z  ( x  y i)  NK  d  N ,    Ax  By  C A2  B NGUYỄN HOÀNG VIỆT  A2  B Khi M  H tọa độ H    (OH )  Khi M  K tọa độ K    NK BÀI TẬP TẠI LỚP Câu 1: Cho z  x  yi thỏa z   4i  z  2i z đạt giá trị nhỏ Tính 3x  y A B C Lời giải D Chọn A LUYENTHITRACNGHIEM.VN Ta có: z   4i  z  2i  ( x  2)  ( y  4)i  x  ( y  2)i  ( x  2)2  ( y  4)2  x2  ( y  2)2  x  y   : đường thẳng d Khi đó: z  OM  z  OM  M  H Do OH  d : x  y    OH : x  y  m  O(0;0)  OH  m   OH : x  y  x  y  Tọa độ H  d  OH thỏa  x  y  Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang  Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 x    3x  y  y  Cách Từ d : y   x  z  x  y  x  (4  x)2  2( x  2)2    2 Suy ra: z  2  x   y   3x  y  Cách Sử dụng Cauchy – Schwarz, có Dấu "  " x  y x  y   x  y   3x  y   Lưu ý Nếu đề yêu cầu tính |z|min , |z|min  OH  d (O; d ) Câu 2: Cho z A yi thỏa mãn z 5i x 12 i z đạt giá trị nhỏ Tìm 3x z 12 B 12 Lời giải C y NGUYỄN HOÀNG VIỆT x2 y ( x  y )2 42     2 1 11 z  x2  y  12 D Chọn C Ta có z 5i x y x Ta có z Cho z x x x 3 x 6x y 10 x 3y y x yi i y 1i 26 4 3y 2 y y 10 y 24 y 16 10 y 8 x 3x yi thỏa mãn z 3i z i z đạt giá trị nhỏ Tìm x y Suy z Câu 3: 5i yi 5i x y A B 12 y C D Lời giải Chọn A Ta có z 3i z i x y x2 3i y x 2y Ta có z x2 y2 2y y2 x x x 5y2 y 1i 2y y 4y y Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng 5  Trang  LUYENTHITRACNGHIEM.VN 3y i y x 10 y x z Max - Min Module Số Phức Suy z Câu 4: Cho z NĂM HỌC 2019 – 2020 y i yi thỏa mãn z x A B x x 2y z 3i z đạt giá trị nhỏ Giá trị x y Lời giải C D Chọn A z 3i x y 1i x Ta có z x Câu 5: y 1 Suy z Vậy x y 2y 2 y y y x 2 x y x 2y y x2 y 3i y NGUYỄN HOÀNG VIỆT i Ta có z 2y 1 2 y 2 x Cho số phức z thỏa z z 4i Giá trị nhỏ iz 2i B A 2 C D LUYENTHITRACNGHIEM.VN Lời giải Chọn C Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z z 2i x Câu 6: y (x z 4i x yi 2) ( y 2)i x ( y 4)i đường thẳng d Có iz i z i z i iz AM M hình chiếu A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó: iz AM AM với A(0;1) d ( A; d ) 2 2 Cho z thỏa z 2i z 3i Giá trị nhỏ z A B C 2i D Lời giải Chọn B Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z x yi Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang  Max - Min Module Số Phức z 2i z 2i z AM 2i Câu Cho số phức z thỏa z M hình chiếu A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó: d ( A; d ) 02 22 z 2i Tìm giá trị nhỏ (1 i) z 2i 41 B 34 C NGUYỄN HOÀNG VIỆT AM A x ( y 3)i AM với A(2; 2) z 2i ( x 1) ( y 2)i 3i đường thẳng d 2y Có z NĂM HỌC 2019 – 2020 D Lời giải Chọn B Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z z 2i 2x x z 2i yi 2)i x ( y 2)i đường thẳng d 8y Có (1 i) z (y x AM với (1 i) z i i (1 i) z AM M hình chiếu A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó: (1 i) z i z i i z i A( 1;1) 2d ( A; d ) 2 8.1 2 34 BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 1: Cho z  x  yi thỏa z  i  z   3i z đạt giá trị nhỏ Tính 3x  y B A C D Lời giải Chọn B Ta có: z  i  z   3i  x   y  1 i   x     y  3 i  x   y  1   x     y  3 2  x  2y 3  Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang  LUYENTHITRACNGHIEM.VN AM Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 6   z  x  y  (2 y  3)  y  y  12 y    y     5 5   z  Câu 2: Cho z A 2 2  y    x   3x  y  5 yi thỏa mãn z i x 10 B C D NGUYỄN HOÀNG VIỆT 2i z đạt giá trị nhỏ Tìm 5x 10 y z Lời giải Chọn C Ta có z i x 1 2i z y 1i x yi i x x y y i x 2x y 2x 4x y yi 2i x 4y 2 y Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng d : x M OM d : 4x O(0; 0) OH Tọa độ H Cho z A OM H Do OH Câu 3: z LUYENTHITRACNGHIEM.VN Khi đó: z 2y x 2y m OH : x OH : x y d OH thỏa B m 10 x 4x y x 2y yi thỏa mãn iz 4y y x 10 y z i z đạt giá trị nhỏ Phần thực z C D Lời giải Chọn D Ta có iz z i y xi y x 2y x x2 y 1i x x y 2y Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang  Max - Min Module Số Phức Ta có z x y Suy z Câu 4: NĂM HỌC 2019 – 2020 2y y A B 5y 4y 2 5 y 5 4i số thực Giá trị nhỏ z 16 Lời giải C D Chọn B Gọi z x yi , đk x, y i Ta có z z x2 i Vì z z Ta có z x y 16 Suy z Câu 5: 4i số thực nên x y Cho z thỏa z 2i 2y y 5y x y2 y 2x x 16 y 16 yi x yi i x 2y 2y 4i i y 16 16 16 z z i Giá trị nhỏ z 11 10 C 3i D 121 10 LUYENTHITRACNGHIEM.VN B 10 A 10 4i Lời giải Chọn C Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z z 2i x 3y Có z Câu 6: 3i x ( y 1)i AM với A( 2;3) 3i AM z 3i AM Cho z thỏa z i 26 yi đường thẳng d z A x x ( y 2)i z i M hình chiếu A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó: d ( A; d ) 12 3.3 11 10 z 2i Giá trị nhỏ (3 4i) z 10i B NGUYỄN HOÀNG VIỆT y x i Xét số phức z thỏa z z 15 C 17 D 25 13 26 Lời giải Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang  Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Chọn D Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z z i yi x ( y 1)i z 2i 4x y x x (y 2)i đường thẳng d Có (3 4i) z 10i 4i z 2i (3 4i) z (3 4i) 2i (3 4i) z 2i AM với A( 1; 2) AM M hình chiếu A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó: (3 Câu 7: 4i) z 10i AM Cho số phức z thỏa z A B 5d ( A; d ) 42 25 52 25 13 26 NGUYỄN HOÀNG VIỆT (3 4i) z 10i z 2i Giá trị nhỏ (1 2i) z 11 2i C D Lời giải Chọn D Gọi M ( x; y) biểu diễn số phức z x z 2i 2x 4y x (2 z yi x y)i đường thẳng d Có (1 2i) z 11 2i 2i z yi yi 4i (1 2i) z 11 2i (1 2i) z (1 2i) 4i (1 2i) z 4i AM với A( 3; 4) AM M hình chiếu A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó: (1 2i) z 11 2i AM 5d ( A; d ) 4.4 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang  LUYENTHITRACNGHIEM.VN z x Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 DẠNG 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN Cho tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi đường trịn  C  có tâm I  a; b  bán kính R Gọi N điểm biểu diễn số phức z  Phương pháp Hình học NGUYỄN HỒNG VIỆT   z  OM  OM  OI  R M  M   z  OM  OM  OI  R M  M  max 2  max Khi  OI    C   M1; M    z  z  MN  NN1  NI  R M  N1    z  z max  MN max  NN  NI  R M  N Khi  NI    C   N1; N2  xét I trung điểm M1M suy ra: tổng phần thực 2a , tổng phần ảo 2b Phương pháp Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: Giả sử tập hợp điểm đường tròn  C  :  x  a    y  b   R viết lại: 2 C  : x2  y  2ax  2by  c   x2  y  2ax  2by  c  z  x  y  z  x  y  2ax  2by  c  2a  x  a   2b  y  b   2a  2b2  c nhằm lợi dụng  x  a    y  b   R bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (điểm rơi):   4a 2   4b2 ( x  a)2  ( y  b)   2a  x  a   2b  y  b    4a   4b ( x  a)  ( y  b)  R2 Suy 2a  2b2  c  2R  2a  2b2  c  2R R2 a a 2   b2  z  2a  2b2  c  2R   b2  z  2a  2b2  c  2R a a 2  b2    b2 Phương pháp Lượng giác Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Lưu ý Nếu đề yêu cầu tìm tổng phần thực, phần ảo tương ứng với z , z max từ nhận Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 2  x a   y b  Giả sử tập hợp điểm đường tròn  C  :  x  a    y  b   R      1,  R   R  2 xa  R  sin t  x  a  R sin t 2   gợi ta đến công thức sin t  cos t  nên đặt  y  b y  b  R cos t    cos t  R Do z  x  y  z  x  y   a  R sin t    b  R cos t  2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT    z  a  b2  R sin t  cos2 t  2aR.sin t  2bR.cos t  z  a  b2  R  2R a  b2 sin  t    ln có 1  sin  t     nên suy ra:  a  b2  2R a  b2  z  a  b2  2R a  b2 Phương pháp Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối z1 Ví dụ minh họa: Xét số phức z yi thỏa mãn z x max số phức z Ta có z 3i c di Tìm tổng a (x 2) (y b 3)i c z1 3i a) Giá trị nhỏ giá trị lớn z Ứng với z z z2 z2 z1 z2 số phức z a bi ứng với d (x 2)2 (y 3)2 ( ) Cách Hình học z z OM1 OI R 13 max OM OI R 13 13 Vì I (2;3) trung điểm M1M nên: xM yM xM 2x I a c yM 2yI b d Suy a b c d 10 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn (C ) có tâm I (2;3) bán kính R Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Lưu ý Nếu đề yêu cầu tìm số phức tương ứng với z z max , tức tìm hai điểm biểu diễn OI đường trịn (C ) M1, M 2, tọa độ giao điểm đường thẳng d Cách Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: 2)2 Ta có: (x Ta lại có: z 14 x2 y2 62 ) (x 4x 6y (y 3)2 2)2 z 13 x2 14 y2 4x 6y 12 12 4.(x 2) 6.(y 4(x 13 6(y 2) 13 z 3) (42 3) 13 14 62 ) (x 2)2 (y 3)2 Cách Lượng giác Đặt z 14 x sin t y cos t 14 42 z 13 z sin t )2 (2 62 sin(t 14 ) 13 cos t )2 (3 13 sin(t 14 13 z z2 z1 z2 Ta có z z 3i z 3i 13 z z 3i 13 z 13 ) 13 Cách Sử dụng bất đẳng thức z1 sin t 14 cos t sin(t ) nên: z1 z2 13 b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P (x z 1)2 i 1) (y i 1).i Pmin AM1 AI R 13 Pmax AM AI R 13 13 MA với A( 1;1) 1)2 (y Từ hình vẽ, suy ra: Kết luận: Pmin (x z Pmax 13 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 10  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Nhận xét Tùy vào cấu trúc toán, yêu cầu câu hỏi thành thạo kiến thức mà học sinh chọn phương pháp giải cho phù hợp Ta có: P NGUYỄN HOÀNG VIỆT (42 Mà 3)2 (y Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020  x  2  z   4i     y      x     y     tập hợp số phức z 2 NGUYỄN HOÀNG VIỆT Chọn C Đặt z  x  yi, w  a  bi đường tròn  C  :  x     y    2  w   3i  w   2i   a     b  3   a  3   b    a  b   tập hợp 2 2 số phức w đường thẳng d : x  y  Ta có w z x a y b khoảng cách từ điểm A  a; b    C  đến điểm B  x; y   d Do d  I ; d     4    4      w  z  AB   Câu 8: Cho hai số phức z 1, z thỏa mãn z1 thức z1 A z 3i z2 6i Giá trị nhỏ biểu z B C D Lời giải Chọn A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn z1 M x ; y thoả mãn phương trình: x I 5;0 , R 5 y2 tập hợp điểm 25 đường tròn tâm Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3i z2 6y 35 6i tập hợp điểm N x ; y thỏa mãn phương trình x y x y 8x Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 27  LUYENTHITRACNGHIEM.VN   nên d không cắt  C  , ABmin  d  I ; d   R  Max - Min Module Số Phức Khi z1 NĂM HỌC 2019 – 2020 z khoảng cách từ điểm thuộc d :8x thuộc đường tròn C : x z1 Câu 9: z2 y2 MN d I ,d 75 R 100 34 z mi B 10 C z m 2i Gọi z 1, z hai z P x y z 130 D Lời giải Chọn B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z M x ; y thoả mãn phương trình: x I 1;0 , R 1 y2 34 tập hợp điểm NGUYỄN HOÀNG VIỆT z lớn nhất, giá trị z1 số phức thuộc S cho z1 điểm tới 25 Gọi S tập hợp số phức z thỏa z A y 35 34 đường tròn tâm 34 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình z mi z m 2i tập hợp điểm N x ; y thỏa mãn phương trình x y m x m y 2 2m x 2m y Tập hợp số phức z có điểm biểu diễn thỏa mãn hệ phương trình: y2 34 2m x Khi z1 Để z1 2m y z khoảng cách từ điểm M thuộc tập S tới điểm N thuộc tập S z đạt giá trị lớn MN đường kính đường trịn C : x y2 34 d I, 2m 2m 2 2m x 34 2 34 2m y m Câu 10: y2 x ; 34 34 34 ; 2 z z 34 2 34 x 3x y 34 i 34 i 2 2 y2 2m x 34 z1 z2 y m y2 34 3x Xét số thức z thỏa mãn z  2i  z  4i z   3i  Giá trị lớn biểu thức P  z   Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 28  LUYENTHITRACNGHIEM.VN x Max - Min Module Số Phức A NĂM HỌC 2019 – 2020 10 B 10 C D 13 Lời giải Chọn D   w   2i  w   4i   w   3i  Đặt w  z  P  w  giả thiết trở thành  Gọi M ( x; y) điểm biểu diễn w giải thiết trở thành NGUYỄN HOÀNG VIỆT 2 2  y  ( x  2)  ( y  2)  ( x  2)  ( y  4)    2 2  ( x  1)  ( y  3)  ( x  1)  ( y  3)  Điểm M ( x; y) thuộc nửa đường tròn (phần không bị gạch)  Pmax  w max  M  B Câu 11: Cho biểu thức P  z   2i  z   4i  z   6i xét số phức z thỏa mãn điều kiện z    2i Biết P  a b với A 10 B 11 a phân số tối giản Giá trị a  b b C 12 D 12 Lời giải Chọn B Đặt E ( x; y) điểm biểu diễn số phức z A(1;2), B(3;4), C(5;6) Ta có P  z   2i  z   4i  z   6i  EA  EB  EC Mặt khác điểm A, B, C thuộc đường thẳng  : x  y    Pmin  E  : x  y   Từ giả thiết z    2i  ( x  2)  y   E thuộc đường tròn tâm I (2;0) bán kính R  2 Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 29  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Pmax  OB   13  Vậy chọn D Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 y C B A N -3 Δ M O x NGUYỄN HỒNG VIỆT I -2 Từ suy Pmin  E  N  E (0;1)  Pmin      a  b  11 Vậy chọn B LUYENTHITRACNGHIEM.VN Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 30  Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 DẠNG TOÁN ĐOẠN THẲNG VÀ TIA Câu 1: Xét số phức z thỏa mãn z giá trị lớn T A z 73 i B 2 z 7i Gọi m, M giá trị nhỏ i Giá trị m M 73 13 C 73 D 2 73 Lời giải Chọn D NGUYỄN HOÀNG VIỆT Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z x Ta có: z 2 i z 7i yi MA Trong A( 2;1), B(4;7) có AB MB 6 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Nên MA MB AB Suy điểm M thuộc đoạn AB Ta có T z i CM với C (1; 1) Dựa vào hình vẽ, ta có: Tmin CM CB 73 ; CA Suy m M 2 d C , AB 13 73 CM max 2 73 Câu 2: Xét số phức z thỏa mãn z P z A 53 CB 73 2 i z Chọn đáp án D 3i 53 Giá trị lớn biểu thức 2i B 53 C 185 D 106 Lời giải Chọn D Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 31  Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Gọi H (x ; y ) biểu diễn số phức z i z 3i yi HA 53 Trong A(1;1), B(8;3) có AB Nên HA HB HB NGUYỄN HỒNG VIỆT Ta có: z x 53 53 AB Suy điểm H thuộc đoạn AB Ta có P z 2i với C ( 1;2) Dựa vào hình vẽ, ta có: Pmin CH CB 106 ; CA Suy Pmax 13 53 CH max CB 106 106 Chọn đáp án D giá trị nhỏ P z B 3i z z 2i 2 i 17 Gọi M , m giá trị lớn i Giá trị m C 2 M D 2 Lời giải Chọn A Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z x yi Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 32  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Câu 3: Xét số phức z thỏa z A 17 d C , AB Max - Min Module Số Phức Ta có: z NĂM HỌC 2019 – 2020 3i z i MA 17 Trong A( 2; 3), B(6;1) có AB Nên MA MB MB 17 17 AB Suy điểm M thuộc đoạn AB Ta có P z 2i z i với C ( 1;2); D 2; NGUYỄN HỒNG VIỆT Dựa vào hình vẽ, ta có C; D nằm phía đường thẳng AB MC MD CD MC MD Suy M Câu 4: 3 2; m Chọn đáp án A Xét số phức z thỏa z trị nhỏ P A 17 C 26 z 2i z z 3 Gọi M , m giá trị lớn giá i 3i Giá trị m M B 26 D 17 2 Lời giải y D A -1 10 -3 O C x 10 B Gọi M (x; y), A( 3;2), B(3; 1) điểm biểu diễn số phức z , 2i, i mặt phẳng tọa độ Ta có: AB  z 2i z i Phương trình đường thẳng AB là: MA MB AB  M nằm đoạn thẳng AB (1) x3 y 2   x  y 1   1  Gọi C  2;0  , D 1;3  P  MC  MD Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 33  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Chọn B Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020  xC  yC 1 xD  yD 1   2  2.0 11  2.3 1  18   C , D nằm hai phía đường thẳng AB (2) Ta có: P  MC  MD  CD  P nhỏ  P  CD  MC  MD  CD  M nằm CD (3) Từ (1) (3) suy ra: M điểm chung hai đoạn thẳng AB CD M nằm đoạn thẳng AB  M 1  2t; t  , t    t  3 M nằm đoạn thẳng CD  CM , CD hướng   2t t   t  1(tháa )  M  1;1 3 Vì xC  xM  xD nên điểm M nằm đoạn thẳng CD Suy ra: Giá trị nhỏ m  NGUYỄN HOÀNG VIỆT CM    2t; t  , CD   3;3 Từ (1) (2) suy ra: P  MC  MD  Max  AC  AD; BC  BD AC  AD   17  BC  BD  26  Do đó: Giá trị lớn P M  26  25  M  m  26   Câu 5: Xét số phức z thỏa mãn iz P 17 z 3i 34 Giá trị nhỏ biểu thức 2i C B D LUYENTHITRACNGHIEM.VN A i)z (1 2i 26 Lời giải Chọn C Gọi M (x; y), A(2; 2), B( 1;3) điểm biểu diễn số phức z , 2i, 3i mặt phẳng tọa độ Từ iz z 2i 2 2i z 3i 34 z 3i 34 MA MB 34 AB Suy M nằm tia đối BA Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 34  Max - Min Module Số Phức Ta có P Có MC Câu 6: NĂM HỌC 2019 – 2020 i z M 2i B 2z MC 2MC với C i CB Xét số phức z đồng thời thỏa mãn z Pmin 3i 1; z 3i 10 z 4i nhỏ Môđun số phức z C B A D 10 Chọn A NGUYỄN HOÀNG VIỆT Lời giải y M C B 10 O -4 x5 10 -3 A Gọi M (x; y), A(4; 3), B( 4;3) điểm biểu diễn số phức z , 2i, 3i mặt phẳng tọa độ AB   8;6   AB  3i MA Ta có z MB z 10 AB 4i  62  10 3i 10 LUYENTHITRACNGHIEM.VN Từ z  8 M , A, B thẳng hàng B nằm A M MC với C 3; Gọi H hình chiếu C lên đường thẳng AB Đường thẳng CH qua C vng góc với AB có phương trình x  y  Phương trình đường thẳng AB x4 y 3   3x  y  4   4 x  y   x  y   H  O  0;0  3x  y  Tạo độ điểm H nghiệm hệ phương trình  Dễ thấy O trung điểm đoạn thẳng AB Do đó: z 4i MC nhỏ M  B  4;3  z  4  3i  z  Câu 7: Xét số phức z T z 4i a z bi  4 (a, b  32  ) thỏa z 2i z 3i Tính P a b i đạt giá trị lớn Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 35  Max - Min Module Số Phức A P NĂM HỌC 2019 – 2020 B P 26 C P D P 28 b Lời giải Chọn D z 2i z 3i a b Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z a A  3;  , B 1; 1  AB   2; 5 ; AB  a2 b a bi  M thuộc đường thẳng d : x  y    2    5 2  29 Ta có:  xA  y A   xB  yB       1       A, B nằm phía với d (1)  d  B, d   2 (2) d  A, d   T z 4i z i MA MB AB NGUYỄN HOÀNG VIỆT Gọi 2 29 Do đó: T lớn T  29  M , A, B thẳng hàng M nằm đoạn thẳng AB  MA, MB hướng (3) M  d  b  a   M  a; a    MA    a;  a  Từ (1), (2) (3) suy MA, AB hướng  3 a 2 a 11  a 2 5 DẠNG TOÁN PARABOL Câu Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  i  z1  z1  2i z2  i  10  Giá trị nhỏ biểu thức z1  z2 A 10  B 101  C 101  D  Lời giải Chọn D Gọi z1  a  bi  a, b   Ta có z1  i  z1  z1  2i  b  a2 Tập hợp điểm M biểu diễn z1 parabol  P  : y  x có đỉnh O  0;0  Ta có: z2  i  10   Tập hợp điểm N biễu diễn z2 đường tròn  C  có tâm I 10;1 , R  Khi P  z1  z2  MN khoảng cách từ điểm thuộc  P  đến điểm thuộc  C  Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 36  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  2   MA   ;    AB ( thỏa) 3  11 17 28 a  b   ab  3 Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Ta có: MN  NI  MI  MN  MI  NI  MI 1  MNmin  IM  x2  Mà IM   x  10     1   2  x2        x    45  45  IM  45    NGUYỄN HOÀNG VIỆT Do MNmin   Câu Xét số phức z  a  bi  a , b   thỏa mãn điều kiện  z  z   15i  i  z  z  1 Tính P  a  4b z   3i đạt giá trị nhỏ A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn D  z  z   15i  i  z  z  1   a  bi  a  bi   15i  i  a  bi  a  bi  1 2 2 a2  a  x2  x  Suy điểm M biểu diễn cho số phức z Parabol có phương trình y  1  Gọi N  ;   2  2   39  2  a    1   a  a  10     39 2     z   3i  MN   a        a     2  2        39 15 a  ; b   P  a  4b   z   3i  8 Câu Xét số phức z  a  bi  a , b   P  z  i đạt giá trị nhỏ A 8a  7b  B 8a  7b  thỏa z  3i  z  z  2i Tính 8a  7b biểu thức C 8a  7b  Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng D 8a  7b   Trang 37  LUYENTHITRACNGHIEM.VN   2bi   15i  i  2a  1  8b  15   2a  1  b  Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Lời giải Chọn D Ta có: z  3i  z  z  2i  a  bi  3i  a  bi  a  bi  2i  a   b  3 i   2b   i 2  a   b  3   b  1  b  a  Suy điểm M biểu diễn cho số phức z Parabol có phương trình y  x  NGUYỄN HOÀNG VIỆT 6  Gọi N  0;   7  13  13 1  P  z  i  MN  a   a    7 8  Pmin  13 a  0, b   8a  7b  DẠNG TOÁN MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 1: Xét số phức z thỏa mãn z A Giá trị lớn T B 10 z z D C Lời giải Theo giả thiết, ta có z   x  y  Suy 1  x  Khi đó, T   z  z    x  1  y2  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: T  1  x  1  y  2x   2  2x  22   x      x  hay T  , với 1  x  Vậy Pmax  2 x    x  x   , y    5 Câu 2: Xét số phức z thỏa z A Giá trị lớn T z C B i z i D Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi số phức z  x  yi , với x, y  z gọi M điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức Ta có z     x  1  y  Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 38  LUYENTHITRACNGHIEM.VN Chọn A Gọi số phức z  x  yi , với x, y  Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn  C  tâm I 1;0  bán kính R  Gọi A  0; 1 , B  2;1 điểm biểu diễn số phức z1  i , z2   i Dễ thấy A, B thuộc đường trịn  C  Vì AB  2  2R nên AB đường kính đường tròn  C   MA2  MB2  AB2  Từ đó: 1 NGUYỄN HỒNG VIỆT P  z  i  z   i  MA  MB   12  MA2  MB    MB  MA  MA   Dấu "  " xảy   MA  MB   MB  Vậy max P  Cách T  z  i  z   i   z  1  1  i    z  1  1  i  Đặt w  z  Ta có w  T  w  1  i   w  1  i  Đặt w  x  y.i Khi w   x  y T   x  1   y  1 i   x  1   y  1 i  1   12   x  1   y  1   x  1   y  1 2 2    2x 2   x 1   y 1 2  y2  4  Vậy max T  Câu 3: Xét số phức z S (5(a A S  b) 2)2018 ) có mơđun phần ảo dương Tính giá trị biểu thức P z z đạt giá trị lớn a bi (a, b B S  C S  22018 D S  21009 Lời giải Chọn A Gọi số phức z  a  bi , với a, b  Theo giả thiết, ta có z   a  b2  Suy 2  a  Khi đó, P   z   z   a  2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: P   b2  1 2  a  b2   4a   4a  32  8  4a   8  4a  hay T  10 , với 2  x  Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 39  LUYENTHITRACNGHIEM.VN   x  1   y  1 Max - Min Module Số Phức Vậy Pmax S NĂM HỌC 2019 – 2020  b    4a   4a  a      b    (lo¹i)  (5(a b) 2) 2018 z i 2z 2z z 7i Giá trị M 3i Gọi M , m giá trị lớn nhỏ m C 20  B 10  A 10  D 20  Lời giải Chọn D Gọi z  x  yi với x, y  , gọi M điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Ta có: z   z  3i   x  1  yi  x   y  3 i   x  1  y  x   y  3 NGUYỄN HOÀNG VIỆT P Câu Xét số phức z thỏa mãn 2018   x     y  3  20 2 Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn  C  tâm I  2;3 bán kính R  Gọi A  0; 1 , B  4;7  điểm biểu diễn số phức z1  i , z2   7i Dễ thấy A, B thuộc đường trịn  C  Vì AB   2R nên AB đường kính đường trịn  C  Từ đó: P  z  i  z   7i  z  i  z   7i  MA  2MB  1  22  MA2  MB   10  MB  2MA  MA    MA  MB  20  MB  Dấu "  " xảy  2 Vậy M  max P  10  Ta lại có P  MA  2MB   MA  MB   MB  AB  MB P MB P MB M Vậy M m 10 Câu Xét số phức z thỏa z A 10 B m z P 10 Giá trị lớn nhỏ z B C D Lời giải Chọn D Cách Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 40  LUYENTHITRACNGHIEM.VN  MA2  MB2  AB2  20 Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020 Gọi z  x  yi với x; y  Ta có 10  z   z   z   z   z  z  Do max z  Mà z   z   10  x   yi  x   yi  10   x  4  x  4  y2   y  10 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có  x  4  x  4  y   y2  1 NGUYỄN HOÀNG VIỆT 10   12   x    y   x    y    2  10   x  y  32    x  y  32   100  x  y   x  y   z  Do z  Cách Gọi M  x; y  , F1  4;0  , F1  4;0  biểu diễn cho số phức z , 4 , Ta có MF1  MF2  10  M chạy Elip có trục lớn 2a  10  a  tiêu cự 2c F1F2 c LUYENTHITRACNGHIEM.VN trục nhỏ 2b  a  c2  2.3   b  Mà z  OM Do giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 41  ... thức trị tuyệt đối z1 Ví dụ minh họa: Xét số phức z yi thỏa mãn z x max số phức z Ta có z 3i c di Tìm tổng a (x 2) (y b 3)i c z1 3i a) Giá trị nhỏ giá trị lớn z Ứng với z z z2 z2 z1 z2 số phức. .. y Vậy tổng phần thực z1, z Câu 4: Xét số phức z thỏa mãn iz 21 NGUYỄN HOÀNG VIỆT 12 21 28 x Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P z Giá trị biểu thức 2020 A 2014 B 2016 M m C 2018 D 2022... Xét số phức z thỏa mãn điều kiện (1 giá trị lớn biểu thức P 20 i)z 7i z Giá trị M Gọi m, M giá trị nhỏ m Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng  Trang 15  Max - Min Module Số Phức