Phân dạng và hướng dẫn giải bài toán quan hệ vuông góc

Hãy ch ọ n kh ẳng định đúng trong các khẳng định bên dướ i... Ch ọn đáp án D.[r]

(1)

(2)

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Định nghĩa phép tốn

Định nghĩa, tính chất, phép tốn vềvectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tựnhư mặt phẳng

Lưu ý:

+Qui tắc ba điểm:Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:   ABBC AC

+Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC    +Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD ABCD, ta có:    ABADAA'AC' +Hê thức trung điểm đoạn thẳng:Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý

Ta có: IA IB   0; OA OB  2OI

+Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có:

0;

     

       

GA GB GC OA OB OC OG

+Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có:

0;

       

         

GA GB GC GD OA OB OC OD OG +Điều kiện hai vectơ phương: a b phương a  ( 0)  !kR b:ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có: ;

1 

 

      OA kOB

MA k MB OM

k

2 Sựđồng phẳng ba vectơ

Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , ,

  

a b c, a b  khơng phương Khi đó: , ,

  

a b cđồng phẳng  ! m, n  R: cmanb Cho ba vectơ , ,

  

a b c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ! m, n, p  R: xmanbpc

3 Tích vơ hướng hai vectơ

Góc hai vectơ không gian:

 

, ( , ) (0 180 )

     

     

AB u AC v u v BAC BAC

Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian: + Cho ,u v 0 Khi đĩ: u v   u v  .cos( , )u v  + Với u0 hoặc v0 Qui ước: u v  0

+ uv u v  0

4 Các dạng toán thường gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.

b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng bốn điểm đồng phẳng, phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.

+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: - Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n  R: cma nb  a b c, , đồng phẳng

+ Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a b c, ,  khơng đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: xma nb pc

(3)

+ Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng sở

2

a  a  a  a

   

Vì đểtính độ dài đoạn MN ta thực theo bước sau:

- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a b c, ,   

so cho độ dài chúng có thểtính góc chúng có thểtính

- Phân tích MNma nb pc 

   

-Khi MN MN  MN2  ma nb pc  2

    

     

2 2

2 2 2 cos , 2 cos , 2 cos ,

m a n b p c mn a b np b c mp c a

     

        

e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng bốn điểm để giải tốn hình khơng gian. Sử dụng kết

 A B C D, , , bốn điểm đồng phẳng DAmDB nDC

  

 A B C D, , , bốn điểm đồng phẳng với điểm O ta có

ODxOA yOB zOC 

   

trong x y z  1 B – BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C   , M trung điểm BB Đặt CAa, CBb, AA c Khẳng định sau đúng?

A.

2 AM b c a

   

B

2 AM a c b

   

C

2 AM a c b

   

D

1 AM ba c

    Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta phân tích sau:

1 AM ABBM CBCA BB      

1

2

b a AA b a c     

Câu 2:Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần

đủđể A, B, C, D tạo thành hình bình hành

A. OA   OBOCOD0 B. OAOCOBOD

C. OA OB OC OD

2

1

 

 D. OA OC OB OD

2

1

 



Hướng dẫn giải: Chọn B

Trước hết, điều kiện cần đủđể ABCD hình bình hành là: BDBABC

  

Với điểm O khác A, B, C, D, ta có: BDBABCOD OB OA OB OC  OB         

OA OC OB OD

     

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SAa; SBb; SCc;

SDd

 

Khẳng định sau đúng?

A. a c db B. abcd C. adbc D. ab c d 0 M

B'

C'

A C

B A'

B

A D

(4)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta phân tích sau:

2 SA SC SO SB SD SO

           

   (do tính chất đường trung tuyến)

SA SC SB SD a c d b

           

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M P trung điểm AB CD. Đặt ABb, ACc

 

, ADd Khẳng định sau đúng?

A 1 

2

MP cdb

   

B 1 

2

MP dbc

   

C 1 

2

MP cbd

   

D 1 

2

MP cdb

   

Chọn A Ta phân tích:

 

1

MP MCMD

  

(tính chất đường trung tuyến)

   

1

2

2 AC AM AD AM c d AM

          

   

1

2 c d AB c d b

      

Câu 5: Cho hình hộp ABCD A B C D     có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD.Đặt AC u, '

CA v, BD x, DB  y Khẳng định sau đúng?

A. 1 

2

OI u   v xy B 2 1 

OI  u   v xy

C. 1 

4

OI u   v xy D 2 1 

OI  u   v xy Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta phân tích:

   

u v ACCA  ACCC  CA AA  AA

    2

x yBD DB  BDDD  DB BB  BB AA

4 4.2

u v x y AA A A OI

                 

OI u v x y        

Câu 6: Cho hình hộp ABCD A B C D     Gọi I K tâm hình bình hành ABB A  BCC B  Khẳng định sau sai?

A. 1

2

IK  AC A C    

B.Bốn điểm I , K, C, A đồng phẳng

C. BD2IK2BC

D.Ba vectơ BD; IK; B C  không đồng phẳng

O B A D C S a

b c

 d  M P B D C A b c d I K D' B' C' A D A' O I D' B' C' B A D C A' u

v x

y

(5)

Chọn D

A đúng tính chất đường trung bình B AC tính chất hình bình hành ACC A 

B đúng IK // AC nên bốn điểm I , K, C, A đồng phẳng

C đúng việc ta phân tích:

BD IKBCCDACBCCDADDC         

2

BC BC BC

   

D sai giá ba vectơ BD; IK; B C  song song trùng với mặt phẳng ABCD Do đó, theo định nghĩa sựđồng phẳng vectơ, ba vectơ đồng phẳng

Câu 7: Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “G trọng tâm tứ diện ABCD

GA   GBGCGD” Khẳng định sau sai?

A. G trung điểm đoạn IJ (I , J trung điểm AB CD)

B. G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD

C. G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC

D. Chưa thểxác định Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta gọi I J trung điểm AB CD Từ giả thiết, ta biến đổi sau:

0 2 0

GA GB GC     GD  GI GJ  GI GJ 

G

 trung điểm đoạn IJ

Bằng việc chứng minh tương tự, ta chứng minh

phương án B C phương án đúng, phương án D sai

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt xAB; yAC; zAD Khẳng

định sau đúng?

A. 1 

3

AG xyz

   

B. 1 

3

AG  x yz

   

C. 2 

3

AG xyz

   

D. 2 

3

AG  x y z

    Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi M trung điểm CD Ta phân tích:

 

2

3

AG ABBG AB BM AB AMAB

       

     

2 1

3 3

AB  AC AD AB AB AC AD x y z

          

 

         

G J I

B D

C

A

G M

B D

C A

x y

(6)

Câu 9: Cho hình hộp ABCD A B C D     có tâm O Đặt ABa; BCb M điểm xác định

 

1

OM ab Khẳng định sau đúng?

A. M tâm hình bình hành ABB A  B. M tâm hình bình hành BCC B  C. M trung điểm BB D. M trung điểm CC

Chọn C Ta phân tích:

     

1 1

2 2

OM ab   ABBC   ABAD  DB M

 trung điểm BB

Câu 10:Cho ba vectơ a b c  , , không đồng phẳng Xét vectơx2a b y   ;  4a2 ;b z   3b2c Chọn khẳng định đúng?

A Haivectơ  y z; phương B.Haivectơ x y ; phương C Haivectơ x z;

 

cùng phương D.Ba vectơ x y z; ;   

đồng phẳng

Hướng dẫn giải: Chọn B

+ Nhận thấy: y 2x

 

nên haivectơ x y;  

cùng phương

Câu 11:Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt tạiO Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A.Nếu ABCD hình bình hành OA OB OC      OD0 B.Nếu ABCD hình thang OA OB  2OC2OD 0 C.Nếu OA OB OC      OD0 ABCD hình bình hành D.Nếu OA OB  2OC2OD 0 ABCD hình thang

Câu 12:Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Chọn khẳng định đúng?

A BD BD BC  , 1, 1 đồng phẳng B   CD AD A B1, , 1 1 đồng phẳng C CD AD A C  1, , 1 đồng phẳng D   AB AD C A, , 1 đồng phẳng

Hướng dẫn giải: Chọn C

, , , M N P Q

 trung điểm AB AA DD CD, 1, 1, Ta có CD1/ /(MNPQ); AD/ /MNPQ; A C1 / /(MNPQ)

1, , CD AD A C

   đồng phẳng

O

D'

B' C'

B A

D C A'

a b



D

A1 B1

C1

D1

C

(7)

Câu 13: Cho ba vectơ a b c  , , không đồng phẳng Xét vectơ x2a  b y;    a b c;z 3b2c Chọn khẳng định đúng?

A Ba vectơ x y z  ; ; đồng phẳng B.Haivectơ x a ; phương

C Haivectơ x b ; phương D.Bavectơ   x y z; ; đôi phương

Chọn A

Ta có: 1 

y  xz

  

nên ba vectơ x y z  ; ; đồng phẳng

Câu 14: Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

1 1

ABB C DD k AC    

A. k 4. B. k 1. C. k0. D. k 2.

Chọn B

+ Ta có:       ABB C1 1DD1 ABBCCC1AC1 Nên k 1

Câu 15:Cho hình hộp ABCD A B C D     có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt  AC u, CA  v, BD  x,  DB  y Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng?

A. 1( )

4

OI   u  v x y

    

B. 1( )

2

OI  u     v x y

C. 1( )

2

OI  u  v x y

    

D. 1( )

4

OI u     v x y

Chọn A

+ Gọi ,J K trung điểm AB CD, +Ta có:

 

1

2 ( )

2

OI  OJOK  OA OB    OCOD   u     v x y

D

A1 B1

C1

D1

C

B A

J

K

O D

C’ D’

C

(8)

Câu 16:Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C 1 1 1 Đặt        AA1 a AB, b AC, c BC, d,trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng?

A a b c d       0 B a b c     d C. b c d     0 D. a   b c

Chọn C

+ Dễ thấy:    ABBC CA   0 b d    c

Câu 17: Cho hình hộpABCD EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hànhBCGF Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A BD AK GF, ,   

đồng phẳng B BD IK GF, ,

  

đồng phẳng C BD EK GF, ,

  

đồng phẳng D. BD IK GC, ,

  

đồng phẳng

Chọn B

+

//( )

BD (ABCD)

IK ABCD

GF ABCD

  

 



, , IK GF BD

   đồng phẳng

+ Các bộvéctơ câu , ,A C D khơng thể có giá song song với mặt phẳng

Câu 18:Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A.Nếu giá ba vectơ a b c, ,

  

cắt đơi ba vectơ đồng phẳng B.Nếu ba vectơ a b c, ,

  

có vectơ 0 ba vectơ đồng phẳng C.Nếu giá ba vectơ a b c, ,

  

song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng   

A

B

C

B1

A1 C1

I

K D

E F

G H

C

(9)

Chọn A

+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng

Câu 19:Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A  AC1A C1 2AC B  AC1CA12C C 1 0 C AC1A C1 AA1

  

D CA1ACCC1

  

Chọn A

+ Gọi O tâm hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra

Câu 20:Hãy chọn mệnh đềđúng mệnh đềsau đây:

A. Tứ giác ABCD hình bình hành     ABBCCDDAO B.Tứ giác ABCD hình bình hành  ABCD

C. Cho hình chóp S ABCD Nếu có    SBSDSA SC tứ giác ABCD hình bình hành D. Tứ giác ABCD hình bình hành nếu  ABACAD

Chọn C

SBSDSA SC SAABSAADSA SA AC           

AB AD AC

     ABCD hình bình hành

Câu 21:Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh a Ta có  AB EG bằng? A. a2 B. a2 C. a2 D

2 2 a

Chọn B

 

AB EGAB EFEH AB EFAB EH

       

( )

AB AB AD EH AD

     a2 (Vì ABAD)

O D

A1 B1

C1

D1

C

(10)

Câu 22:Trong không gian cho điểm O bốn điểm , , ,A B C D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để , , ,A B C D tạo thành hình bình hành là:

A 1

2

OA OB OC OD B 1

2

OA OCOB OD

    C. OA OC    OB OD D.     OA OB OC  OD0

Chọn C

  

   

OA OC OB OD OA OA       ACOAAB OA BC    AC ABBC

Câu 23:Cho hình hộp ABCD A B C D     Gọi I K tâm hình bình hành ABB A’ ’ BCC B  Khẳng định sau sai ?

A.Bốn điểm I , K, C, A đồng phẳng B. 1

2

IK  AC A C    

C.Ba vectơ   BD IK B C; ;   không đồng phẳng D. BD2IK2BC Hướng dẫn giải:

Chọn C

A.Đúng IK AC,  

thuộc B AC 

B.Đúng ' 1  1  1  1

2 2 2

IK IBB K  ab   a c  bc  AC A C            

C.Sai ' 1  1  1 

2 2

IK IBB K  ab   a c  bc

        

2 2

BD IK b c b c c B C 

            ba véctơ đồng phẳng

D.Đúng theo câu C BD2IK      b c b c    2c2B C 2BC

Câu 24: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M N, cho AM 3MD,

BN  NC Gọi P Q, trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A.Các vectơ   BD AC MN, , đồng phẳng B.Các vectơ MN DC PQ  , , đồng phẳng

C.Các vectơ   AB DC PQ, , đồng phẳng D.Các vectơ   AB DC MN, , đồng phẳng Chọn A

A.Sai

3 3

MN MA AC CN MN MA AC CN

MN MD DB BN MN MD DB BN

       

 



 

     

 

 

               

1

4

2 MN AC BD BC

       BD AC MN, ,   

không đồng phẳng

B.Đúng

 

1

2

MN MP PQ QN

MN PQ DC MN PQ DC

MN MD DC CN

   



     



  

 

   

         

(11)

C.Đúng Bằng cách biểu diễn PQ tương tựnhư ta có 1 

PQ ABDC

  

D.Đúng Biểu diễn giống đáp án A ta có 1

4

MN  AB DC

  

Câu 25: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây:

A.     AD CB BCDA0 B

2

2 a AB BC 

 

C.    AC AD  AC CD D. ABCD hay  AB CD 0 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Vì ABCD tứ diện nên tam giác ABC BCD CDA ABD, , , tam giác

A Đúng         AD CB BCDADAADBCCB0

B.Đúng

2

.cos 60

2 a AB BC  BA BC  a a  

   

C.Sai

2

0

.cos 60 ; cos 60

2

a a

AC ADa a  AC CD CA CD a a  

     

D.Đúng ABCD AB CD 0

Câu 26: Cho tứ diện ABCD Đặt ABa AC    , b AD, c, gọi G trọng tâm tam giácBCD

Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng?

A.    AG  a b c B 1 

3

AG a b c

   

C. 1 

2

AG a b c     

D. 1 

4

AG a b c     

Chọn B

Gọi M trung điểm BC

 

2

3

AGABBGa BM a BCBD

       

     

1 1

2

3 3

(12)

A. B M   1 B B1 B A1 1B C1 1 B 1 1 1 1 1 1 C M C CC D  C B

    C 1 1 1 1 1 1

2

C M C C C D  C B D   BB1B A1 1B C1 12B D1

Chọn B

A.Sai 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1

2

B M B BBM BB  BABD BB  B A B D

        

 

1 1 1 1 1 1

1

2

BB B A B A B C BB B A B C          B.Đúng

   

1 1 1 1

1

2

C M   C CCM C C CA CD  C C C A C D

 

1 1 1 1 1 1

1

2

C C C B C D C D C C C D C B          C.Sai theo câu B suy

D.Đúng BB     1B A1 1B C1 1BA1BCBD1

Câu 28: Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa mãn GA GB GC      GD0 (G trọng tâm tứ

diện) Gọi GO giao điểm GA mp (BCD) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A GA 2G G0

 

B GA4G G0  

C GA3G G0  

D GA2G G0  

Chọn C

Theo đề: GO giao điểm GA mp BCD G0là trọng tâm tam giác BCD

0 0

G A G B G C

     

Ta có: GA GB GC      GD0

  3 0 0  3

GA GB GC GD GG G A G B G C GG G G

                 

Câu 29:Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm AD BC, Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A.Các vectơ AB DC MN, ,   

đồng phẳng B.Các vectơ AB AC MN, ,   

không đồng phẳng

(13)

Chọn C

A.Đúng 1 

MN  ABDC

  

B.Đúng từ N ta dựng véctơ véctơ MN MN khơng nằm mặt phẳng ABC C.Sai Tương tựđáp án B AN khơng nằm mặt phẳng CMN

D.Đúng 1 

MN  ACBD

  

Câu 30: Cho tứ diệnABCD Người ta định nghĩa “G trọng tâm tứ diện ABCD

GA GB GC      GD ” Khẳng định sau sai ?

A. G trung điểm đoạn IJ (I J, trung điểm AB vàCD ) B. G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD

C. G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC

D. Chưa thểxác định

Chọn D

Ta có:GA GB  GC GD0 2GI2GJ0 G trung điểm IJ nên đáp án A

Tương tựcho đáp án B C

Câu 31:Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Gọi O tâm hình lập phương Chọn đẳng thức đúng?

A. 1 1

3

AO ABADAA

   

B. 1 1

2

AO ABADAA

   

C. 1 1

4

AO ABADAA

   

D. 2 1

3

AO ABADAA

   

Chọn B

(14)

Câu 32:Trong mệnh đề sau đây, mệnh đềnào đúng? A Từ AB3AC ta suy BA 3CA

B.Nếu AB  BC

 

B trung điểm đoạnAC

C.Vì AB 2AC5AD nên bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng D.Từ AB 3AC ta suy CB2AC

Chọn C

Ta có: AB 2AC5AD

Suy ra:   AB AC AD, , hay bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng

Câu 33:Cho tứ diệnABCD Gọi M N, trung điểm AB CD, G trung điểm MN Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A. MA MB    MCMD4MG B. GA GB GC     GD C. GA GB GC      GD0 D. GM  GN 0

Chọn B , ,

M N G trung điểm AB CD MN, , theo quy tắc trung điểm :

2 ; ;

GA GB   GM GC  GD GN GM   GN 

Suy ra: GA GB GC      GD0 hay GA GB   GC  GD

Câu 34: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Hãy tìm mệnh đề sai mệnh đềsau đây:

A. 2    ABB C CDD A 0 B.  AD AB  a2

C.  AB CD  0 D AC a Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có : 2ABB C CDD A 0     

   

AB AB CD B C  D A        

0 0

AB AB

      (vơ lí)

Câu 35:Cho hình hộp ABCD A B C D     với tâm O Hãy đẳng thức sai trong đẳng thức sau

đây:

(15)

Chọn B

Ta có : ABAA ADDD ABAD (vơ lí)

Câu 36:Cho ba vectơ a b c , , không đồng phẳng Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A. Các vectơ x a b  2 ;c y 2a3b6 ; c z  a 3b6c đồng phẳng

B.Các vectơ x a2b4 ; c y3a3b2 ;c z 2a3b3c đồng phẳng C. Các vectơ x a b    c y; 2a3b  c z;   a 3b3c đồng phẳng D. Các vectơ xa b c y     ; 2a b  3 ;c z    a b  2c đồng phẳng

Chọn B

Các vectơ x y z, ,   

đồng phẳng m n x, : m ynz

   Mà : x m ynz

   

2 3 2 3

a b c m a b c n a b c           

3

2

m n

 

 

    

  



(hệ vô nghiệm)

Vậy không tồn hai số , :m n xm ynz

  

Câu 37: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi G điểm thỏa mãn:

GS     GA GB GC  GD Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A. G S O, , không thẳng hàng B. GS4OG

C. GS5OG D. GS3OG

Chọn B

0 GS    GA GB GCGD

 

4

GS GO OA OB OC OD          

4

GS GO

  GS4OG

Câu 38:Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có AA     a AB, b AC, c Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC



qua vectơ a b c  , ,

A. BC      a b c B. BC    a b c   C. BC    a b c   D.    BC   a b c

Chọn D

Ta có:   BCBAAC   ABACAA      b c a   a b c  

(16)

A. GA GB   GCGD0 B 1 

OG OAOBOCOD

    

C. 2 

3

AG ABACAD

   

D. 1 

4

AG ABACAD

   

Chọn C

G trọng tâm tứ diện ABCD

 

1

0

4

GA GB GC GD GA AB AC AD AG AB AC AD

                  

Câu 40:Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MNk AC BD

A

k B

3

k  C. k 3 D. k2

Chọn A

 

1

MN  MCMD

  

(quy tắc trung điểm) 1 

2 MA AC MB BD

       Mà MA MB   0 (vì M trung điểm AB) 1 

2

MN AC BD   

Câu 41:Cho ba vectơ a b c, ,   

Điều kiện sau khẳng định , ,a b c

  

đồng phẳng? A.Tồn ba số thực , ,m n p thỏa mãn m n p0 manb pc0

    B.Tồn ba số thực , ,m n p thỏa mãn m n p0 manb pc 0 C.Tồn ba số thực , ,m n p cho manb pc 0

D.Giá , ,a b c

  

đồng qui

Chọn B

Theo giả thuyết m n p0  tồn số khác Giả sử m0 Từ ma nb pc a nb pc

m m

      

      

, ,

a b c

  

đồng phẳng (theo định lý sựđồng phẳng ba véctơ)

Câu 42:Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có AA a AB, b AC, c

     

Hãy phân tích (biểu thị) vectơ B C



qua vectơ a b c, ,   

A. B C      a b c B. B C    a b c   C.    B C   a b c D. B C    a b c  

Chọn D

B C B B B C 

  

(qt hình bình hành)

AA BC a AC AB a b c

(17)

Câu 43:Trong mệnh đềsau đây, mệnh đề đúng? A Nếu

2 AB  BC

 

B trung điểm đoạn AC B.Từ AB 3AC ta suy CB  AC

C. Vì AB 2AC5AD nên bốn điểm A B C D, , , thuộc mặt phẳng

D. Từ AB3AC ta suy BA 3CA Hướng dẫn giải:

Chọn C

A. Sai

2 AB  BC  

A trung điểm BC

B.Sai AB3AC CB 4AC

C.Đúng theo định lý sựđồng phẳng véctơ D.Sai AB3ACBA3CA (nhân vế cho 1)

Câu 44:Hãy chọn mệnh đềsai trong mệnh đềsau đây: A. Ba véctơ a b c, ,

  

đồng phẳng có hai ba véctơ phương

B.Ba véctơ a b c, ,   

đồng phẳng có ba véctơ véctơ 0

C. véctơ luôn đồng phẳng với hai véctơ a b

D. Cho hình hộp ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ ba véctơ   AB C A DA,  ,  đồng phẳng Hướng dẫn giải:

Chọn C

A.Đúng theo định nghĩa đồng phẳng

B.Đúng theo định nghĩa đồng phẳng

C.Sai

D.Đúng

DA AA AD a c

AB a b AB DA CA

C A CA b c

    

 

    

 

     

 

    

     

    3

vectơ  AB C A DA,  ,  đồng phẳng

Câu 45:Trong kết quảsau đây, kết quảnào đúng? Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh a Ta có  AB EG bằng:

A. a2 B. a C. a D

2 a Hướng dẫn giải:

Chọn A

x  a b c

(18)

  

2 2

0 0

AB EG EF EH AE EF FB

EF AE EF EF FB EH AE EH EF EH FB

a EH EA a a

   

     

        

      

           

Câu 46:Cho hình chóp S ABCD Gọi O giao điểm AC BD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A.Nếu SA SB  2SC2SD6SO ABCD hình thang

B.Nếu ABCD hình bình hành    SA SB SCSD4SO

C.Nếu ABCD hình thang  SA SB 2SC2SD6SO

D.Nếu    SA SB SCSD4SO ABCD hình bình hành Hướng dẫn giải:

Chọn C

A.Đúng SA SB  2SC2SD6SO

2

OA OB OC OD

     

Vì O A C, , O B D, , thẳng hàng nên đặt OAkOC OB; mOD

   k 1OC m 1OD

      Mà OC OD,

 

không phương nên k 2 m 2 

2 / /

OA OB

AB CD OC OD 

B.Đúng Hs tự biến đổi cách chêm điểm O vào vế trái

C.Sai Vì ABCD hình thang cân có đáy AD BC, sai

D.Đúng Tương tựđáp án A với k 1,m  1 O trung điểm đường chéo

Câu 47:Trong mệnh đềsau đây, mệnh đề sai?

A.Từ hệ thức AB2AC8AD ta suy ba véctơ   AB AC AD, , đồng phẳng

B.Vì   NM NP0 nên N trung điểm đoạn MP

C.Vì I trung điểm đoạn AB nên từ điẻm O ta có 1 

OI OA OB 

D.Vì     ABBCCDDA0 nên bốn điểm A B C D, , , thuộc mặt phẳng Hướng dẫn giải:

Chọn D

A Đúng theo định nghĩa sựđồng phẳng véctơ B.Đúng

C.Đúng OA OB      OIIA OI IB

Mà IA IB   0 (vì I trung điểm AB) OA OB  2OI

D.Sai khơng theo định nghĩa sựđồng phẳng

Câu 48: Cho hình hộp ABCD A B C D     có tâm O Đặt  ABa; BCb M điểm xác định  

1

(19)

A. M trung điểm BB B. M tâm hình bình hành BCC B  C. M tâm hình bình hành ABB A  D. M trung điểm CC

Chọn A

A. M trung điểm BB 1 

2

OM OB OB B D BD

         (quy tắc trung điểm)

 

1

2 B B b a BB b a

            (quy tắc hình hộp) 1 2 

2 a b a b

      

Câu 49:Cho hai điểm phân biệt ,A B điểm O không thuộc đường thẳng AB Mệnh đề sau đúng?

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB OM  OA OB B.Điểm M thuộc đường thẳng AB OM OBk BA C. Điểm M thuộc đường thẳng AB OM kOA1k OB

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB  OM OBk OB OA   Hướng dẫn giải:

Chọn C

A. Sai OA OB  2OI (I trung điểm AB) OM2OI O M I, , thẳng hàng

B.Sai OM OBM B OBk BA O B A, , thẳng hàng: vô lý

C. OMkOA1k OBOM OBk OA OB   BM k BA B A M, , thẳng hàng

D. Sai OB OA   ABOBk OB OA  k AB O B A, , thẳng hàng: vô lý

Câu 50: Gọi M N, trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I

trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào

đẳng thức vectơ: PI k PA   PBPCPD

A. k 4. B

2

k  C

4

k  D. k 2. Hướng dẫn giải: :

Chọn C

Ta có PA PC 2PM,  PBPD2PN

nên PAPB PC PD2PM 2PN 2(PM PN)2.2.PI 4PI

        

Vậy k 

Câu 51:Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Chọn đẳng thức sai?

A. BCBAB C1 B A1    

B ADD C1 1D A1 DC    

C BC  BABB1  BD1 D BA  DD1BD1 BC Hướng dẫn giải:

Chọn D. Ta có :

1 1 1

BADD BD  BABB BD BA BD  BC         

nên D sai

Do BC B C1 1và BA B A1 1 nên BC BA B C1 1B A1 1 A

(20)

Do   ADD C1 1D A1 1  ADD B1 1  A D1 1D B1 1 A B1 1 DC nên 1 1

ADD C D A DC    

nên B

Do   BCBABB1  BDDD1 BD1 nên C

Câu 52:Cho tứ diệnABCD Gọi , P Q trung điểm AB CD Chọn khẳng định đúng?

A. 1 

4

PQ  BC AD

  

B. 1 

2

PQ BC AD

  

C. 1 

2

PQ  BC AD

  

D. PQBC AD

  

Hướng dẫn giải: : Chọn B

Ta có : PQ PBBCCQ

   

PQ PA ADDQ

   

nên 2PQ PAPBBC ADCQ DQBC  AD Vậy 1 

PQ BCAD

  

Câu 53: Cho hình hộp ABCD A B C D     M điểm AC choAC 3MC Lấy N đoạn C D cho xC D C N Với giá trị x thìMN D// 

A.

x B.

3

x C.

4

x  D.

2 x

Hướng dẫn giải: : Chọn A

Câu 54: Cho hình hộp ABCD A B C D     Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: BDD D B D k BB

   

A. k 2. B. k 4. C. k 1. D. k 0.

Hướng dẫn giải: : Chọn C

(21)

A. Vì I trung điểm đoạn AB nên từ O ta có: 1 

OI OA OB B.Vì    ABBCCDDA0 nên bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng C. Vì NM NP0 nên N trung điểm đoạnNP

D. Từ hệ thức AB 2AC8AD ta suy ba vectơ AB AC AD, ,   

đồng phẳng

Hướng dẫn giải: : Chọn B

Do    ABBCCDDA0 với điểm A B C D, , , nên câu B sai

Câu 56:Trong mệnh đềsau đây, mệnh đề sai?

A Ba véctơ đồng phẳng chỉkhi ba véctơ có giá thuộc mặt phẳng B.Ba tia Ox Oy Oz, , vng góc với đơi ba tia khơng đồng phẳng

C. Cho hai véctơ không phương Khi ba véctơ đồng phẳng có cặp số m n, cho , cặp số m n,

D. Nếu có ba số , ,m n p khác 0 ba véctơ đồng phẳng

Hướng dẫn giải: : Chọn A

Ba véctơ đồng phẳng chỉkhi ba véctơ có giá song song thuộc mặt phẳng Câu A sai

Câu 57:Gọi M N, trung điểm cạnh AC BD tứ diệnABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: IA(2k1)IBk IC ID 0

A. k 2. B. k 4. C. k 1. D. k 0.

Hướng dẫn giải: : Chọn C

Ta chứng minh    IAIBICID0 nên k 1

Câu 58:Cho ba vectơ a b c, ,   

Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A. Nếu a b c  , , khơng đồng phẳng từ manb pc 0 ta suy mn  p0

B.Nếu có manb pc 0, m2 n2  p2 0 a b c  , , đồng phẳng

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn mn p0 ta có ma nb pc 0 a b c, ,   

đồng phẳng

D. Nếu giá a b c, ,   

đồng qui a b c, ,   

đồng phẳng Hướng dẫn giải: :

Chọn D

Câu D sai Ví dụ phản chứng cạnh hình chóp tam giác đồng qui đỉnh chúng không đồng phẳng

Câu 59: Cho hình lăng trụABCA B C  , M trung điểm củaBB’ Đặt CA a,CB b, AA'c Khẳng định sau đúng?

A.

2 AM a c b

   

B.

2 AM b c a

   

C.

2 AM ba c

   

D

1 AM a c b

    Hướng dẫn giải: : Chọn C

Ta có     AM  ABBM CBCA1BB    b a 1c

, ,

a b c  

a 

b 

, ,

a b c    cma nb 

0 manbpc

   

, ,

a b c  

, ,

(22)

Câu 60:Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C   Đặt AA a AB      , b AC, c BC, d Trong biểu thức véctơ sau đây, biểu thức

A. a   b c B. a b c d       0 C. b c d    0 D. a b c     d Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: b c d          ABACBCCBBC0

Câu 61:Cho tứ diện ABCD I trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức A. 6SI   SA SB SC B. SI   SA SB SC

C. SI3  SA SB SC D 1

3 3

SI  SA SB SC

    Hướng dẫn giải:

Chọn D

Vì I trọng tâm tam giác ABC nên 1

3 3

SASBSC SI SI  SA SB SC

       

Câu 62:Trong mệnh đề sau, mệnh đềnào

A Ba véctơ đồng phẳng ba véctơ nằm mặt phẳng

B.Ba véctơ a b c  , , đồng phẳng có cma nb  với m n, số

C.Ba véctơ không đồng phẳng có d manbpc

   

với d véctơ

D.Ba véctơ đồng phẳng ba véctơ có giá song song với mặt phẳng Hướng dẫn giải:

Chọn D

Câu A sai ba véctơ đồng phẳng ba véctơ có giá song song với mặt phẳng Câu B sai thiếu điều kiện véctơ a b,

 

không phương

Câu C sai d manbpc

   

với d véctơ khơng phải điều kiện để3 véctơ a b c, ,   

đồng phẳng

Câu 63: Cho hình hộp ABCD A B C D     Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

 '  ACBAk DB C D 

    

A. k0 B. k 1 C. k 4 D. k2

(23)

Câu 64: Cho hình chóp S ABC Lấy điểm A B C, ,  thuộc tia SA SB SC, , cho

, ,

SAa SA SB b SB SC c SC, a b c, , số thay đổi Tìm mối liên hệ , ,a b cđể mặt phẳng A B C   qua trọng tâm tam giác ABC

A. a b c  3. B. a b c  4. C. a b c  2. D. a b c  1.

Chọn A

Nếu ab c SASA SB, SB SC, SC nên ABC  A B C  

Suy A B C   qua trọng tâm tam giác ABC=>a b c  3 đáp án

Câu 65:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SAa SB      , b SC, c SD, d Khẳng định sau

A a c    db B a c d       b C a d     b c D a b     c d

Chọn A

Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có: 2 a c SA SC SO b d SB SD SO

    

 

   

 

    

    =>a c    db

Câu 66:Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đềnào sau sai

A. 2 

3

AG ABACAD

   

B. 1 

4

AG ABACAD

   

C 1 

4

OG OA OB    OCOD D. GA GB GC      GD0

Chọn A

Theo giả thuyết với O điểm ta ln có: 1 

OG OA OB    OCOD Ta thay điểm O điểm A ta có:

   

1

4

AG AAABACAD  AG ABACAD

        

Do 2 

3

AG ABACAD

   

sai

Câu 67:Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 với tâm O Chọn đẳng thức sai. A ABAA1ADDD1

   

B AC1 ABADAA1

   

C     ABBC1CDD A1 0 D      ABBC CC 1 AD1D O OC1  1

Chọn A

Ta có      ABAA1 AB1, ADDD1 AD1 mà  AB1 AD1 nên    ABAA1 ADDD1 sai

Câu 68:Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt  ABb, AC c, ADd

 

Khẳng định sau

A 1( )

2

MP cdb

   

B. 1( )

2

MP d b c

   

C 1( )

2

MP c b d     

D 1( )

2

MP cdb

    Hướng dẫn giải:

(24)

Ta có 2 2  1( )

c     d b ACADAB AP AM  MP MP c  db

Câu 69:Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Chọn khẳng định

A BD BD BC  , 1, 1 đồng phẳng B BA BD BD  1, 1, đồng phẳng C BA BD BC  1, 1, đồng phẳng D   BA BD BC1, 1, 1 đồng phẳng

Chọn C

Ta có véctơ   BA BD BC1, 1, đồng phẳng chúng có giá nằm mặt phẳng BCD A1 1

Câu 70:Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt xAB;  y AC; z AD Khẳng định sau đúng?

A 1( )

3

AG xyz

   

B. 1( )

3

AG  xyz

   

C. 2( )

3

AG xyz

   

D. 2( )

3

AG  xyz

   

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta có: AGABBG AG; ACCG AG; ADDG

        

3AG AB AC AD BG CG DG AB AC AD x y z

                       Vì G trọng tâm tam giác BCD nên    BG CG DG0

Câu 71:Cho hình chóp S ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A.Nếu ABCD hình bình hành SB   SDSA SC

B.Nếu SB   SDSA SC ABCD hình bình hành

C.Nếu ABCD hình thang SB2 SDSA2SC

D.Nếu SB2 SDSA2SC ABCD hình thang Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đáp án C sai ABCD hình thang có đáy AD BC ta có

2

SD SBSC SA    

Câu 72:Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MNk AD BC

A. k3 B

2

k  C. k 2 D

3 k  Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: MN MA AD DN 2MN AD BC MA MB DN CN

MN MB BC CN



   

      



   

   

          

Mà M N trung điểm AB CD nên MABM  MB DN; NC CN

     

Do 1 

2

MN  ADBCMN  ADBC

     

Câu 73:Cho tứ diện ABCD Đặt ABa AC, b AD, c,      

gọi M trung điểm BC Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

(25)

C. 1 

DM  a bc

   

D. 1 

2

DM  a b c    

Chọn A

Ta có: 1 

2

DM DAABBM ABAD BC ABAD BAAC

          

 

1 1 1

2

2AB 2AC AD 2a 2b c a b c

            

Câu 74:Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:   DA DB DCk DG

A

k  B. k 2 C. k3 D k 

Chọn C

Chứng minh tương tự câu 61 ta có   DA DB DC3DG

Câu 75:Cho tứ diện ABCD Gọi E F, điểm thỏa nãm EAkEB FD, kFC    

P Q R, , điểm xác định PA lPD QE lQF RB lRC ,  , 

     

Chứng minh ba điểm P Q R, , thẳng hàng.Khẳng định sau đúng?

A. P, Q, R thẳng hàng B.P, Q, R không đồng phẳng C. P, Q, R không thẳng hàng D. CảA, B, C sai

Hướng dẫn giải: Chọn C

Ta có    PQPAAEEQ 1   

  

   

PQ PD DF FQ

Từ  2 ta có l PQl PD l DF l FQ  3 Lấy    1  theo vế ta có

1l PQ  AE l DF 

1

  

 

  l 

PQ AE DF

l l

Tương tự

1

 

 

  l 

QR EB FC

l l

Mặt khác  ,     

EA k EB FD k FC nên

1 1



     

   

  l  k  kl  

PQ AE DF EB FC kQR

l l l l

Vậy P Q R, , thẳng hàng

Câu 76:Cho tứ diện ABCD Gọi I J, trung điểm AB CD, G trung điểm IJ

a) Giả sử a IJ.  ACBDthì giá trị a là?

A. B.1 C. 1 D.

2

b) Cho đẵng thức sau, đẵng thức đúng?

A GA GB GC      GD0 B GA GB GC     GD2IJ

C GA GB GC      GDJI D GA GB GC     GD 2JI

Q A

B

C

D E

F R

(26)

c) Xác định vị trí M để    MA MB MCMD nhỏ

A.Trung điểm AB B.Trùng với G C.Trung điểm AC D Trung điểm CD

a)     

  

 

       IJ IA AC CJ

IJ IB BD DJ

2  IJ ACBD b) GA GB GC     GDGA GB    GC GD

 

2 2

 GI GJ  GIGJ 

c) Ta có    MA MB MCMD 4MG nên

  

   

MA MB MC MD nhỏ M G

Câu 77:Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Xác định vịtrí điểm M N, AC DC' cho MNBD' Tính tỉ số

' MN

BD bằng?

A.

3 B.

1

2 C.1 D.

2

, , '

  

     

BA a BC b BB c

Giả sử  ,  '

   

AM x AC DN y DC

Dễ dàng có biểu diễn BM 1x axb BN1y a b  yc Từđó suy MNxy a1x byc 1 

Để MNBD' MN z BD'z a b c     2 

Từ  1  2 ta có: xy a1x byc =za b c    

  1    =0

 x y z a  x z b yz c 

3

1

3

1

     

 

 

     

   

 

  

x

x y z

x z y

y z

z

Vậy điểm M N, xác định , '

3

 

   

AM AC DN DC

Ta có ' '

3 '

   

   MN

MN z BD BD

BD

Câu 78:Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a góc

  

' ' '60 , ' '  ' ' 120

B A D B A A D A A

G A

B

C

D I

R

J

D'

M

C'

A'

D

A B

C D'

(27)

A. AB A D, ' 600;AC B D', ' 900 B. AB A D, ' 500;AC B D', ' 900 C. AB A D, ' 400;AC B D', ' 900 D. AB A D, ' 300;AC B D', ' 900 b) Tính diện tích tứ giác A B CD' ' ACC A' '

A SA B CD' ' a2 3;SAA C C' ' a2 B SA B CD' ' a2;SAA C C' ' a22 C ' '

2  A B CD

S a ;SAA C C' ' 2a2 D SA B CD' ' a2;SAA C C' ' a2 c) Tính góc đường thẳng AC' với đường thẳng AB AD AA, , '

A. ',  ',  ', ' arccos

  

AC AB AC AD AC AA

B. ',  ',  ', ' arccos

  

C. ',  ',  ', ' arccos

  

D. ',  ',  ', ' arccos

  

a) Đặt AA'a A B    , ' 'b A D, ' 'c

Ta có   A D'  a c nên 

   

cos AB A D, '  cos  AB A D, '  

' '



 



    

 AB A D a a  c AB A D a a c

Để ý a c  a,   2

a a a c 

  

Từđó cos, '  , '  600

  

AB A D AB A D

Ta có AC'  b c  a B D, ' a b   c, từđó tính

   

' '      0 ', ' 90

      

AC B D b c a a b c AC B D

b)        A C' a b c B D  , ' a b c   A C B D' ' a b c a b c          0

' '

 A CB D nên ' ' ' '

 A B DC

S A C B D

Dễdàng tính ' 2, ' ' ' 2

2

   A B CD  

A C a B D a S a a a

 

' '  ' sin ',   AA C C

S AA AC AA AC , AA'a Ac, a

Tính sin ',  cos2 ', 

  

   

AA AC AA AC

C'

B' A'

D

A B

(28)

Vậy ' '  

' sin ',

3

    

AA C C

S AA AC AA AC a a a c) ĐS:',  ',  ', ' arccos

3

  

Câu 79:Cho tam giác ABC, cơng thức tính diện tích sau

A 2

2

 

S AB AC BC B  

2 2 1 2    

S AB AC AB AC

C 2 1 2

2

   

S AB AC AB AC D 2  2

2

   

S AB AC AB AC

Hướng dẫn giải: Chọn D

 

2 2 2

1 1

sin sin cos

2 2

   

ABC

S ABAC A AB AB A AB AC A  2

2

 AB AC   AB AC

Câu 6. Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M N P Q, , , thuộc AB BC CD DA, , , cho

1

, , ,

3

   

       

AM AB BN BC AQ AD DP k DC Hãy xác định k để M N P Q, , , đồng phẳng

A

2

k B

3

k C

4 

k D

5  k Hướng dẫn giải:

Chọn A Cách 1.

Ta có 1

3

    

    

AM AB BM BA BA

3 BM  BA Lại có

3   

BN BC MNAC Vậy Nếu M N P Q, , , đồng phẳng

MNPQ  ACDPQ AC

 PC  QA 

PD QD hay

1

2

  

 

DP DC k

Cách 2.Đặt DAa DB    , b DC, c khơng khó khăn ta có biểu diễn

2

3

     

MN a b,

3

   

   

MP a b kc, 1

6

     

MN a b

Các điểm M N P Q, , , đồng phẳng chỉkhi vec tơ   MN MP MQ, , đồng phẳng , :

 x y MPxMNyMQ

2 2 1

3 3

   

          

   

      

a b k c x a c y a b

Do vec tơ a b c , , không đồng phẳng nên điều tương đương với

(29)

2

3

1

, 1,

3

2                      x y

y x y k

x k

Câu 80:Cho hình chóp S ABC có SASBSCa, ASBBSCCSA Gọi   mặt phẳng qua A trung điểm SB SC,

Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng   A

2

7 cos 16 cos

a  

S   B

2

7 cos cos

a  

S  

C

2

7 cos cos

a  

S   D

2

7 cos 16 cos

a  

S  

Gọi B C', ' trung điểm SB SC, Thiết diện tam giác AB C' ' Theo tập ' ' '2 '2  ' '2

2

   

AB C

S AB AC AB AC

Ta có ' '

2

   

    

AB SB SA SB SA

2 2

'

 AB  SB SA SASB

 

2

5 cos

a   Tính tương tự, ta có

 

2

' ' 3cos

4

 

 a

AB AC 

Vậy    

4

2

' '

5 cos cos

2 16 16

AB C

a a

S      

2

7 cos 16 cos

a   

Câu 81:Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng   cắt tia SA SB SC SG, , , ( G trọng tâm tam giác ABC) điểm A B C G', ', ', '.Ta có

' ' ' '

SA SB SC SG k

SA SB SC SG Hỏi k bao nhiêu?

A. B.4 C. D.1

Do G trọng tâm ABC nên

0

      

       

GA GB GC SG SA SB SC

3 ' ' '

' ' ' ' '        

SG SA SB SG SA SB SG SA SB SC

SC SC

Mặt khác A B C G', ', ', ' đồng phẳng nên

(30)

3

' ' '  '

SA SB SC SG SA SB SC SG

Chú ý: Ta có kết quen thuộc hình học phẳng :

Nếu M điểm thuộc miền tam giác ABC S MA S MBa bS MCc 0 S S Sa, b, c diện tích tam giác MBC MCA MAB, , Vì ta có tốn tổng qt sau:

Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng   cắt tia SA SB SC SM, , , ( M điểm thuộc miền tam giác ABC) điểm A B C M', ', ', '

Chứng minh:

'  '  '  '

a b c

S SA S SB S SC S SM

SA SB SC SM ( Với S S Sa, b, c diện tích tam giác

, ,

MBC MCA MAB S diện tích tam giác ABC)

Câu 82:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng   cắt cạnh

, , ,

SA SB SC SD A B C D', ', ', '.Đẳng thức sau đúng?

A. 2

' ' ' '

SA SC SB SD

SA SC SB SD B '2 ' '2 ' SA SC SB SD SA SC SB SD

C

' ' ' ' SA SC SB SD

SA SC SB SD D ' ' ' ' SA SC SB SD SA SC SB SD Hướng dẫn giải:

Gọi O tâm hình bình hành ABCD    SA SC SBSD2SO

' ' ' '

 SA SA  SB SC  SB SB  SC SC

SA SB SB SC Do A B C D', ', ', ' đồng phẳng

nên đẳng thức

' ' ' '

 SA  SC  SB  SD SA SC SB SD

Câu 83:Cho hình chóp S ABC có SAa SB, b SC, c Một mặt phẳng   qua trọng tâm tam giác ABC, cắt cạnh SA SB SC, , A B C', ', ' Tìm giá trị nhỏ

2 2

1 1

'  '  '

SA SB SC

A 2 32 2

 

a b c B 2 2

 

a b c C 2 2

 

a b c D 2

 

a b c Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có 3   SGSA SB SC

' ' '

 SA SA  SB SB  SC SC SA SB SC

Mà , ',G A B C', ' đồng phẳng nên 3

' ' '  ' ' ' SA SB SC a b c SA SB SC SA SB SC

Theo BĐT Cauchy schwarz:

Ta có  

2

2 2

1 1

   

      

  a b c  a b c 

O D

A B

C S

A'

(31)

2 2 2

1 1

' ' '

   

 

SA SB SC a b c

Đẳng thức xảy

1 1

' ' '

aSA bSB cSC kết hợp với ' ' '3 a b c

SA SB SC ta

2 2 2 2 2

' , ' , '

3 3

     

 a b c  a b c  a b c

SA SB SC

a b c

Vậy GTNN 12 12 2

'  '  '

SA SB SC 2

 

a b c

Câu 84:Cho tứ diện ABCD, M điểm nằm tứ diện Các đường thẳng AM BM CM DM, , , cắt mặt BCD , CDA , DAB , ABC A B C D', ', ', ' Mặt phẳng   qua M song song với BCD cắt A B A C A D' ', ' ', ' ' điểm B C D1, 1, 1.Khẳng định sau Chứng minh M trọng tâm tam giác B C D1 1

A. M trọng tâm tam giác B C D1 1

B. M trực tâm tam giác B C D1 1

C. M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B C D1 1

D. M tâm đường tròn nội tiếp tam giác B C D1 1 Hướng dẫn giải:

Chọn D

Vì M nằm tứ diện ABCD nên

tồn x y z t, , , 0 cho xMAyMBzMCt MD 0 1  Gọi   mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng

BCD

Ta có

   

1

' ' '

 

  

 

 





 BCD

BB A MB MB BA

BB A BCD BA



Do  

1

' '

'

'  '   '

 

MB MB MB

MB BA

BA BB BB

Trong  1 , chiếu vec tơ lên đường thẳng BB' theo phương

ACD ta được:

 

'  ' ' 0   ' 0

       

xMB yMB zMB t MB x y z MB yMB

  ' ' '

'

      

  

  MB y

x y z t MB yBB

BB x y z t

Từ  2 suy 1 ' 3 

  

 y 

MB BA

x y z t

Tương tự ta có 1 ' 4 

  

 z 

MC CA

x y z t

 

1  '

  

 z 

MD DA

x y z t

B1 M

A

B

D

C B'

(32)

Mặt khác chiếu vec tơ  1 lên mặt phẳng BCDtheo phương AA' tì thu

'  '  ' 0

   

y A B z A C t A D Vậy từ      3 , , ta có

 

1 1

1

' ' '

     

  

      

MB MC MD yBA zCA t DA

x y z t , hay M trọng tâm tam giác B C D1 1

Câu 85:Cho tứ diện ABCD có BCDA a CA , DB b AB DC ,  c

Gọi S diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất mặt) Tính giá trị lớn 2 2 2

1 1

 

a b b c c a

A 92

S B.

3

S C

2

S D.

2 S Hướng dẫn giải:

Do tứ diện ABCD có BCDAa CA, DBb AB, DCc nên BCD ADC DAB CBA Gọi S' diện tích R bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt S 4 'S abc

R , nên bất

đẳng thức cần chứng minh 212  212  212  92 a2b2c29R2

a b b c c a S

Theo cơng thức Leibbnitz: Với điểm M G trọng tâm tam giác ABC

 

2 2 2 2 2 2

3

         

MA MB MC GA GB BC MG a b c MG

Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta

2 2 2 2

9R aa b c 9OG a b c

Câu 86:Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' điểm M N P, , xác định

 

' , ', '

   

     

MA k MB k NB x NC PC yPD

Hãy tính x y, theo k đểba điểm M N P, , thẳng hàng

A. ,

2      k x y

k k B.

1

,

1 2



  

 k

x y

k k C

1 , 2      k x y

k k D.

1 ,      k x y k k

Đặt ADa AB    , b AA, 'c Từ giả thiết ta có :

  1 

 



 k  

AM b c k

  2 

  



  x  

AN b a c

x    1   3

   y  

AP a b c b

y Từđó ta có

 

  

MN AN AM

1 1

 

    

     

  

x x k

a b c

x k x k

1           x y c

x y

1

( )

1 1

 

       

     

    y  y k 

MP AP AM a b c

y k y k

Ba điểm M N P, , thẳng hàng tồn  cho

(33)

  *



 

MN MP

Thay vec tơ ,  

MN MP vào  * lưu ý , ,   

a b c khơng đồng phẳng ta tính , 1      k x y

k k

Câu 87:Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Một đường thẳng  cắt đường thẳng AA BC C D', , ' ' lần

lượt M N P, , cho NM 2NP Tính ' MA MA A. ' MA

MA B '

MA

MA C. ' 2

MA

MA D ' MA MA Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đặt ADa AB    , b AA, 'c Vì MAA' nên AM k AA'kc

   

N BC BN l BC la, PC D' 'C P' mb Ta có    NM NBBAAM  la b kc   

' ' ' ' (1 )

       

       

NP BN BB B C C P l a mb c

Do NM 2NP la b k c   2[ 1 l amb c  ]  

2

1

1 2, ,

2                 l l

m k m l

k

Vậy ' MA MA

Câu 88:Giả sử M N P, , ba điểm nằm ba cạnh SA SB SC, , cỏa tứ diện SABC Gọi I

giao điểm ba mặt phẳng BCM , CAN , ABP J giao điểm ba mặt phẳng ANP , BPM , CMN

Ta S I J, , thẳng hàng tính đẳng thức sau đúng?

A.

2

   

MS NS PS JS

MA NB PC JI B.

1

   

MS NS PS JS MA NB PC JI

C.

3

   

MS NS PS JS

MA NB PC JI D.    1

MS NS PS JS MA NB PC JI Hướng dẫn giải:

Chọn D

Goi EBPCN F, CM AP,T ANBM Trong BCM có I BFCT ANP có

 

NF PT J

Đặt  ,  , 

     

SA a SB b SC c

, ,

  

     

SM xMA SN y NB Sp z PC

Ta có , ,

1 1

  

  

 x   y   z 

SM a SN b SP c

x y z x0,y0,z0

(34)

Do T ANBM nên  

 

1

   



 



 

   

 

  

ST SM SB

T AN

T BM ST SN SA

 

     

1

SM   SBSN  SA

1  1 

1

     

 

   

x y

a b b a

x y

 

  Vì ,a b  khơng phương nên ta có

1



 

  

   

 

   

 

   

    



   

 

  

x x

x y x y

x

ST a b

y y x y x y

y x y



  

 

Hoàn toàn tương tự ta có : ,

1 1

   

       

 y  z   z  x 

SE b c SF c a

y z y z z x z x

Làm tương tựnhư hai giao điểm I BFCT NFPT  J ta :

   

1

,

1

     

     

       

SI xa yb zc SJ xa yb zc

x y z x y z

Suy  1

2

  

     

  

 x y z   

SJ SI SJ x y z IJ

x y z

(35)

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT

1 Vectơ chỉphương đường thẳng: a0 VTCP d giá a song song trùng với d

2 Góc hai đường thẳng:

a//a, b//b  a b, a b', '

Giả sử u VTCP a, v VTCP b, ( , )u v   Khi đó: 

0

0 0

0 180

,

180 90 180

neáu a b

neáu



  

 

  

 

 

Nếu a//b a  b  , 0 a b

Chú ý: 00 a b, 900 3 Hai đường thẳng vng góc:

a  b   , 90 a b

Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi abu v  0

Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo B – BÀI TẬP

Câu 1:Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định sau đúng? A. Nếu a b vng góc với c a//b

B.Nếu a//b ca cb

C. Nếu góc a c góc b c a //b

D. Nếu a b nằm mp   //c góc a c góc b c

Chọn B

Nếu a b vng góc với c a b song song chéo C sai do:

Giả sửhai đường thẳng a b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c đường vng góc chung a b Khi góc a c với góc b c 90, hiển nhiên hai đường thẳng a b không song song

D sai do: giả sử a vng góc với c, b song song với c, góc a c 90, cịn góc b c 0

Do B

Câu 2:Trong mệnh đề sau mệnh đềnào đúng?

A. Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng vớic)

B.Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C. Góc hai đường thẳng góc nhọn

D. Góc hai đường thẳng góc hai véctơ chỉphương hai đường thẳng

Chọn A

Câu 3:Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Trong mệnh đề sau mệnh đềnào đúng? A. Tứ diện có mặt tam giác nhọn

(36)

C.Tứ diện có ba mặt tam giác nhọn D.Tứ diện có bốn mặt tam giác nhọn

Chọn A

Câu 4:Trong mệnh đềdưới mệnh đềđúng là?

A.Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai

B.Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba song song với

C.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt

D.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với

Chọn A Theo lý thuyết

Câu 5:Trong mệnh đềsau đây, mệnh đềnào đúng?

A.Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c

B.Cho ba đường thẳng , , a b c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c

C.Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c

D.Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a b, 

Chọn C

A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng

B.Ba đường thẳng cắt đôi khơng nằm mặt phẳng đồng quy

C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng

D.Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng

Chọn B

Gọi d1, d2, d3 đường thẳng cắt đôi Giả sử d1, d2 cắt , d3 khơng nằm mặt phẳng với d1, d2 mà d3 cắt d1, d2 nên d3 phải qua A Thật giả sử d3 không qua phải cắt d1, d2 hai điểm B, C điều vơ lí, đường thẳng cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt

Câu 7:Trong khẳng định sau, khẳng định đúng ?

A.Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với

B.Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c

C.Cho hai đường thẳng phân biệt a b Nếu đường thẳng c vng góc với a b a, b, c không đồng phẳng

D.Cho hai đường thẳng a b song song, a vng góc với c b vng góc với c

Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc SGK đáp án D

(37)

Câu 8:Mệnh đềnào sau đúng?

A. Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng cịn lại

B.Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C. Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với

D. Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng

Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D

A.Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với

B.Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại

C.Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với

D.Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng

Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D

A. Cho hai đường thẳng a b, song song với Một đường thẳng c vng góc với a c

vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a b,

B.Cho ba đường thẳng a b c, , vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c

C. Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c

D. Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c

(38)

DẠNG 1: TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Phương pháp:

Để tính góc hai đường thẳng d d1, 2 khơng gian ta thực theo hai cách

Cách 1. Tìm góc hai đường thẳng d d1, 2 cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng)

Từ O dựng đường thẳngd d1', '2 song song ( trịng O nằm hai

đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d d1', 2' góc hai đường thẳngd d1, 2 Lưu ý 1:Đểtính góc ta thường sử dụng định lí côsin tam giác

2 2 cos

2

b c a

A

bc

 



Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉphương u u1, 2  

của hai đường thẳng d d1, 2

Khi góc hai đường thẳng d d1, 2 xác định  1 2 2

cos ,

u u d d

u u 

   

Lưu ý 2:Để tính u u u  1 2, 1 ,u2 ta chọn ba vec tơ a b c, ,   

khơng đồng phẳng mà có thểtính độ dài góc chúng,sau biểu thịcác vec tơ u u1, 2

 

qua vec tơ a b c, ,   

thực tính tốn Câu 1: Cho tứ diện ABCD có ABCDa,

2

IJ a (I, J trung điểm BC AD ) Sốđo góc hai đường thẳng AB CD

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Gọi M , N trung điểm AC, BC Ta có:

1

2 2

// // //

a

MI NI AB CD

MINJ

MI AB CD NI



   



 

 

hình thoi Gọi O giao điểm MN IJ

Ta có: MIN2MIO

d1

d2

d'2

d'1

O

O J M

I

N

B D

(39)

Xét MIO vuông O, ta có:   

3

cos 30 60

2 a IO

MIO MIO MIN

a MI

        

Mà: AB CD,   IM IN, MIN 60

Câu 2: Cho hình hộp ABCD A B C D     Giả sử tam giác AB C A DC  có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A D góc sau đây?

A. BDB B. AB C C. DB B D. DA C 

Chọn D

Ta có: AC // A C  (tính chất hình hộp) AC A D,   A C A D ,   DA C 

   (do giả thiết

cho DA C  nhọn)

Câu 3: Cho tứ diện ABCD (Tứ diện có tất cạnh nhau) Sốđo góc hai đường thẳng AB CD

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Chọn D

Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AHBCD Gọi E trung điểm CD BECD (do BCD đều) Do AH BCD AH CD

Ta có: CD BE CD ABE CD AB AB CD,  90

CD AH

 

      

  

Câu 17. [1H3-2] Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cosAB DM, 

A.

6

B.

2

C.

2

D.

2 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Khơng tính tổng qt, giả sử tứ diện ABCD có cạnh a Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AHBCD Gọi E trung điểm AC ME // ABAB DM,   ME MD,  Ta có: cosAB DM, cosME MD,  cosME MD ,   cosEMD

Do mặt tứ diện tam giác đều, từ ta dễ dàng tính độ dài cạnh MED:

MEa,

2 a EDMD

Xét MED, ta có: 

2

2 2

3

2 2 3

cos

2

a a a

ME MD ED EMD

ME MD a a

   

 

   

   

     

  

D'

B' C'

B A

D C A'

H E

B D

C A

E

H M

B D

(40)

Từđó: cos ,  3

6

AB DM  

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Sốđo góc MN SC, 

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Gọi O tâm hình vng ABCD O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (1)

Ta có: SASBSCSDS nằm trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (2)

Từ (1) (2) SOABCD

Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN đường trung bình SAD) MN SC,   SA SC, 

Xét SAC, ta có:

2 2 2

2

SA SC a a a

SAC

AC AD a

    



  

 

 

vuông S SASC

SA SC,  MN SC,  90

   

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Sốđo góc IJ CD, 

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Gọi O tâm hình vng ABCD O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (1)

Ta có: SASBSCSDS nằm trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (2)

Từ (1) (2) SOABCD

Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ đường trung bình SAB

 ) IJ CD,   SB AB, 

Mặt khác, ta lại có SAB đều, SBA 60 SB AB, 60 IJ CD, 60

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có ABCD Gọi I, J, E, F trung điểm AC, BC, BD , AD Góc IE JF, 

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Từ giả thiết ta có: // // // //

IJ EF AB

JE IF CD

  

(tính chất đường trung bình tam giác)

Từđó suy tứ giác IJEF hình bình hành

N

M O

D

A B

C S

J I

O D

A

B

C S

J I

F

E

B D

(41)

Mặt khác: 1

2

ABCDIJ  ABJE CDABCD hình thoi

IE JF

  (tính chất hai đường chéo hình thoi)

IE JF,  90

  

Câu 7:Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB vàDH?

A. 45 B. 90 C. 120 D. 60

,  90 //

AB AE

AB DH AB DH

AE DH

 

    

 

Câu 8: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC D' ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm Ovà O' Hãy xác định góc cặp vectơ AB vàOO'?

A. 60 B. 45 C. 120 D. 90

Vì ABCD ABC D' ' hình vng nên AD//BC'; ADBC' ADBC' hình bình hành

Mà O O; ' tâm hình vng nên O O; ' trung điểm BD AC' OO' đường trung bình ADBC'OO' //AD

Mặt khác, AD AB nên OO'ABOO AB', 90o

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB ACAD BACBAD60 ,0 CAD 900 Gọi I J lần

lượt trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ



CD

 ?

A. 45 B. 90 C. 60 D. 120

Ta có BAC BAD tam giác đều, I trung điểm AB nên CI DI (2 đường trung tuyến tam giác chung cạnh AB) nên CID tam giác cân I Do IJ CD

Câu 10:Cho hình chóp S ABC có SASBSC ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp

vectơ SB AC?

A. 60. B.120. C. 45. D. 90.

Ta có: SAB SBC SCA c g c    ABBCCA

Do đótam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì hình chóp S ABC có SASBSC

nên hình chiếu S trùng với G Hay SGABC

Ta có: AC BG AC SBG

AC SG

 

 

  

Suy ACSB

Vậy góc cặp vectơ SB



AC



90

Câu 11: Cho tứ diệnABCD có ABACAD BACBAD 60 ,0 CAD900 Gọi I J lần

lượt trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ AB IJ

(42)

A. 120. B. 90. C. 60. D. 45.

Chọn B

Xét tam giácICD có J trung điểm đoạn CD

Ta có: 1 

2

I J  ICID

  

Vì tam giác ABC có ABAC BAC60 Nên tam giác ABCđều Suy ra: CI AB

Tương tự ta có tam giác ABD nên DI  AB

Xét 1 

2 2

IJ AB ICID AB IC AB ID AB          

Suy I J  AB

 

Hay góc cặp vectơ AB IJ



90

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn khẳng định đúng?

A. AB2AC2AD2BC2BD2CD2 3GA2GB2GC2GD2. B. AB2AC2AD2BC2BD2CD2 4GA2GB2GC2GD2. C. AB2AC2AD2BC2BD2CD2 6GA2GB2 GC2GD2.

D. 2 2 2  2 2

2

AB AC AD BC BD CD  GA GB GC GD . Hướng dẫn giải:

Chọn B

           

2 2 2

2 2

3 3

AB AC AD BC BD CD

AG GB AG GC AG GD BG GC BG GD CG GD

AG BG CG DG AG GB AG GC AG GD BG GD BG GD

    

           

        

                    

   CG GD  1

Lại có:

 

  

2 2

D 0 D

2 . . . . . . 2

GA GB GC G

GA GB GC G

AG GB AG GC AG GD BG GD BG GD CG GD

   

   

     

    

           

Từ(1) (2) ta có điều phải chứng minh

Câu 13:Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác

đều Góc AB CD là?

A. 120. B. 60.

C. 90. D. 30.

Gọi I trung điểm AB

(43)

Nên CI AB

DI AB

  

 

Suy ABCID ABCD

Câu 14:Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh bằnga Gọi I J trung điểm SC BC Sốđo góc  , IJ CD bằng:

A. 90. B. 45. C. 30. D. 60.

Chọn D

Gọi O tâm hình thoi ABCD Ta có: OJ CD//

Nên góc IJ CD góc I J OJ Xét tam giác IOJ có

1 1

, ,

2 2 2

a a a

I J  SB OJ  CD IO SA Nên tam giác IOJ

Vậy góc IJ CD góc I J OJ góc 

O 60 IJ 

Câu 15: Cho hình hộp ABCD A B C D     Giả sử tam giác AB C A DC  có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A D góc sau đây?

A. AB C . B. DA C . C. BB D . D. BDB.

Chọn B

Ta có: AC A C//   nên góc hai đường thẳng AC A D

góc hai đường thẳng A C  A D

bằng góc nhọn DA C  (Vì tam giác A DC  có góc nhọn

Câu 16:Cho tứ diện ABCD Sốđo góc hai đường thẳng AB CD bằng: A. 60. B. 30. C. 90. D. 45.

Chọn C

Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì tứ diện ABCD nên AGBCD

Ta có: CD AG CD ABG CD AB

CD BG

 

   

  

(44)

Câu 17:Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Cắt tứ diện mặt phẳng song song với cặp cạnh đối diện tứ diện Trong mệnh đề sau mệnh đềnào đúng?

A.Thiết diện hình chữ nhật B.Thiết diện hình vng C.Thiết diện hình bình hành D.Thiết diện hình thang

Chọn A

Gỉa sử thiết diện tứ giác MNPQ

Ta có: MN PQ// MN PQ nên MNPQ hình bình hành Lại có ACBDMQPQ

Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật

Câu 18: Cho tứ diện ABCD Chứng minh  AB AC .   AC AD AD AB ABCD, ACBD, ADBC Điều ngược lại không?

Sau lời giải:

Bước 1: AB AC .AC AD    

 AC AB.( AD)0   

 AC DB 0  

 ACBD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD AD AB    

ta ADBC

AB AC AD AB

   

ta ABCD

Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh ởbước trình biến đổi tương đương

Bài giải hay sai?Nếu sai sai ởđâu?

A.Sai ởbước B.Đúng C.Sai ởbước D.Sai ởbước

Chọn B Bài giải

Câu 19:Cho hình chóp S ABC có SASBSC ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp vectơ SC



AB?

A. 120 B. 45 C. 60 D. 90

Chọn D

Ta có: SC AB     SC SB SA.  SC SB    SC SA

 

cos cos

SA SB BSC SC SA ASC

  

Vì SASBSC BSCASC

Do đó:  

, 90

SC AB 

 

Câu 20:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Sốđo góc MN SC,  bằng:

A

B

C

D

M Q

P N

A

B S

(45)

A. 45 B. 30 C. 90 D. 60

Chọn C

Ta có: ACa

2 2

2

AC a SA SC

   

SAC

  vng S

Khi đó:  ,  90

2

NM SC SA SC  NM SC        

MN SC,  90

  

Câu 21:Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Chọn khẳng định sai?

A. Góc AC B D1 90 B.Góc B D1 AA1 60

C. Góc AD B C1 45 D.Góc BD A C1 1 90 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:       AA B D1 1 1 BB BD1 BB1.BA BC 

1

BB BA BB BC

    

(vì BB BA1, 900  

và BB BC1, 900  

)

Do đó:  AA B D1, 1 1900 AA B D1, 1 1900

Câu 22: Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có cạnh a Gọi M trung điểm AD Giá trị

1 B M BD  

là:

A.

2a B.

2

a C.

4a D.

2 2a Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: B M BD 1 1B B     1 BAAMBAADDD1

1

2 2

2

B B DD BA AM AD a

a a a

  

    

    

Câu 23: Cho hình hộp ABCD A B C D     có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề có thểsai?

A. A C  BD B. BB BD C. A B DC D. BCA D

1

A

1

B

A

1

C

1

D

B C

D

1

A

1

B

A

1

C

1

D

B C

(46)

Ta có:     BB BD BB.BA BC BB BA BB BC     

 

 

BB BA cosB BA cosB BC  

 

Vì AA B B  ABCD hai hình thoi nên

+ B BA B BC  BB BD 0 suy BB không vng góc với BD

+    

180

B BA B BC  cosB BA  cosB BC  BB BD  0 suy BB BD

Nên đáp án B sai chưa có điều kiện góc B BA B BC Chọn B

Câu 24:Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB vàEG?

A. 90 B. 60 C. 45 D. 120

Ta có: EG AC// (do ACGE hình chữ nhật) AB EG,  AB AC,  BAC 45

        

Câu 25:Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD,  góc AC BM Chọn khẳng định đúng?

A B C D

Gọi O trọng tâm BCD AOBCD

Trên đường thẳng d qua C song song BM lấy điểm N cho BMCN hình chữ nhật, từđó suy ra:



AC BM, AC CN, ACN

Có:

2 CN BM  a

2 a BN CN 

2

2 2 2 2

3

AO AB BO AB  BM  a

 

2 2

12

ON BN BO  a ; 2 AN  AO ON  a

2 2

3 cos

2

AC CN AN AC CN

  

  

Câu 26:Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N, P Q, trung điểm cạnh AC CB BC, , ' C A' Hãy xác định góc cặp vectơ ?

A.450 B.1200 C.600 D.900

Gọi I trung điểm CC

CAC

 cân A CC AI (1)

cos

  cos

3

  cos

6

   600

AB



' CC

E F

A

G H

B

C

(47)

CBC

 cân B CCBI (2)

 

(1),(2)

CC AIB CC AB CC AB        Kết luận: góc CC AB 90

Câu 27:Cho a3, b5

 

góc 120 Chọn khẳng định sai khẳng đính sau? A a b  19 B a b 7 C a2b  139 D a2b 9

Chọn A

Ta có: ab2 a2b22 cosa b  a b,19

Câu 28:Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG

 ?

A. 900 B. 600 C. 450 D. 1200

Chọn B

Đặt cạnh hình lập phương a Gọi I giao trung điểm EG

Qua A kẻđường thẳng d FI// Qua I kẻđường thẳng d//FA Suy d cắt d J

Từđó suy EG AF, EIJ 

2 2

IJ  AF  EI  FI  AJ a

2 2

2 EJ  AE AJ 

2 2

1

cos 60

2

EI IJ AJ

EI EJ

       

Câu 29: Cho tứ diện ABCD có ABACAD BAC BAD600 Hãy xác định góc cặp vectơ AB CD

 ?

A. 600. B. 450. C. 1200. D. 900.

Hướng dẫn giải: Ta có

 

0

.cos 60 cos 60

AB CD AB AD AC AB AD AB AC AB AD AB AC

   

  

        

AB CD,  900

   

a b

 

a b a2b22a.b.cos a,b 19

(48)

Câu 30:Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 Góc AC DA1

A. 450. B. 900. C. 600. D. 1200.

Vì A C' ' //AC nên góc AC DA1 DA C1 1 Vì tam giác DA C1 1 nên DA C1 1600

Vậy góc AC DA1 600

Câu 31: Cho hình chóp S ABC có SASBSC ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp vectơ SA BC ?

A. 1200. B. 900. C. 600. D. 450.

 

 

.cos cos

SA BC SA SC SB SA SC SA SB

SA SC ASC SA SB ASB

   

  

        

 

, 90

SA BC

   

Câu 32:Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cosAB DM, 

A.

2 B.

3

6 C.

1

2 D.

Giả sử cạnh tứ diện a

Ta có cos , 

3

AB DM AB DM

AB DM

a AB DM

a

 

     

 

Mặt khác

  0

2 2

.cos 30 cos 60

3 3

2 2 4

AB DM AB AM AD AB AM AB AD AB AM AB AD

a a a a

a a a

     

    

        

Do có cos ,  AB DM   

Suy cos ,  AB DM 

Câu 33:Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD, ABCD6 M điểm thuộc cạnh BC cho MC x BC 0  x 1 mp P song song với AB CD cắt BC DB AD AC, , ,

, , ,

M N P Q Diện tích lớn tứ giác ?

A. 9. B.11. C.10. D. 8.

Xét tứ giác MNPQ có // // // // MQ NP AB MN PQ CD

(49)

MNPQ

 hình bình hành Mặt khác, ABCDMQMN Do đó, MNPQ hình chữ nhật

Vì MQ AB// nên MQ CM x MQ x AB 6x AB  CB     Theo giả thiết MCx BC BM 1x BC

Vì MN CD// nên MN BM x MN 1 x CD 1 x

CD  BC       

Diên tích hình chữ nhật MNPQ

   

2

1

6 36 36

2

MNPQ

x x S MN MQ x x x x      

 

Ta có SMNPQ 9 1 x  x x

Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn M trung điểm BC

Câu 34:Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD ?

A. 00. B. 300. C. 900. D. 600.

Ta có  AO CD CO CA CD   

0

2

.cos 30 cos 60

3

3 2 2

CO CD CA CD CO CD CA CD

a a a

a a a

   

    

   

Suy AOCD

Câu 35:Cho tứ diện ABCD có ABCD Gọi I J E F, , , trung điểm AC BC BD AD, , , Góc IE JF, 

A. 300. B. 450 C. 600. D. 900.

Tứ giác IJEF hình bình hành Mặt khác

1 2

IJ AB

JE CD

    

 

 

mà ABCD nên IJ JE

(50)

Câu 36:Cho tứ diện ABCD với ,  60 ,0

AC  AD CABDAB CDAD Gọi  góc AB CD Chọn khẳng định đúng ?

A. cos

4

 B.

60

 C.

30

 D. cos

4   Hướng dẫn giải:

Ta có cos , 

AB CD AB CD

AB CD

AB CD AB CD

 

     

 

Mặt khác

 

0

.cos 60 cos 60

1 1

2 2 4

AB CD AB AD AC AB AD AB AC AB AD AB AC

AB AD AB AD AB AD AB CD

   

 

     

        

Do có  

1

cos ,

4

AB CD AB CD

AB CD 

  

 

Suy cos 

Câu 37:Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC D' ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O' Tứ giác CDD C' ' hình gì?

A.Hình bình hành B.Hình vng C.Hình thang D.Hình chữ nhật Hướng dẫn giải:

Tứ giác CDD C' ' hình bình hành Lại có: DCADD'DC DD' Vậy tứ giác CDD C' ' hình chữ nhật

Câu 38:Cho tứ diện ABCD có , IJ= a

ABCDa ( I J, trung điểm BC AD) Sốđo góc hai đường thẳng AB CD :

A.

30 B.

45 C.

60 D.

Gọi M trung điểm AC

Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI MJ

Tính được:

2 2

IJ

co

2

sIMJ IM MJ

MI MJ

 

  

Từđó suy sốđo góc hai đường thẳng AB CD là: 60

Câu 38:Cho tứ diện ABCD với AB AC AB, BD Gọi P Q, trung điểm AB CD Góc PQ AB là?

A.

90 B.

60 C.

30 D.

AB PQABPQ

(51)

Câu 39:Cho hai vectơ a b,  

thỏa mãn: a 4;b 3;a b  4 Gọi  góc hai vectơ a b,  

Chọn khẳng định đúng?

A cos

  B. 300 C. cos

  D.  600 Hướng dẫn giải:

2

( )

2 a b   a  b  a b a b 

Do đó:

8 cos a b a b       

Câu 40:Cho tứ diện ABCD Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn:      AB CD AC DB AD BC k

A. k 1 B. k 2 C. k 0 D. k 4

 

   

AB CD AC DB AD BC AC CB CD AC DB AD CB

AC CD DB CB CD AD AC CB CB AC

     

      

                      

Chọn đáp án C

Câu 41:Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? A. AB2 AC2 BC2 2GA2 GB2 GC2

B. 2 2 2

AB AC BC GA GB GC

C. AB2 AC2 BC2 4GA2 GB2 GC2

D. AB2 AC2 BC2 3GA2 GB2 GC2 Hướng dẫn giải:

Cách Ta có          

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

0

2

0

GA GB GC

GA GB GC GA GB GA GC GB GC

GA GB GC GA GB AB GA GC AC GB GC BC AB AC BC GA GB GC

                                     

Cách 2: Ta có:

2 2

2

2 2

2

2 .

9

2

AB AC BC

MA

AB AC BC

GA GA MA                          

Tương tựta suy

 

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

4

9 4

1

3

AB AC BC BA BC AC CA CB AB GA GB GC

AB BC CA

GA GB GC AB BC CA

(52)

Chọn đáp án D

Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABCđều có cạnh Khi

 

2 2

2 2 2

2 2

3

1

AB BC CA

GA GB GC AB BC CA

GA GB GC

   

      

    

Chọn đáp án D

Câu 42: Trong khơng gian cho tam giác ABC Tìm M cho giá trị biểu thức

2 2

PMA MB MC đạt giá trị nhỏ A. M trọng tâm tam giác ABC

B. M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C. M trực tâm tam giác ABC

D. M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Gọi G trọng tâm tam giác ABCG cốđịnh GAGBGC0    

     

 

2 2

2 2 2 2

3

P MG GA MG GB MG GC

MG MG GA GB GC GA GB GC MG GA GB GC GA GB GC

     

      

      

         

Dấu xảy M G

Vậy PminGA2GB2GC2 với M G trọng tâm tam giác ABC Chọn đáp án A

thỏa mãn: a 26;b 28;a b  48 Độdài vectơ a b  bằng?

A. 25 B 616 C. D 618

     

 

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 26 28 48 616

616

a b a b a b a b a b a b a b a b

a b

         

 

        

 

  

           

   

 

Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DADBDC BDA60 ,0 ADC90 ,0 BDC1200 Trong mặt tứ diện đó:

A.Tam giác ABD có diện tích lớn B.Tam giác BCD có diện tích lớn C.Tam giác ACD có diện tích lớn D.Tam giác ABC có diện tích lớn

Hướng dẫn giải: Đặt DADBDCa

Tam giác ABD cạnh a nên diện tích

2 ABD

a S  Tam giác ACD D nên diện tích

2

ACD

a S  DA DC  Diện tích tam giác BCD

2

1

sin120

2

BCD

(53)

Tam giác ABC có ABa AC, a 2,BCa nên tam giác ABC vng A Diện tích tam giác ABC

2

1

2

ABC

a S  AB AC Vậy diện tích tam giác ABC lớn

thỏa mãn: a 4;b 3; a b 10 Xét hai vectơ ya b  xa2 ,b Gọi α góc hai vectơ ,

 

x y Chọn khẳng định

A. cos

15  

 B. cos

15 

 C. cos

15 

 D. cos

15   Hướng dẫn giải:

Ta có x y  a2b  a b    a 22 b 23 a b 4  2  2  2  2

2 4

      

       

x x a b a b a b

 2  2    2

2

      

       

y y a b a b a b

cos

2 15

  

   x y x y 

Câu 46: Cho tam giác ABCcó diện tích S Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn:  2

2

      S AB AC k AB AC

A

4 

k B.k = C

2 

k D. k 1 Hướng dẫn giải:

 

2 2 2

1 1

.sin sin cos

2 2

   

S AB AC C AB AC C AB AC C  2

2

  AB AC   AB AC Chọn C

Câu 47:Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác a) Khẳng định sau

A. AB CD chéo

B.AB CD vng góc với

C. AB CD đồng phẳng

D. AB CD cắt

b) Gọi M N P Q, , , trung điểm cạnh AC BC BD DA, , , Khẳng định sau

nhất?

Chứng minh MNPQ hình chữ nhật

A. MNPQ hình vng B. MNPQ hình bình hành

C. MNPQ hình chữ nhật D. MNPQ hình thoi Hướng dẫn giải:

(54)

0 cos 60 cos 60

  AB AD   AB AC

2

a a a a  Vậy ABCD

b) Ta có MNPQ AB

2

  AB a

MN PQ nên tứ giác

MNPQ hình bình hành

Lại có

 

 



 



 

MN AB

NP CD MN NP

AB CD

, MNPQ hình chữ nhật

Câu 48:Cho hình chóp S ABC có SASBSCa BCa Tính góc hai đường thẳng AB SC

A. AB SC, 600 B. AB SC, 450

C. AB SC, 300 D. AB SC, 900 Hướng dẫn giải:

Gọi M N P, , trung điểm SA SB AC, , ,



MN AB nên

AB SC, MN SC, 

Đặt NMP, tam giác MNP có  

2 2

cos

2

 

MN MP NP

MN MP



Ta có

2

  a

MN MP , 2

   

AB AC BC ABC vng A,

2

2 2

4

   a

PB AP AC ,

2

4  a

PS Trong tam giác PBS theo cơng thứtính đường trung tuyến ta có

2

2 2 2

2

5

3

4

2 4

 

    

a a

PB PS SB a a

PN

Thay MN MP NP, , vào  1 ta

cos 120

2

   

 

Vậy AB SC, MN SC, 600

Câu 49:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, SAAB SABC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC

A. BC SD, 300 B. BC SD, 450 C. BC SD, 600 D BC SD, 500 b) Gọi I J, điểm thuộc SB SD cho IJBD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J

A. IJ AC, 900 B. IJ AC, 600 C. IJ AC, 300 D. IJ AC, 450 Hướng dẫn giải:

a) BC SD, 450 b) IJ AC, 900

Q P N M

C

A

D B

φ N

P M

S

A

B

(55)

Câu 50:Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác

a) Khẳng định sau nhất?

A. ADBC B.AD cắt BC

C. AD BC chéo D. CảA, B, C

b) Gọi M N, điểm thuộc đường thẳng AB DB cho  ,     

MA k MB ND k NB Tính góc hai đường thẳng MN BC

A. MN BC, 900 B. MN BC, 800 C. MN BC, 600 D. MN BC, 450

a) Gọi P trung điểm BC, tam giác ABCvà DBC cân nên  

 

AP BC

DP BC Ta có     BC AD BC PD PA0 Vậy BC AD

b) Ta có MAk MB MA k

MB ,   

  ND

ND k NB k NB  MA  ND

MB NB

suy MNADMN BC, AD BC, 900( Theo câu a)

Câu 51:Cho hình hộp thoi ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cạnh a

  

' ' 60

  

ABC B BA B BC Tính góc hai đường thẳng AC B’D’

A. AC, 'D'B 900 B. AC, 'D'B 600 C AC, 'D'B 450 D AC, 'D'B 300 Hướng dẫn giải:

HS tự giải

Câu 52:Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm cạnh BC AD Cho biết

 

AB CD a MN a Tính góc hai đường thẳng AB CD

A. AB CD, 300 B. AB CD, 450

C. AB CD, 600 D. AB CD, 900 Hướng dẫn giải:

Gọi O trung điểm AC, ta có OM ONa ,  , 



 

 

 

OM AB

AB CD OM ON

ON CD

Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OMN ta có

P A

B

D

C M

(56)

 2 cos

2

 

OM ON MN

MON

OM ON

 2 2

3 1

2

 

  

a a a

a a

Vậy AB CD, 600

Câu 53:Cho tứ diện ABCD có ABCDa AC, BDb AD, BCc a)Khẳng định sau đúng nhất

A.các đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh B.các đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối khơng vng góc với hai cạnh

C.các đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối có thể vng góc khơng vng góc với hai cạnh

D.cảA, B, C sai

b) Tính góc hai đường thẳng AC BD

A.   

2

2 , arccos a c AC BD

b

B.   

2

2 , arccos a c AC BD

b

C.   

2

, arccos

3 

 a c

AC BD

b

D.   

2

b Hướng dẫn giải:

Gọi M N P, , trung điểm cạnh AB CD AD, ,

a) Do hai tam giác ACD BCD có CD chung AC BD AD, BC nên chúng nhau, suy



MC MD

Vậy tam giác MCD cân M có trung tuyến MN nên MN CD

Tương tự MNAB

Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối cịn lại b) Ta có  , , 



 

PM BD

BD AC PM PN

PN AC

Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có  2

2 2

2

2 4

 



CA CB  AB  b c a

CM

N

M O

A

B

D C

N M

A

B

D

C

(57)

Tương tự  

2 2

2

 

 b c a

DM , nên

 2

2 2 2 2

2

2 4

 

  

MC MD CD  b c a a b c a

MN

Áp dụng định lí sin cho tam giác PMN ta có

  

2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

cos

2

 

   

 

    

     

  

           

b b b c a

a c

PM PN MN

MPN

b b

PM PN b

Vậy   

2

(58)

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

Phương pháp:

Để chứng minh d1 d2 ta có phần ta thực theo cách sau:  Chứng minh d1 d2 ta chứng minh u u1 2 0



trong u u 1, 2 vec tơ chỉphương

d d2

 Sử dụng tính chất b c a b

a c



  

 



 Sử dụng định lí Pitago xác định góc d d1, 2 tính trực tiếp góc

 Tính độdài đoạn thẳng, diện tích đa giác

 Tính tích vơ hướng…

Câu 1: Cho hình hộp ABCD A B C D     có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề có thểsai?

A. A C  BD B. BB BD C. A B DC D. BCA D

Chú ý: Hình hộp có tất cạnh cịn gọi hình hộp thoi

A đúng vì: //

A C B D

A C BD

B D BD

   



 

 

   

B sai vì:

C đúng vì:

// A B AB

A B DC

AB DC

  



 

 



 



D đúng vì:

//

BC B C

BC A D

B C A D

 



 

 



 



Câu 2: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC AC AD  AD AB      

ABCD, ACBD, ADBC Điều ngược lại không?

Sau lời giải:

Bước 1:    AB AC  AC AD    AC AB. AD0  AC.DB0  ACBD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD AD.AB ta ADBC AB.AC AD.AB ta ABCD

Bước 3:Ngược lại đúng, trình chứng minh ởbước trình biến đổi tương đương

Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu?

A.Đúng B.Sai từbước C.Sai từbước D.Sai ởbước Hướng dẫn giải:

Chọn A

Câu 4:Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD Mặt phẳng  P song song với AB CD lần

lượt cắt BC DB AD AC, , , M N P Q, , , Tứ giác MNPQ hình gì?

D'

B' C'

B

A

D

(59)

A. Hình thang B.Hình bình hành

C. Hình chữ nhật D.Tứ giác khơng phải hình thang

Chọn C

Ta có:  

   

//

// MNPQ AB

MQ AB MNPQ ABC MQ

 

 

 

 

Tương tự ta có: MN CD NP AB QP C// , // , // D Do tứ giác MNPQ hình bình hành

lại có MN MQ AB CD Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật

Câu 5:Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M N P Q R, , , , trung điểm

, , ,

AB CD AD BC AC

a) Khẳng định sau nhất?

A. MN RP MN, RQ B. MN RP,MN cắt RQ C. MN chéo RP; MN chéo RQ D. CảA, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng AB CD?

A. AB CD, 600 B. AB CD, 300 C. AB CD, 450 D. AB CD, 900

a) Ta có

2

 a

MC MD nên tam giác MCD cân M , MN CD Lại có RP CD MN RQ

b) Tương tự ta có QPAD Trong tam giác vng PDQ ta có

2 2

2

2 2

   

        

 

a a a

QP QD DP Ta có :

2

2 2

2

   

          

a a

RQ RP a QP

Do tam giác RPQ vng R, hay RPRQ

Vì

 

 



 



  AB RQ

CD RP AB CD

RP RQ

Câu 6:Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M N P Q, , , trung điểm cạnh AC CB BC, ,  C A Tứ giác MNPQ hình gì?

A. Hình bình hành B.Hình chữ nhật C.Hình vng D. Hình thang

N

M P

Q

R A

B

(60)

Chọn B

Vì M N P Q, , , nên dễ thấy tứ giác MNPQ hình bhình hành Gọi H trung điểm AB

Vì hai tam giác ABC ABC nên CH AB

C H AB

  

 



Suy ABCHC Do ABCC

Ta có: // // PQ AB

PN CC PQ PN

AB CC          

Vậy tứ giác MNPQlà hình chữ nhật

Câu 7:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với ABa AD, 2a

Tam giác SAB vuông can A, M điểm cạnh AD( M khác A D) Mặt phẳng   qua M song sog với SABcắt BC SC SD, , N P Q, ,

a) MNPQ hình gi?

A. MNPQ hình thang vng B. MNPQ hình vng C. MNPQ hình chữ nhật D. MNPQ hình bình hành b)Tính diện tích MNPQ theo a

A  MNPQ a S B  MNPQ a S C  MNPQ a S D  MNPQ a S

a) Ta có

                      SAB

SAB ABCD AB

ABCD MN



MNAB

Tương tự

                        SAB

SBC SAB SB NP SB

SBC NP                           SAB

SAD SAB SA MQ SA

SAD MQ



Dễ thấy MNPQ AB CD  nên MNPQ hình bình hành Lại có

          MN AB

MQ SA MN MQ

AB SA

Vậy MNPQ hình thang vng b) Ta có MN  ABa,

2

 SA a

MQ ,

2

CD a

(61)

Vậy 1 

 

MNPQ

S MN PQ MQ

2

1

2 2

 

    

 

a a a

a

Câu 8:Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Trên cạnh DC BB' lấy điểm M N cho MDNBx0 x a Khẳng định sau đúng?

a) Khẳng định sau đúng?

A. AC'B D' ' B.AC’ cắt B’D’

C. AC’và B’D’ đồng phẳng D. CảA, B, C b) khẳng định sau ?

A. AC'MN

B.AC’ MN cắt C. AC’ MN đồng phẳng D. CảA, B, C

Đặt ' ,  ,       

AA a AB b AD c a) Ta có '  

   

AC a b c, ' '    

B D c b nên

  

' ' '   

      

AC B D a b c c b

  2 2 2

0 a c  b c b a a 

' ' '

 AC B D

b) MN   ANAM  ABBN   ADDM     -   1- 

-     

 x  x x x  

b a c b a b c

a a a a

Từđó ta có '    [    -   1-  - ]

     

      x  x x x  

AC MN a b c b a c b a b c

a a a a

2 2 2 2

1

   

          

   

  

x x x

a b c x a a a

a a a

Vậy AC'MN

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ACa, BD 3 a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN

A. 10

2 a

MN  B.

3 a

MN  C.

2 a

MN D.

3 a

MN 

Chọn A

Gọi E, F trung điểm AB CD

Ta có: //  ,   ,  90

//

EN AC

AC BD NE NF NE NF

NF BD          (1) Mà: 2

NE FM AC

NF ME BD

           (2)

Từ (1), (2) MENF hình chữ nhật Từđó ta có:

2 2

2 10

2 2 2

AC BD a a a

MN NE NF           

(62)

Chọn D

Câu 10:Trong không gian cho ba điểm ,A B C, bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?

A. 2

2AB AC  AB AC BC

 

B. 2

2AB AC AB AC 2BC

 

C. 2

AB AC AB AC  BC

 

D. 2

AB ACAB AC BC

 

Chọn A.

 

2 2 2

2 cos ,

BC AB AC  AB AC AB AC  AB AC  AB AC

 

Câu 11:Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh a Tính AB EG  

A. a2 3. B. a2 C

2 2 a

D. a2

Ta có AB EG AB AC    

, mặt khác AC ABAD

  

Suy   2

AB EGAB AC AB ABAD  AB AB ADa



        

Câu 12:Cho tứ diện ABCD có ABa BD, 3a Gọi M, N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN

A

3 a

MN  B 10

2 a

MN  C

2

3 a

MN D

2 a MN 

Chọn B

Kẻ NP//AC P AB, nối MP

NP đường trung bình ABC

2

a PN AC

  

MP đường trung bình ABD

2

a PM BD

  

Lại có AC BD,   PN PM, NPM 90 suy  MNP vuông P

Vậy 2 10

2 a MN  PN PM 

Câu 13:Cho tứ diện ABCD AB6, CD3, góc AB CD 60 điểm M BC cho BM 2MC Mặt phẳng  P qua M song song với AB CD cắt BD, AD, AC lần

lượt M , N , Q Diện tích MNPQ bằng:

A B. C D

Thiết diện MNPQ hình bình hành

(63)

Ta cóAB CD,   QM MP, QMP 60 Suy SMPNQ QN QN .sin 60

Lại có

1

2

CM MO

CMQ CBA MQ

AB AB

 #      

2

AQ QN

AQN ACD QN

AC CD

 #      

Do SMPNQ QM QN .sin 60 2.2.sin 60 2

Câu 14:Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD, AB4, CD6 M điểm thuộc cạnh BC cho MC2BM Mặt phẳng  P qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện

 P với tứ diện là?

A. B.6 C D

Ta có AB CD,   MN MQ, NMQ90 Suy thiết diện hình chữ nhật Lại có:

Suy

17

16

MNPQ

CM MN

CMN CBA MN

CB AB

AN NP

ANP ACD MP

AC CD

      

1

3

2

4

 

MNPQ

S MN.NP16

(64)

ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Định nghĩa

d  (P)  d  a, a  (P)

2 Điều kiện đểđường thẳng vng góc với mặt phẳng

, ( ),

( ) ,

a b P a b O

d P d a d b

   

 



 



3 Tính chất

 Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đó.

 ( )

( )

a b P b

P a  

 

 

  ( ), ( )

a b a b

a P b P  

  

 

  ( ) ( ) ( )

( ) P Q

a Q a P

 

 

 

 

( ) ( ) ( ) ) ( ) ,( )

P Q

P Q P a Q a

 

  

 

  ( )

( )

a P b a

b P  

 

 

 

( ) )

,( )

a P a P

a b P b  

  

 

 4 Định lí ba đường vng góc

Cho a  ( ),P b( )P , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a

5 Góc đường thẳng mặt phẳng

Nếu d  (P) d P,( ) = 900

Nếu d  ( )P d P,( ) = d d, ' với d hình chiếu d (P) Chú ý: 00 d P,( )  900

B – BÀI TẬP

Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a b, mặt phẳng P , đóa  P Mệnh đề sau

đây sai?

A. Nếu b  P b a// B.Nếu b// P thìb a

C. Nếu b a// thìb  P D.Nếu b a b// P Hướng dẫn giải:

Chọn D

Câu 2:Trong không gian cho đường thẳng  điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với

cho trước?

A. B. 2. C. D. Vô số

Qua điểm O dựng vơ số đường thẳng vng góc với , đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với 

Câu 3:Mệnh đềnào sau có thểsai?

A. Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song

(65)

D. Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song

Chọn C

Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song chỉđúng ba đường thẳng đồng phẳng

Câu 4:Khẳng định sau sai?

A.Nếu đường thẳng d   d vng góc với hai đường thẳng   B.Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm   d  

C. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm   d vng góc với đường thẳng nằm  

D.Nếu d   đường thẳng a//  d a

Chọn B

Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm   d   chỉđúng hai đường thẳng cắt

Câu 5:Trong khơng gian tập hợp điểm M cách hai điểm cốđịnh A B

A.Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB. B.Đường trung trực đoạn thẳng AB C.Mặt phẳng vng góc với AB A D.Đường thẳng qua A vng góc với AB

Chọn A

Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực

Câu 6:Trong không gian cho đường thẳng  điểmO Qua O có đường thẳng vng góc với  cho trước?

A.Vơ số B.2 C.3 D.1

Chọn A

Câu 7:Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước?

A.1 B.Vô số C. D.

Theo tiên đề qua điểm Ocho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  Chọn đáp án A

Câu 8:Trong không gian cho đường thẳng  không nằm mp  P , đường thẳng  gọi vng góc với mp  P nếu:

A.vng góc với hai đường thẳng phân biệt nằm mp  P B.vng góc với đường thẳng a mà a song song với mp  P C.vng góc với đường thẳng a nằm mp  P

D.vuông góc với đường thẳng nằm mp  P

Đường thẳng  gọi vng góc với mặt phẳng  P  vng góc với đường thẳng mặt phẳng  P (ĐN đường thẳng vng góc với mặt phẳng) Vậy đáp án Dđúng

(66)

B.Nếu a vng góc với mặt phẳng   b/ /  ab C. Nếu a/ /b bc ca

D. Nếu ab,bc a cắt c b vng góc với mặt phẳng a c, 

Hướng dẫn giải: Nếu a b

b c   

 

a c có thểtrùng nên đáp án A sai

Câu 10:Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A. Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

B.Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

C. Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

D. Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

Hướng dẫn giải:

Qua điểm cho trước kẻđược vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Vậy chọn đáp án D

Câu 11:Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau?

A. Nếu a P ba b P B.Nếu a P a b thìb P C. Nếu a  P bathì b P D.Nếu a  P b P ba

Câu 12:Cho hai đường thẳng ,a b mp P  Chỉ mệnh đềđúng mệnh đề sau: A. Nếu a// P ba b// P B.Nếu a// P b P ab C. Nếu a// P ba b P D.Nếu a P ba b// P

Câu A sai vng góc với

Câu B cho , Khi

Câu C sai nằm Câu D sai nằm Vậy chọn B

Câu 13:Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau:

A. Hai đường thẳng chéo vng góc với Khi có mp chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng

B. Qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước

C. Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước

D. Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

Câu 14: Tập hợp điểm cách đỉnh tam giác đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác qua:

A. Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác B.Trọng tâm tam giác C. Tâm đường trịn nội tiếp tam giác D.Trực tâm tam giác

b a

   

//

a P  a P a a//  b P ba ab

b  P

(67)

A.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song B.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C.Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song

D.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

Hướng dẫn giải::

Đáp án A sai hai đường thẳng chéo Đáp án B sai hai mặt phẳng cắt Đáp án C sai hai đường thẳng trùng Chọn đáp án D

Câu 16:Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau:

A.Cho hai đường thẳng vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng

B.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mp song song với

C.Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc với mp

D.Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng

Vì qua đường thẳng dựng vô số mặt phẳng

Câu 17:Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P đường thẳng b vng góc với a b vng góc với mặt phẳng  P

B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b b song song với mặt phẳng  P a song song nằm mặt phẳng  P

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P đường thẳng b vng góc với mặt phẳng

 P avng góc với b

D. Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

Giả sử xét hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' hình vẽ có

 

' '/ / ' ' ' ' A B ABCD B C A B



 

 B C' '/ /ABCD

Chọn đáp án A

Câu 18:Cho hình chóp S ABC có SASBSC tam giác ABC vng B Vẽ SH ABC,

 

H ABC Khẳng định sau đúng?

A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC B. H trùng với trực tâm tam giác ABC

C. H trùng với trung điểm AC D. H trùng với trung điểm BC Hướng dẫn giải:

(68)

Do SASBSC nên HAHBHC Suy H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Mà ABC vng B nên H trung điểm AC

Câu 19: Cho hình chóp S ABC thỏa mãnSA  SB  SC Tam giác ABC vuông tạiA Gọi H hình chiếu vng góc S lênmp ABC  Chọn khẳng định sai khẳng định sau?

A. SBH  SCH  SH. B. SAH  SBH  SH . C. ABSH. D. SAH  SCH  SH.

SBH  SCH  SBC Chọn A

Câu 20:Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên SASBSCSD. Gọi H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau sai?

A. HAHBHCHD

B.Tứ giác ABCD hình bình hành

C. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

D. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD góc

Chọn B

Vì hình chópS ABCD có cạnh bên

SASBSCSD H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácABCD

Suy HAHBHCHD Nên đáp án B sai

Câu 21:Cho hình chóp S ABC có SA(ABC) tam giác ABC khơng vng, gọi H K, trực tâm tam giácABC SBC Các đường thẳng AH SK BC, , thỏa mãn:

A. Đồng quy B.Đôi song song

C. Đôi chéo D.Đáp án

khác

Gọi AA đường cao tam giác ABC  AA' BC mà

(69)

Câu 22:Cho hình chóp S ABC có mặt bên tạo với đáy góc Hình chiếu H S (ABC).là:

A.Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC B.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C.Trọng tâm tam giác ABC D.Giao điểm hai đường thẳng AC BD

Gọi M N P, , hình chiếu S lên cạnhAB AC BC, ,

Theo định lý ba đường vng góc ta có M N P, , hình chiếu H lên cạnh

, ,

AB AC BC

   .

SMH SNH SPH SMH SNH SPH

        

HM HN NP

    H tâm dường tròn nội tiếp ABC

Câu 23:Cho hình chóp đều, chọn mệnh đềsai mệnh đề sau: A.Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đa giác đáy B.Tất cạnh hình chóp

C.Đáy hình chóp miền đa giác

D.Các mặt bên hình chóp tam giác cân

Hình chóp có cạnh bên cạnh đáy KHƠNG nên đáp án B sai

Câu 24:Tính chất sau khơng phải tính chất hình lăng trụđứng? A.Các mặt bên hình lăng trụđứng hình bình hành

B.Các mặt bên hình lăng trụđứng hình chữ nhật

C.Các cạnh bên hình lăng trụđứng song song với D.Hai đáy hình lăng trụđứng có cạnh đôi song song

(70)

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp:

* Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Muốn chứng minh đương thẳng d   ta dùng mơt hai cách sau

Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a b, cắt  

 ,    

 

 



 



 



   

d a

d b

a

a b

a b I



 

Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà avng góc với  

   

 

 

   

 d a

d

a 



Cách Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P)

* Chứng minh hai đường thẳng vng góc

Để chứng minh d  a, ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a

Sử dụng định lí ba đường vng góc

Sử dụng cách chứng minh biết phần trước

Câu : Cho hình chóp S ABCD có SAABCD ABC vng B, AH đường cao SAB

 Khẳng định sau sai?

A. SABC B. AH BC C. AH  AC D. AH SC

Chọn C

Do SAABC nên câuA Do BCSAB nên câuB D Vậy câu C sai

Câu 1:Cho tứ diện SABC có ABClà tam giác vuông B SAABC a) Khẳng định sau Chứng minh BCSAB

A. BCSAB B. BCSAC

C. 

, 45

AD BC D. 

, 80

AD BC

b) Gọi AH đường cao tam giác SAB, khẳng định sau Chứng minh 

AH SC

A. AH AD B. AH SC

(71)

a) Ta có SAABC nên SABC Do    

 

BC SA

BC SAB

BC AB Chọn A b) Ta có BCSABBC AH

Vậy   

 

AH BC

AH SC

AH SB Chọn B

Câu 2:Cho tứ diện ABCD có ABAC DBDC. Khẳng định sau đúng?

A. ABABC. B. ACBD. C. CDABD. D. BC AD.

Chọn D

Gọi E trung điểm BC Khi ta có

 

AE BC

BC ADE BC AD DE BC

 

   

  

Câu 3: Cho hình chóp S ABC có SA(ABC) ABBC Số mặt tứ diện S ABC tam giác vuông là:

A. B. C. D.

Có ABBC ABC tam giác vng B Ta có SA (ABC) SA AB SAB, SAC

SA AC  

    

 

tam giác vuông A Mặt khác AB BC BC SB SBC

SA BC

 

   

  

tam giác vuông B Vậy bốn mặt tứ diện tam giác vng Nên đáp án Dđúng

Câu 4:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SASC SBSD. Khẳng

định sau sai?

A. SOABCD. B. CDSBD. C. ABSAC. D. CDAC.

Tam giác SAC cân S có SO trung tuyến SO đường cao SOAC Tam giác SBD cân S có SO trung tuyến SO đường cao SOBD Từđó suy SOABCD

Do ABCD hình thoi nên CD khơng vng góc với BD Do CD khơng vng góc với SBD A

B

C D

(72)

Câu 5:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA(ABCD).Gọi AE AF; đường cao tam giác SAB tam giác SAD Chọn khẳng định khẳng định sau ?

A. SCAFB B. SC AEC C. SCAED D. SC AEF

Ta có: AB BC BC SAB BC AE SA BC

 

   

  

Vậy: AE SB AE SC 1 AE BC

 

 

  

Tương tự : AF SC 2

Từ    1 ; SCAEF.vậy đáp án Dđúng

Câu 6:Cho hình chóp S ABC có cạnh SAABC đáy ABC tam giác cân C Gọi H K trung điểm AB SB. Khẳng định sau sai?

A. CH SA. B. CH SB. C. CH AK . D. AK SB.

Chọn D

Do ABC cân C nên CH AB Suy CH SAB Vậy câu A, B, C nên D sai

Câu 7: Cho tứ diện ABCD Vẽ AH (BCD) Biết H trực tâm tam giác BCD Khẳng định sau đúng?

A. CDBD. B. ACBD. C. ABCD. D. ABCD

(73)

( ) CD AH

CD ABH CD AB CD BH

 

   

  

 Chọn đáp án D

Câu 8:Cho hình chóp S ABC có cạnh SA(ABC) đáy ABC tam giác cân C Gọi H K trung điểm AB SB Khẳng định sau có thểsai ?

A. CH AK . B. CH SB C. CH SA D. AK SB

Ta có CH AB CH (SAB) CH SA

 

 

  

Từđó suy CH  AK CH, SB CH, SA nên A, B, Cđúng

Đáp án Dsai trường hợp SA AB không nhau Chọn đáp án D

Câu 9:Cho tứ diện SABC thoả mãn SASBSC Gọi H hình chiếu S lên mp ABC Đối với ABC ta có điểm H là:

A.Trực tâm B.Tâm đường tròn nội tiếp

C.Trọng tâm D.Tâm đường tròn ngoại tiếp

 

SH AH

SH ABC SH BH

SH CH

      

  

Xét ba tam giác vng SHA,SHB,SHC có

 

chung

mà H A SA SB SC

SHA SHB B

SHC SH

HA HB HC C H

  

   



  

 

   

chính tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Chọn đáp án D

Câu 10:Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O mp ABC( ) Mệnh đề sai mệnh đề sau:

A. H trực tâm ABC

B. H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C 2 12 12 12

OH OA OB OC

D. CH đường cao ABC

Ta có OA(OBC)OABC OH BC BC(OAH)BC AH Tương tự, ta có ABCH , suy đáp án A, Dđúng

Ta có 2 12 12 12 12 12

OH OA OI OA OB OC , với I  AHBC, suy đáp án Cđúng

 Chọn đáp án B

Câu 11:Cho tứ diện ABCD có ABCD ACBD Gọi H hình chiếu vng góc A lên

( )

mp BCD Các khẳng định sau, khẳng định sai?

A. H trực tâm tam giác BCD B. CD(ABH).

C. ADBC. D.Các khẳng định sai

(74)

Ta có CD AB CD (ABH) CD BH CD AH

 

   

  

Tương tự BDCH Suy H trực tâm BCD Suy đáp án A, Bđúng

Ta có BC AH BC AD

BC DH  

 

  

, suy Cđúng

 Chọn đáp án D

Câu 12:Cho tứ diện ABCD có ABAC DBDC Khẳng định sau đúng?

A. AB ABC B. BC AD C. CD ABD D. ACBD

Gọi M trung điểm BC

 

AB AC BC AM

BC ADM BC AD DB DC BC DM

   

 

     

 

   

 

 

Chọn đáp án B

Câu 13:Cho hình chóp SABC có SAABC Gọi H K, trực tâm tam giác SBC ABC Mệnh đề sai mệnh đề sau?

A. BCSAH B. HK SBC C. BCSAB D. SH AK BC,

đồng quy Hướng dẫn giải:

Ta cóBCSA BC, SH BC(SAH)

Ta có CK  AB CK, SACK(SAB hay CK) SB

Mặt khác có CH SB nên suy SB(CHK) hay SBHK,

tương tựSC HK nên HK(SBC)

Gọi M giao điểm SH BC Do

( )

BC SAH BC AM hay đường thẳng

AM trùng với đường thẳng AK Hay SH AK BC, đồng quy

Do BCSAB. sai Chọn đáp án C

Câu 14:Cho hai hình chữ nhật ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng khác cho hai

đường thẳng AC BF vng góc với Gọi CH FK đường cao hai tam giác

BCE ADF Chứng minh :

a) Khẳng định sau tam giácACH BFK ?

A. ACH BFK tam giác vuông B. ACH BFK tam giác tù

C. ACH BFK tam giác nhọn D. ACH BFK tam giác cân b) Khẳng định sau sai?

A. BF  AH B. 

, 45

(75)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11

a) Ta có    

 

AB BC

AB BCE AB BE

Vậy     

 

CH AB

CH ABEF CH BE

CH AH ,hay ACH vuông H

Tương tự    

 

FK AD

FK ABCD FK AB

 BFKvuông K

b) Ta có CH ABEFCH BF, mặt khác

 

    

AC BF BF ACH BF AH

Tương tự     

 

AC KF

AC BKF AC BK

AC BF

Câu 15:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SASC SB, SD a)Khẳng định sau là sai?

A. SOABCD B. SOAC

C. SOBD D.CảA, B, C sai

b) Khẳng định sau là sai?

A. ACSBD B. AC SO C. ACSB D.CảA, B, C sai

a) Ta có O trung điểm AC

  

SA SC SO AC Tương tự SOBD

Vậy    

 

SO AC

SO ABCD

SO BD Chọn D b) Ta có AC BD ( ABCD hình thoi) Lại có ACSO( SOABCD)

Suy ACSBDACSD.Chọn D

Câu 16:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O SA, (ABCD) Các khẳng định sau, khẳng định sai?

A. SABD B. SCBD C. SOBD D. ADSC

Ta có SA(ABCD) SABD

Do tứ giác ABCD hình thoi nên BDAC, mà SABD nên

( ) ,

BD SAC hay BDSC BDSO AD khơng vng góc SC

Chọn đáp án D

E C

A

B D

F

H K

O A

B C

(76)

Câu 17:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SAABCD Gọi I , J, K trung điểm AB, BC SB. Khẳng định sau sai?

A. IJK // SAC B. BDIJK C. Góc SC BD có sốđo 60 D. BDSAC

Chọn C

Do IJ // AC IK //SA nên IJK // SAC Vậy A

Do BD AC BDSA nên BDSAC nên D Do BDSAC IJK // SAC nên BDIJK nên B

Vậy C sai

Câu 18:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, Gọi H trung điểm AB

 



SH ABCD Gọi K trung điểm cạnh AD a) Khẳng định sau sai?

A. AC SH B. ACKH C. ACSHK D. CảA, B, C sai

b) Khẳng định sau sai?

A. CK SD B. DH CK

C. DKC ADH 900 D.CảA, B, C sai

a) Ta có SH ABCDSH  AC lại có   

 



HK BD

AC HK AC BD

 

 AC SHK

b) Dễ thấy AHD DKCAHDDKC mà  AHDADH 900

 

90

DKCADH  hay DH CK, mặt khác ta có

 

  

SH CK CK SDH CK SD

Câu 19:Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đơi vng góC Gọi H hình chiếu O lên ABC Khẳng định sau sai?

A. OABC B 2 12 12 12

OH OA OB OC

C. H trực tâm ABC D. 3OH2 AB2AC2BC2 Hướng dẫn giải:

J K

H A

D

C

(77)

 

OA OB

OA OBC OA BC OA OC

 



     

 

 đáp án A

đúng

Tương tự chứng minh OC AB Hạ OI BC

OH AI

      Ta có:

   

OI BC

BC OAI BC OH OH ABC

BC OA

 

      

  

2 2 2

1 1 1

OH OA OI OA OB OC  Đáp án B Ta có: AB OC AB OCH AB HC 1

AB OH

 

    

 

 Tương tự BCOH  2

Từ 1  2 H trực tâm ABCĐáp án Cđúng. Chọn đáp án D

Câu 20:Cho hình chóp S ABC có SAABC Gọi H K, trực tâm tam giác ABC SBC Khẳng định sau

a) AH SK, BC đồng qui

A.AH BC chéo B.AH SK chéo

C. AH SK, BC đồng qui D. AH SK, BC không đồng qui b) Khẳng định sau sai?

A. SBCHK B.SBHK C. CH SAB D.CảA, B, C sai

c) HK SBC.Khẳng định sau sai?

A. HK SBC B. BCSAI C. BCHK D.CảA, B, C sai

a) Gọi I  AHBC, để chứng minh AH SK, BC đồng qui Ta cần chứng minh SI đường cao tam giác SBC, điều BCSA BC AI

b) Ta có SBCK

thêm ta có       



CH AB

CH SAB CH SB CH SA

Vậy SBCHK

b) Theo chứng minh ta có

 

  

SB CHK SB HK BCSAIBCHK

 



HK SBC

Câu 21:Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc Hãy chỉra điểm O cách bốn điểm A, B, C, D

S

A

B

C

I H

(78)

B. O trọng tâm tam giác ACD C. O trung điểm cạnh BD D. O trung điểm cạnh AD

Chọn D

Gọi O trung điểm AD

Từ giả thiết ta có AB CD CD ABC CD AC BC CD

 

   

  

Vậy ACD vuông C

Do OAOCOA (1)

Mặt khác AB CD AB BCD AB BD ABD

AB BC  

     

   vng B

Do OAOBOD (2)

Từ (1) (2) ta có OAOBOCOD

Câu 22:Cho tứ diện ABCD có AB AC DBDC. Khẳng định sau đúng?

A. ABABC. B. ACBD. C. CDABD. D. BCAD.

Chọn D

Gọi E trung điểm BC Khi ta có

 

AE BC

BC ADE BC AD DE BC

 

   

  

Câu 23:Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH BCD Biết H trực tâm tam giác BCD. Khẳng định sau khôngsai?

A. ABCD B. ACBD. C. ABCD. D. CDBD.

Chọn C

Do AH BCD AH CD

(79)

Câu 24:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SCa Gọi H K, trung điểm cạnh AB AD

a) Khẳng định sau sai?

A. SH ABCD B. SH HC C.A, B D.A, B sai b) Khẳng định sau sai?

A. CK HD B. CK SD

C. ACSK D.CảA, B, C sai

a) Vì H trung điểm AB tam giác SAB nên 

SH AB

Lại có 3, 2,

2

 a 

SH SC a HC = 2

2

 a

DH DC

Do

2

2 2

2

4

  a  a  

HC HS a SC

 HSC vuông HSH HC

Vậy      



SH HC

SH ABCD

SH AB

b) Ta có AC HKvà ACSHACSHK ACSK

Tương tự CK HD ( 32) CK SH CKSDHCK SD.

Câu 25:Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Đường thẳng AC' vng góc với mặt phẳng sau

đây?

A. A BD'  B. A DC' ' C. A CD' ' D. A B CD' '  Hướng dẫn giải:

Ta có:

 

' ' /

' ' ' ' ' ' '

A D AD t c HV A D C D C D A D DA

 

 

 

 

   

' ' ' ' '

A D AC D A D AC

   

 

' ' /

' ' ' ' ' ' '

A B AB t c HV A B B C B C A D DA

 

 

 

 

   

' ' ' ' '

A B AB C A B AC

   

Từ    1 ,  AC'A BD'  Vậy chọn đáp án A

Câu 26: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, O giao điểm đường chéo SASC Các khẳng định sau, khẳng định đúng?

A. SAABCD B. BDSAC C. ACSBD D. ABSAC Hướng dẫn giải:

Ta có: SASCSAC tam giác cân

Mặt khác: O trung điểm AC (tính chất hình thoi)

Khi ta có: ACSO

K

H

D

B C

(80)

 

/

AC BD t c hinh thoi

AC SBD

AC SO

 

  

 

Vậy chọn đáp án C

Câu 27:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SAABCD Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB SC SD, , theo thứ tự H M K, , Chọn khẳng định sai khẳng định sau?

A. AK HK B. HK AM C. BDHK D. AH SB

Hướng dẫn giải: Ta có:

 

   

HV

BD AC t c

BD SAC BD AM BD SA gt

  

   

   

/

Gọi OACBD I, SOHK

 P mặt phẳng A vng góc với SC Qua I kẻ BD   AM    P

Khi đó: K   SD H,   SB

Ta có: AK SDC, mà HKSDCK AK khơng vng góc với HK Vậy chọn đáp án A

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD ABCD hình chữ nhật, SAABCD Trong tam giác sau tam giác tam giác vuông

A. SBC B. SCD C. SAB D. SBD

Hướng dẫn giải: Ta có :

 

   

HV

AB AD tc

AB SAD AB SD AB SA SA ABCD

 



   



 

 

Giả sử SBSDSDSAB (vô lý) Hay SBD tam giác vuông Vậy chọn đáp án D

Câu 29: Cho hình chóp S ABC có BSC120 ,0 CSA60 ,0 ASB 90 ,0 SASBSC Gọi I hình chiếu vng góc S lên mp ABC  Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau

A. I trung điểm AB B. I trọng tâm tam giác ABC

(81)

Gọi SASBSC a

Ta có : SACđều  AC SAa SAB

 vuông cân S  ABa 2



2

2 . .cos 3

BC  SB SC  SB SC BSC a

2 2

AC AB BC ABC

    vuông A

Gọi I trung điểm AC I tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC Gọi d trục tam giác ABC thi d

qua I d ABC

Mặt khác : SASBSCnên Sd Vậy SI ABC nên I hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC

Vì H K trực tâm tam giác ABC SBC nên H Klần lượt thuộc AA SA

Vậy AH SK BC, , đồng quy tạiA

Câu 30:Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O mặt phẳng ABC Xét mệnh đề sau :

I Vì OCOA OC, OB nên OCOAB II Do ABOABnên ABOC 1 

III Có OH ABC ABABCnên ABOH 2  IV Từ  1  2 ABOCH

A. I II III IV, , , B. I II III, , C. II III IV, , D. I IV, Hướng dẫn giải:

Ta có:

 

, OC OA OC OB

OC OAB OA OB O

OA OB OAB 



 



 



 



 



Vậy I

 

OC OAB

AB OC

AB OAB

  

 

   

Vậy II

 

OH ABC

AB OH

AB ABC

  

 

   

Vậy III

 

,

AB OC

AB OH AB OCH OC OH O

OC OH OCH 



 



  



  



 



Vậy IV

Vậy chọn đáp án A

Câu 31:Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Có đáy hình thoi BAD600 A A' A B' A D' Gọi

 

O AC BD Hình chiếu A' ABCD :

(82)

C. giao hai đoạn AC BD D.trọng tâmBCD

Vì A A' A B' A D' hình chiếu A' ABCD trùng với H tâm đường tròn ngoại tiếp ABD 1

Mà tứ giác ABCD hình thoi BAD600nên BAD tam giác  2

(83)

DẠNG 2: TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp:

Đểxác định góc đường thẳng a mặt phẳng   ta thực theo bước sau:

- Tìm giao điểm O  a  

- Dựng hình chiếu A' điểm A a xuống   - Góc AOA'  góc đường thẳng a   Lưu ý:

- Để dựng hình chiếu A' điểm A   ta chọn đường thẳng b   AA'b - Để tính góc  ta sử dung hệ thức lượng tam giác vng OAA' Ngồi khơng xác

định góc  ta tính góc đường thẳng a mặt phẳng   theo công thức

sin u n

u n  

 

  u



VTCP a n



là vec tơ có giá vng góc với  

-Câu 1:Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vng góc với đôi Khẳng định sau đúng?

A.Góc AC BCD góc ACB B.Góc AD ABC góc ADB

C.Góc AC ABD góc CAB D.Góc CD ABD góc CBD Hướng dẫn giải:

Chọn A

Từ giả thiết ta có AB BC AB BCD

AB CD

 

 

  

Do AC BCD, ACB

a

a'

φ

α O

A

(84)

Câu 2:Cho tam giác ABC vuông cân A BCa.Trên đường thẳng qua A vng góc với ABC lấy điểm S cho

2 a

SA Tính sốđo góc đường thẳng SA ABC A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

Chọn D

   ,  90 SA ABC  SA ABC  

Câu 3:Cho tứ diện ABCD có cạnh AB BC BD, , vng góc với đơi Khẳng định sau ?

A. Góc CD ABD góc CBD B.Góc AC BCD góc ACB C. Góc AD ABC gócADB D.Góc AC ABD góc CBA

Do AB BC BD, , vng góc với đôi nên ABBCD, suy BC hình chiếu AC lên BCD

Chọn B

Câu 4:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cạnh huyền BC a. Hình chiếu vng góc S lên ABC trùng với trung điểmBC. Biết SBa. Tính sốđo góc SA ABC

A. 30 B. 45. C. 60. D. 75.

Chọn C

Gọi H trung điểm BC suy

2

a AH BH CH  BC

Ta có:   2

2 a SH  ABC SH  SB BH 

 

SA ABC, SAH 

tan SH 60

AH

 

     

Câu 5:Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD Biết

3 a

SA Tính góc SC ABCD

A 30 B. 45. C. 60. D. 75.

(85)

Chọn A

Ta có: SAABCDSAAC

 

SC ABCD;  SCA 

  

ABCD hình vng cạnh a 2,

3 a AC a SA

  

3

tan 30

3 SA AC

 

     

Câu 6:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên ABC trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc giữaSA ABC

A. 600 B. 750 C. 450 D. 300

DoH hình chiếu S lên mặt phẳng ABC nên

 

SH  ABC

Vậy AH hình chiếu SH lên mp ABC

 

SA ABC;  SA AH;  SAH

  

Ta có: SH ABCSH  AH

Mà: ABC SBCSH  AH Vậy tam giác SAH vuông cân H SAH 450

Câu 7:Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC 2a B; D2AC. Lấy điểm S không thuộc ABCD cho SOABCD Biết tan

2

SBO Tính sốđo góc SC ABCD

A. 30 B. 45. C. 60. D. 75.

Ta có: AC2a BD; 2AC4aOB2a

 1

tan

2

SO

SBO SO OB a

OB

     

Mặt khác SC,ABCD SCO;SO a OC a

  

(86)

Câu 8:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a. Hình chiếu vng góc S lên ABC trùng với trung điểm H cạnh BC. Biết tam giác SBC tam giác đều.Tính sốđo góc SA ABC

A. 30 B. 45. C. 60. D. 75.

Chọn B Ta có:

  ;  

SH  ABC SH  AH  SA ABC SAH 

ABC

 SBC hai tam giác cạnh a a AH SH

  

3 a

AH SH SHA

     vuông cân H  45

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA(ABCD SA), a Gọi  góc SC mp (ABCD) Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau ?

A.  30 B. cos 3

  C.  45 D.  60

Vì SA(ABCD) nên AC hình chiếu vng góc SC lên (ABCD)

 Góc giữa SC mp (ABCD)bằng góc SC&AC .

SCA 

 

Xét tam giác SAC vng A có:

0

tan 60

2 SA a AC a

     

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD Biết

3

SAa Tính góc SC ABCD

A 30 B. 60 C. 75 D. 45

(87)

Tứ giác ABCD hình vng cạnh a nên ACa

 

SA ABCD AC hình chiếu vng góc SC lên

ABCDSCA góc giữa SC ABCD.

Tam giác SAC vuông A nên

 1 

tan 30

3

SA a

SCA SCA

AC a

    

Chọn đáp án A

Câu 11: Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' ' Gọi  góc AC' mp A BCD' '  Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau?

A   300 B tan

3

  C   450 D tan Hướng dẫn giải:

Gọi ' '

' '

A C AC I

C D CD H

  



   

mà ' ' '  ' '

' ' '

C D CD

C D A BCD IH

C D A D

 

   

 

 hình chiếu vng

góc AC' lên A BCD' 'C IH' góc AC'

A BCD' '  Mà tan' ' 2

C H C IH

IH

  

Chọn đáp án D

Câu 12:Cho hình chóp S ABC có SA(ABC) tam giác ABC khơng vng, gọi H K, trực tâm ABC SBC Sốđo góc tạo HK mp SBC( ) là?

A. 65. B. 90 C. 45. D. 120.

Gọi I AHBC Ta có BC SA BC (SAI) (SBC) (SAI)

BC AI

 

   

  

KSI

Ta lại có SB CK SB (CHK) (SBC) (CHK)

SB CH

 

   

  

Mà HK (SAI)(SHK), suy HK (SBC)

 Chọn đáp án B

Câu 13: Cho hình chóp S ABC thỏa mãn SASBSC Gọi H hình chiếu vng góc S lên

 

mp ABC Chọn khẳng định khẳng định sau?

A. H trực tâm tam giác ABC

B. H trọng tâm tam giác ABC

C. H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

(88)

S

C B

A

Do hình chóp có nên

trục hình chóp Nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Vậy chọn C

Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cạnh huyền BC a Hình chiếu vng góc S lên ABC trùng với trung điểm BC Biết SBa Tính số đo góc SA

ABC

A. 30 B. 45 C. 60 D. 75

Có nên hình chiếu lên

Áp dụng định lý Pytago

Xét tam giác có

Vậy chọn C

Câu 15:Cho hình chóp S ABC có SAABC ABC vuông B AH đường cao SAB Khẳng định sau sai ?

A. SABC B. AH BC C. AH  AC D. AH SC

Do nên Nên Phương án A

Có Phương án D

Suy , Phương án B, D

Phương án C sai Thật với , ta có (vơ lý)

Vậy chọn C

Câu 16:Trong mệnh đề sau mệnh đềnào đúng?

A. Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng cho

S ABC SASBSC SH ABC SH

S ABC HAHBHC H

ABC

, a

AM BM  SBa

 

SM  ABC AM SA mp ABC 

 

SA ABC,  SA AM,  SAM

  

2

2 a SM  SB AM 

SAM 

tanSAM SM

AM

  SAM600

 

SA ABC SABC

 

   

AH SB

AH SBC

AH BC BC SAB

  

 



 

 

AH BC AH SC

AHAC

AH AC

AC AB

SA AC

 

 

(89)

B.Góc đường thẳng a mặt phẳng  P góc đường thẳng b mặt phẳng  P a b song song (hoặc a trùng với b)

C.Góc đường thẳng a mặt phẳng  P góc đường thẳng a mặt phẳng  Q mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q

D. Góc đường thẳng a mặt phẳng  P góc đường thẳng b mặt phẳng  P a song song với b

Câu 17:Cho góc tam diện Sxyz với xSy120 ,0 ySz60 ,0 zSx 90 Trên tia Sx Sy Sz, , lấy điểm , ,A B C cho SASBSCa Tam giác ABC có đặc điểm sốcác đặc điểm sau :

A.Vuông cân B.Đều

C.Cân không vuông D.Vuông không cân

Xét SAB có 2 

2 cos 3

AB SA SB  SA SB ASB a ABa SBC

 BC a

SAC

 có AB SA2SC2 a

Từđó ABC vng C Vậy chọn D

Câu 18:Cho hình chóp S ABCD có SAABCD đáy ABCD hình chữ nhật Gọi O tâm ABCD I trung điểm SC Khẳng định sau sai ?

A. IOABCD B. BCSB

C. SAC mặt phẳng trung trực đoạn BD D.Tam giác SCD vuông D

Có đường trung bình tam giác nên nên Phương án A

Có BC AB BC SB

BC SA  

 

  

Phương án B

Và CD AD CD SD

CD SA  

 

  

nên phương án D

Phương án C sai Thật SAC mặt phẳng trung trực BD BD AC(vô lý)

Vậy chọn C

A. Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

B.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với C. Với điểm A  điểm B  ta có đường thẳng AB vng góc với giao tuyến d    

IO SAC IO SA//

 

(90)

D. Nếu hai mặt phẳng     vng góc với mặt phẳng   giao tuyến d  

  có vng góc với  

Phương án A sai hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng

Phương án B sai cịn trường hợp hai mặt phẳng cắt Phương án C sai

Vậy chọn D

Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAABCD, SAa Gọi  góc SC mp SAB  Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau?

A. tan

  B. tan

7

  C.  30 D. tan  

Do BCSAB nên SB hình chiếu SC lên SAB

 

SC SAB,  SC SB,  BSC

  

Xét tam giác SBC có



tan

7

BC a

BSC

SB a

  

Vậy chọn B

Câu 21: Cho hình chóp S ABDC , với đáy ABDC hình bình hành tâm O AD SA AB; , , đôi vng góc AD8,SA6 ( )P mặt phẳng qua trung điểm AB vng góc với AB Thiết diện ( )P hình chóp có diện tích bằng?

A.20 B 16 C 17 D 36

Thiết diện hình thang vng qua trung điểm cạnh AB CD CS SB; ; ; , nên diện tích thiết diện

1

( )

(8 4)6

2 36

2

BC BC SA dt



  

Câu 22:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SASBSCb Gọi G trọng tâm ABC Độ dài SG là:

A.

2

9

3 b  a

B

2

3 b  a

C.

2

9

3 b  a

D

2

3 b  a

Theo hình chóp S ABC hình chóp tam giác Gọi H trung điểm BC , ta có

( ),

SG ABC GAH Mặt khác ta có:

2

,

2

a a

AH  SH  b 



2

2 2

2 3

.sin ( )

3 a

AG b a

SG SA SAG b b

SA b



      

Câu 23: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SASBSCb Gọi G trọng tâm ABC Xét mặt phẳng ( )P qua A vng góc với SC Tìm hệ thức liên hệ a

(91)

A ba B. ba C. ab D. ab

Để C1nằm S Cthì  

2

90 cos 0

2

b a

ASC ASC b a

b



      

Câu 24:Cho tứ diện ABCDcó AB BC CD, , đơi vng góc Điểm cách , , ,A B C Dlà:

A.Trung điểm BC B.Trung điểm AD C.Trung điểm AC D.Trung điểm AB

Sử dụng tính chất trung điểm tam giác vng

Câu 25:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SASC SB, SD Khẳng định sau ?

A. AB(SAC). B. CDAC C. SO(ABCD). D. CD(SBD).

Do hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SASC SB, SDnên SO(ABCD)

Câu 26:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao AH vng góc với mp ABCD( ) Gọi  góc BDvà mp SAD( ) Chọn khẳng định khẳng định sau?

A.

60

  . B.

30

  . C. cos

2

  D. sin 2  

Gọi I trung điểm AS, suy BI (SAD)IDB Ta có: 3, 2

AB

BI  BDAB Suy

3 sin

2 BI

BD   

Câu 27:Cho tứ diện ABCD Gọi  góc AB mp BCD( ) Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau?

A. cos 3

  B. cos

  C. cos 0 D. cos  

Gọi H hình chiếu A lên mp BCD( ), a độ dài cạnh tứ diện ABCD Ta có  ABH ,

3 a

BH  cos 3 BH

AB

    Chọn đáp án A

Câu 28: Cho tam giác ABC vuông cân A vàBCa Trên đường thẳng qua A vng góc với

ABC lấy điểm S cho a

SA Tính số đo góc đường thẳng SB ABC A.

75 B.

30 C.

45 D.

60

, ( ) 

SB ABC SBA 

6

tan 60

2 a SA

a AB

(92)

Câu 29:Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Gọi  góc AC1 mpABCD Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau?

A.

45

  B. tan

2

  C. tan

3

  D.

30  

Ta có AC1,ABCDCAC1 

1

tan

2

CC a

AC a



   

Câu 30:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa Góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB , tan nhận giá trị

nào giá trị sau?

A. tan  B. tan  C. tan

2

  D. tan 1 Hướng dẫn giải:

Ta có:

 

S SAB S hình chiếu S SAB  1

 

   

/

BC AB t c HV

BC SAB

BC SA SA ABCD

 



 



 

 

 B hình chiếu C SAB  2 Từ    1 , SC SAB, SC SB, BSC

Xét tam giác SAB vng A ta có: SB SA2AB2 a Xét tam giác SBC vng B ta có: tan

2

BC a

SB a

   

Vậy chọn đáp án C

Câu 31: Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC2a Lấy điểm S không thuộc ABCD cho

 

SO ABCD Biết tan

SOB Tính sốđo góc SC ABCD

A.

75 B.

45 C.

30 D.

Câu 32: Cho hình chóp S ABC có SAABC tam giác ABC không vuông Gọi H K, trực tâm ABC SBC Sốđo

góc tạo SC BHK là:

A.

45 B.

120

C. 900 D. 650

Hướng dẫn giải: Ta có:

 

   

BH AC gt

BH SAC BH SC

BH SA SA ABCD

 



   



 

 

(93)

(94)

DẠNG 3: THIẾT DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp:

Đểxác định thiết diện mặt phẳng   qua điểm O vng góc với đường thẳng d với hình chóp ta thực theo hai cách sau:

Cách 1. Tìm tất cảcác đường thẳng vng góc với d,   song song chứa đường thẳng ta chuyển dạng thiết diện song song biết ( dạng 2, §2 chương II)

Cách 2. Ta dựng mặt phẳng   sau:

Dựng hai đường thẳng a b, cắt vng góc với d có đường thẳng qua O,

đó   mặt phẳng mp a b , 

Câu 130: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SAABC Gọi  P mặt phẳng qua B vng góc vớiSC Thiết diện  P hình chóp S ABC là:

A. Hình thang vng B.Tam giác C.Tam giác cân D. Tam giác vuông Hướng dẫn giải:

Gọi I trung điểm AC, kẻ IH SC Ta có BI  AC BI, SABI SC

Do SCBIH hay thiết diện tam giác BIH Mà BI SAC nên BI IH hay thiết diện tam giác vuông

Chọn D

Câu 1:Cho tứ diện ABCD cạnha 12, gọi  P mặt phẳng qua B vng góc với AD Thiết diện  P hình chóp có diện tích

A 36 B 40. C 36 D 36

BCE E AD F BC

a b

d

α I

(95)

Ta có 12

BE CE   ;

2 6 2

EF  BE BF 

Diện tích thiết diện là:

1

36

2

S  EF BC 

Câu 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, cạnh bên SAABC Mặt phẳng  P qua trung điểm M AB vng góc với SB cắt AC SC SB, , N P Q, , Tứ giác MNPQ hình ?

A.Hình thang vng B Hình thang cân C.Hình bình hành D.Hình chữ nhật

Ta có: AB BC BC SB SA BC

 

 

   Vậy

   / /  1

BC SB

P BC

P SB

  

 

  

Mà   P  ABCMN 2 Từ    1 ; MN/ /BC

Tương tự ta có PQ/ /BC PN; / /SA Mà SABCPN NM

Vậy thiết diện hình thang MNPQ vng N

Câu 3:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, O trung điểm đường cao AH tam giác ABC SO, vng góc với đáy Gọi I điểm tùy ý OH (không trùng với O vàH ) mặt phẳng  P qua I vng góc vớiOH Thiết diện  P hình chóp S ABC hình gì?

A.Hình thang cân B.Hình thang vng C.Hình bình hành D. Tam giác vng

Mặt phẳng ( )P vuông góc với OH nên ( )P song song với SO Suy ( )P cắt (SAH) theo giao tuyến đường thẳng

qua I song song với SO cắt SH K

Từ giả thiết suy ( )P song song BC, ( )P cắt (ABC), (SBC) đường thẳng qua I K song song với BC cắt AB AC SB SC, , ,

, , ,

M N Q P Do thiết diện tứ giác MNPQ Ta có MN vàPQ song song BC suy I

trung điểm MN K trung điểm củaPQ, lại có

(96)

Chọn đáp án A

Câu 4:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SASBSCb (ab 2) Gọi G trọng tâmABC Xét mặt phẳng  P qua A vng góc với SC điểm C1 nằm

S vàC Diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng P

A

2 2

3

a b a

S

b



 B

2 2

3

a b a

S

b



 C

2 2

3

a b a

S

b



 D

2 2

3

a b a

S

b

 

Kẻ AI SCAIBSC Thiết diện tam giác AIB

Ta có  

2 2

sin cos

2

a b b a

AI AC ACS a ACS a b a

ab b

   

       

 

Gọi J trung điểm AB Dễ thất tam giác AIB cân I, suy IJ AB

2 2

3

a

IJ AI AJ b a b

   

Do đó:

2 2

1

2

a b a

S AB IJ

b



 

Chọn A

Câu 5:Tam giác ABC cóBC2a, đường cao ADa Trên đường thẳng vng góc với ABC tạiA, lấy điểm S cho SAa Gọi ,E F trung điểm SB vàSC Diện tích tam giác AEF bằng?

A

4 a B.

2

6 a C.

2

2a D.

2 a

DoADBC SA, BCBCSADBCAH EF  AH

AEF

S EF AH

 

Mà

2

EF  BCa Do H trung điểm SD AH a

1 AEF S a

(97)

Câu 6:Cho hình chóp S ABC có đáyABClà tam giác cạnh ,  ,

a SA ABC SAa Gọi  P mặt phẳng qua A vuông góc với BC Thiết diện hình chóp S ABC cắt  P có diện tích bằng?

A

a

B.

a

C.

4a D.

2

a

Gọi M trung điểm BC BCAM 1 Hiển nhiên AM a

Mà SAABCBCSA 2

Từ 1  2 suy BCSAM    P  SAM

Khi thiết diện hình chópS ABC cắt  P SAM

SAM

 vuông A nên

2

1 3

2 2

SAM

a a

S  SA AM  a 

Chọn đáp án C.

Câu 7:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SAABC,SAa Gọi  P mặt phẳng qua S vng góc vớiBC Thiết diện  P hình chóp S ABC có diện tích ?

A

2 a

B

2

6 a

C

2

2 a

D.

a Hướng dẫn giải:

Kẻ AEBC SA, BCBCSAE   P

Thiết diện mặt phẳng  P hình chóp S ABC tam giác SAE có diện tích :

2

1 3

2 2

SAE

a S  SA AE a a 

Câu 8:Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC SBC hai tam giác cạnh , SA

a a M

(98)

A 3 a b a     

  B

2 a b a     

  C

2 3 16 a b a     

  D

2 3 a b a       

Gọi N trung điểm BC

 

SB SC BC SN

BC SAN

AB AC BC AN

                   

Theo    

  / /  M P BC P P SAN       

Kẻ MI/ /AN MK, / /SA Thiết diện  P tứ diện SABC KMI

ABC SBC   

 hai tam giác cạnh

3 a

aANSM  SA SAN tam giác cạnh

2 a

KMI

  tam giác cạnh

2

3 3

2 KMI 16

a b a b

S

a  a

 

     



 

 

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho tứ diện ABCD cạnh a12, AP đường cao tam giácACD Mặt phẳng  P qua B vng góc với AP cắt mpACD theo đoạn giao tuyến có độ dài ?

A. B. C. D.

Ta có : CD AP CD, BPCDAPBBGCD

Tương tự : ADCM AD, BM  ADBCMADBG Suy : BGABCBGAP

Kẻ KL qua trọng tâm G ACD song song với CD

AP KL

   P mặt phẳng BKL

   

3 ACD BKL KL CD

    

Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều:

Gọi G trọng tâm ACD G tâm ACD BG(ACD) Trong mp ACD( ) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt

,

AC AD K L,

Ta có (BKL)(ACD AP), KL AP(BKL) Vậy ( )P (BKL)

   

3 ACD BKL KL CD

    

Câu 10:Cho hình chóp S ABCD , với đáy ABCD hình thang vng A, đáy lớn AD8, BC 6 , SA vng góc với mặt phẳng ABCD, SA6 Gọi M trung điểmAB  P mặt phẳng qua

M vng góc vớiAB Thiết diện  P hình chóp có diện tích bằng?

A. 10 B. 20 C. 15 D. 16

(99)

Do  P AB P SA

Gọi I trung điểm SBMISAMI P Gọi N trung điểm CDMN ABMN P Gọi K trung điểm SCIK BC , mà



 

MN BC MN IK

 

IK P

 

Vậy thiết diện  P hình chóp hình thang MNKI vng M

Ta có:

MI đường trung bình tam giác SAB

MI SA

  

IK đường trung bình tam giác SBC

IK BC

  

MN đường trung bình hình thang ABCD 1 

MN AD BC

   

Khi 7.3 15

2

MNKI

IK MN

S   MI    Vậy chọn đáp án C

Câu 11:Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc Kẻ OH ABC a) Khẳng định nhất?H trực tâm ABC

A. H trực tâm ABC B. H tâm đường tròn nội tiếp ABC C. H trọng tâm ABC D. H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

b) ABC tam giác gì?

A. ABC tam giác nhọn B. ABC tam giác tù C. ABC tam giác vuông D. ABC tam giác cân c) Khẳng định sau nhất? S2ABC S2OAB S2OBCS2OCA

A 2 2

2 2

ABC  OAB OBC OCA

S S S S B. 2 2

2SABC SOABSOBC SOCA

C. 2 2

3SABC SOAB SOBCSOCA D.

2 2

ABC  OAB OBC OCA

S S S S

d) Tìm tập hợp điểm M không gian cho MA2MB2MC2 3MO2

A. M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG, I điểm cách điểm , , ,

O A B C G trọng tâm tam giác ABC

B. M thuộc mặt phẳng qua I song song với OG,trong I điểm cách điểm , , ,

O A B C trọng tâm tam giác ABC

C. M thuộc mặt phẳng qua O vng góc với OG, G trọng tâm tam giác

ABC

D. M thuộc mặt phẳng qua O song song với OG, đóG trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn giải:

a) Ta có     

 

OA OB

OA OBC OA BC

(100)

Lại có OH ABCOH BC

Vậy    

  BC OA BC OAH BC OH    BC AH

Tương tự    

 

AC OB

AC OBH

AC OH  BH  AC 2  Từ    1 , suy H trực tâm tam giác ABC b) Đặt OAa OB, b OC, c

Ta có 2 2

   

BC OB OC b c

Tương tự 2 2

,

   

AC a c AB a b

Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có

   

 

2 2 2

2 2

( )

cos

2 2 ( )

    

 

 

 

a b a c b c

AB AC BC

A

AB AC a b a b

 

2

2 2

( )

 

 

a

a b a b

suy A nhọn

Tương tự góc B C, nhọn

c) Ta có 2 1 2 2

4

   

ABC

S AI BC OI OA OB OC

2 2 2

1 1

4 4

 OI BC  OA OB  OA OC S2OABS2OBCS2OCA

d) Gọi I điểm cách điểm O A B C, , , G trọng tâm tam giác ABCthì ta có :

2 2

3

  

MA MB MC MO

  2  2 2

3( )

 MI IA  MI IB  MI IC   MIIO

 

    IAIBIC IM   IO MI 3 IG MI 3 IO IM OGMI0MI OG (

  

    IA IB IC IG)

Vậy M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG

Câu 12:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SAABCD SAa Gọi ,

I K trung điểm cạnh AB SC Tính IK

A.

2 a

IK B.

2  a IK C  a

IK D.

2  a IK Hướng dẫn giải:

Ta có

2

2 2

2

 

      

 

a a

IS AI AS a Tương tự

5   a

ID IC suy

 

(101)

Mặt khác      



CD AD

CD SAD CD SA

CDSD SCD vng D, lại có K trung điểm SC nên K tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác SCD, KI SCD

Ta có 2 2 2 1 2

4

      

IK ID DK ID SC ID SA AC

 

2

5

2

4 4    

a a a

a a IK

Câu 13:Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a.Trên đường thẳng qua O vng góc với

ABCD lấy điểm S Biết góc SA ABCD có sốđo 45 Tính độ dài SO

A. SOa B. SOa C. a

SO D.

2 a SO

Chọn B

Do SOABCDSA ABCD, SAO45 Do SAO vng cân O nên SOAOa

Câu 14:Cho tứ diện ABCD có DA DB DC, , đơi vng góc Gọi   , , góc đường thẳng DA DB DC, , với mặt phẳng ABC

Tìm Giá trị nhỏ M 2 cot 22 cot 22 cot 2

A. 64 B.8 C.1 D. 64

Gọi H hình chiếu D ABC

Khi H trực tâm tam giác ABC Và DA ABC, DA AH, DAH

Đặt DAa DB, b DC, c

Gọi I AHBCthì DI đường cao tam giác DBC nên 2

 

 DB DC bc DI

BC b c

 

2 2

2 cot  DAa b c

DI b c



 

2 2 2

2

2 cot 

   a b c   a  a

b c bc bc

 Vậy

 

2

2 cot  a bc 

Tương tự cot  4b 2  ac

 cot  4c 3  ab 

A

D C

(102)

Nhân theo vếcác BĐT      1 , , ta    

2 cot  cot  cot  64 ( đpcm)

Câu 15:Trong mặt phẳng   cho đường trịn đường kính cốđịnh BC M điểm di động

đường tròn Trên đường thẳng d vng góc với   B lấy điểm A a) Khẳng định sau đúng?

A. mặt tứ diện ABMC tam giác vuông

B.các mặt tứ diện ABMC tam giác vuông cân

C.tam giác ACM vuông A

D.tam giác ACM vuông cân M

b) Gọi H K, hình chiếu B AM AC Khẳng định sau sai? A. AC BHK B. BH AC C.A, B D. A, B sai c) Tìm tập hợp điểm H M di động

A. H thuộc đường trịn đường kính BK

B. H thuộc đường trịn đường kính AC

C. H thuộc đường trịn đường kính BM

D. H thuộc đường trịn đường kính AB d) Tìm vị trí M đểđoạn AM lớn

A. M C B. M B

C. M H D. M K

e) Tìm vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn

A. M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính

2

2 

BA BC BA BC

B. M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính

2

1

2 2 

BA BC BA BC

C. M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính

2

2 

BA BC BA BC

D. M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính

2

2 

BA BC BA BC Hướng dẫn giải:

a) Ta có      

AB BM

AB

AB BC

 suy tam giác ABM ABC vuông B

Tiếp theo ta có      



MC MB

MC ABM

MC AB

MC AM hay tam giác ACM vuông M b) Ta có     

 

BH AM

BH ACM

BH MC

BH AC

 

Vậy     

AC BH

AC BHK

AC BK

A

B

M

C K

(103)

c) Dễ thấy BK cốđịnh  90



BHK nên điểm H thuộc đường trịn đường kính BK.Từđó ta có tập hợp điểm M đường trịn đường kính BK

d) MA2  AB2BM2 mà AB khơng đỏi nên AM lớn MB lớn BM BCM C

e) Ta có

2 2

1

2 4



  

BHK

BH HK BK

S BH HK không đổi nên

2 max

4

  

BHK BK

S BH HK , lúc HBK vuông cân H nên

2

 BK

BH

Ta có 2  12  2; 12  12  12

BH BA BM BK AB BC

nên 2 12  12 2  12  2  12  22

BA BC  BM BA BM BA BC

2

 

 BA BC MB

BA BC

Vậy

2 max

4

 

BHK BK S

2

 

 BA BC MB

BA BC

 M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính

2

2 

BA BC BA BC

Câu 16:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa BC, a 3, mặt bên SBC tam giác vuông B, mặt bên SCD vng D SDa

a) Tính SA

A. SAa B. SA2a C. SA3a D. SA4a

b) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt CB CD, I J, Gọi H hình chiếu A

trên SC.Gọi K L, giao điểm K L, SB SD, với HIJ Khẳng định sau nhất?

A. AK SBC, B. ALSCD C. AK SC D.CảA, B, C

đúng

a) SBC vuông BBC SB mà BCAD BCSAB

BCSA

Tương tự ta có SACD nên SAABCD Ta có

2

6

  

   

SC DS DC a

SB SC BC a

2

SA SB AB a Vậy SAa

b) Do       



IJ AC

IJ SAC IJ SC

IJ SA

Lại có AH SCHIJSC AK SC 1  Dế thấy BCSAB BCAK 2 

L K

I

J

D

B C

A S

(104)

Từ    1 , suy AK SBC Lập luận tương tự ta có ALSCD

Câu 17:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, ABa SA, a

 



SA ABC Gọi M điểm cạnh AB AM x 0 xa, mặt phẳng   qua M vng góc với AB

Giả sử thiết diện hình chóp S ABC với   tứ giác MNPQ a) Hỏi tứ giác MNPQ hình

A. Hình chữ nhật B.hình vng C.hình thang D. hình bình hành b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn

A a

x B

2

 a

x C.

2

 a

x D. xa

Ta có          AB SA SA AB   Do                          M SAB

SA SAB SAB MN SA SA    Tương tự              AB BC BC AB               ,               M ABC BC ABC BC

ABC MQ BC Q AC

               ,               N SBC

BC SBC SBC NP BC P SC BC



 

Thiết diện tứ giác MNPQ

b) Ta có MN SA PQ SA ,  MNPQ MQ BC NP BC ,  MQ NP nên MNPQ hình bình hành

Mặt khác           MN SA

NP BC MN NP SA BC

Vậy MNPQ hình chữ nhật

b) Ta có MQAM x, MN  MBMN  MB SA ax a  3ax

SA AB AB a

 

2

3

3[ ]

4

 

       

 

MNPQ

a a a

S MN MQ a x x x

2

maxSMNPQ a x a

(105)

Câu 18:Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a.Trên đường thẳng qua O vuông góc với

ABCD lấy điểm S Biết góc SA ABCD có sốđo 45 Tính độ dài SO

A. SOa B. SOa C. a

SO D.

2 a SO

Chọn B

Do SOABCDSA ABCD, SAO45

Do SAO vng cân O nên SOAOa

Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AB BC CD, , đơi vng góc ABa BC, b CD, c Độ dài

AD:

A a2b2c2 B a2b2c2 C a2b2c2 D a2b2c2 Hướng dẫn giải::

Ta có: BCCDBD BC2CD2  b2c2 Mặt khác: AB BC AB BCD AB BD

AB CD

 

   

  

2 2 2

AD AB BD  a b c Vậy chọn đáp án A

Câu 20:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAABCD SAa Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng   qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện

A

2 a

S B

2 2  a

S C

2 3  a

S D.

2

4

3  a S Hướng dẫn giải:

Gọi K hình chiếu A SC K  Trong SAC gọi I SOAK Ta có    

 

BD SA

BD SAC

BD AC

(106)

Vậy                  I SBD BD SBD BD       , ,

   SBD HL BD H SD LSB

Thiết diện tứ giác AHKL

b) Do

2          AHKL HL BD

HL AK S AH KL

BD AK

Ta có SAAC a 2 SAC cân tại., mà AK SC nên K

trung điểm SC

2

AK  SC  a a

2 2

3 3

      

 HL SH SI a

HL BD HL BD

BD SD SO

Vậy

2

1 2

2 3

 

AHKL

a a

S a

Câu 21:Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, đường cao SO2a Gọi M

điểm thuộc đường cao AA' tam giác ABC Xét mặt phẳng   qua M vng góc với AA'

Đặt AM x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt  

Giả sử tính diện tích thiết diện theo avà x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn

A.

8 a

x B. 3

2  a

x C.

8

 a

x D. 3

8  a x Hướng dẫn giải:

Vì S ABC hình chóp nên

 



SO ABC ( O tâm tam giác ABC).Do SOAA1 mà   AA1 SO 

Tương tự ta có BC 

Trường hợp 1 x0 thiết diện điểm A

Trường hợp 2 3

x a M thuộc đoạn AO M  A Ta có :

            , ,                M ABC

BC ABC ABC IJ BC I AB J AC BC    Tương tự            

1 ,

              M SAA

SO SAA SAA MK SO K SA SO



 

Thiết diện tam giác KIJ

(107)

Trường hợp 3. 3

3  

a a

x M thuộc đoạn  0;  

OA M M A

Tương tựnhư trường hợp ta có:

                 M ABC BC ABC BC       , ,      

ABC IJ BC

I AB J AC

         1          M SAA SO SAA SO  

   1 ,

   SAA MNSO NSA

            ,               N SBC

BC SBC SBC EF IJ N EF BC



 

Thiết diện tứ giác IJEF

Trường hợp 4.

2 a

x thiết diện đoạn BC

b) Xét trường hợp:

0

  td 

x S ,

2 a

x Std 0

0

3

xa ,



IJK

S IJ MK

Ta có 3     

 IJ AM x x

IJ BC IJ

BC AA a

Tương tự

3

   

MK AM x

MK x

SO AO a

Vậy 3.2 2

2

 

IJK

x

S x x

3

3  

a a

x , dễ thây IJEF hình thang nên 1 

 

IJEF

S IJ EF MN

2

3  x

IJ ,  

1

3

3 2 3

3        a x EF SN OM

EF x a BC SA OA a

(108)

 

1

3

2 2 3 2 3

3



    

a x MA

MN

MN a x

SO OA a

Vậy 24 3 3 3

  

IJEF

S x a a x

Xét trường hợp ta thấy Std lớn trường hợp 3

3  

a a

x

2 max

4



IJEF a

S

3

8  a x

Câu 22:Cho tam giác ABCtại C có cạnh huyền nằm mặt phẳng  P cạnh góc vng tạo với  P góc  , Giả sử  độ lớn góc đường cao CK với  P Khẳng định sau nhất?

A. sin  sin22 sin2 B. sin  sin2sin2 C. sin sin2 sin2

3

    D. sin 2 sin2sin2

Kẻ CH  P CKH góc CK  P dễ thấy  

 CA P, CAH , CB P, CBH  Đặt CH h, ta có ,

sin sin

 h  h

CA CB

 

2

2 2

2

sin sin

   h  h

AB CA CB

 

2

1

sin sin

 

   

 

h

 

Xét tam giác ABC có CK AB CA CB

2

2 2

sin sin

1 sin sin sin sin

  

  

 

 

h h

CA CB CK

AB

h

 

2

sin sin



 h

 

Ta có sinCKHCH  sin2 sin2

CK  

Câu 23:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O

 



SO ABCD , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng ABCD SBC góc Gọi

H hình chiếu A SBC a)Tính SA HBa

P

C

H A

(109)

A a

B

3 a

C a

D a

b) Tính góc đường thẳng SA với ABCD A arctan

5



 B arctan

7





C arctan



 D arctan

2





a) Dễ thấy SA ABCD, SAO nên SOSAcos 1   Gọi I trung điểm BC ta có     

 

OI BC

BC SIO SO BC

Kẻ OK SI OK BC nên OK SBC Kẻ At OK cắt CK H, ta có

   

 

 

   

 AH CK

AH SBC

CK SBC nên   

 

,  

SA SBC SAH 

đó AH SAcos 2   Từ    1 , ta có AH SO Khi

2

a

BH tam giác vng HAB có

2 2

2

 

     

 

a a

AH AB HB a

2

3

2 2

   

           

   

   

a a a a

SO AH SA SO OA

b)

3

2

tan arctan

2

    

a SO OA a

 

Câu 24:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SAABCD, SCa Góc

đường thẳng SC với mặt phẳng ABCD SAB   a) Tính SA

A. SAasin B. SAacos

C. SAatan D. SA2 sina 

b) Tính AB

A. cos cos 

2a    B. 2a cos cos

C 3a cos cos D. a coscos H

I O

D

A B

C S

(110)

a) Do SAABCDSA ABCD, 

 .

SAC

Tương tự      



BC AB

BC SAB BC SA

 

,  

 SC SAB SBC sin sin

 

SA SC  a 

b) SBSCsin asin

2 2 2

sin sin

   

AB SB SA a  a 

   

1 cos cos

2

cos cos

 

 

  

a a

 

   

Câu 25:Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc Gọi H trực tâm tứ diện Gọi , ,

A B C ba góc tương ứng tam giác ABC

Đặt  AOH, BOH, COH Khẳng định sau nhất?

A.

2 2

sin sin sin

sinA  sinB  sinC

  

B.

2 2

sin sin sin sin 2A  sin 2B  sin 2C

  

C.

2 2

sin sin sin sinA  sinB  sinC

  

D.

2 2

sin sin sin

sin 2A sin 2B sin 2C

  

Hướng dẫn giải: ( HS tự giải)

Câu 26:Cho tứ diện ABCD có  90



BDC Hình chiếu Hcủa D mặt phẳng ABC trực tâm tam giác ABC

a) TínhCDA

A. CDA600 B. CDA900 C. CDA450 D. CDA300

b)Khẳng định sau

A. 6DA2DB2DC2ABBCCA2 B. 6DA2DB2DC25ABBCCA2

C. 3DA2 DB2DC2ABBCCA2 D. 2DA2DB2DC23ABBCCA2 Hướng dẫn giải:

a) Vì      



BC DH

BC ADH

BC AH

  BC DA

Tương tự ta có BDH AC DBAC,

 

 

 

  

DB DC

DB ACD

DB AC

   DBDA

β

α

A

D C

B S

H D

B

A

(111)

Từ    1 , suy DABCDDADC CDA900

b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có cạnh DA DB DC, , đơi vng góc Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có

 2  2 2

3

    

AB BC CA AB BC CA

Mà

2 2

          

AB DA DB BC DB DC CA DA DC

nên ABBCCA26DA2DB2DC2.

Đẳng thức xảy ABBCCA ABC đều, kết hợp với chân đường cao D trùng với tâm

đáy ta D ABC hình chóp đỉnh D

Câu 27:Cho tứ diện OABC có cạnh OA OB OC, , đơi vng góc.M điểm thuộc miền tam giác ABC

a) Tìm giá trị nhỏ

2 2

 MA MB MC

T

OA OB OC

A. minT 3 B. minT 2 C. minT 4 D. minT 6

b) Gọi H trực tâm tam giác ABC   , , góc gữa đường thẳng OH với đường thẳng OA OB OC, , Tìm giá trị lớn Acotcotcot

A. max

4 

A B. max

3 

A C. max

2



A D. maxA2

c) Tìm GTNN cos 2cos cos 2cos cos 2cos

cos cos cos

  

  

S      

  

A minS 6 B. minS  C. minS 6 D. minS 4

a) Gọi N AM BC, kẻ MM1OA ta có

    1          OA OBC MM OBC MM OA

kẻ MA1OA A, 1OA Khi

2 2 2

1 1

    

AM AA MA AA MO OA

  

2

1 1

OM  AA OA AA OA

 

2

1 OM OA OA OA

2

1 OM OA  OA OA

Suy  

2

1

2

1

   OA

AM OM

OA OA OA

Tương tự gọi B C1, 1 điểm tương tựnhư A1 ta có  

2

1

2

1

   OB

MB OM

OB OB OB

 

2

1

2

1

   OC

MC OM

OC OC OC

(112)

Từ      1 , , ta có 1

2 2

1 1

2 

 

        

   

OA OB OC T OM

OA OB OC OA OB OC Gọi H trực tâm tam giác ABC ta biết kết quen thuộc

2 2

1 1

  

OA OB OC OH nên

2

1 1

2

 

     

 

OA OB OC

OM T

OH OA OB OC

Mặt khác   MBC ABC S OA NM

OA NA S

Tương tự 1

,

 MAC  MAB

ABC ABC

S

OB OC S

OB S OC S nên

1   1

OA OB OC

Do

2

OM  

T

OH OM OH

Vậy minT 2 M H

Cách Đặt OA     a OB, b OC, c Do A B C M, , , đồng phẳng nên tồn , ,x y z cho

 1

     

   

OM xOA yOB zOC x y z

Ta có AM OM OA  x1a b c 

     

, bình phương vơ hướng ta

   

2 2 2

2

2 2 2

2 2

1

     MA    y b z c

AM x a y b z c x

OA a a

Tương tự    

2 2 2 2 2

2

2   1  ,    1

MB x a z c MC x a y b

y z

OB b b OC c c

Vì  12  12  12 2 2 21

 

T a x b y c z a b c

2

1 1

 

     

a ax b by c cz ( Theo Cauchy-Schwarz) Vậy minT 2

b) Dễ thấy  AOH, BOH, COH Ta có

2 2

1 1

1

     

         

     

OH OH OH OA OB OC OH OA OB OC

 

2 2

cos cos cos 1

    

Lại có  

2

2 2

1 cot

1 tan cos *

cos tan cot

    

 

x

x x

x x x

Áp dụng CT (*) cho x nhận giá trị   , , kết hợp với  1 thu

2 2

cot cot cot

1 cot 1 cot 1 cot 

  

Đặt xcot2,ycot2,zcot2 x y z, , 0 tốn trỏ thành Cho x y z, , 0 thỏa

1 1 1 

x y z

x y z Chứng minh

1  xyz Ta có   

1

1 1 1   1 1 1  1 1

x y z x y z yz

(113)

    

2

1 1

 

  

yz

x y z

Tương tự ta có :

   

2

1  1 1 xz

y x z     

2

1  1 1 xy

z x y

Nhân theo vếcác BĐT     2 , ta  



xyz dpcm

(114)

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT

1 Góc hai mặt phẳng

 ( ) ( ),( ) ,  ( )

a P P Q a b

b Q  

 

  

Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng ( ), ( ), a P a c b Q b c

  



 



 ( ),( )P Q a b,  Chú ý: 00 ( ),( )P Q 900

2 Diện tích hình chiếu đa giác

Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  = 

( ),( )P Q  Khi đó: S = S.cos

3 Hai mặt phẳng vng góc

(P)  (Q)  ( ),( )P Q 900

Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: ( ) ( ) ( ) ( )

P a P Q

a Q

 

 

   4 Tính chất

 ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ),

P Q P Q c a Q

a P a c

   

 



 

 

( ) ( )

, ( )

P Q

A P a P

a A a Q

 



  



  





( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P Q a

P R a R

Q R

  



  



 



Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đềnào đúng?

A. Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

B.Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

C. Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

ln qua đường thẳng cốđịnh

D. Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 2:Chọn mệnh đềđúng mệnh đềsau đây:

A. Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường song song với đường

B.Cho đường thẳng a  , mặt phẳng   chứa a    

C. Cho hai đường thẳng chéo a b, ln ln có mặt phẳng chứa đường vng góc với đường thẳng

D. Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng   chứa a mặt phẳng

(115)

Chọn B

Câu 3:Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng có cạnh bên vng góc với đáy Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên mặt phẳng chứa mặt đáy Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A.Có ba cặp mặt phẳng vng góc với B.Có hai cặp mặt phẳng vng góc với C.Có năm cặp mặt phẳng vng góc với D Có bốn cặp mặt phẳng vng góc với

Hướng dẫn giải: Chọn C

Câu 4:Trong mệnh đề sau, mệnh đềnào đúng?

A.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với B.Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với C.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt

D.Một mặt phẳng  P đường thẳng a không thuộc  P vuông góc với đường thẳng b  P //a

Chọn D

A.Nếu hình hộp có bốn mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật B.Nếu hình hộp có ba mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật C.Nếu hình hộp có hai mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật D.Nếu hình hộp có năm mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật

Hướng dẫn giải: Chọn D

Câu 6:Trong mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề

A.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với B.Nếu hai mặt vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng nàysẽ vng góc với mặt phẳng

C. Hai mặt phẳng     vng góc với cắt theo giao tuyến d Với điểm

A thuộc   điểm B thuộc   ta có đường thẳng AB vng góc với d

D. Nếu hai mặt phẳng     vng góc với mặt phẳng   giao tuyến d     có vng góc với  

Theo Định lí 2tr109SGKHH11CB Chọn D

Câu 7:Cho hai mặt phẳng     vng góc với gọi d      I Nếu a  ad a  II Nếu d   d d

III Nếu b  d b  () b  () IV Nếu ()  d ()  () ()  () Các mệnh đềđúng :

A.I, II III B.III IV C.II III D.I, II IV Hướng dẫn giải:

Chọn D

(116)

A. B.2 C.3 D. Vô số

Chọn A

Câu 9:Cho hai mặt phẳng  P  Q , a đường thẳng nằm trên P Mệnh đềnào sau sai ?

A. Nếu a b// với b   P  Q a// Q B.Nếu    P  Q a Q C. Nếu a cắt  Q  P cắt Q D.Nếu    P / / Q a/ / Q

Gọi b=   P  Q a b// a/ / Q Chọn B

Câu 10:Chọn mệnh đềđúng mệnh đềsau đây:

A. Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

B.Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời ab Ln có mặt phẳng   chứa a

  b

C. Cho hai đường thẳng a b vng góc với Nếu mặt phẳng   chứa a mặt phẳng

  chứa b    

D. Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác

Chọn B

Câu 11: Cho hai mặt phẳng  P  Q song song với điểm M không thuộc  P  Q Qua M có mặt phẳng vng góc với  P  Q ?

A. B. C. D. Vô số

Qua M dựng đường thẳng d vng cóc với  P  Q Khi có vơ số mặt phẳng xoay quanh d thỏa yêu cầu toán

Chọn D

A. Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

B.Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

C. Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song với

D. Cả ba mệnh đềtrên sai Hướng dẫn giải:

Chọn D

A. Một mặt phẳng ( ) đường thẳng a khơng thuộc ( ) vng góc với đường thẳng bthì () song song với a

B.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với

C. Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cắt

(117)

Đáp án A Đáp án B sai

Đáp án C sai

Đáp án D sai

Chọn A

Câu 14:Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với

B.Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước C.Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song với D.Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

Đáp án A

Qua đường thẳng có vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng B

Đáp án C

Qua điểm có vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Đáp án

D sai

A. Cho đường thẳng a vng góc với đường thẳng b b nằm mặt phẳng  P Mọi mặt phẳng  Q chứa a vng góc với b  P vng góc với  Q

(118)

C. Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng  P , mặt phẳng  Q chứa a  P vng góc với  Q

D. Qua điểm có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước

Đáp án A

Đáp án B sai

Đáp án C Đáp án D

A. Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với

B.Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

C. Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với hai mặt phẳng cắt cho trước

D. Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

Qua điểm có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước, đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng cắt cho Chọn C

Câu 17:Cho , ,a b c đường thẳng Mệnh đềnào sau đúng? A. Choab Mọi mặt phẳng chứa b vng góc với a

B.Nếu abvà mặt phẳng   chứa a ; mặt phẳng  chứa b      

C. Cho ab nằm mặt phẳng   Mọi mặt phẳng   chứa a vng góc với b      

D. Cho a b// , mặt phẳng   chứa ctrong ca cb vng góc với mặt phẳng a b, 

Câu 18: Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời ab Chỉ mệnh đề

mệnh đề sau:

(119)

B.mặt phẳng  R chứa b chứa đường thẳng b'a mp R a C.mặt phẳng   chứa a, mp( ) chứa b ( )  ( )

D.mặt phẳng  P chứa b mặt phẳng  P a

Chọn A

Giả sử AB đoạn vng góc chung a b mp Q   AB b,  mà

 

, , ,

a AB ab a AB b amp Q 

Câu 19:Cho mệnh đề sau với     hai mặt phẳng vng góc với với giao tuyến    

m    a, b, c, d đường thẳng Các mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A.Nếu bm b  b  B.Nếu bm d  

C.Nếu a  am a  D.Nếu c m// c//  c// 

Chọn C

Do a  , am, ( )  ( ) nên a 

Câu 20:Chỉ mệnh đềđúng mệnh đề sau:

A.Cho hai đường thẳng song song a b đường thẳng c cho ca c, b Mọi mặt phẳng ( ) chứa c vng góc với mặt phẳng a b, 

B.Cho a( ) , mặt phẳng   chứa a       C.Cho ab, mặt phẳng chứa b vng góc với a D.Cho ab, a( ) b       

Câu A sai ,a b trùng

Câu C sai ,a b cắt nhau, mặt phẳng a b,  khơng vng góc với a

Câu D sai ,a b chéo vng góc với nhau, ta gọi   mặt phẳng chứa a, song song với bvà   mặt phẳng chứa b song song với a     // 

Chọn B

Câu 21:Mệnh đềnào sau đúng?

A.Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

B.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng vng góc với C.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với

D.Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

Mệnh đề A sai xảy trường hợp hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng

Mệnh đề B sai xảy trường hợp hai mặt phẳng song song Mệnh đề C sai xảy trường hợp hai mặt phẳng vng góc Chọn đáp án D

A.Hai đường thẳng khơng cắt nhau, khơng song song chéo

(120)

C. Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song D. Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song

Mệnh đề sai cịn trường hợp chéo trùng Mênh đề C sai trường hợp hai đường thẳng chéo

Mênh đề D sai cịn trường hợp hai mặt phẳng vng góc với Chọn B

A. Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

B.Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

C. Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

D. Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

* Có vơ số đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước, chúng nằm mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước  “Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước”: SAI * Có vơ số mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước, trường hợp: đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước :Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước”: SAI

* Có vố số mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước ”Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước”: SAI Chọn D

Câu 24:Cho hình chóp S ABC có đường cao SH Xét mệnh đề sau: (I) SASBSC

(II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (III) Tam giác ABC tam giác

(IV) H trực tâm tam giác ABC

Các yếu tốnào chưa đủđể kết luận S ABC hình chóp đều?

A. (III) (IV) B.(II) (III) C.(I) (II) D.(IV) (I)

Chọn C

Câu 25: Cho hình chóp S ABC có đáyABC tam giác Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A S ABC hình chóp mặt bên tam giác cân đỉnh S

(121)

C. S ABC hình chóp mặt bên tam giác cân D. S ABC hình chóp mặt bên có diện tích

Chọn A

Câu 26:Trong lăng trụđều, khẳng định sau sai? A.Đáy đa giác

B.Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy C.Các cạnh bên đường cao

D.Các mặt bên hình bình hành

A Vì lăng trụđều nên cạnh Do đáy đa giác

B Vì lăng trụđều lăng trụđứng nên mặt bên vuông góc với đáy

C Vì lăng trụđều lăng trụđứng nên cạnh bên vng góc với đáy

D Vì lăng trụđều lăng trụđứng nên cạnh bên vng góc với đáy Do mặt bên hình vng

Chọn D.

A.Nếu hình hộp có hai mặt hình vng hình lập phương

B.Nếu hình hộp có ba mặt chung đỉnh hình vng hình lập phương C.Nếu hình hộp có bốn đường chéo hình lập phương

D.Nếu hình hộp có sau mặt hình lập phương

Đây câu hỏi lý thuyết Chọn đáp án B

Câu 28:Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A.Nếu hình hộp có hai mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật B.Nếu hình hộp có năm mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật C.Nếu hình hộp có bốn mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật D.Nếu hình hộp có ba mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật

Chọn đáp án B

A sai đáy hình bình hành B

C sai đáy hình bình hành D sai đáy hình bình hành

Câu 29:Hình hộp ABCD A B C D     hình hộp tứ diện AB C D  

A.Hình lập phương B.Hình hộp chữ nhật

C.Hình hộp thoi D.Đáp số khác

(122)

Câu 30:Hình hộp ABCD A B C D     trở thành hình lăng trụ tứgiác phải thêm điều kiện sau đây?

A. Tất cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy B.Có mặt bên vng góc với mặt đáy đáy hình vng C. Các mặt bên hình chữ nhật mặt đáy hình vng D. Cạnh bên cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy

Câu 31:Hình hộp ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ hình hộp tứ diện AA B D’ ’ ’ có cạnh đối vng góc

A. Hình lập phương B.Hình hộp tam giác

C. Hình hộp thoi D.Hình hộp tứ giác

Ta có AA'B'D', A'D'AB', A'B'  AD' suy Hình hộp ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ hình lập phương

A. Góc mặt phẳng  P mặt phẳng  Q góc nhọn mặt phẳng  P mặt phẳng (R) mặt phẳng  Q song song với mặt phẳng  R

B. Góc mặt phẳng  P mặt phẳng  Q góc nhọn mặt phẳng  P mặt phẳng

 R mặt phẳng  Q song song với mặt phẳng  R (hoặc    Q  R )

C. Góc hai mặt phẳng ln góc nhọn

D. Cả ba mệnh đềtrên

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D

Câu 33: Cho hình chóp tam giác S ABC với đường cao SH Trong mệnh đề sau mệnh đề

đúng

A. H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cạnh bên

B. H trung điểm cạnh đáy hình hộp có mặt bên vng góc với mặt đáy C. H trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC góc mặt phẳng chứa mặt bên mặt phẳng đáy

D. Hthuộc cạnh đáy hình chóp có mặt bên vng góc với đáy

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A

A. Hình lăng trụ tam giác có hai mặt bên hình chữ nhật hình lăng trụđứng

B.Hình chóp có đáy đa giác có cạnh bên hình chóp

C. Hình lăng trụđứng có đáy đa giác hình lăng trụđều

D. Hình lăng trụcó đáy đa giác hình lăng trụđều Hướng dẫn giải:

Giả sửlăng trụ ABC A B C ' ' ' có mặt bên AA B B' '  , AA C C' '  hình chữ nhật,

đó ta có  

'

' '

AA AB

AA ABC

AA AC

 

 

 

 Vậy ABC A B C ' ' ' lăng trụđứng

Theo định nghĩa hình chóp hình lăng trụđều ta có đáp án B, C

Đáp án D sai

Câu 35:Cho P và Q hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến chúng đường thẳng

m Gọi a b c d, , , đường thẳng Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

(123)

C.Nếu bmthì b P b Q D.Nếu d m d  P

Áp dụng hệ 1: Nếu hai mặt phẳng vng góc với bất cứđường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng

(124)

DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp:

Để tính góc hai mặt phẳng H   ta thực theo cách sau:

Cách 1. Tìm hai đường thẳng a,b vng góc với hai mặt phẳng  α Ox Oy Oz, , Khi

góc hai đường thẳng A B C, , góc hai mặt phẳng OAOB OC 1 OABC

   

OBA ABC OCB

Cách 2. Tìm hai vec tơABC A B C ' ' ' có giá vng góc với AB ACa AA, 'a M

khi góc hai mặt phẳng AB   xác định M

Cách 3. Sử dụng cơng thức hình chiếu B C' , từđó để tính cos ta cần tính a b

Cách 4.Xác định cụ thể góc hai mặt phẳng sử dụng hệ thức lượng tam giác để tính Ta

thường xác định góc hai mặt phẳng theo hai cách sau: a)

Tìm giao tuyến M N, Chọn mặt phẳng AB BC, Tìm giao tuyến  

   

 ,  a b,  b)

Tìm giao tuyến SB

Lấy M N P, , Dựng hình chiếu AB BC C D, , ' ' ABCD A B C D ' ' ' ' MN

Dựng BD

Phương pháp có nghĩa tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng AD' vng góc với giao tuyến MN điểm giao tuyến

a b

p q γ

β α

φ β

α

M

(125)

Câu 1:Cho tứ diện ABCD có ACAD BCBD Gọi I trung điểm CD Khẳng định sau sai?

A.Góc hai mặt phẳng ABC ABD CBD B.Góc hai mặt phẳng ACD BCD AIB C. BCDAIB

D. ACDAIB

Tam giácBCD cân B có I trung điểm đáy CD CDBI (1)

Tam giácACD cân A có I trung điểm đáy CD CDAI (2)

(1) (2) CDABI Vậy A: sai Chọn A

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh A góc



60

A , cạnh

2 a

SC SC vng góc với mặt phẳng ABCD Trong tam giác SAC kẻ

IK SA K Tính sốđo góc BKD 

A. 600 B. 450 C. 900 D. 300

2

; ( 3)

CS CA

CH a CA AI a

CS CA

   



;

1

2

IK  CH  aIBID

với H hình chiếu C lên SA, K hình chiếu I lên SA Vậy chọn đáp án C

Câu 3: Cho tứ diện ABCD Góc ABC ABD  Chọn khẳng định

các khẳng định sau?

A. cos

3

  B. cos

  C.  600 D. cos   Hướng dẫn giải:

Đặt ABa Gọi I trung điểm AB

Tam giác ABC cạnh a nên CI AB a CI  Tam giác ABD nên DI  AB

2 a DI 

(126)

Tam giác CID có

2 2

2

2 2

2

3

1

4

cos

3

2 3

2

a a a

a IC ID CD

a IC ID a a



 

    Chọn A

Câu 4:Cho hình chóp tứgiác có tất cạnh a Tính cosincủa góc mặt bên mặt đáy

A

B

3

C

3

D

2

Giả sử gọi hình chóp tứgiác có tất cạnh a S ABCD có đường cao SH

Ta có: SCD  ABCDCD Gọi M trung điểm CD Dễ chứng minh SM CD HM CD

   

 SCD , ABCD  SM HM,  SMH 

   

Từ giả thiết suy SCD tam giác cạnh a có SM đường trung tuyến

2 a SM

 

1 cos

3

2 a HM

SM a 

   

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SAB SAC vng góc với mặt phẳng ABC, tam giác ABC vng cân A có đường cao AH HBC Gọi O hình chiếu vng góc

A lên SBC Khẳng định sau sai ?

A. SCABC B. OSH

C. SAH  SBC D. SBC , ABCSBA

Ta có

   

 

SAB ABC

SAC ABC SA ABC SA BC SAB SAC SA

 



    



  

 

BC AH

BC SAH BC SH

BC SA

 

   



 

(127)

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc BAD600 Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy ABCD

4 a

SO Gọi E trung điểm BC F trung điểm BE Góc hai mặt phẳng SOF SBC

A. 90 o B. 60 o C. 30 o D. 45 o

 BCD nên DE BC Mặt khác OF DE//  BC OF (1) Do SOABCDBCSO (2)

Từ (1) (2), suy BCSOFSBC  SOF Vậy, góc giữaSOF SBC 90 o

Câu 7:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có SASBSCa Góc hai mặt phẳng SBD ABCD

A. 30o. B. 90o. C. 60o. D. 45o.

Gọi H chân đường vuông góc S xuống mặt phẳng đáy ABCD (SHABCD) SASBSC a  hình chiếu: HAHBHC H tâm đường tròn ABC

Mà tam giác ABC cân B (vì BABC a)  tâm H phải nằm BD SH SBD

Vậy có  

     

SH ABCD

SBD ABCD

SH SBD

 

 



  nên góc

   

 SBD , ABCD 90o Chọn B

Câu 8:Cho hình chóp tứgiác S ABCD , có đáy ABCD hình vng tâm O Các cạnh bên cạnh đáy a Gọi M trung điểm SC Góc hai mặt phẳng MBD ABCD bằng:

A. 90 B. 60 C. 45 D. 30

Gọi M' trung điểm OC Có

1

2 2

MBD

a a

S  MO BD a  ;

2

1 1

2

2 4

BM D

a

S   M O BD  a a  Do

0

cos 45

2 BM D

BMD S S

   



   

(128)

Câu 9:Cho tam giác ABC vuông A Cạnh ABa nằm mặt phẳng  P , cạnh ACa 2, AC tạo với  P góc

60 Chọn khẳng định khẳng định sau? A. ABC tạo với  P góc

45 B. BC tạo với  P góc 30

C. BC tạo với  P góc

45 D. BC tạo với  P góc 60 Hướng dẫn giải:

Gọi H hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng  P

Khi đó, AC P, AC AH, CAH 600  

BC P, BC AH, CBH  Tam giác AHC vuông H nên

 

sin sin 2.sin 60

2

CH a

CAH CH AC CAH a AC

    

Tam giác CHB vuông H nên

 

0

2

sin 45

2

a

CH a

BC

a a

     



Chọn C

Câu 10:Cho hình chóp S ABC có SAABC đáy ABC vuông A. Khẳng định sau sai ?

A. SAB  ABC

B. SAB  SAC

C. Vẽ AH BC H, BC góc AHS góc hai mặt phẳng SBC ABC

D. Góc hai mặt phẳng SBC SAC góc SCB  Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: SAABCSAB  ABC nên đáp án Ađúng

 

,

ABAC ABSAAB SAC SAB  SAC Nên đáp án B

 

;

AH BC BCSABC SAH   

 ,  

SH BC SBC ABC SHA

   

Nên đáp án C

Ta có: SBC  SACSC nên đáp án D sai

Câu 11:Cho tứ diện ABCD có AC AD BCBD. Gọi I trung điểm CD Khẳng định

nào sau sai ?

A. Góc hai mặt phẳng ACD BCD góc AIB

(129)

C.Góc hai mặt phẳng ABC ABD góc CBD D. ACD  AIB

Chọn C

Ta có:

ABC ABD AB BC AB BD AB

 

 

 

 



   

 ABD , ABC  CBD

 

Nên đáp án C sai

Câu 12:Cho hình chóp S ABC có SAABC ABBC, gọi I trung điểm BC Góc hai mặt phẳng SBC ABC góc sau đây?

A.Góc SBA B.Góc SCA C.Góc SCB D.Góc SIA

Ta có: BCSA BC, ABBCSB

   

 

, ,

SBC ABC BC AB BC AB ABC SB BC SB SBC

 

 

  

  



   

 SBC , ABC  SBA

 

Câu 13:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SAABCD, gọi O tâm hình vng ABCD Khẳng định sau sai?

A Góc hai mặt phẳng SBC ABCD góc ABS

B.Góc hai mặt phẳng SBD ABCD góc SOA

C. Góc hai mặt phẳng SAD ABCD góc 

SDA

(130)

Ta có:

   

 

, D,

SAD ABCD AD AB AD AB ABCD

SA A SA SAD

 

 

 



  



   

 SAD , ABCD  SAB

 

Nên đáp án C sai

Câu 14:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O Biết SOABCD,

SOa đường trịn ngoại tiếp ABCD có bán kính a Gọi  góc hợp mặt bên SCD với đáy Khi tan ?

A.

2 B.

3

2 . C.

6

6 . D 6

Gọi M trung điểm CD

Khi CD OM

CD SO

  

 

   

 , 

CD SM SCD ABCD SMO 

    

Ta có: ROA a AC 2aABADa 2

tan

2

a SO

OM

OM 

    

Câu 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2AB Góc SAB ABC  Chọn khẳng định khẳng định sau?

A.  600. B. cos

3  

C. cos

4

  D. cos

2  

Hướng dẫn giải: C

Gọi O tâm tam giác ABC

Gọi COABHsuy H trung điểm AB( ABCđều)

OH AB

  1 3

3

AB AB OH  CH   Tìm góc SAB  ABC 

   

 

( )

SAB ABC AB OH AB SO AB SO ABC

 

 

 

  



SH AB

  (1)

(131)

   

, ( )

SAB ABC AB OH AB OH ABC SH AB SH SAB

           

(SAB); (ABC) SH OH;  SHO 

   

Từ (1) suy  

2

2 15

2

AB

SH  SA AH  AB    AB

 

Từđó ta có :

3

6

cos

15

2 A OH SH A B B    

Chọn B

Câu 16:Cho tam giác cân có đường cao , chứa mặt phẳng Gọi hình chiếu vng góc lên mặt phẳng Biết tam giác vuông Gọi góc Chọn khẳng định khẳng định sau?

A B C D

Ta có

Do đó:

Mặt khác, tam giác vuông nên

Ta có

Chọn D

Câu 17: Trong không gian cho tam giác SAB hình vng ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc Gọi H , K trung điểm AB, CD Ta có tan góc tạo hai mặt phẳng SAB SCD :

A.

3 B.

2

3 C.

3

3 D.

3

Ta có: SSAB  SCD

Gọi d SAB  SCD với dS d; AB CD

Do đó: dSAB  SCD

Mặt khác: SAB  ABCD; mà HK  AB hv HK SAB

ABC AH a BC3 ,a BC  P

'

A A  P A BC' A' 

 P ABC

60

 450 cos

3

 

30    ' ' ' BC AA

BC A AH BC A H

BC AH                       ' , ' , ' ' , '

ABC A BC BC

ABC A BC AH A H AHA BC AH BC A H

            '

A BC A' '

2

a A H  BC

' 2

(132)

Vì H trung điểm AB SH  ABSH d (vì 

d AB)

d SK

  (theo định lí ba đường vng góc) Do đó: KSH góc SAB SCD

Mà SHlà đường cao SABđều cạnh

2 a aSH 

Xét SHK vng H có: tan 3

HK a

SH a

   

Vậy chọn đáp án B

Câu 18:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O khoảng cách từ A đến BD

5 a

Biết SAABCD SA2a. Gọi  góc hai mặt phẳng ABCD SBD Khẳng định sau sai?

A. SAB  SAD B. SAC  ABCD C tan D. SOA.

Chọn D

Gọi AK khoảng cách từ A đến BD

Khi

5 a

AK  BD AK , BDSA

   

SBD , ABCD  SKA tan SA AK

 

    

Vậy đáp án D sai

Câu 19:Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD hình thoi, AC2a. Các cạnh bên vng góc với đáy AA a. Khẳng định sau sai ?

A. Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật

B.Góc hai mặt phẳng AA C C   BB D D   có sốđo 60 C. Hai mặt bên AA C  BB D  vng góc với

hai đáy

D. Hai hai mặt bên AA B B   AA D D  

Chọn B

Ta có: cạnh bên vng góc với đáy, đáy hình thoi nên

(133)

Hai mặt bên AA C  BB D  vng góc với hai đáy Hai hai mặt bên AA B B   AA D D   suy đáp án A,C,Dđúng

Mặt khác hai đáy ABCD A B C D    hình thoi nên AA C C    BB D D   Suy đáp án B sai

Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Gọi  góc hai mặt phẳng A D CB1  (ABCD) Chọn khẳng định khẳng định sau?

A.  450 B.  300 C.  600 D.  900

 góc hai mặt phẳng A D CB1  (ABCD)

 MNP

 

Ta có tan MP 450

NP

    

Chọn đáp án A

Câu 21:Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD hình vng có tâm O SAABCD Khẳng định sau đây sai ?

A.Góc hai mặt phẳng SBC ABCD góc ABS B. SAC  SBD

C.Góc hai mặt phẳng SBD ABCD góc SOA D.Góc hai mặt phẳng SAD ABCD góc SDA

Ta có: SBC  ABCDCD

 

, ,

AB BC AB ABCD SB BC SB SBC

 

  

 

 

 



(SBC); ABCD  ABS

 

Vậy A đúng

Ta có:  

BD AC

BD SAC BD SA

 

 

  

Mà BDSBDSAC  SBD Vậy B đúng Ta có: SBD  ABCDBD

 

, ,

AO BD AB ABCD SO BD SO SBD

 

  

 

 

 



(SBD); ABCD  SOA

 

(134)

 

, ,

AB AD AB ABCD SA AD SA SAD

 

  

 

 

 



  

(SAD); ABCD SAB 90

  

Vậy D sai.

Câu 22:Tính cosincủa góc hai mặt tứ diện A.

3 B.

1

2 C.

2

3 D.

3

Gọi H trung điểm AC BH AC DH; AC Góc hai mặt tứ diện BHD

Ta có

2 a BH DH 

Trong tam giác BHD có :



2 2

2 cos

BD BH HD  BH HD BHD

 

2 2

2 3

2 cos

4 4

1 cos

3

a a a

a BHD

BHD

   

 

Câu 23:Cho hình chóp tứgiác S ABCD cóSASB Góc SAB SAD  Chọn khẳng định khẳng định sau?

A. cos

3

   B. cos

  C.   600 D. cos   Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài cạnh hình chóp S ABCD a Gọi I

trung điểm SB ta có DI SB (vì tam giác SBD đều) AI SB (vì tam giác SAB đều) Vậy, góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) góc AID

Ta có : ADa (đường chéo hình vng), a AI DI 

(đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc I tam giác AID ta có :

  

2

2 2

3

2

cos( )

2 3 3

2

a a

a AI DI AD

AID

AD DI a a

   

 

   

     

   

   

   

   

(135)

Câu 24:Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc ABC600 Các cạnh , ,

SA SB SC

a Gọi  góc hai mặt phẳng SAC ABCD Giá trị tan bao nhiêu?

A 2 B. C. D

Do ABBC ABC600 nên tam giác ABC Gọi H hình chiếu A lên ABCD

Do SASBSC nên H tâm đường tròn ngoại tiế tam giác ABC

Ta có :

   

    

,

, ,

  

 

 

 

  

SAC ABCD AC

SO AC HO AC

SAC ABCD SO HO SOH

Mặt khác, 1 1. 3 3

3 3 2 6

a a

HO BO  ,

2

2 3 5

4 3 2 3

a a a

SH  SB BH   

Câu 25: Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình thang vng tạiA D.AB2 ,a AD DC a Cạnh bên SA vng góc với đáy SAa Chọn khẳng định sai khẳng định sau?

A. SBC  SAC

B.Giao tuyến SAB SCD song song với AB

C. SDCtạo với BCDmột góc 600

D. SBC tạo với đáy góc 450 Hướng dẫn giải:

+Ta có:  

BC SA

BC SAB

BC AB

 

 

  

MàBCSBCSBC  SAC (A đúng)

+

   

 

   

/ /

SAD SAB S

AB CD

SAD SAB Sx AB

AB SAB

CD SCD

 

  

  

  

 



B

+SCD  BCDCD

Ta có:  

 

, ,

AD CD AD BCD

SD CD SD SCD

 

  

 

(136)

Suy góc SDCvàBCD SDA

 

tanSDA SA SDA 54 44 ' AD

    (C sai)

Vậy chọn C

Câu 26:Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABAAa,AD2a Gọi  góc đường chéo A C đáyABCD Tính 

A.  20 45  B. 24 5  C.  30 18  D.  25 48 

Từ giả thiết ta suy ra: AA ABCD AC hình chiếu vng góc A C lên mặt phẳng ABCD

 

A C , ABCD  A C AC ,  A CA 

   

Áp dụng định lý Pytago tam giác ABC vng B ta có:

2 2 2

4

AC AB BC a  a  a  ACa

Áp dụng hệ thức lượng tam giác AA C vng A ta có:

1 tan

5

AA a AC a

      24 5 

Câu 27: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Xét mặt phẳng A BD'  Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A. Góc mặt phẳng A BD'  mặt phẳng chứa cạnh hình lập phương  mà

tan

2  

B.Góc mặt phẳng A BD'  mặt phẳng chứa cạnh hình lập phương  mà

sin

3  

C. Góc mặt phẳng A BD'  mặt phẳng chứa cạnh hình lập phương phụ thuộc

vào kích thước hình lập phương

D. Góc mặt phẳng A BD'  mặt phẳng chứa cạnh hình lập phương Hướng dẫn giải:

' ' ' '

ABCD A B C D hình lặp phương nên hình chiếu tam giác '

A BD lên mặt chứa cạnh hình lặp phương tam

giác Gọi S1 diện tích tam giác Lại có S1SAB D' cos

Vậy chọn đáp án D

Câu 28:Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a đường cao SHbằng cạnh đáy

(137)

A. 30 B. 45 C. 60 D. 75

Hướng dẫn giải: Chọn C.

+ Vì SH ABC AN ABCSH  AN hay SH  AH  AH hình chiếu vng góc SA lên ABC 

 

SA ABC, SA AH, SAH

+ Gọi M , N trung điểm AC, BC

Vì ABC tam giác cạnh a nên dễtính : a AN  Từ giả thiết suy H trọng tậm ABC

2 3

3 3

a a AH AN

   

+ Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHA vng H ta có: 

tan

3 SH a SAH

AH a

   SAH60

Câu 29:Cho hình chóp tứgiác có cạnh đáy a chiều cao

2 a

Tính sốđo góc mặt bên mặt đáy

A. 30 B. 45 C. 60 D. 75

Giả sử hình chóp cho S ABCD có đường cao SH Ta có: ABCD  SCDCD

Gọi M trung điểm CD  dễ chứng minh SM CD HM CD

 ABCD , SCDHM SM, SMH

Mặt khác:

2

a HM  AD

Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHM vng H , ta có :

 2

tan

2

SH a

SMH

HM a

   SMH45

Câu 30:Tính cosin góc hai mặt tứ diện

A

2

B

3

C

2

D

Chọn D

Giả sử tứ diện cho ABCD có cạnh a Ta có: ABC  BCDBC

Gọi E trung điểm BC Khi dễ dàng chứng minh AEBC DEBC

   

 ABC , BCD  AE DE,  AED

(138)

Ta dễtính được: a AEDE

Áp dụng hệ định lý cô sin tam giác AED ta có: 

2 2

2

2 2

2

3

1

4

cos

3

2 3

2

a a a

a AE DE AD

AED

a AE DE a a

 

   

Câu 31:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với

đáy SAa Gọi  góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Chọn khẳng định đúng khẳng định sau?

A. cos 10

2



 B cos

2



 C. sin 10

2



 D. sin

2

  Hướng dẫn giải:

Ta có SBSD2a

Vì SCD SCB (c.c.c) nên chân đường cao hạ từ B D đến SC hai tam giác trùng độdài đường cao BH DH

Do (SBC), (SCD)DHB

Ta có

2 2 2

2

1 1 1 5

4

BD a

OB OD

BH DH a

BH SB BC a a a

  

       

Lại có BH DH O trung điểm BD nên HOBD hay

HOB

 vuông O

2

2 2 30

5 10

a a

OH BH OB a

   

   

    

   

   

Ta có

30

6 10

10

sin ;sin

2 2

5

OH OB

BH BH

 

     

Chọn đáp án C

Câu 32:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với

đáy SAa Góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) bao nhiêu?

A. 300 B. 450 C. 900 D. 600

(139)

Ta có: SCBD (vì BD AC BD, SA)

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI SC ta có SC(BID) Khi (SBC), (SCD)BID

Trong tam giác SAC, kẻđường cao AH a AH  Mà O trung điểm AC OI AH nên

6 a OI

Tam giác IOD vng O có tanOID  3OID 600 Vậy hai mặt phẳng (SBC) (SCD) hợp với góc

60

Câu 33:Lăng trụtam giác ABC A B C    có cạnh đáy a Gọi M điểm cạnh AA

cho

4 a

AM  Tang góc hợp hai mặt phẳng MBC ABC là:

A

2 B. 2. C.

1

2 D.

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó,

 

A O  ABC

Trong mặt phẳng ABC, dựng AH BC Vì tam giác ABC

đều nên a AH 

Ta có BC AH BC A HA BC MH

BC A O

 



   

 

 

Do đó, MBC , ABCMH AH, MHA  Tam giác MAH vuông A nên

3

tan

2

a AM AH a

   

Chọn D

Câu 34:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD, SAx Xác

định x để hai mặt phẳng SBC SCD tạo với góc 60o

A.

2 a

x B

2 a

x C. xa D. x2a Hướng dẫn giải:

* Trong SAB dựng AI SB ta chứng minh AI SBC (1) Trong SAD dựng AJ SD ta chứng minh AJ SCD (2) Từ (1) (2) góc (SBC), (SCD)AI AJ, IAJ

(140)

SAB

 vuông A có AI đường cao AI SB SA AB 

SA AB AI

SB

 (3)

Và có SA SI SB 

2

SA SI

SB  (4)

Ta chứng minh IJ BD//  IJ SI BD  SB 

SI BD IJ

SB 

(4) 

2 SA BD

SB (5)

Thế (3)&(5) vào AI IJ AB SA BD SB

 AB SB SA BD a x2a2 x a  2

2

x a  x xa Chọn C

Câu 35:Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình thoi tâm O Biết SOABCD SO, a

đường trịn nội tiếp ABCD có bán kính a Tính góc hợp mặt bên với đáy

A. 30 B. 45 C. 60 D. 75

Ta có SO(ABCD) OM ON OP OQ, , , vng góc với

, , ,

AB BC CD DA

Theo định lí ba đường vng góc ta có

, , ,

SM AB SN BC SPCD SQDA

Từđó suy SMOSNO SPO SQO Xét tam giác SMO vng O ta có

 

tanSMO 3SMO60

Vậy mặt bên hợp với đáy góc 600

Câu 36:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông

 

,

B SA ABC Gọi E F,

là trung điểm cạnh ABvàAC Góc hai mặt phẳng SEF SBC :

A. CSF  B. BSF  C. BSE  D. CSE 

Ta có: SEF SBCSx/ /EF/ /BC

 

BC AB

BC SAB

BC SA

 

 

  

,

BC SE BC SB

  

,

SB Sx SE Sx

  

Góc hai mặt phẳng SEF SBC : BSE Chọn C

(141)

phẳng  P Trên đường thẳng vng góc với  P B C, lấy D E, nằm phía  P cho 3,

2

BDa CEa Góc  P ADE bao nhiêu?

A. 300 B. 600 C. 900 D. 450

Gọi  ABC , ADE Ta có:

2

3 4 ABC

a

S 

Mặt khác, ta có:

2

2 2 3 7

4 2

a a

AD AB BD  a   ,

2 2

3 2

AE AC CE  a  a  a

Gọi F trung điểm EC, ta có DF BCa

Do

2

2 2 3 7

4 2

a a

DE  DF FE  a  

Suy tam giác ADE cân D Gọi H trung điểm AE, ta có

2

2 7 3

4 2

a a

DH  AD AH  a 

Suy

2

1 1 3 3

. . .2

2 2 2 2

ADE

a a

S  DH AE  a

Vậy

2

3 1 4

cos 60

2 3 2

o ABC

ADE

a S

S a

     

Chọn B

Câu 38:Cho góc tam diện Sxyz với xSy1200, ySz 600, zSx900 Trên tia Sx, Sy, Sz lần

lượt lấy điểm A B C, , cho SASBSC a Góc hai mặt phẳng (SAB) (ABC) :

A.

15 B. 900 C.

45 D.

Chọn B

Áp dụng định lí Cơsin tam giác SAB, ta có ABa Tam giác SAC vuông cân S nên ACa ; tam giác SBC nên BC a

Vì AC2BC2  AB2 nên tam giác ABC vng C Gọi H trung điểm AB ta có

( )

HA HB HC

SH ABC

SA SB SC

 



 



 



Mà SH (SAB) nên (SAB)(ABC)

Vậy 

(SAB), (ABC) 90

I K H

z

y x

S

C B A

(142)

Câu 39:Cho tam giác ABC cạnh a Gọi d dB, C đường thẳng qua B C, vng góc với ABC  P mặt phẳng qua A hợp với ABC góc 60  P cắt d dB, C D

E biết 6,

ADa AEa đặt DAE Chọn khẳng định khẳng định sau?

A sin

6

  B.600 C sin

 D 300 Hướng dẫn giải:

Ta có: SABC SADE.cos với  ABC , ADE600

Do

2

3

cos cos 60 ABC

ADE

a

S a

S



  

Mặt khác,

2

1

.sin 3.sin sin

2 2

ADE

a a

S  AD AE    a   

(143)

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC, CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Phương pháp:

* Chứng minh hai mặt phẳng vng góc

Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau: Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)

Chứng minh ( ),( )P Q 900

* Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:

Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q) Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P)

Sử dụng cách chứng minh biết phần trước

Câu 1:Cho tứ diện ABCD có ABBCD Trong BCD vẽcác đường cao BE DF cắt O Trong ADC vẽ DK AC K Khẳng định sau sai ?

A. ADCABE B ADCDFK C ADCABC D BDCABE

* Ta có  

     

CD BE

CD ABE

ADC ABE

CD AB

CD ADC

 

  



 

  

 

Vậy “ADCABE”: ĐÚNG

*

 

   

     

 

  





    

  

  

 

  

 

DF BC

DF ABC

DF AB DF AC

AC DFK

SC ABC

ADC DFK

DK AC

AC ADC

Vậy “ADCDFK”: ĐÚNG

* Ta có  

     

CD BE

CD ABE

BDC ABE

CD AB

CD BDC

 

  



 

  

 

(144)

Câu 2:Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC ABD vng góc với DBC Gọi BE DF hai đường cao tam giác BCD, DK đường cao tam giác ACD Chọn khẳng định sai khẳng định sau?

A. (ABE)(ADC). B. (ABD)(ADC). C. (ABC)(DFK). D. (DFK)(ADC).

Ta có:

   

 

ABC BCD

ABD BCD AB BCD

ABC ABD AB

 



  

 

 



Mặt khác: CD BE CD ABE CD AB

 

 

  

nên câu A

   

     

ABC BCD

ABC BCD BC DF ABC

DF BC

 



   

 

 

nên câu C

đúng

Theo ta có DF ABC nên DF  AC

Vậy ta có AC DF AC DKF ACD DKF AC DK

 

   

  

Do câu D Chọn B

Câu 3:Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Khẳng định sau khôngđúng? A. Tồn điểm O cách tám đỉnh hình hộp

B.Hình hộp có mặt hình chữ nhật

C. Hai mặt ACC A  BDD B  vng góc

D. Hình hộp có đường chéo đồng qui trung điểm đường

Chọn C

Câu 4: Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SBC SAC vng góc với đáy ABC Khẳng định sau sai ?

A. Đáy đa giác

B.Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy C. Các cạnh bên đường cao

(145)

Ta có:

   

 

SBC ABC

SAC ABC SC ABC

SC SBC SAC

 



  

 

 



Do

đó câu A B đúng

C Sai vì A'SB hai mặt phẳng SAB SBCphải vng góc với theo giao tuyến SB

D Ta có:  

     

SC ABC

SAC ABC SC SAC

 



 

   

theo giao tuyến AC

Mà BK đường cao ABC

 

BK AC BK SAC

    Vậy D đúng

Vậy chọn đáp án D

Câu 5:Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ Hình chiếu vng góc ’A lên ABC trùng với trực tâm H tam giác ABC Khẳng định sau khôngđúng?

A. BB C C’ ’ hình chữ nhật B. AA H’   A B C’ ’ ’ C. BB C C’ ’   AA H’  D. AA B B’ ’   BB C C’ ’ 

Ta có BCA AH’  nênBCBB’,nếu AA B B’ ’   BB C C’ ’ 

thì BCAB vơ lý H trùngA Chọn D

Câu 6:Cho hình chóp S ABC có SAABC đáy ABC

tam giác cân A. Gọi H hình chiếu vng góc A lên SBC Khẳng định sau đúng?

A. HSB B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC

C. HSC D. HSI (I trung điểm BC)

Chọn D

Gọi I trung điểm BC  AI BC mà BCSA

 

BC SAI

 

(146)

Câu 7:Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SBC SAC vng góc với đáy ABC Khẳng định sau sai?

A. SCABC

B.Nếu A hình chiếu vng góc A lên SBC ASB C. SAC  ABC

D. BK đường cao tam giác ABC BK SAC Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:

   

 

SAC SBC SC

SAC ABC SC ABC SBC ABC

 

 

  



 



Gọi A hình chiếu vng góc A lên SBC,

khi AASBCAABCABC

Suy đáp án B sai

Câu 8:Cho hình chóp S ABC có hai mặt bên SAB SAC vng góc với đáy ABC, tam giác ABC vuông cân A có đường cao AH, (HBC) Gọi O hình chiếu vng góc A lên SBC Khẳng định sau đúng?

A. SCABC B. SAH  SBC

C. OSC D.Góc SBC ABC góc SBA  Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:

   

 

SAB SAC SA

SAC ABC SA ABC SAB ABC

 

 

  



 



Gọi H trung điểm BC AH BC mà BCSA BCSAHSBC  SAH

Khi O hình chiếu vng góc A lên SBC

Thì suy OSI SBC , ABCSHA Vậy đáp án Bđúng

Câu 9:Cho hình lăng trụđứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông cân A.H trung điểm BC Khẳng định sau sai ?

A. Các mặt bên ABC A B C    hình chữ nhật

B A'

S

(147)

B. AA H  mặt phẳng trung trực BC

C.Nếu O hình chiếu vng góc A lên A BC  OA H D.Hai mặt phẳng AA B B   AA C C   vng góc

Chọn A

Vì ABC tam giác vng cân A AB ACBC nên mặt bên lăng trụ không

Vậy đáp án A sai.

Câu 10:Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Khẳng định sau không đúng? A.Hình hộp có mặt hình chữ nhật

B.Hai mặt ACC A  B D D B  vng góc C.Tồn điểm O cách tám đỉnh hình hộp

D.Hình hộp có đường chéo đồng qui trung điểm đường

Chọn B

Ta có: ABCD hình chữ nhật nên AC khơng vng góc với BD

Suy hai mặt ACC A  B D D B  khơng vng góc với

Vậy đáp án B sai.

Câu 11:Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 Mặt phẳng A BD1  khơng vng góc với mặt phẳng đây?

A AB D1  B. ACC A1 1 C. ABD1 D. A BC1 1

Hướng dẫn giải: * Gọi I  AB1A B1

Tam giác A BD1 có DI đường trung tuyến nên

DI  A B

 1 

DA AA B B DA A B

 

1

A B DI

A B AB D A B AD

 

 



  nên A

* Ta có

A

B

C B'

C' A'

(148)

 1    1

BD AC

BD ACC A A BD ACC A

BD AA

 

   



  nên B

* Gọi J AD1A D1

Tam giác A BD1 có BJ đường trung tuyến nên BJ A D1

 1 

BA AA D D BA A D

 

1

A D BJ

A B ABD

A D BA

 

 



  nên C Chọn D

Câu 12:Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằnga. Khẳng định sau sai?

A. Tam giác AB C tam giác

B.Nếu  góc AC ABCD cos  

C. ACC A  hình chữ nhật có diện tích 2a2

D. Hai mặt AA C C   BB D D   hai mặt phẳng vng góc với Hướng dẫn giải:

Chọn C

+Cách 1: Chứng minh trực tiếp C đáp án sai

Từ giả thiết dễdàng tính ACa

Mặt khác ABCD A B C D     hình lập phương nên suy AA C  90 Xét tứ giác ACC A  có

 / /

90

AA CC

AA CC a

AA C

  



 

 

   



 ACC A  hình chữ

nhật có cạnh a a

Diện tích hình chữ nhật ACC A  : S a a a2 (đvdt)

 đáp án C sai.

+Cách 2: Chứng minh đáp án A, B, D suy đáp

án C sai

Câu 13:Cho hình chóp S ABC có đường caoSH Xét mệnh

đề sau:

I) SASBSC

II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC III) Tam giác ABC tam giác

IV) H trực tâm tam giác ABC

Các yếu tốnào chưa đủđể kết luận S ABC hình chóp đều?

A.  I  II B.  II III C. III IV D. IV  I Hướng dẫn giải:

Chọn A

Câu 14:Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Khẳng định sau sai?

A. Hai mặt ACC A  BDD B  vng góc

B.Bốn đường chéoAC, A C , BD, B D a

C. Hai mặt ACC A  BDD B  hai hình vng

(149)

Chọn C

Vì theo giả thiết ABCD A B C D     ta dễ dàng chỉra được:

+ AC BD

AC BB   

  

BD cắt BB nằm BB D D  

 

AC BB D D 

  Mà BDBB D D   ACBD  đáp án

D đúng

+  

     

AC ACC A

ACC A BB D D AC BB D D

  

 

   

 



  

 

 đáp án A đúng + Áp dụng đình lý Pytago tam giác B A D   vng A ta có:

2 2 2

2 B D  B A  A D  a a  a

Áp dụng định lý Pytago tam giác BB D  vng B ta có:

2 2 2

2

BD BB B D  a  a  a BDa Hồn tồn tương tựta tính độ dài

đường chéo cịn lại hình lập phương a  đáp án B đúng + Xét tứ giác ACC A  có

 / /

3

90 AC A C AC A C a

ACC A AA CC a

ACC   



 

 



  



  

   



hình chữ nhật hồn tồn tương tự ta

chỉ BDD B  hình chữ nhật có cạnh a a

 Hai mặt ACC A  BDD B  hai hình vng  đáp án C sai

Câu 15:Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     Hình chiếu vng góc A lên ABCtrùng với trực tâm H tam giác ABC Khẳng định sau không đúng?

A. AA B B    BB C C   B. AA H   A B C  

C. BB C C  hình chữ nhật D. BB C C    AA H  Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi K hình chiếu vng góc A lên BC

 

, ,

H AK BC AK BC A H BC AA H

     

   

AA H A B C BB C C AA H

BC BB      



  

 

  



nên đáp án B,C,D

Câu 16:Hình hộp ABCD A B C D     trở thành hình lăng trụ tứgiác phải thêm điều kiện

sau đây?

A.Tất cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy B.Cạnh bên cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy C.Có mặt bên vng góc với mặt đáy đáy hình vng

(150)

Chọn D

Theo lí thuyết lăng trụ tứgiác lăng trụđứng có đáy hình vng

Câu 17:Cho hình lăng trụ tứgiác ABCD A B C D     có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng ABCDvà ABC có số đo bằng60 Cạnh bên hình lăng trụ bằng:

A. 3a B. a C. 2a D. a

Ta có: ABCD  ABCAB

Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được: ABBB C C   mà

 

C B  BB C C   ABC B Mặt khác: CBAB

   

 ABCD , ABC  CB C B,   CBC 60

    

Áp dụng hệ thức lượng tam giác BCC vng C ta có:

 

tanCBC CC CC CB.tanCBC a.tan 60 a CB



     

Câu 18:Cho hai mặt phẳng vng góc  P  Q có giao tuyến  Lấy A, B thuộc  lấy C (P), D (Q) cho AC AB, BD AB ABACBD Thiết diện tứ diện

ABCD cắt mặt phẳng   qua A vng góc với CD hình gì?

A. Tam giác cân B.Hình vng C.Tam giác D. Tam giác vng Hướng dẫn giải:

Gọi I trung điểm BC Vì tam giác ABC vng cân A nên AI BC

Ta có

         

 

P Q

P Q d BD P BD AI Q BD d

 



     



  

 

AI BC

AI BCD AI CD

AI BD

 

   



 

Trong ACD, dựng đường thẳng qua A vng góc với CD cắt CD H Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng   tam giác AHI

Vì AI BCDAI HI nên tam giác AHI tam giác vuông I Chọn D

Câu 19: Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với

;

ACADBCBDa CD x với giá trị x hai mặt phẳng ABC ABD vng góc

A.

3 a

B

2 a

C.

2 a

D

3 a

(151)

YCBT  CJD vuông cân J

2

2 2

4 2( )

2

AB a a a

IJ IC ID x AI  x x

         

(152)

DẠNG 3: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU, CHU VI VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABa, BCb, CC c Độ dài đường chéo AC

A. 2

'

AC  a b c B. 2

'

AC  a b c C AC' a2b2c2 D. AC' a2b2c2 Hướng dẫn giải:

Từ sách giáo khoa, đường chéo hình hộp chữ nhật

2 2

'

AC  a b c Chọn A

Câu 2:Cho hình hộp ABCD A B C D     có ABa, BCb, CC c Nếu

2 2

ACBDB D  a b c hình hộp

A. Hình lập phương B.Hình hộp chữ nhật C.Hình hộp thoi D. Hình hộp đứng Hướng dẫn giải:

ACBD hình bình hành ABC D  hình chữ nhật

BD B D hình bình hành BDD B  hình chữ nhật ACB D hình bình hành ADC B  hình chữ nhật Chọn B

Câu 3: Cho hai mặt phẳng  P  Q vng góc với Người ta lấy giao tuyến d hai mặt phẳng hai điểm A B cho AB8 Gọi C điểm  P , D điểm

 Q cho AC, BD vng góc với giao tuyến d AC6, BD24 Độ dài CD là:

A. 20 B. 22 C. 30 D. 26

Tam giác ABC vuông A nên 2 2 10

(153)

Ta có

         

 

P Q

P Q d BD P BD BC Q BD d

 



     



  

Tam giác BCD vuông B nên

2 2

24 10 26

CD BD BC   

Chọn D

Câu 4:Cho ba tiaOx, Oy, Oz vng góc đơi Trên Ox, Oy, Oz lấy điểmA, B, C choOAOBOCa Khẳng định sau sai?

A O ABC hình chóp B.Tam giác ABC có diện tích

2 a S 

C.Tam giác ABC có chu vi 2 a p

D.Ba mặt phẳng OAB, OBC, OCA vng góc với đơi Hướng dẫn giải:

Chọn C

+ Áp dụng định lý Pytago tam giác OAB vuông O ta có:

2 2 2

2

AB OA OB a a  a  ABa

Hồn tồn tương tựta tính BCACa ABC

  tam giác Mặt khác theo giả thiết

OAOBOCa  mặt bên hình chóp O ABC tam giác cân O O ABC hình chóp  đáp án

A đúng.

+ Chu vi ABC là:

2p ABACBC a 2a 2a 3a  đáp án C sai.

+ Nửa chu vi Diện tích ABC là: 2 a

p Diện tích ABC là:

3

3 3 2 2 3

2

2 2 2

a a a a a a a a

S  a       

   

   

(đvdt)

 đáp án B đúng. + Dễ chứng minh

 

   

OA OBC

OAB OBC OA OAB

OAC OBC OA OAC

 

 

 

 

 

 

 

,  

     

OB OAC

OAB OAC OB OAB

  

 

   

 đáp án D đúng.

Câu 5:Cho hình thoi ABCDcó cạnh a vàA60 Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCD O (O tâm ABCD), lấy điểm S cho tam giác SAC tam giác Khẳng

(154)

A S ABCD hình chóp

B.Hình chóp S ABCD có mặt bên tam giác cân

C.

2 a SO

D. SA SB hợp với mặt phẳng ABCD góc

Xét ABD có A60, ABADa  ABD tam giác cạnh a Vì O tâm ABCD nên suy AO đường trung tuyến ABD cạnh a nên dễtính

2 a AO

2

AC AO a

  

Mặt khác theo giả thiết SAC tam giác

SA SC AC a

    3

2

a SO a

  

Câu 6:Cho hình chóp cụt ABC A B C    với đáy lớn ABC có cạnh a Đáy nhỏ A B C   có cạnh

2 a

, chiều cao

2 a

OO  Khẳng định sau sai?

A. Ba đường caoAA, BB, CC đồng qui tạiS

B

2 a AABBCC

C. Góc mặt bên mặt đáy góc SIO (I trung điểmBC)

D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp lần diện tích đáy nhỏ A B C   Hướng dẫn giải:

Chọn B

+Đáp án A đúng.

+Gọi I trung điểm BC

Từ giả thiết dễ dàng chỉra AA OO

SA SO

 

  SO2OOa Mặt khác ABC tam giác cạnh a, có AI đường trung

tuyến

2 a AI

  3

3

a a AO

  

Áp dụng định lý Pytago SOA vuông O ta có:

2

2 2 12

3

a a

SA SO AO a   

 

2

3 a SA

 

3 a AA

  Vì ABC A B C    hình chóp cụt nên

3 a

AABBCC  đáp án B sai

+Ta có: SBC  ABCBC Vì SBC cân S I trung điểm BC nên suy SI BC Mặt khác ABC tam giác có I trung điểm BC AI BC

   

 SBC , ABC  SI AI,  SI OI,  SIO

(155)

+ Ta có:

1

.sin

2

2 4

1 . .

.sin

ABC A B C

AB AC A

S AB AC A B A C

S A B A C A B A C

A B A C A

                         

 đáp án D đúng.

Câu 7:Cho hình chóp cụt tứgiác ABCD A B C D     cạnh đáy nhỏ ABCD a

và cạnh đáy lớn A B C D    a Góc cạnh bên mặt đáy bằng60 Tính chiều cao OO hình chóp cụt cho

A

6 a

OO  B

2 a

OO  C

3 a

OO  D

4 a OO  Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có SOA B C D   B D SOB D O D  hình chiếu vng góc SD lên A B C D   

 

SD, ABCD  SD O D,   SD O  60

    

Từ giả thiết dễ dàng chỉra AA OO SA SO      

Vì A D C   tam giác vng cân D có D O  đường cao nên ta có:

2 2 2

1 1 1

D O   A D  D C  a a a

2

2 a D O 

 

2 a D O 

 

Áp dụng hệ thức lượng SD O  vng O ta có: tan 60 SO

O D   

 

2

tan 60

2

a a

SO O D 

     1 6

3

a a OO SO

   

Câu 8:Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF A B C D E F       có cạnh bên a ADD A  hình vuông Cạnh đáy lăng trụ bằng:

A. a B

2 a C 3 a D 2 a Hướng dẫn giải:

Chọn B

Tổng sốđo góc hình lục giác 4.180 720 Vì ABCDEF hình lục giác nên góc hình lục giác ABCDEF 120 FAB120 Vì ABCDEF hình lục giác nên ta suy ra:

+ AD tia phân giác góc FAB EDC 

 60 FAB FAD    

+ Tam giác AFD vuông F

(156)



 cos

1

.cos cos 60

2

AF FAD

AD

a AF AD FAD a a



     

Câu 9:Cho hình lăng trụ tứgiác ABCD A B C D     có ACC A  hình vng, cạnh bằnga Cạnh đáy hình lăng trụ bằng:

A

2 a

B. a C

3 a

D. a

Từ giả thiết ta sauy ABC vuông cân B

  45

BAC BCA

   

Áp dụng hệ thức lượng ABC vuông cân B có

 45

BAC  cạnh ACa, ta có: 

cosBAC AB AC

 cos cos 45 2

2

a AB AC BAC a a

     

Câu 10:Cho hình lăng trụtam giác ABC A B C    có cạnh đáy 2a cạnh bên bằng2a Gọi G G trọng tâm hai đáy ABC A B C   Khẳng định sau nói

vềAA G G  ?

A. AA G G  hình chữ nhật có hai kích thước 2a và3a

B. AA G G  hình vng có cạnh 2a

C. AA G G  hình chữ nhật có diện tích 6a2

D. AA G G  hình vng có diện tích bằng8a2 Hướng dẫn giải:.

Chọn B

Gọi M trung điểm BC Khi ta dễdàng tính :

2 3

2 AM  a  a

Vì G trọng tâm tam giác ABC nên:

2

.3

3

AG AM  a aAA AA G G 

(157)

Câu 11: Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC ADBCBDa, CD2x Tính AB theo a x?

A.  2

AB a x B. AB a2x2 C AB 2a2x2 D. AB a2x2

Gọi H trung điểm CD Vì tam giác ACD cân A tam giác BCD cân B nên AH CD, BH CD

Ta có

   

 

ACD BCD

ACD BCD CD AH BCD AH BH ACD AH CD

 



     



  

  2 2

ACD BCD c c c AH BH BC CH a x

        

Tam giác AHB vuông H nên

 

2 2

2

AB AH BH  a x Chọn C.

Câu 12: Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC ADBCBDa, CD2x Gọi ,I J trung điểm AB CD Tính IJ theo a x?

A

2

a x

IJ   B  

2 2

2 a x IJ



 C  

2 2

2 a x IJ



 D

2

a x

IJ  

Ta có:    

   

 

CD AJ

ACD BCD AJ BCD AJ BJ ACD BCD CD

 



    

 

 



Vậy

tam giác ABJ vng J Ta có: AJ BJ  a2x2

Do tam giác ABJ vng cân J Suy  2

2

a x AJ

IJ    Chọn C

Câu 13:Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy bằng60 Tính độdài đường caoSH

A

2 a

SH  B

2 a

SH  C a

(158)

Ta có: SBC  ABCBC Gọi M , N trung điểm cạnh BC AC

Dễ chứng minh SM BC AM BC

   

 SBC , ABC  SM AM,  SMA SMH 60

     

Ta dễtính được: a

AM  Vì H chân đường cao hình chóp

đều S ABC nên H trùng với trọng tâm tam giác ABC

1 3

3

a a MH AM

   

Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHM vuông H ta có : 

tanSMH SH MH

 tan tan 60 3

6 6

a a a a

SH MH SMH

      

Câu 14:Cho hình lăng trụđứng ABC A B C    cóAB AAa, BC 2a, CAa Khẳng định

sau sai?

A. Đáy ABClà tam giác vuông

B.Hai mặt AA B B   BB C  vng góc

C. Góc hai mặt phẳng ABC A BC  có sốđo 45

D AC 2a Hướng dẫn giải: Chọn D

+Cách 1: Chứng minh trực tiếp D đáp án sai

Từ giả thiết dễ dàng suy CCAAa

Áp dụng định lý Pytago tam giác ACC vng C ta có:

2 2 2

5

AC AC CC  a a  a  ACa  đáp án D sai.

+Cách 2: Chứng minh đáp án A, B, C

suy đáp án D sai.

Câu 15:Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a góc



60

A , cạnh

2 a

SC  SC vng góc với mặt phẳng ABCD Trong tam giác SCA kẻ

IK SA K Tính độ dài IK

A

2 a

B.

3 a

C

3 a

D.

(159)

Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS IK AI SC  SA 

SC AI IK

SA  BCD

 ABD cạnh a 

2 a IAIC  

3 ACa

SAC

 vuông C  2 SA SC AC =

 

2

3

a

 



 

  =

3

2 a

Vậy

2 a IK  Chọn A

Câu 16:Cho tam giác ABC mặt phẳng P Biết góc mặt phẳng  P mặt phẳng ABC

 Hình chiếu tam giác ABCtrên mặt phẳng  P tam giác A B C   Tìm hệ thức liên hệ diện tích tam giác ABC diện tích tam giác A B C  

A SA B C' ' 'SABC.cot  B SA B C' ' ' SABC.sin 

C SA B C' ' 'SABC.tan  D SA B C' ' ' SABC.cos  Hướng dẫn giải:

Qua B kẻ mặt phẳng    Q // P cắt AA CC;  A C1; 1

khi

1 A B C A BC S    S

Góc mặt phẳng  P mặt phẳng ABC góc mặt phẳng ABCvà BA C1 1 

Kẻ AH BF A H1 BF 1

1

.cos

.cos A BC

ABC

S A H BF

AH BF

S

 



(160)

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ VNG GĨC VỚI MỘT MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Cho mặt phẳng   đường thẳng a khơng vng góc với   Xác định mặt phẳng   chứa a vng góc với  

Để giải toán ta làm theo bước sau:

 Chọn điểm Aa

 Dựng đường thẳng b qua A vng góc với   Khi mp a b ,  mặt phẳng  

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vuông, SA(ABCD) Gọi ( ) mặt phẳng

chứa AB vng góc với (SCD), ( ) cắt chóp S ABCD theo thiết diện hình gì?

A. hình bình hành B.hình thang vng

C. hình thang khơng vng D.hình chữ nhật Hướng dẫn giải:

Dựng AH CD

Ta có CD SA CD (SAD)

CD AD



 

 

  

Suy CDAH

mà AH (SCD) suy AH ( )

Do   (AHB)

Vì   //CD nên   (SAD)HK CD K// ( SC) Từđó thiết diện hình thang ABKH

Mặt khác AB(SAD) nên ABAH

Vậy thiết diện hình thang vng A H Chọn đáp án B

Ta có 2, , 2

2

a a

ACa OC SO SC OC  , mà

2

a

SOOCOM  SC Chon A

Câu 2:Cho hình chóp S ABCD với ABCD hình chữ nhật tâm O có ABa AD, 2 a SA vng góc với đáy SAa Gọi P mặt phẳng qua SO vng góc với SAD Diện tích thiết diện  P hình chóp S ABCD bao nhiêu?

A

2

a B 2

2

a C

2

2 a

D. a2

a

b d

β

α

A

(161)

Gọi MN đoạn thẳng qua O vng góc AD (M N, thuộc AD BC, ) ta có MN SAD nên SMN thiết diện cần tìm

 SMN vuông M nên 2

2

SMN

SM MN

S  a Chọn B

Câu 3:Cho hai mặt phẳng vuông góc ( )P ( )Q có giao tuyến  Lấy A, B thuộc  lấy C ( )P , D ( )Q cho ACAB, BD AB ABACBDa Diện tích thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng ( ) qua A vng góc với CD là?

A

2 12 a

B

2 a

C

2 12 a

D

Chọn C

Ta có: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ),

P Q

P Q BD P

BD Q BD

  

    



   



Gọi H trung điểm BC, ta có AH BC AH CD

AH BD

 

 

  

Trong mặt phẳng (BCD), kẻ HI CD ta có CD(AHI)

Khi mặt phẳng ( ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện tam giác AHI

Mặt khác tam giác ABC vuông cân A nên BCa Trong tam giác vuông BCD, kẻđường cao BK

3 a BK 

và

6 a HI

Vậy: thiết diện cần tìm tam giác AHI vng H có diện tích

3 12 a S

(162)

A. h.1 và h B. h.2 và h C. h.2 D. h.1

Gọi ( )P mặt phẳng qua A' vng góc với BC TừA' ta dựng A K' 'B C' ', Vì (ABC)(BCC B' ') nên A K' 'B C' 'A K' '(BCC B' ') A K' 'BC' (1)

Mặt khác mặt phẳng (BCC B' ') dựng K x' B C' cắt B B' điểm N (2) (điểm đề chưa có cho tạm điểm N)

Từ (1) (2) ta có : ' ' ' ' ( ' ' )

' '

BC A K

BC A K N BC K N

 

 

   Chọn đáp án A

Câu 5:Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC' Thiết diện hình gì?

A. Hình vng B.Lục giác

C. Ngũ giác D.Tam giác

Ta có AC hình chiếu AC' lên (ABCD) mà ACBD nên AC'BD, (1)

Ta có ( ' ' ) '

' ( ' '

AD AA B B

A B AD A B AA B B



 

 



 

Lại có A B' AB' suy

' ( ' ' )

' ' , (2) ' ( ' ' )

A B AB C D

AC A B AC AB C D



 

 



 

Từ (1) (2) suy AC'( 'A BD), (3)

Mặt phẳng trung trực AC' mặt phẳng ( ) qua trung điểm I AC' ( )  AC', (4)

Từ (3) (4) suy ( ) qua ( )//( ' ) mp I

A BD

 

    

Do

(163)

//A'D NP// ' ' //

//B'C//A'D //

MN

B D BD

QK KH BD

Mà

2 a MN  NPPQQK KM 

Suy thiết diện lục giác Chọn đáp án B

Câu 6:Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC Diện tích thiết diện

A

3 a

S  B. S a2 C

3 a

S  D

2

3

a S 

Ta có mặt phẳng trung trực ACcắt hình lập phương

ABCD A B C D   theo thiết diện lục giác MNPQRDS cạnh

1

2

a B C 

Khi 6.1 2 3

2 2

a a

(164)

KHOẢNG CÁCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng.

Cho điểm M đường thẳng  Trong mp M , gọi H hình chiếu vng góc M  Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từđiểm M đến 

 , 

d M MH

Nhận xét: OHOM,M

2 Khoảng cách hai đường thẳng

Khoảng cách hai đường thẳng  ':

- Nếu  ' cắt trùng d( , ')  0

- Nếu  ' song song với d( , ')  d M( , ') d N( , )

3 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.

Cho mặt phẳng   điểm M , gọi H hình chiếu điểm M mặt phẳng   Khi

khoảng cách MH gọi khoảng cách từđiểm M đến mặt phẳng  

 

 ,  d M  MH

4 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng. ' 

H

M K

(165)

Cho đường thẳng  mặt phẳng   song song với Khi khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng   gọi khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng  

 

,   , ,   d  d M  M

- Nếu  cắt ( )  nằm ( ) d( ,( ))  0

5 Khoảng cách hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng     song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt phẳng    

   

 ,   ,   , 

d   d M  d N  ,M   ,N 

6 Khoảng cách hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng chéo a b, Độdài đoạn vng góc chung MN a bđược gọi khoảng cách hai đường thẳng a b

Câu 1: Tìm mệnh đềsai mệnh đềsau đây?

A. Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng

B. Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường vng góc chung chúng nằm mặt phẳng () chứa đường () vng góc với đường

C. Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc () chứa a song song với b đến điểm N b



'

(166)

D. Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng () song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mặt phẳng ()

Chọn đáp án A

Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đềnào đúng?

A. Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng

B. Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với cảhai đường thẳng

C. Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng

D. Một đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo cắt hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải: Đáp án A: Đúng

Đáp án B: Sai, phát biểu thiếu yếu tố cắt Đáp án C: Sai, mặt phẳng chưa tồn Đáp án D: Sai, phát biểu thiếu yếu tố vng góc Chọn đáp án D.

Câu 3: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A. Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường thẳng vng góc chung chúng nằm mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B.Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mp(P)

C. Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a song song với b đến điểm N b

D. Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng

DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪĐIỂM M ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Δ

Phương pháp:

Để tính khoảng cách từđiểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định hình chiếu H điểm M

trên đường thẳng Δ, xem MH đường cao tam giác đểtính Điểm H thường dựng theo hai cách sau:

Trong mp M, Δ vẽ MHΔd M,Δ MH

Dựng mặt phẳng  α qua M vng góc với Δ H

 

d M,Δ MH

 

Hai công thức sau thường dùng để tính MH

ΔMAB vng M có đường cao AH 2 2 12

MH MA MB MH đường cao ΔMABthì MH 2SMAB

AB



Câu 1: Cho hình chóp tam giác S ABC với SA vng góc với ABC SA  a Diện tích tam giác ABC 2a BC2, a Khoảng cách từS đến BC bao nhiêu?

A. a B. a C. a D. a

(167)

M

C D

B A

H

A C

B S

Kẻ AH vng góc với BC:

2

1

2

ABC ABC

S a

S AH BC AH a

BC a



     

Khoảng cách từSđến BC SH Dựa vào tam giác vng SAH ta có

2 2

(3 ) (4 ) SH  SA AH  a  a  a

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD SA AB BC, , đơi vng góc SAABBC1 Khoảng cách hai điểm

S C nhận giá trị giá trị sau ?

A B. C 2 D.

Do SA AB

SA BC

  

 

nên SA(ABC)SA AC

Như SC SA2AC2  SA2(AB2BC2)  Chọn đáp án B

Câu 3: Cho hình chóp A BCD có cạnh ACBCD BCD tam giác cạnh a Biết

ACa M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM

A

a B

7

a C

11

a D

Do ABC cạnh a nên đường cao a MC

 ,  2 2 66

11 AC MC

d C AM CH a

AC MC

  

 Chọn đáp án C

Câu 4: Trong mặt phẳng  P cho tam giác ABC cạnh a Trên tia Ax

vng góc với mặt phẳng  P lấy điểm S cho SAa Khoảng cách từ A đến SBC

A. a B 2 a C. 21

7 a

D. a Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm BC ; H hình chiếu vng góc A SM

(168)

  BC SAM BC AH

Mà AH  SM , AH SBC Vậy AH d A SBC , 



2

3 21

;

2

a AS AM a

AM AH

AS AM

  



Câu 5: Cho tứ diện SABC đóSA, SB, SC vng góc với đôi vàSA3a, SBa,SC2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A

2 3a

B

5 7a

C

3 8a

D

6 5a

+ Dựng AH BC d A BC ,  AH + AS SBC BC AS BC

AH BC

   

  

  

, AHcắt AS nằm SAH

 

BC SAH SH BC SH

    

Xét SBC vuông S có SH đường cao ta có:

2 2 2

1 1 1

4

SH  SB SC a  a  a

2

5 a SH

 

2

5 a SH

 

+ Ta dễ chứng minh AS SBCSH AS SH  ASH vuông S Áp dụng hệ thức lượng ASH vuông Sta có:

2

2 2 49

9

5

a a

AH SA SH  a   5 a AH

 

Câu 6: Cho hình chóp A BCD có cạnh ACBCD BCD tam giác cạnh a Biết

ACa M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM

A

3

a B

11

a C

5

a D

Dựng CH AM d C AM , CH

(169)

S

A

B C

H

D

2

2 2 2

1 1 1 11

3

2

4 a CH CA CM  a   a

2

11 a CH

 

6 11

CH a

 

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có SA ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD2 ,a

SAa Khoảng cách từ A đến SCD bằng:

A a

B. 2 a

C. a

D. 3 a Hướng dẫn giải:

 

SA ABCD nên SACD AD; CD

Suy SADCD Trong SAD kẻ AH vng góc SD

H Khi AH SCD

 

 , 

d A SCD AH 

2 2

.2

(2 )

SA AD a a a SA AD a a

 

 

Câu 8: Hình chóp S ABC có cạnh đáy bằng3 ,a cạnh bên a Khoảng cách từSđến ABC :

A. a B. a C a D. a

Gọi O chân đường cao hình chóp

Ta có 2.3 3

3

AO AH  a a

  2

d O ABC, ( ) SO SA AO a Chọn đáp án C

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa Gọi M trung điểm CD Khoảng cách từ M đến SAB nhận giá trị giá trị sau?

A 2 a

B. a C. a D a

Khoảng cách từ M đến SAB: d M ,SABd D SAB , a

O H

A C

(170)

Chọn đáp án D

Câu 10: Cho hình chóp A BCD có cạnh ACBCDvà BCD tam giác cạnh a Biết

ACa M trung điểm BD Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

A

2 3a

B

3 2a

C

3 4a

D

2 11 a

Chọn D

Ta có: AC BD BD AM

CM BD

 

 

  

(Định lý đường vng góc) d A BD ; AM

3 a

CM  (vì tam giác BCD đều) Ta có:

2

2 2 11

2

4

a a

AM  AC MC  a  

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a ˆB60 Biết SA2a Tính khoảng cách từ A đến SC

A

2 3a

B

3 4a

C

5 2a

D

2 5a

Chọn C

Kẻ AH SC, d A SC ;  AH

ABCD hình thoi cạnh a ˆB60ABC nên ACa

Trong tam giác vuông SACta có:

2 2

1 1

AH  SA  AC

2 2

5

SA AC a a a AH

SA AC a a

   

 

(171)

A

3 a

B

4 a

C

3 a

D.

4 a

Chọn A

Kẻ OH SC, dO;SCOH Ta có: SACOCH(g-g) nên OH OC OH OC.SA

SA  SC   SC

Mà:

2

a

OC  AC  , SC  SA2 AC2 a

Vậy

3

OC a a

OH SA

SC

  

Câu 13: Cho hình chóp tứgiác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy  Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên

A. a cot B. a tan C

2 cos a

 D. 2sin a

 Hướng dẫn giải:

Chọn D

 

SO ABCD , O tâm hình vng ABCD Kẻ OH SD, dO;SDOH , SDO

Ta có: sin 2sin

2 a

OH OD   

Câu 14: Cho hình chóp S ABC SA, AB, BC vng góc với đôi Biết

SA a, ABa 3, BCa Khoảng cách từ B đến SC

A a B 2a C 2a D. a

Vì SA, AB, BC vng góc với đơi nên CBSB Kẻ BH SC, d B SC ; BH

Ta có: SB SA2AB2  9a23a2 2 3a Trong tam giác vng SBCta có:

2 2

1 1

BH  SB BC 2

2 SB BC

BH a

SB BC

  



Câu 15: Cho hình chóp tứgiác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy

 Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên bằng:

A

2 a

cosα B.a tan C.

2 a

sinα D. a 2cotα

 2

2 a ACa OC

(172)

2

sin sin

2 a

OH OC    Chọn đáp án C

Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vng góc với mặt phẳng (BCD) BCD tam giác cạnh a Biết ACa M trung điểm BD Khoảng cách từđiểm C đến đường thẳng AM

A

a B

11

a C

5

a D

7 a

Nối CM Kẻ CH AM Suy ( ;d C AM)CH Xét ACMcó

 2

2 2

1 1 1 11

6

2

CH  AC CM  a a   a

 

 

6 11

CH a

 

Vậy ( ; )

11 d C AM CH a

Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vng góc với mặt

phẳng (BCD) BCD tam giác cạnh a Biết ACa M trung điểm BD Khoảng cách từđiểm A đến đường thẳng BD

A 3 2 a

B 2

3 a

C.

3 a

D. 11

2 a

Ta có ( ; ) 11 a

d A BD  ACBCDACBD

Lại có với M trung điểm BD mà BCD nên CM BD

Từđó ta có AC BD AM BD

CM BD

 

 

  

Suy d(A; BD)AM

(173)

 

2

2 11

2

a a

AM  AC CM  a   

 

 

Vậy ( ; ) 11 a d A BD 

Câu 18: Cho hình chóp S ABC SA AB BC, , vng góc với đôi Biết ,

SA a ABa 3, BC a Khoảng cách từ B đến SC

A a B. 2a C. 2a D. a

Chọn đáp án B Ta có

SA AB

SB BC AB BC

 

 

  

Suy SBC vuông B

Kẻ BH SC Ta có ( ;d B SC)BH Lại có

2 2 2 2

1 1 1

4 BH SB BC  SA AB  BC  a

( ; )

d B SC BH a

  

Câu 19: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Khoảng cách từđỉnh A hình lập phương đến đường thẳng CD

A. a B.

2 a

C.

2 a

D. a

Gọi Mlà trung điểm CD Do ABCD A B C D    là hình lập

phương nên tam giác ACD'là tam giác cạnh a

 , 

2 a AMCDd A CD AM

Đáp án: B

Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Khoảng cách từđỉnh A hình lập

phương đến đường thẳng DB

A a B.

2 a

C.

2 a

D.

3 a

(174)

Gọi H chân đường vng góc hạ từ Axuống DB

Dễ thấy ADABB A'  ADB'vuông đỉnh A

2 2

1 1

;

3 '

a

AD a AB a AH

AH AD AB



      

Đáp án D

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Khoảng cách từba điểm sau đến đường chéo AC ?

A. A B C, ,  B. B C D, , C. B C D, ,  D. A A D, ,  Hướng dẫn giải:

Dễ thấy tam giác ABC C CA ADC',  , là tam giác vuông nên đường cao hạ từ đỉnh góc vng xuống canh huyền

Vậy: d B AC , d C AC , d D AC , 

(175)

DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

Đểtính khoảng từđiểm M đến mặt phẳng  α điều quan trọng ta phải xác định hình chiếu điểm M  

Phương pháp này, chia làm trường hợp sau (minh hoạ hình vẽ):

TH 1:A chân đường cao, tức AH

Bước 1: Dựng AK     SAK    SAK     SAKSK

Bước 2: Dựng APSK  AP  d A ,   AP TH 2: Dựng đường thẳng AH, AH  

Lúc đó: d A ,  d H ,  

TH 2: Dựng đường thẳng AH, AH      I

Lúc đó:     

 

,

,  

d A IA IH d H



  ,   ,  IA

d A d H

IH

 

Một kết có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tứ diện vuông (tương tư hệ thức lượng tam giác vng) là:

Nếu tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc có đường cao OH

2 2

1 1

  

OH OA OB OC



P

K S

A



P

H'



A

A' H

H'

A'



A

I

(176)

Câu 1: Cho hình chóp S ABC SA, AB, BC vng góc với đơi Biết

SAa , ABa Khoảng cách từ A đến SBC bằng:

A a B a

C.

5 2a

D.

2 a

Chọn D

Kẻ AH SB

Ta có: BC SA BC SAB BC AH

BC AB          Suy AH SBCd A SBC ;  AH Trong tam giác vng SABta có:

2 2

1 1

AH  SA  AB 2

2 SA AB a AH

SA AB

  



Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD2a, SAa Khoảng cách từ Ađến SCD bằng:

A 2 3a B 3 2a C 2a D 3a Hướng dẫn giải:

Chọn C

Kẻ AH SD, mà CDSADCDAH nên

 ; 

d A SCD AH

Trong tam giác vng SADta có:

2 2

1 1

AH  SA  AD

2 2

.2

5

SA AD a a a AH

SA AD a a

   

 

Câu 3: Cho hình chóp tam giác S ABC cạnh đáy 2a

chiều cao a Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên:

A a B 3 2a

C

10

a D

Chọn C

 

SO ABC , với O trọng tâm tam giác ABC M

trung điểm BC

Kẻ OH SM, ta có

 

BC SO

BC SOM BC OH

BC MO         

nên suy dO;SBCOH

Ta có:

3

(177)

2 2

1 1

OH  SO OM

2

3

.OM 3 3

10

3 30

3 a a

SO a

OH a

SO OM

a a

    



Câu 4: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách từ Ađến BCDbằng: A

2 a

B

3 a

C

6 a

D

3 a

Chọn B

Ta có: AOBCDOlà trọng tâm tam giác BCD

 

2

2 2

;

9

a a d A BCD  AO AB BO  a  

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc BAD 60 o Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy ABCD

4  a

SO Khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC là:

A. a

B.

a

C

a

Trong mặt phẳng ABCD : kẻ OK BC K BC Mà BCSO nên suy hai mặt phẳng SOK SBC vng góc theo giao tuyến SK

(178)

Câu 6: Cho hai tam giác ABC ABD nằm hai mặt phẳng hợp với góc 60 ,o ABC cân ởC, ABD cân D Đường cao DK ABD bằng12cm Khoảng cách từ D đến ABC

A cm B cm C cm D cm

Gọi M trung điểm AB suy ra:

Gọi H hình chiếu vng góc D lên CM (D, (ABC))

DH d

 

0

sin 60

DH  DM 

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Khi khoảng cách từ tâm hình lập phương đến mặt phẳng (BDA)

A. a B. a C.

3 a

D.

6 a

Bài toán chứng minh ACA BD trong sách giáo

khoa có Khơng chứng minh lại Dễ dàng tìm AC a

 

 , 

6

a d O A BD OJ  AC

Đáp án: D

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Khoảng cách từ A đến (BDA)

A

2 a

B

3 a

C

2 a

D

3 a

Ta có  

      

' 1

,

3 '

AC BDA

d A BDA AG AC AC BDA G

 

 

 

  

 

  

 

 , 

3 a d A BCA 

Đáp án B

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Khoảng cách từ A đến (B CD )

A

2 a

B

3 a

C.

3 a

D.

3 a

3

(179)

Ta có: AB' ACAD'B D' 'B C' CD'a Nên tứ diện AB CD' ' tứ diện

Gọi I trung điểm B C' , G trọng tâm tam giác B CD' ' Khi ta có: d A B CD ; ' ' AG

Vì tam giác B CD' ' nên '

2

a D I a  Theo tính chất trọng tâm ta có: ' '

3

a D G D I  Trong tam giác vuông AGD' có:

 

2

' '

3

a a

AG D A D G  a   

 

 

Chọn C

Câu 10: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A với ABa Mặt bên chứa BC hình chóp vng góc với mặt đáy, hai mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 45  Tính khoảng cách từđiểm S đến mặt phẳng đáy (ABC)

A

2 a

B.

2 a

C.

2 a

D.

2 a

Gọi H hình chiếu S lên ABC, mặt bên SBC vng góc với (ABC) nên HBC

Dựng HI AB HJ, AC, theo đề ta có SIHSJH 450

Do tam giác SHI SHJ (cạnh góc vng - góc nhọn) Suy HI HJ

Lại có B C450  BIH  CJH HBHC

Vậy H trùng với trung điểm BC Từ ta có HI đường trung bình tam giác ABC nên

2

AC a HI  

Tam giác SHI vng H có SIH 450  SHI vng cân

Do đó:

2 a

SH HI  Chọn đáp án A.

Câu 11: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên b, cạnh đáy d, với db Hãy chọn khẳng định khẳng định bên

A  , ( ) 2

2

 

d S ABC b d B. d S ABC , ( ) b2d2

C  , ( ) 2

3

 

d S ABC b d D. d S ABC , ( ) b2d2

Gọi I trung điểm BC, H trọng tâm tam giác ABC

(180)

H N

M D

A

N M

D1 D

A1

C1 B1

B C

A

D1 A1

Ta có

2

2 2

4

d d

AI  AB BI  d  

2

3

  d

AH AI

2

2 2

3

SH  SA AH  b d ChọnC

Câu 12: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a đường cao 3 a

SO Khoảng cách từđiểm O đến cạnh bên SA

A. a B.

6 a

C. a D.

3 a

Vì hình chóp S ABC có SO đường cao  O tâm

ABC

Gọi I trung điểm cạnh BC Tam giác ABC nên

2 a

AI

3

 AO AI a

Kẻ OH SA.d O SA , OH Xét tam giác SOA vuông O :

2

2 2

1 1 1

3

    

   

   

   

OH SO OA a a a

6 OH a

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 cạnh a Gọi M trung điểm AD Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng C D M1 1  bao nhiêu?

A.

5 a

B.

6 a

C.

2a D.a

Gọi N trung điểm cạnh DD1 H  A N1 MD1

Khi ta chứng minh A N1 MD1 suy raA N1 (C D M1 1 )

 

2

1 1

1 1 2 2

1 1 1 1

, ( ) A D A D

d A C D M AH

A N A D ND

   



 1 

, ( )

5 a d A C D M

 

(181)

Câu 14: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy ,a cạnh bên 2a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng:

A. a B. a C. a D. a

 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Do S ABC chóp nên

 

SG ABC

 3

2

a

AM  AG AM a

 SAG vuông SG SA2AG2  4a23a2 a Chọn đáp án C

Câu 15: Cho hình chóp tứgiác S ABCD có cạnh đáy a

chiều cao a Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên:

A

2 a

B

3 a

C

3 2a

D. 10

5 a

Chọn B

 

SO ABCD , với O tâm hình vng ABCD

M trung điểm CD Kẻ OH SM , ta có:

 

DC SO

DC SOM DC OH

DC MO

 

   

  

nên suy d O SCD ; OH

Ta có:

2

a OM  AD

2 2

1 1

OH  SO OM 2

.OM

3

SO a

OH

SO OM

  



Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy nửa lục giác ABCD nội tiếp đường tròn đường

kính AD2avà có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCDvới SAa Khoảng cách từ

A Bđến mặt phẳng SCD là: A. a 2;

2 a

B. a 2; a

C. a 3; 2 a

D. a 3; a Hướng dẫn giải:

  ,  ; 2 12 12 12

6

d A SCD AH AH a

AH a a a

     

  ,   ,   , 

2

a d B SCD d I SCD  d A SCD 

(182)

Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D 1 1 1 1 có ba kích thước AB = a, AD = b, AA1= c Trong

các kết sau, kết sai?

A. khoảng cách hai đường thẳng AB CC1 b

B.khoảng cách từA đến mặt phẳng (B1BD)

2

ab a b

C. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD)

2 2

abc a b c

D BD1 a2b2c2 Hướng dẫn giải:

 d AB CC , 1BC b Câu A



 

  2

1 2 2 2 2

1 1

, ; a b ab

d A B BD AH AH

AH a b ab a b



     



Câu B

Suy câu C sai

Suy câu D đúng, đường chéo hình chữ nhật

2 2

1

BD  a b c Chọn đáp án C.

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy hình thoi tâm O, cạnh a góc BAD120 , đường cao SOa Tính khoảng cách từđiểm O đến mặt phẳng (SBC)

A. 67

19 a

B. 47

19 a

C. 37

19 a

D. 57

19 a

Vì hình thoi ABCD có BAD 120

Suy tam giác ABC cạnh a Kẻđường cao AM tam giác ABC

3 a AM

 

Kẻ OI BC I

2

AM a OI

  

Kẻ OH SIOH SBC

 

 , 

d O SBC OH

 

Xét tam giác vuông SOI ta có:

2 2

1 1 57

19 a OH

OH SO OI   ChọnD

Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy ABCD hình chữ nhật với AB3 ;a AD2 a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ABCD điểm H thuộc cạnh AB cho AH 2HB Góc mặt phẳng SCD mặt phẳng ABCD 60  Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng

(183)

A 39 13 a

B. 39

13 a

C. 39

13 a

D 6 13

13 a

Hướng dẫn giải: Kẻ HKCD

 góc hai mặt phẳng SCD vàABCD SKH60

Có HK AD2a, SHHK.tan 60 2a Có BCSAB,

Kẻ HJ SB, mà HJ BC HJ SBC

 

,

3 ,

d A SBC BA d H SBC  BH 

 

 ,   , 

d A SBC  d H SBC  HJ

Mà 12 2 12 12 2 132

12 12

HJ  HB SH a  a  a

 

2 39 39

,

13 13

a a

HJ d A SBC

   

ChọnC

Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có mặt đáy ABCD hình thoi cạnh a; ABC 120 Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ABCD trọng tâm G tam giác ABD, ASC 90  Khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng SBD tính theo a

A

6 a

B

3 a

C.

3 a

D.

3 a

Xác định khoảng cách:

-Đặc điểm hình: Có đáy hình thoi, góc ABC120 nên tam giác ABD cạnh a; 3;

3 a ACa AG Tam giác SAC vng S, có đường cao SG nên

3

3 a

SA AG AC  a a;

3 a SG

Xét hình chóp S ABD có chân đường cao trùng với tâm

của đáy nên SASBSDa

- Dựng hình chiếu Alên mặt phẳng SBD: Kẻ đường cao AH tam giác SAO với O tâm hình thoi

 

BD AC

BD SAO BD AH

BD SG

 

   

(184)

 

AH BD

AH SBD AH SO

 

 

  

Vậy d A SBD ,  AH -Tính độ dài AH

SG AO AH

SO 

Với

2 a

AO ; a

SG ;

2 a SO

6 a AH 

Cách khác: Nhận xét tứ diện S ABD có tất cạnh a;Do S ABD tứ diện đều,

3 a AH SG Chọn đáp ánD

Câu 21: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SAa SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M N, trung điểm cạnh AD DC, Góc mặt phẳng SBM mặt phẳng ABCD 45  Khoảng cách từđiểm D đến mặt phẳng SBM

A 3 a

B

3 a

C.

2 a

D.

2 a

+ Đặc điểm hình: Đáy hình vng ABCD nên AN BM

Góc mặt phẳng SBM mặt phẳng ABCDlà góc AIS45.Vậy tam giác ASI vng cân A.AI a

- Xác định khoảng cách:

 

 ,   , 

d D SBM d A SBM AH Với Hlà

chân đường cao tam giác ASI

- Tính AH: 2 12 12 22

AH  AS  AI a

2 a AH

  Chọn đáp án D

Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABCD trung điểm H cạnh AD, góc hai mặt phẳng

SAC ABCD 60  Khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC tính theo a

A 11

33 a

B. 11

11 a

C. 33

11 a

D. 33

11 a

(185)

- Đặc điểm hình: Góc hai mặt phẳng SAC ABCD SIH60

0

2

tan 60

4

a a

IH  SH IH 

- Xác định khoảng cách: d H SAC , HK Với

HKlà đường cao tam giác SHM với M trung

điểm BC - Tính HK

Xét tam giác vng SHM có

 

2

2 2

1 1 1 11

3

4

HK  HS HM  a  a  a

 

 

33 11 a

HK  Chọn đáp án C

Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng

ABCD góc 60  Khoảng cách từ A tới mặt phẳng SBC tính theo a

A 3 285

19 a

B 285

19 a

C 285

18 a

D. 285

18 a

Đặc điểm hình: Góc SD tạo với mặt phẳng ABCDlà SDE60  2

a

DE OD OE  ;

0 15

tan 60

6

SEDE  a

Xác định khoảng cách

 

 ,   , 

2

d A SBC  d E SBC  EH

Tính EH :

2

2 2

1 1 1 57

20

2 2 15

3 6

EH  EK ES  a  a  a

   

   

2 57

a

EH  Vậy

 

 ,   ,  285

2 19

a

d A SBC  d E SBC  EH  Chọn đáp ánB

(186)

A. 15 a

B. 15

5 a

C. 15

5 a

D. 15

5 a

Đặc điểm hình: Góc SB tạo với mặt phẳng ABCDlà SBM60  3

4

BM BD a;

0

tan 60 3

SM BM  a

Xác định khoảng cách:

 

 ,   , 

3

d D SBC  d M SBC  MH

Tính khoảng cách MH :

 

2

2 2

1 1 1

27

3 3 3

.2

MH MK MS a a

a

    

 

 

 

27

MH  a,

 

 ,   ,  4 15

3

d D SBC  d M SBC  MH  a Chọn đáp ánC

Câu 25: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, ABa AC, 2 , a SA vng góc với mặt phẳng ABCD, SC tạo với mặt phẳng SAB góc 30  Gọi M điểm cạnh AB cho BM 3MA Khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng SCM

A. 34

51 a

B. 34

51 a

C. 34

51 a

D. 34

51 a

Đặc điểm hình: SC tạo với mặt phẳng SABgóc CSB30  BC 3a;

0 tan 30 SBBC a;

2

3 57

3

4

a

MC    a  a  

;

4 a MA ;

AC a ; AS2 2a

2 19

19 AMC S

AK a

MC

 

Xác định khoảng cách: d A SBC , AH

Tính AH

 

2

2 2

1 1 1 153

8

19 2

19

AH AK AS a a

a

    

 

 

 

(187)

Chọn đáp ánB

Câu 26: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N, P trung điểm cạnh AB AD, DC Gọi H giao điểm CN DM, biết SH vng góc

ABCD, SH a Khoảng cách từđiểm C đến mặt phẳng SBP tính theo a A

4 a

B

2 a

C.

4 a

D.

2 a

Ta chứng minh : NC MD

Thật : ADM  DCM AD90 ;0 ADDC AM; DN

 ;

ADM DCN

  mà  ADMMDC900MDC DCN900 NCMD

Ta có : BPNC MD / /BP BP; SH BPSNCSBP  SNC Kẻ HESFHESBPd H SBP , ( )d C SBP( , ( ))HE

Do

2

2 5

5

DC a a

DC HC NC HC HF

NC

     

Mà

2

4 SH HF SH HF a HE

SF SH HF

  



Câu 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân có hai đường chéo AC BD, vng góc với nhau, AD2a 2;BCa Hai mặt phẳng SAC SBD vuông góc với mặt đáy ABCD Góc hai mặt phẳng SCD ABCD 60  Khoảng cách từ M

trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng SCD

A 15

2 a

B 15

20 a

C. 15

20 a

D. 15

20 a

Do SAC  ABCD , SBD  ABCD , SAC  SBDSOSOABCD Dựng góc SCD, (ABCD) :

SCD  ABCDDC Kẻ OK DCSK DCSCD , ABCDSKO

(188)

Ta có :

           

1 1; 1; 1 1; 90 90

A D A M M M O D O O EOD E

E K

 

Ta có: ; 5;

2 10

5

a a AB a a

OK OM MK

a

   

 

0

( , ( ))

, ( )

( , ( ))

9

, ( )

4

2 15 tan 60

5

  

 

d O SCD OE

d M SCD d M SCD ME

d O SCD OH a OS OK

 

2

15 15

,( )

5 20

OK OS a a

OH d M SCD

OK OS

    



Câu 28:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng ,

S hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABCD điểm H thuộc cạnh AD cho

HA HD Gọi M trung điểm cạnh AB Biết SA2 3a đường thẳng SC tạo với mặt

đáy góc 30  Khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBC tính theo a

A. 66

11 a

B. 11

66 a

C. 66

11 a

D. 66

11 a

SC có hình chiếu vng góc lên mpABCD HC

 

 

, 30

SC ABCD SCH

  

Đặt AD4x x0 Ta có :

2 2

12 12 , ,

SA  AH AD a  x xaAD a AH  a HDa Mà :

2

3 2

SH  SA AH a HC aDC a

Kẻ HEBC SH, BCSHE  SBC Kẻ

   ,   , ( )

2 HK HK SEHK SBC d H SBC HKd M SBC 

 

2

66 66

, ( )

11 11

SH EH a a

HK d M SBC

SH EH

   



Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I, ABa BC; a 3, tam giác SAC vng S Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H

đoạn AI Khoảng cách từđiểm C đến mặt phẳng SAB tính theo a

A.

2 a

B.

4 a

C. 3

4 a

D.

2 a

(189)

Ta có :AC AB2BC2 2a, mà SAC vng tại S

2 AB SI a

  

2

2 2

4

a a

SH SI HI a

     

Kẻ

   

; ( )

HK AB ABSH  AB KHS  SAB  KHS Mà SAB  KHSSK Kẻ

  ( , ( ))

HESK HE SAB d H SCD HE

    

   

,

4 , ( ) ( , ( ))

, ( )

d C SAB CA

A HC SAB d C SAB d H SAB HE

d H SAB HA

       

2 2

3

4 2 15

10

3

16

a a

HK SH a

HE

HK SH a a

  



 , ( ) 15 a d C SAB

 

Câu 30: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O, hình chiếu vng góc S ABCD trung điểm AO, góc SCD ABCD 60  Khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng SCD tính theo a

A 2

3 a

B

3 a

C. 2

3 a

D.

3 a

Chọn D

Ta có:

3

4

HI CH a

HI AD  CA   

0 3

tan 60

4 SH

SH a HI

  

2 2

2 3 3

4

a a

SI  SH HI       a

 

 

 ,   ,   ,   , 

2 3

d G SCD  d J SCD  d K SCD  d H SCD

 

3 3

8 8 4 4

,

3

9 9

2 a a SH HI

d H SCD HL a

a SI

    

(190)

bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc  cho tan

 Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB tính theo a

A 13 13 a

B. 13

13 a

C. 13

13 a

D.

13 a

Chọn B

Ta có:

Gọi H hình chiếu J lên AB

Gọi G hình chiếu G lên AB

Gọi I hình chiếu G lên SZ

2

2 120

2 BJ  BA AJ  BA AJ cos  a

0

1

.sin120

2

BAJ

a S  AB AJ  JH AB JH 

2

3

GZ BG

GZ a JH  BJ   

3

tan

2

7

3

2

SG SG SG

GC BG BJ

SG a a

     

  

 

    

2 2

2

, , 3

3

6 13

3

13

6

SG GZ

d C SAB d G SAB GI

SZ

a a

SG GZ

a

SG GZ

a a

  

  

  

 

Câu 32: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60  Gọi M N, trung điểm cạnh AB BC, Khoảng cách từđiểm C đến mặt phẳng SMN tính theo a

A

7 a

B.

3 a

C.

7 a

D

3 a

Chọn A

Ta có:

Trong SGC vng Gsuy 3

a SGGC  a

Gọi E F, hình chiếu G MN SE

(191)

Ta có :

   

1

, AC , AC

2

1

, AC , AC

3 12

GE d G d M

a d M d B

 

  

Trong SGE vuông H suy

2 2

2

12

7

12 a

a

GE SG a

GF

GE SG a

a

  

  



 

 

Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm cạnh

AB Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy trung điểm H CI, góc đường thẳng SA mặt đáy 60  Khoảng cách từđiểm H đến mặt phẳng SBC

A 21

4 29 a

B 21

29 a

C 4 21

29 a

D 21

2 29 a

Chọn A

Ta có:

Trong ACI có trung tuyến AH suy

 2 2

2 7 7

4 16

AI AC CI a a

AH     

Trong SHA vuông H suy 21 a SH  AH 

Gọi E F, hình chiếu H BC SE Khi

đó d H ,SBCHF

Ta có :  ,  A, 

2

a HE d I BC  d BC  Trong SHE vuông H suy

2 2

3 21

8 4 21

29

3 21

8

a a

HE SH a

HF

HE SH a a

  

    



   

(192)

DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, đáy ABCD hình thang vng cạnh a Gọi I

và J trung điểm AB CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ SAD

A

2 a

B

3 a

C

2 a

D

3 a

Chọn C

Ta có: Vì IJ// ADnên IJ// SAD

 

 ;  I; 

2 a d IJ SAD d SAD IA

   

Câu 2: Cho hình thang vng ABCD vuông AvàD,

AD a Trên đường thẳng vng góc D với ABCD lấy điểm Svới SDa Tính khỏang cách đường thẳng DC SAB

A

3 2a

B

2 a

C. a D

3 a

Chọn A

Vì DC// ABnên DC// SAB

 

 ;   ; 

d DC SAB d D SAB

 

Kẻ DH SA, AB AD, ABSAnên

 

AB SAD DH  AB suy d D SC ; DH Trong tam giác vng SADta có:

2 2

1 1

DH  SA  AD 2

3 SA AD a DH

SA AD

  



Câu 3: Cho hình chóp O ABC có đường cao

3 a

OH  Gọi M

và N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN ABC bằng:

A

2 a

B

2 a

C

3 a

D

3 a

Chọn D

Vì M Nlần lượt trung điểm OA OBnên MN //

AB MN// ABC

Ta có:  ;   ; 

2

a

d MN ABC d M ABC  OH  (vì M

là trung điểm OA)

(193)

I M O

B

A D

C S

H

A a

B.

3 a

C. a

Gọi I M, trung điểm cạnh AB CD CD(SIM) Vẽ IH SM HSM IH (SCD)

 , ( )  , ( ) SO IM

d AB SCD d I SCD IH

SM

   

SAB

 cạnh 2aSI a 3SM a

Và 2

2

OM  IM aSO SM OM a

Cuối  , ( ) 2.2 3

SO IM a a a

d AB SCD

SM a

  

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD cóSA ABCD, đáy ABCD hình thang vng có chiều cao ABa Gọi I J trung điểm AB vàCB Tính khỏang cách đường thẳng IJ  SAD

A

2 a

B

2 a

C.

3 a

D

   

/ / AD / /( )

(SAD) , ( )

2 IJ IJ SAD

a d IJ, d I SAD IA



   

Câu 6: Cho hình chóp O ABC có đường cao a OH 

Gọi M N trung điểm OA OB Tính khoảng cách đường thẳng MN ABC

A.

3 a

B.

2 a

C. a

Khoảng cách đường thẳng MN ABC:

 

 ,    , 

2

OH a d MN ABC d MNP ABC  

Câu 7: Cho hình chóp O ABC có đường cao

OH  a Gọi M N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN ABC

A

2 a

B

2 a

C.

3 a

D

3 a

(194)

Do MN//ABCd MN ,ABCd M ,ABC

Lại có

 

    

 

,

2 ,

,

1

,

2

  

  

d O ABC OA

d M ABC

MA d M ABC

OH a

d O ABC ChọnD

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có SA ABCD, mặt đáy ABCD hình thang vng có chiều cao ABa Gọi I J trung điểm AB CD Tính khoảng cách đường thẳng

IJ SAD A

2 a

B

3 a

C

2 a

D

3 a

 

SA ABCD SA AI

Lại có AI  AD( hình thang vng) suy IASAD IJ AD theo tính chất hình thang, nên

 

 ,   , 

2 a d IJ SAD d I SAD IA

Câu 9: Cho hình thang vng ABCD vng A , D AD2 a Trên đường thẳng vng góc với ABCD D lấy điểm S với SDa Tính khoảng cách DC SAB

A

3 2a

B

2 a

C. a D

3 a

*Trong tam giác DHA, dựng DH SA;

*Vì DC/ / ABd DC SAB ; d D SAB ; DH Xét tam giác vng SDA có :

2 2

1 1 12

3

a a

DH

DH  SD  AD   

Chọn A

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi khoảng cách

đường thẳng AB mặt phẳng (SCD)

A.

2 a

B.

4 a

C.

9 a

D.

3 a

(195)

Gọi O tâm hình vng ABCD Khi SOABCD

Kẻ OI CD OH, SI OH SCD

Ta tính 2, 2

2

a a

AO SO SA AO 

2

AD a OI  

2 2

1 1

6 a OH

OH  SO OI      ,

3 a d A SCD

 

ChọnD

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh a Khi đó, khoảng cách đường thẳng BD mặt phẳng (CB D )

A.

2 a

B.

3 a

C.

3 a

D.

3 a

Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ

0; 0; ; 1;0; ; 0;1; ; 0;0;1

A B D A

1;1; ; 1; 0;1 ; 0;1;1 ; 1;1;1

C B D C

0; 1;1 ;  1; 0;1

CB  CD 

Viết phương trình mặt phẳng CB D 

Có VTPT nCB CD ;     1; 1; 1

CB D  :1 x11y11z00 x y  z

 

 ;   ;  0 22 2 2

3

1 1

d BD CB D  d B CB D       

 

Vậy  ; 

(196)

DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Câu 1: Cho hình lăng trụ tứgiác ABCD A B C D    có cạnh đáy bằnga Gọi M , N , P

trung điểm AD, DC, A D' ' Tính khoảng cách hai mặt phẳng MNP ACC'

A

3 a

B

4 a

C

3 a

D

4 a

Chọn D

Ta có: MNP//ACA

   

 ;  P; 

2

a d MNP ACA d ACA OD

   

Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có cạnh bên hợp với đáy góc 60,

đáy ABC tam giác A cách A, B, C Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ

A. a B. a C

2 a

D

3 2a

Chọn A

Vì ABCđều vàAA A B  A C  A ABC hình chóp

Gọi A H chiều cao lăng trụ, suy H trọng tâm ABC, 60

A AH  

3

tan 60

3 a

A H  AH   a

Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C 1 1 1 có cạnh bên a Các cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60 o Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A B C1 1 1 trung điểm B C1 1 Khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ bao nhiêu?

A

a B.

3 a

C 2

a D.

Ta có: A 'HABCA ' AH 60 o

   

  o

' ' ' , ' ' cos60

2 d A B C ABC A H A A a

(197)

A

B C

A

D

B C

D

O

I

Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC A B C    có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H A mặt phẳng A B C   thuộc đường thẳngB C  Khoảng cách hai mặt phẳng đáy là:

A. a

B. a

C. a

D.

Do hình lăng trụ ABC A B C    có tất cạnh a suy

3

2

a a

ABACB H HCA H   AH  Chọn đáp án C

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Khoảng cách AB C  A DC  :

A. a B. a C

3 a

D.

3 a

Ta có

   

 ,   ,   , 

d AB C A DC  d B A D C d D A DC  Gọi O tâm hình vng A B C D    Gọi I hình Chiếu D O D , suy I hình chiếu D A DC 

     

2 2

2

, ,

2

d d D

a a

D O D D a

D

AB C

I

D O D D A

a

DC A D

a C 

   

   

  

   

     



 



 



  

Câu 6: Cho hình lăng trụ tứgiác ABCD A B C D     có cạnh đáy a Gọi M N P, ,

trung điểm AD DC A D, ,   Tính khoảng cách hai mặt phẳng MNP  ACC

A. a

B.

4 a

C. 3 a

Nhận xét (ACC)(ACC A ) Gọi O ACBD I, MNBD

Khi đó, OI  AC OI, AAOI (ACC A )

C

B A

B'

C' A'

(198)

Suy ( ), ( )

4

a d MNP ACC OI  AC Chọn đáp án B

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Khoảng cách hai mặt phẳng (ACD) (BA C )

A. khoảng cách từđiểm D đến đường thẳng A C 

B.khoảng cách hai điểm B D

C. khoảng cách hai đường thẳng AC A C 

D. khoảng cách trọng tâm hai tam giác ACD BA C 

Ta có (ACD) / /(BA C )

( )

 

   DB ACD

DB BA C (đã chứng minh SGK)

Đáp án D

G'

G

C'

D' A'

C

A D

B

B'

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Khi đó, khoảng cách hai mặt phẳng (CB D ) (BDA)

A.

2 a

B.

3 a

C.

3 a

D.

3 a

Vì A BD' / /( 'B CD') nên ta có:

   

 ' , ' '   ; '   ; '  d A BD B CD d C A BD d A A BD Vì ABADAA'a A B' A D' BDa nên

'

A A BD hình chóp tam giác

Gọi I trung điểm A B G' , trọng tâm tam giác A BD'

Khi ta có: d A A BD ; ' AG

Vì tam giác A BD' nên

2

a DI a  Theo tính chất trọng tâm ta có:

3

a DG DI  Trong tam giác vng AGD có:

2

2 2

9

a a

AG AD DG  a   Chọn B

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D    cạnh a Khoảng cách giữaACB DA C 

O I

N

M

B C

P

N

M

C C'

D

B

A

A' B'

D'

A D

I

A'

B' C'

D' B

A D

(199)

A. a B. a C.

3 a

D

3 a

Vì ACB' / /( DA C' ') nên ta có:

   

 ' , ' '   ; '  ; ' d ACB DA C d D ACB d B ACB Vì BABB'BCa AB'ACCB'a nên

'

B ACB hình chóp tam giác

Gọi I trung điểm AC G, trọng tâm tam giác ACB'

Khi ta có: d B ACB ; 'BG

Vì tam giác ACB' nên '

2

a B I a  Theo tính chất trọng tâm ta có: ' '

3

a B G B I  Trong tam giác vng BGB' có:

2

2 2

' '

9

a a

BG BB B G  a   Chọn C

Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB4, AD3 Mặt phẳng (ACD') tạo với mặt đáy góc 60  Tính khoảng cách hai mặt đáy hình hộp

A.

5 B.

12

5 C.

4

5 D.

5 3 Hướng dẫn giải:

Gọi O hình chiếu D lên AC Ta có

   

 

'

' ' '

ACD ABCD AC

AC DO

AC D O AC ODD OD

  

   

  



  

  

' , ' 60

D AC ABCD D OD

  

2

3

AC   ; 12 AD DC DO

AC

 

Khoảng cách hai mặt đáy ' tan 600 12 DD DO  Chọn đáp án B

I

A'

B' C'

D' B

A D

C G

60 3 4

A'

B' C'

D'

B C

D A

(200)

DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp:

Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: Dựng đoạn vng góc chung MN a b Khi

 , 

d a b MN Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng :

Phương pháp 1

Chọn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng  song song với ' Khi d( , ')   d( ',( ))



 '

H M

Phương pháp 2

Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng

là khoảng cách cần tìm







'

Phương pháp Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn

Trường hợp 1:  ' vừa chéo vừa vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' vng góc với  I

Bước 2: Trong mặt phẳng ( ) kẻ IJ  '

Khi IJ đoạn vng góc chung ( , ')d   IJ



'



I

J

Trường hợp 2:  ' chéo mà khơng vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' song song với 

Bước 2: Dựng d hình chiếu vng góc  xuống ( ) cách lấy điểm M  dựng đoạn

 



MN  , lúc d đường thẳng qua N song song với 

Định dạng
Số trang	235
Dung lượng	23,96 MB