Luận văn sư phạm Nhị thức Niu-ton và ứng dụng

Khãa luËn tèt nghiÖp LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận, tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo tổ phương pháp bạn sinh viên khoa tốn Qua tơi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo tổ phương pháp, đặc biệt cô Dương Thị Hà, người định hướng cho chọn đề tài, dẫn dắt bảo tận tình chu đáo, giúp tơi nhanh chóng hồn thành khóa luận thời gian Xin cám ơn tất thầy cô giáo bạn sinh viên! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyn Th Võn SV: Nguyễn Thị Vân Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tơi hồn thành nhờ quan tâm, giúp đỡ thầy giáo khoa tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình Dương Thị Hà nỗ lực thân Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, tơi có tìm hiểu số tài liệu tham tác giả khác có liên quan đến đề tài Tôi xin cam đoan đề tài kết việc học tập, nghiên cứu nỗ lực thân tôi, không trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viờn Nguyn Th Võn SV: Nguyễn Thị Vân Líp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận B NỘI DUNG Chương 1: Nhị thức Niu-tơn ứng dụng 1.1 Nhị thức Niu-tơn 1.1.1 Tổ hợp 1.1.2 Công thức nhị thức Niu-tơn 1.1.3 Tính chất nhị thức Niu-tơn 1.1.4 Tam giác Pascal hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn 1.1.5 Một số khai triển hay sử dụng 1.2 Ứng dụng nhị thức Niu-tơn 1.2.1 Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn 1.2.2 Dạng 2: Bài toán xác định hệ số số hạng khai triển 11 1.2.3 Dạng 3: Biết trước giá trị hệ số hay số hạng khai triển Tìm giá trị ẩn tham gia 16 1.2.4 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức chứa Cnk hay tính tổng tổ hợp 17 1.2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức chứa Cnk 22 SV: Nguyễn Thị Vân Lớp: K35D - Toán Khóa luËn tèt nghiÖp 1.3 Một số sai lầm học sinh ứng dụng nhị thức Niu-tơn 23 TiÓu kÕt 29 Chương 2: Xây dựng hệ thống tập liên quan đến ứng dụng nhị thức Niu-tơn chương trình mơn Tốn phổ thơng 30 2.1 Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn 30 2.2 Dạng 2: Bài toán xác định hệ số số hạng khai triển 31 2.3 Dạng 3: Biết trước giá trị hệ số hay số hạng khai triển.Tìm giá trị ẩn tham gia 41 2.4 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức chứa hay tính tổng tổ hợp 45 2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức chứa 58 Tiểu kết 61 C KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO SV: NguyÔn Thị Vân Lớp: K35D - Toán Khóa luận tốt nghiƯp A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tổ hợp lĩnh vực quan trọng toán học rời rạc Hiện lí thuyết tổ hợp ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học khác lí thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, thống kê xác suất, quy hoạch thực nghiệm, … Từ máy tính phát triển thịnh hành, tổ hợp trở thành lĩnh vực toán học ứng dụng với phát triển mạnh mẽ Nó cầu toán cần giải với cơng cụ tính tốn máy tính Trong chương trình mơn tốn trung học phổ thơng, tổ hợp, đặc biệt nhị thức Niu-tơn đại số giải tích lớp 11 mảng kiến thức bản, quan trọng, thiếu tương đối khó Học sinh cung cấp hiểu biết ban đầu tổ hợp, nhị thức Niu-tơn tam giác Pascal, thấy số tổ hợp (hệ số tổ hợp) có liên quan chặt chẽ với việc khai triển lũy thừa nhị thức mối quan hệ hệ số nhị thức Niu-tơn với số nằm hàng tam giác Pascal Song song với nó, học sinh bước đầu làm quen với dạng tập ứng dụng nhị thức Niu-tơn khai triển nhị thức; xác định hệ số hay hạng tử cuả khai triển; chứng minh đẳng thức chứa hay tính tổng tổ hợp… Thực tế cho thấy việc dạy cho học sinh kiến thức nhị thức Niu-tơn việc áp dụng trực tiếp cơng thức khơng có khó khăn Tuy nhiên, ta nhận thấy vấn đề mà học sinh tỏ quan tâm tính đa dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn khó định hướng giải tập thuộc mảng kiến thức Với lí đó, tơi mạnh dạn vào nghiên cứu đề tài: ”Nhị thức Niu-tơn v ng dng nhm cng c SV: Nguyễn Thị Vân Líp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp kiến thức, rèn luyện kĩ ứng dụng nhị thức Niu-tơn vào giải tốn, thơng qua nhằm nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn nói riêng dạy học nói chung nhà trường phổ thơng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng nhị thức Niu-tơn chương trình mơn Tốn nhà trường phổ thơng Trên sở xây dựng hệ thống tập minh họa cho ứng dụng nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn nhà trường phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng nhị thức Niu-tơn chương trình mơn tốn nhà trường phổ thơng xây dựng hệ thống tập minh họa cho ứng dụng nhị thức Niu-tơn Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận A Mở đầu B Nội dung Chương 1: Nhị thức Niu-tơn ứng dụng Chương 2: Xây dụng hệ thống tập liên quan đến ứng dụng nhị thức Niu-tơn chương trình mơn Tốn phổ thơng C Kết lun SV: Nguyễn Thị Vân Lớp: K35D - Toán Khãa luËn tèt nghiÖp B NỘI DUNG Chương 1: NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Nhị thức Niu-tơn 1.1.1 Tổ hợp Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm chập n phần tử khác Một tổ hợp n phần tử (  k  n ; k , n ฀ ) tập hợp gồm khác lấy từ phần tử phần tử phần tử xếp tùy ý Công thức: Số tổ hợp chập k n phần tử: Cnk  n! k ! n  k ! Tính chất: 1) Cnk  Cnn  k ; 2) Cnk  Cnk 1  Cnk11 1.1.2 Công thức nhị thức Niu-tơn a, b  R; n  ฀  : n a  b  n  Cnk a nk b k  Cn0a n  Cn1a n1b   Cnnb n k 0 n  a  b n    1k Cnk a nk b k  Cn0a n  Cn1a n1b    1n Cnnbn k 0 Quy uớc: a  1, (a  0) Công thức nhị thức Niu-tơn gọi tắt nhị thức Niu-tơn 1.1.3 Tính chất nhị thức Niu-tơn 1) Số số hạng công thức n  1; 2) Tổng bậc a b số hạng bậc nhị thức: (n  k )  k  n ; SV: Nguyễn Thị Vân Lớp: K35D - Toán Khóa luận tèt nghiÖp 3) Số hạng tổng quát nhị thức Tk 1  Cnk a n  k b k Đây số hạng n thứ k  khai triển  a  b  ; 4) Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu, số hạng cuối Cnk  Cnn  k ; 5) n  Cn0  Cn1   Cnn ; n 6)  Cn0  Cn1    1 Cnn 1.1.4 Tam giác Pascal hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn n 1 n2 1 n3 n4 1 n5 10 10 Nhận xét: 1) Các số hàng thứ n tam giác Pascal dãy gồm n  số Cn0 ; Cn1 ; Cn2 ; ; Cnn 2) Trong tam giác này, hàng thứ 2, số hàng thứ n từ cột thứ đến cột thứ n  tổng hai số đứng hàng cột cột trước Sở dĩ có quan hệ có cơng thức truy hồi: Ckm 1  Ckm  Ckm1; 3) Ta vận dụng hệ số khai triển nhị thức tam giác Pascal để khai triển nhị thức Niu-tơn với lũy thừa đủ nhỏ n Ví dụ minh họa: Xét khai triển  a  b  , n  SV: Nguyễn Thị Vân Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp n  1: n  2: n  3: n  4:  a  b 1  1.a  1.b;  a  b 2  1.a  2.ab  1.b2 ;  a  b 3  1.a3  3.a 2b  3.ab2  b3;  a  b 4  1.a  4.a3b  6.a 2b  4.ab3  1.b4 1.1.5 Một số khai triển hay sử dụng 1) n  Cn0  Cn1   Cnn ; n 2)  Cn0  Cn1    1 Cnn ; n 3)  x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 1   Cnn ; n n 4) 1  x   Cn0  Cn1 x    1 x nCnn ; n n 5)  x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 1    1 Cnn 1.2 Ứng dụng nhị thức Niu-tơn 1.2.1 Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải: Sử dụng trực tiếp công thức nhị thức Niu-tơn Lưu ý: Khi khai triển nhị thức (a  b)n , ta cần nắm kĩ sau:  Số hạng tổng quát khai triển Cnk a n  k b k ,  k  n;  Từ ta có số hạng khai triển : + k  , ta có số hạng thứ Cn0a nb0  a n ; + k  , ta có số hạng thứ hai Cn1 a n 1b1; ……………………………………………… + k  n , ta có số hạng thứ n  (số hạng cuối) Cnn a 0bn  bn n Khi khai triển nhị thức  a  b  , ta cần ý quy tắc đan dấu, số hạng k thứ k có dấu  1 ,  k  n Ví dụ (Đại số giải tích 11 - Cơ bản) Khai triển biểu thức  x   SV: NguyÔn Thị Vân Lớp: K35D - Toán Khóa luận tèt nghiƯp Giải Áp dụng nhị thức Niu-tơn ta có:  x  34  C40  x 4  C41  x 3  C42  x 2 32  C43.2 x.33  C44 34  16 x  96 x3  216 x2  216 x  81 Nhận xét: Cách 2: Ta sử dụng hệ số khai triển nhị thức tam giác Pascal để khai triển sau: Từ tam giác Pascal ta thấy hệ số khai triển lũy thừa là:  x  34  1. x 4  4. x 3  6. x 2 32  4.2 x.33  1.34  16 x  96 x3  216 x  216 x  81 Đối với toán khai triển nhị thức Niu-tơn với a, b có số mũ hữu tỉ số thực, ta áp dụng nhị thức Niu-tơn tương tự Lưu ý: +) ∀ +) ∀ > 0, ∈ ≠ 0, ∈ ∗ ∗ ta có: √ = ta có: x n  xn Mở rộng: Khai triển lũy thừa có nhiều số hạng  Nếu khai triển lũy thừa chứa số hạng ta đưa cách khai triển lũy thừa chứa hai số hạng, tức :  x  y  z n n k   Cnk x n  k  y  z  ; k 0 k Sau xem  y  z  nhị thức tiếp tục khai triển: n n k k 0 i 0  x  y  z n   Cnk x n  k  y  z k   Cnk x n  k  Cki y k i z i k 0 n k    Cnk Cki x n  k y k i z i k 0 i 0 SV: Nguyễn Thị Vân 10 Lớp: K35D - Toán Khóa luận tèt nghiƯp 100 Bài 40 Tính tổng: S  2C100  3C100  4C100   101C100 Giải Cách 1: Nhân thêm trước lấy đạo hàm cấp 1: Chọn khai triển: 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100 100 100 101  x  x  1  C100 x  C100 x  C100 x3   C100 x 100 99 100 100   x  1  100 x  x  1  C100  2C100 x  3C100 x   101C100 x Chọn x  ta có: 0 2`100  100.299  C100  2Cn1  3Cn2   ( n  1) Cnn  C100 S  S  2`100  100.299   51.2100  Cách 2: Tách hệ số để hệ số tập con: Ta có: 100 S  1  1 C100    1 C100   100  1 C100    100 100  C100  2C100   100C100  C100  C100   C100   S1  S Chọn khai triển: 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100 99 100 99 100  x  1  C100  2C100 x  3C100 x   100 C100 x (1) (2) Thay x  vào (1) (2) ta có: 2100  C100  S1  99 100.2  S2  S  S1  S2  51.2100   Bài tập đề nghị Bài 41 Tính tổng: S  2.31Cn1  3.32 Cn2  4.33 Cn3   n.3n Cnn Hướng dẫn: Tương tự 38 thay x  SV: Nguyễn Thị Vân 50 Lớp: K35D - Toán Khãa luËn tèt nghiÖp Đs: S    3n  4n 1  Bài 42 (Đề thi đại học luật năm 2001) Cho n  ฀  ; n  Chứng minh: Cn1 3n 1  2Cn2 3n 1  3Cn3 3n    nCnn  n.4n 1 n Hướng dẫn: Chọn khai triển  x  1 - Đạo hàm cấp - Thay x  Bài 43 Tính tổng: S  C21 n  3C23n  5C25n   (2n  1)C22nn 1 Giải Chọn khai triển:  x  12 n  C20n x  C21n x1  C22n x   C22nn x n  x  12 n  C20n x  C21n x1  C22n x   C22nn x n   x  1 2n   x  1  2n  x  1 n 1 2n  2.( C21n  C23n x3  C25n x5  C22nn 1x 2n 1 )  2n  x  1 n 1   C23n x  5C25n x  (2n  1)C22nn 1x n  Chọn x  ta có: S  2n.22 n 1  S  n.22 n  b Sử dụng đạo hàm cấp Bài 44 Tính tổng: 200 S  2.1.30.C200  3.2.31.C200  4.3.32.C200   200.199.3198.C200 Giải Chọn khai triển: 200 200 x  C200 x  C200 x  C200 x   C200 x  x  1200  C20 x  C200 199 200 199  200  x  1  C200  2C200 x  3C200 x  4C200 x   200 C200 x 198 200 198  200.199  x  1  2C200  3.2C200 x  4.3C200 x   200.199C200 x Chọn x  3 , ta có: 200 200.199.2198  2C100  3.2.31.C200  4.3.32.C200   200.199.3198.C200 S SV: Nguyễn Thị Vân 51 Lớp: K35D - Toán Khãa luËn tèt nghiÖp Vậy S  200.199.2198 Bài 45 Tính tổng: S  12 Cn1  22 Cn2  32 Cn3  42 Cn4   n 2Cnn Giải Nhận xét: Các hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 12 ; 22 ; 32 ; ; n (không kể dấu) nên ta tách tổng để đưa số hạng dạng đặc trưng đạo hàm S  1.1.Cn1  2.2.Cn2  3.3.Cn3  4.4.Cn4   n.n.Cnn S  C n1  1  1 Cn2  3.  1 Cn3    1 Cn4   n  n  1  1 Cnn  S  Cn1  2.1.Cn2  3.2.Cn3   n. n  1 Cnn   C0n  2Cn1  3Cn2   nCnn    S1  S Chọn khai triển:  x  1n  Cn0 x  Cn1 x1  Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n n 1  n  x  1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   nCnn x n 1 n2  n  n  1 x  1  2.1.Cn2  3.2.Cn3 x   n. n  1 Cnn x n 1 (1) (2) Thay x  vào (1) (2) ta có: n.2n 1  Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4   nCnn  S2 n(n  1).2n   2.1.Cn2  3.2.Cn3  4.3.Cn4   n.( n  1).Cnn  S1 Vậy S  S1  S  n(n  1).2n   n.2n 1  n(n  1).2n   Bài tập đề nghị Bài 46 (Đại học An Ninh khối A năm 1998) n Cho f ( x )  1  x  ; n  ฀ ; n  a Tính f "(1) b Chứng minh rằng: 2.1.Cn2  3.2.Cn3    n  1 n.Cnn  n  n  1 2n  Giải a f '( x )  n 1  x  n 1 SV: Ngun ThÞ Vân 52 Lớp: K35D - Toán Khóa luận tốt nghiÖp f "( x )  n  n  11  x  n2  f "(1)  n  n  1 2n  (1) b.Ta có: n n k 1 k 1 n f ( x )  1  x    Cnk x n  k  f '( x)    n  k  Cnk x n  k 1 n  f ''( x)    n  k  n  k  1 Cnk x n  k  k 1 n  f ''(1)    n  k  n  k  1 Cnk  2.1.Cn2  3.2.Cn3    n  1 nCnn (2) k 1 Kết hợp (1) (2) ta có đpcm 2.4.3 Phương pháp 3: Dùng tích phân 21 22 23 2n 1 n Cn Bài 47 Tính: S  Cn  Cn  Cn   n 1 Giải n Chọn khai triển:  x  1     x  1 n  Cnk xk k 0 n dx    Cnk x k dx k 0   x  1n 1  n 1  n n k k 1 C  nx k 0 k  n 1 Cnk 2k 1  S 3n 1    n 1 k 0 k   Vậy S     3n 1  n SV: Nguyễn Thị Vân 53 Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Bài 48 (Đề thi đại học khối A năm 2007) 1 2n1 22n  C2n  Cho n฀ Chứng minh rằng: C2n  C2n   2n 2n   Giải Chọn khai triển:  x  12 n  C20n x  C21n x1  C22n x   C22nn x n  x  12 n  C20n x  C21n x1  C22n x   C22nn x 2n   x  1  2n   x  1 2n   C21 n  C23n x3  C25n x  C22nn 1 x n 1  x  12 n   x  12n  dx     C 2n    C23n x3   C22nn 1x 2n 1 dx 1 1    x  12n 1   x  12n1    C21n x   C22nn 1x2n  2n  2n  2n  0 2 0 1 1  22n1    C21n  C23n   C22nn1   2S  2n  2n 2    S    22 n  2n  21 23 2101 100 C100 Bài 49 Tính tổng: S  C100  C100   101 Giải Cách 1: Chọn cận đối xứng Xét khai triển: 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100    x  1 2  100 dx   2 C 0 100 x  2 100 100  C100 x  C100 x   C100 x dx 1 2 100 101 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1101  C100 2 101 101 SV: Nguyễn Thị Vân 54 Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp 21  (  2)1 2  (  2) 2101  (  2)101 100 101 C100  C100   C100  1  101 101  21 101 23 2101 100      C100  C100   C100   S 101 101       S    101 1 101 Cách 2: Chọn hai khai triển làm tập lẻ Ta có: 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100 100 100 x  C100 x  C100 x   C100 x  x  1100  C100 100 100 100 100   x  1   x  1  2. C100  C100 x  C100 x  C100 x  2 0   100 100 100 100    x  1   x  1 dx   C100  C100 x  C100 x  C100 x dx     100 101  101 101  x  1   x  1   2. C100 x  C100 x   C100 x   0 101  101  0  21 101 23 2101 100     C100  C100   C100   S  101 101   101  S (3  1) 101     Bài 50 Cho tích phân: I   x x  2006 dx a Tính I 1 1 2006  C2006  C2006   C2006 b Tính: S  C2006 4014 Giải a Đặt x   t  xdx  dt  xdx  dt SV: Nguyễn Thị Vân 55 Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp 2 1 (22007  1) I   t 2006dt  t 2007  4014 2.2007 b Ta có:  x  1  x  x  1 2006 2  2006    x x 1 0 2006 4012  C2006  C2006 x  C2006 x   C2006 x 2006 4013  C2006 x  C2006 x  C2006 x   C2006 x 2006 C 2006 x  C2006 x dx    2006 4013  C2006 x5   C2006 x dx 1 1 2006 4014  I   C2006 x  C2006 x  C2006 x6   C2006 x 0 S 4014 2  Vậy S    22007  4014 Bài tập đề nghị Bài 51 Chứng minh: 99 24 97 2100 99 5100   2.3101 C100  C100   C100  100 202 22 Giải Chọn khai triển: 98 99 100  399 x1C100  398 x 2C100   31 x99C100  30 x100C100  x  3100  3100 C100 98 99 100  399 x1C100  398 x 2C100   31 x 99C100  30 x100C100  x  100  3100 C100 (1) (2) Lấy (1) trừ (2) ta có: 97 99  397 x 3C100   31 x 99C100  x  3100   x  3100   399 x1C100  2 0 100 100 97 99     x  3   x  3 dx  2 399 x1C100  397 x3C100   31 x99C100  dx    100  99 x 2  101 101  97 x 97 1x 99        3 3 x x C C C100       100 100  101 100 SV: Nguyễn Thị Vân 56 Líp: K35D - To¸n 2  0 Khãa ln tèt nghiÖp  99 5101   2.3101 24 97 2100 99    2. C100  C100   C100   S 101 100   S  5100   2.3101 (đpcm) 202   Bài 52 Cho tích phân: I   x x  2n dx ; n  ฀ ; n chẵn a Tính I 1 1 1 C n  Cn  Cn   Cnn  2n  2( n  1) b Chứng minh: Hướng dẫn:Tương tự 50 2.4.4 Phương pháp 4: Đồng hệ số Bài 53 Tính tổng: S  C80C12  C81C12  C82C12   C88C12 Giải Chọn khai triển:  x  18  C80  C81 x  C82 x   C88 x8  x  112  C120 x12  C81x11  C82 x10   C88 x   C128 x8  C127 x   C120 x 12   x  1  x  1    C80C12  C81C12  C82C12   C88C12  x8  12 Mặt khác:  x  1  x  1   x  1 20 8   C20 x  Vậy S  C20 Bài 54 Cho ∈ ℕ Chứng minh:       Cn0  Cn1  Cn2     Cnn  C2nn Giải Chọn khai trin: SV: Nguyễn Thị Vân 57 Lớp: K35D - Toán Khãa luËn tèt nghiÖp  x  1n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n   x  1 n  x  1n    Cn0  Mặt khác:  x  1 n     C   Cn1 2 n    x   Cnn  x  1n   x  12 n   C2nn x n  n  (1) (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh  Bài tập đề nghị Bài 55 Cho số nguyên dương lẻ Chứng minh rằng: C   C   C  n n 2 n     Cnn  Giải Chọn hai khai triển:  x  1n  Cn0 x  Cn1 x1  Cn2 x   Cnn x n  x  1n  Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n    Cnn x   x  1 n  x  1n    Cn0        Cn1  Cn2 (do n lẻ )   2   Cnn  x n   Mặt khác :  x  1n  x  1n  ( x  1) n  Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x   C2nn x n   Hệ số khơng có bậc lẻ Do ta có điều phải chứng minh! 2.5 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức chứa Bài 56 Cho hai số dương a ; b thỏa mãn a  b  Chứng minh với số tự nhiên ta ln có: a n  bn  n 1 Giải Đặt a  1 h&b h 2 Khi ú: SV: Nguyễn Thị Vân 58 Líp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp n n 1  1  a  b    h    h 2  2      h h2 h h2   n  Cn1 n 1  Cn2 n      n  Cn1 n 1  Cn2 n    2 2 2  2  1 h h  n1  Cn2 n3  Cn4 n5   n1 2 2 n n  Điều phải chứng minh ! n Bài 57 Cho n  ฀ ; n  Chứng minh rằng:  n  1  n n 1 (1) Giải n  n 1 (1)      1  n n  n  n Xét khai triển: n n!  1 n 11   1    Cn  Cn  Cn   Cn n    n 2!(n  2)!n n n nn  n    1  1  1  n n n  1  1    n (đpcm)  n Bài 58: Cho số m ; n  ฀ * : m  n Chứng minh rằng: n m 1  1  1        n  m Giải Xét khai triển nhị thức: n  1 11 n 1     Cn  Cn  Cn   Cn n n n n n  n n! n! 11    n n 2!(n  2)!n 3!(n 3)!n SV: Nguyễn Thị Vân 59 Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp 11 n  (n  1)(n  2)    n 2n 3!n n         n 1     1    1  1     1   1   n! n   n   n  3! n  n  Tương tự:   1    n 1 n 1   Cn1 1 1  Cn21   Cnn11 n 1 (n  1) (n  1)n 1 1     n     1     1   1    n 1 (n  1)!  n    n   n 1    So sánh:    &    n n 1   n 1 n 1    ta có:        n n 1   n 1 Từ suy m ; n  ฀ * : m  n thỏa mãn toán Bài 59 Chứng minh rằng: Cn1  2Cn2   nCnn  n! ,  n ฀ ; n  n Giải Ta có : 1  x n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n  n 1  x  n 1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   nCnn x n 1 Chọn x  ta có: n.2n 1  Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn Cn1  2Cn2   nCnn   2n 1 n Ta chứng minh: 2n 1  n! (*) n  ฀ ; n  phương pháp quy nạp tốn học Với n  ta có: 22  ((*) đúng) Giả sử (*) với n  k , ( k  ฀ , k  ) , tức k 1  k ! (1) SV: Nguyễn Thị Vân 60 Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Ta chứng minh (*) với n  k  , tức 2k  ( k  1)! 2k  2.2k 1  2.k ! (theo (1))  ( k  1) k !  k  ฀ , k   (k  1)!  (*) với n  ฀ ; n  Vậy ta có điều phải chứng minh!  Bài tập đề nghị Bài 60 Cho số m ; n  ฀ : n  m  Chứng minh rằng:  1 1    n n 1 1   1    m m 1 Hướng dẫn: m 1 1  1   Chứng minh:  m  m  m    1   m 1  TIỂU KẾT: Ở chương 2, đưa hệ thống 60 tập tương ứng với dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn nhằm giúp em thêm lần nắm vững kiến thức nhị thức Niu-tơn, qua rèn luyện cách thành thạo kĩ vận dụng nhị thức Niu-tơn dạng toán Với hệ thống tập phần giúp học sinh nâng cao khả phân tích gặp toán khắc phục định hướng sai lệch khơng đáng có.Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học cao đẳng thường xuất toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn, đối tượng học sinh đặc biệt học sinh giỏi việc phân chia hệ thống tập điều thật cn thit SV: Nguyễn Thị Vân 61 Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp C KẾT LUẬN Khóa luận trình bày cụ thể chi tiết dạng toán chủ đề “Nhị thức Niu-tơn ứng dụng” chương trình phổ thơng Thơng qua việc nghiên cứu đề tài đạt số kết sau: Thứ nhất, vào nghiên cứu nhị thức Niu-tơn ứng dụng Tơi đưa dạng tốn ứng dụng nhị thức Niu-tơn, đồng thời dạng toán trình bày cụ thể phương pháp giải, tốn mở rộng ví dụ tương ứng đồng thời đưa số sai lầm thường mắc phải học sinh phổ thông ứng dụng nhị thức Niu-tơn cách khắc phục sai lầm nhằm cung cấp phản ví dụ giúp học sinh nắm kiến thức cách vững Thứ 2, xây dựng hệ thống tập minh họa cho dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn Ở dạng tốn tơi đưa tập mức độ khác nhau, từ dễ đến khó, trường hợp đặc biệt mở rộng tập trình bày lời giải cụ thể Phần tập đề nghị nhằm củng cố kiến thức, mở rộng nâng cao trình tư cho học sinh Với việc phân chia xây dựng hệ thống dạng tập vậy, học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo, linh hoạt việc sử dụng nhị thức Niu-tơn thấy vai trị việc giải toán Do lần nghiên cứu đề tài toán học với lực có hạn thân nên có lẽ khóa luận chưa đưa hết dạng toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn đề cập hết sai lầm thường gặp học sinh giải dạng toán Với việc nghiên cứu đề tài, tơi hi vọng phần giúp hc sinh hiu nhiu SV: Nguyễn Thị Vân 62 Lớp: K35D - To¸n Khãa ln tèt nghiƯp sâu nhị thức Niu-tơn ứng dụng nó, từ em giải thành thạo tập có liên quan Bản thân tơi thấy tư liệu q báu phục vụ cho cơng việc giảng dạy sau Tơi kính mong nhận góp ý qúy thầy để đề tài tơi hồn thiện SV: Ngun ThÞ Vân 63 Lớp: K35D - Toán Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo (2007), Đại số giải tích 11 (nâng cao), Nhà xuất Giáo dục Bộ Giáo dục Đào tạo (2007), Bài tập đại số giải tích 11 (nâng cao), Nhà xuất Giáo dục Đậu Thế Cấp, Huỳnh Cơng Thái (2007), Giải tốn tự luận trắc nghiệm Các chuyên đề tổ hợp xác suất - Biên soạn theo tinh thần tự luận trắc nghiệm, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Hà Văn Chương (2011), Phương pháp giải tốn giải tích tổ hợp xác suất (giải chi tiết), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Lộc (2011), Chuyên đề toán tổ hợp - Thống kê – Xác suất – Số phức (Bồi dưỡng học sinh giỏi – Luyện thi đại học), Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Huỳnh Công Thái (2007), Phương pháp giải tự luận trắc nghiệm Tổ hợp xác suất 11, Nhà xut bn Hi Phũng SV: Nguyễn Thị Vân 64 Lớp: K35D - To¸n ... dạng ứng dụng nhằm nâng cao kiến thức kĩ vận dụng ứng dụng nhị thức Niu-tơn cách thành thạo hiệu kì thi thật cần thiết Nói chung, ứng dụng nhị thức Niu-tơn không nhiều để áp dụng thành thạo ứng dụng. ..   1 Cnn 1.2 Ứng dụng nhị thức Niu-tơn 1.2.1 Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải: Sử dụng trực tiếp công thức nhị thức Niu-tơn Lưu ý: Khi khai triển nhị thức (a  b)n , ta...  Điều phải chứng minh! 1.3 Một số sai lầm học sinh ứng dụng nhị thức Niu-tơn Bài toán ứng dụng nhị thức Niu-tơn đa dạng, phong phú tương đối khó địi hỏi vận dụng linh hoạt nhị thức Niu-tơn,