8 chuyên đề Đại số 9 chọn lọc Luyện thi vào lớp 10 [bản đẹp]

QU C BIÊN CHUYÊN Đ Đ I S CH N L C LUY N THI VÀO 10 KÈM GI I CHI TI T CĐ CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐS CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐỒNG HÀNH VÀO 10 MỤC LỤC A CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC  Dạng 1: Biểu thức dấu số thực dương  Dạng 2: Áp dụng đẳng thức A2  A  Dạng 3: Biểu thức dấu đưa đẳng thức A2  A  Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục thức, đẳng thức, phân tích thành nhân tử; …)  Dạng Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dấu ý toán phụ 12  Bài tập tự luyện: 27 B CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 30  Kiến thức 30  Ví dụ minh họa 31  Bài tập 33  Bài tập tự luyện 36  Giải hệ phương trình số ý phụ 40  Giải hệ phương trình bậc cao 47 C GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 50  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 50  PHÂN DẠNG TOÁN 51 Dạng Toán quan hệ số 51 Ví dụ minh họa: 51 Bài tập tự luyện: 53 Dạng 2: Toán chuyển động 55 Ví dụ minh họa: 56 Bài tập tự luyện: 59 Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Dạng 3: Tốn suất – Khối lượng cơng việc - % 60 Ví dụ minh họa: 61 Bài tập tự luyện: 68 Dạng 4: Toán có nội dung hình học 68 Ví dụ minh họa: 69 Bài tập tự luyện: 71 Dạng Các dạng toán khác 71 Ví dụ minh họa: 71 Bài tập tự luyện: 74 D GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 75  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 75  PHÂN DẠNG TOÁN 76 Dạng Toán quan hệ số 76 Ví dụ minh họa: 76 Bài tập tự luyện: 77 Dạng 2: Toán chuyển động 77 Ví dụ minh họa: 78 Bài tập tự luyện: 83 Dạng 3: Tốn suất – Khối lượng cơng việc - % 85 Ví dụ minh họa: 86 Bài tập tự luyện: 89 Dạng 4: Tốn có nội dung hình học 90 Ví dụ minh họa: 90 Bài tập tự luyện: 92 Dạng Các dạng toán khác 92 Ví dụ minh họa: 92 Bài tập tự luyện: 94 E HÀM SỐ BẬC NHẤT 95 Luy n Thi Edusmart 088.999.1688 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 95  BÀI TẬP 96  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 102 F HÀM SỐ BẬC HAI 104  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 104  BÀI TẬP 106 Sự tương giao đường thẳng đồ thị hàm số bậc hai 108  PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 119 G PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG 122 Dạng 1: Giải phương trình phương trình quy phương trình bậc hai 122 1.1 Giải phương trình bậc hai 122 1.2 Giải phương trình quy phương trình bậc hai 125 1.2.1 Phương trình trùng phương 125 1.2.3 Giải phương trình đưa phương trình tích 130 1.2.4 Giải phương trình chứa bậc hai 131 a) Phương trình chứa bậc hai đơn giản (quy phương trình bậc hai) 131 b) Phương trình vơ tỉ 132 1.2.5 Giải phương trình chứa dấu GTTĐ 134 Dạng 2: Hệ thức Vi-et ứng dụng 134 Dạng 3: Phương trình chứa tham số 139  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 170 H BẤT ĐẲNG THỨC 172  KIẾN THỨC LÍ THUYẾT 172  BÀI TẬP 173  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên 178  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt tâm 183  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 190 “Tài liệu tổng hợp từ nhiều nguồn: Sách, đề cương, đề thi.” Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 Chủ đề CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC A CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC  CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC  A nÕu A  A2  A    A nÕu A < AB  A  B A2 B  A (Với A  0; B  ) A B A B (Với A  0; B  ) (Với B  ) B (Với A  0; B  ) A B  A B   A2 B A2 B A  B B A A B  B B (Với A  0; B  ) (Với A  0; B  ) AB (Với B  )  C AB C  A  B2 AB 10 C C  A B 11  A 3    A B (Với A  0; A  B2 )  A B A3  A Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 (Với A  0; B  0; A  B ) CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN  CÁCH TÌM ĐKXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A A B VÍ DỤ ĐKXĐ: A  Ví dụ: ĐKXĐ: B  Ví dụ: ĐKXĐ: x  2018 x4 x7 ĐKXĐ: x7 x  2018 A B ĐKXĐ: B  Ví dụ: x 1 x3 ĐKXĐ: x3 A B ĐKXĐ: A  0; B  Ví dụ: x x3 ĐKXĐ: x   x3  x  A B  A   B  ĐKXĐ:  A     B  ĐKXĐ:  x      x     x  2 x 1  x       x   Ví dụ: x 1 x2 Cho a > ta có: x  a Ví dụ: x    x  a x2  a    x   a  x   a Cho a > ta có: x a a x a Ví dụ: x   2  x   Dạng 1: Biểu thức dấu số thực dương Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: M  45  245  80 N   50  18 P  125  45  20  80 A  12  27  48 B   27  300 C  (2  27  12) : Hướng dẫn giải M  45  245  42.5 N   50  18 P  5  12    32.5  72   42.5  5.2   2.3  5 3 57 54 6  10    (10   6)  Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN A  12  27  48 B   27  300 C  (2  27  12) :  3 4   32.3  102.3   3.3  10  (2  5.3  4.2 3) :   5 :  5  Nhận xét: Đây dạng toán dễ Học sinh bấm máy tính để giải, đa phần áp A2 B  A dụng kiến thức đưa thừa số ngồi dấu để giải tốn B (B0 ) Tự luyện:   B  32  27   75 A  50  18  C  20  45  A2  A  Dạng 2: Áp dụng đẳng thức Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: a) 3  2  d) 3  3  2   2  1  2   2    2 b) e)   2    2 c)   2  1  2 f)  2  1    5 Giải mẫu:   2 2    2 2   a)  3 2  32 3 2  Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: b) 4 Kết quả:  A nÕu A  A2  A    A nÕu A  c) d) e)  Dạng 3: Biểu thức dấu đưa đẳng thức Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A     Hướng dẫn giải A   1        1   3 1   2         3 Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 A2  A f) 2  CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Nhận xét: Các biểu thức  ;  có dạng m  p n với a  b2  m p n  2ab Những biểu thức viết dạng bình phương biểu thức Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B     Hướng dẫn giải Cách 1: B  5  52    3  3  3 2     3  3  3 2 Cách 2: B  5  52 Ta có: 5  5    10  B2      8 Vì B  nên B   2 Nhận xét: Các biểu thức   hai biểu thức liên hợp Gặp biểu thức vậy, để tính B ta tính B trước sau suy B Bài 1: Rút gọn a) A   b) B   12 c) C  19  d) D   Hướng dẫn giải a) A      1   b) B   12    c) C  19   4  3 d) D     1  1  1  1 3  4  4  Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688  3  3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Bài 2: Rút gọn a) A   b) B   15 c) C   d) D   13   13 e) E     f) F   10  20  Hướng dẫn giải a) A    b) B   15  c) C      1   1  15  2    15   2 d) D   13   13     2   13     14  13  14  13  2 13      e) E            (  1)  (  1) |  1|  |  1|     f) F   10  20   8  5    2 5 2 5  5 2 5 3 Bài 3: Rút gọn (Bài tự luyện) a)    b)  10   10 c) d) 24    e) 17  12   f)   22  12 g)    h) 21  12  i) j) 13  30   42  42   29  12 k)  13    13  Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 l)   13     13  176 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Bài 10: Chứng minh rằng: 3a  , a   9a Hướng dẫn giải Với a  , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a 1 1     (đpcm) 4 1 9a  9a  3a 2 3a 2  2 3a 3a 3a 3a 2  a2    , a  1 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a  1    a 1  Hướng dẫn giải  a  2a    A  a  1   a     a  12  1  a  1     a 1  2    a  1   a    a 1  2  2a  1  Cauchy a  1 2  2a  1 a  12 Dấu “=” xảy 2a  12  22 22 24 hay a  a  12 Vậy GTNN A  2  Bài 12: Chứng minh rằng: a   , a  b  b( a  b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 1  b  a  b    33 b.a  b  3 ba  b  ba  b  ba  b  Bài 13: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 bc ca ab    abc a b c 177 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b c 2 a b  2 b c  2 c a  bc ca ca ab ab bc    abc a b b c c a Bài 14: Cho ba số thực abc  CMR: a2 b2 c2 b c a      b2 c2 a2 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a2 b2 c2  a2 b2      b c a 2  b c    b2 c2     a  2c   c2 a2     b  2a    a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a b c a         2 2 a b c a b c b c c a a b Bài 15: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc  CMR bc ca ab    a  b  c 3 a b c Hướng dẫn giải  bc b  c c  a a  b bc ca ab ca ab            b c  a b c a b c  a  bc ca   ca ab   ab bc              b   b c   c a   a bc ca 2 a b 2 2  ca ab 2 b c   a b c  ab bc c a   a b c  a b c   a  b  c  33 a b c  a  b  c  Vậy bc ca ab    a  b  c 3 a b c Bài 16: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 bc ca ab   6 a b c 178 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab  bc  ca  ab    1    1    1  3 a b c a   b   c   abc bca cab    3 a b c 1 1  a  b  c         a b c  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên Xét toán sau: Bài 1: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A  a  a Sai lầm thường gặp là: A  a  1  a  Vậy GTNN A a a Nguyên nhân sai lầm: GTNN A  a   a  vơ lý theo giả thuyết a a  Lời giải đúng: A  a  a 3a a 3a 3.2    2   1  a a 4 a 4 Dấu “=” xảy  a  hay a  a Vậy GTNN A Vì lại biết phân tích lời giải Đây kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại tốn trên, dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đoán A đạt GTNN a  Khi ta nói A đạt GTNN “Điểm rơi a  ” Ta áp dụng bất Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 179 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN đẳng thức AM - GM cho hai số a tách a khơng thỏa quy tắc dấu “=” Vì ta phải a để áp dụng bất đẳng thức AM - GM thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử a  a 1 ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số  ,  cho “Điểm rơi a  ”  a  a     , ta có sơ đồ sau: a         a  1   a a Khi đó: A  a  a 3a    ta có lời giải a 4 a  a 1 Lưu ý: Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số  ,  ta chọn các cặp số sau:  a  1       a,   a,   a,  a   a  a  Bài 2: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ A  a  a2 Sơ đồ điểm rơi: a    a 2    8  1 1  a Sai lầm thường gặp là: A  a 7a a 7a   2   a 8 a Dấu “=” xảy  a  Vậy GTNN A Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 7a   2a 7.2   2.2 180 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A là đáp số cách giải mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ a    2a Lời giải đúng: A  sai” 2.2 a a 6a a a 6a 6.2     3.3     8 a 8 a 8 Dấu “=” xảy  a  Vậy GTNN A Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  ab  Phân tích: Ta có: ab ab       Sơ đồ điểm rơi:  ab   1  4 ab      4  4 16 1 4  ab Giải: Ta có: ab ab        ab   A  16ab  1 17  15ab  16ab  15ab   15  ab ab 4 Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 ab 181 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Dấu “=” xảy  ab  Vậy GTNN A 1 ab 17 Bài 2: Cho số thực a  Tìm GTNN A  a  18 a Phân tích: Ta có : A  a  18 9  a2   a a a Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN a  Ta có sơ đồ  a 36   36     24 điểm rơi: a        9    a Giải: Ta có: A a 9 23a a 9 23a 23.36     33     39 24 a a 24 24 a a 24 24 Dấu “=” xảy  a2  a6 24 a Vậy GTNN A 39 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  2b  3c  20 Tìm GTNN A  a  b  c    a 2b c Phân tích: Dự đốn GTNN A đạt a  2b  3c  20 ,tại điểm rơi a  2, b  3, c  Sơ đồ điểm rơi: Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 182 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a    a 2      3   a b     3 b 3     2  9 3  2b c     c4  1    4   c Giải:  3a   b   c A       a   2b   c  a b 3c     4 3a b c a  2b  3c 2 2  a 2b c      13 2 Dấu “=” xảy  a  2, b  3, c  Vậy GTNN A 13 ab  12 bc  Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa  1  121       ab bc ca  abc 12 Chứng minh rằng: a  b  c   2 Phân tích: ab  12 , điểm rơi a  3, b  4, c  bc  Dự đoán GTNN A đạt  Giải: Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 183 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b a b    33  18 24 ab 18 24 ab a c a c    33 1 ca ca b c b c    33  16 bc 16 bc a c b a c b     44  12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13  2 2 12  18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13  2 2  48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1  121  a  b  c   2      ab bc ca  abc 12  (đpcm)  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt tâm Xét toán sau: Bài toán: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  a  b   a Sai lầm thường gặp là: A  a  b  1 1   4 a.b  Vậy GTNN A a b a b Nguyên nhân sai lầm: GTNN A  a  b  trái giả thuyết Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 b 1   a  b  Khi a  b   a b 184 CÁC CHUN ĐỀ TỐN Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b  a b    1 Sơ đồ điểm rơi: a  b     2   2  2 1    a b   Lời giải đúng: A   4a  4b  Dấu “=” xảy  a  b  Bài 1: 1 1    3a  3b  44 4a 4b  3a  b     a b a b Vậy GTNN A Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm GTNN A  a  b  c  1   a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc Sơ đồ điểm rơi: a b c     1    2 abc    2  2 1     a b c Giải: Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 185 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 1 1  A   4a  4b  4c      3a  3b  3c a b c  1  66 4a.4b.4c  3a  b  c  a b c 13  12   2 Dấu “=” xảy  a  b  c  Bài 2: 13 Vậy GTNN A 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm GTNN A  a  b  c  1   a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc  a  b2  c2   1  Sơ đồ điểm rơi: a  b  c       8  1    a b c  Giải: 1 1 1 3  A  a2  b2  c2          8a 8b 8c 8a 8b 8c  4a 4b 4c  1 1 1 31 1      8a 8b 8c 8a 8b 8c  a b c  9 9 27        4 abc 4 a  b  c 4  99 a b c Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 186 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Dấu “=” xảy  a  b  c  Vậy GTNN A Bài 3: 27 Cho số thực dương a, b Tìm GTNN A  ab ab  ab ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b Sơ đồ điểm rơi: 2a  ab  ab  a    ab       ab  a   a  b 2a Giải:  ab ab  3a  b  ab ab 3.2 ab  A    2   1   2 ab a  b ab  ab a  b  ab Dấu “=” xảy  a  b Vậy GTNN A Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN A  a b c bc ca ab      bc ca ab a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b  c Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 187 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Sơ đồ điểm rơi: b c  a     b  c c  a a  b 2 abc      b  c  c  a  a  b   a b c  Giải: b c bc ca a b 3bc c a a b  a A           4a 4b 4c   a b c  bc c  a ab  66 a b c bc ca ab 3b c c a a b         b  c c  a a  b 4a 4b 4c 4a a b b c c b c c a a b 15   6.6    a a b b c c 2 Dấu “=” xảy  a  b  c Vậy GTNN A Bài 5: 15 Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN : A  1  2ab a b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    a  b  Sơ đồ điểm rơi: a  b     2        2  2ab Giải: Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 188 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN A 1  2 2ab a b 1  2  4 2 a  b 2ab a  b  2ab a  b 2   a  b  2ab Dấu “=” xảy   a  b  ab Vậy GTNN A Bài 6: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  1 a  b  2ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    2  2    3 Sơ đồ điểm rơi: a  b   1  a  b     2ab  Giải: A 1 a  b 2   2  1  6ab 3ab 1   a  b 6ab 3ab   1    2  a  b  6ab 3ab a  b    4ab 3ab 2 a  b 2   4 a  b      ab 3    4  2 2a  b   3a  b  Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688   Do ab   a  b          189 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN  4   2.1  3.1 1  a  b  6ab  ab Dấu “=” xảy  a  b a  b   Vậy GTNN A Bài 7: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  1   4ab a b ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    a  b   2   Sơ đồ điểm rơi: a  b       ab  4ab  1  ab  1         ab  Giải: 1 1   4ab   2ab 4ab 4ab a b 1 2  4ab  2 4ab 4ab a  b 2ab A    2 a  b  2ab 2  2 4ab a  b  4ab Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 190 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN   Do ab   a  b       2 2 a  b ab 4      a  b 2     2 27 a  b  2ab  4ab  1 Dấu “=” xảy   ab 4ab a  b  a  b  Vậy GTNN A  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho x  , chứng minh rằng: a) x  x1 1 ; b) x5 x4 2 Bài 2: Cho a , b, c  , chứng minh rằng: a)  a  b  b  c  c  a   8abc ; b) a 2b  3c  1 2b  3c 4a Bài 3: Chứng minh rằng: 200      10  2 200 Bài 4: Chứng minh rằng: S  1  3  5   79  80 4 Bài 5: Cho a  , b  Chứng minh rằng: a b   b a   ab Bài 6: Cho a , b, c  thỏa mãn điều kiện a  c ; b  c Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab Luy n Thi Edusmart - 088.999.1688 HẾT ... 1 78  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt tâm 183  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 190 “Tài liệu tổng hợp từ nhiều nguồn: Sách, đề cương, đề thi. ” Luy n Thi Edusmart - 088 .99 9.1 688 Chủ... Thi Edusmart 088 .99 9.1 688 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 95  BÀI TẬP 96  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 102 F HÀM SỐ BẬC HAI 104  KIẾN THỨC... 42.5 N   50  18 P  5  12    32.5  72   42.5  5.2   2.3  5 3 57 54 6  10    (10   6)  Luy n Thi Edusmart - 088 .99 9.1 688 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN A  12  27  48 B   27  300