SKKN vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT XUÂN HÒA BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: VẬN DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ GIẢI BÀI TỐN KINH TẾ Tác giả sáng kiến : NGUYỄN THU THÙY Mã sáng kiến : 37.52.04 VĨNH PHÚC, 2020 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CỦA SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Mục tiêu giáo dục đào tạo nguồn nhân lực có trình độ cao để phục vụ đất nước nên kiến thức học học sinh nhà trường cần gắn liền với thực tế sống Chính vậy, Bộ Giáo Dục Đào tạo tiến hành lộ trình đổi đồng phương pháp dạy học kiểm tra đánh giá trường phổ thông theo định hướng phát triển lực học sinh tinh thần Nghị 29 – NQ/TƯ đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Dạy học theo đinh hướng phát triển lực học sinh, đòi hỏi phải tăng cường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vào giải vấn đề thực tiễn Trong thực tiễn dạy học trường THPT nhìn chung tập trung rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức toán học nội mơn tốn chủ yếu việc vận dụng kiến thức toán học vào đời sống thực tiễn chưa ý mức thường xuyên Những toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất trình bày cách hạn chế chương trình tốn phổ thơng Nhằm giúp học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải trực tiếp số vấn đề sống tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho tốn học khơng trừu tượng khơ khan nhàm chán, chọn đề tài : “ Vận dụng hệ bất phương trình bậc hai ẩn để giải toán kinh tế ” cho học sinh lớp 10 Trường THPT Xn Hòa Với đề tài tơi hy vọng phần giúp cho học sinh thấy tốn học có nhiều ứng dụng sống xung quanh ta, mơn khác để từ học sinh lĩnh hội, khắc sâu tri thức cách dễ dàng Tên sáng kiến: Vận dụng hệ bất phương trình bậc hai ẩn để giải tốn kinh tế Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thu Thùy - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Xuân Hòa - Số điện thoại: 0976442776 - Email: thuthuysp2k14@gmail.com Chủ đầu tư tao sáng kiến: Nguyễn Thu Thùy Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đề tài: “ Vận dụng hệ bất phương trình bậc hai ẩn để giải toán kinh tế ” Trang bị cho học sinh kiến thức, kỹ biết vận dụng tốn có nội dung thực tiễn vào dạy học mơn tốn lớp 10 – Trung học phổ thông Biết vận dụng thực tế sống vào dạy học tốn Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học mơn tốn trường Trung học phổ thông Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: +Trong giảng dạy khóa: tháng 01/ 2020 lớp 10A2, 10A7 trường THPT Xn Hòa Mơ tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến: Kiến thức học không nhiều Đối với học sinh, việc giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn khơng khó Các em cần biết cách dựng đường thẳng ax+ by+c =0 xác định dấu miền theo hướng dẫn sách giáo khoa giải Tuy nhiên, học sinh chưa biết cách khai thác kiến thức học để vận dụng vào việc tìm ứng dụng Vì gặp tốn kinh tế em gặp khó khăn việc tìm cách giải Đứng trước toán kinh tế học sinh thường lúng túng khơng biết gắn tốn vào kiến thức học ? Với tình hình để giúp học sinh định hướng tốt trình giải toán kinh tế, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét tốn cách đặt biến từ tìm mối quan hệ ràng buộc biến Sau nội dung chi tiết A LÝ THUYẾT I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN x, y Bất phương trình bậc hai ẩn ax + by ≤ c ( 1) a, b, c có dạng tổng quát ( ax + by < c; số thực cho, a ax + by ≥ c; ax + by > c ) b không đồng thời 0, x y ẩn số II BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng bất phương trình bậc ẩn, bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm để mô tả tập nghiệm chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học Trong mặt phẳng tọa độ bất phương trình ( 1) Oxy , tập hợp điểm có tọa độ nghiệm gọi miền nghiệm Từ ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) bất phương trình phương trình ax + by ≥ c ax + by ≤ c sau (tương tự cho bất ) Oxy ,  Bước Trên mặt phẳng tọa độ  gốc tọa độ Bước Lấy điểm O vẽ đường thẳng M ( x0 ; y0 ) khơng thuộc ) ax0 + by0  Bước Tính  Bước Kết luận so sánh ax0 + by0 với c ∆ ∆ ax + by = c : (ta thường lấy Nếu ax0 + by0 < c ∆ nửa mặt phẳng bờ chứa M0 miền nghiệm ax0 + by0 ≤ c Nếu ax0 + by0 > c nửa mặt phẳng bờ ∆ không chứa M0 miền nghiệm ax0 + by0 ≤ c Chú ý: Miền nghiệm bất phương trình ax + by = c ax0 + by0 ≤ c miền nghiệm bất phương trình bỏ đường thẳng ax0 + by0 < c III HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN • Tương tự hệ bất phương trình ẩn Hệ bất phương trình bậc hai ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Cũng bất phương trình bậc hai ẩn, ta biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn • Cách giải - Với bất phương trình hệ, ta xác đònh miền nghiệm chúng hệ trục toạ độ - Miền lại không bò gạch miền nghiệm hệ cho IV ÁP DỤNG VÀO BÀI TỐN KINH TẾ Giải số tốn kinh tế thường dẫn đến việc xét hệ bất phương trình bậc hai ẩn giải chúng Loại toán nghiên cứu ngành toán học có tên gọi Quy hoạch tuyến tính B BÀI TẬP Dạng 1: Các toán liên bất phương trình bậc hai ẩn Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình 2x + y ≤ Lời giải Vẽ đường thẳng Lấy gốc tọa độ có 2.0 + < ∆ : x + y = O ( 0;0 ) , ta thấy O∉∆ nên nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa độ O ∆ miền nghiệm bất phương trình cho (miền khơng bị tơ đậm hình) Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình Lời giải Trước hết, ta vẽ đường thẳng ( d ) : −3x + y + = −3 x + y + ≤ Ta thấy ( ; 0) khơng nghiệm bất phương trình Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ Ví dụ Biểu diễn hình học x + + 2(2 y + 5) < 2(1 − x) tập ( d) nghiệm không chứa điểm bất ( ; 0) phương trình Lời giải Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề cho thành 3x + y + 11 < Ta vẽ đường thẳng Ta thấy ( ; 0) ( d ) : 3x + y + 11 = không nghiệm bất phương trình Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng (không kể bờ điểm ( d) ) không chứa ( ; 0) Ví dụ Biểu diễn hình ( 1+ ) x − ( 1− ) y ≥ học tập nghiệm Lời giải bất phương trình Trước hết, ta vẽ đường thẳng Ta thấy ( ; 0) ( d ) : (1+ ) ( ) x − − y = không nghiệm bất phương trình cho ( d) Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm ( ; 0) Dạng 2: Các toán liên hệ bất phương trình bậc hai ẩn Ví dụ Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình Lời giải Vẽ đường thẳng 3 x + y ≤ x + y ≤   x ≥   y ≥ d1 : 3x + y = d2 : x + y = ( Oy ) ( Ox ) d2 : x = d2 : y = Vì điểm M ( 1;1) có tọa độ thỏa mãn tất bất phương trình hệ nên ta tô đậm nửa mặt phẳng bờ chứa điểm cạnh M ( d1 ) , ( d ) , ( d3 ) , ( d ) OCIA Miền khơng bị tơ đậm (hình tứ giác AI , IC , CO, OA kể bốn ) hình vẽ miền nghiệm hệ cho Ví dụ Tìm miền nghiệm hệ bất phương trình Lời giải Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: ( d1 ) : x − y = ( d2 ) : x + y = −3 ( d3 ) : x + y = 10 x − 3y <   x + y > −3 y + x <  không Giả sử gia đình mua x (kg) thịt bò y (kg) thịt lợn (x, y≥ 0) Khi chi phí mua x (kg) thịt bò y (kg) thịt lợn T = 45x + 35y (nghìn đồng) Theo giả thuyết, x y thỏa mã điều kiện x ≤ 1,6; y ≤ 1,1 Khi lượng prơtêin có 80% x + 60%y lượng lipit có 20%x + 40%y Vì gia đình cần 0,9kg chất prơtêin 0,4kg chất lipit thức ≥ ăn ngày nên điều kiện tương ứng 80%x + 60%y 0,9 ≥ ≥ ≥ 20%x +40%y 0,4 hay 4x + 3y 4,5 x + 2y Vậy x,y thỏa mãn hệ bất phương trình: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,1    x + y ≥ 4,5  x + y ≥ (*) Khi tốn trở thành : Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm (x = x0 ; y = y0 ) cho T= 45x + 35y nhỏ Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa mãn (*) Miền nghiệm hệ (*) miền bên tứ giác lồi ABCD biên (như hình vẽ) 16 y D A (1.6,1.1) (0.3,1.1) C (0.6,0.7) 0.5 B (1.6,0.2) x O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 T đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD A(1, ;1,1), B(1, ;0, 2), C(0, ;0,7), D(0,3 ;1) Ta có: Kiểm tra x=0,6 ; y=0,7 T = 51,5 (nghìn đồng) nhỏ Vậy gia đình mua 0,6kg thịt bò 0,7kg thịt lợn chi phí Cụ thể phí 51,5 nghìn đồng Ví dụ 10 : Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp vitamin A vitamin B thể người Kết sau: Một người ngày tiếp nhận khơng q 600 đơn vị vitamin A không 500 đơn vị vitamin B Một người ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin A lẫn B Do tác động phối hợp hai loại vitamin, ngày, số đơn vị vitamin B khơng số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin A Giá đơn vị vitamin A đồng, giá đơn vị vitamin B 7,5 đồng Tìm phương án dùng loại vitamin A B thỏa mãn điều kiện để số tiền phải trả Giải (x, y≥ 0) Gọi x, y số đơn vị vitamin A B dùng ngày 17 Vì giá đơn vị vitamin A đồng, giá đơn vị vitamin B 7,5 đồng nên C = x + 7,5 y số tiền cần phải trả 0 ≤ x ≤ 600 0 ≤ y ≤ 500  400 ≤ x + y ≤ 100   x < y ≤ 3x  Theo giả thuyết ta có: (*) Khi tốn trở thành : Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm cho C = x + 7,5 y (x = x0 ; y = y0 ) nhỏ Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa mãn (*) y F 500 E (500,500) (500/3,500) 400 D(600,400) C A 300 (100,300) (600,300) 200 B (800/3,400/3) 100 x O 100 200 300 400 500 600 Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ giác ABCDEF kể miền tứ giác bỏ cạnh BC với :  800 400   500  A(100;300), B ; ;500 ÷ ÷,C(600;300), D(600;400), E(500;500), F      Biểu thức C = x + 7,5 y đạt giá trị nhỏ nhất đỉnh A, D, E, F ngũ giác ABCDE Khi đó, ta thấy C đạt giá trị lớn x = 100, y = 300.Khi C = 3150 18 Vậy phương án tốt dùng 100 đơn vị vitamin A 300 đơn vị vitamin B Chi phí ngày 3150 đồng Ví dụ 11 : Có nhóm máy A, B, C dùng để sản suất hai loại sản phẩm I II Để sản suất đơn vị sản phẩm loại phải dùng máy thuộc nhóm khác Số máy nhóm số máy nhóm cần thiết để sản suất đơn vị sản phẩm thuộc loại cho tương ứng bảng sau: Nhóm Số máy nhóm A B C Số máy nhóm để sản suất đơn vị sản phẩm Loại I Loại II 2 2 10 12 Mỗi đơn vị sản phẩm loại I lãi nghìn đồng, đơn vị sản phẩm loại II lãi nghìn đồng Hãy lập phương án để việc sản suất hai sản phẩm có lãi cao Giải (x, y≥ 0) Gọi x, y số đơn vị sản phẩm thuộc loại I II Khi tổng số tiền lãi x đơn vị sản phẩm loại I y đơn vị sản phẩm loại II L = 3000x+ 5000y Theo gia thuyết, ta có: 2 x + y ≤ 10 x+ y≤ 2 y ≤ y≤   ⇔  2 x + y ≤ 12 x+ 2y≤  x, y ≥  x, y ≥ Khi tốn trở thành : 19 (*) Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm (x = x0 ; y = y0 ) cho L = 3000x + 5000y lớn Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa mãn (*) Miền nghiệm hệ (*) miền bên ngũ giác lồi OABCD biên (như hình vẽ) y (0,2) C (2,2) D 1.5 B (4,1) 0.5 x A O (5,0) L đạt giá trị lớn đỉnh ngũ giác OABCD Ta có O(0;0), A(5;0), B(4;1), C(2; 2), D(0; 2) Kiểm tra x = 4; y = L = 17000 đồng lớn Vậy kế hoạch tốt sản suất đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II tổng số tiền lời lớn cụ thể 17000 đồng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Chi phí nhiên liệu tàu chia làm hai phần Trong phần thứ khơng phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương vận tốc, v=10km/ h phần thứ hai 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nhiên liệu 1km nhỏ nhất? Bài Từ khúc gỗ hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vng miếng phụ hình vẽ Hãy xác định kích thước miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang nhỏ nhất? 20 Bài Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích 8a Nếu trồng đậu cần 20 công thu 3000000 đồng diện tích a, trồng cà cần 30 cơng thu 4000000 đồng diện tích a Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công không 180? Bài Một xưởng sản suất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần kg nguyên liệu 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xưởng có 200kg nguyên liệu 1200 làm việc Nên sản suất loại sản phẩm để mức lời lớn nhất? Bài Một máy cán thép sản suất hai sản phẩm thép thép cuộn với công suất cho loại (nếu sản xuất sản phẩm): thép 250 tấn/giờ, thép cuộn 150 tấn/giờ Lợi nhuận bán sản phẩm là: thép 25 USD/tấn, thép cuộn 30 USD/tấn Theo tiếp thị, tuần tiêu thụ tối đa 5000 thép 3500 thép cuộn Biết máy làm việc 40 tuần Cần sản xuất loại sản phẩm tuần để có lợi nhuận cao Bài Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio hai dây chuyền độc lập Công suất dây chuyền 45 radio/ngày dây chuyền hai 70 radio/ngày Để sản xuất radio kiểu cần 12 linh kiện điện tử E, radio kiểu hai cần linh kiện Số linh kiện cung cấp ngày không 1000 Tiền lãi bán radio kiểu 250.000 (đồng) 21 kiểu hai 180.000 (đồng) Hãy lập kế hoạch sản xuất cho lãi nhiều ngày Bài Một hộ nông dân định trồng đậu cà diện tích đậu cần 20 công thu công thu 4.000.000 3.000.000 đồng 100 đồng 100 800 m2 Nếu trồng m2 trồng cà cần 30 m2 Hỏi cần trồng loại diện tích để thu nhiều tiền tổng số công không 180 Bài Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade vòng tay vòng đeo cổ Mỗi vòng tay làm giờ, bán 40 ngàn đồng Mỗi vòng đeo cổ làm giờ, bán 80 ngàn đồng Mỗi tuần bạn An bán khơng q 15 vòng tay vòng đeo cổ Tính số tối thiểu tuần An cần dùng để bán 400 ngàn đồng? Bài Một xưởng khí có hai cơng nhân Chiến Bình Xưởng sản xuất loại sản phẩm II bán lãi 400 làm việc phẩm II I II I Mỗi sản phẩm bán lãi 500 nghìn đồng, sản phẩm nghìn đồng Để sản xuất sản phẩm giờ, Bình phải làm việc Chiến phải làm việc I Chiến phải Để sản xuất sản giờ, Bình phải làm việc Một người làm đồng thời hai sản phẩm Biết tháng Chiến làm việc q 220 180 Bình khơng thể làm việc Tính số tiền lãi lớn tháng xưởng Bài 10 Một gia đình cần 900 đơn vị protein thức ăn ngày Mỗi kiogam thịt bò chứa 22 800 400 đơn vị lipit đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 1, gia đình mua nhiều 160 thịt bò 400 đơn vị lipit Biết 1,1 kg thịt bò nghìn đồng, kg thịt lợn 110 kg thịt lợn Giá tiền kg x y nghìn đồng Gọi , x y số kg thịt bò thịt lợn mà gia đình cần mua Tìm , để tổng số tiền họ phải trả mà đảm bảo lượng protein lipit thức ăn? Bài 11 Một hộ nông dân định trồng dứa củ đậu diện tích tích 8ha Trên diện , trồng dứa cần 20 cơng thu triệu đồng, trồng củ đậu cần 30 cơng thu triệu đồng Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền nhất, biết tổng số công không 180 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế nước cam nước táo ● Để pha chế lít nước cam cần 30 g đường, lít nước g hương liệu; ● Để pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để đạt số điểm thưởng cao nhất? A C lít nước cam lít nước cam lít nước táo B lít nước táo D lít nước cam lít nước cam lít nước táo lít nước táo Câu Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm ● Mỗi kg sản phẩm loại I cần kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; ● Mỗi kg sản phẩm loại II cần kg nguyên liệu 15 giờ, đem lại mức lời 23 30 nghìn Xưởng có 200 kg ngun liệu 1200 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất? A C 30 30 kg loại I kg loại I 40 20 kg loại II B kg loại II D 20 kg loại I 25 kg loại I 40 45 kg loại II kg loại II Câu Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp hai loại Vitamin A B thu kết sau: Trong ngày, người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin A vị vitamin A lẫn B tiếp nhận không 600 đơn không 500 đơn vị vitamin B Do tác động phối hợp hai loại vitamin nên ngày người sử dụng số đơn vị vitamin nửa số đơn vị vitamin A A B khơng khơng nhiều ba lần số đơn vị vitamin Tính số đơn vị vitamin loại để người dùng ngày cho chi phí rẻ nhất, biết đơn vị vitamin vitamin B A có giá đồng đơn vị có giá 7,5 đồng A B C D 600 600 500 100 đơn vị Vitamin đơn vị Vitamin đơn vị Vitamin đơn vị Vitamin A 400 , A 300 , A 500 , A 300 , đơn vị Vitamin đơn vị Vitamin đơn vị Vitamin đơn vị Vitamin B B B B Câu Cơng ty Bao bì Dược cần sản xuất loại hộp giấy: đựng thuốc B 1, đựng cao Sao vàng đựng "Quy sâm đại bổ hoàn" Để sản xuất loại hộp này, cơng ty dùng bìa có kích thước giống Mỗi bìa có hai cách cắt khác 24 • • Cách thứ cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Cách thứ hai cắt hộp B1, hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có 900 hộp, số hộp B tối thiểu 900 hộp, số hộp cao vàng tối thiểu 1000 hộp Cần phương án cho tổng số bìa phải dùng nhất? A Cắt theo cách x−2