Bài tập xác xuất thống kê phần 2

Vậy giá trị EX chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhị thức.. X là số lần xuất hiện thành côngtrong n phép thử Bernoulli và là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân ph

Trong đó q(X) có phân phối đều trên mọi khoảng thuộc [−4 d ; 4 d] theo ví dụ 3.19

 Xét trong khoảng [−4 d ;−3 d): q(X) ánh xạ vào điểm −7 d2 , do đó:

Bài 66.

a Tìm kỳ vọng và phương sai cảu biến ngẫu nhiên nhị thức

Gọi X là biến ngẫu nhiên nhị thức S X = {0,1,2,…,n}

1 1 1

np n kn

n

k n k n

1 2 n

X   I I   I

Nghĩa là X là tổng của các biến ngẫu nhiên Bernoulli tương ứng với mỗi phép thử trong n phép thử độc lập Vậy suy ra

E(X) = E(I1) + E(I2)+…+E(In) = p + p + … + p = np

Vậy giá trị E(X) chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhị thức X là số lần xuất hiện thành côngtrong n phép thử Bernoulli và là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân phối

Bài 67.

a, Biến ngẫu nhiên poisson: P x =

α x e=α

x! S x = (0,1,2,3…)Biến ngẫu nhiên rời rạc kỳ vọng là:

2 2

2

1

.2

2 2

E[Y] = aE[X] + b ⇒ E[X + b] = 1*E[X] + b

⇒ VAR[Y] = E[Y 2 ] – E[Y] 2

Cho Y A cosωtt c, ở đây A có kỳ vọng m và phương sai σ2, và ωt và c là các hằng số Tìm

kỳ vọng và phương sai của Y

Chi phí cho n lần tung là : nd $

Chi phí cho X lần ngửa là aX 2+bX

Chi phí cho n-X lần xấp là nd – ( aX 2+bX )

 Kì vọng cho tổng chi phí :

)][][

2

X E X E

f Y(y)={ f X(−a)n ế u X ←a

f X(y)n ế u−a ≤ X ≤ a 1−f X(a)n ế u X >a

Kỳ vọng của giới hạn tử được xỏc định:

Hàm của C biến ngẫu nhiên 

ϕ=h ( x ) = ¿ { X+a nếu X≤-a ¿¿¿¿

Biến cố { ϕ≤ y } xảy ra khi { x+a≤ } hay { X ≤ y−a } với y  0

Biến cố { ϕ≤ y } xảy ra khi { X −a≥ y } hay { X ≥ y+a } với y  0

Vậy F ϕ ( y ) = ¿ { F X ( y−a ) nếu y≤0 với x ≤-a ¿¿¿¿

F ϕ ( y ) = ¿ { 0 nếu y<0 với n≥a ¿¿¿¿

Lấy đạo hàm theo y ta đợc

{ f ϕ ( y ) = f x ( y−a ) , y≤0 nếu x≤-a ¿¿¿¿

Khi đó giá trị kỳ vọng của hàm thống nhất đợc xác định

E [ ϕ ] = ∫

−∞

0( y+a ) fX( y−a ) dy

VAR [ ϕ ] = E [ ϕ2] − E [ ϕ ]2= ∫

−∞

0( y+n )2fx( y−a ) dy− ∫

−∞

0( y+a )2f2x( y−a ) dy

( y−a )2fx2( y−a ) dy

Xác suất chính xác của biến ngẫu nhiên đều trên khoảng (-b,b)

+b ]

1

2 πe−x2

2

Cho X là số lần thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p Như vậy

X là biến ngẫu nhiên nhị thức

Điều gì sẽ xảy ra nếu n  

Áp dụng luật số lớn Trê –bư-sép

a2 ; (Với δ2 là phương sai)

Mà theo biến m – Erlang

f x (x) =

λ.( λt ) x e−α.t

(α ) => E[X] =

α λ

m-Erlang là trường hợp khi biến Game với α =m

Vậy P (|Y - E [X]| ¿ a) ¿

m2

λ2 a2

Bài 85.

Kiểm tra mức phự hợp tốt của số liệu giữa cỏc lần đếm được giới thiệu ở BT 11 Chương 1 với biến ngẫu nhiờn mũ tới mức cú nghĩa 5%

+ Lấy đạo hàm hai lần ta có:

Φx } } left (ω right )= left ( - σ rSup { size 8{2} } right ) ω right )= left (ω right )= left ( - σ rSup { size 8{2} } right ) - σ rSup { size 8{2} } right ) e rSup { size 8{ ital jmω - σ rSup { size 6{2} } ω rSup { size 6{2} } /2} } +e rSup { ital jmω - σ rSup { size 6{2} } ω rSup { size 6{2} } /2} size 12{ left (ω right )= left ( - σ rSup { size 8{2} } right ) ital jm - 2σ rSup {2} size 12{ω/2} right ) rSup {2} }} {¿¿

¿

Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Gauss với việc dùng định lý

moment cho hàm đặc trưng cho trong Bảng 3.2

Hàm đặc trưng: Φ X(x)=e iwm− σ

2

w2 2

Φ X ' (w)=(ℑ−σ2w)e iwm− σ

2

w2 2

+(ℑ−σ2w)2e iwm− σ

2

w2 2

k k

1

Phép biến đổi Laplace

0 0

( ) ( )

t T T

0 ≤ t<1

−e−t 1 ≤ t<10 (99−10 t ) e 99 t −5 t2t ≥ 10

a, Vì hệ thống có 3 thành phần độc lập với nhau và chỉ cần 2 thành phần chạy là hệ thống chạy nên:

+ trường hợp cả 3 thành phần đều chạy

b, nếu một trong các thành phần có kì vọng là 2 thì:

+ có 3 cách chọn thành phần có kì vọng là 2 giả sử ta chọn R3

- Th1: cả 3 thành phần đều chạy Rht1 = R2R3

- Th2: chỉ có 2 thành phần giống nhau chạy Rht2 = R2(1 –R3)

- Th3: chỉ có thành phần thứ 3 và 1 trong 2 thành phần còn lại chạy

Các thành phần của hệ thống bị hỏng một cách độc lập với nhau nên ta có:

Độ tin cậy của hệ thống:

=e−t2 /2 α 2

e−πt2 /16

Thời gian hỏng trung bình:

e−πt2 /16

dt¿

Bài 110:

Tìm độ tin cậy và thời gian trung bình hỏng của hệ thống :

a Thời gian sống trung bình của bộ xử lý là biến ngẫu nhiên mũ với kì vọng 5

Tìm phương pháp tạo ra biến ngẫu nhiên laplace X

Ta dung phương pháp đổi biến để tạo ra biến ngẫu nhiên laplace X

Biến ngẫu nhiên laplace

f x  e 



nếu x  0nếu x < 0

0 0

x x

1 2

x

Y

x

p e

0 0

x x



Giả sử rằng U là biến ngẫu nhiên phân phối đều [0,1]

Với x < 0

U =   1

2

x Y

p

ln1

U =

12

p U p

Nếu 0 ¿n≤5 => theo biến ngẫu nhiên nhị thức E[X] =n.p=6.1/2=3,5

Tương tự khi giảm theo thứ tự của xác suất thì E[X] = 2,38

Vậy khoảng được sinh ra có độ dài tuân theo hàm xác suất

b Giả sử đồng xu được tung hai lần và dãy xuất hiện mặt sấp ngửa được quan trắc Tìm entropy của kết cục

Ta có theo bài 129 xu A có P[ngửa] = 1/10 , xu B có P[ngửa] = 9/10

Ta có mặt ngửa xuất hiện trong lần tung thứ k



Bài 131

Kênh truyền thông I = {0,1,2,3,4,5,6}

Khi đó theo định nghĩa entropy

H x = E[I(x)] = 1

1.ln

=> Hx = P[x=4].log2P[x=4] = =

-1

7 log2

17

[X;Y]=-ln 0

H

n

Bài 138

X là BNN đều trên [-a, a] Biến cố A là {X dương}

Giả sử chia [-a, a] thành K khoảng con độ dài Δ, K chẵn

Q(X) là trung điểm của khoảng con chứa X x k là trung điểm khoảng con thứ k

Do entropy là độ đo sự bất định trong phép thử ngẫu nhiên , nó xác định độ bất định qua lượng thông tin cần thiết để mô tả kết cục của thí nghiệm ngẫu nhiên

⇒ H X

H Y=

12

1 1

212

412

812

1612

3212

6412

12812

3=I ( X=2)

Do phải mất 2 phút để kiểm tra một sản phẩm nên suy ra hàm phân phối xác xuất là