Bài tập xác xuất thống kê phần 1

Bài a: Khơng gian mẫu Sx={hóa đơn $1,hóa đơn $5, hóa đơn $50} b: Tập hợp A A={2,4,6} c: Tập hợp Ac Ac={1,2,3} Ac=1-A Bài Một nguồn thông tin sản sinh ký tự S = {a , b, c, d, e} Hệ thống nén số mã hóa chữ thành dãy nhị phân sau a1 b 01 c 001 d 0001 e 0000 Với Y biến ngẫu nhiên độ dài dãy nhị phân đầu hệ thống ta có khơng gian mẫu SY = { , , , 4} Ta có giá trị xác suất điểm P[Y = 1] = p(a) = ½ P[Y = 2] = p(b) = ¼ P[Y = 3] = p(c) = 1/8 P[Y = 4] = P[Y = 5] = p(d) + p(e) = 1/16 + 1/16 = 1/8 Bài a Không gian mẫu Sy={1,3,5… ,n} với n lẻ Sy={0,2,4,… ,n} với n chẵn b Gọi Z biến cố tương đương với {Y=0} Z : Sz  S ∈ Sz w  S(z) =  Z biến cố số lần xuất mặt sấp ngửa c W : Sw  S ∈ Sw w  W(w) q=1/2 8!     P ( x = 0) = P ( x = 8) = C p q =     = 3,9.10 −3 8!.0!     8 P( x = 1) = P ( x = 7) = C8 p q = 8!     1!.7!   1   = 31,25.10 −3 2 8!     P( x = 2) = P( x = 6) = C p q =     = 109,375.10 −3 2!.6!     8!     P( x = 3) = P ( x = 5) = C p q =     = 218,75.10 −3 3!.5!     4 8!     P( x = 4) = C p q =     = 273,4375.10 −3 4!.4!     Đồ thị : 4 Với p = 9/10 => q = 1/10 P ( x = 8) = C80 p q = 8!     0!.8!  10  1   = 0,43  10  8!     P ( x = 7) = C p q =     = 0,383 7!.1!  10   10  8!     P( x = 6) = C p q =     = 0,149 6!.2!  10   10  8!     P( x = 5) = C p q =     = 0,033 5!.3!  10   10  P ( x = 4) = C84 p q = 8!     4!.4!  10  4 1   = 4,59.10 −3  10  8!     P ( x = 3) = C p q =     = 4,1.10 −4 3!.5!  10   10  8!     P ( x = 2) = C p q =     = 2,268.10 −5 2!.6!  10   10  8!     P ( x = 1) = C p q =     = 0,72.10 −6 1!.7!  10   10  8 P( x = 0) = C8 p q = 8!     8!.0!  10  1   = 10 −8  10  Đồ thị : Bài 12: Vì U biến ngẫu nhiên phân phối khoảng [-1;1] nên: P[U] = P[U-0] = P[U+0] P[U>0] = P[00 (*) α λ nµ α Ta có số lệnh chờ thực thi cho tham số = λ Với = số lệnh trung bình đến ngày µ = số lệnh cần thực thi nhân viên ngày n số nhân viên λ ⇒n= = αµ α Ta có với lệnh chờ ⇒ k ≥ p xác suất cho có lệnh chờ nhỏ 90% k Giả sử ta lấy với k =4 = 0,9 α e 4! −α Thay số vào (*) ta 0,9 = ⇒α (khó q khơng tìm giá trị α ) + Đối với xác suất khơng có lệnh chờ p α =0 k Thì =1 Bài 42 Phân vị thứ r, π(r), biến ngẫu nhiên X định nghĩa: P[X ≤ π(r)] = r 100 a) Tìm phân vị 90%, 95% 99% biến ngẫu nhiên mũ với tham số λ Ta có: FX = {1−e0nếnếux => f X (x) 2π e − x2 hàm đối xứng x f X (x) f X (− x) = Ta lại có : F X ( x) = P ( X ≤ x) = P{x ∈ (−∞ , x]} FX (− x) = P ( X ≤ − x) = P{− x ∈ ( −∞ ,− x]} Do Mà : f X (x) f X (− x) = nên P{− x ∈ (−∞ ,− x ]} = P{x ∈ [ x,+∞ )} P{x ∈ ( −∞ ,+∞ )} = = P{x ∈ ( −∞ , x)} + P{x ∈ ( x,+∞ )} ⇔ = F X ( x) + F X (− x) = − Q( x) + − Q(− x) ⇔ Q(− x) = − Q( x)⇒ đfcm Bài 44 Tính xác xuất Gauss Ta có hàm phân phối F(x) biến ngẫu nhiên chuẩn x−m P[X x] = √2π ∫ e d t = ( σ ) ¿ a, X k σ ] với k = 1, 2, 3, 4, P[ X > m+k σ ] với k = 1.28, 3.09, 4.26, 5.20 σ Trường hợp với X > k σ P[X > k + m] = - P[X < k = = Q(k) Trường hợp với X < -k P[X < - k σ +m 1−Φ ( k σ σ k −t2 + m] = - ∫e d 2π −∞ √ t ) +m −k −t2 + m] = ∫e d √2π −∞ t = Q(-k) = - Q(k) (do tính đối xứng hàm mật độ) K= → Q(1) = 0.159 Q(-1) = 0.841 K= → Q(2) = 0.0228 Q(-2) = 0.9772 K= → Q(3) = 0.00135 Q(-3) = 0.99865 K= → Q(4) = 3.17E -5 Q(-4) = 0.9999683 K= → Q(5) = 2.87E -7 Q(-5) = 0.999999713 Theo bảng 3.4 ta có: K= 1.28 → K= 3.09 → Q(3.09) = E -3 K= 4.26 → Q(4.26) = E -5 K= 5.20 → Q(5.20) = E -7 Q(1.28) = E -1 Bài 45: BNN N BNN Gauss N (0;1) có hàm phân phối: ∀xϵR x −t2 N=Φ(x)= ∫ e dt √2π −∞ ν+N≥0 Để nơi nhận mắc lỗi gửi điện áp khơng âm, tức N≥−ν hay P[N≥−ν]=1−P[N8 t  P [ X < t ] = P  M > n  T  t = (1 − p) n t T t  α n T −α   T = 1 − ÷  → e = e −8  n     Bài 49: Biến ngẫu nhiên khi_bình phương f 1 α −1 − x ( x) e 2 ( x) = x Γ(α ) α −1 = e − x x α Γ(α ) 0 đpcm Bài 37 a Ta có b.P[N α = 15 ≥ 10 1? ?? => P[0]= 15 0 0! e ? ?15 − P[N < 10 ] = 1- e ]= ? ?15 = e15 = 0,306 10 −6  15 2 15 9  ? ?1 + 15 ! + 2!... P[ -1< U< = F[ − = ] + P[