Bài tập xác xuất thống kê hoàng bá mạnh NEU

Một người mua ngẫu nhiên 5 sản phẩm, tính xác suất để người đó mua được ít nhất 4 sản phẩm tốt Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Dạng 1: Quy luật phân phối xác su

BÀI TẬP XÁC SUẤT

Chương 1: Biến cố - xác suất biến cố

Dạng 1: Định lý cộng C A B

1 Một người gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để thu được mặt

có số chấm thu được không nhỏ hơn 4

2 Một thí sinh thi 2 trường đại học, một thuộc khối ngành Kinh tế và một thuộc khối

Kĩ thuật Xác suất để đỗ trường kinh tế là 0,7 còn đỗ trường kĩ thuật là 0,8 Xác suất thí sinh đỗ cả hai trường là 0,65 Tính xác suất để thí sinh này đỗ đại học

Dạng 2: Định lý nhân CAB

1 Có hai hộp, hộp thứ nhất có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, hộp thứ hai có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiền từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất để tìm thấy 3 chính phẩm

2 Một cuô ̣c thi, vòng 1 cho ̣n 70% thí sinh Vòng 2 cho ̣n 50% thí sinh đã qua vòng 1

Vòng 3 cho ̣n 30% thí sinh đã qua vòng 2

a Tính tỷ lê ̣ thí sinh qua cả 3 vòng

b Tính xác suất thí sinh bi ̣ loa ̣i ở vòng 1, biết thí sinh đó bi ̣ loa ̣i

3 Một nhà đầu tư trúng thầu 2 dự án A và B Xác suất thu được lãi của các dự án lần lượt là 0,55 và 0,6 Xác suất dự án A thu được lãi khi dự án B thua lỗ là 0,4 Tính xác suất để nhà đầu tư thu được lãi

Dạng 3: Công thức đầy đủ

1 Bộ đề thi 100 câu: 50 câu chương 1 và 50 câu chương 2 Giáo viên cho ̣n ngẫu nhiên

20 câu chương 1 và 30 câu chương 2 Mỗi sinh viên bốc thăm 1 câu trong 50 câu giáo viên đã cho ̣n biết sinh viên ho ̣c 30 câu chương 1 và 40 câu chương 2 Tính xác suất để sinh viên trả lời đúng câu hỏi của mình

2 Tỉ lệ phế phẩm trong 1 nhà máy là 8% Sản phẩm được kiểm tra chất lượng bằng máy, máy có độ chính xác 95% với chính phẩm và 97% với phế phẩm Tìm tỉ lệ sản phẩm bị máy kết luận sai

3 Hộp thứ nhất chứa 7 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng Hộp thứ 2 chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2 viên bi vàng Chuyển 1 viên bi từ hộp 1 sang hộp 2 Sau đó lấy mỗi hộp ra 1 viên bi.Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi

đỏ

Dạng 4: Công thức bayes

1 Một hộp gồm 5 chi tiết máy, có 2 chị tiết đạt chất lượng loại I, có 3 chi tiết đạt chất lượng loại II Xác suất để các chi tiết loại I và loại II sau một năm sử dụng không bị hỏng tương ứng là 0,9 và 0,8 Người ta lấy ngẫu nhiên 2 chi tiết trong hộp ra sử dụng

a Tính xác suất để sau 1 năm sử dụng chỉ có 1 chi tiết không bị bị hỏng

b Biết rằng sau 1 năm sử dụng không chi tiết nào bị hỏng Tính xác suất để đó là chi tiết loại II

2 Cho sản phẩm của máy A và B có số lượng bằng nhau, với A có 85% chính phẩm, B

có 75% chính phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong kho thì được 2 sản phẩm cùng loại Khả năng 2 sản phẩm đó của nhà máy nào cao hơn?

1 Có hai xạ thủ loại I và II, với khả năng bắn trúng mục tiêu là lần lượt 0,7 và 0,8 Chọn ngẫu nhiên 1 người rồi cho người đó bắn 5 viên

a Tính xác suất để có 3 viên trúng bia

b Khả năng xạ thủ bắn trúng 3 viên là loại nào cao hơn?

2 Một máy bay ném bom phải bay qua 3 phòng tuyến mới đến đc mục tiêu, xác suất mỗi phòng tuyến tiêu diệt máy bay là 0.8, giả sử máy bay bị rơi, tìm xác suất phòng tuyến 1 bắn rơi

3 Có 2 thùng hàng, thùng A có 80 sản phẩm loại I và 20 sản phẩm loại II Thùng B có

70 sản phẩm loại I và 30 sản phẩm loại II Kiểm tra bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 thùng Từ đó lấy ra 1 sản phẩm thì thấy đó là loại II

a Xác suất để đó là thùng A là bao nhiêu?

b Lấy tiếp từ thùng còn lại 1 sản phẩm Tìm xác suất để đó cũng là loại II

4 Một người đi qua 3 ngã tư có cột đèn giao thông Xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất là 0,4 Ở 1 ngã tư nào đó nếu gặp đèn đỏ thì xác suất không gặp đèn đỏ ở cột kế tiếp là 0,9; nếu không gặp đèn đỏ thì xác suất không gặp đèn đỏ ở cột kế tiếp là 0,7

a Xác suất để người đó đi qua 3 ngã tư mà không gặp phải đèn đỏ

b Tính xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở cột thứ 3 biết rằng người đó gặp 2 đèn

đỏ

5 Một lô hàng gồm 2 loại sản phẩm A, B với tỷ lệ như nhau Tỷ lệ phế phẩm của các sản phẩm lượt là 30% và 20% Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm

a Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm

b Biết rằng người đó lấy ra 1 phế phẩm và một chính phẩm, tính xác suất để phế phẩm của lô A

6 Một hội nghị có 60% nữ, 40% nam Trong số nữ, tỷ lệ có bằng đại học là 65% còn đối với nam là 70% Chọn ngẫu nhiên 2 người, thấy 1 người có bằng đại học Tính xác suất để người đó là nữ

7 Trong một đợt thi văn nghệ có 2 tiết mục của sinh viên năm nhất, 4 tiết mục của sinh viên năm hai và 6 tiết mục của sinh viên năm ba

a Ban tổ chức trao giải thưởng cho 4 tiết mục Tính xác suất để cả 3 khóa đều có giải thưởng

b Nếu ban tổ chức trao giải cho 6 tiết mục Tính xác suất để cả 3 khóa đều có giải thưởng là bao nhiêu?

8 Hai công ty A và B cùng kinh doanh một loại mặt hàng Xác suất để công ty A và B

có lãi lần lượt là 0,75 và 0,65 Xác suất để chỉ có công ty A có lãi là 0,2 Tính xác suất để công ty A có lãi trong điều kiện công ty B có lãi

9 Một lô hàng có tỷ lệ sản phẩm tốt đạt 75%, tỷ lệ sản phẩm xấu là 25% Trước khi đưa ra thị trường người ta sử dụng một thiết bị kiểm tra để loại sản phẩm xấu Thiết

bị kiểm tra có độ chính xác với sản phẩm tốt là 90%, với sản phẩm xấu là 99%

a Tính tỉ lệ sản phẩm của lô hàng không được đưa ra thị trường

b Tính tỉ lệ sản phẩm tốt trên thị trường

c Một người mua ngẫu nhiên 5 sản phẩm, tính xác suất để người đó mua được ít nhất 4 sản phẩm tốt

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Dạng 1: Quy luật phân phối xác suất và các tham số

1 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:

c Tính xác suất để X nhận giá trị trong 0;

3 Lợi nhuận một tháng (triệu đồng) khi đầu tư 200 triệu vào cổ phiếu của công ty A được cho trong bảng sau:



 (k > 0)

a Tìm k và tính tuổi thọ trung bình của loại bóng này

b Một người mua ngẫu nhiên 5 bóng đèn Tính xác suất để có 3 bóng phải bảo hành Biết bóng phải bảo hành nếu tuổi thọ không quá 0,1 năm

c Tính xác suất để bóng có tuổi thọ lớn hơn 1,5 năm biết bóng đó không phải bảo

hành

2 Lợi nhuận (nghìn đồng) 1 ngày của một cửa hàng bán hoa được cho trong bảng

a Tính a, b biết rằng lợi nhuận trung bình của cửa hàng là 152 500 đồng/ngày

b Tính xác suất để cửa hàng thu được lợi nhuận trên 140 000 đồng/ngày.Tính rủi

độ rủi ro của cửa hàng bán hoa

c Tính xác suất để trong 5 ngày bán hàng liên tiếp thì có ít nhất 3 ngày cửa hàng thu được lợi nhuận vượt mức trung bình Giả sử lợi nhuận mỗi ngày độc lập nhau

c Tính xác suất để trong 5 phép thử độc lập, có tối thiểu 3 lần X nhận giá trị trong khoảng 0,3;0,7

2 Một đề thi gồm 3 câu hỏi với thang điểm câu 1,2,3 lần lượt là 2 điểm, 4 điểm, 4 điểm Xác suất thí sinh trả lời đúng câu 2 điểm và câu 4 điểm lần lượt là 0,6 và 0,7 Lập bảng phân phối xác suất của số điểm đạt được của một thí sinh Giả thiết việc trả lời các câu hỏi độc lập với nhau

3 Lương hàng năm (nghìn USD) của nhân viên một công ty lớn là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất như sau:





x

x c là hằng số

a Tính c và lương trung bình của nhân viên công ty

b Tính tỷ lệ nhân viên của công ty này có lương cao hơn mức trung bình của cả công ty

c Tính xác suất để một nhân viên có lương hàng năm đạt trên 10 000 USD biết lương của nhân viên này thấp hơn mức trung bình của công ty

4 Nhu cầu hàng ngày về một loại hàng hóa ở một khu vực là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:

Mỗi kg hàng hóa trên mua vào với giá 15 nghìn đồng và bán ra với giá 25 nghìn đồng, nếu cuối ngày bị ế phải bán hạ giá là 10 nghìn đồng thì mới hết hàng Nếu một người kinh doanh loại hàng hóa trên thì nên nhập về 52 kg hay 54 kg để tiền lãi trung bình thu được sẽ là cao hơn

5 Một công ty cần tuyển 3 nhân viên Có 10 người nộp đơn trong đó có 6 nam và 4 nữ Khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau

a Gọi Y là số nam đưcọ chọn Lập bảng phân phối xác suất của Y Tính E(Y), V(Y)

b Tính xác suất để có hai nam được chọn biết rằng có ít nhất 1 nam được chọn

6 Nhu cầu hàng ngày về một loại hàng hóa ở một khu vực là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:

Xác suất 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1 Nếu mỗi kg hàng hóa trên mua vào với giá 20 nghìn đồng và bán ra với giá 40 nghìn đồng, nếu cuối ngày bị ế phải bán hạ giá là 10 nghìn đồng mới hết hàng Nếu một người kinh doanh loại hàng trên thì nên nhập về 42 kg, 44kg hay 45kg để thu được lợi nhuận trung bình cao nhất

7 Theo dõi lãi suất sau một tháng đầu tư vào công ty A trong một số tháng ta có số liệu sau:

a Biết rằng lãi suất trung bình hàng tháng là 2,5 Tính a, b

b Chọn 6 tháng bất kì, tính xác suất không có tháng nào lãi suất dưới mức trung bình Coi lãi suất các tháng độc lập nhau

8 Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm và 6 chính phẩm Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm để điều tra cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm phải lấy ra Trung bình phải lấy ra bao nhiêu sản phẩm?

Chương 3: Một số quy luật phân phối thông dụng

Dạng 1: X ~B n p ;

1 Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 8% Kiểm tra ngẫu nhiên 10 sản phẩm

a Số phế phẩm tuân theo quy luật nào?

b Trung bình có bao nhiêu phế phẩm trong 10 sản phẩm được kiểm tra?

c Số phế phẩm có khả năng xuất hiện nhất?

2 Tỷ lệ nam sinh của một trường là 45% Phỏng vấn ngẫu nhiên 50 bạn Tính xác suất

để gặp được ít nhất 20 bạn nam

3 Sản phẩm của một nhà máy được sản xuất qua 3 công đoạn độc lập nhau Xác suất

để sản phẩm có khuyết tật ở các công đoạn lần lượt là 0,15; 0,1 và 0,06

a Tìm tỉ lệ sản phẩm có khuyết tật của nhà máy

b Nếu kiểm tra ngẫu nhiên 3 sản phẩm của nhà máy thì số sản phẩm bị khuyết tật phân phối theo quy luật nào? Xác suất có 2 sản phẩm bị khuyết tật bằng bao nhiêu?

b Tìm kì vọng toán và phương sai của X

c Tính xác suất để trong kết quả của phép thử, X nhận giá trị trong 0,1; 1

d Trong 5 phép thử độc lập, trung bình có bao nhiêu lần X nhận giá trị trong 0,1; 1

2 Tuổi thọ X (năm) của một loại bóng đèn là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất:

a Thời gian bảo hành là 0,2 (năm) Tính tỷ lệ bóng phải bảo hành

b Một khách hàng mua 5 bóng về dùng thì trung bình có bao nhiêu bóng phải bảo hành Số bóng phải bảo hành tuân theo quy luật nào?

c Giả sử bán mỗi bóng lãi 20 nghìn đồng, nhưng nếu phải bảo hành thì chi phí bảo hành là 200 nghìn đồng Tìm số tiền lãi trung bình khi bán 1 bóng đèn

a Tìm phương sai về chiều dài sản phẩm

b Một sản phẩm đạt chuẩn nếu chiều dài của nó sai lệch so với chiều dài trung bình không quá 4 cm Tính tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn

2 Tỷ suất lợi nhuận khi đầu tư vào một công ty là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với

tỷ suất lợi nhuận ngành nằm trong khoảng 4% 14%

c Tính xác suất để khi đầu tư vào một công ty thì tỷ suất lợi nhuận ít nhất là 8%

d Một người đầu tư vào 9 công ty trong ngành, với xác suất 90% thì tỷ suất lợi nhuận trung bình là bao nhiêu?

3 Tuổi thọ của một loại bóng đèn sản xuất hàng loạt là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với   1000giờ và   2 100(giờ)2

a Nếu thời gian bảo hành là 980 giờ, tính tỷ lệ bóng phải bảo hành

b Một khác hành ngẫu nhiên mua 5 bóng đèn Số bóng đèn có khả năng phải bảo hành nhất là

c Một cửa hàng đồ gia dụng nhập về 100 bóng đèn loại này Tính xác suất để cửa hàng nhập không quá 5 bóng phải bảo hành

4 Một cửa hàng bán 2 loại bóng đèn, loại I và II với tỷ lệ 70% và 30% Biết tuổi thọ của 2 loại bóng này là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình lần lượt

là 1000 giờ và 1070 giờ, độ lệch chuẩn đều bằng 50 giờ Một khách chọn ngẫu nhiên

1 bóng đèn Thời gian bảo hành đèn loại I là 960 giờ, loại II là 1000 giờ Tính:

a Xác suất để người đó người đó chọn được bóng đèn không phải bảo hành

b Biết rằng người đó chọn phải bóng phải bảo hành, tính xác suất người đó chọn bóng loại II

c Chọn một bóng loại I và một bóng loại II, tính xác suất để bóng loại I có tuổi thọ lớn hơn

5 Tuổi thọ của một loại sản phẩm do nhà máy A sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình 2000 giờ và độ phân tán là 160 (giờ)2

a Nếu thời gian bảo hành là 1980 giờ, thì tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành là?

b Nếu bán được mỗi sản phẩm lại 80 nghìn đồng nhưng nếu trong thời gian bảo hành mà sản phẩm bị hỏng thì chi phí bảo hành là 400 nghìn đồng/sản phẩm Tính tiền lãi trung bình khi bán 1 sản phẩm nếu thời gian bảo hành là 1980 giờ

c Muốn tiền lãi trung bình khi bán 1 sản phẩm là 70 nghìn đồng thì phải quy định thời gian bảo hành là bao lâu?

6 Lãi suất (%) khi đầu tư vào hai thị trường A và B là các biến ngẫu nhiên X và Y Cho

~ 10;16

X N , Y ~N 9;9 và Cov X Y ;  5 Một người đầu tư vào hai thị trường

A, B với tỷ lệ vốn tương ứng là 60% và 40%

e Lãi suất trung bình và rủi ro của phương án đầu tư này?

f Xác suất thu được lãi suất trên 12% bằng bao nhiêu?

7 Tuổi thọ một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 3 năm và độ lệch chuẩn là 0,5 năm

a Cần phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu năm để lợi nhuận trung bình khi bán một sản phẩm là 200 ngàn, biết rằng khi bán một sản phẩm lãi 300 ngàn nhưng nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì phải chi phí 1 triệu đồng cho việc bảo hành

b Một doanh nghiệp mua 150 sản phẩm thì trung bình sẽ có bao nhiêu sản phẩm

mà tuổi thọ không quá 3,5 năm

Chương 4: Biến ngẫu nhiên 2 chiều

Dạng 1: Lập bảng

1 Một đề thi gồm 3 câu hỏi, nếu trả lời đúng mỗi câu được 4 điểm, sai được 0 điểm Xác suất để thí sinh trả lời đúng mỗi câu hỏi đều là 0,4 Gọi X là số câu trả lời đúng của 1 thí sinh và Y là số điểm người đó đạt được Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y)

2 Một công ty đầu tư hai dự án A,B độc lập nhau, với lợi nhuận khi thành công tương ứng là 3 tỉ và 4 tỉ; nếu không thành công thì lợi nhuận bằng 0 Xác suất thành công của dự án A là 0,7 và của dự án B là 0,6 Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều (X;Y), với X là số dự án thành công, Y là tổng lợi nhuận đạt được

3 Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở ba nơi với xác suất bán được hàng mỗi nơi là 0,2 Nếu bán được hàng ở nơi thứ nhất và nơi thứ hai thì tiền lãi mỗi nơi

là 100 USD còn nếu bán được ở nơi thứ ba thì do hàng có chất lượng cao hơn nên lãi

5 Một doanh nghiệp đầu tư hai dự án A, B độc lập nhau với lợi nhuận thu được từ các

dự án nếu thành công tương ứng là 4 tỷ và 6 tỷ, nếu thất bại thì dự án A lỗ 1 tỷ và dự

án B lỗ 2 tỷ Xác suất doanh nghiệp đầu tư thành công các dự án đó lần lượt là 0,55

và 0,4 Gọi X là số dự án thành công và Y là tổng lợi nhuận thu được Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y)

Dạng 2: Dùng bảng

1 Lợi nhuận (triệu đồng) sau một năm đầu tư vào hai ngành A và B là các biến ngẫu nhiên X và Y ChoX Y;  có bảng phân phối xác suất đồng thời sau:

a Tính trung bình và phương sai của X và Y

b Tính trung bình và phương sai của lợi nhuận khi đầu tư vào ngành B khi lợi nhuận ngành A là 16 triệu đồng

c Tìm hệ số tương quan của X, Y và nhận xét kết quả thu được

d Khả năng để lợi nhuận ngành A cao hơn ngành B là bao nhiêu?

e Một người đầu tư vào cả hai ngành A và B theo tỷ lệ vốn 2:3 Tính lợi nhuận trung bình và mức độ rủi ro của phương án đầu tư này

2 Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có bảng phân phối xác suất:

Trong đó X, Y là lãi suất của 2 loại cổ phiếu A, B tương ứng

a Tính a và lãi suất trung bình của cổ phiếu A khi lãi suất của cổ phiếu B là 4%

b Giả thiết mức độ rủi ro của mỗi loại cổ phiếu được xác định bằng phương sai của lãi suất của chúng Nếu một người đầu tư 40% số tiền để mua cổ phiếu A

và 60% để mua cổ phiếu B thì mức độ rủi ro người đó gặp phải là bao nhiêu?

3 Lợi nhuận (triệu đồng) sau 1 năm đầu tư 100 triệu vào các ngành A và B là các biến ngẫu nhiên X và Y Cho (X,Y) có bảng phân phối xác suất:

BÀI TẬP ƯỚC LƯỢNG – KIỂM ĐỊNH Câu 1

a Kiểm tra 100 sản phẩm do công ty A sản xuất thì có 86 sản phẩm loại I Với độ tin cậy 0,95 hãy cho biết trong tổng thể 5000 sản phẩm của công ty A sẽ có tối thiếu bao nhiêu sản phẩm loại ?

b Kiểm tra 200 sản phẩm của công ty B sản xuất thì thấy có 180 sản phẩm loại I Có thể nói tỷ lệ sản phẩm loại một của công ty A ít hơn công ty B hay không? Với mức

Giả thiết tuổi thọ có phân phối chuẩn:

a Với độ tin cậy 95% ước lượng tối đa tuổi thọ trung bình của những người nghiện thuốc lá

b Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng độ phân tán về tuổi thọ của những người nghiện thuốc bằng 2 năm hay không?

a Có thể cho rằng quảng cáo trên là đúng hay không?

b Hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm tối thiểu của công ty này trên thị trường

Giả thiết trọng lượng gói sữa là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

a Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng sữa không bị đóng gói thiếu so với quy định?

b Hãy ước lượng độ lệch chuẩn về trọng lượng gói sữa với độ tin cậy 95%

Câu 5

Thu hoạch một số hecta lúa của tỉnh A thu được số liệu sau