GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐH KINH TẾ QD

2015 GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐH KINH TẾ QD- chương TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/21/2015 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải tập sách ‘‘Bài tập Xác suất Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD 07/2015 Bài tập có giúp đỡ SV K52, K53 Có nhiều chỗ sai sót mong góp ý : nnvminh@yahoo.com §1 Định nghĩa cổ điển xác suất Bài 1.1 Gieo xúc xắc đối xứng đồng chất Tìm xác suất để được: a Mặt sáu chấm xuất b Mặt có số chẵn chấm xuất Giải: a) Không gian mẫu {1,2, ,6} Gọi A=biến cố gieo xúc xắc mặt chấm Số kết cục đồng khả năng: n=6 Số kết cục thuận lợi : m=1 m =  P(A) = n b) Gọi B=biến cố gieo xúc xắc thí mặt chẵn chấm xuất m Tương tự ta có: P(B) = = = 0,5 n Bài 1.2 Có 100 bìa hình vuông đánh số từ đến 100 Ta lấy ngẫu nhiên bìa Tìm xác suất : a Được bìa có số số b Được bìa có số chia hết cho cho cho cho Giải: a) Không gian mẫu {1,2, ,100} Gọi A biến cố lấy ngẫu nhiên bìa có số có số Số kết cục đồng khả n = 100 Số kết cục thuận lợi m = 19 (10 số có đơn vị 5, 10 số có hàng chục 5, lưu ý số 55 tính lần) Do P( A)  19  0,19 100 Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiên bìa có số số  P( A)   0,19  0,81 b) Gọi A biến cố lấy ngẫu nhiên bìa có số chia hết cho cho cho cho Số kết cục đồng khả n = 100 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Số kết cục thuận lợi m = 60 (trong có 50 số chia hết cho 2, 20 số chia hết cho 5, ý có 10 số chia 60 hết cho 10 tính lần) P( A)   0, 100 Bài 1.3 Một hộp có a cầu trắng b cầu đen Lấy ngẫu nhiên hai cầu a) Tìm xác suất để cầu thứ trắng b) Tìm xác suất để cầu thứ hai trắng biết cầu thứ trắng c) Tìm xác suất để cầu thứ trắng biết cầu thứ hai trắng Giải: a) Đánh số a cầu trắng 1, 2, , a b cầu đen a+1, ,a+b Không gian mẫu {1,2, ,a+b} Số kết cục đồng khả a  b A biến cố lấy ngẫu nhiên cầu thứ trắng, số kết cục thuận lợi a P( A)  a ab b) Đánh số a cầu trắng 1, 2, , a b cầu đen a+1, ,a+b Không gian mẫu tập số (u,v) với  u  a,1  v  a  b; u  v Số kết cục đồng khả a(a  b  1) Nếu thứ trắng số cách chọn a cách, số cách chọn thứ a-1 Số kết cục thuận lợi a(a-1) Pb  a (a  1) a 1  a(a  b  1) a  b  c) Đánh số a cầu trắng 1, 2, , a b cầu đen a+1, ,a+b Không gian mẫu tập số (u,v) với  u  a  b,1  v  a; u  v Số kết cục đồng khả a(a  b  1) Nếu thứ hai trắng số cách chọn a cách, số cách chọn thứ trắng a-1 Số kết cục thuận lợi a(a-1) Pc  a (a  1) a 1  a(a  b  1) a  b  Bài 1.4 Một hộp có a cầu trắng b cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất để: a Quả cầu thứ trắng TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội b Quả cầu cuồi trắng Giải: a) Đánh số a cầu trắng 1, 2, , a b cầu đen a+1, ,a+b Không gian mẫu tập số (u,v) với  u, v  a  b; u  v Số kết cục đồng khả (a  b)(a  b  1) Số cách chọn thứ a, sau có a+b-1 cách chọn thứ số kết cục thuận lợi là: a(a  b  1) Pa  a (a  b  1) a  (a  b)(a  b  1) a  b a) Đánh số a cầu trắng 1, 2, , a b cầu đen a+1, ,a+b Không gian mẫu tập số ( u1 , u2 , , ua b ) hoán vị 1,2, ,a+b Số kết cục đồng khả (a  b)! Số cách chọn cuối a, sau có a+b-1 cách chọn 1, a+b-2 cách chọn 2, ,và cuối cách chọn thứ a+b-1 Do số kết cục thuận lợi a(a  b  1)! Pb  a (a  b  1)! a  (a  b)! a b Bài 1.5 Gieo đồng thời hai đồng xu Tìm xác suất để a) Hai mặt sấp xuất b) Một sấp, ngửa c) Có mặt sấp Giải: Không gian mẫu (N,N), (S,N), (N,S), (S,S) a) Số kết cục thuận lợi 1: (S,S) nên Pa   0, 25 b) Số kết cục thuận lợi 2: (S,N) (N,S) nên Pb   0,5 b) Số kết cục thuận lợi 3: (S,N), (N,S) (S,S) nên Pb   0, 75 Bài 1.6 Gieo đồng thời hai xúc xắc Tìm xác suất để hai mặt a) Có tổng số chấm b) Có tổng số chấm nhỏ c) Có mặt chấm Giải: Đánh dấu xúc xắc W (trắng) B (đen) mặt tương ứng với W1 ,W6 B1 , B6 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Không gian mẫu tất cặp (Wi , B j ) , Số kết cục đồng khả 36 a) Có cặp có tổng số chấm (W1 , B6 ) , …, (W6 , B1 ) Pa   36 b) Có cặp có tổng số chấm 1, Có cặp có tổng số chấm 2, Có cặp có tổng số chấm 3, Có cặp có tổng số chấm 4, Có cặp có tổng số chấm 5, Có cặp có tổng số chấm 6, Có cặp có tổng số chấm Do có 1+2+…+6 = 21 cặp có tổng số chấm nhỏ 8, 21 Pb   36 12 c) Có mặt chấm nên số kết cục thuận lợi đồng khả 11 gồm : (W1 , B6 ) , …, (W6 , B6 ) (W6 , B1 ) ,…, (W6 , B5 ) , Pc  11 36 Bài 1.7 Ba người khách cuối khỏi nhà bỏ quên mũ Chủ nhà rõ chủ mũ nên gửi trả họ cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để: a) b) c) d) Cả người trả sai mũ Có người trả mũ Có hai người trả mũ Cả ba người trả mũ Giải: Gọi mũ tương ứng người 1, 2, Không gian mẫu hoán vị 1, 2, gồm (i,j,k): (1,2,3), …, (3,2,1) Ta hiểu đem mũ i trả cho người 1, mũ j trả cho người 2, mũ k trả cho người a) số (i,j,k) mà i  1, j  2, k  có thuận lợi (2,3,1), (3,1,2), Pa   b) Nếu người trả mũ có khả thuận lợi (1,3,2) Nếu người trả mũ có khả thuận lợi (3,2,1) Nếu người trả mũ có khả thuận lợi (2,1,3), Pb   c) Nếu có người trả mũ người lại phải trả mũ, khả thuận lợi nào, Pc   d) Có khả thuận lợi (1, 2, 3), Pd  TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Bài 1.8 Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng Đức, 20% học tiếng Anh Pháp, 15% học tiếng Anh Đức, 10% học tiếng Pháp Đức, 5% học ba thứ tiếng Tìm xác suất lấy ngẫu nhiên sinh viên người đó: a) b) c) d) Học ngoại ngữ Chỉ học tiếng Anh tiếng Đức Chỉ học tiếng Pháp Học tiếng Pháp biết người học tiếng Anh Giải: Vẽ biểu đồ Ven Gọi A, B, C tương ứng biến cố lấy ngẫu nhiên sinh viên sinh viên học tiếng Anh, Pháp, Đức a) Pa  P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)  P( B  C )  P(C  A)  P( A  B  C )  50%  40%  30%  20%  15%  10%  5%  80%  0,8 b) Pb  P( A  C )  P( A  B  C ) = 15%  5%  0,1 c) Pc  P( B)  P( A  B )  P( B  C )  P( A  B  C )  40%  20%  10%  5%  0,15 P( B  A) 20%   0, tỷ lệ diện tích A  B với diện tích A với qui ước hình P( A) 50% tròn lớn có diện tích d) Pd  Bài 1.9 Một người gọi điện thoại cho bạn quên chữ số cuối nhớ chúng khác Tìm xác suất để người quay số lần số điện thoại bạn Giải: Không gian mẫu tập tập số 000, 001, …, 999 mà có chữ số khác Ta phải tìm số cặp (a,b,c) với a,b,c nhận từ 0,…, mà a, b, c khác đôi a có 10 cách chọn, sau b có cách chọn, sau c có cách chọn , số cặp 10.9.8 = 720 xác suất để người quay số lần số điện thoại bạn 720 Bài 1.10 Trong hòm đựng 10 chi tiết đạt tiêu chuẩn chi tiết phế phẩm Lấy đồng thời chi tiết Tính xác suất: a) Cả chi tiết lấy thuộc tiêu chuẩn b) Trong số chi tiết lấy có chi tiết đạt tiêu chuẩn Giải: Gọi chi tiết đạt tiêu chuẩn 1, …, 10, chi tiết phế phẩm 11, …, 15 Không gian mẫu tập tập {a, b, c} với a, b, c khác đôi nhận giá trị từ đến 15 Số kết cục đồng khả C153  15.14.13  5.7.13 3.2.1 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội a) Số kết cục thuận lợi C103  Pa  10.9.8  5.3.8 (lấy số 10 số không cần xếp thứ tự), 3.2.1 C103 5.3.8   0, 264 C15 5.7.13 b) Số kết cục thuận lợi C102 C51  cần xếp thứ tự), Pb  10.9  5.9.5 (lấy số 10 số số lại số, không 2.1 5.9.5  0, 495 5.7.13 Bài 1.11 Một nhi đồng tập xếp chữ Em có chữ N, Ê, H, G, H, N Tìm xác suất để em xếp ngẫu nhiên chữ NGHÊNH Giải: Đầu tiên ta xếp chữ N : có C62  Sau đến chữ H : có C42  6.5  15 cách xếp chữ N vào vị trí Còn lại vị trí 2.1 4.3  cách xếp chữ H vào vị trí Còn lại vị trí 2.1 Sau đến chữ Ê có cách xếp, vị trí cuối cho chữ G Vậy số cách xếp có 15.6.2.1 = 180, P  180 Bài 1.12 Thang máy tòa nhà tầng xuất phát từ tầng với khách Tìm xác suất để : a) Tất tầng b) Tất tầng c) Mỗi người tầng khác Giải: Mỗi khách tầng, số trường hợp xảy 6.6.6 = 216 a) số kết cục thuận lợi 1, Pa  216 b) số kết cục thuận lợi 6, Pb   216 36 c) người thứ có cách thang máy, người thứ thang máy, người thứ có cách thang máy, số kết cục thuận lợi A63  6.5.4 , Pc  6.5.4  216 Bài 1.13 Trên giá sách có xếp ngẫu nhiên tuyển tập tác giả X gồm 12 Tìm xác suất để tập xếp theo thứ tự từ trái sang phải, từ phải sang trái Giải: Số cách xếp sách là: 12! Gọi A biến cố “xếp theo thứ tự từ trái sang phải từ phải sang trái” TS Nguyễn Văn Minh A có khả  P  A  ĐH Ngoại Thương Hà nội 12! Bài 1.14 Lấy ngẫu nhiên quân từ cỗ 52 quân Tìm xác suất để : a) Được quân át b) Được quân át Giải: Số kết cục đồng khả C52 a) Số cách chọn quân át từ quân át : C43 , Pa  C43 4.3.2   C52 52.51.50 5525 b) Số cách chọn quân át từ quân át C41  , hai quân lại có số cách chọn C482 Vậy Pb  4C482 4.48.47.3.2.1 1128   C52 52.51.50.2 5525 Bài 1.15 Một lô hàng có phẩm phế phẩm chia ngẫu nhiên thành thành phần Tìm xác suất để phần có số phẩm Giải: Mỗi phần có sản phẩm Chỉ cần xét phần phần phần bù phần Để phần có số phẩm phần phải (3 phẩm+2 phế phẩm) Các kết cục đồng khả phần (5 phẩm), (4 phẩm+1 phế phẩm), (3 phẩm+2 phế phẩm), (2 phẩm+3 phế phẩm), (1 phẩm+4 phế phẩm) Do P  Bài 1.16 Mỗi vé xổ số có chữ số Tìm xác suất để người mua vé vé : a) Có chữ số khác b) Có chữ số lẻ Giải: Không gian mẫu {00000,00001, …, 99999} số có chữ số từ đến 99999 (nếu thiếu số viết số vào đầu) Số kết cục đồng khả 100000 a) Chữ số thứ có 10 cách chọn, chữ số thứ có cách chọn, chữ số thứ có cách chọn, chữ số thứ có cách chọn, chữ số thứ có cách chọn Số kết cục thuận lợi : 10.9.8.7.6 Do 10.9.8.7.6 189 Pa    0,3024 100000 625 b) Mỗi chữ số có cách chọn 1,3,5,7,9 Số kết cục thuận lợi : 55 Do Pb  55   0, 03125 100000 32 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Bài 1.17 Năm người A, B, C, D, E ngồi cách ngẫu nhiên vào ghế dài Tìm xác suất để : a) C ngồi b) A B ngồi hai đầu ghế Giải: Giả sử ghế dài chia thành ô, người ngồi vào ô Có cách xếp cho người A ngồi, sau cách xếp cho người B, cách xếp cho người C, cách xếp cho người D cuối cách cho người E Số kết cục đồng khả 5.4.3.2.1=120 a) C ngồi giữa, có cách xếp cho C, cách xếp cho A, cách xếp cho B, cách xếp cho 24 D, cách xếp cho E Số kết cục thuận lợi 1.4.3.2.1=24 Vậy Pa    0, 120 b) A B ngồi hai đầu ghế nên có cách xếp cho A, B ngồi A B B A hai đầu ghế, sau có cách xếp cho C, cách xếp cho D, cách xếp cho E Số kết cục thuận lợi : 12 2.3.2.1=12 Vậy Pa   0,1 120 Bài 1.18 Trong hộp có n cầu đánh số từ tới n Một người lấy ngẫu nhiên lúc hai Tính xác suất để người lấy có số hiệu nhỏ k có số hiệu lớn k (1 P( P B 10  0,38  0, 435 0,55 | ) Vậy mẫu lấy có khả thuộc hộp nhiều Bài 1.85 Qua kinh nghiệm, người quản lý cửa hàng bán giầy thể thao biết xác suất để đôi đế cao su hãng có hoặc bị hỏng tương ứng : 0,90 ; 0,08 ; 0,02 Anh ta lấy ngẫu nhiên đôi giày loại từ tủ trưng bày sau lấy ngẫu nhiên bị hỏng Hỏi xác suất để bị hỏng ? Giải: Gọi H1 biến cố “chiếc thứ lấy đôi không hỏng” H2 biến cố “chiếc thứ lấy đôi có bị hỏng” H3 biến cố “chiếc thứ lấy đôi có bị hỏng” theo đề P(H1)=0,9; P(H2)=0,08; Gọi A biến cố “chiếc lấy bị hỏng” B biến cố “chiếc hai lấy bị hỏng” P(A) = P(H1).P(A|H1)+P(H2).P(A|H2)+P(H3).P(A|H3) 39 P(H3)=0,02 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội = 0,9.0+0,08.0,5+0,02.1=0,06 P  H  P( A | H ) P(B) = P (H3|A)= = 1/3 P( A) Bài 1.86 Hai cửa hàng A B cung cấp hộp đĩa mềm máy tính cho trung tâm tin học với tỉ lệ 3/2 Tỷ lệ đĩa bị lỗi cửa hàng tương ứng 1% 2% Một sinh viên đến thực tập trung tâm chọn ngẫu nhiên hộp đĩa gồm 20 từ rút ngẫu nhiên đĩa a Tính xác suất để sinh viên rút phải đĩa bị lỗi b Sau khới động máy, sinh viên nhận thấy đĩa bị lỗi Tính xác suất để đĩa thuộc cửa hàng A Giải: a) Gọi X = “biến cố rút phải đĩa bị lỗi” H1= “biến cố lấy hộp đĩa cửa hàng A” : P(H1) = 3/5 = 0,6 H2= “biến cố lấy hộp đĩa cửa hàng B” : P(H2) = 2/5 = 0,4 Ta có P(X|H1) = 0,01 ; P(X|H2) = 0,02 Do H1, H2 biến cố đầy đủ nên : P(X) = P(H1).P(X|H1) + P(H2).P(X|H2) = 0,6 0,01 + 0,4 0,02 = 0,014 P( H1 ).P( X | H1 ) 0,6 0, 01   0, 4286 P( X ) 0,014 Vậy xác suất để đĩa bị lỗi thuộc hàng A 0,4286 b) Theo công thức Bayes, ta có: P( H1 | X )  Bài 1.87* Tỷ lệ phế phẩm máy I 1%, máy II 2% Một lô sản phẩm gồm 40% sản phẩm máy I 60% sản phẩm máy Người ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra a Tìm xác suất sản phẩm lấy có sản phẩm tốt b Giả sử hai sản phẩm kiểm tra tốt khả lấy tiếp hai sản phẩm tốt bao nhiêu? Giải: a) Gọi H biến cố "2 sản phẩm lấy thuộc nhà máy 1" Gọi H biến cố "2 sản phẩm lấy thuộc nhà máy 2" Gọi H biến cố "1 sản phẩm lấy thuộc nhà máy 1; sản phẩm lấy thuộc nhà máy 2" Gọi A biến cố "2 sản phẩm lấy phế phẩm" H H H hệ đầy đủ với P(H1) = 0,42; P(H2) = 0,62; P(H3) = 2.0,4.0,6  P( A)  P( H1 ).P( A | H1 )  P( H ).P( A | H )  P( H ).P( A | H3 )  0, 42.0,012  0, 62.0,022  2.0, 4.0,6.0,01.0,02  0,000256  biến cố A = "có sản phẩm tốt", P(A)=1-P(A)= 0.999744 b) Gọi B biến cố "2 sản phẩm lấy phẩm" P( B)  P( H1 ).P( B | H1 )  P( H ).P( B | H )  P( H ).P( B | H3 )  0, 42.0,992  0, 62.0,982  2.0,4.0,6.0,99.0,98  0,968256 Giả sử B xảy 40 TS Nguyễn Văn Minh P ( H1 | B )  ĐH Ngoại Thương Hà nội 0, 42.0,992 0, 62.0,982 2.0, 4.0, 6.0,99.0,98 ; P( H | B)  ; P( H | B)  0, 968256 0, 968256 0,968256 P( H1 ), P( H ), P( H ) điều chỉnh B xảy là: P( H1 )  0, 42.0, 992 0, 62.0, 982 2.0, 4.0,6.0,99.0,98 ; P( H )  ; P( H )  0,968256 0,968256 0, 968256 Gọi C = biến cố sản phẩm lấy tiếp phẩm P(C )  P( H1 ).P(C | H1 )  P( H ).P(C | H )  P( H ).P(C | H3 ) 0, 42.0, 992 0, 62.0,982 2.0, 4.0, 6.0,99.0,98 0,99  0,982  0,99.0,98  0.968272 0,968256 0, 968256 0, 968256 Bài 1.88 Một công nhân làm thành phố trở nhà có hai cách: Đi theo đường ngầm qua cầu Biết lối đường ngầm 1/3 trường hợp, lại cầu Nếu lối đường ngầm 75% trường hợp nhà trước 6h, lối cầu có 70% trường hợp Tìm xác suất để công nhân lối cầu, biết nhà sau Giải: Gọi H “biến cố người công nhân đường ngầm”: ( ) = “biến cố người công nhân lối cầu”: P( ) = A “biến cố nhà trước  6h”: ( | )= ; ̅ “biến cố nhà sau 6h”: P( ̅ | ) = ; ( | )= ( ̅| ) = Xác suất để nhà sau 6h là: ( ̅ ) = ( ) ( ̅ | ) + ( ) ( ̅ | ) 1 17 = ∙ + ∙ = 10 60 Khi điều xảy xác suất để lối cầu: ( ) ( ̅ | ) ∙ 10 ( | ̅) = = = 0,7059 17 ( ̅) 60 Vậy, xác suất để công nhân lối cầu, biết nhà sau 6h 0,7059 Bài 1.89* Ba công nhân sản xuất loại sản phẩm, xác suất để người thứ người thứ hai làm phẩm 0,9 Còn xác suất để người thứ làm phẩm 0,8 Một người số làm sản phẩm, thấy có phế phẩm Tìm xác suất để sản phẩm người sản xuất có phẩm Giải: Gọi A biến cố sản phẩm có phế phẩm H1 biến cố sản phẩm người thứ làm H2 biến cố sản phẩm người thứ làm H3 biến cố sản phẩm người thứ làm Ta có P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3 Ta tính P(A|H1): người làm sản phẩm có phẩm phế phẩm 41 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Đây dãy phép thử Bernoulli có lần thành công với xác suất lần thành công P("người làm phẩm") = 0,9 nên P(A|H1) = C86 0, 96.0,12 Tương tự P(A|H2) = C86 0, 96.0,12 ; P(A|H3) = C86 0,86.0, 22 P(A) = P(H1).P(A|H1) + P(H2).P(A|H2) + P(H3).P(A|H3) 1 1 1 = C86 0,96.0,12  C86 0,96.0,12  C86 0,86.0, 22  C82 0,96.0,12  C82 0, 96.0,12  C82 0,86.0, 22 3 3 3 = 0,0496 + 0,0496 + 0,0979 =0,1971 P(H1|A) = P(H2|A) = P(H3|A) = P  H1  P( A / H1 ) P( A) = 0, 0496  0, 25165 0,1971 0, 0979  0, 4967 0,1971 Giả sử biến cố A xảy Gọi B biến cố sản phẩm có phẩm, tương tự ta có: P(B) = P(H1|A).P(B|H1A) + P(H2|A).P(B|H2A) + P(H3|A).P(B|H3A) = 0, 25165.C86 0,96.0,12  0, 25165.C86 0, 96.0,12  0, 4967.C86 0,86.0, 22 = 2.0, 25165.C82 0,96.0,12  0, 4967.C82 0,86.0, 22 = 0,074893+0,145832=0,2207 Vậy P(B) = 0,2207 Bài 1.90* Một lô hàng có sản phẩm loại Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm thấy có phẩm phế phẩm Tìm xác suất để kiểm tra tiếp sản phẩm có phẩm phế phẩm Giải: Gọi A biến cố “lấy phẩm phế phẩm” B biến cố “lấy phế phẩm phẩm” Hi biến cố “trong sản phẩm có i phẩm”, i = 0,…,8 Hệ H , H , , H hệ đầy đủ P( H )  P( H1 )   P( H )   p Ta có: P(A) = P(H0).P(A|H0) +P(H1).P(A|H1)+ + P(H7).P(A|H7)+ P(H8).P(A|H8)  p.0  p.0  p.0  p p C33 C53 C36 C37 C34  p  p  p  p  p.0 C84 C84 C84 C84 C84 C33 C53 C63 C73 C34  p  p  p  p C84 C84 C84 C84 C84 42 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội C34 p C8 P(H ).P(A | H )  Khi đó, P(H4|A) = 3 C C C3 C3 C3 P(A) p  p 4  p  p  p 74 C8 C8 C8 C8 C8  C34  3 3 C3  C 4  C5  C6  C 63 C35 P(H5 ).P(A | H ) C84 P(H5|A) =  C33 C34 C35 C36 C37 P(A) p p p p p C8 C8 C8 C8 C8 p  C35  3 3 C3  C 4  C5  C6  C 21 Giả sử A xảy xác suất để lấy phế phẩm phẩm là: P(B) = P(H0|A).P(B|H0A) + + P(H8|A).P(B|H8A) = P(H4|A).P(B|H4A) + P(H5|A).P(B|H5A) = C32 C12   63 C34 21 C34 14 ≈ 0,2143 Chú ý là: P(B|HiA) = với i  4,5  số phẩm  Bài 1.91 Một hộp có n sản phẩm, bỏ vào sản phẩm tốt sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy tốt giả thiết trạng thái cấu thành ban đầu hộp đồng xác suất Giải: Gọi A = “biến cố lấy sản phẩm tốt” Hi = biến cố lúc đầu hộp có i sản phẩm tốt (i = 0, , n) Hệ H , H1 , , H n hệ đầy đủ P( H )  P( H1 )   P ( H n )  P(A|H0) = C11  Cn1 n  P(A|H1) = C21 = n 1 Cn 1 P(A|Hn) = Cn11 n 1 = n 1 Cn 1 Ta có P(A) = P(H0).P(A|H0) + P(H1).P(A|H1) + + P(Hn).P(A|Hn) 43 n 1 TS Nguyễn Văn Minh = ĐH Ngoại Thương Hà nội 1 n 1   n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1  n   (n  1)  n  (n  1) 2(n  1) Bài 1.92* Trong hộp có n sản phẩm, sản phẩm phẩm phế phẩm với xác suất Lấy ngẫu nhiên k sản phẩm theo phương thức có hoàn lại toàn phẩm Tính xác suất để hộp có chứa toàn phẩm Giải: Gọi A biến cố k sản phẩm lấy phẩm = Hi biến cố hộp có i phẩm (i = 0, n ) Hệ H , H1 , , H n hệ đầy đủ P( H )  P( H1 )   P( H n )   p n 1 Ta có P(A) = P(H0).P(A|H0) + P(H1).P(A|H1) + + P(Hn).P(A|Hn) = p.P(A|H0) + p.P(A|H1) + + p.P(A|Hn) Hiển nhiên P  A | H   Theo công thức Bayes thì: P  H i  P  A | H i  p.P  A | H i  P  A | Hi  P(Hi|A) =   P( A) p.P  A | H    p.P  A | H n  P  A | H1    P  A | H n  Ta tính P  A | H i  với i = 1, ,n: Trong hộp có i phẩm n-i phế phẩm Ta đánh số sản phẩm 1, 2, , n Chọn k sản phẩm (có hoàn lại) Tổng số kết cục đồng khả : nk (n cách chọn sản phẩm 1, , n cách chọn sản phẩm thứ k) Trong hộp có i phẩm nên số cách chọn a1  a2   để coi phẩm Cni Số trường hợp thuận lợi để chọn k sản phẩm từ a1 , a2 , , i k Do tổng số trường hợp thuận lợi để chọn k sản phẩm phẩm từ hộp có i phẩm : Cni i k Suy P  A | H i   Cni i k nk Vậy xác suất để hộp có chứa toàn phẩm P(Hn|A)  P  A | Hn  P  A | H1    P  A | H n  = Cnn n k  Cn11k  Cn2 2k  Cn3 3k  Cnn n k nk n  n  1 k n  n  1 (n  2) k k n   n 2! 3! Bài 1.93* A chơi cờ với B với xác suất thắng ván p Tìm xác suất p để A thắng chung ván dễ thắng chung ván , biết để thắng chung A phải thắng nửa tổng số ván chơi Giải: Gọi C biến cố A thắng chung ván = biến cố A thắng ván hai ván D biến cố A thắng chung ván = biến cố A thắng ván ván Ta tính P(C): C biến cố A không thắng ván hai ván, theo dãy Bernoulli P(C )  C20 p0 (1  p)2  (1  p)2 44 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Ta tính P(D): D biến cố A thắng ván ván, theo dãy Bernoulli P( D)  C40 p0 (1  p)  C41 p1 (1  p)3  (1  p)  p (1  p)3 Để A thắng chung ván dễ thắng chung ván tương đương P(C )  P( D)  P(C )  P( D)  (1  p)2  (1  p)4  p(1  p)3   (1  p)2  p(1  p)   p2  p  p  p2   p  p2    p  p  Vậy  p  Bài 1.94 Một xí nghiệp có hai dây chuyền lắp ráp loại sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm tương ứng 2% 3% Tính xác suất để khách hàng mua sản phẩm xí nghiệp mua phải phế phẩm Giải: Gọi A biến cố “Mua phế phẩm” Biến cố A xảy đồng thời với biến cố sau tạo thành nhóm đầy đủ biến cố: H1: “Phế phẩm dây chuyền sản xuất” H2: “Phế phẩm dây chuyền sản xuất” Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: ( )= ( ) ( | )+ ( ) ( | ) Theo đề bài: P(H1) = P(H2) = P(A|H1) = 0,02 P(A|H2) = 0,03 Do đó, ( ) = 0,02 + 0,03 = 0,025 = Mà biến cố đối ̅ A “Mua phẩm” ( ̅) = − ( ) = − 0,025 = 0,975 = Khách hàng mua lần, dãy phép thử Bernoulli Do đó, xác suất để người mua phế phẩm lần mua: C21 p1q1  pq  0, 04875 Bài 1.95* Hai cầu thủ bóng rổ, người ném bóng lần, xác suất ném trúng đích cầu thủ theo thứ tự 0,6 0,7 Tính xác suất: a Số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ nhiều số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ hai b Số lần ném trúng rổ hai người 45 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải: Coi lần ném bóng cầu thủ thứ “ i” phép thử, ta có phép thử độc lập, phép thử có trường hợp xảy ra: trúng đích không trúng đích Đối với cầu thủ thứ nhất: Xác suất ném trúng đích lần ném 0,6 Như thỏa mãn lược đồ Bernoulli Ta có xác suất để ném trúng đích lần là: P1(2) = C22.0,62.0,40 = 0,36 Xác suất để ném trúng đích lần là: P1(1) = C12.0,6.0,4 = 0,48 Xác suất để ném trượt lần : P1(0) = C20.0,60.0,42 = 0,16 Đối với cầu thủ thứ 2: Xác suất ném trúng đích lần ném 0,7 Ta có xác suất để ném trúng đích lần : P2(2) = C22.0,72.0,30 = 0,49 Xác suất để ném trúng đích lần là: P2(1) = C12.0,7.0,3 = 0,42 Xác suất để ném trượt lần là: P2(0) = C20.0,70.0,32 = 0,09 a Gọi A biến cố “số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ nhiều số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ 2” (có trường hợp 2-1;2-0;1-0) Ta có: P(A) = P1(2).P2(1) + P1(2).P2(0) +P1(1).P2(0) = 0,36.0,42 + 0,36.0,09 + 0,48.0,09 = 0,2268 b Gọi B biến cố “số lần ném trúng rổ người nhau” (có trường hợp 2-2;1-1;0-0) Ta có: P(B) =P1(2).P2(2) + P1(1).P2(1) + P1(0).P2(0) =0,36.0,49 + 0,48.0,42 + 0,16.0,09 = 0,3924 Bài 1.96* Một bình có a cầu trắng b cầu đen Hai người lấy theo phương thức có hoàn lại Tính xác suất người thứ lấy cầu trắng trước Giải: Ai = “biến cố lần i người rút cầu trắng, lần trước người người rút phải cầu đen ” a Lần 1: P(A1) = a b Lần 2: xét thứ tự lấy : lần (người 1, người 2); lần 2(người 1, người 2)…… Để người rút cầu trắng lần lần 1, người đểu rút cầu đen Do đó: P(A2) = b b a a  b  =  ab a b ab  ab ab … tương tự  b  P(Ai) =    a b  2( i 1) a a = ti-1 a b a b  b  với t =   <  a,b  N  ab  A= “biến cố người lấy cầu trắng trước” a ( + t + t + t3 + … )  P(A) = P( Ai ) = a b a = (vì tổng S=1 + t + t2 + t3 + … tổng a  b 1 t cấp số nhân có công bội < t < 1) 46 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội = a (a  b)2 ab = a  b a.(a  2b) a  2b ab a  2b Vậy xác suất để người lấy cầu trắng trước Bài 1.97* Trong rạp có n chỗ đánh số, n người có vé vào ngồi cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để có m người ngồi chỗ Giải: Gọi A biến cố “có m người ngồi chỗ” Gọi B biến cố: “n-m người lại ngồi sai chỗ” Ta tính P(A) P(B): Số trường hợp đồng khả xếp m người vào n vị trí Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: (chọn m n người có m người có cách xếp để m người chỗ) Do P(A) = Cnm  m An m! Gọi C biến cố: “có người số n-m người lại ngồi chỗ n-m vị trí lại” Ta có: P(B) =1- P(C) Xét n-m người lại đánh số 1, 2, , n-m Gọi Ai biến cố “người thứ i ngồi chỗ” nm n m C   Ai  P(C )   P( Ai )  P( Ai A j )   (1)k 1 i 1 i 1 Ta có P( Ai )  1 nên n  m n  m 1  P( A A )  k ! , , P( A A i1 i1   ik Do P( B)  i1 ik )   (1)n m 1 P ( A1 An m ) i1   ik n m   P( Ai )  nm i 1 P( Ai Aj )  P( Ai ) P( Aj | Ai )  Tương tự i j  P( A A ik n m P ( A A )  C i j i j )  n  m ! 1 (1)k (1)n m n m (1)k       2! 3! k! (n  m)! k  k ! 47 nm 1  n  m n  m  2! TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Vậy xác suất để có m người ngồi chỗ P  P( A).P( B)  n m (1) k  m! k 2 k ! Bài 1.98* Một hệ thống kỹ thuật gồm n phận với xác xuất hoạt động tốt phận p Hệ thống ngừng hoạt động có phận bị hỏng Để nâng cao độ tin cậy hệ thống người ta dự trữ thêm n phận theo phương thức sau: a) P P b) P P P P P P P P P P Hỏi phương thức dự trữ mang lại độ tin cậy cao cho hệ thống Giải: Sau bổ sung thêm n phận ta có tổng tất 2n phận bố trí theo phương thức a) b) Khi n = hệ thống giống hệt nên ta cần xét n  Ta tính xác suất để hệ thống hoạt động a) b) Pa , Pb * a) hệ gồm n ô vuông to, ô vuông có phận mắc song song, xác suất để ô vuông to bị hỏng 1  p  (cả hai nhánh hỏng) Do xác suất để ô vuông to hoạt động tốt  1  p   p  p Ta có hệ thống n ô vuông to mắc nối tiếp, xác suất để hệ thống hoạt động tốt là: n n Pa   p  p   p n   p  (n ô vuông to hoạt động tốt) * b) Hệ thống chia làm nhánh, nhánh n phận mắc song song, Ta có xác suất để nhánh hoạt động tốt p n nên xác suất để nhánh không hoạt động  p n Do xác suất để hệ thống hỏng 1  p n  (hai nhánh hỏng) 48 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Suy Pb   1  p n   p n  p 2n  p n (2  p n ) Công việc lại so sánh Pa , Pb Ta chứng tỏ Pa  Pb với n  < P < Đặt q = – p (q > 0) ta có n n n n Pa  Pb  p n   p   p n (2  p n )    p    p n  1  q   1  q   Thật theo nhị thức Newton ta có n 1  q   1  q  n   Cn1q  Cn2 q   Cnk q k   q n   Cn1q  Cn2 q   (1) k Cnk q k   (1)n q n   2Cn2 q2  2Cn4 q   Vậy phương thức dự trữ a) mang lại độ tin cậy phương thức dự trữ b) Bài 1.99* Hai người chơi cờ thỏa thuận với thắng trước số ván định thắng Trận đấu bị gián đoạn người thứ thiếu m ván thắng, người thứ thiếu n ván thắng Vậy phải phân chia tiền đặt cho hợp lý xác suất thắng ván người 0,5 Giải: Gọi P1 , P2 xác suất thắng người người trận đấu tiếp tục đến cuối Rõ ràng tiền phải chia theo tỷ lệ P1 hợp lý P2 Vậy ta tính P1 : Các trường hợp thắng người thứ thắng sau: m; m+1; m+2; m+3;…;m+n-1 ván (riêng ván cuối người phải thắng) với xác suất tương ứng P  m  ; P  m  1 ; ; P  m  n  1 Mỗi trường hợp dãy Bernulli mà xác suất phép thử thành công 0,5 Ta tính P  m  : dãy m  phép thử Bernoulli ván cuối bắt buộc phải thắng (có m  phép thử thành công) P  m   Cmm11.0,5m1.0, 50.0,  0, 5m Ta tính P  m  1 : dãy m phép thử Bernoulli ván cuối bắt buộc phải thắng (có m  phép thử thành công) P  m  1  Cmm1.0, 5m1.0,51.0,5  Cm1 0,5m1 Tương tự ta có: P  m  2  Cmm11 0,5m1.0,52.0,5  Cm2 1 0,5m … 49 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội P  m  n  1  Cmmn1 0,5m1.0,5n 1.0,5  Cmn 1n 0,5m n1 Vì trường hợp xung khắc với nên xác suất thắng người thứ là: P1  P  m   P  m  1   P  m  n  1  0, 5m  Cm1 0,5m 1  Cm2 1 0, 5m    Cmn 1n 0, 5m  n1 hay   P1  0,5m  Cm1 0,51  Cm2 1 0,52   Cmn1n 0,5n1 Hoàn toàn tương tự ta tính P2 sau:   P2  0,5n  Cn1 0,51  Cn21 0,52   Cmmn12 0,5m 1 Bài 1.100* Một người bỏ hai bao diêm vào túi, bao có n que diêm Mỗi hút thuốc người rút ngẫu nhiên bao đánh que Tìm xác suất để người phát bao hết diêm bao lại r que diêm Giải: Cách hiểu thứ nhất: lần lấy bao rỗng phát hết Cách hiểu thứ hai: lần lấy bao que đánh que phát bao hết Gọi H1 biến cố rút bao H biến cố rút bao Ta có P( H1 )  P( H )  0,5 * Lời giải cho cách hiểu thứ nhất: Theo đề bài, người phát bao hết bao lại có r que diêm nên người lấy diêm 2n  r  lần (lần cuối phát bao hết nên không lấy diêm) TH1: Lần cuối rút bao (lần cuối có xác suất xảy 0,5) có nghĩa 2n  r lần phải có n lần rút bao n  r lần không rút bao Đây dãy 2n  r phép thử Bernoulli có n lần rút thành công bao ( p  q  0, ) xác suất để xảy : P(TH1)  C2nn r 0,5n.0,5n r 0,5  C2nn r 0,52n r 1 TH2: Lần cuối rút bao (lần cuối có xác suất xảy 0,5) có nghĩa 2n  r lần phải có n lần rút bao n  r lần không rút bao Đây dãy 2n  r phép thử Bernoulli có n lần rút thành công bao ( p  q  0, ) xác suất để xảy : P(TH 2)  C2nn r 0, 5n.0,5n r.0,  C2nn r 0,52n r 1 Vậy xác suất để người phát bao hết diêm bao lại r que diêm là: 50 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội P  P(TH 1)  P(TH 2)  2.C2nn r 0,52 n r 1  C2nn r 0,52 n r * Lời giải cho cách hiểu thứ hai: Theo đề bài, người phát bao hết bao lại có r que diêm nên người lấy diêm 2n  r lần (lần cuối lấy bao que dùng que phát bao diêm bị hết) TH1: Lần cuối rút bao (lần cuối có xác suất xảy 0,5) có nghĩa 2n  r  lần phải có n  lần rút bao n  r lần không rút bao Đây dãy 2n  r phép thử Bernoulli có n  lần rút thành công bao ( p  q  0, ) xác suất để xảy : P(TH 1)  C2nn1r 1.0,5n1.0,5n r.0,5  C2nn1r 1.0,52 n r TH2: Lần cuối rút bao (lần cuối có xác suất xảy 0,5) có nghĩa 2n  r  lần phải có n  lần rút bao n  r lần không rút bao Đây dãy 2n  r  phép thử Bernoulli có n  lần rút thành công bao ( p  q  0, ) xác suất để xảy : P(TH 2)  C2nn1r 1.0,5n1.0,5n r.0,5  C2nn1r 1.0,52 n r Vậy xác suất để người phát bao hết diêm bao lại r que diêm là: P  P(TH1)  P(TH 2)  2.C2nn1r 1.0,52n  r  C2nn1r 1.0,52n r 1 51 ...TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải tập sách ‘ Bài tập Xác suất Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD 07/2015 Bài tập có giúp đỡ SV K52, K53 Có nhiều chỗ sai sót... lần với xác suất lớn 0,5 lần §6 Công thức Bernoulli Bài 1.58 Một nhân viên bán hàng ngày chào hàng 10 nơi với xác suất bán hàng nơi 0,2 a Tìm xác suất để người bán hàng nơi b Tìm xác suất để... 0,82 = 0,000078 Bài 1.61 Một siêu thị lắp chuông báo cháy hoạt động độc lập với Xác suất để có cháy chuông kêu 0,95 Tìm xác suất để có chuông kêu cháy Giải: Gọi A biến cố chuông kêu có cháy Ta