GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐH KINH TẾ QD

Tìm xác suất để: a Cả 3 người cùng được trả sai mũ b Có đúng một người được trả đúng mũ c Có đúng hai người được trả đúng mũ d Cả ba người đều được trả đúng mũ Giải: Gọi 3 cái mũ tương ứ

2015

TS Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/21/2015

GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐH

KINH TẾ QD- chương 1

Giải bài tập sách ‘‘Bài tập Xác suất và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD

07/2015 Bài tập có sự giúp đỡ của SV K52, K53 Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý : nnvminh@yahoo.com

§1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

Bài 1.1 Gieo một con xúc xắc đối xứng và đồng chất

Tìm xác suất để được:

a Mặt sáu chấm xuất hiện

b Mặt có số chẵn chấm xuất hiện

Giải:

a) Không gian mẫu là {1,2, ,6}

Gọi A=biến cố khi gieo con xúc xắc thì được mặt 6 chấm

a Được một tấm bìa có số không có số 5

b Được một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc cho 5 hoặc cả cho 2 và cho 5

Giải:

a) Không gian mẫu là {1,2, ,100}

Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số có số 5

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số không có số 5 là 1P A( ) 1 0,19  0,81

b) Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc cho 5 hoặc cả cho 2 và cho

5

Số kết cục duy nhất đồng khả năng là n = 100

Số kết cục thuận lợi m = 60 (trong đó có 50 số chia hết cho 2, 20 số chia hết cho 5, chú ý có 10 số chia hết cho 10 được tính 2 lần) do đó ( ) 60 0, 6

100

Bài 1.3 Một hộp có a quả cầu trắng và b quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu

a) Tìm xác suất để quả cầu thứ nhất trắng

b) Tìm xác suất để quả cầu thứ hai trắng biết rằng quả cầu thứ nhất trắng

c) Tìm xác suất để quả cầu thứ nhất trắng biết rằng quả cầu thứ hai trắng

Giải: a) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2, , a và b quả cầu đen là a+1, ,a+b

Không gian mẫu là {1,2, ,a+b}

Không gian mẫu là tập các bộ số (u,v) với 1ua,1  v a b u;  v

Số kết cục duy nhất đồng khả năng là (a a b 1)

Nếu quả thứ nhất trắng thì số cách chọn nó là a cách, vậy số cách chọn quả thứ 2 là a-1

Số kết cục thuận lợi là a(a-1)

c) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2, , a và b quả cầu đen là a+1, ,a+b

Không gian mẫu là tập các bộ số (u,v) với 1u a b,1 v a u;  v

Số kết cục duy nhất đồng khả năng là (a a b 1)

Nếu quả thứ hai trắng thì số cách chọn nó là a cách, vậy số cách chọn quả thứ 1 trắng là a-1

Số kết cục thuận lợi là a(a-1)

b Quả cầu cuồi cùng là trắng

Giải: a) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2, , a và b quả cầu đen là a+1, ,a+b

Không gian mẫu là tập các bộ số (u,v) với 1u v,  a b u;  v

a) Đánh số a quả cầu trắng là 1, 2, , a và b quả cầu đen là a+1, ,a+b

Không gian mẫu là tập các bộ số (u u1, 2, ,u a b ) là hoán vị của 1,2, ,a+b

Số kết cục duy nhất đồng khả năng là (a b )!

Số cách chọn quả cuối cùng là a, sau đó có a+b-1 cách chọn quả 1, a+b-2 cách chọn quả 2, ,và cuối cùng

là 1 cách chọn quả thứ a+b-1 Do đó số kết cục thuận lợi là (a a b 1)!

Bài 1.5 Gieo đồng thời hai đồng xu Tìm xác suất để được

a) Hai mặt cùng sấp xuất hiện

b) Một sấp, một ngửa

c) Có ít nhất một mặt sấp

Giải: Không gian mẫu là (N,N), (S,N), (N,S), (S,S)

a) Số kết cục thuận lợi là 1: (S,S) nên 1 0, 25

Không gian mẫu là tất cả các cặp (W B , Số kết cục duy nhất đồng khả năng là 36 i, j)

Bài 1.7 Ba người khách cuối cùng ra khỏi nhà bỏ quên mũ Chủ nhà không biết rõ chủ của những chiếc

mũ đó nên gửi trả họ một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để:

a) Cả 3 người cùng được trả sai mũ

b) Có đúng một người được trả đúng mũ

c) Có đúng hai người được trả đúng mũ

d) Cả ba người đều được trả đúng mũ

Giải: Gọi 3 cái mũ tương ứng của 3 người đó là 1, 2, 3

Không gian mẫu là 6 hoán vị của 1, 2, 3 gồm các bộ (i,j,k): (1,2,3), …, (3,2,1) Ta hiểu là đem mũ i trả cho người 1, mũ j trả cho người 2, mũ k trả cho người 3

a) số các bộ (i,j,k) mà i1,j2,k  chỉ có 2 bộ thuận lợi như vậy là (2,3,1), (3,1,2), vậy 3 2 1

6 3

a

P  

b) Nếu chỉ người 1 được trả đúng mũ thì chỉ có một khả năng thuận lợi (1,3,2)

Nếu chỉ người 2 được trả đúng mũ thì chỉ có một khả năng thuận lợi (3,2,1)

Nếu chỉ người 3 được trả đúng mũ thì chỉ có một khả năng thuận lợi (2,1,3), vậy 3 1

Bài 1.8 Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng Đức, 20% học

tiếng Anh và Pháp, 15% học tiếng Anh và Đức, 10% học tiếng Pháp và Đức, 5% học cả ba thứ tiếng Tìm xác suất khi lấy ngẫu nhiên 1 sinh viên thì người đó:

a) Học ít nhất một trong 3 ngoại ngữ

b) Chỉ học tiếng Anh và tiếng Đức

c) Chỉ học tiếng Pháp

d) Học tiếng Pháp biết người đó học tiếng Anh

Giải: Vẽ biểu đồ Ven

Gọi A, B, C tương ứng là biến cố lấy ngẫu nhiên 1 sinh viên thì sinh viên đó học tiếng Anh, Pháp, Đức a) P a P A(  B C)P A( )P B( )P C( )P A( B)P B( C)P C( A)P A( BC)

Bài 1.9 Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng quên mất 3 chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác

nhau Tìm xác suất để người đó quay số một lần được đúng số điện thoại của bạn

Giải: Không gian mẫu là tập con của tập các số 000, 001, …, 999 mà có 3 chữ số khác nhau

Ta phải tìm số các cặp (a,b,c) với a,b,c nhận từ 0,…, 9 mà a, b, c khác nhau đôi một

a có 10 cách chọn, sau đó b có 9 cách chọn, sau đó c có 8 cách chọn , vậy số các cặp như vậy là 10.9.8 =

a) Cả 3 chi tiết lấy ra thuộc tiêu chuẩn

b) Trong số 3 chi tiết lấy ra có 2 chi tiết đạt tiêu chuẩn

Giải: Gọi các chi tiết đạt tiêu chuẩn là 1, …, 10, các chi tiết phế phẩm là 11, …, 15

Không gian mẫu là tập các tập con {a, b, c} với a, b, c khác nhau đôi 1 nhận giá trị từ 1 đến 15

Số các kết cục đồng khả năng là 153 15.14.13 5.7.13

3.2.1

Bài 1.11 Một nhi đồng tập xếp chữ Em có các chữ N, Ê, H, G, H, N Tìm xác suất để em đó trong khi sắp

xếp ngẫu nhiên được chữ NGHÊNH

Giải: Đầu tiên ta xếp chữ N : có 62 6.5 15

c) Mỗi người ra ở một tầng khác nhau

Giải: Mỗi khách có thể ra ở một trong 6 tầng, vậy số các trường hợp có thể xảy ra là 6.6.6 = 216

a) số kết cục thuận lợi là 1, vậy 1

Bài 1.13 Trên giá sách có xếp ngẫu nhiên một tuyển tập của tác giả X gồm 12 cuốn Tìm xác suất để các

tập được xếp theo thứ tự hoặc từ trái sang phải, hoặc từ phải sang trái

Giải: Số cách xếp sách là: 12!

Gọi A là biến cố “xếp theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái”

52.51.50 5525

a

C P C

Bài 1.15 Một lô hàng có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm được chia ngẫu nhiên thành 2 thành phần bằng

nhau Tìm xác suất để mỗi phần có số chính phẩm bằng nhau

Giải: Mỗi phần sẽ có 5 sản phẩm

Chỉ cần xét phần 1 vì phần 2 là phần bù của phần 1

Để mỗi phần có số chính phẩm bằng nhau thì phần một phải là (3 chính phẩm+2 phế phẩm)

Các kết cục đồng khả năng của phần 1 là (5 chính phẩm), (4 chính phẩm+1 phế phẩm), (3 chính phẩm+2 phế phẩm), (2 chính phẩm+3 phế phẩm), (1 chính phẩm+4 phế phẩm)

Giải: Không gian mẫu là {00000,00001, …, 99999} là các số có 5 chữ số từ 0 đến 99999 (nếu thiếu số thì

viết số 0 vào đầu) Số các kết cục đồng khả năng là 100000

a) Chữ số thứ 1 có 10 cách chọn, chữ số thứ 2 có 9 cách chọn, chữ số thứ 3 có 8 cách chọn, chữ số thứ 4

có 7 cách chọn, chữ số thứ 5 có 6 cách chọn Số các kết cục thuận lợi là : 10.9.8.7.6 Do đó 10.9.8.7.6 189

Bài 1.17 Năm người A, B, C, D, E ngồi một cách ngẫu nhiên vào một chiếc ghế dài Tìm xác suất để :

a) C ngồi chính giữa

b) A và B ngồi ở hai đầu ghế

Giải: Giả sử ghế dài được chia thành 5 ô, mỗi người ngồi vào một ô

Có 5 cách xếp cho người A ngồi, sau đó còn 4 cách xếp cho người B, 3 cách xếp cho người C, 2 cách xếp cho người D và cuối cùng 1 cách duy nhất cho người E Số các kết cục đồng khả năng là 5.4.3.2.1=120 a) C ngồi chính giữa, vậy có 1 cách xếp cho C, còn 4 cách xếp cho A, 3 cách xếp cho B, 2 cách xếp cho

D, 1 cách xếp cho E Số các kết cục thuận lợi là 1.4.3.2.1=24 Vậy 24 1 0, 2

120 5

a

b) A và B ngồi hai đầu ghế nên có 2 cách xếp cho A, B cùng ngồi là A B hoặc B A ở hai đầu ghế, sau đó

có 3 cách xếp cho C, 2 cách xếp cho D, và 1 cách xếp duy nhất cho E Số các kết cục thuận lợi là : 2.3.2.1=12 Vậy 12 0,1

120

a

Bài 1.18 Trong một chiếc hộp có n quả cầu được đánh số từ 1 tới n Một người lấy ngẫu nhiên cùng một

lúc ra hai quả Tính xác suất để người đó lấy được một quả có số hiệu nhỏ hơn k và một quả có số hiệu lớn hơn k (1<k<n)

Giải: Chọn 2 quả cầu trong n quả cầu, số kết cục đồng khả năng là C n2

Số cách chọn 1 quả cầu có số hiệu nhỏ hơn k là k 1 Số cách chọn quả cầu có số hiệu lớn hơn k là nk

Số kết cục thuận lợi là (k1)(n k ) Vậy ( 1)(2 ) 2( 1)( )

Bài 1.19 Gieo n con xúc xắc đối xứng và đồng chất Tìm xác suất để được tổng số chấm là n 1

Giải: Gieo n con xúc xắc thì ta có số kết cục đồng khả năng là 6n

Nếu tổng số chấm là n 1 thì chỉ có trường hợp n 1 mặt 1 và 1 mặt 2 Số kết cục thuận lợi là: n Vậy

đích của xạ thủ đó nếu người bắn 200 viên đạn

Giải: Có 0,85 = 85% số viên đạn trúng đích Vậy bắn 200 viên thì có 85%.200 = 170 viên trúng đích

Bài 1.21 Có thể xem xác suất sinh là con trai là bao nhiêu nếu theo dõi 88200 trẻ sơ sinh ở một vùng thấy

Bài 1.22 Dùng bảng số ngẫu nhiên để mô phỏng kết quả của 50 lần tung một con xúc sắc Từ đó tìm tần

suất xuất hiện các mặt 1, 2, …, 6 chấm và mô tả bằng đồ thị Đồ thị tần suất này sẽ như thế nào nếu tung

1 triệu lần?

Giải: Sử dụng bảng số ngẫu nhiên, lấy ra 50 chữ số có giá trị >0 và <7 bắt đầu từ một dòng ngẫu nhiên, ta

được:

5-4-4-6-1-4-6-2-1-5-6-2-1-1-5-3-1-3-3-6-4-5-3-1-5-1-2-4-1-1-1-1-2-6-1-2-5-2-5-3-5-4-1-2-2-5-5-5-3-5 Lập bảng tần suất:

ta đánh rơi 1 sản phẩm Đến kho kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được chính phẩm Tìm xác suất để sản phẩm đánh rơi là chính phẩm

Giải: Có a chính phẩm

Sau khi đánh rơi tại kho chọn ra 1 sản phẩm thì nó là chính phẩm

0 0,1 0,2 0,3

Mặt 1 chấm Mặt 2 chấm Mặt 3 chấm Mặt 4 chấm Mặt 5 chấm Mặt 6 chấm

Tần suất suất hiện các mặt khi tung xúc sắc 50 lần

Tần suất

 sản phẩm đánh rơi nếu là chính phẩm thì chỉ có thể là a 1 chính phẩm

Số khả năng của sản phẩm đánh rơi là a + b – 1 (1 là sản phẩm chọn tại kho)

 Xác suất sản phẩm đánh rơi là chính phẩm là

11

a P

Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty đó thì được:

a Một nhân viên từ 40 tuổi trở xuống

b Một nam nhân viên trên 40

c Một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống

Bài 1.25 Một cửa hàng đồ điện nhập lô bóng điện đóng thành từng hộp, mỗi hộp 12 chiếc Chủ cửa hàng

kiểm tra chất lượng bằng cách lấy ngẫu nhiên 3 bóng để thử và nếu cả 3 bóng cùng tốt thì hộp bóng điện

đó được chấp nhận Tìm xác suất để một hộp bóng điện được chấp nhận nếu trong hộp đó có 4 bóng bị hỏng

Giải: Xét một hộp 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng

Gọi A là biến cố “ 3 bóng điện được lấy ra trong hộp có 4 bóng hỏng đều tốt”

Số kết hợp đồng khả năng xảy ra là số tổ hợp chập 3 từ 12 phần tử Như vậy ta có: n=C 123 220

Trong hộp có 4 bóng hỏng, 8 bóng tốt nên số khả năng thuận lợi lấy được 3 bóng tốt là m = C 83 56

Vậy xác suất hộp điện được chấp nhận là:

P(A) = 56 0, 254

220 

Bài 1.26 Giả sử xác suất sinh con trai và con gái là như nhau Một gia đình có 3 con Tính xác suất

để gia đình đó có:

a Hai con Gái

b Ít nhất hai con gái

c Hai con gái biết đứa con đầu lòng là gái

d Ít nhất hai con gái biết rằng gia đình đó có ít nhất một con gái

Giải: Xác suất sinh con trai và con gái là như nhau và đều bằng 1

2 Mỗi lần gia đình đó sinh con sẽ có hai khả năng xảy ra hoặc là con trai hoặc là con gái, mà gia đình đó có

ba con nên số khả năng là có thể xảy ra là 8

Không gian mẫu là các bộ (c c c ) mà 1, 2, 3 c nhận giá trị trai hoặc gái i

a) A là biến cố gia đình đó sinh hai con gái P(A)=

Do gia đình đó sinh ít nhất hai con gái nên gia đình đó có thể sinh hai con gái hoặc ba con gái

Nếu gia đình đó sinh hai con gái có 3 khả năng xảy ra (như câu a)), gia đình đó sinh ba con gái có một khả năng xảy ra

P(B)=4

8

c) Gia đình đó sinh hai con gái biết đứa con đầu là con gái

Đứa thứ hai là con gái thì đứa thứ ba là con trai, đứa thứ hai là con trai thì đứa thứ ba là con gái

Vậy xác suất sinh hai con gái mà đứa con đầu lòng là con gái là:

P=1 1 1 1 1

2 22 2 2

d) D=Biến cố gia đình đó sinh ít nhất hai con gái biết gia đình đó có ít nhất 1 con gái

Gia đình đó có ít nhất một con gái vậy số khả năng xảy ra là

8-1=7 (bỏ đi 1 trường hợp 3 nam) Không gian mẫu còn 7 giá trị

Gia đình đó có ít nhất hai con gái nên hoặc có hai con gái hoặc có ba con gái

Nếu gia đình đó có hai con gái sẽ có một con trai có ba khả năng xảy ra, nếu gia đình đó có ba con gái có môt khả năng xảy ra P(D)=4

7

Bài 1.27 Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên ba người không quen biết nhau ở ngoài đường thì họ:

a Có ngày sinh nhật khác nhau

b Có ngày sinh nhật trùng nhau

Giải: Giả sử 1 năm có 365 ngày

b) Gọi B là biến cố “cả 3 người có ngày sinh nhật trùng nhau” => có 365 kết quả thuận lợi với biến cố

trên Vậy xác suất của biến cố 3653 12

365 365

b

Bài 1.28 Một lô sản phẩm gồm 100 chiếc ấm sứ trong đó có 20 chiếc vỡ nắp, 15 chiếc sứt vòi, 10 chiếc

mẻ miệng 7 chiếc vừa vỡ nắp vừa sứt vòi, 5 chiếc vừa vỡ nắp vừa mẻ miệng, 3 chiếc vừa sứt vòi vừa mẻ miệng 1 chiếc vừa vỡ nắp vừa sứt vòi vừa mẻ miệng Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra Tìm xác suất:

Số sp vừa vỡ nắp vừa sứt vòi là: 6 chiếc

Số sp vừa vỡ nắp vừa mẻ miệng là: 4 chiếc

Số sp vừa sứt vòi vừa mẻ miệng là: 2 chiếc

Số sp vừa vỡ nắp vừa sứt vòi vừa mẻ miệng là 1 chiếc

Gọi A là biến cố sp bị khuyết tật

 P(B) = 6 0.06

100Gọi C là biến cố sp bị sứt vòi biết rằng nó bị vỡ nắp

 P(C) = 6 1

9 6 4 1



   = 0.35

Bài 1.29 Biết rằng tại xí nghiệp trong 3 tháng cuối năm đã có 6 vụ tai nạn lao động Tìm xác suất để

không có ngày nào có quá 1 vụ tai nạn lao động

Giải: Vì 3 tháng cuối năm có 31+30+31=92 ngày, ta gọi là ngày 1, , ngày 92

Không gian mẫu là tập các bộ số tự nhiên (a a1, 2, ,a ) sao cho 6 a nhận giá trị từ 1, 2, ,92 (tai nạn thứ k k

A

Bài 1.30 Có n người trong đó có m người trùng tên xếp hàng một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để m

người trùng tên đứng cạnh nhau nếu:

a, Họ xếp hàng ngang

b, Họ xếp vòng tròn

Giải: a) Vì có n người xếp thành hàng ngang nên sẽ có n! cách xếp

Gọi A là biến cố “m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xếp hàng ngang”

Nếu coi m người trùng tên đứng cạnh nhau này là 1 người thì ta có (n – m + 1)! cách xếp Và trong đó lại

có m! cách xếp cho m người trùng tên

Vậy xác suất để m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xếp hàng ngang là:

P(A) = !( 1 )!

!

m n m n

 

b) Ví có n người xếp thành vòng tròn nên sẽ có (n – 1)! cách sắp xếp

Gọi b là biến cố “m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xếp thành vòng tròn”

Nếu coi m người trùng tên đứng cạnh nhau là 1 người thì khi xếp n người thành vòng tròn ta có (n – m)! cách xếp

Số kết quả thuận lợi cho B là: m!(n – m)!

Vậy xác suất để m người trùng tên đứng cạnh nhau khi họ xếp vòng tròn là:

P(B) = !( )!

( 1 )!

m n m n





Bài 1.31 Ba nữ nhân viên phục vụ A, B, C thay nhau rửa đĩa chén và giả thiết ba người này đều “khéo

léo” như nhau Trong một tháng có 4 chén bị vỡ Tìm xác suất:

Giải: Mỗi vị khách đều có 3 sự lựa chọn vào 1 trong 3 quầy bất kỳ của cửa hàng

Vậy 10 vị khách sẽ có 310 sự lựa chọn vào 1 trong 3 quầy bất kỳ của cửa hàng

Không gian mẫu là các bộ số (a a1, 2, ,a ) trong đó 10 a nhận giá trị 1,2,3 nếu khách k vào quầy 1,2,3 k

Số cách chọn 3 vị khách vào quầy 1 và 7 vị khách vào 2 quầy 2 và 3 là 2 C 7 103

Vậy xác suất 3 vị khách vào quầy số 1 là

Giải: Gọi A là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại I”

B là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại II”

C là biến cố “chi tiết lấy ra thuộc loại III”

a) A + B là biến cố lấy ra chi tiết loại A hoặc loại B

b) A B là biến cố không lấy ra được chi tiết loại A hoặc loại B , hay chính là lấy ra chi tiết loại C

c) AB + C là biến cố lấy ra hoặc chi tiết loại C hoặc vừa là chi tiết A vừa là chi tiết B

d) AC là biến cố lấy ra chi tiết vừa là loại A vừa là loại C

Bài 1.34 Ba người cùng bắn vào 1 mục tiêu Gọi Ak là biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu Hãy viết bằng ký hiệu các biến cố biểu thị bằng:

Bài 1.35 Ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm Các sản phẩm đều thuộc một trong hai loại:

Tốt hoặc Xấu Ký hiệu Ak = (k = 1,10 ) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu Viết bằng

ký hiệu các biến cố sau:

a Cả 10 sản phẩm đều xấu

b Có ít nhất một sản phẩm xấu

c Có 6 sản phẩm đầu kiểm tra là tốt, còn các sản phẩm còn lại là xấu

d Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là tốt, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là xấu

Bài 1.36 Gọi A là biến cố sinh con gái và B là biến cố sinh con có trọng lượng hơn 3kg Hãy mô tả

tổng và tích của 2 biến cố trên

Giải: A+B = “Sinh con gái hoặc sinh con nặng hơn 3kg”

A.B = “Sinh con gái nặng hơn 3kg”

Bài 1.37 Một công ty tham gia đấu thầu hai dự án Gọi A và B tương ứng là biến cố công ty thắng thầu dự

án thứ nhất và thứ hai Hãy mô tả tổng và tích của A và B

Giải: Tổng A+ B là biến cố: công ty thắng thầu 1 trong 2 dự án

Tích A.B là biến cố: công ty thắng thầu cả 2 dự án

§5 Định lý cộng và định lý nhân xác suất Bài 1.38 Cơ cấu chất lượng sản phẩm của một nhà máy như sau:

Sản phẩm loại 1: 40%, sản phẩm loại 2: 50%, còn lại là phế phẩm

Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy Tính xác suất sản phẩm lấy ra thuộc loại 1 hoặc loại 2

Giải: Gọi A1 là biến cố sản phẩm lấy ra thuộc loại 1

Gọi A2 là biến cố lấy ra sản phẩm loại 2

Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra thuộc loại 1 hoặc loại 2

A= A1+A2

Vì A1 và A2 xung khắc với nhau, do đó:

P(A) = P(A1+ A2) = P(A1)+P(A2) =0,4 +0,5=0,9

Bài 1.39 Để nhập kho, sản phẩm của nhà máy phải trải qua 3 phòng kiểm tra chất lượng, xác suất phát

hiện ra phế phẩm ở các phòng theo thứ tự là 0,8; 0,9 và 0,99 Tính xác suất phế phẩm được nhập kho( các phòng kiểm tra hoạt động độc lập)

Giải: Gọi Ak là biến cố “sản phẩm của nhà máy đi qua phòng kiểm tra số k là phế phẩm” (k=1,2,3)

A là biến cố “sản phẩm nhập kho là phế phẩm”

Ta có: P(A1) = 1 – 0.8 = 0.2; P(A2)= 0.1; P(A3)= 0.01

Vì 3 phong kiểm tra hoạt động độc lập nên A1, A2, A3 là các biến cố độc lập

Xác suất để sản phẩm nhập kho là phế phẩm:

P(A) = P(A1.A2.A3) = P(A1).P(A2).P(A3)= 0.1x0.2x0,01= 0,0002

Bài 1.40 Xác suất để khi đo một đại lượng vật lý phạm sai số vượt quá tiêu chuẩn cho phép là 0,4 Thực

hiện 3 lần đo độc lập Tìm xác suất sao cho có đúng một lần đo sai số vượt quá tiêu chuẩn

Giải : Gọi A là biến cố đo sai lần k (k=1,2,3) k

Có P(A ) = 0,4 => P( k A ) = 0,6 k

A = Biến cố có đúng một lần đo sai số vượt quá tiêu chuẩn = A A A1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3

P(A) = P A A A( 1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3)= 3 0,4 0,6 0,6 = 0,432

Bài 1.41 Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi

xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi Tìm xác suất để hai bi lấy ra có cùng màu

Giải: Gọi A1 = biến cố lấy được bi trắng ở hộp 1  P (A1) = 3

B = biến cố lấy được 2 bi màu đỏ  P (B) = P(B1) P (B2) = 7 6

25 25 =

42625

C = biến cố lấy được 2 bi màu xanh  P(C) = P(C1) P (C2) = 15 9

25 25 =

27125

D = biến cố lấy được 2 bi cùng màu

A, B, C là các biến cố độc lập nên ta có xác suất để 2 bi lấy ra có cùng màu là:

TH1: Người 1 bắn trúng và người 2 không bắn trúng

b) Gọi B là biến cố có người trúng mục tiêu

 B là biến cố cả hai người đều bắn trượt

Vậy nên P(B) = P(A1) P(A2)= 0,2.0,1 = 0,02

Vậy nên P(B)= 1- P(B) = 1 – 0,02 = 0,98

Bài 1.43 Chi tiết được gia công qua k công đoạn nối tiếp nhau và chất lượng chi tiết chỉ được kiểm tra sau

khi đã được gia công xong Xác suất gây ra khuyết tật cho chi tiết ở công đoạn thứ i là (P i i 1, , )k Tìm xác suất để sau khi gia công xong chi tiết có khuyết tật

Giải: Sản phẩm được gia công qua k công đoạn Sản phẩm có thể có chi tiết khuyết tật ở bất cứ công

đoạn nào

Ta có xác suất để chi tiết công đoạn 1 khuyết tật là P 1 nên xác suất để chi tiết công đoạn 1 không khuyết tật là P1  1 P1

Tương tự, xác suất để chi tiết công đoạn i không khuyết tật là P i  1 P i

Vậy xác suất để sản phẩm không khuyết tật là PP P1 2 P P i k nên xác suất để sản phẩm có chi tiết khuyết tật là 1P 1 P P P P1 2 i k  1 (1P1) (1P k)

Bài 1.44 Trong hộp có n quả bóng bàn mới Người ta lấy ra k quả để chơi (

Bài 1.45 Tín hiệu thông tin được phát 3 lần với xác suất thu được của mỗi lần là 0,4

Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó

Nếu muốn xác suất thu được thông tin lên đến 0,9 thì phải phát ít nhất bao nhiêu lần

Bài 1.46 Hai người cùng bắn vào một mục tiêu, khả năng chỉ có một người bắn trúng là 0,38 Tìm

xác suất bắn trúng của người thứ 1 biết khả năng bắn trúng của người thứ 2 là 0,8

Giải: Gọi xác suất bắn trúng của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x và y

Xác suất chỉ một người bắn trúng là x(1-y) + y(1-x) = 0.38

Theo bài có y = 0.8 nên x = 0.7

Vậy xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0.7

Bài 1.47 Trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất để cả 2 sản phẩm

đều là phế phẩm trong trường hợp:

a Lấy hoàn lại

b Lấy không hoàn lại

Giải:

a Gọi A là biến cố: cả 2 sản phẩm lấy được đều là phế phẩm

A1 là biến cố: sản phẩm đầu tiên lấy được là phế phẩm

A2 là biến cố: sản phẩm thứ hai lấy được là phế phẩm

⇒ A=A1.A2 Vì lấy có hoàn lại nên A1 và A2 là 2 biến cố độc lập nên P(A)=P(A1).P(A2)

Ta có P(A1)=P(A2)=2/10 ⇒ P(A)=0,2.0,2=0,04

b Vì lấy không hoàn lại nên A1 và A2 là hai biến cố phụ thuộc

⇒ P(A) = P(A1A2) = P(A1).P(A2|A1) = = 0,022

Bài 1.48 Một nồi hơi được lắp van bảo hiểm với xác suất hỏng của các van tương ứng là 0,1 và 0,2 Nồi

hơi sẽ hoạt động an toàn khi có van không hỏng Tìm xác suất để nồi hơi hoạt động:

a An toàn

b Mất an toàn

Giải: Gọi A1 là biến cố van 1 không hỏng : P(A1)=0,1

Gọi A2 là biến cố van 2 không hỏng : P(A2)=0,2

Gọi A là biến cố nồi hơi hoạt động không an toàn khi có van bị hỏng

P(A)=P(A1.A2)=P(A1).P(A2)=0,1.0,2=0,02

Vậy xác suất để nồi hơi hoạt động an toàn là: P=1 - 0,02=0,98

Bài 1.49 Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu cho đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng Tính xác

suất sao cho phải bắn đến viên thứ 6, biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,2 và các lần bắn độc lập nhau

Giải: Gọi A là biến cố “Phải bắn đến viên thứ 6 mới trúng đích”

Ak là biến cố “Viên thứ k trúng đích” : P(Ak) = 0,2

Phải bắn đến viên thứ 6 mới trúng đích Vậy, phải bắn trượt 5 lần đầu và lần thứ sáu thì trúng Ta lại có các lần bắn có kết quả độc lập với nhau, vì vậy các biến cố A1, A2, …, A6 là các biến cố độc lập

Vậy xác suất để lần thứ 6 trúng đích là:

P(A) = P( ).P( ).P( ).P( ).P( ).P(A6) = (1 − 0,2) 0,2 = 0,065536

Bài 1.50 Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 9 chiếc trong đó chỉ có một chiếc mở cửa kho Anh ta thử

ngẫu nhiên từng chìa khóa một, chiếc nào đã được thử thì không thử lại Tính xác suất anh ta mở được đã

ở lần thử thứ tư

Giải: Gọi A1 là biến cố: “Lần thứ nhất không mở được cửa kho”

A2 là biến cố: “Lần thứ hai không mở được cửa kho”

A3 là biến cố: “Lần thứ ba không mở được cửa kho”

A4 là biến cố: “Lần thứ tư mở được cửa kho”

Theo đầu bài, thủ kho thử ngẫu nhiên từng chìa một, chiếc nào đã được thử thì không thử lại Do đó A1,

A2, A3, A4 là các biến cố phụ thuộc

Xét biến cố A1, chùm chìa khóa có 9 chìa trong đó chỉ có một chìa mở được, 8 chìa còn lại không mở được Lần thứ nhất không mở được Vậy biến cố A1 có xác suất: P(A1) =

Xét biến cố A2, sau khi thử lần thứ nhất, còn 8 chiếc chìa khóa trong đó 1 chiếc mở được và 7 chiếc không mở được Lận thứ hai không mở được Vậy biến cố A2 có xác suất: P(A2|A1) =

Tương tự, xét biến cố A3, sau khi thử lần thứ hai, còn 7 chiếc chìa khóa trong đó 1 chiếc mở được và 6 chiếc không mở được Lần thứ 3 không mở được Vậy biến cố A3 có xác suất: P(A3|A1A2) =

Xét biến cố A4, sau khi thử lần ba, còn 6 chiếc chìa khóa trong đó có 1 chiếc mở được và 5 chiếc không

mở được Lần thứ tư mở được Vậy biến cố A4 có xác suất: P(A4|A1A2A3) =

Vậy xác suất để mở được cửa kho ở lần thử thứ tư là:

P(A) = P(A1A2A3A4)=P(A1).P(A2|A1).P(A3|A1A2).P(A4|A1A2A3) = 8 7 6 1

9 8 7 6 9

1



Bài 1.51 Công ty sử dụng hai hình thức quảng cáo là đài phát thanh và vô tuyến truyền hình Giả sử 25%

khách hàng nắm được thông tin này qua vô tuyến truyền hình, 34% khách hàng nắm được thông tin qua đài phát thanh và 10% khách hàng nắm được thông tin qua cả hai hình thức quảng cáo Tìm xác suất để

chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng thì người đó nắm được thông tin về sản phẩm của công ty

Giải: A là biến cố “khách hàng nắm được thông tin của công ty qua vô tuyến truyền hình”

B là biến cố “khách hàng nắm được thông tin của công ty qua đài phát thanh”

Theo đề bài : P(A) = 0,25; P(B) =0.34; P(A.B) = 0,1

A+B= “khách hàng nắm được thông tin của công ty”

P (A+B) = P(A) + P(B) - P(A.B) = 0,25 + 0,34 – 0,1 = 0,49

Vậy xác suất để khách hàng nắm được thông tin của công ty là 49%

Bài 1.52 Gieo 2 con xúc xắc đối xứng và đồng chất Gọi A là biến cố xuất hiện khi tổng số chấm thu

được là lẻ, B là biến cố được ít nhất một mặt một chấm Tính P(AB),P(A+B), P(AB)

Giải: Gieo hai con xúc xắc

Mỗi xúc xắc có 6 mặt tương ứng với các số chấm 1,2,3,4,5,6

A là biến cố xuất hiện khi tổng số chấm thu được là lẻ

B là biến cố được ít nhất một mặt một chấm

A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(3,4),(3,6),(4,5),(5,6),(2,1),(4,1),(6,1),(3,2),(5,2), (4, 3),(6,3),(5,4),(6,5)} B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}

B|A ={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)}

Vậy P(A)= P(B)= P(B|A)=

Vì A và B là hai biến cố phụ thuộc nên :

P(AB)=P(A).P(B|A)= =

P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB)=

+ - =

P( )= 1- P(AB)=

Bài 1.53 Có 2 bóng đèn điện với xác suất hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2 và việc chúng hỏng là độc lập với

nhau Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu chúng mắc:

Xác suất để mạch có điện tức là 2 đèn đều không hỏng là P P1P2 0,9.0,80,72

nên xác suất để mạch không có điện là P   a 1 0, 720, 28

b) Mạch song song : mạch không có điện khi cả 2 đèn đều hỏng nên xác suất để mạch không có điện

là P b PP1 2 0,1.0, 20, 02

Bài 1.54 Có hai lô hàng Lô 1: Có 90 chính phẩm và 10 phế phẩm Lô 2: Có 80 chính phẩm và 20 phế

phẩm Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm Tìm xác suất để:

a Lấy được một chính phẩm

b Lấy được ít nhất một chính phẩm

Giải: a) Gọi A là biến cố “Lấy được 1 chính phẩm” Để A xảy ra, có thể lấy 1 chính phẩm từ Lô 1 và 1

phế phẩm từ Lô 2 hoặc 1 chính phẩm từ Lô 2 và 1 phế phẩm từ Lô 1

Do đó, xác suất của biến cố A: ( ) = + = 0,26

b) Gọi B là biến cố “Lấy được ít nhất 1 chính phẩm” thì biến cố đối là “Không lấy được chính phẩm nào”

Xác suất của biến cố : ( )= = 0,02 nên ( ) = 1 − ( ) = 1 − 0,02 = 0,98

Bài 1.55 Một lô hàng có 9 sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Sau khi

kiểm tra xong lại trả vào lô hàng Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra lô hàng, tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra

Giải: Gọi là biến cố lần thứ i lấy ra 3 sản phẩm mới để kiểm tra (i= 1,3) Gọi A là biến cố sau 3 lần kiểm tra tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra A= A1.A2.A3

Vì các biến cố phụ thuộc nên ta có:

P(A) = P(A1).P(A2|A1).P(A3|A1A2) = ∙ ∙ =

Bài 1.56 Xác suất để 1 viên đạn bắn trúng đích là 0,8 Hỏi phải bắn bao nhiêu viên đạn để với xác

suất nhỏ hơn 0,4 có thể hy vọng rằng không có viên nào trượt

Giải: Giả sử bắn n lần Gọi Ak = biến cố “lần thứ k bắn trúng” (k=1, ,n)

A = biến cố “Trong n lần bắn đều trúng”

Ta có: P(A1) = P(A2) = … = P(An) = 0,8

Do A1, A2,…An độc lập nên => P(A) = 0,8

Theo giả thiết xác suất của biến cố A < 0,4 0,8n 0, 4ln0,8n ln 0, 4nln0,8ln 0, 4n4,1

Vậy phải bắn ít nhất 5 viên đạn để với xác suất nhỏ hơn 0,4 có thể hi vọng rằng không có viên nào trượt

Bài 1.57 Phải tung một con xúc xắc ít nhất trong bao nhiêu lần để với xác suất lớn hơn 0,5 có thể hy vọng

rằng có ít nhất 1 lần được mặt 6 chấm

Giải: Giả sử tung con xúc xắc k lần thì ít nhất có 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm

Gọi A là biến cố “ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm”

Vậy Ā là biến cố “Mặt 6 chấm không xuất hiện lần nào”

a Tìm xác suất để người đó bán được hàng ở 2 nơi

b Tìm xác suất để người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi

Giải: Coi việc bán hàng ở mỗi nơi của người đó là một phép thử thì ta có 10 phép thử độc lập Trong mỗi

phép thử chỉ có 2 khả năng đối lập: hoặc bán được hàng hoặc không Xác suất bán được hàng mỗi nơi là 0,2 Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli

a Gọi A là biến cố người đó bán được hàng ở 2 nơi

Bài 1.60 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi , mỗi câu hỏi có 5 cách trả lời , trong đó chỉ có một cách trả lời

đúng Một thí sinh chọn cách trả lời một cách hoàn toàn hú họa Tìm xác suất để người đó thi đỗ , biết rằng để đỗ phải trả lời đúng ít nhất 8 câu

Giải: Coi việc trả lời mỗi câu hỏi của người đó là một phép thử độc lập , ta có 10 phép thử độc lập Mỗi

phép thử có 5 cách trả lời nên xác suất để trả lời đúng mỗi câu hỏi là 0,2

Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli

Theo công thức Bernoulli :

P10(8) = 0,28 0,82 = 0,000078

Bài 1.61 Một siêu thị lắp 4 chuông báo cháy hoạt động độc lập với nhau Xác suất để khi có cháy mỗi

chuông kêu là 0,95 Tìm xác suất để có chuông kêu khi cháy

Giải: Gọi A là biến cố chuông kêu khi có cháy

Ta có là biến cố không có chuông nào kêu khi cháy

Coi 4 chuông báo cháy là 4 phép thử, ta có 4 phép thử độc lập Trong mỗi phép thử có 2 khả năng xảy ra chuông kêu hoặc không kêu khi có cháy Xác suất chuông kêu khi có cháy là p = 0,95

P( )=P4(0)= 0,054=6,25 10-6

Vậy P(A)=1-P( )=1- 6,25 10-6=0,999994