Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Chu.o.ng Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am `eu biˆ nhiˆ e´n 9.1 9.2 9.3 - a.o h` D am riˆ eng 110 9.1.1 - a.o h` D am riˆeng cˆ a´p 110 9.1.2 - a.o h` D am cu’a h` am ho p 111 9.1.3 H` am kha’ vi 111 9.1.4 - a.o h` o.ng 112 D am theo hu.´ 9.1.5 - a.o h` D am riˆeng cˆ a´p cao 113 `eu biˆ Vi phˆ an cu’a h` am nhiˆ e´n 125 9.2.1 Vi phˆ an cˆ a´p 126 9.2.2 ´ du.ng vi phˆ `an d´ ung 126 Ap an dˆe’ t´ınh gˆ 9.2.3 C´ ac t´ınh chˆ a´t cu’a vi phˆ an 127 9.2.4 Vi phˆ an cˆ a´p cao 127 9.2.5 Cˆ ong th´ u.c Taylor 129 9.2.6 Vi phˆ an cu’a h` am ˆ a’n 130 `eu biˆ am nhiˆ e´n 145 Cu c tri cu’a h` `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 110 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.1 9.1.1 Cu c tri 145 `eu kiˆe.n 146 o diˆ Cu c tri c´ a´t v` a b´e nhˆ a´t cu’a h` am 147 Gi´ a tri l´ o.n nhˆ - a.o h` D am riˆ eng - a.o h` D am riˆ eng cˆ a´p Gia’ su’ w = f (M), M = (x, y) x´ac di.nh lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m M (x, y) Ta.i diˆe’m M ta cho biˆe´n x sˆo´ gia t` uy y ´ ∆x vˆ˜a n gi˜ u gi´a tri cu’a biˆe´n y khˆong dˆo’i Khi d´o h`am f (x, y) nhˆa.n sˆo´ gia tu.o.ng u ´.ng l`a ∆x w = f (x + ∆x, y) − f(x, y) go.i l`a sˆ o´ gia riˆeng cu’a h`am f (x, y) theo biˆe´n x ta.i diˆe’m M (x, y) Tu.o.ng tu da.i lu.o ng ∆y w = f (x, y + ∆y) − f (x, y) go.i l`a sˆ o´ gia riˆeng cu’a h`am f (x, y) theo biˆe´n y ta.i diˆe’m M(x, y) - i.nh ngh˜ıa 9.1.1 D `on ta.i gi´o.i ha.n h˜ u.u ha.n Nˆe´u tˆ ∆x w f (x + ∆x, y) − f (x, y) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o c go.i l`a da.o h`am riˆeng cu’a h`am f (x, y) theo biˆe´n x ta.i diˆe’m (x, y) v`a du.o c chı’ bo’.i mˆo.t c´ac k´ y hiˆe.u ∂w , ∂x ∂f(x, y) , ∂x fx0 (x, y), wx0 - a.o h`am riˆeng 9.1 D 111 `on ta.i gi´o.i ha.n Tu.o.ng tu : nˆe´u tˆ ∆y w f (x, y + ∆y) − f (x, y) = lim ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y lim th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o c go.i l`a da.o h`am riˆeng cu’a h`am f (x, y) theo biˆe´n y ta.i diˆe’m M(x, y) v`a du.o c chı’ bo’.i mˆo.t c´ac k´ y hiˆe.u ∂w , ∂y ∂f (x, y) , ∂y fy0 (x, y), wy0 T` u di.nh ngh˜ıa suy r˘`ang da.o h`am riˆeng cu’a h`am hai biˆe´n theo biˆe´n x l`a da.o h`am thˆong thu.`o.ng cu’a h`am mˆo.t biˆe´n x cˆo´ di.nh gi´a tri ´ ac quy t˘ ac v` a am riˆeng du.o c t´ınh theo c´ cu’a biˆe´n y Do d´o c´ac da.o h` cˆ ong th´ u.c t´ınh da.o h` o.ng cu’a h` am mˆ o.t biˆe´n am thˆ ong thu.` Nhˆ a.n x´et Ho`an to`an tu.o.ng tu ta c´o thˆe’ di.nh ngh˜ıa da.o h`am riˆeng `eu ho.n ba) biˆe´n sˆo´ cu’a h`am ba (ho˘a.c nhiˆ 9.1.2 - a.o h` D am cu’a h` am ho p Nˆe´u h`am w = f(x, y), x = x(t), y = y(t) th`ı biˆe’u th´ u.c w = f [x(t), y(t)] l`a h`am ho p cu’a t Khi d´o ∂w dx ∂w dy dw = · + · · dt ∂x dt ∂y dt Nˆe´u w = f (x, y), d´o x = x(u, v), y = y(u, v) th`ı  ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y   = + ,  ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y    = + · ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v 9.1.3 (9.1) (9.2) H` am kha’ vi Gia’ su’ h`am w = f (M) x´ac di.nh mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m M (x, y) H`am f du.o c go.i l`a h`am kha’ vi ta.i diˆe’m M (x, y) nˆe´u sˆo´ gia `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 112 ∆f(M) = f(x + ∆, y + ∆y) − f (x, y) cu’a h`am chuyˆe’n t` u diˆe’m ˜e n du.´o.i da.ng M (x, y) dˆe´n diˆe’N(x + ∆, y + ∆y) c´o thˆe’ biˆe’u diˆ ∆f(M ) = D1 ∆x + D2 ∆y + o(ρ), ρ→0 p d´o ρ = ∆x2 + ∆y Nˆe´u h`am f(x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M (x, y) th`ı ∂f (M ) = D1 , ∂x ∂f (M) = D2 ∂y v`a d´o ∆f(M) = 9.1.4 ∂f ∂f (M)∆x + ∆y + o(ρ), ∂x ∂y ρ → (9.3) - a.o h` D am theo hu.´ o.ng Gia’ su’.: (1) w = f(M ) l`a h`am x´ac di.nh lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m M (x, y); (2) ~e = (cos α, cos β) l`a vecto do.n vi trˆen du.`o.ng th˘a’ng c´o hu.´o.ng L qua diˆe’m M(x, y); (3) N = N(x + ∆x, y + ∆y) l`a diˆe’m thuˆo.c L v`a ∆e l`a dˆo d`ai cu’a doa n th˘a’ng MN `on ta.i gi´o.i ha.n h˜ u.u ha.n Nˆe´u tˆ lim ∆`→0 (N →M ) ∆w ∆` th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o c go.i l`a da.o h`am ta.i diˆe’m M (x, y) theo hu.´o.ng cu’a ∂w vecto ~e v`a du.o c k´ , t´ u.c l`a y hiˆe.u l`a ∂~e ∆w ∂w = lim · ∆`→0 ∂~e ∆` - a.o h`am riˆeng 9.1 D 113 Da.o h`am theo hu.´o.ng cu’a vecto ~e = (cos α, cos β) du.o c t´ınh theo cˆong th´ u.c ∂f ∂f ∂f = (M ) cos α + (M) cos β ∂~e ∂x ∂y (9.4) d´o cos α v`a cos β l`a c´ac cosin chı’ phu.o.ng cu’a vecto ~e  ∂f ∂f  ∂F ∂f v`a (t´ u.c l`a vecto , ) du.o c go.i Vecto v´o.i c´ac to.a dˆo ∂x ∂y ∂x ∂y y hiˆe.u l`a l`a vecto gradiˆen cu’a h`am f(M ) ta.i diˆe’m M (x, y) v`a du.o c k´ gradf(M ) ∂f c´o biˆe’u th´ u.c l`a T` u d´o da.o h`am theo hu.´o.ng ∂~e ∂f = gradf, ~e ∂~e ´ r˘a`ng: 1) Nˆe´u h` am w = f (x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M(x, y) Ta lu.u y th`ı n´ o liˆen tu.c ta.i M v` a c´ o c´ ac da.o h` am riˆeng cˆ a´p ta.i d´ o; am riˆeng cˆ a´p theo mo.i biˆe´n 2) N´eu h` am w = f (x, y) c´ o c´ ac da.o h` lˆ an cˆ a.n n` ao d´ o cu’a diˆe’m M (x, y) v` a c´ ac da.o h` am riˆeng n` ay liˆen tu.c ta.i diˆe’m M(x, y) th`ı n´ o kha’ vi ta.i diˆe’m M Nˆe´u h`am f(x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M (x, y) th`ı n´o c´o da.o h`am theo mo.i hu.o´.ng ta.i diˆe’m d´o Ch´ u ´y Nˆe´u h`am f (x, y) c´o da.o h`am theo mo.i hu.´o.ng ta.i diˆe’m M0 th`ı khˆong c´o g`ı da’m ba’o l`a h`am f (x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M0 (xem v´ı du 4) 9.1.5 - a.o h` D am riˆ eng cˆ a´p cao `en D ⊂ R2 v`a Gia’ su’ miˆ f :D→R 114 `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ l`a h`am hai biˆe´n f(x, y) du.o c cho trˆen D Ta d˘a.t o n ∂f 6= ±∞ , Dx = (x, y) ∈ D : ∃ ∂x o n ∂f 6= ±∞ Dy = (x, y) ∈ D : ∃ ∂y D∗ = Dx ∩ Dy ∂f ∂f - i.nh ngh˜ıa 1) C´ac da.o h`am riˆeng v`a du o c go.i l`a c´ac da.o D ∂x ∂y h`am riˆeng cˆa´p ∂f ∂f : Dx → R v`a : Dy → R c´o c´ac da.o h`am riˆeng 2) Nˆe´u h`am ∂x ∂y ∂  ∂f  = ∂x ∂x ∂  ∂f  = ∂y ∂x ∂  ∂f  = ∂x ∂y ∂  ∂f  = ∂y ∂y ∂ 2f ∂ 2f = , ∂x∂x ∂x2 ∂ 2f , ∂x∂y ∂ 2f , ∂y∂x ∂ 2f ∂ 2f = ∂y∂y ∂y th`ı ch´ ung du.o c go.i l`a c´ac da.o h` am riˆeng cˆ a´p theo x v`a theo y C´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p du.o c di.nh ngh˜ıa nhu l`a c´ac da.o h`am riˆeng cu’a da.o h`am riˆeng cˆa´p 2, v.v ∂ 2f ˜ ` ´ v`a ´ r˘ang nˆeu h`am f (x, y) c´o c´ac da.o h`am hˆo n ho p Ta lu u y ∂x∂y ∂ 2f liˆen tu.c ta.i diˆe’m (x, y) th`ı ta.i diˆe’m d´o c´ac da.o h`am hˆo˜ n ho p n`ay ∂y∂x b˘a`ng nhau: ∂ 2f ∂ 2f = · ∂x∂y ∂y∂x ´ V´I DU CAC - a.o h`am riˆeng 9.1 D 115 V´ı du T´ınh da.o h`am riˆeng cˆa´p cu’a c´ac h`am 1) 4w = x2 − 2xy + y 2) w = xy ∂w du o c t´ınh nhu l`a da.o h`am cu’a h`am w Gia’i 1) Da.o h`am riˆeng ∂x theo biˆe´n x v´o.i gia’ thiˆe´t y = const Do d´o ∂w = (x2 − 2xy + y 3)0x = 2x − 2y + = 2(x − y 2) ∂x Tu.o.ng tu , ta c´o ∂w = (x2 − 2xy + y 3)0y = − 4xy + 3y = y(3y − 4x) ∂y 2) Nhu 1), xem y = const ta c´o
0 ∂w = xy x = yxy−1 ∂x Tu.o.ng tu , xem x l`a h˘a`ng sˆo´ ta thu du.o c ∂w = xy lnx ∂y u dˆo´i v´o.i biˆe´n y x = const N (v`ı w = xy l`a h`am m˜ V´ı du Cho w = f(x, y) v`a x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ H˜ay t´ınh v`a ∂w ∂ϕ ´ r˘a`ng Gia’i Dˆe’ ´ap du.ng cˆong th´ u.c (9.2), ta lu.u y w = f(x, y) = f(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = F (ρ, ϕ) u.c dˆo´i v´o.i x v`a y ta c´o Do d´o theo (9.2) v`a biˆe’u th´ ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂w = + = cos ϕ + sin ϕ ∂ρ ∂x ∂ρ ∂y ∂ρ ∂x ∂y ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂w = + = (−ρ sin ϕ) + (ρ cos ϕ) ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂x ∂y   ∂w ∂w sin ϕ + cos ϕ N =ρ − ∂x ∂y ∂w ∂ρ `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 116 V´ı du T´ınh da.o h`am cu’a h`am w = x2 + y 2x ta.i diˆe’m M0 (1, 2) theo −→ hu.´o.ng cu’a vecto M0 M1, d´o M1 l`a diˆe’m v´o.i to.a dˆo (3, 0) `au tiˆen ta t`ım vecto do.n vi ~e c´o hu.´o.ng l`a hu.´o.ng d˜a cho Gia’i Dˆ Ta c´o −→ M0 M1 = (2, −2) = 2e1 − 2e2, −→ √ 2e1 − 2e2 M0 M1 √ = ⇒ |M0 M1 | = 2 ⇒ ~e = |M0 M1 | 2 1 = √ ~e1 − √ ~e2 2 d´o ~e1, ~e2 l`a vecto do.n vi cu’a c´ac tru.c to.a dˆo T` u d´o suy r˘a`ng cos α = √ , cos β = − √ · Tiˆe´p theo ta t´ınh c´ac da.o h`am riˆeng ta.i diˆe’m M0 (1, 2) Ta c´o fx0 = 2x + y ⇒ fx0 (M0) = fx0 (1, 2) = 6, fy0 = 2xy ⇒ fy0 (M0 ) = fy0 (1, 2) = u.c (9.4) ta thu du.o c Do d´o theo cˆong th´ √ ∂f = · √ − · √ = N ∂~e 2 p V´ı du H`am f(x, y) = x + y + |xy| c´o da.o h`am theo mo.i hu.´o.ng ta.i diˆe’m O(0, 0) nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i d´o `on ta.i da.o h`am theo mo.i hu.´o.ng Gia’i Su tˆ Ta x´et hu.´o.ng cu’a vecto ~e di t` u O v`a lˆa.p v´o.i tru.c Ox g´oc α Ta c´o p ∆e f(0, 0) = ∆x + ∆y + |∆x∆y| p
= cos α + sin α + | cos α sin α| ρ, - a.o h`am riˆeng 9.1 D 117 p d´o ρ = ∆x2 + ∆y 2, ∆x = ρ cos α, ∆y = ρ sin α T` u d´o suy p ∂f ∆e f(0, 0) (0, 0) = lim = cos α + sin α + | sin α cos α| ρ→0 ∂~e ρ `on ta.i theo mo.i hu.´o.ng t´ u c l`a da.o h`am theo hu ´o ng tˆ Tuy nhiˆen h`am d˜a cho khˆong kha’ vi ta.i O Thˆa.t vˆa.y, ta c´o p ∆f(0, 0) = f (∆x, ∆y) − f(0, 0) = ∆x + ∆y + |∆x| |∆y| − V`ı fx0 = v`a fy0 = (ta.i ? ) nˆen nˆe´u f kha’ vi ta.i O(0, 0) th`ı p ∆f(0, 0) = ∆x + ∆y + |∆x∆y| = · ∆x + · ∆y + ε(ρ)ρ p ε(ρ) → 0(ρ → 0), ρ = ∆x2 + ∆y ´ ∆x = ρ cos α, ∆y = ρ sin α ta c´o hay l`a lu.u y p ε(ρ) = | cos α sin α| ung b´e ρ → (v`ı n´o Vˆe´ pha’i d˘a’ng th´ u.c n`ay khˆong pha’i l`a vˆo c` ho`an to`an khˆong phu thuˆo.c v`ao ρ) Do d´o theo di.nh ngh˜ıa h`am f (x, y) d˜a cho khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m O N V´ı du T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p cu’a c´ac h`am: x 1) w = xy , 2) w = arctg · y `au tiˆen t´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p Ta c´o Gia’i 1) Dˆ ∂w ∂w = yxy−1 , = xy lnx ∂x ∂y Tiˆe´p theo ta c´o ∂ 2w ∂x2 ∂ 2w ∂y∂x ∂ 2w ∂x∂y ∂ 2f ∂y = y(y − 1)xy−2 , = xy−1 + yxy−1 lnx = xy−1 (1 + ylnx), = yxy−1 lnx + xy · = xy (lnx)2 = xy−1 (1 + ylnx), x `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 118 2) Ta c´o y ∂w = , ∂x x + y2 x ∂w =− · ∂y x + y2 T` u d´o ∂ 2w ∂x2 ∂ 2w ∂y ∂ 2w ∂x∂y ∂ 2w ∂y∂x 2xy ∂  y  =− , 2 ∂x x + y (x + y 2)2 2xy ∂  −x  = = , 2 ∂y x + y x + y2 ∂  y  x2 − y = = , ∂y x2 + y (x2 + y 2)2 ∂  x  x2 − y = − = · ∂x x + y2 (x2 + y 2)2 = ∂ 2w ∂ 2w `eu c´o = N Nhˆ a.n x´et Trong ca’ 1) lˆ˜a n 2) ta dˆ ∂x∂y ∂y∂x V´ı du T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p cu’a h`am w = f (x + y , y + x2 ) ta.i diˆe’m M0 (−1, 1), d´o x v`a y l`a biˆe´n dˆo.c lˆa.p Gia’i D˘a.t t = x + y , v = y + x2 Khi d´o w = f (x + y , y + x2 ) = f (t, v) Nhu vˆa.y w = f(t, v) l`a h`am ho p cu’a hai biˆe´n dˆo.c lˆa.p x v`a y N´o phu thuˆo.c c´ac biˆe´n dˆo.c lˆa.p thˆong qua hai biˆe´n trung gian t, v Theo cˆong th´ u.c (9.2) ta c´o: ∂f ∂t ∂f ∂v ∂w = · + · ∂x ∂t ∂x ∂v ∂x = ft0 (x + y , y + x2 ) · + fv0 (x + y , y + x2 ) · 2x = ft0 + 2xfv0 ... v`a dy vi phˆan df l`a h`am cu’a x v`a y u hai d2 f (hay vi phˆan cˆa´p 2) cu’a Theo di.nh ngh˜ıa: Vi phˆan th´ h`am f (x, y) ta.i diˆe’m M(x, y) du.o c di.nh ngh˜ıa nhu l`a vi phˆan cu’a vi `eu... ho`an to`an tu.o.ng tu 125 `eu biˆe´n Chu.o.ng Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆ 126 9.2.1 Vi phˆ an cˆ a´p Gia’ su’ h`am w = f(x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M(x, y), t´ u.c l`a ta.i d´o sˆo´ gia ˜e n... u.c (go.i l`a phˆ o´i v´ o.i ∆x v` cu’a sˆo´ gia ∆f) D1 ∆x + D2 ∆y `an ≡ hay vi phˆ du.o c go.i l`a vi phˆ an (hay vi phˆ an to` an phˆ an th´ u nhˆ a´t) cu’a h`am w = f (x, y) v`a du.o c k´ y