PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN TẬP 1 HUỲNH THẾ PHÙNG (ĐH HUẾ)

Đây là giáo trình PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN TẬP 1 HUỲNH THẾ PHÙNG (ĐH HUẾ) được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế. Nội dung cuốn sách:Chương 1:Không gian Rn Chương 2:PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Chương 3. Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

®¹i häc huÕ tr−êng ®¹i häc khoa häc huúnh thÕ phùng Giáo trình phép tính vi phân hm nhiều biến Huế 2008 đại học huế trờng đại học khoa học huỳnh phùng Giáo trình phép tính vi phân hμm nhiÒu biÕn HuÕ – 2008 Mục lục Chương Không gian Rn 1.1 Không gian vectơ Rn 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tích vơ hướng 1.1.3 Độ dài vectơ 1.2 Hàm khoảng cách hội tụ 1.2.1 Hàm khoảng cách Rn 1.2.2 Sự hội tụ dãy n 1.3 Tôpô R 1.3.1 Các khái niệm 1.3.2 Tập liên thông - Tập compact 1.4 Thực hành tính tốn Maple 10 1.4.1 Vec-tơ ma trận 10 1.4.2 Các phép toán vectơ 11 1.4.3 Các phép toán ma trận 12 1.5 Bài tập 13 Chương Phép Tính Vi phân Hàm nhiều biến 14 2.1 Giới hạn Liên tục 14 2.1.1 Hàm nhiều biến 14 2.1.2 Giới hạn 15 2.1.3 Sự liên tục 16 2.2 Đạo hàm Vi phân 16 2.2.1 Đạo hàm riêng 16 2.2.2 Đạo hàm theo hướng 17 2.2.3 Vi phân 18 2.2.4 Đạo hàm hàm số hợp tính bất biến vi phân 19 2.2.5 Đạo hàm hàm ẩn 20 2.3 Đạo hàm cấp cao Công thức Taylor 22 2.3.1 Đạo hàm cấp cao 22 2.3.2 Vi phân cấp cao 23 2.3.3 Công thức Taylor 24 2.4 Cực trị 25 2.4.1 Điều kiện cần 25 2.4.2 Điều kiện đủ 26 2.4.3 Cực trị có điều kiện 27 2.5 Thực hành tính tốn Maple 28 2.5.1 Giới hạn đồ thị hàm nhiều biến 28 2.5.2 Tính đạo hàm 31 2.5.3 Khai triển Taylor 32 2.6 Bài tập 32 Chương Ứng dụng phép tính vi phân hình học 35 3.1 Các hệ toạ độ 35 3.1.1 Hệ toạ độ cực 35 3.1.2 Hệ toạ độ trụ 36 3.1.3 Hệ toạ độ cầu 36 3.2 Hàm vectơ 37 3.2.1 Khái niệm 37 3.2.2 Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm 38 3.3 Các đối tượng liên quan đến đường cong 39 3.3.1 Tiếp tuyến pháp tuyến đường cong phẳng 39 3.3.2 Tiếp tuyến pháp diện đường cong không gian 40 3.3.3 Độ cong 40 3.3.4 Hình bao họ đường cong 43 3.4 Mặt cong 43 3.4.1 Khái niệm 43 3.4.2 Tiếp diện pháp tuyến mặt cong 44 3.5 Thực hành tính tốn 46 3.5.1 Vẽ đường cong mặt phẳng 46 3.5.2 Vẽ mặt cong không gian 47 3.5.3 Vận động đồ thị 48 3.6 Bài tập 49 Tài liệu tham khảo 51 Chương KHÔNG GIAN RN 1.1 Không gian vectơ Rn 1.1.1 Định nghĩa Với R tập số thực, ta ký hiệu Rn tập hợp tất n số thực: x = (x1 , x2 , · · · , xn ); xi ∈ R, ≤ i ≤ n xi gọi toạ độ thứ i x Với cặp phần tử Rn : x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ta gọi tổng x + y phần tử Rn cho x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ) Với cặp λ ∈ R, x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn ta gọi tích x với số vô hướng λ phần tử λx = (λx1 , λx2 , · · · , λxn ) Đặc biệt, ta ký hiệu −x := (−1)x = (−x1 , −x2 , · · · , −xn ) phần tử có tất toạ độ 0: := (0, 0, · · · , 0) Dễ kiểm chứng Rn với hai phép tốn lập thành khơng gian vectơ trường số thực R Tức là, với λ, µ ∈ R, x, y ∈ Rn ta có a) x + y = y + x; b) (x + y) + z = x + (y + z); c) + x = x + = x; d) x + (−x) = 0; e) λ(x + y) = λx + λy; f) (λ + µ)x = λx + µx; g) (λµ)x = λ(µx); h) 1x = x Từ đó, phần tử x ∈ Rn gọi n−vectơ vectơ thực n chiều 1.1.2 Tích vơ hướng Với cặp vectơ x, y ∈ Rn ta định nghĩa tích vơ hướng x y số thực sau x, y := x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn Rõ ràng, tích vơ hướng , ánh xạ từ Rn × Rn vào R Các tính chất tích vơ hướng thể mệnh đề sau Định lý 1.1 Với x, y, z ∈ Rn λ ∈ Rn ta có a) x, x ≥ ; b) x, x = ⇔ x = 0; c) x, y = y, x ; d) λx, y = x, λy = λ x, y ; e) x, y + z = x, y + x, z Hai vectơ x y gọi trực giao (hay vng góc) với ký hiệu x⊥y x, y = Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Cho x y hai vectơ, ta có x, y 1.1.3 ≤ x, x y, y Độ dài vectơ Với vectơ x ∈ Rn , ta gọi độ dài (hay chuẩn) x số thực x định nghĩa bởi: x := x21 + x22 + · · · + x2n x, x = Định lý 1.2 Với x, y ∈ Rn λ ∈ R ta có a) x ≥ 0; b) x = ⇔ x = 0; c) λx = |λ| x ; d) x + y ≤ x + y Định lý 1.3 (Pythagore) Cho x, y ∈ Rn Lúc đó, x⊥y ⇐⇒ x + y = x + y = x − y Định lý 1.4 (Đẳng thức hình bình hành) Cho x, y ∈ Rn Lúc đó, x+y + x−y =2 x + y 1.2 Hàm khoảng cách hội tụ 1.2.1 Hàm khoảng cách Rn Dựa định nghĩa độ dài vectơ người ta đưa vào khái niệm khoảng cách hai vectơ Rn Cụ thể, ta định nghĩa ánh xạ d : Rn × Rn → R, xác định d(x, y) := x − y ; ∀x, y ∈ Rn Lúc đó, d(x, y) gọi khoảng cách x y, d gọi hàm khoảng cách (Euclide) Rn Định lý sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Định lý 1.5 Với x, y, z ∈ Rn ta có a) d(x, y) ≥ 0; b) d(x, y) = ⇔ x = y; c) d(x, y) = d(y, x); d) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) Bổ đề 1.2 Với x, y, z ∈ Rn ta có a) d(x + z, y + z) = d(x, y); b) 1.2.2 n i=1 |xi − yi | ≥ d(x, y) ≥ |xj − yj |, với ≤ j ≤ n Sự hội tụ dãy Cho (xk )k∈N ⊂ Rn dãy vectơ Ta nói dãy hội tụ vectơ x¯ ∈ Rn , ký hiệu k→∞ x¯ = lim xk hay xk −→ x¯, k→∞ k dãy số thực (d(x , x¯))k∈N hội tụ không Tức x¯ = lim xk ⇐⇒ lim d(xk , x¯) = k→∞ k→∞ Một dãy (xk ) ⊂ Rn gọi bị chặn tồn số dương M cho xk ≤ M ; ∀k ∈ N, gọi dãy Cauchy lim d(xm , xk ) = k,m→∞ Điều hiểu là: ∀ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀m, k ≥ n0 : d(xm , xk ) < Bây ta để ý việc cho dãy vectơ (xk ) ⊂ Rn tương đương với việc cho n dãy số thực, dãy (xki )k∈N , ≤ i ≤ n Định lý sau cho mối quan hệ dãy Bổ đề 1.3 Cho dãy vectơ (xk )k∈N Lúc a) (xk ) bị chặn (Cauchy) ⇐⇒ (xki )k∈N bị chặn (Cauchy) R, với i k→∞ k→∞ b) xk −→ x¯ ⇐⇒ xki −→ x¯i , với i c) (xk ) hội tụ ⇐⇒ (xk ) dãy Cauchy Hệ 1.1 Cho dãy vectơ (xk )k∈N , (y k )k∈N dãy số (λk ) cho xk → x¯; ¯ Lúc y k → y¯; λk → λ a) xk ± y k → x¯ ± y¯ b) d(xk , y k ) → d(¯ x, y¯) c) xk , y k → x¯, y¯ ¯ x d) λk xk → λ¯ Hệ 1.2 (Định lý Bolzano-Weierstrass) Mọi dãy bị chặn Rn tồn dãy hội tụ 1.3 Tôpô Rn 1.3.1 Các khái niệm Giả sử x0 điểm không gian Rn r số thực dương, ta gọi hình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x0 bán kính r tập sau đây: B(x0 ; r) ={x ∈ Rn | d(x0 , x) < r}, B (x0 ; r)={x ∈ Rn | d(x0 , x) ≤ r}, S(x0 ; r) ={x ∈ Rn | d(x0 , x) = r} Bây cho A ⊂ Rn x0 ∈ Rn Ta nói x0 điểm (ngoài) A tồn số dương cho B(x0 ; ) ⊂ A (B(x0 ; ) ∩ A = ∅) x0 gọi điểm biên A x0 vừa điểm trong, vừa khơng phải điểm ngồi A; Tức là, với > ta có B(x0 ; ) ∩ A = ∅ B(x0 ; ) \ A = ∅ Tập điểm trong, điểm ngoài, điểm biên A gọi phần trong, phần ngoài, biên A ký hiệu Int(A), Ext(A) ∂A Rõ ràng, ba tập lập thành phân hoạch Rn (nghĩa chúng rời có hợp Rn ) Hơn nữa, từ định nghĩa ta có: Int(A) ⊂ A ⊂ Int(A) ∪ ∂A; Ext(A) ⊂ Rn \ A Tập A gọi mở A = Int(A) gọi đóng A = Int(A) ∪ ∂A, hay, cách tương đương ∂A ⊂ A Định lý 1.6 Với A ⊂ Rn , Int(A) mở tập mở lớn A Mệnh đề sau cho mối quan hệ hai khái niệm đóng mở tập hợp Mệnh đề 1.7 Cho A ⊂ Rn Lúc A đóng Rn \ A mở Tập hợp tất tập mở Rn gọi tôpô Rn Định lý sau cho ta tính chất tôpô Rn Định lý 1.8 a) ∅, Rn tập mở b) Hợp họ tuỳ ý tập mở mở c) Giao số hữu hạn tập mở mở Từ định lý từ Mệnh đề 1.7 ta có tính chất họ tập đóng, phát biểu mệnh đề sau Hệ 1.3 a) ∅, Rn tập đóng b) Giao họ tuỳ ý tập đóng đóng c) Hợp số hữu hạn tập đóng đóng Cho A ⊂ Rn Ta gọi bao đóng A tập hợp định nghĩa A := B B đóng B⊃A Hệ 1.4 a) Với A ⊂ Rn , A đóng tập đóng bé chứa A b) A đóng A = A c) A = A ∪ ∂A Một điểm x0 ∈ A gọi điểm dính A Mệnh đề sau cho ta đặc trưng điểm dính A 37 Mối liên hệ toạ độ cầu toạ độ Đêcac cho hệ sau   x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ,   z = ρ cos θ Dễ thấy rằng, mặt cầu đơn vị có phương trình ρ = cịn mặt nón r = z toạ độ trụ có phương trình toạ độ cầu θ = π4 Trong đó, mặt parabol z = x2 + y có phương trình cos θ = ρ sin2 θ 3.2 Hàm vectơ 3.2.1 Khái niệm Cho I khoảng R Lúc đó, ánh xạ f :I −→ Rn ; t ∈I −→ f (t) ∈ Rn gọi hàm vectơ (n chiều) biến số t xác định I Với giá trị t ∈ I, f (t) n−vectơ với n thành phần: f (t) = (f1 (t), · · · , fn (t)) Vì việc cho hàm vectơ f (t) tương đương với việc cho n hàm số thực fi (t), ≤ i ≤ n, gọi hàm thành phần f Tập hợp C := {f (t) | t ∈ I} gọi đường cong Rn Khi n = ta nhận đường cong phẳng n = ta có đường cong không gian Thông thường, đường cong phẳng cho hàm (x(t), y(t)) hay viết dạng hệ x = x(t), y = y(t), t ∈ I Tương tự, đường cong không gian xác định Chẳng hạn, hệ   x = x(t), y = y(t),   z = z(t), t ∈ I   x = cos t, y = sin t,   z = t, t∈R cho ta đường xoắn dạng lò xo bao quanh mặt trụ x2 + y = 38 3.2.2 Giới hạn - Liên tục - Đạo hàm Cho hàm vectơ f : I → Rn t0 ∈ I Ta nói vectơ v ∈ Rn giới hạn hàm f t0 ký hiệu v = lim f (t) t→t0 ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀t ∈ I : < |t − t0 | < δ ⇒ f (t) − v < Sử dụng Bổ đề 3.3 giáo trình Giải tích dễ chứng minh v = lim f (t) ⇐⇒ vi = lim fi (t); t→t0 t→t0 ≤ i ≤ n (3.1) Hàm f gọi liên tục t0 f (t0 ) = lim f (t), t→t0 gọi liên tục liên tục điểm thuộc khoảng I Từ (3.1) ta có kết sau Mệnh đề 3.1 Hàm vectơ f liên tục I (tại t0 ) hàm thành phần fi liên tục I (tại t0 ) Đạo hàm hàm vectơ f điểm t0 định nghĩa giới hạn sau tồn tại: f (t0 + ∆t) − f (t0 ) f (t0 ) := lim ∆t→0 ∆t Mệnh đề 3.2 Hàm vectơ f có đạo hàm t0 hàm thành phần fi có đạo hàm điểm Hơn nữa, ta có f (t0 ) = (f1 (t0 ), · · · , fn (t0 )) Mệnh đề 3.3 Cho f g hàm vectơ n chiều, có đạo hàm t0 λ số thực Lúc đó, hàm vectơ f ± g, λf hàm số f, g có đạo hàm Hơn a) (f ± g) (t0 ) = f (t0 ) ± g (t0 ), b) (λf ) (t0 ) = λf (t0 ), c) f, g (t0 ) = f (t0 ), g(t0 ) + f (t0 ), g (t0 ) Hệ 3.1 Nếu f hàm vectơ có đạo hàm cho f (t) số, điểm ta có f (t)⊥f (t) Nếu f hàm vectơ có đạo hàm điểm I, f hàm vectơ Nếu f có đạo hàm ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai f ký hiệu f Tương tự, ta định nghĩa đạo hàm cấp cao f Sử dụng Mệnh đề 3.2 nhiều lần ta thu kết sau 39 Mệnh đề 3.4 Hàm vectơ f có đạo hàm đến cấp k t0 hàm thành phần fi có đạo hàm cấp k điểm Hơn nữa, ta có (k) f (k) (t0 ) = (f1 (t0 ), · · · , fn(k) (t0 )) Một đường cong gọi liên tục, khả vi, khả vi liên tục v.v hàm vectơ f tương ứng có tính chất 3.3 Các đối tượng liên quan đến đường cong 3.3.1 Tiếp tuyến pháp tuyến đường cong phẳng Cho đường cong phẳng C xác định hệ x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b] (3.2) Với t0 ∈ (a, b), M0 = f (t0 ) = (x(t0 ), y(t0 )) điểm đường cong Giả thiết thêm f (t0 ) tồn khác không Với số gia ∆t đủ bé điểm Mt = f (t0 + ∆t) = (t0 ) (x(t0 + ∆t), y(t0 + ∆t)) nằm đường cong C Lúc f (t0 +∆t)−f vectơ ∆t phương cát tuyến M0 Mt Khi ∆t → ta có Mt → M0 cát tuyến M0 Mt tiến dần tiếp tuyến đường cong M0 Do đó, f (t0 ) tồn khác khơng vectơ phương tiếp tuyến đường cong C M0 Đường thẳng qua M0 vng góc với tiếp tuyến đường cong gọi pháp tuyến đường cong Rõ ràng phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong M0 cho x = x(t0 ) + tx (t0 ), y = y(t0 ) + ty (t0 ), t∈R x (t0 )(x − x(t0 )) + y (t0 )(y − y(t0 )) = Bây giả sử đường cong C cho phương trình F (x, y) = 0, với F : R2 → R hàm hai biến, có đạo hàm riêng điểm M0 (x0 , y0 ) ∈ C M0 gọi điểm kỳ dị ∇F (x0 , y0 ) = Trường hợp ngược lại ta nói M0 điểm quy Lúc đó, theo Định lý 2.10 tồn hàm ẩn y = y(x) (hay x = x(y)) với y(x0 ) = y0 , F (x, y(x)) = với x Fx (x0 , y0 ) + Fy (x0 , y0 ).y (x0 ) = 40 Mặt khác, ý C biểu diễn hệ phương trình tham số lân cận M0 x = x, y = y(x) Nên (1, y (x0 )) vectơ phương tiếp tuyến C M0 Do đó, (Fx (x0 , y0 ), Fy (x0 , y0 )) vectơ phương pháp tuyến đường cong M0 mà ta gọi vectơ pháp C Lúc này, phương trình đường tiếp tuyến C M0 (x − x0 ).Fx (x0 , y0 ) + (y − y0 ).Fy (x0 , y0 ) = Ví dụ 3.1 Đường trịn đơn vị có phương trình x2 + y = Ở đây, Fx = 2x → Fy = 2y nên điểm M0 (x0 , y0 ) đường trịn chọn vectơ pháp − n = (x0 , y0 ) Vậy phương trình tiếp tuyến đường trịn M0 x0 (x−x0 )+y0 (y−y0 ) = 0, hay x0 x + y0 y = 3.3.2 Tiếp tuyến pháp diện đường cong không gian Giả sử C đường cong khả vi không gian xác định hệ   x = x(t), t ∈ [a, b] y = y(t),   z = z(t), (3.3) Bằng lập luận tương tự đường cong phẳng ta thấy, với t0 ∈ (a, b), v := (x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )) (nếu khác vectơ không) vectơ phương đường thẳng tiếp tuyến với C M0 ((x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) Do phương trình tham số tiếp tuyến   x = x(t0 ) + tx (t0 ), t ∈ R y = y(t0 ) + ty (t0 ),   z = z(t0 ) + tz (t0 ), Mặt phẳng chứa M0 , vng góc với v gọi pháp diện đường cong Dĩ nhiên, phương trình pháp diện C M0 (x − x(t0 ))x (t0 ) + (y − y(t0 ))y (t0 ) + (z − z(t0 ))z (t0 ) = 3.3.3 Độ cong a Trường hợp đường cong phẳng Cho C đường cong phẳng khả vi hai lần, xác định hệ (3.2) Lấy điểm M (x(t), y(t)) ∈ C Tập hợp {(x(τ ), y(τ )) | τ ∈ [a, t]} cung đường cong 41 có hai mút A(x(a), y(a)) M Trong chương trình Giải tích I ta biết độ dài cung tính t x (τ )2 + y (τ )2 dτ s(t) := AM = a đó, vi phân cung ds(t) = x (t)2 + y (t)2 dt Bây cố định điểm M0 (x(t0 ), y(t0 )) với t0 ∈ (a, b) Với ∆t đủ bé t = t0 + ∆t ∈ (a, b), ta ký hiệu ∆α độ lớn góc lập hai vectơ tiếp tuyến đường cong M0 Mt (x(t), y(t)), ∆s độ dài cung M0 Mt Độ cong C M0 giới hạn sau tồn ∆α ∆t→0 ∆s (3.4) C(M0 ) := lim Nếu C(M0 ) = 0, đại lượng ρ = C(M0 ) gọi bán kính độ cong Ví dụ 3.2 Nếu C đoạn thẳng ∆α ln ln khơng Do đó, độ cong điểm khơng Nếu C đường trịn tâm I, bán kính R > với ∆α bé, ∆α góc lập hai bán kính IM0 IMt Do đó, độ dài cung ∆s R∆α Suy ∆α = ∆t→0 R∆α R C(M0 ) = lim Lúc này, ρ = R hay bán kính độ cong đường trịn trùng với bán kính Ở ta thấy khái niệm độ cong hợp lý chỗ độ cong đường tròn bé bán kính lớn Bổ đề 3.1 → − a) Cho hai vectơ − m = (m1 , m2 ), → n = (n1 , n2 ) lập thành góc nhọn Lúc đó, → → sin(− m, − n) = |m1 n2 − m2 n1 | − → → m − n (3.5) → → b) Nếu − m = (m1 , m2 , m3 ) − n = (n1 , n2 , n3 ), (3.5) thay − → sin(→ m, − n) = m m1 m2 + n2 n1 n2 − → m 2 m m1 m3 + n3 n1 n3 − → n 42 Định lý 3.5 Giả sử C đường cong phẳng, khả vi đến cấp hai, xác định hệ (3.2) M (x(t), y(t)), t ∈ (a, b) điểm C cho (x (t), y (t)) = (0, 0) Lúc |x y − x y | (3.6) C(M ) = (x + y ) Đặc biệt, C biểu diễn phương trình y = f (x), x ∈ [a, b] với M (x, f (x)) ta có |f | C(M ) = (1 + f ) Ví dụ 3.3 Đường cycloid: x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (a > 0) quỹ tích điểm P cố định đường trịn bán kính a đường tròn lăn trục Ox Độ cong đường cycloid điểm M (a(t − sin t), a(1 − cos t)) | cos t − 1| C(M ) = √ = 4a sin 2t a(1 − cos t) Như vậy, độ cong xác định điểm M với t = 2kπ Nếu đường cong cho toạ độ cực: r = f (ϕ), cách viết x = f (ϕ) cos ϕ, y = f (ϕ) sin ϕ, xem phương trình tham số đường cong, từ (3.6) ta có |r2 + 2r − rr | C(M ) = (r2 + r ) b Trường hợp đường cong không gian Cho đường cong C khả vi đến cấp hai không gian, xác định hệ (3.3) Tương tự mặt phẳng ta có cơng thức vi phân cung x (t)2 + y (t)2 + z (t)2 dt ds(t) = Với t0 ∈ (a, b) ∆t đủ bé, ta ký hiệu ∆s độ dài cung M0 Mt cịn ∆α số đo góc lập vectơ tiếp tuyến với đường cong M0 Mt , M0 Mt điểm đường cong tương ứng với tham số t0 t0 + ∆t Độ cong C M0 định nghĩa công thức (3.4) Định lý sau cho cơng thức tính độ cong đường không gian Định lý 3.6 Giả sử M (x(t), y(t), z(t)), t ∈ (a, b) điểm đường cong C cho (x (t), y (t), z (t)) = (0, 0, 0) Lúc C(M ) = x x y y y + y z z z + z (x + y + z ) x x 43 3.3.4 Hình bao họ đường cong Cho họ đường cong phẳng C(λ) phụ thuộc tham số λ Nếu đường cong C(λ) tiếp xúc với đường cong L ngược lại, điểm M ∈ L tồn đường cong C(λ) họ tiếp xúc với L M , L gọi hình bao họ C(λ) Ví dụ 3.4 * Phương trình (x − λ)2 + y = R2 , R số cố định, biểu diễn họ đường tròn bán kính R có tâm (λ,0) chạy trục Ox Hình bao họ hai đường thẳng y = ±R * Phương trình x cos λ + y sin λ − = biểu diễn họ đường thẳng mà khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng Hình bao họ đường tròn đơn vị Định lý 3.7 Cho họ đường cong F (x, y, λ) = phụ thuộc tham số λ Nếu đường họ không chứa điểm kỳ dị, phương trình hình bao L chúng xác định hệ F (x, y, λ) = 0, Fλ (x, y, λ) = 3.4 Mặt cong 3.4.1 Khái niệm Cho D miền R2 ánh xạ f :D −→ R3 ; (u, v) ∈D −→ f (u, v) ∈ R3 Với điểm (u, v) ∈ D, f (u, v) vectơ không gian với thành phần: f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Vì việc cho ánh xạ f tương đương với việc cho hàm số thực x(u, v), y(u, v) z(u, v) Tập hợp S := {f (u, v) | (u, v) ∈ D} gọi mặt cong không gian Thông thường, mặt cong cho hệ sau mà ta gọi phương trình tham số mặt   x = x(u, v), (u, v) ∈ D (3.7) y = y(u, v),   z = z(u, v), 44 Nếu từ phương trình tham số ta giải u, v theo x, y từ đưa phương trình z = g(x, y) (3.8) (hoặc x = g(y, z), y = g(z, x)) (3.8) gọi dạng hiển mặt cong S Nếu ta loại hai biến u, v từ (3.7) để nhận phương trình F (x, y, z) = 0, (3.9) F hàm ba biến, phương trình gọi dạng ẩn mặt Mặt gọi liên tục hàm thành phần liên tục; gọi trơn hàm thành phần khả vi liên tục ma trận Jacobi f : Jf := xu y u z u xv yv zv có hạng Sử dụng Định lý hàm ẩn ta chứng minh trường hợp mặt cong trơn lân cận điểm mặt, tồn biểu diễn dạng hiển biểu diễn dạng ẩn mặt Lúc này, hàm g, F tương ứng khả vi liên tục Hơn ∇F = điểm mặt Ví dụ 3.5 Mặt cầu tâm O bán kính R > có phương trình tham số   x = R sin θ cos ϕ, (θ, ϕ) ∈ [0, π] × [0, 2π) y = R sin θ sin ϕ,   z = R cos θ, Hoặc dạng phương trình ẩn: x2 + y + z − R2 = 3.4.2 Tiếp diện pháp tuyến mặt cong Giả sử S mặt cong trơn không gian M0 điểm mặt Ta nói mặt phẳng (P ) qua M0 mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện S M0 d(M, P ) = 0, (3.10) lim S M →M0 M0 M d(M, P ) khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) Ở đây, (3.10) hiểu d(M, P ) < ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀M ∈ S : < M0 M < δ ⇒ M0 M Đường thẳng qua M0 vng góc với tiếp diện S M0 gọi pháp tuyến mặt điểm 45 Định lý 3.8 Giả sử S mặt cong trơn xác định hệ (3.7) M0 ∈ S điểm ứng với cặp tham số (u0 , v0 ) Lúc tiếp diện S M0 mặt phẳng qua M0 nhận hai vectơ sau làm vectơ phương fu (u0 , v0 ) = (xu (u0 , v0 ), yu (u0 , v0 ), zu (u0 , v0 )); fv (u0 , v0 ) = (xv (u0 , v0 ), yv (u0 , v0 ), zv (u0 , v0 )) Từ định lý suy phương trình tham số tiếp diện M0 S   x = x(u0 , v0 ) + u.xu (u0 , v0 ) + v.xv (u0 , v0 ), (u, v) ∈ R2 y = y(u0 , v0 ) + u.yu (u0 , v0 ) + v.yv (u0 , v0 ),   z = z(u0 , v0 ) + u.zu (u0 , v0 ) + v.zv (u0 , v0 ), Đặc biệt, mặt cho dạng hiển (3.8) phương trình tiếp diện M0 (x0 , y0 , g(x0 , y0 )) z = (x − x0 )gx (x0 , y0 ) + (y − y0 )gy (x0 , y0 ) + g(x0 , y0 ), (x, y) ∈ R2 → Lúc ta có vectơ pháp mặt: − n = (gx (x0 , y0 ), gy (x0 , y0 ), −1) Định lý 3.9 Giả sử S mặt cong trơn xác định phương trình ẩn (3.9) M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S Lúc tiếp diện S M0 mặt phẳng qua M0 nhận ∇F (M0 ) làm vectơ pháp Lúc phương trình tiếp diện (x − x0 )Fx (x0 , y0 , z0 ) + (y − y0 )Fy (x0 , y0 , z0 ) + (z − z0 )Fz (x0 , y0 , z0 ) = (3.11) pháp tuyến có phương trình x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 ) Ví dụ 3.6 * Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt parabol z = x2 + y M (1, 2, 5) → Ta có phương trình mặt dạng hiển với g(x, y) = x2 + y Tại M ta có − n = (2, 4, −1) Nên phương trình tiếp diện z = 2(x − 1) + 4(y − 2) + hay 2x + 4y − z − = phương trình pháp tuyến y−2 z−5 x−1 = =− * Viết phương trình tiếp diện mặt Êlip x2 +2y +5z = điểm M (1, 1, 1) Đây phương trình dạng ẩn với F (x, y, z) = x2 + 2y + 5z − Áp dụng (3.11) ta có phương trình tiếp diện 2(x − 1) + 4(y − 1) + 10(z − 1) = hay x + 2y + 5z − = 46 3.5 Thực hành tính tốn Phần thực hành chương chủ yếu ta nghiên cứu cách vẽ đường cong mặt cong mặt phẳng không gian, bao gồm trường hợp xét Chương Để thực lệnh mục này, nói chung, ta cần khởi động gói cơng cụ plots, plottools 3.5.1 Vẽ đường cong mặt phẳng a Dùng toạ độ Đê-các Trong toạ độ Đê-các, đường cong phẳng (C) thường biểu diễn đồ thị hàm biến f đó: (C) : y = f (x), x ∈ [a, b], biểu diễn dạng tham số: (C) : x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], dạng phương trình ẩn (C) : F (x, y) = Để vẽ đường cong trường hợp thứ ta dùng lệnh [> plot(f(x), x=a b); trường hợp thứ hai ta dùng lệnh [> plot([x(t), y(t), t=a b]); trường hợp thứ ba: [> implicitplot(F(x,y)=0, x=a b, y=c d); b Dùng toạ độ cực Trong toạ độ cực, đường cong phẳng thường có hai cách biểu diễn (C) : r = f (ϕ); ϕ ∈ [a, b] (C) : r = r(t), ϕ = ϕ(t), t ∈ [a, b] Để vẽ đường cong trường hợp thứ ta dùng lệnh [> polarplot(f(phi), phi=a b); trường hợp thứ hai ta dùng lệnh [> polarplot([r(t), phi(t), t=a b]); 47 3.5.2 Vẽ mặt cong không gian a Dùng toạ độ Đê-các Trong toạ độ Đê-các, mặt cong phẳng (S) thường biểu diễn đồ thị hàm hai biến f đó: (S) : z = f (x, y), (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], biểu diễn dạng tham số:   x = x(s, t), (S) : y = y(s, t),   z = z(s, t), (s, t) ∈ [a, b] × [c, d], phương trình ẩn: (S) : F (x, y, z) = Để vẽ mặt cong trường hợp thứ ta dùng lệnh [> plot3d(f(x,y), x=a b, y=c d); trường hợp thứ hai ta dùng lệnh [> plot3d([x(s,t), y(s,t), z(s,t)], s=a b, t=c d); trường hợp thứ ba ta dùng lệnh [> implicitplot3d(F(x,y,z)=0, x=a b, y=c d, z=e f); b Dùng toạ độ trụ Trong toạ độ trụ, mặt cong phẳng (S) thường biểu diễn hai cách: (S) : r = f (ϕ, z), (ϕ, z) ∈ [a, b] × [c, d],   r = r(s, t), (S) : ϕ = ϕ(s, t),   z = z(s, t), (s, t) ∈ [a, b] × [c, d] Để vẽ mặt cong trường hợp thứ ta dùng lệnh [> cylinderplot(f(phi, z), phi=a b, z=c d); trường hợp thứ hai ta dùng lệnh [> cylinderplot([r(s,t), phi(s,t), z(s,t)], s=a b, t=c d); c Dùng toạ độ cầu Trong toạ độ cầu, mặt cong phẳng (S) thường biểu diễn hai cách: (S) : ρ = f (ϕ, θ), (ϕ, θ) ∈ [a, b] × [c, d], 48   ρ = ρ(s, t), (S) : ϕ = ϕ(s, t),   θ = θ(s, t), (s, t) ∈ [a, b] × [c, d] Để vẽ mặt cong trường hợp thứ ta dùng lệnh [> sphereplot(f(phi, theta), phi=a b, theta=c d); trường hợp thứ hai ta dùng lệnh [> sphereplot([rho(s,t), phi(s,t), theta(s,t)], s=a b, t=c d); Ví dụ: Để vẽ mặt cầu đơn vị ta dùng lệnh sau (xem Hình 3.1) [> plot3d([sin(s)*cos(t),sin(s)*sin(t),cos(s)],s=0 Pi,t=0 2*Pi); [> cylinderplot(sqrt(1-z∧2), phi=0 2*Pi, z=-1 1); [> cylinderplot([sin(s), phi, cos(s)], phi=0 2*Pi, s=0 Pi); [> sphereplot(1, phi=0 2*Pi, theta=0 Pi); Hình 3.1: Mặt cầu đơn vị 3.5.3 Vận động đồ thị Vận động đồ thị biến thiên đồ thị theo tham số Điều có nghĩa ta cho họ đường cong (Ct ) hay mặt cong (St ) phụ thuộc vào tham số t Sau vẽ tất đường/mặt ứng với giá trị t khác Họ đường cong, mặt cong biểu diễn dạng khác theo hệ toạ độ khác Ở đây, xét họ viết dạng đơn giản: (Ct ) : y = f (x, t), (St ) : z = f (x, y, t), x ∈ [a, b], t ∈ [t1, t2] (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], t ∈ [t1, t2] 49 Để vận động họ (Ct ) ta dùng lệnh [> animate(f(x, t), x=a b, t=t1 t2); vận động họ (St ) lệnh [> animate3d(f(x, y, t), x=a b, y=c d, t=t1 t2); Chú ý thực lệnh ta thấy đồ thị chưa vận động máy vẽ đường/mặt ứng với tham số cụ thể Nếu đưa trỏ chuột vào vùng đồ thị kích trái chuột bảng lệnh điiêù hành công cụ, gồm ký hiệu play, continuous, stop quen thuộc Nếu bạn muốn đồ thị vận động liên tục theo tham số nhấn continuous/play, sau muốn dừng nhấn stop 3.6 Bài tập √ 3.1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac Oxy, cho điểm A(1, 1), B(−1, 3), C(0, −6) Hãy biểu diễn điểm dạng toạ độ cực (r, ϕ) ∈ [0, ∞)×[−π, π) 3.2 Trong khơng gian √ với hệ toạ độ Đêcac Oxyz, cho điểm M (1, −1, −1), √ N (0, 1, 1), P ( 2, 0, − 2) Hãy biểu diễn điểm dạng toạ độ cầu toạ độ trụ 3.3 Viết lại phương trình đường sau dạng toạ độ cực: x2 +y = 2, y = x2 +1, 5x − 3y = 3.4 Viết lại phương trình mặt sau (trong khơng gian) dạng toạ độ trụ: x2 − y = 0, z + x2 + y = 3.5 Viết phương trình tiếp tuyến phương trình pháp diện đường cong x = cos t, y = sin t, z = t; t∈R điểm A(1, 0, 0) B(0, 1, π2 ) 3.6 Viết phương trình tiếp tuyến phương trình pháp diện đường cong sau điểm (−1, −1, 2) (0, 0, 0): z = x2 + y , x + y + z = 3.7 Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong x2 + y + z − = 0, x−y = 0, điểm M ( √ √ √ , 33 , 33 ) 50 3.8 Viết phương trình tiếp tuyến   x = y=   z= pháp diện đường cong sin t, cos(t2 + t), + sin t, điểm M (0, 5, 1) 3.9 Xác định độ cong đường cong sau điểm M (0, 1, π2 ): a) x = cos t, y = sin t, z = t; b) x = cos t, y = sin t, z = π2 3.10 Xác định độ cong đường cong phẳng r = ϕ điểm (π, π) (tức điểm (−π, 0) theo toạ độ Đê-các) 3.11 Chứng minh họ đường cong (Cλ ) : x2 − 2λ3 x + y − 2λy + λ6 = có hình bao chứa đường thẳng y = 3.12 Viết phương trình tiếp diện phương trình pháp tuyến mặt y = 3z − xz + điểm A(x = 0, y = 1, z = 0) B(x = 2, y = 2, z = 1) 3.13 Viết phương trình tiếp diện phương trình pháp tuyến mặt x2 + 2y + 3z = điểm A(1, 0, 0) B( √13 , √16 , 31 ) 3.14 Viết phương trình tiếp diện phương trình pháp tuyến mặt z = 2x2 + 3y + điểm A(1, 0, 3) B(−1, −1, 6) 3.15 Hai mặt cong trơn (S) (T ) gọi tiếp xúc điểm M0 ∈ (S)∩(T ) tiếp diện M0 (S) (T ) trùng Giả sử (S) (T ) biểu diễn phương trình ẩn f (x, y, z) = g(x, y, z) = Chứng minh (S) (T ) tiếp xúc M0 (x0 , y0 , z0 ) f (x0 , y0 , z0 ) = g(x0 , y0 , z0 ) = 0, ∇f (x0 , y0 , z0 ) = ∇g(x0 , y0 , z0 ) 51 Tài liệu tham khảo [1] N.D Tiến, T.Đ Long, Bài giảng Giải tích II, Nxb ĐHQGHN, 2004 [2] Đ.T Lục, P.H Điển, T.D Phượng, Giải tích hàm nhiều biến, Nxb ĐHQGHN, 2002 [3] N.Đ Trí, T.V Đĩnh, N.H Quỳnh, Toán Cao cấp III, Nxb Giáo dục, 2002 ... 10 1. 4.2 Các phép toán vectơ 11 1. 4.3 Các phép toán ma trận 12 1. 5 Bài tập 13 Chương Phép Tính Vi phân Hàm nhiều biến. .. vi phân cấp cao hàm nhiều biến cơng thức tính Cụ thể ta có mệnh đề Định lý 2 .15 Nếu hàm nhiều biến f (x1 , · · · , xn ) có đạo hàm riêng đến cấp m liên tục tập mở G ⊂ Rn f khả vi cấp m G vi phân. .. (x, y) = α, với α khác  31 2.5.2 Tính đạo hàm Vi? ??c tính đạo hàm hàm biến đạo hàm riêng hàm nhiều biến thực tương tự a) Tính đạo hàm riêng cấp Cú pháp: [> diff (hàm số, tên biến riêng); (dùng Diff